Logica para SI - 2-1

8/17/2019 Logica para SI - 2-1

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Lógica para SI

Fernando Castilho


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Proposições Verofuncionais

• Proposição – Um enunciado, ue ! "erdadeiro ou

falso

• Proposição Categórica Verofuncional – Proposição comple#a $ "alor de "erdade

! determinado pela an%lise de

proposições indi"iduais , &unto comoperadores lógicos'


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• Valor de Verdade – Proposições indi"iduais ( apenas Verdadeiro ou Falso – Proposição comple#a ( Valores indi"iduais )

operador*es+ lógico*s+

• perador Lógico – -ermo Conecti"o sem "alor de "erdade associado – .etermina as possi/ilidades lógicas de "eracidade

ou falsidade de uma proposição comple#a – 0ostra os reuisitos lógicos de cada tipo de

proposição *negação, con&unção, dis&unção,condicional+'


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• peradores lógicos – Con&unção *1e2+

• Se Verdade e Verdade• -odas as con&unti"as de"em ser "erdadeiras• P 3 4o&e ! uarta$feira'• 5 3 Vai ter &ogo importante pelo

campeonato de fute/ol'

• Sim/ologia $ 1 . 2• -radução da proposição $ P . 5


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• peradores lógicos – Con&unção *1e2+

• -a/ela de Verdade – 6strutura para a "alidação de e#pressões ue

utili7am conecti"os lógicos

A BA . B

V V VV F F

F V F

F F F


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• peradores lógicos – 8egação *1não2+

• 9ltera o "alor de "erdade da proposição• P 3 4o&e ! uarta$feira'• 8egação $ 4o&e não ! uarta$feira'

• Sim/ologia $ 1 ~ 2• -radução da proposição $ ~ P *não 4o&e !

uarta$feira+• -a/ela de Verdade

P ~ P

V F

F V


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• peradores lógicos – .is&unção *1ou2+

• Se Verdade ou Se Verdade

• :asta uma das dis&unti"as ser "erdadeira• Só ! Falsa se todas as dis&unti"as forem

falsas ao mesmo tempo• Sim/ologia $ v• 9 dis&unção pode ser Inclusi"a ou

6#clusi"a


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• peradores lógicos – .is&unção Inclusi"a

• -odas as inclusi"as podem ser "erdadeiras•

4o&e ! uarta$feira ou Vai ter &ogo importante• -radução $ P v 5

– .is&unção 6#clusi"a• 9penas uma inclusi"a pode ser "erdadeira•

9 "erdade de uma e#clui a "erdade da outra• 4o&e ! uarta$feira ou ho&e ! uinta$feira

• -radução ( *P " 5+ ' ~ *P ' 5+


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• peradores lógicos – .is&unção *1ou2+

• -a/ela de Verdade

A B 9 v :

V V V

V F V

F V VF F F


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• 6#erc;cios

– Se a estrutura da proposição < . = for"erdadeira, ual o "alor de < >• Verdadeiro ? Falso ? Verdadeiro ou Falso >

– Se a estrutura da proposição < v = for falsa,ual o "alor de < >• Verdadeiro ? Falso ? Verdadeiro ou Falso >

– @epetir o e#erc;cio para as possi/ilidadesde tipo de conecti"o e de "erdade daproposição comple#a'


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• -radução de proposições usandooperadores lógicos

–

. *con&unção+• E, mas, ao passo que, porém, também,,além disso, embora, ainda que, desde que.

– ~ *negação+• Não, não é o caso que, é falso que, não é

verdade que.

– v *dis&unção+• ou, ou ... ou, a menos que, caso contrário


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• 6#erc;cios – -radu7ir sim/olicamente as seguintes proposições

"erofuncionais• 0eu carro ! grande, mas ele tem ótimo consumo de

com/ust;"el• CAncer ou 9I.S são doenças muito gra"es• 8ão ! "erdade ue o mundo ! uadrado• 9 menos ue "ocB pare de comer doces "ocB "ai ter

dia/etes• oana ! uma menina dócil, ao passo ue seu pai ! um

homem rude• Só se "ocB terminar sua tarefa "ocB poder% ir ao cinema


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• Condicionais – 6lemento cha"e ( o termo 1se2 – Se o viaduto car pronto *P+ o trajeto

será reduzido *Q+ – se P então Q – Sim/ologia $ Ͻ - Se P Ͻ Q

– 9ntecedente ( Parte ue segue o 1se2 – Conseuente ( Parte ue segue o

1então2


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• Condicionais – Proposição condicional não ! uma inferBncia' – 6la aDrma ue 1se2 o antecedente for

"erdadeiro, o conseuente tam/!m o ser%' – P Ͻ 5

• Se P ocorrer, Q tam/!m ocorrer%• 8ão aDrma as possi/ilidades de Q, apenas as de

P' – 9 Enica forma de uma proposição condicional

ser falsa ! uando o antecedente ! "erdadeiroe o conseuente ! falso


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• Condicionais – -a/ela de "erdade

– .iagramação paraentendimento da ta/ela de "erdadedesta proposição

• Sinal indicando ue a proposição !"erdadeira√ dentro da cai#a

P Q P Ͻ QV V V

V F F

F V V

F F V

PQ


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– P Ͻ 5

• P Ͻ 5, com am/as "erdadeiras

• P Ͻ 5, com P *Falsa+ e 5 *Verdadeira+

• P Ͻ 5, com P *Falsa+ e 5 *Falsa+ √

P Q P Ͻ Q

V V VV F F

F V V

F F V

Q

P

Q

P√

Q

P

Q√P


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• Condicionais ( Presença da pala"ra 1se2 – 9lternati"as

• -oda "e7 ue P, então 5• Cada "e7 ue'''•

-odos os casos em ue '''• 5ualuer "e7 ue'''• 8o caso de '''• So/ a condição de ue '''• .ado ue '''• .esde ue'''• 6m ualuer caso ue '''• Supondo ue '''• 6m ualuer ocorrBncia de '''• Para todas as instAncias de '''


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• Condicionais $ 1Se2 e 1somente se2• 1Se2 ( 9ntecedente de uma proposição condicional• 1''' e somente se2 ( Conseuente da proposição• Se P então 5 $ P ! o antecedente

– Se "ocB ganhar na loteria, então "ocB "er% parentes uenem sonha"a conhecer

• P, se 5 $ 5 ! o antecedente – VocB "er% parentes''', se "ocB ganhar na loteria

•

P, somente se 5 $ P ! o antecedente – VocB "er% parentes''', somente se "ocB ganhar na loteria• Somente se P, 5 $ 5 ! o antecedente

– Somente se "ocB ganhar na loteria "ocB "er% parentes'''


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• Condicionais ( 6#erc;cios – Se a estrutura de proposição 1P Ͻ 52

for Falsa, ual o "alor poss;"el para P

*V, F, V?F+ > – Se a estrutura de proposição 1P Ͻ 52

for Verdadeira, ual o "alor poss;"elpara 5 >

– Se a estrutura de proposição 1P Ͻ 52for Falsa, ual o "alor poss;"el para5 >


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Proposições Verofuncinais

– Fórmulas /em formadas• Proposições "erofuncionais ue foram tradu7idas

sim/olicamente e estão sintaticamente corretas – @egra G ( os operadores 1e2, 1ou2 e 1se2 de"em sempre

estar entre duas proposições – @egra H ( s;m/olo de negação *+ de"e estar sempre Jfrente da proposição a ser negada

– @egra K ( s;m/olo de negação, so7inho, não de"e estarentre duas proposições

– @egra ( ParBnteses são usados para eliminar

am/iguidades e para distinguir o operador lógico principalde uma proposição comple#a e para separar doisoperadores'

» perador lógico principal ( 9uele ue determina o "alorDnal da proposição


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– Fórmulas /em formadas – 6#erc;cios ( .iga e e#pliue porue as

proposições são F:F ou não• P " 5• @ " -• M ' *P5+• P *" @+ ' S


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– Fórmulas /em formadas – 6#erc;cios ( IdentiDue o operador lógico

principal• 5 " P• @ ' * - " M+• L N 5• OP " *5 N @+ ' * @ " S+


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• -radução de proposições – Pode$se tradu7ir sentenças em portuguBs para

proposições sim/ólicas – .e"e$se entender a intenção lógica da proposição

comple#a antes de tradu7ir – ParBnteses au#iliam a tradução correta em muitos casos

• e#G 9m/as, -oQota e 4onda são companhias &aponesas ( - . 4 – 9 intenção ! aDrmar ue am/as o são, então o operador 1e2 ! o

operador principal'

•

e#H 8ão ! o caso ue am/as, -oQota e 4onda se&amgenuinamente &aponesas $ *- . 4+ – 9 intenção ! negar ue as duas o se&am, então a negação ! o operador

principal'


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• 6#erc;cios ( -radu7a as proposições – 6u não estou enganado e o escore do meu teste foi

ele"ado, e eu estou feli7 com o resultado – Se "ocB conseguir economi7ar @R H, por mBs, então

se "ocB conseguir pagar o seguro, então "ocB poder%comprar uma motocicleta' – 8ão ! o caso de, se "ocB interromper os estudos, então

passar% na disciplina e tam/!m conser"ar% a sua /olsade estudos'

– Se não formos cuidadosos e não trocarmos o óleo domotor freuentemente, então o motor ir% fundir

– Se o seu toca$discos estragar, então eu conseguireioutro para "ocB, ou "ocB poder% consert%$lo


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• -a/elas "erdade de proposiçõescomple#as – IdentiDue o operador principal – Separe os grupos de proposições, de

modo a e#ecutar as proposições maisinternas primeiro


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• Proposições contingentes e não contingentes – Contingentes

• Podem ter "alores Verdadeiros e Falsos na coluna dooperador principal

• s "alores "erdade da proposição são contingentes, oudependem dos "alores de "erdade das partescomponentes, e não da sua forma lógica'

– 8ão Contingentes• Valores de "erdade do operador principal não

dependem dos "alores de "erdade das partescomponentes, e dependem da sua forma lógica'

• Compõe as Tautoloias e as !utocontradi"#es


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• -autologias – Uma proposição ue ! necessariamente "erdadeira,

de"ido J sua forma lógica• Lu"erdense "ai ganhar, ou não "ai ganhar o &ogo'

• 8ão h% necessidade de in"estigar o mundo, uaisuer uese&am os fatores, o resultado ser% sempre "erdade• P " P

– 9lgumas "e7es a "erdade ! função da estrutura lógica,e não da "erdade dos fatos ou conteEdos

– -autologias não ensinam nada so/re o mundo, nãopodem ser usadas como hipóteses cient;Dcas

– Contudo, seu aprendi7ado ser"e para se identiDcarsituações em ue o conteEdo perde a importAncia


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• 9utocontradições – Uma proposição ue ! necessariamente falsa,

de"ido J sua forma lógica• Lu"erdense "ai ganhar, e não "ai ganhar o &ogo'• 8ão h% necessidade de in"estigar o mundo, uaisuer

ue se&am os fatores, o resultado ser% sempre falso• P . P

– 9utocontradições não ensinam nada so/re o

mundo e, igualmente, não podem ser usadascomo hipóteses cient;Dcas – Contudo, seu aprendi7ado e"idencia a

importAncia de se e"itar contradições'


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• 6#erc;cios – Crie ta/elas de "erdade para determinar

se as proposições são contingentes,

tautologias ou autocontradições• P " *5 . 5+• P . *5 " 5+• *P " P+ . 5• *@ . @+ N *S " S+• *@ V @+ N *S " S+


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• 6ui"alBncia 0aterial – @elação /icondicional, ue só !

"erdadeira uando am/os os

componentes tBm o mesmo "alor de"erdade, do contr%rio, ! falsa'• *P N 5+ . *5 N P+

– Se "ocB comer "egetais, então "ocB ganhar% um

sor"ete, e "ocB só ganhar% um sor"ete se "ocBcomer "egetais'

• S;m/olo $ 1T2 *se e somente se+


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• -a/ela do uso do 1se2 – Se P, então 5 P N 5 – Somente se P, 5 5 N P – 5, se P P N 5 – 5, Somente se P 5 N P – Se 5, então P 5 N P – Somente se 5, P P N 5 – 5, se e somente se P 5 T P


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• 6ui"alBncia Lógica – Proposições logicamente eui"alentes

• -Bm ta/elas de "erdade idBnticas

–

P N 5 ? P " 5 – *- . 4+ ? - " 4 – *F " C+ ? F . C


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• Proposições Contraditórias – .uas proposições ue tBm "alores de "erdade

opostos em todas as linhas de suas respecti"asta/elas de "erdade

– c!u ! a7ul e o c!u não ! a7ul – 14o&e não ! segunda$feira ou amanhã ! terça$

feira2 e 14o&e ! segunda$feira ou amanhã não! terça feira2 *são contraditórias >+


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• Proposições Consistentes – .uas proposições ue tBm ao menos uma linha

de "alores de "erdade idBnticas –

.e"e ser poss;"el ue am/as se&am "erdadeao mesmo tempo – 1@o/ert tem mais de K anos2 ou 1@o/ert tem

mais de anos2 *são consistentes >+


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• Proposições Inconsistentes – .uas proposições em cu&as linhas de "alores

de "erdade não ha&a uma em ue am/os os"alores se&am "erdadeiros

– .e"e ser imposs;"el ue am/as as proposiçõesse&am "erdade ao mesmo tempo

– 1@o/ert tem mais de K anos2 e 1@o/ert

tem menos de H anos2 *sãoinconsistentes >+


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• .esaDo – meio$dia e a mãe de Pedro precisa sair de casa, sendo

ue não sa/e a ue horas ir% "oltar' 9ntes de sair,por!m, ela e#ige de Pedro ue prometa ue se chover,

então ele recolherá a ro!a do varal' Pedroconcorda' 9 mãe de Pedro sai' 6ntretanto, logo emseguida, amigos de Pedro chegam e o con"idam para

&ogar fute/ol num campinho não muito pró#imo' – Como poder% Pedro, ao mesmo tempo, ir &ogar fute/ol

com os amigos e não descumprir o trato ue D7era coma mãe, independentemente de ue cho"a ou não>• Usar a tradução sim/ólica de proposições e operadores para

determinar a solução


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