1

11

LINEE DI

TRASMISSIONE

2

Dipolo elettrico oscillante

Il dipolo dipolo elettrico oscillante è il più semplice tipo di antenna. Essa è

costituita da due bracci uguali aperti, realizzati con un conduttore elettrico lineare,

su cui scorrono le correnti elettriche opposte che variano sinusoidalmente nel

tempo. Le cariche sono inevitabilmente accelerate muovendosi avanti e indietro

nell'antenna, e come risultato l'antenna è una sorgente di radiazione EM che si

propaga nello spazio.

3

Campo elettromagnetico irradiato

Campo magnetico

4

Campo elettromagnetico irradiato

Campo elettrico

5

Campo elettromagnetico irradiato

6

Campo elettromagnetico irradiato

Campo elettrico e magnetico

7

Campo elettromagnetico irradiato

Campo elettrico e magnetico (dettaglio)

8

Campo elettromagnetico irradiato

Quando la trasmissione della potenza elettromagnetica avviene nello

spazio aperto, si può focalizzare la radiazione mediante l’interferenza

tra più emettitori, in modo tale che la potenza irradiata sia il più

possibile concentrata. La possibilità di concentrare il flusso di

potenza attraverso l’interferenza è però limitato.

Dal punto di vista concettuale

non esiste alcuna differenza

tra le antenne destinate alle

telecomunicazioni e quelle

destinate al trasferimento di

potenza (per scaldare il plasma

nei reattori a fusione nucleare)

9

Quando l’energia irradiata non è guidata, la trasmissione di potenza

e informazione, dalla sorgente al ricevitore è inefficiente.

Nelle applicazioni pratiche abbiamo però bisogno di indirizzare il

flusso di energia in una ben determinata direzione, altrimenti la

spesa energetica necessaria a irradiare un determinato oggetto

diventa insostenibile. Questo è tanto più vero quanto più l’oggetto

da irradiare è distante dalla sorgente dell’onda. Perciò, se è

possibile, si ricorre a sistemi denominati guide d’onda attraverso le

quali il flusso di energia si sviluppa principalmente lungo la

direzione del sistema guidante.

Nel termine guide d’onda rientrano diverse tecnologie costruttive,

ma tutte con lo stesso principio di funzionamento: l’onda viene

trasmessa entro un canale racchiuso da una superficie che la riflette.

Nel campo dell’ingegneria delle microonde e delle frequenza ottiche

c’è stato un importante sviluppo delle configurazioni geometriche e

dei materiali impiegati nelle guide d’onda.

Guide d’onda

10

una guida d'onda si realizza attraverso una struttura fisica che realizzauna propagazione guidata dell’onda elettromagnetiche per mezzo della"riflessione" sulle interfacce (pareti conduttrici o dielettriche di naturadiversa).

Nelle guide d’onda, l’energia viene trasmessa da un’ondaelettromagnetica che si propaga nella regione dielettrica esistente tra icontorni (interfaccia dielettrico-conduttore o dielettrico-dielettrico);questi ultimi assumono dunque una importanza primaria nel determinarele caratteristiche di una onda .

Nelle guide d’onda reali, una parte del flusso di energia è comunquetrasmesso dall’onda al metallo non perfettamente conduttore, o alsecondo dielettrico, con cui si realizza l’interfaccia e in essi si verificanoperdite legate alla dissipazioni di potenza.

Guide d’onda

pareti metalliche dielettrici di diversa natura

Guide d’onda

Natura della superficie riflettente :

❖ micro-onde (300 MHz ÷ 300 GHz): materiale conduttore.

❖ spettro visibile (400 THz ÷1000 THz) dielettrico con diverso indice di

rifrazione (un innalzamento locale dell’indice di rifrazione), per garantire la

flessibilità della guida d’onda che viaggia per km.

Il problema del dimensionamento consiste nel risolvere l’equazione delle onde nel

rispetto delle condizioni al contorno dettate dalla superficie riflettente

12

Guide d’onda

CAVO COASSIALE LINEA BIFILARE FIBRA OTTICA

MICROSTRISCE STRIPLINE

Misure (segnali schermati) Collegamenti telefonici e

antenne televisiva

Elettronica (microonde)

Segnali ottici

Elettronica (microonde)

13

La linea di trasmissione è componente elettromagnetico usato per il

trasporto di segnali (nel campo dell'elettronica) ed energia (nel

campo dell'elettrotecnica) su grandi distanze; nel caso

di trasmissione di energia elettrica, le linee sono operate in alta

tensione.

Una linea di trasmissione è costituita da una coppia

di conduttori paralleli alle cui estremità sono

connessi un generatore ed un carico. Le linee

maggiormente usate sono la linea bifilare e la linea

coassiale. Faremo riferimento ad una linea bifilare.

Dal punto di vista circuitale, una linea di

trasmissione, è una rete a parametri distribuiti e

deve essere descritta con un circuito a parametri

distribuiti lungo tutta la lunghezza della linea.

Linea di trasmissione

14

Ciascun elemento differenziale di una linea di trasmissione può essere

approssimato dal circuito equivalente in figura alla quale sono associati i

parametri R, L, C e G per unità di lunghezza:

Applicando :

la II° legge di Kirchhoff alla maglia sinistra e

la I° legge di Kirchhoff al nodo N si ottiene:

R z

C zG z

L z

N

z

V(z,t) V(z+z,t)

i(z,t) I(z+z,t)++

--

( )

( )

( , )V( , ) I( , ) , 0

( , )I( , ) V( , ) , 0

I z tz t R z z t L z V z z t

t

V z z tz t G z z z t C z I z z t

t

− − − + =

+ − + − − + =

Linea di trasmissione

15

Dividendo per z e considerando z →0, si ottengono le Equazioni

generali per le linee di trasmissione

Per una dipendenza temporale armonica, utilizzando i fasori e un

riferimento cosinusoidale, si ha :

( , ) ( , ) i( , )

( , ) ( , ) ( , )

V z t i z tR z t L

z t

i z t V z tG v z t C

z t

− = +

− = +

( ) ( ) V( , ) Re ( , ) Rej t j tz t V z e i z t I z e = =

Equazioni delle linee di trasmissione

( )( ) ( )

( )( ) ( )

dV zR j L I z

dz

d I zG j C V z

dz

− = +− = +

dove ത𝑉(𝑧) e ҧ𝐼(𝑧) sono funzioni della coordinata spaziale z e

possono essere complesse.

Per cui le equazioni per le linee

di trasmissione in regime

armonico nel tempo sono:

16

Combinando le due equazioni si ottengono due equazioni

differenziali ordinarie di secondo grado in V(z) e I(z)

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

1

1

dV z dV zR j L I z I z

dz R j L dz

d I z d I zG j C V z V z

dz G j C dz

− = + = − +

− = + = − +

Equazioni delle linee di trasmissione

Dalle equazioni precedenti ricaviamo V(z) e I(z)

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2

2

d I zG j C R j L I z I z

dz

d V zR j L G j C V z V z

dz

= + + =

= + + =

✓ parte reale di γ: costante di attenuazione della linea in[Np/m]

✓ parte immaginaria di γ: costante di fase della linea in [rad/m].

( )( ) -1 mj R j L G j C = + = + + costante di propagazione

17

le soluzioni dei queste due equazioni armoniche sono:

• gli apici + e – di V0 e I0 indicano onde che viaggiano nelle

direzioni +z e -z rispettivamente

• le ampiezza delle onde (V0+, I0

+) e (V0-, I0

-) determinare in base

alle condizioni al contorno

Si può facilmente verificare che :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0 0

γ z γ z

γ z γ z

V z V z V z V e V e

I z I z I z I e I e

+ − + − −

+ − + − −

= + = +

= + = +

0 0

0 0

V V R j L

I I

+ −

+ −

+= − =

( )( )

( )( )

2 2

2 2

2 2

d V z d I zV z I z

dz dz = =

Equazioni delle linee di trasmissione

18

Per una linea di lunghezza infinita il termine, relativo all’ondariflessa, contenente il fattore e-z si annulla, non ci saranno onderiflesse e le onde viaggeranno solo onde nella direzione +z per cuisi ha:

Il rapporto della tensione per la corrente, per ciascun valore di z nelcaso di una linea infinitamente lunga (per la quale si può ritenereche l’onda riflessa è nulla) è indipendente da z ed è chiamataimpedenza caratteristica della linea Z0:

( ) ( )

( ) ( )

0

0

γ z

γ z

V z V z V e

I z I z I e

+ + −

+ + −

= =

= =

0 00

0 0

(z)Z Ω

(z)

γ z

γ z

V e VV

I I e I

+ − +

+ − += = =

Linee di trasmissione di lunghezza infinita

19

L’impedenza caratteristica Z0 può essere determinata dalle relazioni

differenziali di V(z) e I(z):

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )0 0 0

0 00

1

1

V(z) poichè

I(z)

z z

zz

dI zd I zV z

R j LG j C dz V z dz

I z dV zdV zG j CI z

dzR j L dz

dV zV e V e V zVdz

I e I I zd I zI e

dz

− −

−−

= − − ++

= − += − +

− = − = = =

−= −

Linee di trasmissione di lunghezza infinita

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

( )

( )

V z R j L I z V z R j L

G j CI z G j C V z I z

− + += =

+− +

( )

( )0

0

0

Z V z V R j L

I G j CI z

+= = =

+

Il rapporto tra ത𝑉(𝑧) e ҧ𝐼(𝑧) può essere può essere riscritto:

20

Le espressioni della impedenza caratteristica e della costante di

propagazione sono complesse, ma possono essere ottenuti i loro

valori dalle seguenti formule valide per i seguenti tre casi limite:

1. Linea senza perdite R=0 e G=0

a) costante di propagazione

b) velocità di fase

c) impedenza caratteristica

γ α jβ j LC= + =1

puLC

= =

0 0 0 0

LZ R jX R

C= + = =

Linee di trasmissione di lunghezza infinita

(costante)

(costante)

funzione lineare di

2. Linea senza distorsione R/L=G/C (condizione soddisfatta per frequenze

molto alte)

a) costante di propagazione

b) velocità di fase

c) impedenza caratteristica

( costante)

( costante)

( ) ( )RC C

R j L j C R j LL L

= + + = +

1pu

LC

= =

( )0/

R j L LZ

RC L j C C

+= =

+

3. Linea con basse perdite R<<L e G<<C (condizione soddisfatta per

frequenze molto alte)

a) costante di propagazione

b) velocità di fase

c) impedenza caratteristica

21

1 1

2 2 11 1

2

R G C Lγ j LC R G j LC

j L j C L C

= + + + +

1pu

LC

=

1 1

2 2

0

11 1

2

L R G L L R G LZ j

C j L j C C C L C C

= + + + −

Linee di trasmissione di lunghezza infinita

Poiché generalmente un segnale è costituito da più segnali

componenti, affinché non si verifichino distorsioni è necessario che

i segnali componenti si propaghino alla stessa velocità lungo la

linea di trasmissione. Questa condizione:

❑ è soddisfatta per le linee senza perdite

❑ é approssimata per le linee con perdite molto basse

❑ non è accettabile per linee con perdite.

22

Per le linee con perdite l’ampiezza delle onde viene attenuata e la

distorsione si verificherà in quando componenti a frequenza diversa

sono attenuate differentemente, anche nel caso in cui viaggino alla

stessa velocità. Per il caso più generale delle linee con perdite:

• la costante di fase β non è una funzione lineare di :

• up dipende dalla frequenza f, per cui le componenti di frequenza

diversa si propagano con velocità diversa con l’inevitabile

distorsione del segnale.

LCβ

Linee di trasmissione di lunghezza infinita

23

La costante di attenuazione di un’onda viaggiante su una linea di

trasmissione è la parte reale della costante di propagazione :

per una linea di lunghezza infinita:

La potenza media nel tempo propagata lungo la linea per ciascun valore

di z sarà:

La legge della conservazione della energia richiede che la velocità

della diminuzione della P(z) lungo la linea sia uguale perdita di

potenza media nel tempo PL per unità di lunghezza:

( ) ( ) ( )( )( ) ReReRe CjGLjRj ++=+==

( ) ( ) ( ) ( ) 00 0

0

γ z γ z γ zVV z V z V e I z I z I e e

Z

+ ++ − + − −= = = = =

( ) ( ) ( )2

* 2 002

0

1Re

2 2

zVP z V z I z R e

Z

− = =

Relazione tra la costante di attenuazione e la potenza

( )( )2 L

P zP z P

z

− = =

( )

( )2

LP z

P z = Np

m

24

Per le linee di trasmissione lunghezza infinita in regime armonico si può

ritenere che l’onda riflessa sia nulla, le soluzioni delle equazioni differenziali

ordinarie sono dunque:

Queste relazioni sono valide anche per le linee di lunghezza finita che

terminano con una impedenza caratteristica, ossia per le linee adattate.

Nella terminologia della linea di trasmissione, una linea è adattata

quando l’impedenza del carico è uguale alla impedenza caratteristica

della linea:

Precisazione importante: non bisogna confondere la linea adattata con la

«condizione di adattamento» del carico della teoria dei circuiti. In

condizioni di adattamento l’impedenza del carico è il complesso

coniugato della impedenza della sorgente, in modo da ottenere il

massimo trasferimento di potenza al carico:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 γ z γ zV z V z V e I z I z I e+ ++ − + −= = = =

*

gLZ Z=

0LZ Z=

Linee Adattate

25

Per stabilire le condizioni di linea adattata, si consideri il caso generale

di una linea di trasmissione finita con impedenza caratteristica pari a ሶ𝑍0

e con una impedenza di carico alla estremità pari a ሶ𝑍L :

Questo è verificato solo se nelle espressione delle soluzioni delle

equazioni differenziali ordinarie armoniche nel tempo l’onda

riflessa è nulla.

ത𝑉g

+ሶ𝑍g ሶ𝑍L

IL

ത𝑉Lത𝑉iሶ𝒁i

z=0

z’=l

z’=l-zz=l

z’=0

++

- --z

( ሶγ, ሶ𝑍0)

z

z’ 0’

0

Linee Adattate

0

LL L

L

V Z I

Z Z

=

=

00

0

(z)

(z)L

z L

VVZ Z

I I

+

+

=

= = =