Linee di TrasmissioneLinee di Trasmissione

+

-

V(z)

+

-

V(z+dz)

Rdz Ldz

GdzCdz

I(z) I(z+dz)

Essendo il tratto di linea di lunghezza infinitesima, possiamo approssimare al primo ordine ottenendo:

)z(dV)z(V)dzz(V)z(dI)z(I)dzz(I

+≅++≅+

Applicando le leggi di Kirchhoff alla rete in figura e supponendo di essere in regime armonico, si ottiene:

)z(Vdz)CjG()z(I)z(dI)z(I)z(Idz)LjR()z(V)z(dV)z(V

⋅⋅⋅+−=+⋅⋅⋅+−=+

ωω

)z(VY)z(V)CjG(dz

)z(dI

)z(IZ)z(I)LjR(dz

)z(dV

⋅−=⋅⋅+−=

⋅−=⋅⋅+−=

ω

ω

avendo definito

Si consideri un tratto di linea di lunghezza infinitesima dz caratterizzato dai quattro parametri primari:R , L , G , C

detti rispettivamente resistenza e induttanza (serie), conduttanza e capacità (parallelo) per unità di lunghezza della linea. Un tale tratto è rappresentabile con

)LjR(Z ⋅+= ω

)CjG(Y ⋅+= ω

Impedenza (serie) per unità di lunghezza della linea

Ammettenza (parallelo) per unità di lunghezza della linea

)z(I)z(IYZdz

)z(Id

)z(V)z(VYZdz

)z(Vd

22

2

22

2

⋅=⋅⋅=

⋅=⋅⋅=

γ

γ

avendo definito la Costante di Propagazione della linea γ :

22 )j()CjG()LjR(YZ βαωωγ +=⋅+⋅⋅+=⋅≡

Si ottengono le due soluzioni per V(z) e I(z) nella forma:

zz

zz

eIeI)z(I

eVeV)z(V⋅−⋅−+

⋅−⋅−+

⋅+⋅=

⋅+⋅=γγ

γγ

Le costanti di integrazione (V+, V- ) e (I+, I- ) non sono tra loro indipendenti; infatti :

)eVeV(Z1

dz)z(dV

Z1)z(I zz ⋅−⋅−+ ⋅⋅+⋅⋅−⋅−=⋅−= γγ γγ

da cui le soluzioni :

)eVeV(Z

)z(I

eVeV)z(V

zz

zz

⋅−⋅−+

⋅−⋅−+

⋅−⋅⋅=

⋅+⋅=

γγ

γγ

γ

Se si definisce l’Impedenza Caratteristica della linea, ZC come :

CjGLjR

YZZ

Y1ZC

C ⋅+⋅+

==≡≡ωω

γ

si ottiene, per la corrente lungo la linea, l’espressione:

)eVeV(Y)z(I zzC

⋅−⋅−+ ⋅−⋅⋅= γγ

Il sistema di equazioni precedente può essere posto nella forma (detta Equazione dei Telegrafisti):

Le due grandezze γ (Costante di Propagazione) e ZC (Impedenza Caratteristica) vengono denominate Costanti Secondarie della linea. Possiamo così caratterizzare una linea di trasmissione in base alle sue costanti primarie o alle sue costanti secondarie: in ogni caso una coppia di grandezze complesse.La soluzione, nel tempo ed in regime armonico, può essere posta nella forma:

[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )−+ +⋅+⋅⋅⋅++⋅−⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=⋅=⋅−⋅−+⋅+⋅⋅−⋅−⋅⋅−+

⋅⋅+−⋅+−+⋅⋅−⋅−+⋅

Vz

Vzztjzztjz

tjzjzjtjzztj

ztcoseVztcoseVeeVReeeVRe

eeVeVReeeVeVRee)z(VRe)t,z(V

ϕβωϕβω ααβωαβωα

ωβαβαωγγω

Le due parti della soluzione possono essere interpretate rispettivamente come onde di tensione viaggianti nella direzione +z e -z : infatti, per tenere la fase costante col passare del tempo, si deve viaggiare in un caso nella direzione delle zpositive, nell’altro delle z negative. Il Fattore di Attenuazione di entrambe è α (misurato in Neper/m o in dB/m). Considerando la sola parte progressiva (V+), la distanza che si deve percorrere per riottenere la stessa fase (per t fissato), cioè in un periodo spaziale, è definita come Lunghezza d’onda λ:

( )βπλλβπβ 22zz 12 =⇒⋅==−⋅

La Velocità di Fase, vph, ovvero la velocità alla quale si muove una superfice equifase, è data da:

βωβωβωϕ

=⇒=⋅−=⋅−= phph v0vdtdz

dtd

z

V+

z

V-

Particolarizzando la soluzione ottenuta al caso senza perdite, si ottiene:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅⋅==⇒ℑ∈⋅⋅=

ℜ∈=⇒==CL,0CLj

CLZ0GR C

ωβαωγ

Nel caso di strutture omogenee e senza perdite, con propagazione di tipo TEM (Transverse Electro-Magnetic), è possibile dimostrare (direttamente dalle equazioni di Maxwell) che si ha sempre:

εµωβγ ⋅⋅=⋅= jj

e quindi una velocità di fase costante e coincidente con la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel mezzo considerato:

tetancoscCL

11vph ==⋅

=⋅

==εµβ

ω

Quindi, se si vogliono variare le caratteristiche propagative di una linea, non se ne può variare liberamente la geometria: infatti, ciò varierebbe una delle due grandezze primarie (L o C) ma la rimanente varierebbe in modo inverso, mantenendo costante il prodotto. Si deve quindi variare separatamente L o C, aggiungendo ad esempio elementi concentrati opportunamente distanziati (pupinizzazione).

Supponiamo di considerare una linea di trasmissione di lunghezza finita l e di terminarla su un carico di impedenza ZL:

0-l

ZL

z

ZC, γZin

Il nostro scopo è determinare il valore dell’impedenza di ingresso Zin. Tensione e corrente sulla linea sono date da:

)eVeV(Y)z(I

eVeV)z(Vzz

C

zz

⋅−⋅−+

⋅−⋅−+

⋅−⋅⋅=

⋅+⋅=γγ

γγ

Con la scelta di coordinate effettuata, il carico impone che sia:

( ) ( )( ) LC ZZ

VVVV

0I0V0Z ≡⋅

−+

== −+

−+

Definendo il Coefficiente di Riflessione del Carico, Γ(0), il rapporto tra onda riflessa e incidente di tensione sul carico :

( ) tanormalizzaimpedenzaZZZ,

1Z1Z

ZZ1

ZZ1

VV0

C

LL

L

L

C

L

C

L

=≡+−

=+

−−== +

−

Γ

Coefficiente di riflessione Coefficiente di riflessione

All’ingresso della linea di trasmissione si avrà:

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )lsinhZlcosh

lcoshZlsinhZ

eeZeeeeZeeZ

eZ1eZ1eZ1eZ1Z

eVVe

eVVe

ZeVeVeVeVZ

lIlVlZ

L

LC

llL

ll

llL

ll

ClL

lL

lL

lL

Cll

ll

Cll

ll

C

⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅

⋅=

=−⋅+++⋅+−

⋅=⋅−+⋅+⋅−−⋅+

⋅=⋅−

⋅+⋅=

⋅−⋅⋅+⋅

⋅=−−

=−⋅−⋅⋅−⋅

⋅−⋅⋅−⋅

⋅−⋅

⋅−⋅

⋅−+

−⋅

⋅−+

−⋅

⋅−−⋅+

⋅−−⋅+

γγγγ

γγγγ

γγγγ

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ

Se si suppone che la linea sia senza perdite, ossia γ = jβ :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )ltanZjZ

ltanZjZZltanZj1

ltanjZZlsinZjlcoslcosZlsinjZ

eeZeeeeZeeZlZZ

LC

CLC

L

LC

L

LCljlj

Lljlj

ljljL

ljlj

Cin ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅+

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅=−⋅+++⋅+−

⋅=−=⋅−⋅⋅−⋅

⋅−⋅⋅−⋅

ββ

ββ

ββββ

ββββ

ββββ

Ossia:

( )( )ltanZjZ

ltanZjZZZ

LC

CLCin ⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+⋅=

ββ

Consideriamo ora dei casi notevoli per l’espressione precedente

A - Se la lunghezza del tratto di linea è pari ad un multiplo di λ/2, ossia se si ha:

ℑ∈⋅= k2

k,,,2

,0l λλλ … Lin ZZ =

Quindi, aggiungendo un tratto di linea di lunghezza multipla di λ/2, se la linea è senza perdite, non si cambia l’impedenza di ingresso. Ovviamente, visto che la lunghezza d’onda è funzione della frequenza, questo è valido ad una frequenza singola.

B - Se la lunghezza del tratto di linea è un multiplo dispari di λ/4, ossia se:

ℑ∈⋅+⋅

⋅⋅= kkl λλλλ4

12,,45,

43,

4…

Lin

L

2C

in Z1Zossia

ZZ

Z ==

C - Se il carico è un cortocircuito (ZL = 0):

( )ltanZjZ Cin ⋅⋅⋅= β

L’impedenza di ingresso è dunque puramente reattiva ed ha l’andamento della tangente:

l

λ/4λ/2

3λ/4λ/2

λ

X

Il medesimo comportamento si ottiene se l’impedenza di carico è un circuito aperto (ZL =∞ ), caso nel quale si ha:

( )lancotZjZ Cin ⋅⋅⋅−= β

D - Se l’impedenza di carico è pari all’impedenza caratteristica della linea, ossia se:

CL ZZ = lZZ Cin ∀≡

In tale caso la linea è detta “adattata” sulla sua impedenza caratteristica. Non esiste in questo caso un’onda riflessa:

( ) 0V01111

VV0 =⇒=

+−

−== −+

−

Γ

E’ possibile definire un Coefficiente di Riflessione lungo la linea Γ(z) come il rapporto tra onda di tensione riflessa e diretta alla sezione z :

( ) ( ) zj2zj

zj

e0eVeVz ⋅

⋅−+

⋅−

⋅=⋅⋅

= ββ

β

ΓΓ

Si noti che nel caso senza perdite cui si riferisce l’espressione sopra, il modulo del coefficiente di riflessione è costante lungo la linea (dipende soltanto da quello del carico) mentre la fase varia. In generale rimane valida la coppia di relazioni:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )z1z1ZzZ

ZzZZzZ

z CC

C

ΓΓΓ

−+

⋅=⇔+−

=

Cerchiamo ora di determinare la potenza assorbita e quella riflessa dal carico. Queste ultime possono essere espresse in funzione della potenza incidente e del coefficiente di riflessione del carico (si suppone ZC reale):

C

2

*C

*incincinc Z2

V

ZVVRe

21IVRe

21IVRe

21P

**

⋅=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=++

+++

2Linc

C

2L

2

C

2

*reflreflrefl P

Z2

V

Z2

VIVRe

21IVRe

21P

*Γ

Γ⋅=

⋅

⋅=

⋅=⋅⋅=⋅⋅=

+−−−

( ) inc2

Lreflincabs P1PPP ⋅−=−= Γ

La Perdita di Ritorno (Return Loss) è definita come il rapporto (di solito espresso in decibel) tra potenza incidente e riflessa:

0log20PP

log10RL Lrefl

incdB >⋅−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅= Γ

Per una linea terminata con un carico ZL non adattato (cioè di valore diverso da ZC), esistono quindi onde riflesse che interferiscono con quelle incidenti a formare una configurazione di onde stazionarie lungo la linea. Infatti, se si considera la tensione lungo la linea si ha:

( ) ( )zj2L

zjzjzj e1eVeVeVzV ⋅⋅−+⋅−⋅−+ ⋅+⋅⋅=⋅+⋅= ββββ Γ

Se si considera e si calcola il modulo della tensione, si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

212

L2

L

21

L2

L

2122L

2LLL

z2jL

2zsin41Vz2cos21V

z2sinz2cos1Vz2sinjz2cos1Ve1VzV

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅−+⋅=+⋅⋅⋅++⋅=

=+⋅⋅++⋅⋅+⋅=+⋅⋅++⋅⋅+⋅=⋅+⋅=

++

+++⋅+

ϕβΓΓϕβΓΓ

ϕβΓϕβΓϕβΓϕβΓΓ ϕβ

ϕΓΓ jLL e⋅=

Quindi |V(z)| è una funzione periodica che oscilla tra un valore massimo (quando βz+ϕ/2=nπ) ed un valore minimo (quando βz+ϕ/2 = m π - π /2):

( )Lmax1VV Γ+⋅= + ( )Lmin

1VV Γ−⋅= +

Tale funzione si ripete con periodicità2

z λπβ ⇒=⋅

Il Rapporto di Onda Stazionaria in Tensione (ROS o Voltage Standing Wave Ratio, VSWR), è definito come il rapporto tra tensione massima e minima sulla linea:

L

L

min

max

11

VV

VSWRΓΓ

−

+=≡

1VSWR1VSWR

L +−

=Γ

Carta di Smith Carta di Smith

Le relazioni trovate consentono di trasformare il piano complesso della variabile Z=R+jX in quello della variabile Γ = Γr+jΓi e viceversa. Determiniamo, in particolare, le caratteristiche della prima trasformazione da Z a Γ; consideriamo i luoghi dei punti (rette) a resistenza costante e vediamo come vengono trasformati nel piano della variabile Γ. Si ottiene:

tcosRR ==C

Cir ZjXR

ZjXRj

++−+

=+= ΓΓΓ

Supponendo, senza perdita di generalità, ZC puramente reale e normalizzando le impedenze a tale ZC si ottiene:

( ) ( ) 2222

22

irX1R

X2jX1R

X1RXj1RXj1Rj

++

⋅+

++

+−=

+++−

=+ ΓΓ ossia: ( ) ( ) 22i22

22

rX1R

X2

X1R

X1R

++

⋅=

++

+−= ΓΓ

Se dalle equazioni precedenti si elimina il parametro X, si ottiene la famiglia di cerchi, con parametro R, descritti dall’equazione seguente:

R1R1

R1R2

r2

i2

r +−

=⋅+⋅

−+ ΓΓΓ

ZX

R

R = 0 R = 1

R = 2

Γi

Γr

Γ

1-1

1

-1

Si noti che il semipiano R > 0, corrispondente ai carichi passivi, viene trasformato nel cerchio di circonferenza | Γ| = 1centrato nell’origine (cerchio unitario) del piano Γ. Ciò è naturale, visto che per carichi passivi l’onda riflessa deve essere sempre minore in modulo di quella incidente. Per R∈(-1,0) i cerchi corrispondenti contengono il cerchio unitario, rimanendo tra loro tangenti nel punto (1,0). Per R = -1 l’equazione della circonferenza degenera nella retta Γr = 1. Infine, per R < -1 le circonferenze, sempre tangenti nel punto (1,0), hanno centro nel semipiano Γr > 1.Se si considerano ora nel piano Z i luoghi (rette) caratterizzati da:

tcosXX ==nel piano Γ, eliminando la variabile R come nel caso precedente, si ottiene la famiglia di circonferenze con parametro Xdescritta dall’equazione:

1X

22 i

r2

i2

r −=⋅

−⋅−+Γ

ΓΓΓ

Tali circonferenze, con centro sulla retta Γr = 1, sono tra loro tangenti nel punto (1,0) e giacciono nel semipiano Γi > 0 per X > 0 (impedenze induttive) o nel semipiano Γi < 0 per X < 0 (impedenze capacitive); per X = 0 la circonferenza degenera nell’asse Γi = 0:

ZX

R

X = 0

X = 1X = 2

Γi

Γr

Γ

1

1

-1X =- 1

X = -2

La trattazione precedentemente effettuata sulle trasformazioni dal piano Z al piano Γ è alla base di uno degli strumenti maggiormente utilizzati per lo studio di circuiti a costanti distribuite: la Carta (o Abaco) di Smith. Tale carta non è altro che il cerchio unitario del piano e rappresenta quindi tutte le impedenze a parte reale positiva, corrispondenti a carichi passivi. Nella carta sono indicati i luoghi di punti (tratti di circonferenze) a valore di resistenza o reattanza costante, cosìcome derivabili dai calcoli precedentemente effettuati.

Γr

Γi

A B C

Dalla figura è possibile riconoscere alcuni punti notevoli: il punto (-1,0) (indicato con A) corrisponde al cortocircuito, il punto (0,0) all’impedenza di normalizzazione (ZC, punto B), mentre il punto C in figura (1,0) corrisponde al circuito aperto. E’ da tenere presente che l’impedenza di normalizzazione, in applicazioni a frequenze superiori al centinaio di MHz, viene di solito scelta pari a 50 Ω (puramente reale). La relazione che consente di passare dal piano della variabile impedenza a quello della variabile coefficiente di riflessione, può anche essere scritta in termini di ammettenza:

( ) ( )( )

( )

( )

( )( )zYYzYY

Y1

zY1

Y1

zY1

ZzZZzZ

zC

C

C

C

C

C

+−

=+

−=

+−

=Γ

Si può facilmente notare che la dipendenza funzionale èpressochè identica, ad eccezione che per il segno del numeratore. Per ottenere quindi la Carta di Smith relativa alle ammettenze, basterà effettuare una trasformazione di simmetria rispetto all’origine della carta relativa alle impedenze. In tale carta, le ammettenze di tipo capacitivo (con parte immaginaria, o suscettanza positiva) occupano il semipiano Γi < 0 mentre quelle di tipo induttivo (con suscettanza negativa) occupano il semipiano Γi > 0.

Γr

Γi

A B C

Le due carte (delle impedenze e delle ammettenze) vengono talvolta utilizzate insieme, sovrapponendole come in figura.Dalla definizione di Coefficiente di riflessione lungo la linea:

( ) ( ) zj2L

zj2zj

zj

ee0eVeVz ⋅⋅

⋅−+

⋅−

⋅=⋅=⋅⋅

= βββ

β

ΓΓΓ

Se il sistema di riferimento viene cambiato invertendo il verso dell’asse z, ossia considerando lunghezze positive se ci si allontana dal carico, si ottiene:

( ) zj2L ez ⋅−⋅= βΓΓ

Se, per maggiore generalità, si considera il caso con perdite, l’espressione precedente diventa:

( ) zj2z2L eez ⋅−⋅− ⋅⋅= βαΓΓ

Quindi, se si aggiunge una linea (di impedenza caratteristica pari a quella di normalizzazione) in serie ad un carico di coefficiente di riflessione ΓL , il coefficiente di riflessione risultante avrà un modulo ridotto del fattore di attenuazione ed una fase che ruota in senso orario nel piano Γ. Nel caso senza perdite, questo corrisponde ad una rotazione in senso orario lungo una circonferenza di modulo ΓL, centrata nell’origine (ZC). Si noti che la lunghezza elettrica della linea che consente di effettuare una circonferenza completa vale π, e quindi una lunghezza fisica di λ/2. Per facilitare l’individuazione delle rotazioni di fase conseguenti all’introduzione di una linea, spesso sulla carta di Smith viene aggiunta una scala graduata esterna, normalizzata in frazioni di lunghezza d’onda.

0

10

20

30

40

50

60

70

8090

100

110

120

130

140

150

160

-1

0

-20

-30

-40

-50

-60

-70

-80-90-100

-110

-120

-130

-140

-150

-160

00

.0

1

0.

02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0.110.12 0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.23

0.

24

0.

25

0.

26

0.

27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.360.370.38

0.39

0.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.4

8

0.

49

00

.0

10

.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.100.11 0.12 0.13

0.140.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.

23

0.

24

0.

25

0.

26

0.

27

0.28

0.29

0.30

0.31

0.32

0.33

0.34

0.350.360.370.38

0.390.40

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.

48

0.

49

WA

VE

LE

NG

HT

S

WAVE

LENG

HTS

TO

WA

RD

TOWA

RDGE

NERA

TOR

LO

AD

502010

54321.

8

1.

6

1.

4

1.

2

10.

9

0.

8

0.

7

0.

6

0.

5

0.

4

0.

3

0.

2

0.

1

20

10 5 4 3 2 1.

8

1.

6

1.

4

1.

2

1 0.

9

0.

8

0.

7

0.

6

0.

5

0.

4

0.

3

0.

2

0.

1

50

1

0.8

0.6

0.4

0.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

11.

21.4

1.6

1.8

2

4

5

10

20

5050

20

10

5

4

3

2

1.8

1.6

1.4 1.

2 1

0.

9 0.

8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.10.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.

80.

9

3

50

20

10

5

4

3

2

1.8

1.6

1.41

.21

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 0.

8 0.

9

50

20

10

5

4

3

2

1.8

1.6

1.4

1.

2

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.

9

0.1

0.8

0.6

0.4

0.20.2

0.4

0.6

0.8

11

ss

pp+X

-X +

B-

B

E’ utile, allo scopo di individuare la natura (e quindi la costituzione) di circuiti in fase di misura, determinare il comportamento in frequenza di semplici connessioni tra elementi concentrati (f1 << f2):

CircuitoR-C serie

f1

f2

CircuitoR-L serie

f1

f2

CircuitoR-C parall.

f1

f2

CircuitoR-L parall.

f1

f2

Linea ditrasmissionecon ZC = Z0terminata su

ZL ≠ Z0

f1

f2

CircuitoRLC serie

f1

f2

CircuitoRLC parall.

f1

f2

Una rete lineare e tempo invariante 2-porte ammette normalmente una rappresentazione matriciale che può essere di diversi tipi. Data la rete 2-porte rappresentata in figura:

I1 I2

V1 V2

Sono possibili diverse rappresentazioni, tra cui:A - Matrice delle ammettenze di Corto Circuito [Y]: si ottiene cortocircuitando le porte opportune per ciascun parametro, considerando le tensioni come grandezze applicate e le correnti come grandezze risultanti:

VYVV

yyyy

II

I2

1

2221

1211

2

1 ⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0V2

222

0V1

221

0V2

112

0V1

111

12

12

VIy,

VIy

VIy,

VIy

==

==

==

==

B - Matrice delle impedenze a vuoto [Z]: si ottiene aprendo le porte opportune per ciascun parametro, considerando le correnti come grandezze applicate e le tensioni come grandezze risultanti:

IZII

zzzz

VV

V2

1

2221

1211

2

1 ⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0I2

222

0I1

221

0I2

112

0I1

111

12

12

IVz,

IVz

IVz,

IVz

==

==

==

==

C - Matrice di Trasmissione o ABCD: si ottiene aprendo o cortocircuitando la porta di uscita e considerando le grandezze alla seconda porta come applicate e quelle alla prima porta come grandezze risultanti:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

2

1

1

IV

DCBA

IV

0V2

1

0I2

1

0V2

1

0I2

1

22

22

IID,

VIC

IVB,

VVA

==−

==−

−==

−==

Rappresentazioni delle reti lineari e Parametri di Scattering Rappresentazioni delle reti lineari e Parametri di Scattering

Esistono altri tipi di rappresentazione (ad es. matrice H, matrice di trasmissione inversa). Si può passare da una rappresentazione all’altra con semplici equivalenze, a meno che la matrice di partenza non sia singolare, nel qual caso non tutte le rappresentazioni sono possibili. Si noti che la matrice ABCD è particolarmente utile in quanto consente di ottenere immediatamente la matrice di più reti 2-porte connesse in cascata semplicemente effettuando il prodotto delle matrici relative alle singole reti 2-porte. Inoltre la matrice ABCD ha le seguenti proprietà:

1 - Se il circuito è simmetrico, A = D2 - Se il circuito è reciproco AD - BC = 13 - Se il circuito è senza perdite, A,D∈ℜ , B,C ∈ℑ

Inoltre, la rappresentazione in termini di matrice ABCD esiste sempre (così non è per le rappresentazioni [Z] e [Y]). Calcoliamo, a titolo di esempio, la matrice ABCD di alcune reti semplici:

A - Impedenza serie:

I1 I2

V1 V2

Z

1I

ID,0VIC

ZI

VB,1VVA

0V2

1

0I2

1

0V2

1

0I2

1

22

22

=−

===

=−

===

==−

==−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡10Z1

DCBA

B - Ammettenza parallelo :

I1 I2

V1 V2Y1

IID,Y

VIC

0I

VB,1VVA

0V2

1

0I2

1

0V2

1

0I2

1

22

22

=−

===

=−

===

==−

==− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1Y01

DCBA

C - Cella a “L”

I1 I2

V1 V2Y

Z

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1YZYZ1

1Y01

10Z1

DCBA

D - Tratto di Linea di trasmissione senza perdite

I1 I2

V1 V2

ZC, l

( ) ( )

( ) ( )lcosIlsinVZ

jeII

lsinIjZlcosVeVV

22C

lj21

2C2lj

21

⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅−=

⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅=

⋅

⋅

ββ

ββ

β

β ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡lcoslsin

Zj

lsinjZlcos

DCBA

C

C

ββ

ββ

Le rappresentazioni delle reti 2-porte lineari sin qui viste non sono direttamente misurabili a frequenze maggiori di qualche centinaio di MHz. Si presentano infatti diversi problemi:

1 - Per misurare i parametri [Z] o [Y] è necessario, in base alla definizione, misurare tensioni a vuoto o correnti di cortocircuito, spesso ai capi di dispositivi di dimensioni molto piccole (dell’ordine di qualche centinaio di micron). Ciò comporta, viste le frequenze in gioco, l’impossibilità di imporre direttamente tali tipi di chiusure: imporle a qualche distanza dal piano di riferimento del dispositivo significherebbe poi imporre un carico di tipo reattivo e non delle terminazioni ideali (inserzione di una linea di trasmissione tra la terminazione e il dispositivo da misurare).

2 - In un circuito a microonde tensioni e correnti variano molto rapidamente attraversando il circuito stesso, in virtù delle dimensioni ridotte, comparabili con la lunghezza d’onda del segnale: diventa quindi poco significativo misurare tensione o corrente separatamente, ma si preferisce misurare grandezze legate ad una combinazione delle due (potenza) e che non variano significativamente lungo una linea.

3 - Nella misura di dispositivi attivi, le condizioni di cortocircuito o circuito aperto corrispondono spesso a zone di potenziale instabilità dei dispositivi e quindi questi ultimi non sarebbero misurabili.

Per ovviare a questi problemi, per la caratterizzazione di reti a microonde si utilizzano parametri legati alle onde (di tensione e di corrente) incidenti e riflesse che si propagano nel circuito da misurare. Il coefficiente di riflessione è stato precedentemente introdotto come il rapporto tra onde di tensione riflessa e incidente. In base a tale definizione, il coefficiente di riflessione sarebbe univocamente legato alla sola onda di tensione: si potrebbe analogamente definire un coefficiente di riflessione legato al rapporto delle onde di corrente. Per generalizzare tale definizione, si può utilizzare la seguente:

IZVIZV

ab

0

0

⋅+⋅−

=≡Γ

relativa ad un’onda incidente e riflessa espresse come combinazione lineare di V e I:

0

0

0

0

Z2IZV

bZ2

IZVa

⋅

⋅−≡

⋅

⋅+≡

Si noti che, con questa definizione, onda incidente e riflessa hanno entrambi le dimensioni di [W½ ], in modo tale che il loro quadrato abbia le dimensioni di una potenza. Indipendentemente dalla definizione adottata, il concetto di coefficiente di riflessione può essere esteso al caso multiporta in maniera molto semplice: si consideri la rete 2-porte di figura: a1 a2

b1 b2[S]

Alle due porte incidono due onde a1 e a2 e da esse vengono riflesse b1 e b2. Prendendo come variabili indipendenti le onde incidenti e come dipendenti le riflesse, la descrizione della rete risultante è del tipo:

[ ] [ ] [ ]aSaa

SSSS

bb

b2

1

2221

1211

2

1 ⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

La matrice risultante viene denominata Matrice di Diffusione o Scattering. Come si può notare dalla definizione di onde incidenti e riflesse, per la misura di tale rappresentazione deve essere introdotta un’impedenza di normalizzazione Z0(che può anche essere differente per le due porte). Dalla rappresentazione introdotta si ha:

0a2

222

0a1

221

0a2

112

0a1

111

12

12

abS

abS

abS,

abS

==

==

==

==

Quindi, per ottenere il coefficiente Sij bisognerà annullare l’onda incidente alla porta opportuna, ossia chiuderla su un carico adattato: ciò è equivalente a terminarla sull’impedenza di normalizzazione Z0. Nel caso di circuiti con un numero di porte superiore a due, la definizione è immediatamente estendibile.Per la matrice di scattering valgono le seguenti proprietà:

1 - Per una rete reciproca, Sij = Sji2 - Per una rete passiva, |Sij|≤ 13 - Per una rete reciproca e senza perdite: ∑

=

=∀=n

1i

2ij n1j1S …