Limiti di funzione. Limiti per x che tende a + di f(x) uguale ad A - A H A- Ovvero limite per x che...
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Limiti di funzione DEFIN IZIO N ITOPO LO G ICHE 1. Sichiam a intorno sinistro diun num ero reale x o un intervallo deltipo {x/x o - h<x<x o } con h positivo. U n intorno sinistro dix o siindica con U - (x o ) 2. Si chiama intorno destro di un numero reale x o un intervallo del tipo {x/x o <x<x o +h} con h positivo. U n intorno destro dix o siindica con U + (x o ) Possiam o ora dare le definizionidilim ite destro, sinistro,dall’alto, dal basso per le funzionida R in R x o -h x o xo+h x o A x f x ) ( lim A x f x ) ( lim A x f x ) ( lim A x f x ) ( lim A x f o x x ) ( lim A x f o x x ) ( lim A x f o x x ) ( lim A x f o x x ) ( lim A x f o x x ) ( lim A x f o x x ) ( lim A x f o x x ) ( lim A x f o x x ) ( lim ) ( lim x f o x x ) ( lim x f o x x ) ( lim x f o x x ) ( lim x f o x x
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Limiti di funzioneDEFINIZIONI TOPOLOGICHE1. Si chiama intorno sinistro di un numero reale xo un intervallo del tipo {x/xo-
h<x<xo} con h positivo. Un intorno sinistro di xo si indica con U -(xo)
2. Si chiama intorno destro di un numero reale xo un intervallo del tipo{x/xo<x<xo+h} con h positivo. Un intorno destro di xo si indica con U+(xo)
Possiamo ora dare le definizioni di limite destro, sinistro, dall’alto, dalbasso per le funzioni da R in R
xo-h xo
xo+hxo
Axfx )(lim
Axfx )(lim
Axfx )(lim
Axfx )(lim
Axf
oxx )(lim
Axf
oxx )(lim
Axfoxx
)(lim
Axfoxx
)(lim
Axfoxx
)(lim
Axfoxx
)(lim
Axfoxx
)(lim
Axfoxx
)(lim
)(lim xf
oxx
)(lim xf
oxx
)(lim xfoxx
)(lim xf
oxx
Limiti per x che tende a + di f(x) uguale ad A-
Axfx )(lim
A
H
A-
)(U
)(A-V
D e f i n i z i o n e m e t r i c a ( a n a l o g a a q u e l l e d e l l e s u c c e s s i o n i )
0 HxH /)( AxfA )(
D e f i n i z i o n e t o p o l o g i c a
)( A-V )(/)( UU x )()( Axf -V
D e f i n i z i o n e m i s t a
0 )(/)( UU x AxfA )(
Ovvero limite per x che tende a + di f(x) uguale ad A dal basso
Limiti per x che tende a - di f(x) uguale a A+
Axfx )(lim
A
H
A+
)(AV
)(U
D e f i n i z i o n e m e t r i c a0 HxKH /)( AxfA )(
D e f i n i z i o n e t o p o l o g i c a)( A V )(/)( UU x )()( Axf V
D e f i n i z i o n e m i s t a0 )(/)( UU x AxfA )(
Ovvero limite per x che tende a - di f(x) uguale ad A dall’alto
Limiti per x che tende a xo- di f(x) uguale a +
)(lim xf
oxx
xo- xo
K
)(V
)( ox-U
Definizione metrica (analoga a quelle delle successioni)
0K oo xxxK /)( kxf )(
Definizione topologica)(V )(/)( oo xxx -- UU )()( Vxf
Definizione mista
0K )(/)( oo xxx -- UU kxf )(
Ovvero limite per x che tende a xo da sinistra di f(x) uguale a +
Limiti per x che tende a xo+ di f(x) uguale a -
)(lim xf
oxx
-K
xo+xo)( ox
U
)(V
D e f in i z io n e m e t r i c a ( a n a lo g a a q u e l le d e l le s u c c e s s i o n i )
0 K oo xxxK /)( kxf )(
D e f in i z io n e t o p o lo g i c a
)( V )(/)( oo xxx UU )()( Vxf
D e f in i z io n e m i s t a
0 K )(/)( oo xxx UU kxf )(
Ovvero limite per x che tende a xo da destra di f(x) uguale a +
Limiti per x che tende a xo- di f(x) uguale a A-
Axfoxx
)(lim
A-
xo- xo
A
)( ox-U
)(A-V
D e f i n i z i o n e m e t r i c a ( a n a l o g a a q u e l l e d e l l e s u c c e s s i o n i )
0 oo xxxK /)( AxfA )(
D e f i n i z i o n e t o p o l o g i c a
)( A-V )(/)( oo xxx -- UU )()( Axf -V
D e f i n i z i o n e m i s t a
0 )(/)( oo xxx -- UU AxfA )(
Ovvero limite per x che tende a xo da sinistra di f(x) uguale ad A dall’alto
Limiti per x che tende a xo- di f(x) uguale a A
Axfoxx
)(lim
A-
xo- xo
A
)( ox-U
)(AV
D e f i n i z i o n e m e t r i c a ( a n a l o g a a q u e l l e d e l l e s u c c e s s i o n i )
0 oo xxxK /)( AxfA )(
D e f i n i z i o n e t o p o l o g i c a
)( AV )(/)( oo xxx -- UU )()( Axf V
D e f i n i z i o n e m i s t a
0 )(/)( oo xxx -- UU AxfA )(
Ovvero limite per x che tende a xo da sinistra di f(x) uguale ad A
