Luca Lussardi - Matematicamente · 2013. 2. 1. · Luca Lussardi Esercizi di Analisi Matematica ....

Luca Lussardi

ESERCIZI DI

ANALISI MATEMATICA

Esercizi svolti di analisi matematica per

le facoltà ad indirizzo scientifico

WWW.MATEMATICAMENTE.IT

Luca Lussardi

Esercizi di Analisi Matematica

© Matematicamente.it – 2012

www.matematicamente.it – [email protected]

Stampa

Universal Book – via Botticelli, 22 – 87036 Rende (CS)

ISBN 978 88 96354 19 3

Indice

Introduzione 3

1 L’insieme R 5

1.1 Nozioni di base sugli insiemi . . . . . . . . . . . 5

1.2 Numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Topologia di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Funzioni 21

2.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Limiti e continuita 57

3.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.2 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1

2 INDICE

4 Derivate 79

4.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1.2 Teoremi del calcolo differenziale . . . . . 824.1.3 Estremi di funzioni . . . . . . . . . . . . 834.1.4 Teoremi di De l’Hopital . . . . . . . . . 86

4.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Integrali 127

5.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.1.1 Integazione secondo Riemann . . . . . . 1275.1.2 Teorema fondamentale del calcolo inte-

grale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.1.3 Regole di calcolo . . . . . . . . . . . . . 1315.1.4 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . 133

5.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6 Serie numeriche 145

6.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.1.1 Successioni reali . . . . . . . . . . . . . 1456.1.2 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . 1466.1.3 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . 1486.1.4 Serie a termini positivi . . . . . . . . . . 1486.1.5 Serie a termini di segno qualunque . . . 1516.1.6 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . 152

6.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Indice analitico 179

Luca Lussardi Esercizi di Analisi Matematica www.matematicamente.it

Introduzione

La presente raccolta di esercizi di calcolo infinitesimale perfunzioni di una variabile reale e frutto di tanti anni di eserci-tazioni di corsi di Analisi Matematica da me tenuti presso laFacolta di Ingegneria dell’Universita degli Studi di Pavia e delPolitecnico di Milano: si tratta quindi di esercizi che possonotornare utili soprattutto agli studenti di Ingegneria che stannopreparando il primo esame di Analisi Matematica del loro ciclodi studi. La presente opera non ha alcuna pretesa di comple-tezza, in quanto sono stati trattati solo alcuni degli argomenticlassicamente presenti in un tradizionale corso di calcolo delprimo anno. In particolare, in ogni capitolo vi sono dei brevirichiami di teoria, privi di ogni dimostrazione: tali richiamidi teoria non devono in nessun caso fornire un’alternativaallo studio completo della teoria; essi hanno semplicemente loscopo di dare un riferimento teorico rapido per una lettura piuscorrevole degli esercizi. Il testo e accompagnato dalle tracceaudio di spiegazione di ciascun esercizio, a volte piu dettagliatadi quanto si trova scritto lungo il testo.

3

4 INDICE

Il file con 101 commenti audio di tutti gli esercizi propostie scaricabile alla seguente URL:

www.matematicamente.it/lussardi/esercizidianalisi.zip

Ci auguriamo che questo supporto maggiore che il testo offrepossa aiutare ancora di piu lo studente.

Infine, i doverosi ringraziamenti. Un ringraziamento par-ticolare va al prof.Marco Luigi Bernardi, che mi ha fornito,durante gli anni passati a Pavia, gran parte del materiale chesi trova in queste note. Ringrazio inoltre l’editore AntonioBernardo per l’interesse da sempre dimostrato verso la pubbli-cazione di questo eserciziario, con la speranza che possa essereutile a tanti studenti.

Brescia, Dicembre 2011

Luca Lussardi


Capitolo 1

L’insieme R

1.1 Nozioni di base sugli insiemi

Per insieme si intende una collezione, un raggruppamento dielementi, considerati nella loro totalita. Se un elemento xappartiene all’insieme X si scrive anche

x ∈ X.

Se invece x non appartiene ad X, la notazione usata e

x /∈ X.

Spesso risulta comodo denotare un insieme elencando i suoielementi (specie per gli insiemi finiti), ad esempioX = {a, b, c}e l’insieme che ha come elementi le lettere a, b e c. Nel seguitoverra utilizzato il simbolo ∅ per indicare l’insieme vuoto, ov-vero l’insieme che non ha elementi.

5

6 CAPITOLO 1. L’INSIEME R

Dato un insieme X si dice che Y e un sottoinsieme di X serisulta vera l’implicazione

x ∈ Y =⇒ x ∈ X.

In tal caso si scriveY ⊆ X.

La nozione di sottoinsieme permette di enunciare una condi-zione necessaria e sufficiente per l’uguaglianza tra due insiemi,detta principio di estensionalita:

X = Y ⇐⇒ X ⊆ Y eY ⊆ X.

Dati due insiemi X e Y sia

X ∪ Y := {x : x ∈ X oppurex ∈ Y }.

Si dice che X∪Y e l’unione traX ed Y . Un’altra operazione dinotevole interesse e l’intersezione tra insiemi: dati due insiemiX ed Y sia

X ∩ Y := {x : x ∈ X e x ∈ Y }.

Si dice che X ∩Y e l’intersezione tra X ed Y . E possibile con-siderare anche la differenza tra due insiemi: dati due insiemiX e Y con X ⊆ Y , sia

Y \X := {x ∈ Y : x /∈ X}.

Si dice che Y \X e la differenza tra X e Y . Talvolta l’insiemeY \X si dice anche complementare di X in Y , e viene anche


20 CAPITOLO 1. L’INSIEME R

superiormente limitato e si ha M = 6 che risulta essere anchemassimo di E. Si osservi che in questo caso il massimo e unpunto isolato per E.


Capitolo 2

Funzioni

2.1 Richiami di teoria

Una funzione f viene definita, in modo intuitivo, come unalegge che associa ad ogni elemento di un insieme A, detto do-

minio un unico elemento di un insieme B, detto codominio. Insimboli si scrive anche

f : A → B

ed y = f(x) per denotare che f associa a x ∈ A l’unico elemen-to y = f(x) ∈ B. Una funzione quindi si ottiene assegnandodominio, codominio, e dicendo come opera la funzione stessa.

Sia a ∈ (0,+∞)∪{+∞} e sia A = (−a, a). Sia f : A → R unafunzione. Si dice che f e pari se

f(x) = f(−x), ∀x ∈ A.

21

22 CAPITOLO 2. FUNZIONI

Si dice che invece che f e dispari se

f(x) = −f(−x), ∀x ∈ A.

Esempio: Sia f : R → R data da f(x) = x2; allora dal mo-mento che x2 = (−x)2, si ha che f e pari. Sia g : R → R datada g(x) = x3; allora dal momento che x3 = −(−x)3, si ha chef e dispari.

Sia f : R → R una funzione. Si dice che f e periodica se esisteT > 0 tale che

f(x+ T ) = f(x), ∀x ∈ R.

Il periodo di f e definito come

inf{T > 0 : f(x+ T ) = f(x), ∀x ∈ R}.

Esempio: Sia f : R → R data da f(x) = sinx; allora dalmomento che sin(x + 2π) = sinx per ogni x ∈ R, si ha che fe periodica; inoltre si ha proprio

inf{T > 0 : sin(x+ T ) = sinx, ∀x ∈ R} = 2π.

Spesso e utile cosiderare anche l’insieme immagine della fun-zione definito come

Im(f) := {y ∈ B : ∃x ∈ A : y = f(x)}

ovvero il sottoinsieme di B degli elementi raggiunti da f .


CAPITOLO 2. FUNZIONI 23

Una funzione f : A → B si dice iniettiva o invertibile se

f(x) = f(y) =⇒ x = y.

Ne segue che risulta ben definita la funzione che torna indietro,ovvero la funzione f−1 : Im(f) → A che opera come segue:

x = f−1(y) ⇐⇒ y = f(x).

La funzione f−1 viene anche detta funzione inversa di f .

Esempio: La funzione f : N → N data da f(n) = n + 1 einvertibile; infatti si ha che da n+1 = m+1 discende n = m.Esiste quindi la funzione f−1 : N \ {0} → N che opera comesegue: f−1(m) = m− 1.

Una funzione f : A → B viene detta suriettiva se

Im(f) = B.

Esempio: La funzione f : Z → Z che opera come f(z) = z+5e una funzione suriettiva, dal momento che per ogni w ∈ Z

esiste z = w − 5 ∈ Z e si ha f(z) = w.

Siano date due funzioni f : A → B e g : C → D con la condi-zione Im(f) ⊆ C; allora si definisce una nuova funzione dettacomposizione tra f e g data da

g ◦ f : A → D

che opera nel seguente modo:

g ◦ f(x) = g(f(x)), ∀x ∈ A.



mentre si dice che una funzione f : E → R e strettamente

decrescente se per ogni x1, x2 ∈ E con x1 < x2 si ha

f(x1) > f(x2).

Esempio: Sia f : R → R la funzione data da f(x) = x3. Al-lora dal momento che se x1 < x2 si ha x31 < x32, ne segue chef e una funzione strettamente crescente. Invece la funzioneg : R → R data da g(x) = x2 risulta strettamente crescente sex ≥ 0, e risulta strettamente decrescente se x ≤ 0.

Sia f : E → R una funzione, con E ⊆ R. Se l’insieme Im(f)ha massimo M si dice anche che M e il massimo assoluto del-la funzione f sull’insieme E; analogamente se l’insieme Im(f)ha minimo m si dice anche che m e il minimo assoluto dellafunzione f sull’insieme E. Piu in generale, se Im(f) e inferior-mente limitato si dice che f e inferiormente limitata, mentrese Im(f) e superiormente limitato si dice che f e superiormen-

te limitata. Se infine Im(f) e limitato si dice che f e limitata.Si usa la notazione

infE

f, supE

f

per denotare, rispettivamente, l’estremo inferiore di Im(f) el’estremo superiore di Im(f).

Esempio: Si data la funzione f : [0, 1] → R data da f(x) =√x. Allora f e strettamente crescente e ammette minimo as-

soluto nel punto x = 0, dove vale 0, mentre ammette massimoassoluto nel punto x = 1 dove vale 1.



2.2 Esercizi

Esercizio 1Es1cap2 Costruire il grafico della funzione f : R → R data da

f(x) = 4x3 + 1.

soluzioneCostruiamo il grafico di f partendo dal noto grafico dellafunzione y = x3, e dato da



Il fattore 4 davanti a x3 produce una dilatazione avvicinando ilgrafico all’asse delle y. Si ottiene quindi il grafico della funzionef(x) = 4x3 dato da



Infine, il termine +1 corrisponde ad una traslazione verso l’altodi 1 sull’asse delle y. Il grafico della funzione f(x) = 4x3 + 1sara quindi dato da



Esercizio 2

Es2cap2Costruire il grafico della funzione f : R → R data da

f(x) = 3− |x|.

soluzioneCostruiamo il grafico partendo dal noto grafico della funzioney = |x|, e dato da



Moltiplicando ora per −1 si ottiene un grafico di y = −|x|,che risulta essere il simmetrico rispetto al precedente, rispettoall’asse delle x, ovvero dato dal seguente



Esercizio 19Es19cap2Studiare limitatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parita

e periodicita della funzione f : R → R data da

f(x) = arctan(−2x3)− 2|x|x3.

soluzioneLa funzione f non e limitata a causa del termine |x|x3, cherende f ne inferiormente ne superiormente limitata; f e unafunzione dispari, infatti

f(−x) = arctan(2x3) + 2|x|x3

= −(arctan(−2x3)− 2|x|x3) = −f(x).

Infine, f non e pari e non e periodica.


Capitolo 3

Limiti e continuita

3.1 Richiami di teoria

3.1.1 Limiti

Sia E ⊆ R e sia f : E → R. Sia x0 ∈ R ∪ {±∞} di accumula-zione per E. Si dice che ℓ ∈ R∪ {±∞} e limite di f per x chetende ad x0 se per ogni intorno I di ℓ esiste un intorno J dix0 tale che per ogni x ∈ J ∩ (E \ {x0}) si ha f(x) ∈ I. In talcaso si scrive anche

limx→x0

f(x) = ℓ.

Si pone anche, quando la cosa ha senso,

limx→x+

0

f(x) := limx→x0

x≥x0

f(x), limx→x−

0

f(x) := limx→x0

x≤x0

f(x).

Segue che

limx→x0

f(x) = ℓ ⇐⇒ limx→x+

0

f(x) = limx→x−

0

f(x) = ℓ.

57

58 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITA

Unicita del limite: Il limite, se esiste, e unico.

La definizione si puo riscrivere caso per caso, in modo piuutile per le applicazioni.

1) x0, ℓ ∈ R: per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ognix ∈ (x0 − δ, x0 + δ)∩E, con x 6= x0, si ha |f(x)− ℓ| < ε.

2) x0 ∈ R, ℓ = +∞: per ogni M > 0 esiste δ > 0 taleche per ogni x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ E, con x 6= x0, si haf(x) > M .

3) x0 ∈ R, ℓ = −∞: per ogni M > 0 esiste δ > 0 taleche per ogni x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ E, con x 6= x0, si haf(x) < −M .

4) x0 = +∞, ℓ ∈ R: per ogni ε > 0 esiste M > 0 tale cheper ogni x ∈ (M,+∞) ∩ E si ha |f(x)− ℓ| < ε.

5) x0 = −∞, ℓ ∈ R: per ogni ε > 0 esiste M < 0 tale cheper ogni x ∈ (−∞,M) ∩ E si ha |f(x)− ℓ| < ε.

6) x0 = +∞, ℓ = +∞: per ogni M > 0 esiste δ > 0 taleche per ogni x ∈ (δ,+∞) ∩ E si ha f(x) > M .

7) x0 = +∞, ℓ = −∞: per ogni M > 0 esiste δ > 0 taleche per ogni x ∈ (δ,+∞) ∩ E si ha f(x) < −M .

8) x0 = −∞, ℓ = +∞: per ogni M > 0 esiste δ < 0 taleche per ogni x ∈ (−∞, δ) ∩ E si ha f(x) > M .

9) x0 = −∞, ℓ = −∞: per ogni M > 0 esiste δ < 0 taleche per ogni x ∈ (−∞, δ) ∩ E si ha f(x) < −M .


CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITA 59

Esempio: Sia data la funzione f : R → R definta come f(x) =x2. Allora si ha che

limx→0

x2 = 0.

Infatti, fissato ε > 0 sia δ :=√ε. Allora per ogni x ∈ (−δ, δ),

x 6= 0, si ha|f(x)| = x2 < δ2 = ε.

Esempio: Sia data la funzione f : (0,+∞) → R definita comef(x) = 1

x . Allora

limx→+∞

1

x= 0.

Infatti, fissato ε > 0 sia δ := 1/ε. Allora per ogni x > δ si ha

|f(x)| = 1

x<

1

δ< ε.

Esempio: Sia data la funzione f : R → R definita come f(x) =sinx. Allora non esiste

limx→±∞

f(x).

La stessa cosa vale per ogni funzione periodica non costante.

Elenchiamo le piu comuni regole di calcolo dei limiti: in quantosegue si pone, per definizione,

+∞+ a := +∞, −∞+ a := ∞, ∀a ∈ R,

±∞±∞ = ±∞,



+∞ · a := +∞, +∞ · a := +∞, ∀a > 0,

+∞ · a := −∞, −∞ · a := +∞, ∀a < 0,

±∞ · (±∞) := +∞, ±∞ · (∓∞) := −∞.

Se ℓ1, ℓ2 ∈ R∪{±∞} e sono tali per cui ℓ1±ℓ2 e ℓ1 ·ℓ2 rientranonei casi di cui sopra, e

ℓ1 := limx→x0

f(x), ℓ2 := limx→x0

g(x)

allora

limx→x0

(f(x)± g(x)) = ℓ1 ± ℓ2, limx→x0

(f(x) · g(x)) = ℓ1 · ℓ2.

Le forme che invece richiedono esami ulteriori sono dette ancheforme indeterminate e sono date da (∞ senza segno significache si ha la forma indeterminata per ogni scelta del segno di∞):

0

0,

∞∞ , ±∞∓∞, ∞ · 0, ∞0, 1∞, 00.

Vi sono alcuni limiti, detti notevoli, che spesso semplificanoil calcolo di limiti piu complicati. Nel seguito sono illustratialcuni dei piu importanti limiti notevoli.

limx→±∞

anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x+ a0bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ b0

=anbm

limx→±∞

xn−m

limx→0

sinx

x= 1

limx→0

1− cos x

x2=

1

2



limx→0

ex − 1

x= 1

limx→0

log(1 + x)

x= 1

limx→±∞

(

1 +1

x

)x

= e

limx→0

loga(1 + x)

x= loga e, a > 0, a 6= 1

limx→0

ax − 1

x= log a, a > 0

limx→0

arctan x

x= 1

Teorema del confronto per i limiti: Sia E ⊆ R, sianof, g, h : E → R e sia x0 di accumulazione per E. Se

f ≤ g ≤ h

e

limx→x0

f(x) = ℓ = limx→x0

h(x)

allora

limx→x0

g(x) = ℓ.

3.1.2 Funzioni continue

Una funzione f : E → R, dove E ⊆ R, si dice continua in x0 ∈E se per ogni intorno I di f(x0) esiste un intorno J di x0 taleche per ogni x ∈ J ∩ E si ha f(x) ∈ I. Equivalentemente, perogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ (x0−δ, x0+δ)∩E



si ha |f(x) − f(x0)| < ε. Se x0 e di accumulazione per E cioequivale a richiedere che

limx→x0

f(x) = f(x0).

Proposizione: Siano f, g : E → R continue. Allora

f + g, f − g, fg

sono continue. Se g 6= 0 allora

f

g

e continua. Se f ≥ 0 allora√f e continua. La composizione di

funzioni continue inoltre e ancora una funzione continua. Lefunzioni elementari sono continue nel loro dominio.

Esempio: Sia data la funzione f : R → R definita come

f(x) =x3 − 5

x+ 4+ x6.

Allora, dal momento che f risulta continua in x = 0 si ha

limx→0

f(x) = −5

4.

Continuita della funzione inversa: Siano I un intervalloin R e sia f : I → R una funzione strettamente monotona.Allora, la funzione

f−1 : Im(f) → R



e continua.

Teorema degli zeri: Sia f : [a, b] → R, con a, b ∈ R, unafunzione continua, tale per cui si abbia f(a)f(b) ≤ 0; alloraesiste x ∈ [a, b] tale che f(x) = 0.

Osservazione: Il teorema degli zeri sotto certe condizionigarantisce l’esistenza di almeno una soluzione dell’equazionef(x) = 0, ma non afferma nulla a proposito della sua unicita;del resto e facile fare esempi di funzioni per le quali non siha unicita della soluzione: ogni funzione che sia identicamen-te nulla su un sottointervallo dell’intervallo [a, b] consideratoverifica le ipotesi del teorema degli zeri ma non ammette un’u-nica intersezione con l’asse delle x. Le ipotesi per la validitadel teorema degli zeri sono necessarie: ad esempio la funzionecostante f(x) = 1 definita su un intervallo limitato [a, b] nonverifica la condizione f(a)f(b) ≤ 0, ed invero non ha interse-zioni con l’asse x. Invece la funzione f : [0, 1] → R definitacome f(x) = −1 se x ∈ [−1, 0] e f(x) = 1 se x ∈ (0, 1], non econtinua, ed invero non ha intersezioni con l’asse delle x.

Teorema dei valori intermedi: Sia I un intervallo in R esia f : I → R una funzione continua. Allora Im(f) e un inter-vallo.

Il teorema dei valori intermedi afferma, in altre parole, che unafunzione continua f : I → R assume tutti i valori compresi trainf f e sup f , eventualmente estremi inclusi.



Teorema di Weierstrass: Sia f : [a, b] → R una funzionecontinua, con a, b ∈ R. Allora f ha massimo e minimo assoluti.

Osservazione: Le ipotesi date non possono essere indebolite.Ad esempio rimuovendo la chiusura dell’intervallo si ottiene unteorema falso: la funzione f(x) = 1

x definita su (0, 1] e continuama non ammette massimo assoluto. Ancora la rimozione dellacontinuita rende falsa la tesi: la funzione f(x) = 0 per x = 0e f(x) = 1

x se x ∈ (0, 1] e definita su [0, 1], non e continua enon ha massimo assoluto.



3.2 Esercizi

Esercizio 1Es1cap3Calcolare

limx→+∞

(

cos(4x)

x2+

3x2 − 1

1− 6x2

)

.

soluzioneDal momento che la funzione y = cos(4x) e limitata e siccome

limx→+∞

1

x2= 0

abbiamo che

limx→+∞

cos(4x)

x2= 0.

Inoltre

limx→+∞

3x2 − 1

1− 6x2= lim

x→+∞

x2(

3− 1

x2

)

x2(

1

x2− 6

) = limx→+∞

3− 1

x21

x2− 6

= −1

2

da cui si trova

limx→+∞

(

cos(4x)

x2+

3x2 − 1

1− 6x2

)

= −1

2.



Esercizio 2

Es2cap3Calcolare

limx→0

e7x2 − 1

x sinx.

soluzioneOsserviamo che si ha

e7x2 − 1

x sinx= 7

e7x2 − 1

7x2x

sinx.

Posto y = 7x2 abbiamo che y → 0 se x → 0; inoltre

e7x2 − 1

7x2=

ey − 1

y

che ha limite 1 quando y → 0, per uno dei limiti notevoli. Dalmomento che si ha anche

limx→0

sinx

x= 1

per un altro dei limiti notevoli, si ha quindi

limx→0

x

sinx= 1.

Ne segue che

limx→0

e7x2 − 1

x sinx= 7.



Esercizio 3

Es3cap3Calcolare

limx→+∞

(

sin(5x)

x− 4e

1x

)

.

soluzioneEssendo y = sin(5x) una funzione limitata e avendosi

limx→+∞

1

x= 0

si ha che

limx→+∞

sin(5x)

x= 0.

Per quanto riguarda

limx→+∞

e1x

osserviamo che per continuita della funzione y = ex si ha

limx→+∞

e1x = e0 = 1.

Dunque si conclude che

limx→+∞

(

sin(5x)

x− 4e

1x

)

= −4.



Esercizio 4

Es4cap3Calcolare

limx→0

(

arctan(2x2)

x2+ cos(2x+ π) + 6x−3 log(1 + 6x3)

)

.

soluzioneAnzitutto si ha

arctan(2x2)

x2+ cos(2x+ π) + 6x−3 log(1 + 6x3)

= 2arctan(2x2)

2x2+ cos(2x+ π) + 36

log(1 + 6x3)

6x3.

Posto y = 2x2 si ha che y → 0 se x → 0 e inoltre

arctan(2x2)

2x2=

arctan y

y

che tende a 1 per y → 0, per uno dei limiti notevoli. Ne segueche

limx→0

arctan(2x2)

2x2= 1.

Per continuita della funzione y = cosx si ha

limx→0

cos(2x+ π) = cosπ = −1.

Infine, posto y = 6x3 si ha y → 0 per x → 0 e

log(1 + 6x3)

6x3=

log(1 + y)

y



che tende a 1 se y → 0, per uno dei limiti notevoli. Si hadunque

limx→0

log(1 + 6x3)

6x3= 1.

Riassumendo abbiamo trovato che

limx→0

(

arctan(2x2)

x2+ cos(2x+ π) + 6x−3 log(1 + 6x3)

)

= 37.


Luca Lussardi - Matematicamente · 2013. 2. 1. · Luca Lussardi Esercizi di Analisi Matematica ....

Documents

Transcript of Luca Lussardi - Matematicamente · 2013. 2. 1. · Luca Lussardi Esercizi di Analisi Matematica ....