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LO STUDIO DELLE CONICHE CON LA CALCOLATRICE GRAFICA CASIO fx-CG50

ENRICO ROGORA


Casio Italia SRL


SommarioIntroduzione................................................................................................................... 21. Equazioni e curve......................................................................................................42. Disequazioni di secondo grado..................................................................................73. Soluzione grafica di una disequazione.......................................................................94. Tabelle e grafici di funzioni di secondo grado.........................................................126. Regressione quadratica...........................................................................................14

RETTE, EQUAZIONI E SISTEMI LINEARI CON LA CALCOLATRICE GRAFICA CASIO FX-CG 50 – E. Rogora1

Introduzione

Lo studio delle coniche, in particolare la circonferenza, la parabola e l’iperbole equilatera, costituisce un capitolo di grande importanza nel programma di matematica delle scuole medie di secondo grado, sia per il valore formativo e applicativo intrinseco sia per la sua importanza come prerequisito e introduzione ad argomenti più avanzati.

In questa dispensa sull’uso della calcolatrice grafica nell’affrontare questi argomenti seguiremo la seguente impostazione. Sono previsti due generi di capitoli.

Quelli del primo tipo saranno preceduti da un sintetico richiamo degli elementi teorici che vengono utilizzati nelle attività, che hanno il carattere prevalente di soluzione di problemi ed esercizi con la calcolatrice.

Quelli del secondo tipo hanno un carattere laboratoriale e mirano a far scoprire agli studenti alcuni aspetti della teoria in maniera induttiva.

L’insegnante può decidere quali parti della teoria anticipare attraverso un’attività di scoperta da svolgere in classe e quali invece presentare in maniera tradizionale utilizzando la calcolatrice per affrontare in maniera stimolante e da diverse angolature la risoluzione degli esercizi e per illustrare in maniera partecipativa alla classe quanto esposto nella teoria.

Alcune esplorazioni e alcuni esercizi sono ispirati da problemi che hanno avuto un ruolo importante nello sviluppo storico della matematica e delle sue applicazioni. Questi temi sono stati scelti per stimolare riflessioni interdisciplinari e mettere in evidenza il ruolo di stimolo scientifico, tecnologico e culturale della matematica.

Nella dispensa si assume familiarità con le operazioni fondamentali della calcolatrice discusse nella dispensa “Primi Passi con la calcolatrice grafica CASIO fx-CG50” e numerosi sono i rimandi a tale dispensa che riguardano le operazioni fondamentali necessarie per svolgere le attività.

Il piano di lavoro è il seguente:

1. Il grafico delle funzioni y=q(x), con q(x) polinomio di secondo grado. 2. Equazioni e disequazioni di secondo grado e loro interpretazioni geometriche.3. Diversi modi per rappresentare una conica.4. Costruzione geometrica di una parabola.


1. Equazioni e curve

Introduzione teorica

Passaggio #1

Dal menù principale (MAIN MENU) scegli la modalità Conic Graphs (9).

Passaggio #2

La modalità Conic Graphs permette di studiare una curva assegnata con un’equazione. È possibile scegliere un’equazione cartesiana, selezionando il menu RECT; un’equazione polare, selezionando il menu POL; un’equazione parametrica, selezionando il menu PARAM. Nelle figure a fianco sono mostrate le equazioni cartesiane disponibili. A fianco dell’equazione è mostrato il grafico di un rappresentante. Ogni equazione dipende da un certo numero di parametri che possono essere variati per capire come il grafico dipende dall’equazione. Muovere il cursore fino a selezionareY=A(X-H)2+K e poi battere l.

Passaggio #3RETTE, EQUAZIONI E SISTEMI LINEARI CON LA CALCOLATRICE GRAFICA CASIO FX-CG 50 – E. Rogora

4

Nella schermata Y=A(X-H)2+K è possibile selezionare il valore da assegnare ai parametri A, H e K.

Una volta selezionati i parametri è possibile disegnare la curva (funzione DRAW) oppure disegnare la curva in una modalità dove si possono modificare i parametri e vedere l’effetto in tempo reale (funzione MODIFY).

Prima di disegnare la curva conviene fissare i valori di View Window.

Passaggio #4

Con i valori dei parametri A=1, H=0, K=0, una scelta adeguata dei valori dei parametri è mostrata nella figura a fianco.

Passaggio #5

Tornando alla schermata Y=A(X-H)2+K e selezionando la funzione DRAW otteniamo il grafico a fianco.

Passaggio #6Selezionando invece, dalla schermata Y=A(X-H)2+K, la funzione DRAW otteniamo il grafico a fianco.

Nell’angolo in basso a sinistra sono mostrati i valori dei parametri A, H e K. Muovendosi verticalmente con il cursore si può raggiungere la riga corrispondente al parametro scelto. Muovendosi orizzontalmente si può incrementare o decrementare il valore di una quantità pari a Step. È anche possibile inserire un nuovo valore per ognuno dei parametri direttamente da tastiera.


Passaggio #7

Modificando il valore di un parametro dell’equazione viene modificato di conseguenza la curva. La curva precedente resta visibile in giallo.


2. Disequazioni di secondo grado

Passaggio #1

Seguendo la strada indicata nella precedente attività, disegnare una parabola Y=AX2+BX+C (Nota la differenza con la precedente forma, che era Y=A(X-H)2+K), scegliendo i seguenti valori per i parametri della funzioneA=1, B=0, C=-1e i seguenti valori per i parametri della finestra View Window (cfr. Passo #4)Xmin=-2; Xmax=2; Ymin=-1.5; Ymax=4Nella figura a sinistra è mostrato il grafico della parabola.

Passaggio #2

Seleziona, dalla finestra in cui viene mostrato il grafico, il Menu G-Solv premendo i tasti L e y (2,1)+(1,5)=(1,5), e sfoglia il menu premendo il tasto funzione u per evidenziare la funzione X-ICEPT che puoi selezionare con il tasto funzione u.

Passaggio #3

La calcolatrice mostra una croce su una delle eventuali radici dell’equazione AX2+BX+C=0, che puoi selezionare premendo il tasto l. Puoi successivamente muoverti su un’eventuale seconda radice con un movimento orizzontale del tasto cursore e selezionare anche la seconda radice.

In questo caso le radici esatte dell’equazione sono -1 (pallino a sinistra) e +1 (dove è posizionato il cursore nella figura a fianco.

In generale le radici sono approssimate, come puoi verificare per i valori dei parametri A=1, B=0, C=-2.


Passaggio #4

Per quanto riguarda la disequazione, abbiamo che il trinomio che stiamo studiando, cioè X2-1 è positivo a sinistra della prima radice (x=-1), in quanto il grafico della funzione sta sopra l’asse delle ascisse per quei valore, negativo per valori di x compresi tra la prima e la seconda radice, in quanto il grafico della funzione sta sotto l’asse delle ascisse, e di nuovo positivo per valori dell’ascissa maggiori della seconda radice (x=1), in quanto il grafico torna a stare sopra l’asse delle x. Si noti che la calcolatrice ci permette di dedurre quanto detto solo entro i limiti della finestra in cui abbiamo visualizzato il grafico e, in generale, con una approssimazione relativa alla localizzazione della radice. Si tratta però di una procedura che può essere ripetuta in maniera analoga per qualsiasi altra disequazione, come vedremo nell’attività successiva, dove verrà anche spiegato come costruire la figura mostrata a sinistra, dove viene raccolto evidenziato quanto detto sopra tratteggiando la porzione del grafico sotto l’asse delle ascisse e lasciando in tratto continuo quella sopra.


3. Soluzione grafica di una disequazione

Passaggio #1

In questa attività vedremo come risolvere graficamente una disequazione, in un intervallo fissato. Scegli innanzitutto l’intervallo dove studiare la disequazione. Come esempio, studiamo la disequazione sin x>0 sull’intervallo definito dai seguenti valori, che puoi inserire nella finestra View Window, cui puoi accedere premendo i tasti Ly:

Xmin=−4 π ; Xmax=4 π ;Ymin=−1.5 ;Ymax=1.5

Passaggio #2

Prendiamo la questione alla larga, studiando il grafico della funzione x>0. In un contesto numerico, tale funzione vale 0 per x minore o uguale a zero e 1 per x maggiore di zero.

Scegli la funzione DRAW premendo il tasto u per vedere il suo grafico.

Passaggio #3Si tratta di una funzione a scalino. Il salto in zero non è ben rappresentato a causa dell’algoritmo utilizzato dal calcolatore per disegnare il grafico di una funzione, congiungendo con un segmento due punti successivi del grafico, costruito rispetto alla griglia dei valori sull’asse x dove viene valutata la funzione per disegnare il grafico.La cattiva rappresentazione di questa funzione non avrà effetto nel seguito.

Passaggio #4

Consideriamo la funzione inversa di quella considerata al Passggio #2. Essa vale 1 per x maggiore di zero mentre non è definita per x minore di zero.


Passaggio #5

Il grafico della funzione definita nel passaggio precedente è ottimamente rappresentato sulla calcolatrice.

Passaggio #6

Salviamo in Y1 il primo membro della disequazione che intendiamo studiare, che sarà del tipo Y10. Le analoghe disequazioni Y10, Y1<0, Y10 si trattano in maniera analoga con piccole modifiche.

La funzione Y2 coincide con la funzione Y1 laddove questa è positiva, mentre non è definita laddove Y1 è negativa.

Passaggio #7

Ecco il grafico della funzione di cui al passaggio precedente.

Passaggio #8

Inseriamo in Y3 la funzione rappresentata in verde nella figura a destra.

Questa funzione vale zero quando Y1 è positiva, mentre non è definita quando Y1 non è negativa.

Passaggio #9RETTE, EQUAZIONI E SISTEMI LINEARI CON LA CALCOLATRICE GRAFICA CASIO FX-CG 50 – E. Rogora

10

Ecco il grafico della funzione Y1 (in blue), Y2 (in rosso, il cui grafico sovrascrive il precedente dove coincidono) e Y3 (in verde). In rosso è riportata la parte positiva del grafico della funzione Y1; in blu la parte negativa; in verde gli intervalli sopra cui la funzione Y1 è positiva.

Passaggio #10

Deseleziona la funzione Y3.Seleziona in Y4, Type Y e inserisci Y3, come mostrato nella figura a fianco. Seleziona in Y5, Type Y= e inserisci Y3, come mostrato nella figura a fianco.

Passaggio #11

Ecco il grafico delle funzioni Y1, Y2, Y4 e Y5.

In questa figura sono evidenziati i tratti dove la funzione è positiva e sono indicati in nero gli intervalli dove è risolta l’equazione Y1>0 (gli estremi sono da prendere se la disequazione da studiare è Y10).

Passaggio #12

Per determinare, in maniera approssimata, gli estremi degli intervalli dove la disequazione è verificata, premi i tasti Lyql e muoviti con il cursore per determinarli tutti.

Modificando la funzione in Y1 e le impostazioni della finestra View Window possiamo studiare in maniera analoga tutte le disequazioni Y10 o Y1>0. Le modifiche per le disequazioni Y1<0, Y10 dovrebbero risultare evidenti.


4. Tabelle e grafici di funzioni di secondo grado

Passaggio #1

Dal menù principale (MAIN MENU) scegli la modalità Table (7).

Passaggio #2Inserisci la funzione x2 -3x+1.Dopo l’inserimento premi il tasto l.

Passaggio #3Dal menu delle funzioni seleziona la funzione SET con il tasto funzione y, che permette di accedere al menu Table Setting.Inserisci quindi il valore iniziale per la variabile indipendente, il valore finale e l’incremento. Nell’esempio si sono scelti i valorin33 0.3 rispettivamente che vanno, al solito, inseriti premendo il tasto l (9,5) alla fine.Passaggio #4Dopo essere usciti dal menu Table Setting premendo il tato d(3,4) entrare nel SET UP (2,1)+(2,4)=(2,4).

Verificare che l’opzione Dual Screen sia Off e tornare alla schermata principale della modalità Table premedo il tasto d (3,2).

Passaggio #5Premendo il tasto funzione u (1,6) attiva la funzione TABLE che ti permette di visualizzare la tabella dei valori della variabile indipendente X (prima colonna) e i


corrispondenti valori della variabile indipendente Y1 (seconda colonna), che sono ottenuti, nel nostro caso, applicando la funzione Y1= x2 -3x+1. Muovendoti con il cursore puoi sfogliare la tabella.

Le funzioni GPH-CON e GPH-PLT, attivabili con i tasti funzione y e u rispettivamente permettono di vedere il grafico continuo della funzione Y1 e il grafico dei punti le cui coordinate sono memorizzate nella tabella.

Passaggio #6

Inizializza la finestra grafica View Window, cui si accede premendo i tasti L4scegliendo i seguenti valori per le variabiliXmin: -3Xmax: 3Ymin: -2Ymax: 10Torna alla schermata del passaggio #5 premendo il tasto d.

Passaggio #7

Seleziona GPH-PLT premendo il tasto funzione u per avere il grafico mostrato nella figura a fianco.

Tale grafico può essere ulteriormente esplorato attivando la funzione Trace con il tasto q.

Passaggio #8

Il puntatore visualizzato con Trace può essere spostato sul grafico con il tasto cursore della calcolatrice. Accanto al punto su cui è posizionato il puntatore sono mostrate le sue coordinate, con la stessa approssimazione con cui appaiono nella tabella. Le coordinate sono riportate anche nell’ultima riga della finestra, con il numero di cifre decimali selezionate nelle opzioni di


lavoro della calcolatrice.

Passaggio #9È possibile visualizzare contemporaneamente la tabella e il grafico selezionando il valore T+G nell’opzione Dual Screen del SET UP (cfr. Passaggio #4).

6. Regressione quadratica

In questa sezione useremo la modalità Picture Plot per esplorare matematicamente un'immagine. Useremo l’immagine Arches.g3p.

All’immagine verrà sovrapposto un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, in modo che ad ogni pixel dell'immagine corrisponda una coppia di coordinate cartesiane. È possibile muoversi con il cursore sull'immagine e raccogliere le coordinate della posizione in cui viene a trovarsi il puntatore. Operando un'analisi di regressione delle coordinate raccolte si può sovrapporre all'immagine una parabola.

Passaggio #1

Dal Menù Principale (MAIN MENU) scegli la modalità Picture Plot (I).


Passaggio #2

Dal menù delle funzioni della schermata Pict, attivato con il tasto i, seleziona FILE e poi OPEN premendo il tasto cursore q.

Spostati con il cursore sulla cartella g3p e seleziona nuovamente OPEN premendo il tasto cursore q.

Spostati con il cursore sul file Arches.grp (che devi aver caricato precedentemente) e aprilo, selezionando il comando OPEN con il tasto cursore q.

Passaggio #3

Come suggerito nella parte superiore dello schermo, premi il tasto i (2,2) per attivare il menu delle funzioni.

Passaggio #4

Dal ricco menu, descritto nel manuale della calcolatrice, seleziona la funzione Plot premendo il tasto funzione w.

La funzione Plot ti permette di muovere RETTE, EQUAZIONI E SISTEMI LINEARI CON LA CALCOLATRICE GRAFICA CASIO FX-CG 50 – E. Rogora

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il puntatore con il cursore. Premendo il tasto l (9,5) la calcolatrice fissa la posizione del puntatore e acquisisce le sue coordinate.

Passaggio #5

Fissa alcuni punti di una delle curve che vedi nell’immagine. Se hai bisogno di eliminare l’ultimo punto fissato, usa la funzione UNDO che si attiva premendo la combinazione di tasti aP (3,1) + (6,4) = (6,4).

Quando hai selezionato una decina punti, termina la selezione premendo il tasto d (3,4).

Passaggio #6

Seleziona REG dal menu delle funzioni premendo la successione di tasti funzione uw.

(Il tasto u ti fa permette di sfogliare il menu delle funzioni passando dalla prima alla seconda schermata, come illustrato nelle figure a fianco.)

Passaggio #7

La funzione REG permette di scegliere, tra diversi modelli funzionali, la funzione che meglio approssima i punti selezionati, ovvero quella che minimizza gli scarti quadratici tra le ordinate dei punti selezionati e i valori previsti dal modello funzionale prescelto.

Premendo il tasto funzione e puoi scegliere di adattare ai punti selezionati ad una funzione quadratica.


Passaggio #8

Nella figura a destra vengono mostrati i risultati della regressione, ovvero i coefficienti a, b, c, d della curva

y=a ∙sin (bx+c )+dche meglio si adatta ai punti fissati.

Nota che i valori che avrai ottenuto saranno diversi da quelli mostrati nella figura a sinistra. Infatti, i punti che hai fissato tu non saranno esattamente quelli che abbiamo fissato noi.

I valori di MSe e r2 danno un’idea della bontà dell’approssimazione, ma non entriamo in questi dettagli.

Passaggio #9

Dalla schermata del Passaggio #8, che presenta i risultati della regressione, seleziona la funzione COPY premendo il tasto funzione y.

La funzione COPY apre la finestra Graph Func posizionandosi in corrispondenza della variabile Y1.

La figura a fianco può apparire diversa nel tuo caso perché diverse sono le funzioni presenti sulla tua calcolatrice.

Premendo il tasto l (9,5) la calcolatrice sostituisce il contenuto della variabile Y1 con la curva di regressione appena calcolata e torna alla schermata del Passaggio #8.

Per verificare che la copiatura sia andata a buon fine puoi ripetere l’esecuzione della funzione COPY. Questa volta vedrai l’equazione della parabola di regressione in corrispondenza della variabile Y1.

Passaggio #10

Dalla schermata del Passaggio #8 seleziona la funzione DRAW premendo il tasto funzione u.

La calcolatrice mostra l’immagine con i punti fissati e il grafico della curva di regressione.


Passaggio #11

Premendo nuovamente il tasto i (2,2) per attivare il menu delle funzioni puoi selezionare la funzione List premendo il tasto funzione e.

La calcolatrice ti mostrerà la tabella delle coordinate dei punti che hai fissato nel sistema di rifermento sovrapposto alla figura. Puoi salvare il valore delle coordinate nelle variabili di tipo Lista e fare ulteriori elaborazioni.

Rimandiamo al manuale della calcolatrice la descrizione delle altre funzioni disponibili nella modalità Picture Plot che permettono numerose attività didattiche di grande interesse.


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