13

3. Limite finito per x che tende all’infinito

Un altro comportamento delle la funzioni che può essere espresso con rigore tramite una operazione

matematica, è quello della stabilizzazione attorno ad un valore finito ℓ quando la variabile indipendente x

assume valori positivi infinitamente grandi. La situazione è schematizzata nella figura seguente:

Definizione: Sia ( )f x una funzione con dominio illimitato superiormente; si dice che:

lim ( )x

f x→+∞

= ℓ

se:

0 0k tale che se x kε ε

ε∀ > ∃ > >

allora:

( )f x ε− <ℓ

1) Dal punto di vista dell’andamento della funzione, tendere ad un limite finito all’infinito significa che

il grafico si confonde con quello della retta orizzontale y = ℓ a mano a mano che si procede verso

valori infinitamente grandi delle ascisse.

2) Osserviamo che ha senso eseguire il calcolo del limite per x che tende ad infinito positivo

solamente se il dominio è illimitato superiormente, cioè se, in un certo senso, ci si può avvicinare

quanto si vuole a +∞ .

3) Il modulo nella disuguaglianza ( )f x ε− <ℓ indica, proprio come nel caso di limite finito in un

punto, che l’avvicinamento alla retta y = ℓ può avvenire indifferentemente da sopra, da sotto, od

anche da entrambi i versi, come nelle figure che seguono.

ℓℓ

kε

x

( )f x

ε+ℓ

ℓ ℓ

14

In maniera analoga si può definire rigorosamente il comportamento di una funzione che si approssima ad un

valore ℓ quando la x tende verso valori infinitamente negativi.

Definizione: Sia ( )f x una funzione con dominio illimitato

inferiormente; si dice che:

lim ( )x

f x→−∞

= ℓ

se:

0 0k tale che se x kε ε

ε∀ > ∃ > <−

allora:

( )f x ε− <ℓ

Esempio 1

Verificare il limite:

3 1 3lim

2 3 2x

x

x→+∞

−=

+

Si tratta di provare che la disuguaglianza:

3 1 3

2 3 2

x

xε

−− <

+

è soddisfatta in un intorno di +∞ , cioè in un insieme della forma ( );kε+∞ . Risolviamo:

3 1 3 11

2 3 2 4 6

x

x xε ε ε ε

− −− < − < ⇒ − < <

+ +

Si perviene al sistema:

11 4 6 110 0

4 6 4 611 4 6 11

0 04 6 4 6

x

x x

x

x x

ε ε

ε

ε ε

ε

− − − − − < < + + ⇒ − + − + > > + +

Risolviamo la prima disequazione facendo il prodotto del segno del numeratore per quello del

denominatore:

6 11

4 6 11 04 6 11 40

34 64 6 0

2

x xx

xx x

ε

ε ε

ε ε ε

− −− − − > ⇒ <

− − −< ⇒

++ > ⇒ >−

ℓ

kε

−x

( )f x

ε−ℓ

segno di:

4 6 11

4 6

x

x

ε ε− − −

+

32−

+

+

−

−

+

−−

3 11

2 4ε− −

−

−

15

Analogamente risolviamo la seconda:

3 11

4 6 11 04 6 11 2 40

34 64 6 0

2

x xx

xx x

ε ε

ε ε ε

+ − > ⇒ >− ++ −

> ⇒+

+ > ⇒ >−

Prendiamo l’intersezione delle due soluzioni:

Il limite è senz’altro verificato in quanto la soluzione complessiva comprende al suo interno un intorno di

infinito positivo, cioè un insieme della forma ( ; )kε+∞ , dove in questo caso è

3 11

2 4kε

ε

= − + (od un valore

positivo più grande di esso se per qualche ε viene 0kε< ).

Nel particolare caso proposto, il grafico della

funzione è noto, si tratta di una funzione

omografica, la cui forma generica è:

( )ax b

f xcx d

+=

+

Ora, voi non ci crederete, ma abbiamo

studiato in terza questa classe di funzioni,

imparando che esse hanno un asintoto

verticale in d

xc

= − ed un asintoto

orizzontale di equazione a

yc

= . Nel presente

caso si ha 32x =− ed 3

2y = . Trovando le

intersezioni con gli assi 1(0; )3A − e 1( ;0)3B

è possibile rappresentarla graficamente.

Come del resto si intuisce dal grafico, la nostra verifica ha mostrato pure che 3 1 3

lim2 3 2x

x

x→−∞

−=

+. Difatti la

disequazione 3 1 3

2 3 2

x

xε

−− <

+ è verificata anche in un intorno di −∞ , cioè un insieme della

forma( ; )kε

−∞ − , ma stavolta con 3 11

2 4kε

ε

− = − − .

Studiare Tomo C1 pp 45-47, es p326 da 65 a 75 ad libitum.

4 6 110

4 6

x

x

ε ε− − −<

+

4 6 110

4 6

x

x

ε ε+ −>

+

32−

3 11

2 4ε− +

3 11

2 4ε− −

x

( )f x32 ε−

A

B

32

32−

3 11

2 4kε

ε

= − +

+

+

+

−

−

+

−

−

+

3 11

2 4ε− +3

2− segno di:

4 6 11

4 6

x

x

ε ε+ −

+