Tor Vergata M. Salerno Trifase 1 Trasmissione dellenergia elettrica Schema di principio VgVg +...

Tor Vergata

M. Salerno 1Trifase

Trasmissione dell’energia elettricaSchema di principio

Vg

+caricolinea di trasmissione

Effetti della linea di trasmissione 1. dissipazione di energia2. caduta di tensione

Schema equivalente della linea

jX R

R resistenza di linea

R dipende dalla lunghezza, dalla sezione dei conduttori e dal materiale utilizzato

Xreattanza di linea

X dipende dalla lunghezza e dalla disposizione dei conduttori ( X = L )

jX R

jX R

1. Dissipazione di energia

I

PaL = R | I |2Potenza attiva dissipata in linea

| I | = I = Ieff2

Si ricordi che

= R I 2 = 2 R Ieff 2 [W ]La potenza dissipata provoca riscaldamento dei conduttori e aggravio nei costi di gestione.

La potenza dissipata viene limitata diminuendo R (conduttori in rame, alluminio, aumento della sezione) e diminuendo l’intensità della corrente di linea.

Vb Va

+ +

2. Caduta di tensione

Va

Vb

VR

VX

I

Si ricordi chePaC = Veff I eff cos potenza attiva sul carico

QC = Veff I eff sin potenza reattiva sul carico

Va Vb

V

V / V = (2R V I cos + 2X V I sin ) / V2

= (2R PaC + 2X QC ) / Veff2

V V b V a VR cos + VX

sin = 2R I cos + 2X I sin

2. Caduta percentuale di tensione

V / V = (2R PaC + 2X QC ) / Veff2

Il termine RPaC è prevalente rispetto al termine XQC nelle linee in cavo e per alti fattori di potenza.

Eccessive cadute di tensione possono provocare malfunzionamenti sul carico.

La caduta di tensione viene limitata diminuendo R e X, e aumentando la tensione di linea.

Tor Vergata

M. Salerno 2Trifase

Uso dei trasformatori nella trasmissione dell’energia elettrica

Trasmissione dell’energia elettrica

Vg

+carico

tensioni e correnti in valori efficaci

Nelle applicazioni Vg qualche decina di kV, Vl qualche centinaio di kV, Vu qualche centinaio di V

Rg Rl Ru

1:n m:1

generazione trasmissione utilizzazione

Vl

+

Vu

+

(1/m) Vl = Vun Vg = Vl

Il

Ig Iu

(1/n) Ig = Il m Il = Iu

Dal teorema di Thévenin

L

n Vg

+ n2 Rg + Rl

L

M

(n/m)Vg

+ (n2 /m2 ) Rg +(1 /m2 ) Rl + Ru

M

Le elevate tensioni e le (relativamente) basse correnti in linea permettono la trasmissione di energia elettrica a grande distanza, limitando le perdite di energia e le cadute di tensioneLe tensioni del generatore sono fissate da esigenze costruttiveLe tensioni del carico sono fissate da esigenze d’uso e di sicurezzaI trasformatori reali utilizzati sono dispositivi ad altissimo rendimento energetico ( > 99 %)

Tor Vergata

M. Salerno 3Trifase

Sistema monofase

Trasmissione dell’energia elettrica

Vg

+carico

Vg

+carico

Vg

+carico

RR

RR

RR

Ieff

Ieff

Ieff

Potenza attiva totale utile (RC resistenza di carico)

PaC = 3 RC Ieff2

Potenza attiva totale dissipata (R resistenza di un conduttore di linea) PaL = 6 R Ieff

2

Conduttore comune ai tre circuiti

FASE A

FASE B

FASE C

NEUTRO

Notazione: FASE A FASE B FASE C NEUTRO

Sistema trifase a quattro fili

Correnti e tensioni di fase

IA

IB

IC

VgA

VgB

VgC

Moduli: IA = IB = IC (= I )[ IeffA = IeffB = IeffC (= Ieff ) ]

Corrente di neutro: IN = IA + IB + IC

IN

Circuito trifase equilibrato IN = IA + IB + IC = 0

IA

IB IC

= 0

PaC = 3 RC Ieff2 ; PaL = 3 R Ieff

2

A parità di potenza utile, in un sistema trifase equilibrato è dissipata metà potenza in linea rispetto a un sistema monofase

Poiché IN = 0 , il conduttore di neutro in linea può essere eliminato

Sistema trifase a tre fili

Tor Vergata

M. Salerno 4Trifase

Sistemi trifaseSistema trifase di trasmissione dell’energia elettrica

A

B

C

linea trifase a tre fili

IA

IB

IC

generatore trifase

carico trifase

EA

EBEC

+

++

Ng

Generatore in connessione a stella

Ng neutro del

generatore

EA , EB , EC tensioni stellate EA

EB EC

Ng

A

BC

sistema trifase simmetrico

Nc neutro del

carico

ZCZB

ZA

Nc

Carico in connessione a stella

ZCAZAB

ZBC

Carico in connessione a

triangolo

VAB

VBC

VCA

+

+

+

Generatore in connessione a

triangolo

VAB , VBC , VCA tensioni

concatenate

VAB

VBC

VCA

VAB = VBC = VCA = V

EA = EB = EC = E

V = 3 E

Tor Vergata

M. Salerno 5Trifase

Trasformatore trifaseA

B

C

generatore trifase

carico trifase

A’

B’

C’

Tre trasformatori identici di rapporto

m:n

V1

V2

m:n

V1 V2

+ + EA

EB

EC

A

BC

A’

B’C’EA = EB = EC = E

EA’ = EB’ = EC’ = E’

E / E’ = m / n

Y - YConnessione stella / stella

Connessione stella / triangolo

Y -

VA’B’ = VB’C’ = VC’A’ = V’

E / V’ = m / n

E / E’ = 3 m / n

EA = EB = EC = E

EA

EB

EC

A

BC

A’

B’C’

Connessione triangolo / triangolo

-

VA’B’ = VB’C’ = VC’A’ = V’

V / V’ = m / n

E / E’ = m / n

VAB = VBC = VCA = V

B

EA

EB

EC

A

C

A’

B’C’

Connessione triangolo / stella

- Y

EA’ = EB’ = EC’ = E’

V / E’ = m / n

E / E’ = m /( 3 n)

VAB = VBC = VCA = V

B

EA

EB

EC

A

C

A’

B’

C’

Tor Vergata

M. Salerno 6Trifase

Autotrasformatore monofase

Autotrasformatore trifaseA

B

C

generatore trifase

carico trifase

m:n

V1 V2

+ + V2 / V1 = n / m

Vb = Va (m+n) / m

Va Vb

Va = V1

Vb = V1 + V2

m:n

V1 V2

+ + V2 / V1 = n / m

Va Vb

Va = V1

Vb = V1 - V2

Vb = Va (m-n) / m

L’autotrasformatore è conveniente per rapporti di trasformazione (m+n)/m non molto diversi da uno (m > n).

Per contro, i circuiti primario e secondario non sono disaccoppiati, ma hanno un terminale in comune

A’

B’

C’

E’ = E (m+n) / m

Tor Vergata

M. Salerno 7Trifase

Esempio

Trasmissione e distribuzioneComponenti e simbologia

380 kV132 kV20 kV

380 V

trasmissione in AT

distribuzione in ATdistribuzione in MT

distribuzione in BT

AT : alta tensione; MT : media tensione; BT : bassa tensione

linee trifasi: tensioni concatenatevalori efficaci

Autotrasformatoretrifase 380 / 132 kV

Trasformatore trifase 132 / 20 kV Trasformatore trifase

20 / 0.38 kV

utenti380 V

20 kV

132 kV

380 kV

La rete di trasmissione in AT è alimentata da un insieme di generatori trifase (alternatori), per mezzo di trasformatori elevatori di tensione

Le reti di trasmissione e distribuzione sono realizzate in modo da permettere connessioni multiple o di emergenza.Componenti specifici (interruttori, sezionatori) permettono di connettere o disconnettere sezioni di rete in AT, MT e BT.

Organi particolari permettono di compensare le cadute di tensione in linea, per garantire la costanza della tensione d’utente entro i margini consentiti.Condensatori di rifasamento sono inseribili in vari punti critici della rete.

La frequenza dell’intero sistema è fissa ( p. es. 50 Hz in Italia, 60 Hz negli U.S.A. )

La rete di distribuzione in BT è di norma trifase a quattro fili.

Le utenze in BT si distinguono in utenze trifase (laboratori, officine, ecc.) e utenze monofase (utenze domestiche)

Sono in esercizio due sistemi standard:

Sistema 380 Veff concatenata / 220 Veff stellata (220 380 /1.73) : alle utenze monofase è assegnata la tensione stellata a 220 Veff (fra una fase e il neutro)

Sistema 220 Veff concatenata / 127 Veff stellata (127 220 /1.73) : alle utenze monofase è assegnata la tensione concatenata a 220 Veff (fra due fasi) e (eventualmente) la tensione stellata a 127 Veff (fra una fase e il neutro)Il sistema 220 / 127 è in fase di dismissione

Tor Vergata

M. Salerno 8Trifase

Sistemi trifase: notazioniA

B

C

generatore trifase

carico trifase

VAB

VBC

+

+ VCA+

tensioni concatenate : Vhk , con hk = AB, BC, CA

Vhk = 0 (somma per tutte le possibili coppie hk)

N

EA+

+

+

EB

EC

tensioni stellate : Ek , con k = A, B, C

Vhk = Eh - Ek , per ogni hk

IA

IB

IC

correnti di fase : Ik , con k = A, B, C

Ik = 0 (somma per tutti i k) : trifase a tre fili

Ik = IN (somma per tutti i k) : trifase a quattro

fili

IN

Tor Vergata

M. Salerno 9Trifase

Sistema trifase a tre filiA

B

C

generatore trifase

ZCZB

ZA

Identificazione del sistemaMisura delle ampiezze(o dei valori efficaci)

delle tensioni concatenateVAB , VBC , VCA

VCA

VBC

VAB

VCA

VBC

VAB

B

C A

Identificazione delle tensioni stellate EA , EB , EC

Si scelga un punto arbitrario nel piano dei fasori, come punto neutro Ng dei generatori(si può scegliere uno dei centri del triangolo delle tensioni concatenate)(si può anche scegliere uno dei punti A, B, C)

VCA

VBC VAB

B

C A

Identificati i fasori VAB , VBC , VCAIdentificati i fasori EA , EB , EC

EC

EB

EA

B

C A

Ng

EA

EBEC

+

++

Ng

Scelte arbitrarie nella identificazione dei fasori delle tensioni stellate

I fasori delle tensioni sono identificati a meno

di una arbitraria rotazione di fase

EC

EB

EA

B

C

A Ng

Sequenza diretta

delle fasi

A B

C

EC

EB

EA

B

C A

NgEC

EB

EA

B

C A

NgSequenza inversa

delle fasi

A

B

C rotazione arbitraria di fase

ordine della sequenza delle fasi (diretta o inversa)

posizione del neutro dei generatori nel piano dei fasori

Ng

Calcolo delle tensioni sul carico

Yk = 1 / Zk ammettenze di carico

NC neutro del carico

NC

Yk (ENc -Ek) = 0

ENc = Y

k

YkEk

ENc tensione del neutro del carico

rispetto al neutro dei generatori

ENc+

B

C A

Ng

NC

ENc

EC

EB

EA

Dato il triangolo ABC, la posizione del punto NC è invariante rispetto alla scelta arbitraria del punto Ng Infatti, per ogni Ex, si ha:

Ex

Ex arbitrario

Ek = Ex + E’k , k = A, B, C E’B

E’C E’A

ENc = [Yk(Ex+E’k)]/( Yk) =Ex+ Yk E’k/( Yk) =Ex + E’Nc

E’Nc

B

C A

Ng

NC

ENc

EC

EB

EA

EZb

EZc

EZa

EZk ZK

NC

+

EZk = Ek - ENc

Calcolo delle correnti di fase e della potenza assorbita dal carico

Ik = Yk EZk k = A , B , C

IA

IB

IC

Pa = k Re [Yk] Eeff Zk2

Qk = - k Im [Yk] Eeff Zk2

potenza attiva totale

potenza reattiva totale

ENc = 0

Condizioni di equilibrio e simmetria

YA = YB = YC = Y

condizioni di equilibrio ENc = (EA+EB+EC) / 3

EA + EB + EC = 0condizioni di

simmetria

B

C A

EC = EZc EA = EZa

ENc = 0

VAB = VBC = VCA

NC

Ng

EB = EZb

sistema trifase simmetrico ed equilibrato

Tor Vergata

M. Salerno 10Trifase

EA

EBEC

+

++ZCZB

ZA

carico a stella

EA

EBEC

+

++

carico a triangolo

ZAB

ZBC

ZCA

Trasformazione stella triangolo

ENc +

ENc = [YkEk ] / Yk

Yk= 1 / Zk ;Yhk= 1 / Zhk

Si ponga EB = EC = 0 (generatori di tensione disattivati)

Calcolo di IB

IB IB

IB = YAB EA

in ZBC non scorre corrente, perché ZBC è in corto circuito

ENc = [YA/ Yk ] EA IB = YB ENc = [YAYB/ Yk ]

EA

EA

EB = 0EC= 0

+EA

EB = 0EC= 0

+

YAB = YAYB/ Yk

YBC = YBYC/ Yk per rotazione degli indici YCA = YCYA/ Yk

Yhk= 1 / Zhk

ZCZB

ZA

carico a stella

A

B

C carico a triangolo

ZAB

ZBC

ZCA

A

B C

Yk= 1 / Zk

YAB = YAYB/ Yk

YBC = YBYC/ Yk

YCA = YCYA/ Yk ZA = ZABZCA/ Zhk

ZB = ZABZBC/ Zhk

ZC = ZBCZCA/ Zhk

Trasformazione inversaZAB = Yk / YAYB

ZCA = Yk / YCYA

ZBC = Yk / YBYC Zhk = Yk [1/(YAYB )+1/(YBYC ) +1/(YCYA )] = [ Yk /(YAYB )] [1+ YA /YC + YB /YC]Sommando membro a membro

= ZAB [(YA+YB+YC ) / YC ] = ZAB [Yk / (YCYA )] YA = ZAB ZCA YA

ZA = ZAB ZCA Zhk ZB = ZAB ZBC Zhk ZC = ZBC ZCA Zhk

per rotazione degli indici

Tor Vergata


Ipotesi: Le impedenze Zhk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento

Stella / triangolo: proprietà

ZCZB

ZA

carico a stella

A

B

C carico a triangolo

ZAB

ZBC

ZCA

A

B C

ZA = ZABZCA/ Zhk

ZB = ZABZBC/ Zhk

ZC = ZBCZCA/ Zhk

ZAB= |ZAB | e j ; ZBC= |ZBC | e j ; ZCA= |ZCA | e j

ZA = |ZAB | e j|ZCA | e j/ |Zhk | e j= [ |ZAB ||ZCA |/ |Zhk | ]e jZB = |ZAB | e j|ZBC | e j/ |Zhk | e j= [ |ZAB ||ZBC |/ |Zhk | ]e jZC = |ZBC | e j|ZCA | e j/ |Zhk | e j= [ |ZBC ||ZCA |/ |Zhk | ]e j

Allora: Anche le impedenze Zk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento

YAB = YAYB/ Yk

YBC = YBYC/ Yk

YCA = YCYA/ Yk

Yhk= 1 / Zhk = 1 / [|Zhk | e j] = |Yhk | e –j ; Yk= 1 / Zk = 1 / [|Zk | e j] = |Yk | e –

j

YA= |YA | e –j ; YB= |YB | e –j ; YC= |YC | e –j

Le impedenze Zk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento

YAB = |YA | e –j|YB | e –j/ |Yk | e –j= [ |YA ||YB |/ |Yk | ]e –j

YBC = |YB | e –j|YC | e –j/ |Yk | e –j= [ |YB ||YC |/ |Yk | ]e –j

YCA = |YC | e –j|YA | e –j/ |Yk | e –j= [ |YC ||YA |/ |Yk | ]e –j

Allora: Anche le impedenze Zhk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento

stella di impedenze Zk con lo stesso argomento

triangolo di impedenze Zhk con lo stesso argomento

stella di resistori triangolo di resistori

stella di induttori triangolo di induttori

stella di condensatori triangolo di condensatori

Casi particolari

C

B

A

C

B

A

Esempio

R+jX

Xhk / Rhk = c

le impedenze del triangolo devono

avere la stessa fase = atan ( c )

Rhk +j Xhk = Rhk(1 +j Xhk /Rhk ) = Rhk(1 +j c )

ZA = ZAB ZCA Zhk= ( RAB +j XAB ) (RCA +j XCA ) ( RAB +j XAB +RBC +j XBC + RCA +j XCA )

= RAB (1 +j c ) RCA (1 +j c ) RAB (1 +j c ) + RBC (1 +j c ) + RCA (1 +j c )

= RAB RCA (RAB + RBC + RCA )(1 +j c ) ZA è una impedenza RL serie con fase = atan ( c )

analogamente

ZB = RAB RBC (RAB + RBC + RCA )(1 +j c )

ZC = RBC RCA (RAB + RBC + RCA )(1 +j c )

R+jX

Xk / Rk = c

le impedenze della stella devono avere

la stessa fase = atan ( c )

Yk = 1/( Rk +j Xk ) = ( Rk - j Xk ) / ( Rk2

+ Xk2) = Rk( 1 - j Xk / Rk ) / ( Rk

2 + Xk

2) = Gk (1 - j c ) ;

Gk = Rk / ( Rk2

+ Xk2)

YAB = YA YB Yk= GA (1 -j c ) GB (1 -j c ) GA (1 -j c ) + GB (1 -j c ) + GC (1 -j c )

= GA GB ( GA + GB + GC )(1 - j c ) ZAB = 1/YAB è una impedenza RL serie con fase = atan ( c )

analogamente

YBC = GB GC ( GA + GB + GC )(1 - j c )

YCA = GC GA ( GA + GB + GC )(1 - j c )

Tor Vergata


= e j2/3

fattore di rotazione antioraria di 120°

1

Sistema trifase simmetrico ed equilibrato

3 = 1 ; = -2 ; 2 = -1

+ + 2 = 0

Proprietà elementari di

1

D ID

D I

I

Terna simmetrica diretta

Terna simmetrica inversa 1

2 3

1

2 3

D1

2

3 I1

2

3

{D , D, D2}

{I , I-1, I-2}

{I , I2, I}

A

BC

generatore trifase

carico trifase

Un sistema trifase si dice simmetrico, se le tensioni formano una terna simmetrica (la simmetria dipende dal generatore trifase)

Un sistema trifase si dice equilibrato, se le correnti formano una terna simmetrica (l’equilibrio dipende dal carico trifase)

Carichi fortemente squilibrati possono provocare dissimetrie nelle tensioni, a causa di cadute di tensione dissimmetriche in linea

EA

EB

EC

IA

IB

IC

angolo di sfasamento fra tensione e corrente (uguale per le tre fasi)

t

terna trifase 2/3

somma = 0 per ogni t

Tor Vergata


p = vAC iA + vBC iB Pc = ½ [VAC IA* + VBC IB* ]

potenza assorbita dal carico

potenza istantanea potenza complessa

Sistema trifase a tre fili

iA + iB + iC = 0

Potenza nei sistemi trifasegeneratore

trifasecarico trifase

A

B

C

iA

iB

iC

p(t) = vAC(t) iA(t) + vBC(t) iB(t) Pc = ½ [VAC IA* + VBC IB* ]

p(t) = ek(t) ik(t) Pc = ½ Ek Ik*

p = (eA - eC) iA + (eB - eC) iB

= eA iA + eB iB - eC (iA + iB)

Pc = ½ [(EA - EC) IA* + (EB – EC) IB*]

= ½ [EA IA* + EB IB* - EC (IA* + IB*)]

p = eA iA + eB iB + eC iC Pc = ½ [ EA IA* + EB IB* + EC IC*]

vBC

vAC+

+

N

eA+

+

+

eB

eC

vAC = eA - eC

vBC = eB - eC

Neutro a potenziale arbitrario

iC = -(iA + iB)

potenza attiva potenza reattiva

Pa = ½ Re[VAC IA* + VBC IB*] Q = ½ Im[VAC IA* + VBC IB*]

Pa = ½ Re[ Ek Ik*] Q = ½ Im[ Ek Ik*]

Espressioni valide per ogni sistema trifase a tre fili. Le

tensioni stellate possono essere riferite a un neutro (reale o

fittizio), a potenziale arbitrario

Sistema trifase a quattro fili

iA + iB + iC = iN

generatore trifase

carico trifase

A

B

C

iA

iB

iC

N

eA+

+

+

eB

eC Neutro a potenziale fissatoiN

Espressioni valide per ogni sistema trifase a quattro fili. Le tensioni stellate sono riferite al

potenziale del neutro

Sistema trifase a tre fili simmetrico ed equilibrato

iA + iB + iC = 0

generatore trifase

carico trifase

A

B

C

iA

iB

iC

N

eA+

+

+

eB

eC

Neutro riferito al centro stella

eA + eB + eC = 0

potenza istantanea assorbita dal carico E I p(t) = ek(t) ik(t)

p(t) = ¼ [ Eke jt + Ek*e- jt ] [ Ike jt + Ik*e- jt ] = = ¼ [ Ek Ik*+Ek*Ik ] + ¼ [ Ek Ik e j2t+Ek*Ik*e- j2t ] =

= ½ Re[ Ek Ik*] + ½ Re[ Ek Ik e j2t ] =

EA = E ; EB = E ; EC = E 2

IA = I ; IB = I ; IC = I 2

= (3/2) Re[E I*] + ½ Re[ E I e j2t (1+ 2 + 4)] = 1+ 2 + 4 = 1+ + 2 = 0

= (3/2) Re[E I*]

= (3/2) Re[E I*]

= Pa = 3 Eeff Ieff cos

La potenza istantanea trasferita da un sistema trifase

simmetrico ed equilibrato è costante nel tempo ed è pari

alla potenza attiva

t

potenza istantanea

la somma dei termini variabili è nulla

Pa = p(t) = 3 Eeff Ieff cos p. attiva

Q = 3 Eeff Ieff sin p. reattiva

La proprietà di trasferire potenza istantanea costante, nei sistemi trifase a tre fili simmetrici ed equilibrati, non è legata alla scelta del neutro al centro stella del triangolo

delle tensioni. Le condizioni per il trasferimento di potenza istantanea costante sono: triangolo delle tensioni concatenate equilatero (sistema simmetrico),

triangolo delle correnti di linea equilatero (sistema equilibrato)

generatore trifase

carico trifase

A

B

C

iA

iB

iC

vAC+

+ vBC

potenza istantanea assorbita dal carico (verifica)

IA IB

VAC

VBC

Sistema trifase a tre fili simmetrico ed equilibrato

VAC = V ; VBC = V ½

IA = I ; IB = I

p(t) = vAC (t) iA(t) + vBC (t) iB(t)

= ½ Re[VAC IA* + VBC IB*] + ½ Re [ VAC IA e j2t + VBC IB e j2t ] =

p(t) = ¼ [ VAC e jt+VAC*e- jt ] [ IA e jt+IA*e- jt ] + ¼ [ VBC e jt+VBC*e- jt ] [ IB e jt+IB*e- jt ]

VAC = V ; VBC = V ½

IA = I ; IB = I = Pa + ½ Re [( V I + V ½ I ) e j2t ] =

= Pa + ½ Re [V I (1+ 3/2) e j2t ] = = Pa 3/2 = e j = -1

= Pa = ½ Re[VAC IA* + VBC IB*]

La potenza istantanea è costante e pari alla

potenza attiva

p(t) = Pa + ½ Re [V I (1+ 3/2) e j2t] = Pa

t

potenza istantanea

la somma dei termini variabili è nulla

Tor Vergata


Componenti simmetricheUna generica terna di vettori { V 1 , V 2 , V3 } è pari alla somma di una terna di vettori identici {M , M , M } , una terna simmetrica diretta { D , D , D 2 } e una terna simmetrica inversa {I , I 2, I }

[ V 1 V 2 V3 ] = [M M M ] + [D D D 2] + [I I 2 I ]

V 1 , V 2 , V3 termini noti

M , D , I incognite

M + D + I = V 1

M + D 2 + I = V3

M + D + I 2 = V2

1 1 1 1 1 13 0 0 1 2

1 2 0 0 1 2 1 20 0 3

si dimostra che1 1 1 1 1 11 2

= 1 2 1 2 1 2

1

3

-1

pertanto

soluzioneM = (V 1 + V 2 + V 3 ) / 3

I = (V 1 + V 2 + V 3 2 ) / 3D = (V 1 + V 2 2 + V 3 ) / 3

[ V 1 V 2 V3 ] = = [M M M ] + + [D D D 2] + + [I I 2 I ]

M = (V 1 + V 2 + V 3 ) / 3

I = (V 1 + V 2 + V 3 2 ) / 3D = (V 1 + V 2 2 + V 3 ) / 3

Esempio

V 1

V 2

V 3

V 1 + V 2 +

V3

V 1

V 2

V 3

3M

M

V 1 + V 2 2 + V3

V 1

V 2

V 3 3D

3D

V 1

V 2

V 1 + V 2 + V3 2

V 3

3I

I

In questo esempio, la componente I è prevalente rispetto alle componenti D e M . Ciò può essere giustificato intuitivamente osservando che la terna V1 , V2 , V3 è “simile” a una terna simmetrica inversa (i vettori hanno quasi le stesse ampiezze, la sequenza delle fasi è di verso orario). In generale, il grado di dissimetria di una terna di vettori può essere posto uguale a |I | / |D | , se |I | < |D | , ovvero |D | / |I | , se |I | > |D |

Proprietà elementariV 1 + V 2 + V 3 = 0 M = 0

V 1 V 2 V3 M D I

grado didissimmetria 0%

V V V 2 0 V

0 V +C V +C V 2 +C C V 0

grado didissimmetria 0%

V V 2 V 0 0

V

V +C V 2+C V +C C 0 V grado di

dissimmetria 100% 3V 0 0 V V

V

Tor Vergata


EA

EB EC

A

B C

generatore trifase

carico trifase

A

B

C

IA

IB

IC

N

EA+

+

+

EB

EC

Trifase a tre fili

Suddivisione di un sistema trifase

Suddivisione della terna delle tensioni stellate nelle componenti simmetricheEM = (EA + EB + EC ) / 3 terna monofase

EI = (EA + EB + EC 2 ) / 3 terna simmetrica inversa

ED = (EA + EB 2 + EC ) / 3 terna simmetrica diretta

EM , ED , EI

Le terne simmetriche diretta ED e inversa EI delle tensioni stellate sono invarianti rispetto alla

scelta della tensione del neutro. Infatti, per ogni Ex , si ha Ek = E’k + Ex , con k = A , B , C

E’A

E’C E’B

Ex

EM = [(E’A + Ex ) + (E’B + Ex ) + (E’C + Ex )] / 3 = [E’A + E’B + E’C ] / 3 + Ex = E’M + ExEI = [(E’A + Ex ) + (E’B + Ex ) + (E’C + Ex ) 2] / 3 = [E’A + E’B + E’C 2] / 3 = E’I

ED = [(E’A + Ex ) + (E’B + Ex ) 2 + (E’C + Ex )] / 3 = [E’A + E’B 2 + E’C ] / 3 = E’D

EM = E’M + Ex

ED =

E’DEI =

E’I

Per ogni Ex

IA

IB IC

Suddivisione della terna delle correnti nelle componenti simmetriche

IM = (IA + IB + IC ) / 3 terna monofase

II = (IA + IB + IC 2 ) / 3 terna simmetrica inversa

ID = (IA + IB 2 + IC ) / 3 terna simmetrica diretta Sistema trifase a tre fili IA + IB + IC = 0

Ik = 0

IM = 0

ID , II

Potenza complessa trasferita al caricoPc = ½ Ek Ik*

IA = ID + II IB = ID + II 2

IC = ID 2 + II

EA = EM + ED + EIEB = EM + ED + EI 2

EC = EM + ED 2 + EI = ½ (EM + ED + EI) (ID + II)* +

½ (EM + ED + EI 2) (ID + II 2)* +

½ (EM + ED 2 + EI ) (ID 2 + II )*

EM [ID (1 + + 2) + II (1 + 2 + )] *= 0Termini contenenti EM

ED II* + EI ID* + ED II* -2 + EI 2 ID* -1 +

+ ED 2 II* -1 + EI ID* -2 =

= ED II* (1 + –1 + ) + EI ID* (1 + 1 + -1) = 0

Termini misti contenenti ED II* oppure EI ID* Alla potenza complessa contribuiscono solo i termini contenenti ED ID* e EI II*

Termini relativi al sistema trifase simmetrico diretto

ED ID* + ED ID* -1 + ED 2 ID* -2 = 3 ED ID*

Termini relativi al sistema trifase simmetrico inverso

EI II* + EI 2 II* -2 + EI II* -1 = 3 EI II*

Pc = ½ Ek Ik* = 3/2 (ED ID* + EI II* )

La potenza complessa (e le potenze attiva e reattiva) è trasferite al carico come se i sistemi trifase simmetrici, diretto e inverso, agissero indipendentemente

Pc = ½ Ek Ik* = 3/2 (ED ID* + EI II* )

Nei sistemi trifase a tre fili, il termine monofase delle tensioni non contribuisce al trasferimento della potenza complessa

L’espressione della potenza complessa non dipenda dalla posizione del centro stella nel triangolo delle tensioni

La potenza istantanea, in presenza simultanea delle componenti diretta e inversa, non è costante nel tempo

Tor Vergata


Da sistema trifase diretto a inversoTrasformazione di un sistema trifase simmetrico diretto

in un sistema trifase simmetrico inverso (e viceversa)

generatore trifase

carico trifase

A

B

C

A B C simmetrico direttoA’

B’

C’A’B’C’ simmetrico inverso

(e viceversa)

L’inversione può avvenire su una qualunque coppia di conduttori

Il carattere diretto o inverso di un sistema trifase non è una caratteristica intrinseca, ma un modo di ordinare la sequenza delle fasi.

Se il sistema trifase ABC è non simmetrico, con componenti simmetriche D e I , anche il sistema A’B’C’ è non simmetrico con componenti D’ = I e I’ = D

Tor Vergata


Da sistema monofase a trifasegeneratore monofase carico

trifase

1

2

3

In molte applicazioni può essere necessario alimentare un carico trifase, pur disponendo di un generatore monofase

Esempio tipico: alimentazione di un motore trifase da parte di una utenza monofase

Attenzione! la fase 3 deve essere alimentata per non danneggiare il carico

Il circuito di alimentazione della fase 3 dipende dal circuito di carico

Caso tipico: carico a stella di tipo RL

generatore monofase

1

2

3

Ipotesi: le tre impedenze di carico uguali e pari a R+jX

R+jX

la terza fase è alimentata tramite un condensatore CC

Tensioni stellate: Ek

Correnti di fase: Ik

I1

I2

I3

Ek = (R+jX) Ik

V23

+Tensione condensatore: V 23 = E 2 – E 3

Suscettanza condensatore: B = CjB

I 3 = jB V 23

Calcolo della suscettanza B e caratterizzazione del sistema trifase

V23

normalizzazione : V23= -1 ; R = 1

tensionicorrenti

I3 = jB V23 = - jB

V23 I3

I3

Ek = (1 + jX) Ik

E3 = (1 + jX) I3 = (1 + jX)(- jB) = XB - jB

R I3

jX I3

E3

E3

; E3 = XB - jB

2 3

E2 E2 = V23 + E3 = -1 + XB - jB

I2

I2 = E2 /(1 + jX) ; E2 = -1 + XB - jB

I1 + I2 + I3 = 0Il sistema trifase 123 è a tre fili; pertanto

Moltiplicando per 1+jX

(1+jX) I1 + (1+jX) I2 + (1+jX) I3 = 0

Quindi E1 + E2 + E3 = 0

E1 = – E2 – E3 = 1 – 2XB + j 2B

1

E1

I1

I1 = E1 /(1 + jX) ; E1 = 1 – 2XB + j 2B

Componenti simmetriche :

3D = E1 + E2 2 + E3 ; 3I = E1 + E2 + E3 2

Per semplificare i calcoli, si ricordi che D non varia se si aggiunge un arbitrario vettore costante alle tensioni Ek Si ponga E’k = Ek – XB+jB

E’1 = 1 - 3XB+j3B ; E’2 = - 1 ; E’3 = 0

E1 = 1 – 2XB + j2B ; E2 = -1 + XB - jB ; E3 = XB - jBE’1 = 1 - 3XB + j3B ; E’2 = - 1 ; E’3 = 0

Componenti simmetriche :3D = E’1 + E’2 2 ; 3I = E’1 + E2’

= - ½ + j 3½ /2 ; 2 = - ½ - j 3½ /2

3D = (1–3XB+j3B) – (–½+j3½/2) = 3/2–3XB + j(3B+3½/2)

3I = (1–3XB+j3B) – (–½–j3½/2) = 3/2–3XB + j(3B–3½/2)

D = ½ – XB + j(B + 3½/6)

I = ½ – XB + j(B – 3½/6)

D = ½ – XB + j(B + 3½/6)I = ½ – XB + j(B – 3½/6)

Componenti simmetriche

Grado di dissimmetria

G =

|½ – XB + j(B + 3½/6)||½ – XB + j(B – 3½/6)|

Grado di dissimmetria G =

|½ – XB + j(B + 3½/6)||½ – XB + j(B – 3½/6)|

Per ogni X (reattanza normalizzata del carico) esiste un valore di B che rende minimo il grado di dissimmetria

X B G

0 .58 58% .3 .55 47% .6 .50 36% .9 .43 25%1.2 .37 15%1.5 .32 6%1.8 .28 2%

Si ottiene G = 0 per X = 3½ = 1.73 e B = 3½/6= 0.29

V23 2 3

1

E2 E3

E1

I3

I1 I2

tensionicorrenti

X = 1.73;B = 0.29G = 0

Esempio

Pa = 2200 W ; Eeff = 127 V ; X = 0.3 R

f = 50 Hz ; = 314 rad/sdati

Pa = 3 Eeff 2 /R ; R = 3 Eeff

2 / Pa = 22 B = .55 / R ; C = .55 / ( R) = 79.6 F

valori denormalizzati

Tor Vergata


Normalizzazione

R L CZ = R Z = j L Y = j C

Re[Z] = R Im[Z] = 0

Re[Z] = 0 Im[Z] = L

Re[Y] = 0 Im[Y] = C

|Z| = R Arg[Z] = 0

|Z| = L Arg[Z] = /2

|Z| = 1/ L Arg[Z] = -/2

forma cartesiana

forma polare

normalizzazionedi frequenza

Re[Z] = 0 Im[Z] = -1/ C

Tor Vergata M. Salerno Trifase 1 Trasmissione dellenergia elettrica Schema di principio VgVg +...

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