Libro - Applicazioni Teoria Dei Giochi

Introduzione alla teoria dei giochiApplicazioni economicheVersione preliminare n.1

Ferdinando ColomboI.T.E.M.Q., Università Cattolica del Sacro Cuore

L.go Gemelli, 1 – 20123 Milanoe-mail: [email protected]

10 novembre 2003

In queste note verranno presentate in dettaglio alcune applicazioni eco-nomiche. Esse non sono state scelte per la loro rilevanza teorica (che ècomunque notevole), quanto perché si prestano ad essere analizzate inmodo fruttuoso mediante gli strumenti forniti dalla teoria dei giochi.Queste note sono rivolte in particolare agli studenti della facoltà diEconomia. La difficoltà delle diverse applicazioni è contrassegnata daisimboli † e ‡. Le applicazioni che non sono contrassegnate da alcunsimbolo possono essere studiate fruttuosamente anche al primo anno dicorso di una laurea triennale, eventualmente con l’aiuto di un docenteper la spiegazione di qualche formula matematica. Le applicazioni con-trassegnate dal simbolo † possono invece essere studiate al terzo annodi corso di una laurea triennale oppure in uno dei due anni di corso diuna laurea specialistica. Infine, le parti di applicazioni contrassegnatedal simbolo ‡ possono essere utilmente studiate in un corso di una lau-rea specialistica (eventualmente con l’aiuto di un docente) oppure in uncorso di dottorato.Queste note sono state pensate come un complemento al volume “In-troduzione alla teoria dei giochi”, Carocci, Roma, 2003. Questo spiegail continuo riferimento ai paragrafi di quel volume. Anche la numera-zione delle pagine vi si adatta perfettamente. Per non appesantire latrattazione, in queste note ci siamo limitati (quasi sempre) a una meraapplicazione dei concetti di soluzione ad alcuni problemi economici, fi-duciosi che la precedente lettura del volume ci abbia insegnato ad avereun approccio sufficientemente critico nei confronti dell’adozione sen-za alcuna “giustificazione” dei diversi concetti di soluzione. Invitiamoquindi il lettore a chiedersi per ogni applicazione se sia effettivamente“opportuno” adottare il concetto di soluzione utilizzato nel testo.La presente versione di queste note è decisamente preliminare. Nelfuturo verrà con ogni probabilità rivista ed ampliata con l’introduzionedi ulteriori applicazioni ed esercizi. Il lettore è invitato a controllareperiodicamente il sito della casa editrice Carocci (www.carocci.it) perversioni più aggiornate.

Indice delle applicazioni economiche

Capitolo 3: Eliminazione iterata e razionalizzabilità

3.11.1. Eliminazione iterata nel modello di Cournot † . . . . . . . . . 114—i3.11.2. L’asta inglese e l’asta di secondo prezzo

(asta di Vickrey) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114—v

3.11.3. Strategie dominate nel modello di Bertrand . . . . . . . . . . . . 114—ix

Capitolo 4: Equilibrio di Nash ed equilibrio correlato

4.9.1. Equilibrio di Nash nel modello di Cournot . . . . . . . . . . . . . . 163—i

4.9.2. Equilibrio di Nash nel modello di Bertrand . . . . . . . . . . . . . 163—vi

Capitolo 5: L’idea di razionalità futura

5.5.1. Il modello di Stackelberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198—i

5.5.2. Il modello di Brander e Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198—iii

5.5.3. Il modello di Hotelling † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198—xii5.5.4. Giochi di fiducia e reputazione † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198—xxxi

Capitolo 6: L’idea di razionalità passata

6.4.1. Il modello di Spence † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224—i

eliminazione iterata e razionalizzabilità

3.11Applicazioni economiche

3.11.1. Eliminazione iterata nel modello di Cournot †Il modello di Cournot (1838) è indubbiamente uno dei modelli di oligo-polio più conosciuti. L’analisi moderna di tale problema (nella versionepiù semplice possibile, con due imprese, costi marginali costanti e curvadi domanda lineare) considera due imprese, l’impresa 1 e l’impresa 2, lequali scelgono (simultaneamente e indipendentemente) la quantità daprodurre (rispettivamente, q1 per l’impresa 1 e q2 per l’impresa 2). Ledue imprese sono neutrali al rischio e producono con costi marginalicostanti e uguali a c. La quantità totale prodotta (Q = q1 + q2) vienepoi venduta sul mercato al massimo prezzo che i consumatori sono di-sposti a pagare per acquistare quella quantità. La funzione di domandainversa è p = a− bQ, con a, b > 0 (e p = 0 per Q > a/b).Ogni impresa sa come verranno determinati i prezzi. Tuttavia, non co-noscendo la quantità prodotta dall’altra, non è in grado di sapere qualesarà il profitto associato a ogni suo livello di produzione. Di conseguen-za, sceglierà la quantità da produrre in modo da massimizzare il suoprofitto atteso, date le sue credenze sul livello di produzione dell’altra.Per semplicità, ipotizziamo che ogni impresa abbia aspettative puntualisulla produzione dell’altra 59 .

Sia E1(q2)def= qe2 l’aspettativa dell’impresa 1 sulla produzione del-

l’impresa 2. Il profitto atteso dell’impresa 1 sarà quindi

[3.1] πe1(q1, qe2) = (a− b(q1 + qe2))q1 − cq1

L’impresa 1 sceglierà quella quantità q1 che risolve il problema seguente:

maxq1

πe1(q1, qe2)

La funzione πe1(q1, qe2) è concava in q1; di conseguenza, la condizione del

primo ordine (a− 2bq1 − bqe2 − c = 0) è sufficiente per un massimo. Lafunzione di risposta ottima (o funzione di reazione) q1(qe2) dell’impresa1, che ad ogni sua aspettativa sulla produzione dell’altra (qe2) associa ilsuo livello di produzione ottimo è quindi 60

[3.2] q1 =a− c− bqe2

2b

59. ‡ Si può dimostrare che il risultato finale non dipende da questa ipotesi, cheè stata fatta al solo scopo di semplificare l’analisi.60. Se qe2 >

a−cb, si ha p < c e, di conseguenza, q1 = 0.

c° Ferdinando Colombo 114 — i

introduzione alla teoria dei giochi

Per simmetria, se E2(q1)def= qe1 è l’aspettativa dell’impresa 2 sulla pro-

duzione dell’impresa 1, la funzione di reazione q2(qe1) dell’impresa 2è

[3.3] q2 =a− c− bqe1

2b

La funzione di reazione di ogni impresa è lineare e decrescente nell’a-spettativa sulla produzione dell’altra. Dall’eq. [3.2] si ha che, se qe2 = 0,la produzione ottima per l’impresa 1 è q1 = a−c

2b (la quantità prodotta inmonopolio) e che, se qe2 ≥ a−c

b , q1 = 0. Possiamo quindi concludere che,se l’impresa 1 è intelligente, razionale e conosce la struttura del gioco,produrrà una quantità q1 ∈ [0, a−c2b ] 61 . Per simmetria, se l’impresa 2è intelligente, razionale e conosce la struttura del gioco, produrrà unaquantità q2 ∈ [0, a−c2b ].Se l’impresa 1 sa che l’impresa 2 è intelligente, razionale e cono-

sce la struttura del gioco, sa che l’impresa 2 produrrà una quantitàq2 ∈ [0, a−c2b ]. Di conseguenza, avrà un’aspettativa sulla produzione del-l’impresa 2 del tipo qe2 ∈ [0, a−c2b ] (intervallo evidenziato in grassettonell’asse delle ordinate della fig. 3.19). Dall’eq. [3.2], se qe2 = 0 si haq1 =

a−c2b ; se q

e2 =

a−c2b si ha q1 = a−c

4b . Possiamo quindi concludere che,se l’impresa 1 è intelligente, razionale e conosce la struttura del giocoe sa che l’impresa 2 è intelligente, razionale e conosce la struttura delgioco, produrrà una quantità q1 ∈ [a−c4b , a−c2b ] (intervallo evidenziato ingrassetto nell’asse delle ascisse della fig. 3.19).

0-

6

HHHHHHHHHHHH

AAAAAAAAAAAA

a−c2b

a−c2b

a−cb

a−cb

q1, qe1

q2, qe2

©©¼

©©¼

q1(qe2)

q2(qe1)

p p p p p p p p p p p p p p p p

pppppppppppppppppppppppppppppp

a−c4b

figura 3.19. eliminazione iterata nel modello di cournot

61. In base alla Def. 3.2, possiamo dire che ogni livello di produzione q1 > a−c2b

èuna strategia strettamente dominata per l’impresa 1.

c° Ferdinando Colombo 114 — ii


Per simmetria, se l’impresa 2 è intelligente, razionale e conosce la strut-tura del gioco e sa che l’impresa 1 è intelligente, razionale e conosce lastruttura del gioco, produrrà una quantità q2 ∈ [a−c4b , a−c2b ].Eliminate tutte le strategie q2 < a−c

4b , l’aspettativa dell’impresa 1sulla produzione dell’impresa 2 sarà necessariamente del tipo qe2 ∈[a−c4b ,

a−c2b ] (intervallo evidenziato in grassetto nell’asse delle ordinate

della fig. 3.20). Dall’eq. [3.2], se qe2 =a−c4b si ha q1 = 3

8a−cb ; se

qe2 =a−c2b si ha q1 = a−c

4b . Possiamo quindi concludere che, se l’im-presa 1 è intelligente, razionale e conosce la struttura del gioco, sa chel’impresa 2 è intelligente, razionale e conosce la struttura del gioco esa che l’impresa 2 sa che lei (cioè l’impresa 1) è intelligente, razionalee conosce la struttura del gioco, allora l’impresa 1 produrrà una quan-tità q1 ∈ [a−c4b , 38 a−cb ] (intervallo evidenziato in grassetto nell’asse delleascisse della fig. 3.20).

0-

6

HHHHHHHHHHHHHHH

AAAAAAAAAAAAAAA

a−c2b

a−cb

a−cb

q1, qe1

q2, qe2

©©¼

©©¼

q1(qe2)

q2(qe1)

p p p p p p p p p p p p p p p p


a−c4b

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pppppppppppppppppa−c

4b

38a−cb

qrC

figura 3.20. eliminazione iterata nel modello di cournot(continua)

Per simmetria, q2 ∈ [a−c4b , 38 a−cb ].Eliminate tutte le strategie q2 > 3

8a−cb , l’aspettativa dell’impre-

sa 1 sulla produzione dell’impresa 2 sarà necessariamente del tipo qe2 ∈[a−c4b ,

38a−cb ]. Questo “affinamento” delle aspettative sul livello di pro-

duzione dell’impresa 2 comporterà un ulteriore assottigliamento dellequantità che possono essere ottime per l’impresa 1. Reiterando al-l’infinito questo procedimento, l’intervallo dei valori “ammissibili” si“contrarrà” fino a ridursi all’unico valore qC1 = a−c

3b . Per simmetria,

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qC2 = a−c3b . Questa coppia di quantità è rappresentata nella fig. 3.20

dal punto C, che è esattamente la soluzione fornita da Cournot, sebbe-ne il procedimento da lui adottato per ottenerla fosse completamentedifferente 62 .La parte finale di questo paragrafo è dedicata alla dimostrazione ma-

tematica del fatto che l’eliminazione iterata delle strategie strettamentedominate conduce a una sola soluzione, nella quale q1 = q2 = a−c

3b . Que-sto significa che l’ipotesi di conoscenza comune dell’intelligenza e razio-nalità dei giocatori e della struttura del gioco fa sì che ogni impresa sia ingrado di prevedere esattamente la quantità prodotta dall’altra: il ragio-namento precedente implica che le aspettative delle imprese converganoal valore corretto, cioè E2(q1) = q1 = a−c

3b e E1(q2) = q2 = a−c3b .

Dall’analisi precedente sappiamo che, se l’impresa 1 è intelligente,razionale e conosce la struttura del gioco,

q1 ∈ [0, a− c2b

]def= [s0, s1]

Se l’impresa 1 è intelligente, razionale e conosce la struttura del giocoe sa che l’impresa 2 è intelligente, razionale e conosce la struttura delgioco,

q1 ∈ [a− c4b

,a− c2b

]def= [s2, s1]

Se l’impresa 1 è intelligente, razionale e conosce la struttura del gioco,sa che l’impresa 2 è intelligente, razionale e conosce la struttura delgioco e sa che l’impresa 2 sa che lei (cioè l’impresa 1) è intelligente,razionale e conosce la struttura del gioco,

q1 ∈ [a− c4b

,3

8

a− cb]def= [s2, s3]

Continuando con il ragionamento, q1 ∈ [s4, s3], q1 ∈ [s4, s5], e così via,con s0 = 0 e sn+1 = a−c−bsn

2b . Questa successione è rappresentabilegraficamente come segue

62. Nel par. 4.9.1. vedremo invece la versione attualmente più popolare dellasoluzione di Cournot, come unico equilibrio di Nash del gioco.

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-

6

HHHHHHHHHHHHHHHHHHp p p p p p p pp p p p p p p p

p p p p p p p pp p p p p p p p

p p p p p p p pp p p p p p p p

p p

s0

s1

s1 a−cb

sn

sn+1

©©¼sn+1 =

a−c−bsn2b

sn+1 = sn

6-

?¾6-?

s2

s2

s3

s3 r

figura 3.21. convergenza alla soluzione di cournot

Dal grafico è evidente come la successione sn+1 converga 63; il valore alquale converge si ottiene dall’equazione sn+1 = sn, cioè a−c−bsn

2b = sn,da cui sn = a−c

3b .

esercizio 3.1 ‡ Mostrate che, nel caso di tre imprese, ogni livello diproduzione inferiore a quello ottimo in monopolio è razionalizzabile.

3.11.2. L’asta inglese e l’asta di secondo prezzo (o asta di Vickrey)

Nella teoria tradizionale del monopolio, un’impresa conosce la funzionedi domanda di mercato e sceglie il prezzo che massimizza i suoi profitti.In alcuni casi, però, il monopolista non conosce la funzione di doman-da, ma ha solamente delle aspettative su di essa. In una situazione delgenere può decidere di fissare un prezzo, nella speranza che le sue aspet-tative si rivelino essere corrette, oppure può fare in modo che il prezzosia determinato in qualche modo dai compratori. Una possibilità in talsenso consiste nel ricorrere ad un’asta, con la quale il venditore sceglie ilnumero di unità vendute e lascia che la competizione tra i partecipantidetermini il prezzo al quale quelle unità verranno vendute.Quando pensiamo a un’asta, ci viene immediatamente in mente una

classica asta à la Sotheby’s, vista tante volte al cinema: un banditoreannuncia il prezzo di partenza; successivamente i potenziali acquirentifanno delle offerte al rialzo; quando non ci sono più offerte, il bene vie-ne aggiudicato all’ultimo offerente, il quale paga esattamente il prezzo

63. ‡ Tecnicamente, si ha una contrazione.

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offerto. Nella letteratura, si parla a questo proposito di asta inglese.La trattazione formale di questo tipo di asta presuppone che nella salad’aste esistano N persone. Ogni individuo attribuisce un certo valore albene venduto: sia vi la valutazione dell’individuo i, con i = 1, 2, . . . ,N .La strategia di ciascun individuo è in teoria molto complicata: per ognipossibile offerta da parte degli altri, deve decidere se fare un’ulterioreofferta e, in caso di risposta affermativa, di quanto rilanciare. Per quan-to riguarda la determinazione dell’esito finale dell’asta, però, ciò che èimportante è quando un individuo cessa di fare un’offerta. Per ogniindividuo, fintanto che l’offerta più alta da parte degli altri è inferiorealla sua valutazione del bene, non sarà mai ottimale per lui lasciare cheil bene venga assegnato a qualcun altro; egli riterrà quindi convenien-te fare un’ulteriore offerta, ovviamente non superiore al valore che egliattribuisce al bene. Possiamo quindi dire che lasciare che il bene vengaassegnato a qualcun altro a un prezzo inferiore alla propria valutazionedel bene è una strategia debolmente dominata 64. Ne consegue che l’a-sta andrà avanti fino a quando l’offerta di un individuo sarà tale che lavalutazione di tutti gli altri individui sia inferiore alla sua offerta. Que-sto implica che il bene verrà attribuito all’individuo che gli attribuisceil valore più elevato 65. Per quanto riguarda il prezzo che verrà paga-to, se ipotizziamo che i rilanci siano di entità modesta, l’individuo cheattribuisce al bene il secondo valore più alto cesserà di fare un’offertaquando la sua valutazione verrà raggiunta. Di conseguenza, l’individuocon la valutazione più alta riuscirà ad aggiudicarsi il bene con un’offer-ta finale leggerissimamente superiore alla valutazione dell’individuo cheattribuisce al bene il secondo valore più alto.È facile vedere che è possibile arrivare sostanzialmente allo stes-

so risultato anche mediante un’asta in busta chiusa al secondo prezzo.Quest’asta, proposta dal premio Nobel William Vickrey (1961), presup-pone che nel mercato esistano N potenziali acquirenti del bene. Comein precedenza, sia vi la valutazione dell’individuo i, con i = 1, 2, . . . ,N .Ogni individuo i conosce la sua valutazione vi e fa un’offerta in bustachiusa bi, ignorando la valutazione e l’offerta degli altri. Alla data discadenza dell’asta vengono aperte le buste e il bene viene attribuito al-l’individuo che ha fatto l’offerta più elevata, il quale non pagherà peròla sua offerta, bensì la seconda offerta più alta 66.

64. È una strategia solo debolmente (e non strettamente) dominata, in quantonon è detto che facendo un’offerta ulteriore l’individuo sarà alla fine in grado diaggiudicarsi il bene.65. Di conseguenza, questo tipo di asta conduce a una situazione efficiente nel

senso di Pareto. Se il bene fosse invece attribuito a un individuo la cui valutazionedel bene sia inferiore a quella di un altro, i due potrebbero poi scambiarsi il benead un prezzo compreso tra le due valutazioni, con mutuo vantaggio; in questo casola situazione considerata non sarebbe efficiente nel senso di Pareto.66. In caso di parità possiamo immaginare che l’assegnatario del bene sia estratto

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In questo tipo di asta, la strategia di ogni individuo è estremamentesemplice: dato il valore vi, egli fa un’offerta bi.Consideriamo dapprima il caso in cui ci sono due soli potenziali offe-

renti e concentriamo la nostra attenzione sull’individuo 1 il quale, datala sua valutazione v1, deve scegliere l’offerta b1. Trattandosi di un’astain busta chiusa, nel momento in cui effettua la sua scelta il giocatore 1ignora sia il valore v2 attribuito dall’individuo 2 sia la sua offerta b2.Mostriamo ora in modo formale che, qualunque sia l’offerta fatta dal-l’individuo 2, non è mai strettamente ottimale per l’individuo 1 fareun’offerta diversa dal valore che egli attribuisce al bene; questo signi-fica che la strategia v1 6= b1 è una strategia debolmente dominata perl’individuo 1. L’utilità dell’individuo 1 che fa un’offerta b1 dipendedall’offerta b2 dell’individuo 2 in base alla formula seguente:

[3.4] π1(b1, b2) =

v1 − b2 se b1 > b20.5(v1 − b2) se b1 = b2

0 se b1 < b2

Confrontiamo dapprima il caso in cui l’individuo 1 fa un’offerta ugualeal valore che egli attribuisce al bene (b1 = v1) con quello in cui faun’offerta inferiore (b1 < v1). Dall’eq. [3.4] si ha

π1(b1 = v1, b2)−π1(b1 < v1, b2) =

0 se v1 > b1 > b2(v1 − b2) > 0 se v1 > b2 > b10.5(v1 − b2) > 0 se v1 > b2 = b10 se b2 = v1 > b10 se b2 > v1 > b1

cioè, per ogni possibile offerta b2 da parte dell’individuo 2 non è maistrettamente ottimale per l’individuo 1 fare un’offerta più bassa delvalore che egli attribuisce al bene.Confrontiamo ora il caso in cui l’individuo 1 fa un’offerta uguale al

valore che egli attribuisce al bene (b1 = v1) con quello in cui fa un’offertasuperiore (b1 > v1). Dall’eq. [3.4] si ha

π1(b1 = v1, b2)−π1(b1 > v1, b2) =

0 se b1 > v1 > b20 se b1 > b2 = v1−(v1 − b2) > 0 se b1 > b2 > v1−0.5(v1 − b2) > 0 se b1 = b2 > v10 se b2 > b1 > v1

cioè, per ogni possibile offerta b2 da parte dell’individuo 2 non è mai

a sorte tra quelli che hanno fatto l’offerta più alta e la cifra pagata coincida con taleofferta.

c° Ferdinando Colombo 114 — vii


strettamente ottimale per l’individuo 1 fare un’offerta più elevata delvalore che egli attribuisce al bene.Abbiamo quindi dimostrato che fare un’offerta diversa dalla propria

valutazione del bene è una strategia debolmente dominata per l’indivi-duo 1. Questo significa che fare un’offerta uguale alla propria valuta-zione del bene è una strategia debolmente dominante. Per simmetria,una considerazione analoga vale per l’individuo 2.In maniera più informale, possiamo estendere questo risultato al

caso di un numero qualsiasi di potenziali offerenti. Da un lato, nonc’è alcun motivo di fare un’offerta inferiore alla propria valutazione delbene, in quanto i) se l’individuo ottiene comunque il bene, pagherà co-munque il secondo prezzo; ii) se l’individuo non ottiene comunque ilbene, non pagherà comunque nulla e non avrà comunque il bene; iii)se con un’offerta bassa non ottiene il bene mentre lo avrebbe ottenutocon un’offerta uguale alla sua valutazione, allora il secondo prezzo è in-feriore alla sua valutazione del bene; questo significa che con un’offertabassa non otterrà il bene e avrà quindi profitti nulli, mentre offrendola propria valutazione avrebbe ottenuto il bene ricavandone un profittopositivo. Dall’altro lato, non c’è alcun motivo di fare un’offerta su-periore alla propria valutazione del bene, in quanto (i) se l’individuoottiene comunque il bene, pagherà comunque il secondo prezzo; (ii) sel’individuo non ottiene comunque il bene, non pagherà comunque nul-la e non avrà comunque il bene; (iii) se con un’offerta elevata ottieneil bene mentre non lo avrebbe ottenuto con un’offerta uguale alla suavalutazione, allora il secondo prezzo eccede la sua valutazione del bene;questo significa che con un’offerta elevata pagherà il bene più di quantolo valuta e avrà quindi una perdita, mentre facendo un’offerta ugua-le alla propria valutazione non avrebbe ottenuto il bene e quindi nonavrebbe avuto alcuna perdita.Nella teoria delle aste si fa l’ipotesi che ogni individuo giochi la stra-

tegia debolmente dominante, cioè faccia un’offerta uguale alla propriavalutazione del bene. Ne consegue che anche in questo caso il bene ver-rà attribuito all’individuo che lo valuta di più; inoltre il prezzo pagatoda colui che si aggiudica il bene è uguale alla seconda valutazione piùalta. L’esito finale coincide quindi con quello che si avrebbe utilizzandoun’asta inglese 67.

67. Il lettore potrebbe ragionevolemente chiedersi se non sia meglio per il vendi-tore utilizzare un’asta in busta chiusa al primo prezzo, in cui il bene viene attribuitoall’individuo che fa l’offerta più alta ad un prezzo uguale a tale offerta. Questosembrerebbe far aumentare il prezzo di vendita del bene. La situazione è in realtàpiù complessa, in quanto in un’asta al primo prezzo non è più ottimale fare un’of-ferta uguale alla propria valutazione del bene (questa sarebbe infatti una strategiadebolmente dominata, che non permette mai all’offerente di ottenere un profitto po-sitivo), ma è meglio fare un’offerta più bassa. Di conseguenza, nel caso di un’asta alprimo prezzo l’offerta più elevata sarà più bassa di quella che si avrebbe in un’asta al

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equilibrio di nash e equilibrio correlato

3.11.3. Strategie dominate nel modello di Bertrand

Con la sua ormai famosa objection péremptoire, Bertrand (1883) hacriticato il modello di Cournot, in quanto non tiene conto del fattoche le imprese possono competere anche sul prezzo. Questo introduceuna “instabilità” nella soluzione di Cournot: se un’impresa diminuis-se leggermente il prezzo, si approprierebbe dell’intero mercato e quasiraddoppierebbe i profitti 68 .La versione più semplice possibile del modello di Bertrand considera

due imprese, le quali producono un bene omogeneo con costi marginalicostanti e uguali a c. Le imprese scelgono (simultaneamente e indipen-dentemente) il prezzo: l’impresa 1 fissa il prezzo p1 e l’impresa 2 fissail prezzo p2. Tutti i consumatori acquistano dall’impresa che fissa ilprezzo più basso; nel caso in cui le due imprese fissino lo stesso prezzo,si divideranno il mercato.È facile vedere che, per ogni impresa, fissare un prezzo minore di c

è una strategia debolmente dominata, in quanto con tale prezzo l’im-presa avrà un profitto negativo oppure nullo, a seconda che il prezzofissato dall’altra impresa sia maggiore o uguale oppure minore del suo,mentre fissando un prezzo maggiore di c avrebbe un profitto positivooppure nullo, sempre a seconda che il prezzo fissato dall’altra impresasia maggiore o uguale oppure minore del suo. Fissare un prezzo ugualea c è parimenti una strategia debolmente dominata, in quanto l’impresaha con certezza un profitto nullo, mentre fissando un prezzo maggioredi c avrebbe un profitto positivo oppure nullo, a seconda che il prezzofissato dall’altra impresa sia maggiore o uguale oppure minore del suo.Come vedremo nel par. 4.9.2., la soluzione di Bertrand (B) richiede chepB1 = p

B2 = c: le imprese giocano una strategia debolmente dominata,

che le condanna ad avere profitti nulli.

secondo prezzo, ma verrà pagato il primo prezzo e non il secondo. L’esito finale piùquindi essere migliore o peggiore per il venditore a seconda che prevalga il secondoo il primo effetto. Per approfondimenti sulla teoria delle aste in generale, si vedanoMilgrom (1985), McAfee e McMillan (1987), Wilson (1990), Klemperer (1999, 2002)e, in italiano, Parisio (1999). Per un’analisi più specifica delle condizioni che possonoportare all’equivalenza tra i diversi tipi di aste, si vedano Myerson (1981), Riley eSamuleson (1981) e Maskin e Riley (1985).68. Ritorneremo diffusamente su questo argomento nei parr. 4.9.2. e 5.9.3.*.

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4.9.1. Equilibrio di Nash nel modello di Cournot

Il modello di Cournot con due imprese. Riprendiamo ora la versio-ne più semplice possibile del modello di Cournot (1838), introdottanel par. 3.11.1.. Due imprese producono un bene omogeneo, con co-sti marginali costanti e uguali a c. Esse scelgono (simultaneamente eindipendentemente) la quantità da produrre: l’impresa 1 produce unaquantità q1, mentre l’impresa 2 produce una quantità q2. La quantitàtotale del bene (Q = q1 + q2) viene venduta sul mercato al massimoprezzo al quale i consumatori sono disposti ad acquistarla. La funzionedi domanda inversa è p = a− bQ (con p = 0 se Q > a/b).Nel par. 3.11.1. abbiamo visto come l’eliminazione iterata delle stra-

tegie strettamente dominate conduca a un’unica soluzione, nella qualeqC1 = qC2 = a−c

3b . Ovviamente, in base alla prop. 4.1, la soluzione diCournot è anche l’unico equilibrio di Nash del gioco. In questo paragra-fo preferiamo però ottenere tale risultato in modo esplicito, in quantociò ci permette di illustrare il procedimento con il quale è possibilecalcolare gli equilibri di Nash in strategie pure di un gioco con due gio-catori quando ogni giocatore dispone di infinite strategie possibili 48 .Inoltre, saremo in grado di estendere il risultato di Cournot al caso diun numero qualsiasi N di imprese.Un equilibrio di Nash richiede che ogni impresa giochi una rispo-

sta ottima alla strategia adottata dall’altra impresa. Data la quantitàq2 prodotta dall’impresa 2, l’impresa 1 risolverà il problema seguente:maxq1

π1(q1, q2), con

[4.5] π1(q1, q2) = (a− b(q1 + q2))q1 − cq1La funzione π1(q1, q2) è concava in q1. Di conseguenza, la condizionedel primo ordine (a− 2bq1 − bq2 − c = 0) è sufficiente per un massimo.La funzione di risposta ottima (o funzione di reazione) q1(q2) dell’im-presa 1, che ad ogni valore della produzione da parte dell’impresa 2 (q2)associa il livello di produzione ottimo per l’impresa 1, è quindi

[4.6] q1 =a− c− bq2

2b

con q1 = 0 se q2 > a−cb . Per simmetria, la funzione di reazione q2(q1)

48. Nel modello di Cournot la quantità prodotta è infatti un qualunque numeroreale non negativo.



dell’impresa 2 è

[4.7] q2 =a− c− bq1

2b

con q2 = 0 se q1 > a−cb .

Le funzioni di reazione delle due imprese possono essere descrittegraficamente mediante curve di reazione.

-

6

HHHHHHHHHHHH

AAAAAAAAAAAA

a−c2b

a−c2b

a−cb

a−cb

q1

q2

©©¼

©©¼

q1(q2)

q2(q1)

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pppppppppppppppppppppprCa−c

3b

a−c3b

figura 4.19. la soluzione di cournotcome unico equilibrio di nash

Gli equilibri di Nash in strategie pure di un gioco come questo sono tutti(e soli) i punti di intersezione delle curve di reazione dei giocatori. Nelmodello di Cournot, esiste un solo equilibrio, rappresentato dal puntoC in figura. Dalle eqq. [4.6] e [4.7] si ha 49

[4.8] qC1 =a− c3b

e

[4.9] qC2 =a− c3b

49. Il lettore può notare come avremmo potuto ottenere lo stesso risultato dalleeqq. [3.2] e [3.3], ponendo qe2 = q2 e qe1 = q1 (dove E1(q2) = qe2 e E2(q1) =qe1 sono, rispettivamente, l’aspettativa dell’impresa 1 e dell’impresa 2 sul livello diproduzione dell’altra impresa). Il concetto di equilibrio di Nash richiede infattiche ogni giocatore abbia delle aspettative corrette sul comportamento degli altrigiocatori e, in base ad esse, massimizzi la sua utilità attesa soggettiva.



Dalla funzione di domanda inversa si ha poi

[4.10] pC =a+ 2c

3

Infine, dall’eq. [4.5], tenendo conto della simmetria tra le imprese, siha

[4.11] πC1 = πC2 =(a− c)29b

Vale ora la pena confrontare la soluzione di Cournot con l’esito che siavrebbe in monopolio. Un’impresa monopolista risolverebbe il proble-ma seguente: max

qπ(q), con

[4.12] π(q) = (a− bq)q − cq

La funzione π(q) è concava in q. Di conseguenza, la condizione del primoordine (a − 2bq − c = 0) è sufficiente per un massimo. La produzioneottima per un monopolista (qM ) è quindi

[4.13] qM =a− c2b

Dalla funzione di domanda inversa si ha

[4.14] pM =a+ c

2

e, dall’eq. [4.12],

[4.15] πM =(a− c)24b

Come era piuttosto ovvio che fosse, dalle eqq. [4.8], [4.9] e [4.13],si ha qC1 + q

C2 > qM e, dalle eqq. [4.11] e [4.15], πC1 + πC2 < πM :

quando le due imprese competono tra di loro à la Cournot, produconocongiuntamente più di un monopolista e hanno profitti minori. Questorisultato dipende dalla presenza di una “esternalità negativa”: ogniimpresa, nel decidere quanto produrre, tiene conto solamente dell’effettodella sua produzione sui suoi profitti, mentre trascura l’effetto di unavariazione della sua produzione sui profitti dell’altra impresa (effettonegativo, come si osserva immediatamente dall’eq. [4.5]).Naturalmente, le imprese si rendono conto che, se avessero un at-

teggiamento più “cooperativo”, potrebbero avere entrambe un profittopiù elevato. Per esempio, se ogni impresa producesse la metà di quel-



lo che produrrebbe un monopolista (q1 = q2 =a−c4b ), le due imprese

massimizzerebbero i profitti congiunti, e ogni impresa avrebbe la me-tà del profitto del monopolista (π1 = π2 =

(a−c)28b ), che è superiore al

profitto nella soluzione di Cournot (πC1 = πC2 =(a−c)29b ). Tuttavia, se

un’impresa si aspetta che l’altra produca una quantità a−c4b , non avrà

alcuna convenienza a produrre anch’essa tale quantità, in quanto il pun-to (a−c4b ,

a−c4b ) non si trova sulla sua curva di reazione. Formalmente, se

l’impresa 2 producesse q2 = a−c4b , dall’eq. [4.5] si ha

∂π1(q1,a−c4b )

∂q1= a− 2bq1 − a− c

4− c

da cui

[4.16]∂π1(

a−c4b ,

a−c4b )

∂q1=a− c4

> 0

L’eq. [4.16] mostra che se l’impresa 2 producesse una quantità q2 =a−c4b , per l’impresa 1 non sarebbe ottimale produrre una quantità q1 =a−c4b (massimizzando in tal modo i profitti congiunti), in quanto potreb-be avere profitti più elevati producendo una quantità più elevata (anchese questo farebbe diminuire i profitti congiunti, e quindi il danno pro-vocato all’altra impresa sarebbe maggiore del beneficio da lei goduto —un risultato classico in presenza di “esternalità negative”). Questo ri-sultato evidenzia l’instabilità intrinseca dei cartelli: ogni accordo “nonvincolante” (par. 3.6.1) a dividersi equamente il mercato è destinatoinevitabilmente al fallimento 50.Può a questo punto essere utile confrontare la soluzione di Cournot

con l’esito che si avrebbe in presenza di concorrenza perfetta (CP ). Inun mercato perfettamente concorrenziale con costi marginali c costanti,la curva di offerta dell’industria è una retta orizzontale al livello deicosti marginali. In equilibrio, si ha quindi pCP = c e, dalla funzione di

domanda inversa, qCP =a− cb. Si ha quindi

pCP < pC < pM

50. La situazione è abbastanza simile al Dilemma del prigioniero : entrambe le im-prese beneficerebbero da una produzione minore, che assicurerebbe prezzi e profittimaggiori, ma ciascuna impresa ha un incentivo “individuale” a produrre una quan-tità più elevata. Come abbiamo visto nel par. 3.6.2, affinché un accordo di questotipo possa funzionare (in un gioco che viene giocato una sola volta), è necessario chele parti modifichino il gioco, in modo che chi non mantenga fede all’accordo venga inqualche modo “punito”. Un ambito ovvio in cui è concepibile l’idea di “punizione”è una situazione in cui il gioco non viene giocato una sola volta, ma più volte. Peralcune considerazioni su questo tipo di giochi, si veda il par. 5.9.4..



e

qCP > qC > qM

L’oligopolio di Cournot con due imprese è quindi “più vicino” all’e-sito concorrenziale del mercato di quanto non lo sia la situazione dimonopolio. Nel passaggio da una a due imprese c’è quindi stato unavvicinamento alla situazione concorrenziale. Vogliamo ora vedere sequesto è vero anche quando si passa da due a tre imprese, da tre aquattro imprese, e così via.

Il modello di Cournot con N imprese. Sia qi la produzione dell’impresai, con i = 1, 2, . . . , N . La quantità totale prodotta dalle N imprese

esistenti nell’economia è quindi Q =NPi=1qi. Il profitto dell’impresa i è

(a− bNXj=1

qj)qi − cqi

Data la quantità prodotta dalle altre imprese, l’impresa i deve risolvereil problema seguente:

maxqi(a− b

NXj=1

qj)qi − cqi

La funzione di profitto dell’impresa i è concava in qi. Di conseguenza,la condizione del primo ordine (a− bP

j 6=iqj − 2bqi − c = 0) è sufficiente

per un massimo. La funzione di reazione dell’impresa i è

[4.17] qi =a− c− bPj 6=i qj

2b

Il gioco è simmetrico. Concentriamo quindi la nostra attenzione sugliequilibri simmetrici, nel quale tutte le imprese producono la stessa quan-tità. Sia qi = q la produzione dell’impresa i, per ogni i = 1, 2, . . . , N eQ = Nq la quantità totale prodotta nell’industria.Da qj = q per ogni j = 1, 2, . . . , N , si ha che

Pj 6=i qj = (N − 1)q.

Dall’eq. [4.17], dopo semplici passaggi, si ottiene

[4.18] q =a− c

(N + 1)b



da cui

[4.19] Q =N

N + 1

a− cb

Inserendo tale risultato nella funzione di domanda inversa si ottiene ilprezzo di Cournot nel modello con N imprese:

[4.20] p = a− N

N + 1(a− c) = c+ 1

N + 1(a− c)

Dall’eq. [4.20] si ha che, nel modello di Cournot, il prezzo è maggiore delcosto marginale. Di conseguenza, la situazione finale non è efficiente nelsenso di Pareto: la presenza di un potere di mercato positivo dà luogoa un’inefficienza rispetto alla situazione di concorrenza perfetta. Infine,il profitto di una generica impresa è

[4.21] π(q, q, . . . , q) = pq − cq = (a− c)2(N + 1)2b

mentre il profitto globale dell’industria è

[4.22] Π(q, q, . . . , q) = N(a− c)2(N + 1)2b

All’aumentare del numero di imprese, il prezzo tende a diminuire (eq.[4.20]). Al limite, quando N tende a infinito, il prezzo tende al costomarginale c e il profitto di ogni impresa e dell’industria nel suo comples-so tende a zero (eqq. [4.21] e [4.22]), esattamente come avverrebbe inun mercato di concorrenza perfetta. Possiamo quindi concludere che,all’aumentare del numero di imprese, il loro potere di mercato dimi-nuisce e, di conseguenza, diminuisce il livello di inefficienza del merca-to. Questo risultato conferma l’intuizione secondo la quale, per averecompetizione (o, comunque, per raggiungere l’esito che si avrebbe inconcorrenza perfetta), è necessario avere un numero elevato di imprese.

4.9.2. Equilibrio di Nash nel modello di Bertrand

Consideriamo nuovamente le due imprese del paragrafo precedente, cheproducono con costi marginali costanti e uguali a c. Ipotizziamo peròche ora la competizione non abbia luogo sulla quantità, bensì sul prezzo.Le imprese scelgono (simultaneamente e indipendentemente) il prezzodi vendita. L’impresa 1 fissa il prezzo p1, mentre l’impresa 2 fissa ilprezzo p2. Il bene venduto dalle imprese è omogeneo. Di conseguenza,ogni consumatore sceglierà di acquistare dall’impresa che fissa il prezzo



più basso. Nel caso in cui le due imprese fissino lo stesso prezzo, ipo-tizziamo che si dividano il mercato. Se Q(p) è la funzione di domandadi mercato 51 , le funzioni di domanda delle due imprese, che ad ognicoppia di prezzi associano la quantità che ogni impresa è in grado divendere, sono

[4.23] D1(p1, p2) =

Q(p1) p1 < p212Q(p1) p1 = p20 p1 > p2

e

[4.24] D2(p1, p2) =

0 p1 < p212Q(p2) p1 = p2Q(p2) p1 > p2

Le funzioni di domanda delle due imprese sono discontinue, anche nelcaso in cui la funzione di domanda di mercato sia continua. In terminiintuitivi, finché l’impresa 1 fissa un prezzo p1 < p2, si appropria dell’in-tero mercato. Di conseguenza, la funzione di domanda per tale impresacoincide con la funzione di domanda di mercato Q(p1), che ipotizzia-mo essere continua. Tuttavia, non appena p1 eguaglia p2, la domandaper l’impresa 1 si dimezza; infine, non appena scende al di sotto di p2,“crolla” a zero 52.Questa discontinuità causa un problema “tecnico”, che ci suggerisce

di non cercare di calcolare l’equilibrio di Nash del gioco come interse-zione delle curve di reazione delle due imprese: se un’impresa fissa unprezzo maggiore del costo marginale, la risposta ottima dell’altra im-presa potrebbe consistere nel fissare un prezzo “leggermente” inferiore,in modo da appropriarsi dell’intero mercato 53 .

51. Nella versione più semplice del modello di Cournot analizzata in precedenza,la funzione di domanda di mercato inversa p(Q) era p = a − bQ. Di conseguenza,la curva di domanda Q(p) era Q = a/b − p/b. Nel seguito non considereremo unaparticolare funzione di domanda, in quanto il risultato di Bertrand non dipendedalla funzione scelta.52. † Nel par. 5.9.3.† vedremo come questa discontinuità possa scomparire

quando i beni venduti non sono omogenei.53. † Formalmente, ipotizziamo che l’impresa 2 fissi un prezzo p2 > c. Se l’im-

presa 1 fissa un prezzo p1 > p2, non venderà nulla e avrà profitti nulli. Se fissa unprezzo p1 = p2, servirà metà del mercato e avrà un profitto uguale a 1

2(p2−c)Q(p2).

Infine, se fissa un prezzo p1 = p2 − ε, con ε > 0, coprirà l’intero mercato e avrà unprofitto uguale a (p2− ε− c)Q(p2− ε). Per la continuità della funzione di domandaaggregata, se ε −→ 0↓ (cioè tende a zero dall’alto o, come si dice spesso, dalla de-stra) il profitto dell’impresa tende a (p2−c)Q(p2), che è il doppio di 12 (p2−c)Q(p2):diminuendo leggermente il prezzo, l’impresa è quindi in grado di quasi raddoppiarei profitti.‡ Di conseguenza se le caratteristiche della funzione di domanda di mercato e



Vogliamo ora dimostrare che la soluzione di Bertrand (B) (pB1 =pB2 = c) è l’unico equilibrio di Nash del gioco.Mostriamo dapprima che si tratta di un equilibrio di Nash. Per far

questo, dobbiamo verificare che ogni impresa gioca una risposta ottimaalla strategia adottata dall’altra impresa. Ipotizziamo che l’impresa 2scelga un prezzo p2 = c. Se l’impresa 1 fissa un prezzo p1 < p2 =c, conquisterà l’intero mercato, ma venderà ogni unità a un prezzoinferiore al costo di produzione; di conseguenza, avrà una perdita. Sefissa un prezzo p1 = p2 = c, otterrà metà del mercato; poiché ogniunità viene venduta al costo di produzione, il profitto dell’impresa 1sarà uguale a zero. Infine, se fissa un prezzo p1 > p2 = c, non venderànulla e avrà quindi (anche in questo caso) un profitto uguale a zero.Possiamo quindi concludere che la strategia p1 = c è una rispostaottima dell’impresa 1 alla strategia p2 = c da parte dell’impresa 2. Persimmetria, la strategia p2 = c è una risposta ottima dell’impresa 2 allastrategia p1 = c da parte dell’impresa 1. La coppia di strategie p1 = ce p2 = c (sinteticamente, p1 = p2 = c) è quindi un equilibrio di Nashdel gioco.Vogliamo ora mostrare che la soluzione di Bertrand è l’unico equili-

brio di Nash in strategie pure del gioco. Per far questo mostreremo cheogni altra coppia di strategie non può essere un equilibrio di Nash.Consideriamo dapprima il caso p1 > p2 > c. È facile mostrare che

l’impresa 1 non sta giocando una risposta ottima alla strategia adot-tata dall’impresa 2. Intuitivamente, se l’impresa 1 fissasse un prezzoleggermente inferiore a p2 (ma comunque maggiore di c) si approprie-rebbe dell’intero mercato e otterrebbe un profitto positivo 54, mentrefissando un prezzo p1 > p2 non venderebbe nulla e avrebbe quindi unprofitto nullo. Se l’impresa 1 non sta giocando una risposta ottima al-la strategia adottata dall’impresa 2, la situazione considerata non puòessere un equilibrio di Nash. Un ragionamento simmetrico vale per ilcaso p2 > p1 > c.Consideriamo ora il caso p1 > p2 = c. In questo caso è facile mostra-

re che l’impresa 2 non sta giocando una risposta ottima alla strategiaadottata dall’impresa 1. Fissando p2 = c, l’impresa 2 vende ogni unità alcosto di produzione; di conseguenza ha profitti uguali a zero. Se invecefissasse un prezzo maggiore di cma comunque inferiore a p1, venderebbeuna quantità positiva a un prezzo superiore al costo di produzione e ot-

il prezzo praticato dall’impresa 2 sono tali che l’impresa 1 non desidera fissare unprezzo sensibilmente inferiore a p2, il problema di massimo dell’l’impresa 1 non èben definito: esiste infatti un estremo superiore, ma non un massimo. Ne consegueche non esiste una corrispondenza di risposta ottima (almeno nel modo in cui è statadefinita fino ad ora).54. * Formalmente, esiste un η > 0 tale che p1 = p2 − η > c. Con questo prezzo

l’impresa 1 avrebbe un profitto π1 = (p2 − η − c)Q(p2 − η) > 0.



terrebbe quindi un profitto positivo 55 . Se l’impresa 2 non sta giocandouna risposta ottima alla strategia adottata dall’impresa 1, la situazioneconsiderata non può essere un equilibrio di Nash. Un ragionamentosimmetrico vale per il caso p2 > p1 = c.Consideriamo ora il caso p1 = p2 > c. Le due imprese si dividono

equamente il mercato e hanno un profitto positivo. Nessuna delle dueimprese sta giocando una risposta ottima alla strategia adottata dall’al-tra impresa, perché diminuendo leggermente il prezzo sarebbe in gradodi quasi raddoppiare le vendite e i profitti 56. Di conseguenza, anchequesta situazione non può essere un equilibrio di Nash.Consideriamo infine il caso in cui almeno una delle due imprese fissa

un prezzo inferiore a c. Questo significa che almeno una delle impreseha un profitto negativo. Naturalmente tale impresa non sta giocandouna risposta ottima alla strategia adottata dall’altra impresa, in quantofissando un prezzo maggiore o uguale a c avrebbe profitti non negativi.Di conseguenza, anche questa situazione non può essere un equilibriodi Nash del gioco.Abbiamo così dimostrato che la soluzione di Bertrand (pB1 = p

B2 = c)

è l’unico equilibrio di Nash in strategie pure del gioco in cui le impre-se scelgono simultaneamente il prezzo. Il risultato “prezzo uguale co-sto marginale” assicura che la situazione finale è efficiente nel senso diPareto.L’esito del modello di Bertrand coincide con quello di un mercato

perfettamente concorrenziale e con quello di un mercato oligopolisticoà la Cournot quando il numero delle imprese tende a infinito. Questomodello viene spesso presentato nella teoria economica per illustrarel’idea che anche in oligopolio (con poche imprese) è possibile ottenereun risultato simile a quello concorrenziale, purché le imprese competanonel modo “giusto” 57.

55. * Formalmente, esiste un η > 0 tale che p1 > c + η > c. Fissando un prezzop2 = c+ η, l’impresa 2 avrebbe un profitto π2 = ηQ(c+ η) > 0.

56. * Come abbiamo visto in precedenza (nota 53), se l’impresa 1 fissa un prezzouguale a p2 ha un profitto uguale a 1

2(p2 − c)Q(p2), mentre se fissasse un prezzo

uguale a p2 − ε, con ε −→ 0↓, avrebbe un profitto che tende a (p2 − c)Q(p2).57. È però opportuno avvertire il lettore che l’attenuazione di alcune delle ipotesi

del modello di Bertrand (beni omogenei, capacità produttiva illimitata, gioco nonripetuto) conduce a risultati anche molto diversi. Per approfondimenti, si vedaTirole (1988, p. 211—212). In questo lavoro ci limiteremo a considerare il caso in cui,per i consumatori, i beni prodotti non sono omogenei (par. 5.9.3.*). Dopo aver lettoil par. 5.9.4.*, il lettore sarà poi in grado di fare alcune considerazioni sui possibilieffetti della ripetizione del gioco.


l’idea di razionalità futura


5.9.1. Il modello di Stackelberg

Consideriamo nuovamente lo scenario molto semplice nel quale abbia-mo sviluppato l’analisi del modello di Cournot (parr. 3.11.1. e 4.9.1.).Due imprese producono un bene omogeneo, con costi marginali costantie uguali a c. Esse scelgono la quantità da produrre: l’impresa 1 pro-duce una quantità q1, mentre l’impresa 2 produce una quantità q2. Laquantità totale del bene (Q = q1 + q2) viene poi venduta sul mercatoal massimo prezzo al quale i consumatori sono disposti ad acquistarla.La funzione di domanda inversa è p = a− bQ (con p = 0 se Q > a/b).Ipotizziamo ora che l’impresa 1 sia leader nel mercato, cioè sia in

grado di scegliere q1 prima dell’impresa 2, la quale sceglierà q2 solo dopoavere osservato la produzione q1 da parte dell’impresa 1.La competizione sulla quantità in cui la scelta delle imprese è se-

quenziale (e non simultanea, come in Cournot) è stata proposta perla prima volta da Stackelberg (1934). Siamo in presenza di un giococon informazione perfetta (def. 2.2). Come è usuale in questi tipi digiochi, calcoliamo l’equilibrio perfetto nei sottogiochi utilizzando il se-condo metodo 29. Esso rappresenterà anche la soluzione per induzionea ritroso (prop. 5.2), la quale è implicata dall’ipotesi di conoscenza co-mune dell’intelligenza e razionalità dei giocatori e della struttura delgioco (prop. 5.1).Il gioco è a due stadi:

i) nel primo stadio, l’impresa 1 sceglie il livello di produzione q1;ii) nel secondo stadio, l’impresa 2 osserva il livello di produzione q1dell’altra impresa e sceglie il suo livello di produzione q2.L’utilizzo del secondo metodo di calcolo degli equilibri perfetti nei

29. L’utilizzo del primo metodo risulta invece molto più complesso, in quanto ri-chiede di calcolare tutti gli equilibri di Nash del gioco. Nella versione sequenziale delproblema, la strategia dell’impresa 1 consiste nel livello di produzione q1, mentre lastrategia dell’impresa 2 è del tipo q2(q1), cioè deve specificare il livello di produzionedell’impresa 2 per ogni possibile livello di produzione da parte dell’impresa 1. Valela pena di notare che esistono infiniti equilibri di Nash nei quali le imprese produ-cono la quantità di Cournot. Un esempio di questi equilibri è quello in cui l’impresa1 produce la quantità qC1 , l’impresa 2 produce la quantità q

C2 in risposta a q1 = qC1

e una quantità maggiore di a/b (tale che, quindi, p = 0) in risposta a ogni q1 6= qC1 .È facile vedere che ciascun giocatore gioca effettivamente una risposta ottima allastrategia adottata dall’altro giocatore. Ne consegue che il leader di Stackelberg nonpuò avere profitti minori di un’impresa di Cournot. Successivamente mostreremoche questi equilibri non soddisfano l’idea di razionalità futura, non essendo perfettinei sottogiochi. Inoltre, il leader di Stackelberg avrà profitti strettamente maggioridi un’impresa di Cournot.



sottogiochi richiede di partire dalla fine del gioco. Consideriamo quindiil secondo stadio del gioco. L’impresa 2 sceglie il livello di produzioneq2 in modo da risolvere il problema seguente: max

q2π2(q1, q2), con

[5.25] π2(q1, q2) = (a− b(q1 + q2))q2 − cq2La funzione π2(q1, q2) è concava in q2. Di conseguenza, la condizionedel primo ordine (a− bq1 − 2bq2 − c = 0) è sufficiente per un massimo.La funzione di risposta ottima (o funzione di reazione) q2(q1) dell’im-presa 2, che ad ogni livello di produzione q1 da parte dell’impresa 1associa il livello di produzione q2 ottimo per l’impresa 2, è quindi

[5.26] q2 =a− c− bq1

2b

con q2 = 0 se q1 > a−cb .

30

Risolto il secondo stadio del gioco, passiamo al primo stadio. L’im-presa 1 si rende conto che ogni suo livello di produzione q1 provocheràuna “reazione” da parte dell’impresa 2, la quale sceglierà il livello diproduzione per lei ottimo sulla base della funzione q2(q1) (eq. [5.26]).L’impresa 1 risolverà quindi il problema seguente: max

q1π1(q1, q2(q1)),

con

[5.27] π1(q1, q2(q1)) = (a− b(q1 + q2(q1)))q1 − cq1

Sostituendo q2(q1) cona− c− bq1

2b(eq. [5.26]), l’impresa 1 risolverà

quindi il problema seguente : maxq1

π1(q1), con

[5.28] π1(q1) = (a− b(q1 + a− c− bq12b

))q1 − cq1

Graficamente, l’impresa 1 sceglie sulla curva di reazione dell’impresa 2il punto che le assicura il profitto più elevato.La funzione π1(q1) è concava in q1. Di conseguenza, la condizione delprimo ordine (a−2bq1+ a−c−2bq1

2b −c = 0) è sufficiente per un massimo.La quantità ottima prodotta dall’impresa 1 nel modello di Stackelbergè quindi

[5.29] qS1 =a− c2b

Dall’eq. [5.26], si ricava la quantità prodotta dall’impresa 2 nel modello

30. Avevamo già ottenuto questa funzione nel par. 4.9.1. (eq. [4.7]).



di Stackelberg:

[5.30] qS2 =a− c4b

Dalle eqq. [5.28] e [5.29], con semplici passaggi si ottiene il profitto delleader di Stackelberg:

[5.31] πS1 =(a− c)28b

Analogamente, dalle eqq. [5.25] e [5.30], si ottiene il profitto del followerdi Stackelberg:

[5.32] πS2 =(a− c)216b

Confrontando le eqq. [5.31] e [5.32] con l’eq. [4.11], si ottiene:

[5.33] πS1 > πC1 e πS2 < πC2

Il leader di Stackelberg beneficia della possibilità di essere il primo ascegliere la quantità da produrre e ottiene un profitto superiore a quellodi un’impresa di Cournot. Il follower di Stackelberg è invece danneg-giato dal fatto di muovere per secondo e ottiene un profitto inferiore aquello di un’impresa di Cournot.

5.9.2. Il modello di Brander e Spencer (1985)

Competizione internazionale senza interventi statali. Consideriamo dueimprese: l’impresa 1, che produce nel Paese 1, e l’impresa 2, che pro-duce nel Paese 2. Il bene prodotto dalle due imprese viene interamenteesportato nel Paese 3. Le due imprese competono tra di loro à la Cour-not. Per semplicità, ipotizziamo che il costo marginale di produzionedi ogni impresa sia costante e uguale a zero.Se immaginiamo che la funzione di domanda inversa del bene sia p =1 − Q (con Q = q1 + q2 e p = 0 per Q > 1), dalle eqq. [4.6] e [4.7],ponendo a = b = 1 e c = 0, si ottengono le funzioni di reazione delledue imprese:

[5.34] q1 =1− q22



e

[5.35] q2 =1− q12

Dall’intersezione delle due curve di reazione si ottengono tutti (e soli)gli equilibri di Nash in strategie pure del gioco:

-

6

HHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHH

AAAAAAAAAAAAAA

12

12

1

1 q1

q2

©©¼1−q12

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pppppppppppppppppppppprC1

3

13

©©¼1−q22

figura 5.18: produzione di equilibrio in assenza di sussidi

Dalle eqq. [5.34] e [5.35], l’unico equilibrio di Nash del gioco inassenza di sussidi e imposte è:

[5.36] q∗1 = q∗2 =

1

3

Competizione internazionale con l’intervento di un solo stato. Ipotiz-ziamo ora che, prima che le due imprese scelgano la quantità da pro-durre, il governo del Paese 1 possa intervenire introducendo un sussidiooppure un’imposta sulle esportazioni. Sia t1 l’ammontare del sussidio(se t1 < 0) o dell’imposta (se t1 > 0), il quale si applica ad ogni quantitàdel bene prodotto (e venduto). Questo significa che il costo marginaledi ogni unità prodotta sarà ora uguale a t1 (positivo oppure negativo).Si tratta quindi di un gioco a due stadi:i) nel primo stadio il governo del Paese 1 sceglie l’ammontare t1 del-l’imposta (o del sussidio) sulle esportazioni;



ii) nel secondo stadio, dopo aver osservato l’ammontare t1 dell’impo-sta (o del sussidio) sulle esportazioni scelta dal governo del Paese 1, leimprese dei Paesi 1 e 2 determinano (simultaneamente e indipendente-mente) la quantità da produrre (rispettivamente, q1 e q2).Calcoliamo l’equilibrio perfetto nei sottogiochi utilizzando il secon-

do metodo.Consideriamo dapprima il secondo stadio del gioco. Dall’eq. [4.6], po-nendo a = b = 1 e c = t1, si ottiene la funzione di reazione dell’impresa1:

[5.37] q1 =1− t1 − q2

2

La funzione di reazione dell’impresa 2 rimane invece invariata (eq. [5.35]):

[5.38] q2 =1− q12

Gli equilibri di Nash in strategie pure del secondo stadio del giocosono tutti (e soli) i punti di intersezione delle curve di reazione delledue imprese.

-

6

HHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHH

AAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

12

12

1

1 q1

q2

©©¼

©©¼

1−t1−q22

, con t1 < 0

1−q12

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pppppppppppppppppppppprC1

3

13

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ppppppppppprT1

3+ 1

3t1

13− 2

3t1

1− t1

©©©©©©¼

1−q22

Figura 5.19: produzione di equilibrio con un sussidio



all’esportazione nel paese 1

Dalle eqq. [5.37] e [5.38], l’unico equilibrio di Nash del secondo stadiodel gioco in presenza di un sussidio (o di un’imposta) nel Paese 1 è:

[5.39] q∗1 =1

3− 23t1

e

[5.40] q∗2 =1

3+1

3t1

Dalle eqq. [5.39] e [5.40] è evidente come un sussidio all’esportazionenel Paese 1 (o un aumento di tale sussidio) faccia aumentare la produ-zione dell’impresa 1 e faccia diminuire la produzione dell’impresa 2. Dalconfronto dei coefficienti (in valore assoluto) di t1 ( 23 >

13) si ha poi che

l’aumento del livello di produzione dell’impresa 1 indotto da un sussidioall’esportazione t1 < 0 è maggiore della diminuzione della produzionedell’impresa 2 causata da tale sussidio. Ne consegue che l’introduzionedi un sussidio aumenta la produzione totale (q1+q2) del bene. Relazioniopposte valgono nel caso di un’imposta sulle esportazioni.Passiamo ora al primo stadio del gioco. Dalla fig. 5.19 si può os-

servare come, scegliendo opportunamente il livello di t1 (cioè il costomarginale dell’impresa 1), il governo del Paese 1 possa far sì che nelsecondo stadio del gioco venga raggiunto qualunque punto sulla curvadi reazione dell’impresa 2. Di conseguenza, il problema del governo delPaese 1 è di trovare quel punto sulla curva di reazione dell’impresa 2che massimizza la sua utilità.Per risolvere il primo stadio del gioco, dobbiamo specificare le pre-

ferenze del governo del Paese 1. Ipotizziamo per il momento che talegoverno intenda massimizzare il profitto netto dell’impresa 1 meno isussidi ad essa pagati (o più le imposte da essa riscosse):

Π(q1, q2, t1) = π1(q1, q2) + t1q1

cioè

Π(q1, q2, t1) = (1− q1 − q2 − t1)q1 + t1q1 = (1− q1 − q2)q1Il governo del Paese 1 intende quindi massimizzare i profitti dell’impre-sa 1 al lordo delle imposte o dei sussidi, in quanto le imposte e i sussidisono semplicemente un trasferimento di risorse, che non influenza la“soddisfazione” di un governo con le preferenze di cui sopra. Grafica-mente, nel primo stadio del gioco il governo del Paese 1 sceglierà quindiil punto della curva di reazione dell’impresa 2 che massimizza i profitti



lordi dell’impresa 1. Si tratterà ovviamente del punto che sceglierebbe illeader di Stackelberg. Verifichiamo formalmente che questa congetturaè corretta.Tenendo conto che, nel secondo stadio del gioco, q1 e q2 saranno deter-minate in base alle eqq. [5.39] e [5.40], la funzione di utilità Π(t1) delgoverno del Paese 1 è:

[5.41] Π(t1) = (1− 13+2

3t1− 1

3− 13t1)(

1

3− 23t1) = (

1

3+1

3t1)(

1

3− 23t1)

La funzione Π(t1) è concava in t1. Di conseguenza, la condizione del pri-mo ordine (−19− 4

9 t1 = 0) è sufficiente per un massimo. Di conseguenza,il livello ottimo di t1 per il governo del Paese 1 è

[5.42] t∗1 = −1

4

Il governo del Paese 1 sceglierà quindi di fornire all’impresa nazionaleun sussidio uguale a 1/4 per ogni unità esportata.Dall’eq. [5.37], si ottiene la produzione dell’impresa 1:

[5.43] q∗1 =1

3− 23(−14) =

1

2

che, come ci aspettavamo, è esattamente la produzione del leader diStackelberg (si veda l’eq. [5.29], con a = b = 1 e c = 0).Proviamo ora a ipotizzare che il governo del Paese 1 sia ancora

interessato ai profitti dell’impresa 1, ma non disponga di fondi suffi-cienti per fornire il sussidio all’esportazione. Dalle eqq. [5.42] e [5.43],in equilibrio l’esborso per sussidi da parte del governo del Paese 1 èuguale a 1

412 =

18 . Il governo potrebbe cercare di “recuperare” tale som-

ma con un’imposta in somma fissa uguale a 18 a carico dell’impresa 1.

Trattandosi di un’imposta non distorsiva, non influenzerà il livello diproduzione scelto da tale impresa. Confrontiamo ora la situazione diintervento del governo con la situazione precedente. Se il governo nonintervenisse, l’impresa 1 produrrebbe la quantità 1

3 (eq. [5.36]) e avreb-be i profitti di un’impresa di Cournot. Se invece il governo introducesseun’imposta in somma fissa uguale a 1

8 e un sussidio all’esportazione di14 per ogni unità venduta, l’impresa 1 produrrebbe la quantità

12 (eq.

[5.43]) e, di conseguenza, il governo introiterebbe 18 di imposte e paghe-

rebbe 18 di sussidi. La politica del governo non avrebbe quindi alcun

effetto sul bilancio dello Stato, mentre modificherebbe i profitti dell’im-presa nazionale, che passerebbero dai profitti di un’impresa di Cournotai (maggiori) profitti di un’impresa di Stackelberg. Se il governo del



Paese 1 è in qualche modo interessato ai profitti dell’impresa nazionale,troverà sempre conveniente attuare la politica descritta sopra 31.

Competizione internazionale con l’intervento di entrambi gli stati. Ipo-tizziamo ora che entrambi gli stati possano intervenire introducendo unsussidio (o un’imposta) sulle esportazioni. Siamo quindi in presenza diun gioco a due stadi:i) nel primo stadio, i governi dei Paesi 1 e 2 scelgono (simultaneamentee indipendentemente) se introdurre un’imposta oppure un sussidio sulleesportazioni: il Paese 1 introdurrà un’imposta (se t1 > 0) o un sussidio(se t1 < 0) di ammontare t1 per ogni unità prodotta nel proprio paese(ed esportata nel Paese 3), mentre il Paese 2 introdurrà un’imposta (set2 > 0) o un sussidio (se t2 < 0) di ammontare t2 per ogni unità pro-dotta nel proprio paese (ed esportata nel Paese 3);ii) dopo aver osservato l’ammontare di t1 e t2, le imprese 1 e 2 scelgono(simultaneamente e indipendentemente), rispettivamente, la quantitàq1 e la quantità q2.Calcoliamo ora gli equilibri perfetti nei sottogiochi. Come al solito,

partiamo dal secondo stadio del gioco. Dall’eq. [5.37], la funzione direazione dell’impresa 1 è

[5.44] q1 =1− t1 − q2

2

Operando in modo analogo, si ottiene la funzione di reazione dell’im-presa 2:

[5.45] q2 =1− t2 − q1

2

Dall’intersezione delle due curve di reazioni si ottiene l’unico equilibriodi Nash nel secondo stadio del gioco:

[5.46] q1 =1

3− 23t1 +

1

3t2

e

[5.47] q2 =1

3− 23t2 +

1

3t1

31. Il lettore potrà verificare che l’intervento del governo del Paese 1, diminuendoil costo marginale di produzione dell’impresa nazionale, fa aumentare la produzionedell’impresa 1 e diminuire la produzione dell’impresa 2. Tale intervento fa aumen-tare i profitti dell’impresa 1 e diminuire i profitti dell’impresa 2. Nel complesso, iprofitti congiunti delle due imprese diminuiscono. Utilizzando il ragionamento ba-sato sull’idea di “esternalità negativa” introdotto nel par. 4.9.1., il lettore sarà ingrado di valutare se questi risultati sono o meno “intuitivi”.



Una volta determinato l’equilibrio nel secondo stadio del gioco (q1, q2),passiamo ora al primo stadio del gioco, nel quale i due governi scelgo-no (simultaneamente e indipendentemente) l’ammontare dell’imposta(o del sussidio) sulle esportazioni, cioè, rispettivamente, t1 e t2.Ipotizziamo che, come in precedenza, il governo del Paese 1 intenda mas-simizzare il profitto netto dell’impresa 1 meno i sussidi ad essa pagati(o più le imposte da essa riscosse):

Π1(t1, t2) = (1− (13− 23t1 +

1

3t2)− (1

3− 23t2 +

1

3t1))(

1

3− 23t1 +

1

3t2)

cioè

[5.48] Π1(t1, t2) = (1

3+1

3t1 +

1

3t2)(

1

3− 23t1 +

1

3t2)

La funzione Π(t1, t2) è concava in t1. Di conseguenza, la condizione delprimo ordine (−19 − 4

9 t1 − 19 t2 = 0) è sufficiente per un massimo. La

funzione di reazione del governo del Paese 1 è quindi

[5.49a] t1 = −14− 14t2

Operando in modo analogo, si ottiene la funzione di reazione del governodel Paese 2:

[5.50] t2 = −14− 14t1

Dall’intersezione delle curve di reazione dei due governi si ottiene l’unicoequilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi, cioè

[5.51] t∗1 = t∗2 = −

1

5

Possiamo quindi concludere che quando entrambi i governi scelgono (si-multaneamente e indipendentemente) se tassare o sussidiare le esporta-zioni, sceglieranno di sussidiarle.Analizziamo ora l’effetto dell’intervento dei governi dei due paesi

sul profitto netto e lordo delle due imprese. Inserendo il sussidio ottimo(eq. [5.51]) nelle eqq. [5.46] e [5.47], si ottiene il livello di produzioneottimo delle due imprese:

[5.52] q∗1 = q∗2 =

2

5



mentre in assenza di interventi governativi si aveva (eq. [5.34])

[5.53] q∗1 = q∗2 =

1

3

L’intervento governativo ha quindi fatto aumentare il livello di produ-zione di entrambe le imprese.

-

6

HHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHHHH

HHHHHHHHHHHHHHHHH

AAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAA

1/2

12

1

1 q1

q2

©©¼

©©©¼

6/5−q22

1−q12

©©¼6/5−q1

2

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pppppppppppppppppppppprC1/3

13

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

pppppppppppppppppppppppprT

25

2/5

6/5

©©©¼

1−q22

6/10

610

65

figura 5.20: produzione con sussidi di entrambi i paesi

Dalla fig. 5.20 dovrebbe essere evidente come, scegliendo opportu-namente il livello delle imposte (o dei sussidi), i due governi potrebberofar raggiungere alle imprese qualunque coppia di quantità prodotte, equindi anche tutte le coppie in cui la produzione totale è la produzionedi monopolio (come vedremo tra breve), quantità che, come sappia-mo dal par. 4.9.1., è inferiore alla produzione totale con imprese checompetono à la Cournot (in assenza di imposte e sussidi). Tuttavia, la“competizione” tra i governi fa sì che essi scelgano di introdurre dei sus-sidi che facciano invece aumentare la produzione. Ci aspettiamo quindil’intervento dei governi faccia diminuire i profitti di entrambe le imprese(al lordo di imposte e sussidi). Verifichiamo ora che questa congetturaè corretta. Dalle eqq. [5.48] e [5.52], dopo semplici passaggi, si ottiene

[5.54] Π∗1(−1

5,−15) =

2

25

c° Ferdinando Colombo 198 — x


che è effettivamente inferiore al profitto dell’impresa 1 in assenza diinterventi governativi:

[5.55] Π1(0, 0) =1

9

Un discorso analogo vale per l’impresa 2. 32

Intervento cooperativo. Immaginiamo ora che i due governi si possanomettere d’accordo. Se ammettiamo che possano avere luogo trasferi-menti di fondi “non distorsivi” (side payments) tra i governi e tra igoverni e le imprese, i sussidi (o le imposte) t1 e t2 verranno scelti inmodo da massimizzare i profitti congiunti delle due imprese. Si parla atael proposito di “soluzione cooperativa”.Il problema è il seguente: max

t1,t2Π1(t1, t2)+Π2(t1, t2). Dall’eq. [5.48]

e da un’equazione simmetrica per l’impresa 2, dopo semplici passaggi,so ottiene

[5.56] Π1(t1, t2) + Π2(t1, t2) =1

9(1 + (t1 + t2))(2− (t1 + t2))

Dall’eq. [5.56], è evidente come tutte le coppie (t1, t2) che hanno la stes-sa somma assicurano lo stesso livello di profitti congiunti. Se poniamoT = t1 + t2 il problema diventa quindi: max

T

19(1 + T )(2− T ).

La funzione da massimizzare è concava in T . Di conseguenza, la con-dizione necessaria per un massimo (19(1− 2T ) = 0) è anche sufficiente.Di conseguenza, i due governi sceglieranno

[5.57] TCoop∗ = t1 + t2 =1

2

È quindi ottimale per i governi introdurre un’imposta sulle esportazio-ni 33 . Questa imposta farà diminuire la produzione delle due imprese equindi aumentare i prezzi.Commentando la fig. 5.20, abbiamo suggerito che, scegliendo op-

portunamente l’ammontare delle imposte o dei sussidi, i governi sonoin grado di far raggiungere alle imprese qualunque livello di produzione.Se questo è vero, la soluzione “cooperativa” richiederà che la produzione

32. Se teniamo conto del sussidio, i profitti delle imprese sono invece più elevate.Tuttavia, da quanto visto sopra, è evidente come i maggiori profitti delle impresesiano inferiori ai sussidi pagati dai governi.33. A essere precisi, dato che ogni coppia (t1, t2) con t1 + t2 =

12massimizza

i profitti congiunti, può essere ottimale anche introdurre un sussidio nel paese i(ti < 0) e un’imposta nel paese j 6= i (tj > 0), i, j = 1, 2, in modo comunque chel’imposta in un paese ecceda il sussidio nell’altro paese.

c° Ferdinando Colombo 198 — xi


congiunta delle due imprese sia uguale alla produzione di monopolio.Verifichiamo ora se questa congettura è corretta. Dalle eqq. [5.46],[5.47] e [5.57], dopo semplici passaggi, si ha

[5.58] qCoop1 + qCoop2 =2

3− 13TCoop∗ =

1

2

che è effettivamente la quantità che produrrebbe un monopolista (siveda l’eq. [4.13], con b = 1 e c = 0).Abbiamo quindi visto come un intervento “cooperativo” dei governi,

modificando i costi marginali delle imprese, è in grado di far sì che vengaprodotta la quantità di monopolio anche quando le imprese competonotra di loro à la Cournot.

5.9.3. Il modello di Hotelling (1929): origine, critiche e sviluppi *

Hotelling (1929) e il “principio” di minima differenziazione. Con lasua ormai famosa objection péremptoire, Bertrand (1883) (parr. 3.11.3.e 4.9.2.) critica la soluzione di Cournot (1838) (parr. 3.11.1.* e 4.9.1.)in quanto intrinsecamente instabile: ogni impresa sarebbe infatti ingrado di appropriarsi dell’intero mercato riducendo di poco il prezzo;così facendo, quasi raddoppierebbe i profitti.Hotelling (1929) ritiene che la validità della critica di Bertrand di-

penda in modo cruciale dall’ipotesi di beni perfettamente omogenei, laquale introduce una discontinuità nella funzione di domanda e nellafunzione di profitto delle imprese (par. 4.9.2.). E «le discontinuità,così come il vuoto, sono aborrite dalla natura» (p. 44). Nel tentativodi eliminare queste discontinuità, egli colma un vuoto di “realismo” checaratterizza i modelli di Cournot e di Bertrand. Sviluppando l’idea diSraffa (1926) secondo la quale un mercato è generalmente suddiviso insottomercati e all’interno di ogni sottomercato una certa impresa godedi un potere quasi—monopolistico, Hotelling afferma che, se inizialmentedue imprese fissano lo stesso prezzo e una delle due inizia a ridurre il suoprezzo, l’altra impresa vedrà ridurre la sua quota di mercato solo gra-dualmente, cioè le sue vendite non “crolleranno” a zero, almeno fintantoche i prezzi non siano drammaticamente diversi. Hotelling introduce atale proposito quello che nella letteratura di economia industriale di-venterà uno dei più importanti esempi di differenziazione orizzontaledel prodotto 34: la differenziazione spaziale. Le caratteristiche intrin-

34. Si ha differenziazione orizzontale quando, dato un certo prezzo, alcuni clientipreferiscono acquistare dalla prima impresa, mentre altri preferiscono acquistaredalla seconda. La differente valutazione è quindi dovuta a differenze nelle preferenzedei consumatori. Nella differenziazione verticale, invece, dato un certo prezzo, tuttii clienti preferiscono acquistare dalla stessa impresa; uno dei prodotti è quindi di

c° Ferdinando Colombo 198 — xii


seche del prodotto sono identiche, ma le due imprese sono posizionategeograficamente (spazialmente) in luoghi diversi; nel decidere da chiacquistare il consumatore terrà quindi conto sia del prezzo fissato dalledue imprese, sia del loro posizionamento geografico.Hotelling considera un mercato che si trova su una semiretta di lun-

ghezza l (o, più precisamente, di misura l) sulla quale, per semplicità, ipotenziali clienti sono distribuiti uniformemente 35 . Per non appesan-tire la notazione, ipotizziamo poi che ogni impresa produca con costimarginali costanti e uguali a zero. Ipotizziamo infine che il compratoresopporti un costo di trasporto lineare, uguale a t volte la distanza dal-l’impresa, acquisti sempre una unità del bene (qualunque sia la localiz-zazione delle imprese e il prezzo da esse praticato) 36 e scelga l’impresadalla quale acquistare sulla base del prezzo di vendita più i costi ditrasporto.Nella versione moderna del problema, il modello di Hotelling può

essere descritto come un gioco a due stadi:i) nel primo stadio le due imprese scelgono simultaneamente e indipen-dentemente la localizzazione. In particolare, l’impresa 1 si posizionanel punto A, ad una distanza a dal lato sinistro del mercato, mentrel’impresa 2 si posiziona nel punto B, ad una distanza b dal lato de-stro del mercato. Senza perdita di generalità, ipotizziamo che A sia asinistra del punto B (o coincida con esso) 37 . Prendendo dei punti Ae B arbitrari, avremo una situazione come quella rappresentata nellafig. 5.21:

-

0 l

t ta b

A B

figura 5.21. posizionamento geografico delle due imprese

qualità superiore.35. Per chi conosce un po’ di statistica, stiamo considerando una variabile casuale

continua con una funzione di densità costante f(s) = 1/l. Chi invece non avessele opportune conoscenze statistiche, può semplicemente immaginare che su un mer-cato di lunghezza l metri (per esempio una spiaggia) esista un numero l di clienti(nell’esempio, i bagnanti), posizionati a una distanza di un metro l’uno dall’altro.36. ‡ Questa ipotesi è sicuramente drastica ed è stata fatta al solo scopo di sempli-

ficare l’analisi. Un inconveniente “tecnico” è che in monopolio un’impresa potrebbeavere profitti infiniti fissando un prezzo infinito. Per evitare questo tipo di proble-mi, pur mantenendo l’analisi ad un livello elementare, si fa spesso l’ipotesi che ogniindividuo acquisti sempre una oppure zero unità del bene a seconda che il prezzo piùil costo di trasporto sia minore o uguale oppure maggiore di un certo valore soglias (si veda, per esempio, Tirole, 1988, p. 98). Questa ipotesi non sembra aggiungeremolto al modello originale; per semplicità non verrà qui fatta.37. Se così non fosse, potremmo semplicemente ridenominare le imprese:

l’impresa 1 diventa l’impresa 2 e viceversa.

c° Ferdinando Colombo 198 — xiii


ii) nel secondo stadio le due imprese osservano i punti A e B e scelgonosimultaneamente e indipendentemente il prezzo di vendita: l’impresa 1fissa il prezzo p1, mentre l’impresa 2 fissa il prezzo p2.Data la localizzazione delle imprese e il prezzo al quale vendono il

bene, ogni consumatore decide da quale impresa acquistare. Il profittodelle imprese è a questo punto determinato.Risolviamo ora il problema di Hotelling. Nei giochi dinamici, il pro-

cedimento standard consiste nell’adottare una prospettiva di equilibrioe di accettare l’idea di razionalità futura incorporata nei concetti diequilibrio perfetto nei sottogiochi e di equilibrio sequenziale.Calcoliamo quindi gli equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi (con

il secondo metodo) del problema di Hotelling. Questo richiede di par-tire dal secondo stadio del gioco. Per calcolare gli equilibri di Nash diquesto sottogioco, dobbiamo dapprima determinare la funzione di do-manda di ogni impresa. Hotelling ipotizza che i prezzi p1 e p2 sianotali che entrambe le imprese vendano una quantità positiva del bene 38.Se vale l’ipotesi di Hotelling, esiste un consumatore marginale il qua-le, per definizione, è indifferente tra acquistare il bene dall’impresa 1,posizionata nel punto A, al prezzo p1 e acquistarlo dall’impresa 2, po-sizionata nel punto B, al prezzo p2. Nella fig. 5.22, ipotizziamo che ilconsumatore marginale sia posizionato nel punto C 39 .

38. Non è difficile vedere come questa sia una condizione necessaria per avere unequilibrio. Infatti, se un’impresa non vendesse nulla, avrebbe un profitto uguale azero, mentre fissando un prezzo leggermente inferiore a quello praticato dall’altraimpresa, sarebbe in grado di vendere una quantità positiva e avere quindi un profittopositivo. Questo ragionamento non sarebbe corretto se in equilibrio entrambe leimprese fissassero un prezzo uguale a zero, come avverrebbe nel modello di Bertrandcon costi marginali nulli. È però facile vedere come, con differenziazione spaziale,una situazione del genere non sia un equilibrio: se un’impresa fissasse un prezzouguale a zero, la risposta ottima dell’altra impresa non sarebbe di fissare a suavolta un prezzo uguale a zero (e avere quindi profitti nulli), in quanto fissando unprezzo positivo (ma non troppo elevato) sarebbe comunque in grado di vendere unaquantità positiva del bene e avere quindi profitti positivi.In questa parte del paragrafo faremo anche noi l’ipotesi di Hotelling. Come ve-

dremo successivamente, un’accettazione acritica di questa ipotesi conduce però adun errore.39. È facile mostrare che, con costi di trasporto lineari, il punto C, se esiste ed

è unico, sarà necessariamente compreso tra i punti A e B. Consideriamo infatti unconsumatore posizionato nel punto A, il quale dista l−a− b dall’impresa 2, posizio-nata nel punto B (si veda la fig. 5.21). Questo consumatore preferisce acquistaredall’impresa 2 solo se p1 > p2+t(l−a−b). Se aggiungiamo tz a entrambi i lati delladisuguaglianza, avremo p1+ tz > p2+ t(l−a− b+ z), cioè un individuo posizionatoa sinistra di A e a una distanza z da tale punto preferisce acquistare dall’impresa 2.Abbiamo quindi dimostrato che se un consumatore posizionato nel punto A preferi-sce acquistare dall’impresa 2, anche tutti i consumatori alla sua sinistra preferirannoacquistare dalla stessa impresa. Operando in modo analogo si dimostra che se unconsumatore posizionato nel punto B preferisce acquistare dall’impresa 1, anche tut-ti i consumatori alla sua destra preferiranno acquistare dalla stessa impresa. Non èquindi possibile avere un consumatore marginale alla sinistra di A senza che anche

c° Ferdinando Colombo 198 — xiv


-

0 l

u ux y

A BC

figura 5.22. il consumatore marginale

Ciò richiede che

[5.59] p1 + tx = p2 + ty

Inoltre, per costruzione, si ha

[5.60] a+ x+ y + b = l

Dalle eqq. (5.59) e (5.60) si ottiene facilmente che

[5.61] x =1

2(l − a− b+ p2 − p1

t)

e

[5.62] y =1

2(l − b− a+ p1 − p2

t)

Consideriamo la fig. 5.22. Per definizione, il consumatore posizionatonel punto C è indifferente tra acquistare dalla prima impresa o dallaseconda. Rispetto a tale consumatore, un individuo posizionato alla suasinistra avrà costi di trasporto minori per recarsi dall’impresa 1 e costidi trasporto maggiori per recarsi dall’impresa 2 40 ; di conseguenza prefe-rirà recarsi dall’impresa 1. Analogamente, un consumatore posizionatoalla destra del punto C preferirà acquistare dall’impresa 2. Possiamoquindi concludere che la domanda per le due imprese è, rispettivamente,D1(p1, p2) = a+ x e D2(p1, p2) = y + b, cioè

[5.63] D1(p1, p2) =1

2(l + a− b+ p2 − p1

t)

il consumatore posizionato in A sia un consumatore marginale o un consumatoremarginale alla destra di B senza che anche il consumatore posizionato in B sia unconsumatore marginale. Come vedremo in seguito, questa caratteristica del modellodà luogo a una discontinuità nella funzione di domanda e di profitto delle imprese,la quale fa sì che il risultato di Hotelling sia sbagliato.40. Il lettore è invitato a verificare che, con costi lineari, questo vale sia per coloro

che sono posizionati a sinistra di C ma a destra di A (ovvio), sia per coloro che sitrovano a sinistra di A (meno ovvio – anzi, in alcuni casi sbagliato – con un costodi trasporto qualunque).

c° Ferdinando Colombo 198 — xv


e

[5.64] D2(p1, p2) =1

2(l + b− a+ p1 − p2

t)

Il profitto per le due imprese è, rispettivamente, π1(p1, p2) = p1D1(p1, p2)e π2(p1, p2) = p2D2(p1, p2), cioè

[5.65] π1(p1, p2) =1

2p1(l + a− b+ p2 − p1

t)

e

[5.66] π2(p1, p2) =1

2p2(l + b− a+ p1 − p2

t)

Calcoliamo ora gli equilibri di Nash del secondo stadio del gioco comeintersezione delle curve di reazione delle due imprese. Dato il prezzop2, l’impresa 1 risolve il problema seguente:

maxp1

π1(p1, p2)

La funzione π1(p1, p2) è concava in p1. Di conseguenza, la condizionedel primo ordine (12 (l+a−b+ p2

t )− p1t ) è sufficiente per un massimo. La

funzione di risposta ottima (o funzione di reazione) p1(p2) dell’impresa 1è quindi

[5.67] p1 =1

2t(l + a− b) + 1

2p2

Analogamente, la funzione di reazione p2(p1) dell’impresa 2 è

[5.68] p2 =1

2t(l + b− a) + 1

2p1

Le due funzioni di reazione possono essere rappresentate graficamenteper mezzo delle curve di reazione seguenti:

c° Ferdinando Colombo 198 — xvi


-

6

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

©©©©

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©©©

©©©©

©©©©

©©©©

©©©©

©©©

12t(l+b-a)

12t(l+a-b)

t(l+ b−a3)

t(l+ a−b3) p1

p2

-

¾

p2(p1)

p1(p2)

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppprH

figura 5.23. il risultato di hotelling, data la localizzazione

Dalle eqq. [5.67] e [5.68] si ottengono i prezzi di equilibrio nel modellodi Hotelling (H):

[5.69] pH1 = t(l +a− b3)

e

[5.70] pH2 = t(l +b− a3)

Dalle eqq. [5.69] e [5.70] si osserva come in Hotelling i prezzi sianopositivi (e quindi maggiori del costo marginale). Emerge quindi unadifferenza molto importante rispetto a Bertrand: anche se le impresecompetono sul prezzo, la competizione non annulla i profitti. Ciò èdovuto al fatto che le imprese sono posizionate in punti diversi; questoassicura loro un certo potere di mercato, ancorché limitato: un’impresariesce sempre a vendere una quantità positiva del bene anche se il suoprezzo è superiore a quello della concorrente, almeno fintanto che ladifferenza non è eccessiva.Possiamo poi osservare come i prezzi siano crescenti nel costo di

trasporto t. L’idea è che quanto maggiori sono i costi di trasporto per ilconsumatore, tanto meno egli sarà disposto ad acquistare dall’impresapiù distante al fine di ottenere un certo risparmio sul prezzo. Questo fasì che, in un certo senso, il potere di mercato delle imprese nei confronti

c° Ferdinando Colombo 198 — xvii


dei clienti a loro più vicini sia più elevato; questo permette loro di fissareprezzi più elevati 41 .Sostituendo i prezzi di equilibrio (eqq. [5.69] e [5.70]) nelle eqq. [5.65]

e [5.66] si ottengono i profitti di equilibrio per le due imprese, cioè

[5.71] πH1 =t

2(l +

a− b3)2

e

[5.72] πH2 =t

2(l +

b− a3)2

Dopo aver calcolato l’unico equilibrio di Nash del secondo stadio delgioco, passiamo al primo stadio, nel quale le due imprese scelgono(simultaneamente e indipendentemente) la localizzazione.Hotelling fa notare come ∂πH1 /∂a =

19 t (3l + a− b) > 0. Questo

significa che, se l’impresa 1 considera come data la posizione B dell’im-presa 2, fintanto che A è a sinistra di B, l’impresa 1 riterrà convenien-te spostarsi verso destra, cioè avvicinarsi al punto B. Analogamente,∂πH2 /∂b =

19 t (3l + b− a) > 0 significa che, data la posizione A dell’im-

presa 1, fintanto che B è a destra di A, l’impresa 2 riterrà convenientespostarsi verso sinistra, cioè avvicinarsi al punto A. Possiamo quindiconcludere che non può esistere un equilibrio di Nash perfetto nei sot-togiochi nel quale le imprese si posizionano in punti diversi del mercato.Emerge quindi una sorta di “principio” di minima differenziazione 42 .L’ultimo passaggio del ragionamento di Hotelling dimostra che, da-

to che le due imprese si posizionano nello stesso punto, sceglieranno dilocalizzarsi esattamente al centro del mercato, cioè a = b = l/2. In-fatti, se così non fosse, si avrebbe a > b (localizzazione a destra delcentro) oppure a < b (a sinistra del centro). Dalle eqq. [5.71] e [5.72],nel primo caso si avrebbe πH1 > πH2 , mentre nel secondo πH1 < πH2 .Queste due situazioni non possono rappresentare un equilibrio perfettonei sottogiochi, in quanto nel primo caso l’impresa 2 avrebbe l’incentivoa “sostituirsi” all’impresa 1 posizionandosi leggermente più a sinistradi questa (ottenendo in tal modo un profitto πH1 > πH2 ), mentre nelsecondo caso l’impresa 1 avrebbe l’incentivo a “sostituirsi” all’impresa

41. Poiché, per ipotesi, la quantità domandata non dipende dai prezzi, anche iprofitti delle imprese sono più elevati. Di conseguenza, «i mercanti dovrebbero,invece di incentivare la nascita di associazioni che migliorino le strade, rendere itrasporti quanto più difficili possibili» (Hotelling, 1929, p. 50).42. Hotelling estende questo “principio” anche al caso in cui la differenziazione

non sia spaziale – per esempio, due diversi produttori di succo di mele, dove il succopuò essere più o meno dolce. Egli conclude che «l’analisi matematica ci conduce aun’osservazione di grande generalità. I compratori si troveranno sempre di fronte aun’eccessiva somiglianza» (Hotelling, 1929, p. 54).

c° Ferdinando Colombo 198 — xviii


2 posizionandosi leggermente più a destra di questa (ottenendo in talmodo un profitto πH2 > πH1 ). Emerge quindi una sorta di “corsa alcentro” .‡ Può valere a questo punto fare una considerazione di benessere sul-la soluzione di Hotelling. Dato che, per ipotesi, la domanda del benenon dipende dai prezzi praticati dalle imprese, la massimizzazione dellasomma del surplus dei consumatori e dei produttori richiede di mini-mizzare i costi di trasporto per i consumatori. Una quota a

l di individuisi trova a sinistra di A; essi acquisteranno dall’impresa posizionata inA e il loro costo medio di trasporto sarà a

2 t. Con prezzi omogenei, unaquota l−a−b

2l di individui si trova tra e A e C; essi acquisteranno dall’im-presa posizionata in A e il loro costo medio di trasporto sarà l−a−b

4 t.Una quota l−a−b

2l di individui si trova poi tra e C e B; essi acquiste-ranno dall’impresa posizionata in B e il loro costo medio di trasportosarà l−a−b

4 t. Infine, una quota bl di individui si trova a destra di B;

essi acquisteranno dall’impresa posizionata in B e il loro costo mediodi trasporto sarà b

2 t. Il costo medio di trasporto sarà quindi

[5.73] T (a, b) =a2

2lt+

(l − a− b)24l

t+b2

2lt

Una condizione necessaria per un minimo (non vincolato) è che lederivate parziali rispetto ad a e a b siano nulle:

[5.74]∂T

∂a=a

lt− (l − a− b)

2l= 0

e

[5.75]∂T

∂b= −(l − a− b)

2l+b

lt = 0

Dalle eqq. [5.74] e [5.75], dopo semplici passaggi, si ottiene

[5.76] a∗ = b∗ =l

4

Per verificare che si tratta effettivamente di un minimo (non vincolato),scriviamo la matrice Hessiana di T (a, b)

[5.77] H =

µ2t+12l

12l

12l

1+2t2l

¶Si ha 2t+1

2l > 0 (per ogni t > 0 e l > 0) e det(H) = 14l2 (4t

2+4t+1−1) > 0(per ogni t > 0). L’Hessiano è quindi definito positivo. Ne consegue

c° Ferdinando Colombo 198 — xix


che a∗ = b∗ = l4 è un minimo assoluto per la funzione T (a, b) e quindi,

a fortiori, il minimo vincolato che cerchiamo 43.Possiamo quindi concludere che la “minima differenziazione” di Ho-

telling non è ottimale per la società considerata nel suo complesso: seammettessimo che produttori e consumatori possano effettuare trasfe-rimenti monetari tra di loro, siamo sempre in grado di individuare unasituazione caratterizzata da una diversa localizzazione delle imprese incui sia i consumatori sia i produttori stanno meglio.

Discontinuità in Hotelling (1929) e assenza di equilibri (in strategie pu-re). A cinquant’anni di distanza dal contributo di Hotelling (1929),d’Aspremont, Gabszewicz e Thisse (1979) hanno mostrato che contieneun errore. Abbiamo già evidenziato come il risultato precedente si basisull’ipotesi che i prezzi siano tali che entrambe le imprese vendano unaquantità positiva del bene. Nella soluzione di Hotelling la produzione diogni impresa è effettivamente positiva (eqq. (5.63) e (5.64)); tuttavia,affinché i suoi prezzi (eqq. [5.69] e [5.70]) costituiscano un equilibrio nelsecondo stadio del gioco, è necessario che nessuna impresa abbia un in-centivo a fissare un prezzo diverso. L’analisi di Hotelling ha dimostratosolo che nessuna impresa ha un incentivo a fissare un prezzo tale che,al nuovo prezzo, entrambe le imprese vendano una quantità positivadel bene. Dobbiamo ora verificare che nessuna impresa abbia nemmenoun incentivo a fissare un prezzo che le permetta di accaparrarsi l’interomercato. Per fare questo, consideriamo l’impresa 1 e determiniamo lasua funzione di domanda, dato il prezzo p2 dell’impresa 2.Dalla fig. 5.21 si ha che il consumatore posizionato nel punto B

(dove si trova anche l’impresa 2) dista (l− a− b) dall’impresa 1, che sitrova nel punto A. Di conseguenza, se p1 + t(l − a − b) < p2, il con-sumatore posizionato nel punto B preferisce acquistare dall’impresa 1.Abbiamo poi mostrato (nota 39) che, con costi di trasporto lineari, seun consumatore posizionato nel punto B preferisce acquistare dall’im-presa 1, lo stesso vale anche per tutti i consumatori posizionati alla suadestra. Ovviamente questo vale a maggior ragione per i consumatoriposizionati a sinistra del punto B. Possiamo quindi concludere che, sep1 < p2− t(l−a− b), la domanda per l’impresa 1 è uguale a l. Quandop1 = p2 − t(l − a − b), il consumatore posizionato nel punto B e tuttiquelli alla sua destra sono indifferenti tra acquistare dall’impresa 1 odall’impresa 2. Se ipotizziamo che la metà di essi decida di acquistaredall’impresa 2, la domanda dell’impresa 1 “crolla” a l − b

2 . Non ap-

43. Ricordiamo infatti al lettore che a e b non possono assumere qualunque valore:dobbiamo infatti avere che a ≥ 0, b ≥ 0 e a + b ≤ l, condizioni che sono tuttesoddisfatte quando a = b = l/4. Chi non avesse dimestichezza con gli strumentimatematici utilizzati sopra, può utilmente consultare, inter alia, l’ottimo manualedi Simon e Blume (1994).

c° Ferdinando Colombo 198 — xx


pena p1 eccede p2 − t(l − a − b), dall’eq. [5.62] si ha y > 0 e quinditutti i consumatori che si trovano a destra del punto B acquisterannodall’impresa 2. Questo spiega il “crollo” della domanda per l’impresa1 da l − b

2 a l − b. E quando p1 > p2 − t(l − a − b), la domanda perl’impresa 1 è determinata dall’eq. [5.63], almeno fintanto che x > 0.Quando p1 = p2+ t(l−a− b), il consumatore posizionato nel punto A etutti quelli alla sua sinistra sono indifferenti tra acquistare dall’impresa1 o dall’impresa 2. Se ipotizziamo che metà di essi decidano di acqui-stare dall’impresa 2, la domanda per l’impresa 1 “crolla” a a

2 . Infine,se p1 > p2 + t(l − a− b), tutti i consumatori acquistano dall’impresa 2e la domanda per l’impresa 1 “crolla” a zero. La funzione di domandaper l’impresa 1 ha quindi la seguente rappresentazione grafica:

-

6

PPPPPPPPPP

PPPPPPPPPP

PPPPPPPPPP

l

l − b2

l − b

p2-t(l-a-b) p2+t(l-a-b) p1

D1(p1, p2)

r

ra

a2

figura 5.24. funzione di domanda discontinua in hotelling

Di conseguenza, la rappresentazione grafica della funzione di profittodell’impresa 1 è 44

44. Il lettore noterà che, se facciamo riferimento alla fig. 5.24, Hotelling ha con-centrato la propria attenzione unicamente sul tratto lineare decrescente della curva didomanda e, se facciamo riferimento invece alla fig. 5.25, ha considerato unicamenteil tratto di parabola.

c° Ferdinando Colombo 198 — xxi


-

6

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

p2-t(l-a-b) p2+t(l-a-b)12p2+ 1

2t(l+a-b) p1

π1(p1, p2)

r

r

X Y

figura 5.25. funzione di profitto discontinua in hotelling

Dalla fig. 5.25 è evidente che la risposta ottima dell’impresa 1 al prezzop2 dell’impresa 2 è p1 = 1

2 p2+12 t(l+a− b)– cioè il prezzo considerato

da Hotelling (eq. [5.67]) – se (e solo se) in corrispondenza di tale prezzoil profitto per l’impresa 1 è maggiore del profitto che otterrebbe fissandoil minimo prezzo che le permette di appropriarsi dell’intero mercato –cioè, come si vede dalla fig. 5.24, p1 = p2−t(l−a−b) 45 : in termini dellafig. 5.25, l’altezza del punto Y deve quindi essere maggiore dell’altezzadel punto X. Dobbiamo ora verificare se questo accade nella soluzionedi Hotelling. Dato il prezzo pH2 = t(l+

b−a3 ) (eq. [5.70]), se l’impresa 1

fissa un prezzo p1 = t(l+ b−a3 )− t(l− a− b) = 2

3 t(2b+ a), si appropriadell’intero mercato (l) e ha un profitto uguale a

[5.78] π1 =2

3tl(2b+ a)

Confrontando le eqq. [5.71] e [5.78], affinché la soluzione di Hotelling

45. ‡ C’è a questo proposito un piccolo problema “tecnico”: dal punto di vistamatematico, la scelta del prezzo p1 che massimizza π1 soggetta al vincolo p1 < p2−t(l−a−b) non ha soluzione. Esiste invece l’estremo superiore, che è p2− t(l−a−b).A questo prezzo il consumatore posizionato nel punto B e quelli alla sua destra sonoindifferenti tra acquistare dall’impresa 1 o dall’impresa 2. In genere, la “soluzione”è di ipotizzare (diversamente da quanto fatto sopra) che in un caso del genere tuttiacquistino dall’impresa 1. In alternativa, si usa un artificio matematicamente pocopreciso ma che dà un’intuizione più chiara: fissando un prezzo p1 = p2−t(l−a−b)−ε,con ε > 0 piccolo a piacere, l’impresa 1 riesce ad accaparrarsi l’intero mercato.Poiché ε è “piccolo a piacere”, non commettiamo un grande errore nel porlo ugualea zero.

c° Ferdinando Colombo 198 — xxii


sia un equilibrio di Nash del secondo stadio del gioco è necessario che

[5.79] (l +a− b3)2 ≥ 4

3l(a+ 2b)

Operando in modo analogo per l’impresa 2, è altresì necessario che

[5.80] (l +b− a3)2 ≥ 4

3l(b+ 2a)

Possiamo quindi concludere che, se valgono le eqq. [5.79]—[5.80], i prez-zi di Hotelling rappresentano effettivamente un equilibrio di Nash delsecondo stadio del gioco 46.Le due condizioni appena viste dipendono in modo cruciale dal po-

sizionamento delle imprese. Per esempio, se a = b (cioè le due impresesi trovano alla stessa distanza dal centro del mercato – o, ciò che èlo stesso, alla stessa distanza dall’estremo del mercato a ciascuna diloro più vicino), le eqq. [5.79] e [5.80] diventano l ≥ 4a e l ≥ 4b, cioèa = b ≤ l/4.

-

0 l

t tl4

34 l

figura 5.26. le imprese devono essere sufficientementedistanti

Se a = b, affinché la soluzione di Hotelling nel secondo stadio del giocosia valida, le due imprese devono essere posizionate nei due tratti ingrassetto della fig. 5.26, cioè devono essere sufficientemente distantil’una dall’altra. L’idea è la seguente: quando le imprese sono distanti,ogni impresa resiste alla tentazione di appropriarsi dell’intero mercato,perché questo richiederebbe di diminuire drasticamente i prezzi; quandole imprese sono vicine, la tentazione è invece troppo forte 47.

46. ‡ È poi facile mostrare che si tratta dell’unico equilibrio di Nash in strategiepure. Nella nota 38‡ abbiamo infatti mostrato che, in equilibrio, le imprese devononecessariamente vendere una quantità positiva del bene; con strategie pure, questoaccade solo se vale l’ipotesi di Hotelling. Di conseguenza, l’unico candidato a essereun equilibrio di Nash in strategie pure è proprio la soluzione di Hotelling. Questodimostra anche che, se non valgono le condizioni di cui sopra, non esiste un equilibriodi Nash in strategie pure del gioco di competizione di prezzo tra le due imprese.47. È difficile resistere alla tentazione di scherzare sulla “sfortuna” di Hotelling:

voleva eliminare la discontinuità che caratterizza il modello di Bertrand ed anche ilsuo modello è caratterizzato da un’importante discontinuità; inoltre, la sua soluzionenel secondo stadio del gioco è valida solo quando le imprese sono sufficientementedistanti l’una dall’altra – cioè esattamente quello che la sua soluzione nel primostadio del gioco dice che non può accadere. Naturalmente, questi problemi “tecnici”

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Il “principio” di minima differenziazione. Le considerazioni prece-denti hanno mostrato come l’analisi di Hotelling sia sbagliata. Que-sto però non significa necessariamente che il “principio” di minimadifferenziazione non valga.Abbandoniamo per un po’ l’idea di razionalità futura e torniamo

a modelli più semplici, nei quali c’è una sola variabile di scelta e ladecisione da parte delle imprese è simultanea. Consideriamo a tale pro-posito una versione decisamente semplificata del modello di Hotelling,la quale mostra come il “principio” di minima differenziazione possain effetti valere. Ipotizziamo a tal fine che, per qualsivoglia motivo, ilprezzo al quale il bene viene venduto sia considerato dalle imprese comeun dato 48. In un caso del genere, l’unica scelta da parte delle impreseè la localizzazione. Consideriamo quindi una situazione in cui, comenel modello di Hotelling, i consumatori siano distribuiti uniformementelungo una semiretta di lunghezza l 49, desiderino acquistare una unitàdel bene e scelgano da quale impresa acquistare sulla base del prezzodi vendita più i costi di trasporto. Le due imprese devono sceglieresimultaneamente e indipendentemente dove localizzarsi: l’impresa 1 siposiziona nel punto A, mentre l’impresa 2 si posiziona nel punto B.Ogni impresa sceglie in modo da massimizzare i suoi profitti attesi; poi-ché i prezzi sono dati, questo richiede di massimizzare il livello attesodelle vendite.50

Consideriamo dapprima il caso in cui le due imprese si posizionanoin punti diversi del mercato:

non tolgono assolutamente nulla all’importanza del contributo di Hotelling. Nelcaso di specie, si può poi dimostrare che esiste un equilibrio in strategie miste (siveda Dasgupta e Maskin, 1986b). Tuttavia, in presenza di una discontinuità nellefunzioni di utilità dei giocatori, è possibile che non esista alcun equilibrio di Nash (néin strategie pure, né in strategie miste). Per approfondimenti, si vedano Dasguptae Maskin (1986a, 1986b) e Reny (1999). Il lettore interessato ad un problema moltosemplice in cui non esistono equilibri di Nash (né in strategie pure, né in strategiemiste), può vedere l’esempio proposto da Friedman (1983), relativo al modello diCournot con curve di domanda non lineari.48. In effetti, in molti contesti le imprese non hanno grandi spazi di manovra sul

prezzo; si pensi, per esempio, alla vendita di sigarette o di benzina.49. ‡ Il lettore attento noterà come l’ipotesi di distribuzione uniforme non sia

assolutamente necessaria per la validità del risultato.50. Il lettore noterà come, con prezzi dati, esista sempre un consumatore margina-

le; inoltre, con una distribuzione uniforme, tale consumatore si troverà esattamentea metà tra i punti A e B.

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-

0 l

t tx y

A B

a b

C

figura 5.27. in equilibrio le imprese non possono localizzarsiin punti diversi

È facile vedere come una tale situazione non possa rappresentare unequilibrio di Nash. A tal fine è sufficiente mostrare che almeno una del-le imprese non sta giocando una risposta ottima alla strategia dell’altra.Nella fig. 5.27 l’impresa 1 non sta giocando una risposta ottima allastrategia dell’impresa 2, in quanto le sue vendite ammontano a a + x,mentre sarebbero maggiori se si spostasse più a destra, in quanto ciòfarebbe spostare verso destra anche il consumatore marginale; al limite,se posizionasse la sua impresa molto vicino al punto B (ma a sinistradi esso), le sue vendite aumenterebbero a a + x + y. Analogamente,data la localizzazione dell’impresa 1, l’impresa 2 avrebbe convenien-za a spostarsi a sinistra. In entrambi i casi si registra il desiderio diogni impresa di ridurre il grado di differenziazione rispetto all’altra,esattamente come nel modello di Hotelling.Consideriamo ora il caso in cui entrambe le imprese si posizionano

nello stesso punto X e si dividono equamente il mercato:

-

0 l

tXl/2

figura 5.28. le imprese non possono non posizionarsi alcentro del mercato

La situazione considerata, con X non al centro del mercato, non è unequilibrio di Nash. Dato il posizionamento dell’impresa 2, all’impresa 1converrebbe spostarsi leggermente verso destra, in quanto ciò le permet-terebbe di ottenere più della metà del mercato (segmento in grassettonella fig. 5.28). Lo stesso vale per l’impresa 2. Ovviamente, se X sitrovasse a destra del punto l/2, entrambe le imprese avrebbero un in-centivo a spostarsi a sinistra. In entrambi i casi, la situazione in cui leimprese si posizionano nello stesso punto X non al centro del mercatonon può essere un equilibrio di Nash del gioco.L’unico candidato a essere un equilibrio di Nash in strategie pure

del gioco è quindi quello in cui entrambe le imprese si posizionano nelpunto di Hotelling H, cioè al centro del mercato:

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-

0 l

tHl/2

figura 5.29. l’unico equilibrio di nash in strategie pure

La situazione descritta nella fig. 5.29 rappresenta effettivamente unequilibrio di Nash del gioco. Infatti, se l’impresa 2 si posiziona al cen-tro del mercato, posizionandosi nello stesso punto l’impresa 1 serve metàdel mercato, mentre se si spostasse a destra oppure a sinistra avrebbeuna quota di mercato inferiore. Questa situazione rappresenta quindil’unico equilibrio di Nash in strategie pure del gioco. L’esempio appenavisto non è quindi incompatibile con il “principio” di minima differen-ziazione di Hotelling. Esistono dei casi in cui un principio del generesembra anche confermato dal comportamento effettivo degli agenti. Peresempio, in un sistema elettorale uninominale maggioritario con due solicandidati, è importante “conquistare” il cosiddetto elettore mediano 51.Se l’elettore tende a votare per il candidato a lui ideologicamente piùvicino, la scelta ottimale per ogni partito è di presentare un candidatoquanto più possibile vicino all’elettore mediano. Se, come nel modellodi Hotelling, gli elettori sono distribuiti in modo uniforme, è ottimalepresentare un candidato quanto più possibile vicino al centro 52 .

esercizio 5.2 Mostrate che, nel caso di tre imprese, non esiste alcunequilibrio di Nash in strategie pure del gioco. Questo implica che il“principio” di minima differenziazione non è un “principio” generale.

L’esempio di d’Aspremont et al. (1979) e il “principio” di massimadifferenziazione. Torniamo ora nuovamente al modello a due stadidi Hotelling. Nel loro articolo, d’Aspremont et al. (1979) non solo di-mostrano che l’analisi di Hotelling è sbagliata, ma evidenziano ancheche, nel caso in cui le imprese scelgano inizialmente la localizzazionee successivamente il prezzo di vendita, il “principio” di minima diffe-renziazione non è affatto un principio universalmente valido. A tal fineessi costruiscono un esempio che si differenzia da quello di Hotelling

51. Se, come nel modello di Hotelling, immaginiamo che gli elettori siano posizio-nati ideologicamente su una semiretta che va dall’estrema sinistra all’estrema destra,la definizione di elettore mediano richiede che esattamente il 50% degli elettori abbiauna posizione più a sinistra della sua e il 50% abbia una posizione più a destra.52. Hotelling (1929, p. 54) cita a tale proposito l’esempio degli Stati Uniti dove,

secondo lui, i Repubblicani e i Democratici hanno programmi molto simili tra di loroe i candidati «rispondono in modo ambiguo alle domande e rifiutano di prendereuna posizione chiara in ogni controversia per paura di perdere voti».

c° Ferdinando Colombo 198 — xxvi


solo per il fatto che i costi di trasporto sono uguali a t volte il quadratodella distanza e mostrano che in questo caso le imprese, lungi dal vo-lersi concentrare al centro del mercato, vogliono invece posizionarsi agliestremi.Risolviamo il gioco esattamente come abbiamo fatto nell’esempio di Ho-telling. Consideriamo dapprima il secondo stadio del gioco. Se i prezzisono tali che entrambe le imprese vendono una quantità positiva delbene, esisterà un consumatore marginale, posizionato nel punto C. Nelcaso in cui tale punto si trovi a destra di A e a sinistra di B 53 avremouna situazione identica a quella vista nella fig. 5.22:

-

0 l

t tx y

A BC

dove però ora i valori di x e y sono tali che

[5.81] p1 + tx2 = p2 + ty

2

con

[5.82] a+ x+ y + b = l

Dalle eqq. [5.81] e [5.82] si ottiene

[5.83] x =p2 − p1

2t(l − a− b) +l − a− b

2

e

[5.84] y =p1 − p2

2t(l − b− a) +l − b− a

2

Le funzioni di domanda delle due imprese sono D1(p1, p2) = a + x e

53. ‡ Nel caso di costi di trasporto proporzionali alla distanza (costi lineari),questa era l’unica possibilità di avere un consumatore marginale. Con costi propor-zionali al quadrato della distanza (costi quadratici), invece, il punto C può trovarsianche a sinistra di A o a destra di B. Invito il lettore a tracciare il grafico di questicasi e a verificare che le eqq. [5.81] e [5.82] continuano ad essere valide, una voltache si ammetta che x e y possano assumere anche valori negativi. In particolare, seC è a sinistra di A, è sufficiente porre dist(A,C) = −x > 0 e dist(B, c) = y > 0,dove dist(·, ·) è la distanza tra due punti. Analogamente, se C è a destra di B, bastaporre dist(A,C) = x > 0 e dist(B,C) = −y > 0.

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D2(p1, p2) = b+ y, cioè

[5.85] D1(p1, p2) =p2 − p1

2t(l − a− b) +l + a− b

2

e

[5.86] D2(p1, p2) =p1 − p2

2t(l − b− a) +l + b− a

2

L’esistenza di costi di trasporto quadratici fa scomparire la disconti-nuità nella funzione di domanda che caratterizzava invece il modellodi Hotelling. Sia a tale proposito p2 il prezzo praticato dall’impresa 2.Otteniamo ora la funzione di domanda D1(p1, p2) per l’impresa 1. Si haD1(p1, p2) = 0, cioè l’impresa 1 non vende nulla, quando anche il consu-matore posizionato nell’origine preferisce acquistare dall’impresa 2, cioèquando p1+ta2 > p2+t(l−b)2, vale a dire p1 > p2+t(l−b)2−ta2. Si hapoiD1(p1, p2) = l, cioè l’impresa 1 copre l’intero mercato, quando ancheil consumatore posizionato nel punto l preferisce acquistare dall’impresa1, cioè quando p1+t(l−a)2 < p2+tb2, vale a dire p1 < p2−t(l−a)2+tb2.Infine, quando p1 ∈ (p2 − t(l − a)2 + tb2, p2 + t(l − b)2 − ta2),54 la do-manda dell’impresa 1 è data dall’eq. [5.85].Con semplici passaggi, dall’eq. [5.85] si ha che D1(p2 + t(l − b)2 −ta2, p2) = 0 e D1(p2 − t(l− a)2 + tb2, p2) = l. Di conseguenza, per ognip2, la funzione di domanda dell’impresa 1, D1(p1, p2), è continua.

54. Il lettore non avrà difficoltà a verificare che p2 − t(l − a)2 + tb2 < p2 + t(l −b)2− ta2 – e quindi, per ogni p2 esiste sempre un intervallo di prezzi del bene 1 nelquale entrambe le imprese vendono una quantità positiva.

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-

6

\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\

\\\\\\\\\\\\\

l

p2-t(l− a)2+tb2 p2+t(l− b)2-ta2 p1

D1(p1, p2)

figura 5.30. domanda continua in d’aspremont et al.

Ne consegue che anche la funzione di profitto dell’impresa 1 è continua.

-

6

p1

π1(p1, p2)

rX

p2-t(l − a)2+tb2

Y

p2+t(l − b)2-ta2figura 5.31. funzione di profitto in d’aspremont et al.

L’assenza di discontinuità elimina i problemi presenti in Hotelling. Dalleeqq. [5.85] e [5.85], le funzioni di profitto delle due imprese quando iprezzi sono tali da permettere ad entrambe le imprese di vendere unaquantità positiva del bene sono

[5.87] π1(p1, p2) = p1(p2 − p1

2t(l − a− b) +l + a− b

2)

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e

[5.88] π2(p1, p2) = p2(p1 − p2

2t(l − b− a) +l + b− a

2)

La funzione π1(p1, p2) è concava in p1 e la funzione π2(p1, p2) è concavain p2. Di conseguenza, le condizioni del primo ordine sono sufficientiper un massimo. Le funzioni di risposta ottima (o funzioni di reazione)p1(p2) e p2(p1) delle due imprese sono quindi

[5.89] p1 = at(l − a− b) + 12p2 +

1

2t(l − a− b)2

e

[5.90] p2 = bt(l − b− a) + 12p1 +

1

2t(l − b− a)2

Dalle eqq. [5.89] e [5.90] si ha che nell’esempio di d’Aspremont et al.(D) i prezzi di equilibrio sono

[5.91] pD1 = t(l − a− b)(l +a− b3)

[5.92] pD2 = t(l − b− a)(l +b− a3)

Inserendo i prezzi di equilibrio (eqq. [5.91] e [5.92]) nell’eq. [5.87], siottengono i profitti di equilibrio dell’impresa 1

[5.93] πD1 =1

18t (l − a− b) (3l + a− b)2

da cui

∂πD1∂a

= − 118t (l + 3a+ b) (3l + a− b) < 0

Questo significa che, se l’impresa 1 considera come data la posizioneB dell’impresa 2, fintanto che A è a sinistra di B, l’impresa 1 riter-rà conveniente spostarsi ancora di più verso sinistra, cioè allontanarsiulteriormente dall’impresa 2. Operando in modo analogo, si ha

[5.94] πD2 =1

18t (l − b− a) (3l + b− a)2

c° Ferdinando Colombo 198 — xxx


da cui

∂πD2∂b

= − 118t (l + 3b+ a) (3l + b− a) < 0

cioè, data la posizione A dell’impresa 1, fintanto che B è a destra diA, l’impresa 2 riterrà conveniente spostarsi ancora di più verso destra,cioè allontanarsi ulteriormente dall’impresa 1.Nell’esempio di d’Aspremont et al (1979) si ha quindi un risultato

opposto a quello di Hotelling: le due imprese vogliono allontanarsi il piùpossibile le une dalle altre e, in equilibrio, si posizionano ai due estremidel mercato. Ovviamente, questo esempio non intende certamente pro-porre un “principio” di massima differenziazione che si contrappongaal “principio” di minima differenziazione di Hotelling, ma vuole sem-plicemente illustrare come possano esistere forze diverse, che vanno indirezioni opposte. In termini informali, l’idea è la seguente. Se un’im-presa si avvicina all’altra, a parità di prezzo avrà una quota di mercatomaggiore; questo spinge l’impresa ad avvicinarsi. Tuttavia, l’avvicina-mento comporta una competizione sui prezzi più feroce e quindi prezzipiù bassi; questo spinge l’impresa ad allontanarsi. Il risultato finalesarà più simile a quello di Hotelling o a quello di d’Aspremont et al aseconda che prevalga il primo effetto oppure il secondo 55.

5.9.4. Giochi di fiducia e reputazione *

Gioco di fiducia. Consideriamo il gioco seguente. Il giocatore I devedecidere se fidarsi (F ) del giocatore II o non fidarsi (NF ). Nel caso incui non si fidi, il gioco termina e il payoff per i giocatori è (0, 0). Se ilgiocatore I decide invece di fidarsi, il giocatore II deve scegliere se ono-rare (o) la fiducia accordatagli o abusarne (a). Nel primo caso il payoffper i giocatori è uguale a (1, 1); ne consegue che entrambi preferisconola situazione caratterizzata dalla presenza di fiducia reciproca rispettoa quella nella quale il giocatore I sceglie di non accordare la sua fiduciaal giocatore II ; da questo punto di vista, la fiducia è un valore per lasocietà (intesa come l’insieme dei due giocatori). Se invece il giocatoreII abusa della fiducia accordatagli, il payoff per i giocatori è (−c, d).In molti contesti, concedere fiducia risulta costoso se l’altro ne abusa;per questo motivo ipotizziamo in tutto il paragrafo che c > 0. La formaestesa del gioco è la seguente:

55. Per una discussione più approfondita, si veda Tirole (1988, p.281—2).

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uI PPPPPP³³³³

³³uIIPPPPPP³³³³

³³

F

NF

o

a

(1, 1)

(−c, d)(0, 0)

figura 5.32. gioco di fiducia

Se, per il giocatore II, onorare la fiducia è molto importante, si ha d < 1;diremo a tale proposito che il giocatore II è virtuoso. La soluzione delgioco per induzione a ritroso 56 è

uI PPPPPP³³³³

³³³³

³³³³

³³³³

³³uIIPPPPPP³³³³

³³³³

³³³³

³³³³

³³

F

NF

o

a

(1, 1)

(−c, d)(0, 0)

figura 5.33. con un giocatore ii virtuoso (d < 1) c’è fiduciareciproca

Il giocatore I accorda la sua fiducia al giocatore II e questi la onora. Inquesto caso la fiducia reciproca conduce all’esito in assoluto dominantenel senso dei payoff ; di conseguenza, l’esito di un comportamento in-dividualmente razionale è anche desiderabile per la società consideratanel suo complesso.Purtroppo, il senso dell’onore e della correttezza non sono neces-

sariamente i sentimenti prevalenti all’interno di una società. È quindipossibile che esistano dei giocatori II non virtuosi, per i quali d > 1:questo implica che, nel caso in cui venga accordata loro la fiducia, essipreferiscono abusarne. Se il giocatore II è non virtuoso, la soluzionedel gioco per induzione a ritroso (e l’equilibrio perfetto nei sottogiochi)è

uI PPPPPPPPPPPP

PPPPPP

³³³³

³³uIIPPPPPPPPPPPP

PPPPPP

³³³³

³³

F

NF

o

a

(1, 1)

(−c, d)(0, 0)

figura 5.34. con un giocatore ii non virtuoso (d > 1) non c’èfiducia

56. In base alla prop. 5.2, essa rappresenta anche l’unico equilibrio di Nashperfetto nei sottogiochi.

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Il giocatore I si rende conto che, se dovesse accordare la sua fiducia algiocatore II, questi ne abuserà; di conseguenza, sceglie di non fidarsi 57 .Il payoff per i giocatori è (0, 0). L’esito finale di un comportamentoindividualmente razionale non è efficiente nel senso di Pareto, in quantoentrambi gli individui preferirebbero la situazione nella quale la fiduciaviene accordata e onorata. Si consideri a tale proposito la seguente,famosissima, citazione di Hume (1740, Libro 3, Parte 2, Sezione 5):

Il tuo grano è pronto oggi; il mio lo sarà domani. Sarebbe pro-fittevole per entrambi se io lavorassi con te oggi e tu mi aiutassidomani. Io non ho alcuna simpatia per te e so che anche tu nonne hai per me. Di conseguenza, io non mi preoccuperò dei tuoiproblemi e, se dovessi lavorare con te oggi sulla base dei mieiinteressi aspettandomi una ricompensa domani, so che rimarreideluso e che la mia speranza nel tuo senso di gratitudine risul-terebbe vana. Di conseguenza, ti lascio lavorare da solo e tufai lo stesso con me. Le stagioni cambiano ed entrambi perdia-mo i nostri raccolti a causa del bisogno di fiducia reciproca e disicurezza.

Gioco con orizzonte infinito e reputazione. Nell’esempio di Hume e,più in generale, in ogni situazione che abbia la struttura del gioco infig. 5.34, la mancanza di fiducia reciproca è dannosa per entrambi igiocatori. Diventa a questo punto essenziale chiedersi se in una so-cietà caratterizzata dalla presenza di individui non virtuosi ci possacomunque essere spazio per una qualche forma di fiducia reciproca. Seguardiamo al “mondo reale”, siamo in grado di individuare moltissimiproblemi simili nei quali la fiducia viene di fatto accordata: i genitoriaffidano il proprio bambino a una baby—sitter, pur essendo consci chepotrebbe benissimo uscire con gli amici o passare la serata a guardarela televisione, totalmente incurante del bambino che piange; le bancheforniscono prestiti alle imprese, pur sapendo che queste potrebbero poidecidere di non ripagare il debito; alcuni lavoratori dedicano moltissimotempo ed energia per l’impresa nella quale lavorano, nella speranza diessere successivamente premiati con avanzamenti di carriera o aumenti

57. La visione (purtroppo) tradizionale dell’homo oeconomicus sembrerebbe quasipresupporre che i giocatori siano egoisti/egocentrici. Ciò fa sì che, nella letteraturaeconomica, con il termine “gioco di fiducia” si intenda il gioco in fig. 5.34, cond > 1; si veda a questo proposito l’interessante articolo di Kreps (1990a). In que-sto paragrafo abbiamo considerato fin dall’inizio la possibilità (almeno teorica) cheesistano giocatori virtuosi – ipotesi che giocherà un ruolo cruciale nell’analisi dellaversione del gioco di fiducia ripetuta un numero finito di volte – per evidenziareancora una volta come l’homo rationalis non sia per definizione egoista/egocentrico,almeno nel senso che può tranquillamente essere interessato al benessere degli altriindividui o al mantenere fede a una promessa fatta.

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salariali; molti individui accettano che la propria carta di credito ven-ga addebitata ancora prima di ricevere il bene o servizio acquistato; ecosì via. In alcuni di questi esempi, è difficile pensare che gli individuisiano virtuosi : può darsi che la semplice compassione della baby—sittersia sufficiente a convincerla ad accudire il bambino che piange; sembrainvece più difficile che un debitore ripaghi volentieri il proprio debito sepotesse evitare di farlo senza conseguenze di tipo economico o penali.Concentriamo quindi la nostra attenzione sul caso in cui d > 1. Comeabbiamo visto nel par. 3.6.2, quando il comportamento individualmenterazionale conduce a un esito non particolarmente desiderabile, i gioca-tori possono avere un interesse reciproco a modificare il gioco medianteun contratto. Per esempio, una banca inizialmente orientata a negareil credito a un cliente può cambiare idea se quest’ultimo si rivela dispo-sto a fornirle una garanzia ipotecaria. Ciò fa sì che i payoff del giococambino: diventa molto più costoso per il cliente abusare della fiduciaaccordatagli e molto meno costoso per la banca vedere la propria fiduciaabusata; questo può anche far sì che, se il prenditore ha fondi sufficienti,decida di ripagare il debito. Naturalmente, la fiducia può dipendere an-che da contratti che riguardino la società nel suo complesso e non solole singole parti contraenti: per esempio, ci possono essere delle leggi alivello nazionale che permettano ai creditori di iniziare una procedurafallimentare nei confronti di coloro che non pagano i propri debiti; inun caso del genere, il debitore che dispone di fondi sufficienti può de-cidere di pagare per evitare di essere dichiarato fallito, così come nelpar. 3.6.2 gli individui rispettavano il diritto di proprietà per evitaredi essere puniti dal Leviatano.Esistono però dei casi in cui l’azione dei giocatori non è “verificabi-

le”, cioè non è osservabile da una parte terza che abbia la competenzae il potere di punire coloro che non si comportino secondo quanto pre-scritto da un eventuale contratto. Per esempio, mentre un tribunalepuò verificare che un debitore non abbia saldato il proprio debito conuna banca o che Amazon non abbia spedito i libri che ha addebitato alproprio cliente, non può valutare facilmente, tranne in casi ecclatanti,se una baby—sitter abbia assistito nella maniera corretta il bambino af-fidatole oppure se un lavoratore abbia meritato o meno la promozioneo l’aumento di stipendio. In questi ultimi casi, la fiducia non può essereottenuta mediante un contratto di tipo esplicito. In casi del genere,la fiducia può comunque emergere se il gioco in fig. 5.34 non vienegiocato una volta sola, bensì più volte. Per esempio, una baby—sitterche venga scoperta davanti alla televisione mentre il bambino piange,sa che con ogni probabilità perderà il proprio lavoro; questo potrebbeconvincerla a non abusare della fiducia accordatagli. Nello stesso modo,il datore di lavoro che non dovesse concedere un avanzamento di car-riera che aveva promesso a un lavoratore che lo ha meritato, non potrà

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realisticamente sperare che, nel futuro, quel lavoratore continui a es-sergli fedele; inoltre, se la violazione della promessa è osservabile anchedagli altri lavoratori, è probabile che anche questi non gli accordino piùla loro fiducia. Infine, un paese sovrano che abbia contratto un debitocon governi o istituzioni stranieri, può benissimo evitare di ripagare ildebito, senza subirne conseguenze immediate; tuttavia, si rende contoche questo comportamento potrebbe provocare ritorsioni da parte deipaesi creditori e, comunque, renderebbe molto più difficile per questopaese ottenere nuovamente credito nel futuro. E così via.Nella letteratura di teoria dei giochi, la possibilità che in un gioco

ripetuto un giocatore possa decidere di non abusare della fiducia ac-cordatagli in un certo periodo viene generalmente associata all’idea direputazione: la semplice promessa (implicita o esplicita) rappresenta uncontratto implicito. Le parti sono libere di violare tale contratto, otte-nendone un beneficio immediato, ma decidono di rispettarlo, in quantociò permette loro di costruirsi una reputazione di individui meritevo-li di fiducia e questo favorisce la possibilità che, nel futuro, venganoconsiderati nuovamente meritevoli di fiducia.Consideriamo a tale proposito, benché in termini estremamente in-

formali, il problema del diritto di proprietà introdotto nel par. 3.2.3.Ipotizziamo che, al ritorno dalla caccia, i due cacciatori siano consape-voli che, molto probabilmente, si incontreranno nuovamente nel futuro.Dati i loro payoff, è ancora vero che, nel singolo periodo, ogni cacciatoreotterrebbe un guadagno immediato da un comportamento aggressivo,in quanto questo gli permetterebbe di appropriarsi delle prede altrui.Tuttavia, si rende anche conto del fatto che un suo comportamento ag-gressivo oggi potrebbe aumentare la probabilità che, nel futuro, l’altrocacciatore scelga a sua volta di comportarsi in modo aggressivo; que-sto porterebbe allo stato di guerra universale, di tutti contro tutti; alcontrario, un atteggiamento pacifico oggi potrebbe esssere interpretatocome un segnale della propria volontà di comportarsi in modo pacificoanche nel futuro, purché l’altro faccia altrettanto: il desiderio reciprocodi costruirsi una reputazione di persone pacifiche potrebbe quindi por-tare a una situazione di pace, nella quale la proprietà privata vienerispettata. Possiamo quindi concludere che, anche nello “stato di na-tura” di Hobbes, la consapevolezza dei cacciatori di potersi incontrarenuovamente nel futuro potrebbe convincerli a comportarsi in modo pa-cifico e a rispettare l’altrui diritto di proprietà. Nello stesso modo, nelproblema considerato da Hume, la consapevolezza che in ogni stagioneil problema del raccolto si ripeterà può convincere i contadini a fidarsireciprocamente l’uno dell’altro, almeno fintanto che uno dei due non

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abusi eccessivamente della fiducia accordatagli 58.Vediamo ora in modo più formale come questo tipo risultato possa

emergere nella versione ripetuta del gioco in fig. 5.34. Ipotizziamo atale fine che, in ogni periodo, ci sia una probabilità δ < 1 che lo stes-so gioco venga giocato anche nel periodo successivo. In questo giocole strategie dei giocatori sono molto complesse, in quanto il compor-tamento di un giocatore in un certo periodo può dipendere dal suocomportamento e da quello dell’altro giocatore in tutti i periodi pas-sati, cioè dalla storia del gioco. Fortunatamente, nei giochi di questotipo non è necessario ricavare esplicitamente le strategie di equilibrio, inquanto esiste un teorema, il cosiddetto folk theorem 59 , che permette diidentificare tutte le utilità che possono essere ottenute in un equilibriodi Nash del gioco ripetuto. Ai nostri fini, non interessa tanto presenta-re tale teorema 60, quanto mostrare come la ripetizione del gioco possapermettere ai giocatori di costruirsi una reputazione di persone meri-tevoli di fiducia. Consideriamo a tale proposito il seguente insieme distrategie (una per giocatore):1. nel periodo t = 0 il giocatore I gioca F . Successivamente, se nelpassato il giocatore II ha giocato almeno una volta a, il giocatore Igioca NF ; se invece il giocatore II ha sempre giocato o, il giocatore Icontinua a giocare F ;2. il giocatore II gioca sempre o, indipendentemente dal suo comporta-mento passato e da quello dell’altro giocatore.La strategia del giocatore I è chiamata nella letteratura “strategia

grilletto” (trigger strategy): il giocatore I inizia il gioco accordando lafiducia al giocatore II e continua ad accordargliela fintanto che questinon decida di abusarne; è però sufficiente che il giocatore II scelga ancheuna sola volta di abusare della fiducia accordatagli per provocare unareazione durissima da parte del giocatore I, che dal quel momento inpoi decide di non fidarsi più del giocatore II. Il giocatore II si comportainvece in ogni periodo come se fosse virtuoso.

58. Per una rivisitazione dell’esempio di Hume in chiave sociologica, si veda Cole-man (1990, p.93). L’importanza del concetto di reputazione nelle relazioni di lavoroemerge chiaramente, tra gli altri, in Bull (1987), MacLeod e Malcomson (1988,1989) e Colombo e Merzoni (2002); nel caso di debito sovrano, si vedano Eaton eGersovitz (1981) e Kletzer e Wright (2000). Problemi diversi che possono esserestudiati utilizzando lo stesso apparato analitico sono le relazioni tra elettori ed eletti(Coleman, 1990, p.94), le scelte ralative a questioni di deterrenza militare tra paesi(Herz, 1950 , Kydd, 2000), la fornitura di beni la cui qualità può essere conosciutasolo dopo un certo periodo di utilizzo del bene (Klein e Leffler, 1981), ecc.59. Una possibile traduzione di questo termine è teorema popolare, per indicare il

fatto che si tratta di un teorema conosciuto da molto tempo e del quale non è statopossibile identificarne l’“inventore”.60. Il lettore interessato può consultare, per esempio, i manuali di Fudenberg e

Tirole (1991, cap. 5), Myerson (1991, cap. 7) e Osborne e Rubinstein (1994, cap. 8).

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Vediamo ora sotto quali condizioni la coppia di strategie 1—2 è unequilibrio di Nash del gioco. Data la strategia del giocatore I, se nelperiodo t = 0 il giocatore II gioca a, ottiene un payoff uguale a d inquel periodo; successivamente non otterrà più la fiducia del giocatoreI e, quindi, da quel periodo in avanti avrà un payoff uguale a 0. Diconseguenza, la somma non scontata dei payoff del giocatore II valutataal tempo t = 0 è 61

[5.95] uII(t = 0) = d+ δ · 0 + δ2 · 0 + . . . = d+∞Xi=1

δi · 0 = d

Per mostrare che la strategia considerata non è una risposta ottimaalla strategia del giocatore I è sufficiente individuare una strategia delgiocatore II (non necessariamente ottima) che gli assicura un’utilitàmaggiore. Consideriamo a tale proposito il caso in cui, in ogni periodo,il giocatore II gioca o, indipendentemente dalla storia passata del gioco(cioè gioca la strategia 2): data la strategia del giocatore I, la sommanon scontata dei payoff per il giocatore II valutata al tempo t = 0 è 62

[5.96] uII(t = 0) = 1 + δ · 1 + δ2 · 1 + . . . =∞Xi=0

δi =1

1− δ

61. Le probabilità sono state ottenute applicando ripetutamente la formula peril calcolo della probabilità dell’intersezione di eventi stocasticamente indipendenti(eq. [1.5]). Il lettore noterà che il gioco in esame è potenzialmente infinito, cioè nonè possibile stabilire a priori un numero K di periodi tale che la probabilità che ilgioco termini prima di K periodi sia esattamente uguale a 1. Tuttavia, data unaqualunque probabilità p inferiore a uno, è sempre possibile identificare un nume-ro di periodi T tale che la probabilità che il gioco termini prima di T periodi siamaggiore o uguale a p. Informalmente questo significa che, se il numero di periodiconsiderati è “sufficientemente elevato”, la probabilità che il gioco termini primadell’ultimo periodo è “sufficientemente vicina a uno”; in altri termini, se δ non è“molto vicino” a uno, è “improbabile” che il gioco duri a lungo, pur continuandoa essere un gioco potenzialmente infinito. Queste considerazioni di tipo “tecnico”sono molto importanti in quanto, come abbiamo visto nel par. 5.4** (con riferi-mento ad un altro gioco: il “paradosso della catena di negozi”), se il gioco avesseinvece una durata finita prederminata K qualsiasi, l’applicazione del procedimentodi induzione a ritroso darebbe come unica soluzione la ripetizione dell’esito dellaversione uniperiodale del gioco: in ogni periodo il giocatore I non accorda la suafiducia al giocatore II e il giocatore II abusa sempre della fiducia eventualmenteaccordatagli. Per ottenere un risultato diverso con un orizzonte finito è necessariointrodurre una qualche forma di asimmetria sui payoff dei giocatori, come faremonella parte successiva del paragrafo.62. Il lettore può notare che, eseguendo la moltiplicazione che segue, quasi tutti

i termini si annullano: (1 + δ + δ2 + . . .+ δn)(1− δ) = 1− δn+1. Di conseguenza,Pni=0 δ

i = (1− δn+1)/(1− δ). Quando n tende a infinito, poiché δ < 1, il termineδn+1 tende a zero; di conseguenza,

P∞i=0 δ

i = 1/(1− δ).

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Iptozziamo che in ogni periodo i giocatori valutino le diverse strategiein base alla somma non scontata dei payoff futuri. Confrontando leeqq. [5.95] e [5.96], è evidente che, se 1

1−δ > d, abusare della fiducia nelprimo periodo non è, per il giocatore II, una risposta ottima alla “stra-tegia grilletto” del giocatore I. Questa condizione può essere riscrittacome segue

[5.97] δ > 1− 1d

È facile notare come il soddisfacimento di tale condizione dipenda po-sitivamente dalla probabilità di continuazione del gioco (δ) e negati-vamente dal guadagno derivante dall’abusare della fiducia accordatagli(d): se la probabilità che il rapporto continui è bassa oppure il guadagnoderivante dall’abusare della fiducia accordatagli è elevato, il giocatoreII non ha un incentivo a crearsi una reputazione di persona meritevoledi fiducia; nel caso contrario, sceglie invece di onorare la fiducia accor-datagli, accettando di ottenere un payoff minore nel primo periodo (1invece di d), ma beneficiando così della possibilità di ottenere nuova-mente fiducia nel futuro. D’ora in poi ipotizzeremo che l’eq. [5.97] siasoddisfatta.Abbiamo visto sopra che, data la strategia del giocatore I, nel perio-

do t = 0 il giocatore II onorerà la fiducia accordatagli. Consideriamoora il periodo t = 1. Esiste una probabilità uguale a 1− δ che il giocotermini. Con probabilità δ, invece, il gioco continua e, dato il compor-tamento del giocatore II nel periodo t = 0, la strategia del giocatore Irichiede di concedere nuovamente fiducia al giocatore II. A questo pun-to, data la “strategia grilletto” del giocatore I, se in t = 1 il giocatore IIgioca a, la somma non scontata dei payoff per il giocatore II valutataal tempo t = 1 (condizionata al fatto che nel periodo t = 1 il giococontinui) è

[5.98] uII(t = 1) = d+ δ · 0 + δ2 · 0 + . . . = d+∞Xi=1

δi · 0 = d

Se invece il giocatore II sceglie la strategia (non necessariamente otti-ma) di onorare sempre la fiducia accordatagli (strategia 2), la sommanon scontata dei payoff per il giocatore II valutata al tempo t = 1(condizionata al fatto che nel periodo t = 1 il gioco continui) è

[5.99] uII(t = 1) = 1 + δ · 1 + δ2 · 1 + . . . =∞Xi=0

δi =1

1− δ

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Le eqq. [5.98] e [5.99] coincidono, rispettivamente, con le eqq. [5.95] e[5.96]. Di conseguenza, se δ > 1 − 1

d , data la strategia 1 del giocatoreI, è ottimale per il giocatore II onorare la fiducia anche nel periodot = 1. È facile capire che questo vale anche per ogni periodo succes-sivo. Possiamo quindi concludere che, data la “strategia grilletto” 1del giocatore I, la strategia 2 di onorare sempre la fiducia accordatagli,è effettivamente la risposta ottima del giocatore II alla strategia delgiocatore I.Consideriamo ora il giocatore I. Data la strategia 2 del giocatore

II di onorare sempre la fiducia accordatagli, indipendentemente dallastoria passata del gioco, in ogni periodo nel quale il gioco ha luogo ilgiocatore I ottiene un payoff uguale a 1 se concede la fiducia al giocatoreII e un payoff uguale a 0 se non gliela concede; poichè il comportamentodel giocatore I non influenza quello del giocatore II, concedere la fiduciaal giocatore II fintanto che questi non ne abusa e negargliela da quelmomento in poi è una risposta ottima del giocatore I alla strategia 2del giocatore II.Abbiamo quindi dimostrato che le strategie 1—2 costituiscono un

equilibrio di Nash del gioco. Finché il gioco continua, in ogni periodociascun giocatore ottiene un payoff uguale a 1.A questo punto può essere utile confrontare il risultato appena otte-

nuto con quello che si avrebbe in un mondo caratterizzato dalla presen-za di giocatori II che siano tutti virtuosi (fig. 5.33). In un mondo delgenere, nella versione uniperiodale del gioco, il giocatore I accorda lafiducia al giocatore II e questi la onora. Nella versione potenzialmenteinfinita del gioco, sembra “ragionevole” che in ogni periodo un gioca-tore II virtuoso onori la fiducia eventualmente accordatagli63 e che, diconseguenza, il giocatore I gli conceda la sua fiducia in ogni periodo. Ilrisultato finale in un mondo con giocatori II virtuosi è quindi esatta-mente uguale a quello che si avrebbe con le strategie 1—2 (e con giocatoriII non virtuosi): finché il gioco continua, in ogni periodo il giocatore Iaccorda la sua fiducia al giocatore II e questi la onora; di conseguenza,in ogni periodo nel quale il gioco viene giocato il payoff per i giocatori è(1, 1). Abbiamo quindi mostrato che lo stesso risultato che emergerebbein un mondo caratterizzato da giocatori II virtuosi, che sono “natural-mente” inclini a onorare la fiducia accordata loro, può essere ottenutocome equilibrio di Nash di un gioco caratterizzato dalla presenza di gio-catori II non virtuosi, che perseguono il loro proprio interesse, ma chedesiderano costruirsi una reputazione di persone meritevoli di fiducia.

63. Questa ipotesi verrà mantenuta durante tutto il paragrafo. In effetti, sembre-rebbe piuttosto bizzarro che un giocatore II virtuoso preferisca abusare della fiduciaaccordatagli, subendo quindi un danno in quel periodo, nella speranza che questosuo comportamento induca il giocatore I ad accordargli nel futuro più fiducia diquella che avrebbe invece ottenuto se avesse onorato la fiducia accordatagli.

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Questo risultato, per quanto interessante, presenta però alcuni difetti.In primo luogo, la scelta del giocatore II di crearsi una reputazione dipersona meritevole di fiducia rappresenta solo una delle possibilità, nelsenso che nel gioco possono esistere molti altri equilibri di Nash. Limi-tiamoci a tale proposito a considerare la seguente coppia di strategie,che coincide di fatto con la ripetizione della soluzione uniperiodale delgioco con giocatori non virtuosi :3. in ogni periodo il giocatore I gioca NF , indipendentemente dal suocomportamento passato e da quello dell’altro giocatore;4 in ogni periodo il giocatore II gioca a, indipendentemente dal suocomportamento passato e da quello dell’altro giocatore.È facile vedere che la coppia di strategie 3—4 (il giocatore I non ac-corda mai la sua fiducia al giocatore II, il quale, a sua volta, abusasempre della fiducia eventualmente accordatagli) rappresenta anch’essaun equilibrio di Nash del gioco. Infatti, data la strategia 4 del giocatoreII, se in un periodo il giocatore I gioca F invece di NF , in quel periodoottiene un payoff uguale a −c invece di zero; dato che nella strategia 4 ilcomportamento del giocatore II non dipende da quello del giocatore I,non può mai essere ottimale per quest’ultimo giocare in qualche periodola strategia F . Per quanto riguarda il giocatore II, data la strategia 3del giocatore I, egli non è mai chiamato ad agire; di conseguenza ognisua strategia è una risposta ottima alla strategia adottata dal giocatoreI. Contrariamente all’equilibrio costituito dalla coppia di strategie 1—2,quello costituito dalla coppia 3—4 non sembra particolarmente deside-rabile per la società considerata nel suo complesso: il giocatore I nonaccorda mai la sua fiducia al giocatore II, il quale, anche volendo, non hamai l’opportunità di costruirsi la reputazione di persona meritevole difiducia. In ogni periodo i giocatori ottengono un payoff uguale a (0, 0).In secondo luogo, la presenza di un’infinità di equilibri di Nash crea undifficile problema di “selezione” tra equilibri, cioè di identificazione diquale di essi debba essere considerato il modo “ovvio” di giocare : nonesistendo un periodo finale del gioco, gli equilibri di Nash non posso-no infatti essere in alcun modo “raffinati” in base al’idea di razionalitàfutura. Facciamo a tale proposito alcune considerazioni “speculative”(e, forse, discutibili). Consideriamo l’equilibrio costituito dalle strategie1—2 e ipotizziamo che nei primi 50 periodi il giocatore I conceda la suafiducia e che nei primi 49 periodi il giocatore II la onori, mentre nelperiodo 50 ne abusi. L’idea di razionalità futura richiede che, arrivatial periodo 51, i due giocatori si comportino in modo razionale (cioè se-condo uno dei due concetti principali di soluzione analizzati nella ParteII del volume) dal periodo 51 in avanti, prescindendo completamenteda ciò che è accaduto nel passato (che è invece molto importante nelcaso di considerazioni basate sulla razionalità passata). Se il modo“ovvio” di giocare è effettivamente costituito dalle strategie 1—2, non

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è completamente chiaro che cosa debba fare il giocatore I : in base al-la strategia 1 dovrebbe giocare NF ; tuttavia, in base alla strategia 2non si sarebbe mai dovuto trovare in quella situazione. Dal periodo 51in avanti, nel gioco potenzialmente infinito che inizia in quel periodoesistono infiniti equilibri di Nash, gli stessi equilibri del gioco di par-tenza. Se dopo una “deviazione” dal modo “ovvio” di giocare (cioè dalperiodo 51 in avanti) viene giocato l’equilibrio costituito dalla coppie distrategie 3—4 accade esattamente quello che era previsto dall’equilibrioche stiamo considerando (cioè dall’equilibrio costituito, fin dall’iniziodel gioco, dalla coppia di strategie 1—2, data la “deviazione”: dal pe-riodo 51 in avanti il giocatore I non accorda più la fiducia al giocatoreII ). In termini assolutamente imprecisi (e, forse, discutibili), potrem-mo dire che la “deviazione” dall’equilibrio costituito dalle strategie 1—2nel periodo 50 ha fatto sì che il modo “ovvio” di giocare a partire dalperiodo 51 in avanti sia diventato l’equilibrio costituito dalla coppia distrategie 3—4. In questo caso, il comportamento passato influenza leaspettative dei giocatori sul comportamento futuro degli altri giocatori,un risultato più “vicino” all’idea di razionalità passata che di raziona-lità futura. Se invece, dopo il periodo 51 il giocatore I ritiene che stiainiziando a giocare lo stesso gioco che aveva in realtà iniziato a giocare50 periodi prima, in quanto in termini di strategie e di payoff si trattaeffettivamente dello stesso gioco, potrebbe continuare a ritenere (nono-stante la “deviazione”) che il modo “ovvio” di giocare continui a esserecostituito dalla coppia di strategie 1—2 64; in questo caso continuerebbead accordare la sua fiducia al giocatore II 65 . Considerazioni di questotipo (informali e, forse, discutibili) sembrano suggerire che, nei giochicon orizzonte infinito caratterizzati dalla presenza di infiniti equilibridi Nash, non sia affatto semplice “selezionarne” uno come particolar-mente “ragionevole”. Un grande pregio del modello che presenteremoora è che permette di evitare tutti questi tipi di problemi, in quanto ècaratterizzato dalla presenza di un unico equilibrio sequenziale. Inol-

64. Una possibile “giustificazione” di questo modo di pensare è legato all’ideache il giocatore II si sia semplicemente sbagliato, che la sua mano abbia “tremato”nel momento di compiere la sua mossa. Naturalmente, questa interpretazione deveessere valutata attentamente, in quanto questi “sussulti” della mano potrebbero nonessere affatto casuali, bensì scelti opportunamente dal giocatore II, per ottenerneun vantaggio rispetto all’equilibrio costituito dalla coppia di strategie 1—2.65. Continuando con questo tipo di ragionamento “speculativo”, introduciamo

una comunicazione tra i giocatori e ipotizziamo che, nell’esempio di Hume, il gioca-tore II, dopo aver ricambiato per 50 periodi l’aiuto del giocatore I, nel periodo 51non lo abbia fatto e sia andato espressamente a scusarsi con il giocatore II dicendo-gli per esempio: “ti avrei aiutato molto volentieri, come ho sempre fatto; purtroppoquest’anno mia madre non è stata bene e sono dovuto andare al suo paese a curarla”.Può darsi che questo sia vero, come può darsi che non lo sia. Tuttavia, non sembraassolutamente chiaro che cosa debba razionalmente fare il giocatore I nel periodo52.

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tre (e questo, a parere di chi scrive, è il pregio maggiore), l’equilibrioha delle caratteristiche che lo rendono particolamente “ragionevole” e“intuitivo”.

‡ Gioco ripetuto un numero finito di volte, informazione incompletae reputazione 66. L’esistenza di infiniti equilibri e l’impossibilità di“selezionare” tra i diversi equilibri sulla base di considerazioni fondatesull’idea di razionalità futura può rendere opportuno analizzare ancheuna versione ripetuta un numero finito di volte del gioco di fiducia infig. 5.32.Come abbiamo accennato nella nota 61 e nel par. 5.4** (con riferi-

mento ad un altro gioco: il “paradosso della catena di negozi”), affinchél’unico equilibrio perfetto nei sottogiochi (o sequenziale) con orizzontefinito non coincida con la semplice ripetizione della soluzione del model-lo uniperiodale del gioco, nella quale la fiducia non viene mai accordatae il giocatore II non è mai in grado di costruirsi una reputazione, ènecessario introdurre un certo grado di informazione incompleta. Ilmodello che verrà ora presentato è un’applicazione ai giochi di fiduciadell’idea di reputazione in un gioco con orizzonte finito contenuta nel-l’ormai famoso articolo di Kreps e Wilson (1982a). Consideriamo ungioco con informazione incompleta e trasformiamolo in un gioco con in-formazione imperfetta utilizzando il procedimento ideato da Harsanyi eillustrato nel par. 2.2*. Ipotizziamo a tal fine che la Natura (N) scelga,con probabilità p, un giocatore II virtuoso (V ) e, con probabilità 1−p,un giocatore II non virtuoso (NV ); queste probabilità sono conoscenzacomune. Questo significa che, con probabilità p, viene giocato il giocoin fig. 5.33 (nel quale, per evitare confusione, abbiamo sostituito d cong < 1), mentre, con probabilità 1−p, viene giocato il gioco in fig. 5.34(con d > 1). La forma estesa della versione uniperiodale del gioco (nellarappresentazione ex post o interim) è la seguente:

66. Per alcune applicazioni di questo modello a problemi di delega, si vedano Co-lombo e Merzoni (2001, 2002a, 2002b). Potete richiedere una versione aggiornata diquesti lavori con una mail all’indirizzo [email protected] (del primoquaderno esiste anche una traduzione in italiano).

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uN QQQQQQ

´´´´´

u

upppppppppppppppppppppppppp

I

PPPPPP

³³³³

³³

PPPPPP

³³³³

³³

(0, 0)

(0, 0)

u

u

V

NV

hhhhhh((((

((

hhhhhh((((

((

p

1− p

F

NF

F

NF

o

a

o

a

(1, 1)

(−c, g)

(1, 1)

(−c, d)

figura 5.35. gioco uniperiodale con informazione incompleta

La soluzione per induzione a ritroso è immediata. Se il giocatore Igioca F , il giocatore V gioca o (poiché 1 > g) e il giocatore NV giocaa (poiché 1 < d); di conseguenza l’utilità attesa del giocatore I se giocaF è p+ (1− p)(−c) = p(1 + c)− c. Se invece il giocatore I gioca NF ,la sua utilità attesa è uguale a 0. Di conseguenza:i) se p > c/(1+ c) = 1− 1/(1+ c), è ottimale per il giocatore I giocareF . Il soddisfacimento di tale condizione dipende positivamente da p enegativamente da c: quanto maggiore è la quota dei giocatori II virtuosi(i quali onorano la fiducia eventualmente accordata loro) e tanto minoreè la perdita per il giocatore I derivante dall’avere la sua fiducia abusata,tanto maggiore è l’incentivo per il giocatore I di accordare la propriafiducia al giocatore II ;ii) se p < c/(1 + c), è ottimale per il giocatore I giocare NF : quandola quota dei giocatori II virtuosi è bassa e/o la perdita dal vedere lapropria fiducia abusata è alta, il giocatore I preferisce non accordare lasua fiducia al giocatore II ;iii) se p = c/(1 + c), il giocatore I è indifferente tra accordare e nonaccordare la sua fiducia al giocatore II. In questo caso la procedura diinduzione a ritroso non identifica una sola soluzione. Esistono infinitiequilibri sequenziali, nei quali il giocatore I gioca F con probabilità ze NF con probabilità 1 − z, il giocatore V gioca o e il giocatore NVgioca a. Possiamo quindi concludere che la compresenza di giocatori IIvirtuosi e non virtuosi non permette di far emergere la fiducia quandola quota dei virtuosi è bassa.Ipotizziamo ora che il gioco sia ripetuto due volte e che, come in

precedenza, i payoff dei giocatori siano semplicemente la somma nonscontata dei payoff ottenuti nei diversi periodi. Siano yt e wt le probabi-lità con le quali, rispettivamente, i giocatori NV e V onorano la fiducianel periodo t (con t = 1, 2), condizionata al fatto che in quel periodoessi abbiano effettivamente ricevuto la fiducia del giocatore I. Come ab-biamo accennato in precedenza (nota 63), ipotizziamo che wt = 1 per

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ogni t, cioè in ogni periodo il giocatore V onora la fiducia eventualmen-te accordatagli; questo implica che se in un certo periodo il giocatore Iconcede la propria fiducia e il giocatore II ne abusa, il giocatore I è ingrado di inferire con certezza che sta fronteggiando un giocatore II nonvirtuoso; a quel punto, la procedura di induzione a ritroso richiede cheil giocatore I non accordi più la sua fiducia a tale giocatore. Sia infinezt la probabilità che, nel periodo t, il giocatore I conceda la propria fi-ducia a un giocatore II che, nel passato, ha sempre ricevuto ed onoratola fiducia accordatagli.Calcoliamo ora gli equilibri sequenziali della versione bi—periodale

del gioco di fiducia con informazione incompleta. Presentiamo a questoproposito una dimostrazione piuttosto discorsiva; successivamente ver-rà fornita una dimostrazione più rigorosa, che vale per ogni orizzontetemporale finito K.Consideriamo dapprima il periodo t = 2 e ipotizziamo che il giocatore Iconceda la propria fiducia al giocatore II. Trattandosi dell’ultimo perio-do del gioco, il giocatore NV massimizza la sua utilità in quel periodoe gioca a; di conseguenza, y2 = 0. Se p2 è la probabilità soggettivadel giocatore I di trovarsi di fronte, nel periodo t = 2, un giocatore IIvirtuoso, l’utilità attesa del giocatore I nel secondo periodo è uguale ap2− (1− p2)c se concede la sua fiducia al giocatore II, mentre è ugualea 0 se non gliela concede. Possiamo quindi concludere che:[i] z2 = 1 se p2 > c/(1 + c);[ii] z2 = 0 se p2 < c/(1 + c);[iii] se p2 = c/(1 + c), ogni z2 è ottimale. Calcoleremo successivamenteil valore di z2 in equilibrio.Consideriamo ora il periodo t = 1 e ipotizziamo che il giocatore I

conceda la propria fiducia al giocatore II. Il concetto di equilibrio se-quenziale richiede che, laddove possibile, le credenze dei giocatori sianocalcolate a partire dalla strategia di equilibrio. Di conseguenza, data lastrategia y1 del giocatore NV , la probabilità soggettiva del giocatore Idi trovarsi di fronte, al tempo t = 2, un giocatore II virtuoso, dipendedal fatto che il giocatore NV abbia onorato o meno la fiducia accorda-tagli in t = 1:1. se il giocatore NV ha onorato la fiducia accordatagli, dalla regola diBayes si ha

[5.100] p2 =p

p+ (1− p)y12. se il giocatore NV ha abusato della fiducia accordatagli, il giocatoreI si rende conto di trovarsi di fronte un giocatore II non virtuoso; di

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conseguenza,

[5.101] p2 = 0

Se y1 = 0, dall’eq. [5.101] si ha p2 = 0 e quindi, dalla [ii], z2 = 0: senel primo periodo il giocatore NV abusa con probabilità uguale a 1della fiducia accordatagli, il giocatore I capisce che si trova di fronteun giocatore II non virtuoso e, in t = 2, non gli rinnova la sua fiducia.Se y1 = 1, dall’eq. [5.100], si ha p2 = p e quindi, dalla [ii], z2 = 1 sep > c/(1 + c) e z2 = 0 se p < c/(1 + c):67 se il giocatore NV onoracon probabilità uguale a 1 la fiducia accordatagli, in t = 2 il gioco sipresenta esattamente come nella fig. 5.35; lo stesso vale per le soluzionidel gioco. Consideriamo separatamente i due casi.a) Caso p > c/(1 + c)Ipotizziamo che in t = 1 il giocatore NV riceva la fiducia del giocatoreI. Se abusa della fiducia, ottiene in t = 1 un payoff uguale a d e int = 2 un payoff uguale a 0 (in quanto z2 = 0); se invece la onora conprobabilità uguale a 1 (y1 = 1), ottiene in t = 1 un payoff uguale a 1e in t = 2 un payoff uguale a d (in quanto z2 = 1 e y2 = 0) e quindiin totale un payoff uguale a 1 + d. Di conseguenza, in t = 1 è ottimaleper il giocatore NV “imitare” il giocatore V e onorare la fiducia conprobabilità uguale a 1 (y1 = 1), ottenendo così un payoff più basso inquel periodo (1 invece di d), ma evitando in tal modo di essere scopertoe riuscendo quindi a ottenere la fiducia del giocatore I anche nel periodosuccessivo, nel quale il giocatore NV non onora la fiducia e ottiene unpayoff aggiuntivo uguale a d.Il giocatore I anticipa il comportamento dei giocatori V e NV . Se

nel primo periodo accorda la propria fiducia al giocatore II, in quelperiodo essa verrà onorata sia dal giocatore V sia dal giocatore NV ; diconseguenza, il payoff per il giocatore I è uguale a 1; se invece, non laaccorda ottiene un payoff uguale a 0. In entrambi i casi, se p > c/(1+c),nel secondo periodo il giocatore I accorda sempre la propria fiducia algiocatore II (z2 = 1), ottenendo un payoff uguale a p+(1−p)(−c) > 0.Naturalmente, poichè in questo caso il payoff del giocatore I in t = 2non dipende dal suo comportamento nel periodo t = 1, dal confrontoprecedente (1 > 0) è ovvio che z1 = 1. Abbiamo quindi dimostrato laproposizione seguente:

proposizione 5.1 Se p > cc+1 , in un equilibrio sequenziale si ha z1 =

z2 = 1, y1 = 1 e y2 = 0.

67. Per semplicità, trascuriamo il caso in cui p = c/(1 + c). Poiché p e c sonoparametri, questo caso si verifica con una probabilità uguale a zero.

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Nel caso (a) il giocatore I concederebbe la propria fiducia anche nel mo-dello uniperiodale, in quanto la società è caratterizzata dalla presenzadi un numero elevato di giocatori II virtuosi. Questo vale a fortiori condue periodi, in quanto anche in questo caso tutti i giocatori II virtuosionoreranno la fiducia accordata loro, ma ora anche i giocatori II nonvirtuosi potrebbero, nel primo periodo, “imitare” quelli virtuosi. Dallaprop. 5.1, questo è esattamente quello che accade. Il giocatore I bene-ficia quindi della ripetizione del gioco, in quanto in t = 1, per evitare diessere riconosciuti come tali e di vedere conseguentemente negata lorola fiducia nel periodo t = 2, i giocatori II non virtuosi “imitano” quellivirtuosi e onorano la fiducia. In un certo senso, possiamo dire che int = 1 il giocatore NV cerca di costruirsi una reputazione di personameritevole di fiducia.68

( b) Caso p < c/(1 + c)Ipotizziamo anche in questo caso che in t = 1 il giocatore II riceva lafiducia del giocatore I. Se in t = 1 il giocatore NV ne abusa, ottiene inquel periodo un payoff uguale a d e in t = 2 un payoff uguale a 0 (inquanto z2 = 0); se invece la onora con probabilità uguale a 1 (y1 = 1),ottiene in t = 1 un payoff uguale a 1 e in t = 2 un payoff uguale a 0 (inquanto z2 = 0 e y2 = 0). Poichè d > 1, non può esistere un equilibrio nelquale y1 = 1. Verifichiamo ora che non può esistere nemmeno un equi-librio nel quale y1 = 0. Se in t = 1 il giocatore accorda la sua fiducia algiocatore II, se il giocatore NV ne abusa, ottiene un payoff uguale a d;se invece la onora,ottiene un payoff uguale a 1. Inoltre, dall’eq. [5.100]si ha p2 = 1 e, quindi, z2 = 1:, questo significa che, non onorando lafiducia nel periodo t = 2 il giocatore NV ottiene un payoff aggiuntivouguale a d. Di conseguenza, il payoff totale di un giocatore NV chein t = 1 onori la fiducia accordatagli e in t = 2 ne abusi è 1 + d. Neconsegue che non può esistere nemmeno un equilibrio nel quale y1 = 0.Possiamo quindi concludere che, se in t = 1 il giocatore NV riceve lafiducia del giocatore I, il concetto di equilibrio di equilibrio sequenzialerichiede che il giocatore NV giochi una strategia mista; in base allaprop. 4.3, questo richiede che egli debba essere indifferente tra abusaredella fiducia accordatagli in t = 1 e onorarla ed abusare dell’eventualefiducia in t = 2. Se in t = 1 il giocatore NV gioca a ottiene un payofftotale uguale a d; se invece gioca o in t = 1 e a in t = 2 ottiene unpayoff totale uguale a 1 + z2d. Affinché sia ottimale per il giocatoreNV giocare una strategia mista è quindi necessario che

1 + z2d = d

68. In realtà, dall’eq. [5.100], se y1 = 1 si ha p2 = p, cioè il giocatore NV è ingrado solamente di mantenere il suo livello di reputazione, non di accrescerlo.

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cioè

[5.102] z2 =d− 1d

Dalle considerazioni [i]—[iii], si ha che z2 6= 0, 1 se (e solo se)

[5.103] p2 =c

1 + c

che, in base all’eq. [5.100], si verifica se (e solo se)

[5.104] y1 =p

1− p1

c

Consideriamo quindi il giocatore I nel periodo t = 1. Se concede lapropria fiducia al giocatore II, avrà un payoff totale uguale a

p+ (1− p)(y1 − (1− y1)c) + z2(p2 − (1− p2)c)

che, tenendo conto delle eqq. [5.102]—[5.104], dopo le opportune sem-plificazioni, diventa

[5.105]2pc+ p− c2 + pc2

c

Se invece nega la propria fiducia al giocatore II, ottiene un payoff ugualea zero. Dall’eq. [5.105] si ha che è strettamente meglio per il giocatoreI negare la sua fiducia in t = 1 al giocatore II (cioè z1 = 0) se

p <c2

(1 + c)2

mentre è preferibile accordare la sua fiducia69 (cioè z1 = 1) se

p >c2

(1 + c)2

Abbiamo quindi dimostrato le due proposizioni seguenti:

proposizione 5.2 Se p < c2

(1+c)2, in un equilibrio sequenziale si ha

z1 = 0, y1 =p1−p

1c , z2 = 0, y2 = 0

69. Anche in questo caso trascuriamo il caso p = c2/(1+c)2, evento che si verificacon probabilità uguale a zero.

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proposizione 5.3 Se p > c2

(1+c)2, in un equilibrio sequenziale si ha

z1 = 1, y1 =p1−p

1c , z2 =

d−1d , y2 = 0

In base alla prop. 5.2, la percentuale di giocatori II virtuosi è così bassache, pur sapendo che una parte dei giocatori NV sceglierebbe di crear-si una reputazione di individui meritevoli di fiducia, questi sono cosìpochi che il giocatore I preferisce comunque non concedere la propriafiducia al giocatore II. La prop. 5.3 illustra probabilmente il caso piùinteressante: la percentuale di giocatori II virtuosi non è così elevatada far sì che la fiducia venga concessa anche in un modello uniperiodale(prop. 5.1), ma non è nemmeno così modesta da far sì che il giocatore Inon conceda la fiducia nemmeno nel modello a due periodi (prop. 5.2).Quando p ∈ ( c2

(1+c)2, cc+1), in t = 1 il giocatore I accetta di concedere la

sua fiducia al giocatore II perchè anticipa che una parte non trascura-bile dei giocatori non virtuosi sceglierà di costruirsi una reputazione dipersone meritevoli di fiducia e quindi la probabilità che la fiducia ven-ga onorata è sufficientemente elevata da indurlo a concedere la propriafiducia in t = 1 70 Vale quindi la pena di risolvere il modello quandoil gioco viene ripetuto un numero K di volte, con K numero naturalearbitrario. La determinazione dell’equilibrio sequenziale è delegata aun’appendice matematica posizionata alla fine del paragrafo.Si può dimostrare che, se il numero di ripetizioni K del gioco è suf-

ficientemente elevato, l’equilibrio sequenziale del gioco è caratterizzatoda una fase iniziale di “cooperazione”, nella quale il giocatore I accor-da la sua fiducia e il giocatore NV onora la fiducia accordatagli, perevitare di essere individuato come non virtuoso, da una fase uniperio-dale di “transizione” e da una fase terminale, nella quale il desideriodi costruirsi una reputazione da parte del giocatore NV – e quindi laprobabilità dei giocatori NV che onorano la fiducia accordata loro –si deteriora sempre più all’avvicinarsi della fine del gioco.Definiamo dapprima K(p) ∈ N, cioè il numero minimo di ripetizioni

del gioco che inducono il giocatore I ad accordare la propria fiducia algiocatore II in t = 1.

definizione 5.1 (Lunghezza minima del gioco) K(p) = [K(p)]dove [K(p)] è la parte intera di K(p) e K(p) ∈ R è quell’unico valore

che soddisfa l’equazione p =³

cc+1

´K(p)−1Il valore di K(p) determina la lunghezza del periodo caratterizzato dafiducia reciproca. È facile vedere che, per ogni p, esiste sempre un

70. Naturalmente, se il costo per il giocatore I di vedere la propria fiducia abu-sata è elevato, anche la quota di giocatori II virtuosi che induca il giocatore I adattribuire la propria fiducia al giocatore II deve essere elevata.

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valore K(p) che soddisfa la Def. 5.1: questo significa che anche nel casoin cui la percentuale dei giocatori II virtuosi sia modesta, se il giocoviene ripetuto un numero sufficientemente elevato di volte, si hannocomunque alcuni periodi caratterizzati da fiducia reciproca.71

definizione 5.2 (Periodi di fiducia reciproca) C = {1, 2, . . . ,K−K(p)}, con C = ∅ se K ≤ K(p)definizione 5.3 (Periodo di transizione) T = {K − K(p) + 1},con T = ∅ se K ≤ K(p)− 1Dobbiamo distinguere due casi:(i) K ≥ K(p).L’equilibrio sequenziale del gioco è

zk =

1 k ∈ C ∪ Td−1d

k /∈ C ∪ T e in t = k − 1 il giocatore I ha giocato Fe il giocatore NV ha giocato o

0k /∈ C ∪ T e in t = k − 1 il giocatore I ha giocato NFoppure il giocatore NV ha giocato a

yk =

1 k ∈ C

p1−p

1−( cc+1 )

K−1

( cc+1 )

K−1 k ∈ Tcc+1

1−( cc+1 )

K−k

1−( cc+1 )

K−k+1 k /∈ C ∪ TNella parte iniziale del gioco, cioè nei (K − K(p)) periodi che appar-tengono all’insieme C, il giocatore NV imita il giocatore V e onora lafiducia accordatagli. In questo modo, egli riesce ad evitare di esserericonosciuto come non virtuoso e a far sì che il giocatore I gli accordinuovamente la propria fiducia nel periodo successivo. In ognuno di que-sti periodi, i payoff dei giocatori sono (1, 1); di conseguenza, in questiperiodi si ha fiducia reciproca e il contratto implicito ha successo. Inol-tre, poichè sia i giocatori V sia i giocatori NV onorano la fiducia, laprobabilità che il giocatore I attribuisce al fatto di fronteggiare un gio-catore II virtuoso rimane costante a p; in questi periodi il giocatore NVè solamente in grado di mantenere la propria reputazione. Nel periododi transizione T, il giocatore I accorda la sua fiducia al giocatore II eil giocatore NV inizia a giocare una strategia mista.72 In quel perio-do, applicando la regola di Bayes, il giocatore I aggiorna verso l’alto la

71. In questo senso, se K è sufficientemente elevato, la probabilità p può es-sere considerato un espediente modellistico, che permette di ottenere risultati“ragionevoli” anche in un modello caratterizzato da orizzonte finito.72. In base alla definizione di strategia mista, negli ultimi K(p) il giocatore NV

ottiene un payoff totale uguale a d.

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probabilità soggettiva che un giocatore II che abbia sempre onorato lafiducia sia virtuoso; in questo periodo possiamo quindi più propriamen-te dire che il giocatore NV si sta costruendo una reputazione di personameritevole di fiducia. Una cosa analoga accade negli ultimi K(p) − 1periodi, dove anche il giocatore I gioca una strategia mista. L’utilitàattesa per periodo del giocatore I è

[5.106] π(K) =(K − K(p)) + d

K= 1− K(p)− d

K

In un mondo caratterizzato unicamente dalla presenza di giocatori vir-tuosi o nel quale sia possibile un contratto esplicito nel quale il giocatoreII si impegni in modo “vincolante” a onorare la fiducia accordatagli,in ogni periodo il payoff dei giocatori sarebbe (1, 1). Con un contrattoimplicito, nei primi K − K(p) periodi il giocatore I ottiene lo stessopayoff che otterrebbe con un contratto esplicito, mentre negli ultimiK(p) periodi ottiene in totale un payoff uguale a d invece di un payoffuguale a K(p). Quando p è “piccolo”, si ha K(p) > d; di conseguenza,per ogni K ≥ K(p) l’espressione K(p) − d rappresenta il costo di co-struirsi una reputazione, cioè, la perdita totale dovuta all’impossibilitàdi usare contratti contingenti all’azione del giocatore II.

(ii) K < K(p).In questo caso, zk = 0 per ogni k, cioè in ogni periodo il giocatore I nonaccorda la sua fiducia al giocatore II. La durata del gioco è inferiore aquello della “lunghezza limite”. Il giocatore I non si fida del giocatoreII, perchè anticipa che la probabilità che la sua fiducia venga onoratasarà troppo bassa. L’utilità attesa per periodo del giocatore I è

[5.107] π(K) = 0

Unendo le eqq. [5.106] e [5.107], l’utilità attesa per periodo del gioca-tore I è

[5.108] πR(K) =

(1− K(p)−d

K K ≥ K(p)0 K < K(p)

La fig. 5.36 illustra l’utilità attesa per periodo quando p è “sufficientepiccolo” – e quindi K(p) > d.

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6

-K

πR

K(p)pppppppppppp p p p p p p p p p p p p p p p p p p pd

K(p)

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p1 πR

figura 5.36. utilità attesa per periodo del giocatore i

L’inefficienza dovuta all’impossibilità di “verificare” l’azione del gioca-tore II è strettamente decrescente nel numero di periodi K nel quale ilgioco viene giocato. Al limite, se K tende a infinito, questa inefficienzascompare completamente.73

Appendice matematica: determinazione dell’equilibrio sequenziale delgioco ripetuto K volte.74

Sia pk+1 la probabilità che, nel periodo t = k+1, il giocatore I assegnaal fatto che il giocatore II sia virtuoso. Per il requisito di coerenza,laddove possibile, questa probabilità deve essere calcolata a partire dallastrategia di equilibrio utilizzando la regola di Bayes. Si ha quindi[5.109]

pk+1 =

pk se in t = k I ha giocato NF

pkpk+(1−pk)yk se in t = k NV ha onorato la fiducia accordatagli

0 se in t = k NV ha abusato della fiducia (o pk = 0)

Determiniamo ora l’unico equilibrio sequenziale del gioco,75 iniziandodal periodo K e operando a ritroso nel tempo.

73. È interessante notare come l’unico equilibrio del gioco con informazione in-completa quando il numero di periodi K tende all’infinito coincide esattamentecon l’equilibrio con orizzonte infinito senza informazione incompleta quando, peresempio, il giocatore I utilizzava una “strategia grilletto”. Si veda, per esempio,Rubinstein (1979). Il vantaggio dell’approccio di Kreps e Wilson è che ora questorisultato emerge come l’unico equilibrio del gioco.74. La dimostrazione che segue è tratta da Colombo e Merzoni (2002).75. Si può mostrare che nel caso in cui p e c siano tali che p = ( c

c+1)k per qualche

k < K, k ∈ N, esistono più equilibri. Questo accade però con probabilità uguale azero; d’ora in poi trascureremo questi casi.

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Periodo K

L’utilità attesa del giocatore NV nel periodo K se in quel periodo ilgiocatore I gli ha dato fiducia è

JNV (K, pK) = yK + (1− yK) d = d− (d− 1)yKche è strettamente decrescente in yK . Di conseguenza, nell’ultimo pe-riodo il giocatore NV abuserà della fiducia accordatagli. Si ha quindiyK = 0. Di conseguenza, l’utilità attesa del giocatore I nel periodo K è

JI (K, pK) = zK(pK − (1− pK)c) = zK (pK(1 + c)− c)

Il giocatore I vuole massimizzare tale espressione; di conseguenza, lasua strategia nel periodo K è 76

[5.110] zK =

½1 se pK > c

1+c

0 se pK < c1+c

Periodo K-1.

L’utilità attesa dal periodo K in poi (per la continuazione del gioco)per il giocatore NV è

[5.111] VNV (K, pK) =

d se pK > c

1+c

d zK se pK = c1+c

0 se pK < c1+c

L’utilità attesa dal periodo K in poi (per la continuazione del gioco)per il giocatore I è invece

[5.112] VI (K, pK) =

½pK − c(1− pK) se pK > c

1+c

0 se pK ≤ c1+c

Dalla eq. [5.111], l’utilità attesa cumulata dei periodi K − 1 e K per ilgiocatore NV, condizionata al fatto che nel periodo K − 1 gli sia stataaccordata la fiducia da parte del giocatore I è

JNV (K − 1, pK−1) = yK−1(1+VO(K, pK−1pK−1 + (1− pK−1)yK−1 ))+(1−yK−1) d

76. Se pK = c1+c

, il giocatore I è indifferente tra le sue due strategie pure.Vedremo nel seguito che, in questo caso, se K > 1, l’unico equilibrio sequenzialerichiede che zK = d−1

d.

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che può essere riscritta come segue:[5.113]

JNV (K − 1, pK−1) = d+yK−1(VO(K, pK−1pK−1 + (1− pK−1)yK−1 )−(d−1))

proposizione 5.4 Se pK−1 > c1+c , in equilibrio si ha yK−1 = zK−1 =

zK = 1

Dimostrazione.Dall’eq. [5.109], se nel periodo K − 1 il giocatore I gioca F e il gio-catore NV gioca o, si ha pK = pK−1

pK−1+(1−pK−1)yK−1 ≥ pK−1 > c1+c .

Dall’eq. [5.110], si ha zK = 1; inoltre, se teniamo conto dell’eq. [5.111],dall’eq. [5.113] si ha JNV (K − 1, pK−1) = d + yK−1 (d − (d − 1)) =d + yK−1, che è strettamente crescente in yK−1; questo dimostra che,in equilibrio, yK−1 = 1.Nel periodo K−1, i giocatori V e NV onorano entrambi la fiducia even-tualmente accordata loro; di conseguenza, è ottimale per il giocatore Iconcedere la propria fiducia al giocatore II, cioè zK−1 = 1.

proposizione 5.5 Se pK−1 < c1+c e nel periodo K − 1 il giocatore I

gioca F , in equilibrio si ha yK−1 =1− c

c+1c

c+1

pK−11−pK−1 ; se nel periodo K−1 il

giocatore NV onora la fiducia accordatagli, in equilibrio si ha pK = c1+c

e zK = d−1d .

Dimostrazione.Se yK−1 = 1, dall’eq. [5.109], si ha pK = pK−1 < c

1+c ; di conseguenza,tenendo conto dell’eq. [5.111], dall’eq. [5.113] si ha JNV (K − 1, pK−1) =d− yK−1 (d− 1), che è strettamente decrescente in yK−1. Ne consegueche yK−1 = 1 non può essere ottima.Se yK−1 = 0, dall’eq. [5.109] si ha che il giocatore I attribui-

rà una probabilità pK = 1 al fatto che un giocatore II che abbiaonorato la fiducia accordatagli sia virtuoso; di conseguenza, tenen-do conto dell’eq. [5.111], dall’eq. [5.113] si ha JNV (K − 1, pK−1) =d + yK−1 (d − (d − 1)) = d + yK−1, che è strettamente crescente inyK−1. Ne consegue che yK−1 = 0 non può essere ottima.Abbiamo quindi dimostrato che, se nel periodo t = K−1 il giocatore

I concede la sua fiducia al giocatore II, si ha yK−1 ∈ (0, 1), cioè ilgiocatore NV gioca una strategia mista.Dall’eq. [5.113], il giocatore NV non sceglie né yK−1 = 1 né yK−1 =

0 solo quando VNV (K,pK−1

pK−1+(1−pK−1)yK−1 ) = d − 1 – che, in base

all’eq. [5.111], si verifica quando zK = d−1d ; ciò richiede che pK =

c1+c ;

di conseguenza, dall’eq. [5.109], si ha yK−1 =1− c

c+1cc+1

pK−11−pK−1 .

c° Ferdinando Colombo 198 — liii


Tenendo conto della Proposizione appena vista, l’utilità attesa del gio-catore I per la continuazione del gioco dal periodo K − 1 in poi è 77

JI (K − 1, pK−1) = zK−1(c+ 1cpK−1 + (1− c+ 1

cpK−1)(−c))

che, dopo un’opportuna semplificazione, diventa

JI (K − 1, pK−1) = zK−1((c+ 1)2

cpK−1 − c)

Il giocatore I sceglie quel valore di zK−1 che massimizza la funzionevista sopra. Di conseguenza, 78

zK−1 =½0 se pK−1 < ( c

c+1)2

1 se pK−1 > ( cc+1)

2

La soluzione può essere estesa ai periodi precedenti. L’unico equilibriosequenziale diventa quindi

[5.114] zk =

1 if pk > ( c

c+1)K−k+1

d−1d if pk = ( c

c+1)K−k+1

0 if pk < ( cc+1)

K−k+1

[5.115] yk =

1 se pk ≥ ( c

c+1 )K−k

pk1−pk

1−( cc+1 )

K−k

( cc+1 )

K−k < 1 se 0 < pk < ( cc+1)

K−k

0 se pk = 0

insieme alla regola di aggiornamento delle credenze (eq. [5.109]).

77. Nel periodo K − 1 il giocatore I sceglie di accordare la fiducia al giocatoreII con probabilità zK−1. Se il giocatore NV onora la fiducia accordatagli – fattoche, dal punto di vista del giocatore I, si verifica con una probabilità uguale apK−1+(1−pK−1)yK−1 = c+1

cpK−1 – il giocatore I ottiene 1 nel periodo K−1 e,

in base alla prop. 5.5 e all’eq. (5.112), 0 nel periodo K. Se invece il giocatore NVnon onora la fiducia accordatagli, il giocatore I ottiene −c nel periodo K − 1 e, inbase alle eq. (5.109) e (5.112), 0 nel periodo K. Infine, con probabilità (1 − zK−1)nel periodo K − 1 il giocatore I sceglie di non accordare più la fiducia al giocatoreII, ottenendo in tal modo un’utilità uguale a 0 sia nel periodo K− 1 sia nel periodoK.

78. Se pK−1 = ( cc+1

)2, nel periodo K−1 il giocatore I è indifferente tra concedereo non concedere la sua fiducia al giocatore II ; se K > 2, una versione leggermenterivista della dimostrazione della Proposizione 5.5 assicura che, in equilibrio, zK−1 =d−1d.

c° Ferdinando Colombo 198 — liv


Scriveremo ora le strategie di equilibrio e i payoff corrispondenti infunzione dell’orizzonte temporale K.

definizione 5.1 K(p) = [K(p)]dove [K(p)] è la parte intera di K(p) e K(p) ∈ R è l’unico valore chesoddisfa l’equazione p =

³cc+1

´K(p)−1.

proposizione 5.6 SeK < K(p), allora zk = 0 per ogni k = 1, 2, 3, . . . ,K.

Dimostrazione.La dimostrazione procede per induzione. Sia zk = 0, che vale sepk < ( c

c+1)K−k+1 (eq. [5.114]). In base all’eq. [5.109], pk+1 = pk;

di conseguenza, pk+1 < ( cc+1 )

K−k e, dall’eq. [5.114], zk+1 = 0. Quin-di, zk = 0 =⇒ zk+t = 0 per ogni t ∈ N. Dobbiamo ora dimostrare chez1 = 0. Ciò segue immediatamente dall’eq. [5.114], in quantoK < K(p)

implica che p <³

cc+1

´K.

proposizione 5.7 Se K > K(p), allora yk = zk = 1 per ogni k =1, 2, . . . ,K − K(p).Dimostrazione.Dall’eq. [5.109], fintanto che al giocatore II viene accordata la fiduciadal giocatore I e yi = 1 per ogni i ≤ k (cioè il giocatore NV ha sempreonorato la fiducia accordatagli), si ha pk+1 = p. Dalla Def. 5.1, p ≥³

cc+1

´K−k⇐⇒ k ≤ K − K(p). La proposizione segue immediatamente

dalle eqq. [5.114] e [5.115].

proposizione 5.8 SeK ≥ K(p), allora yK−K(p)+1 = p1−p

1−( cc+1 )

K(p)−1

( cc+1 )

K(p)−1 <

1 e zK−K(p)+1 = 1.

Inoltre, yk = cc+1

1−( cc+1 )

K−k

1−( cc+1 )

K−k+1 < 1 e zk = d−1d per ogni k = K −

K(p)+2, . . . ,K, se nel periodo k− 1 al giocatore NV è stata accordatala fiducia e questi l’ha onorata, zk = 0 altrimenti.

Dimostrazione.

Dalla def. 5.1, p <³

cc+1

´K(p)−1e p > ( c

c+1)K(p). Dall’eq. [5.109],

tenendo conto della prop. 5.7, pK−K(p)+1 = p. Dall’eq. [5.115], p =

pK−K(p)+1 <³

cc+1

´K(p)−1=⇒ yK−K(p)+1 =

p1−p

1−( cc+1 )

K(p)−1

( cc+1 )

K(p)−1 < 1;

inoltre, dall’eq. [5.114], pK−K(p)+1 > (cc+1)

K(p) =⇒ zK−K(p)+1 = 1.

c° Ferdinando Colombo 198 — lv


La parte restante della dimostrazione opera per induzione. Sia

yk =pk1−pk

1−( cc+1 )

K−k

( cc+1 )

K−k . Dall’eq. [5.109], se nel periodo k il giocatore

I accorda la sua fiducia al giocatore II e il giocatore NV la onora, allo-ra pk+1 = ( c

c+1)K−k; questo, in base all’eq. [5.114], implica che zk+1 =

d−1d . Inoltre, pk+1 < ( c

c+1)K−k−1; di conseguenza, dall’eq. [5.115],

si ha yk+1 =pk+11−pk+1

1−( cc+1 )

K−k−1

( cc+1 )

K−k−1 < 1, la quale, tenendo conto che

pk+1 = ( cc+1 )

K−k, diventa yk+1 = cc+1

1−( cc+1 )

K−k−1

1−( cc+1 )

K−k . Infine, se nel

periodo k il giocatore I non concede la sua fiducia al giocatore II,dall’eq. [5.109] si ha pk+1 = pk < ( c

c+1)K−k. Di conseguenza, tenendo

conto dell’eq. [5.114], si ha zk+1 = 0.

c° Ferdinando Colombo 198 — lvi

l’idea di razionalità passata


6.4.1. Segnalazione. Il modello di Spence (1973, 1974) *

Le statistiche non sembrano lasciare dubbi sul fatto che le retribuzionisiano correlate positivamente con il livello di istruzione dei lavoratori.Una spiegazione ovvia di questo fatto è che, acquisendo istruzione, i la-voratori aumentano la loro produttività e questo determina un aumentodella loro retribuzione.32 Questa spiegazione sembra assolutamente ra-gionevole in molti contesti. Tuttavia esistono delle occupazioni per lequali la produttività dei lavoratori sembra dipendere principalmentedalle loro caratteristiche intrinseche e non tanto dal livello di istruzionee, nonostante questo, vengono spesso assunti lavoratori con un livellodi istruzione elevato e con salari anch’essi elevati. Il modello del premioNobel per l’economia Michael A. Spence (1973, 1974) aiuta a spiegarequesto e altri fenomeni simili. Vediamo ora una rivisitazione in chiavemoderna di tale modello.33

Le ipotesi del modello. Ipotizziamo che nel mercato esistano due soli“tipi” di lavoratori:i) i lavoratori di cattiva qualità, caratterizzati da un valore t = 1;ii) i lavoratori di buona qualità, caratterizzati da un valore t = 2.È ragionevole pensare che la produttività di ogni lavoratore dipenda

positivamente sia dalla sua qualità intrinseca, sia dal livello di istruzionescelto. Per semplicità, ipotizziamo che la produttività di un lavoratoredi tipo t con un livello di istruzione e sia costante e uguale a te. Questosignifica che un lavoratore di buona qualità ha una produttività ugualea 2e mentre un lavoratore di cattiva qualità ha una produttività ugualea e.34 Per non appesantire la notazione, ipotizziamo poi che il prezzodi vendita del prodotto sia uguale a 1; in questo modo, la produttivitàè anche un valore monetario.Sia ut(w, e) la funzione di utilità di un lavoratore di tipo t quan-

do il suo salario è w e il suo livello di istruzione è e. Tipicamente,nella teoria economica si fa l’ipotesi che il lavoratore tragga utilità dal

32. Ricordiamo a tale proposito che, in un mercato concorrenziale, il salario diequilibrio è uguale al valore della produttività marginale del lavoro.33. La struttura formale del modello è tratta da Kreps (1990b).34. Per meglio illustrare la sua idea, nel modello originario Spence ipotizza che

l’istruzione non abbia alcun effetto sul valore della produttività del lavoratore. Con-sigliamo al lettore di ripensare a come procederebbe l’analisi che segue nel caso incui la produttività del lavoratore di buona qualità fosse uguale a 2 mentre quelladel lavoratore di cattiva qualità fosse uguale a 1, indipendentemente dal livello diistruzione. I risultati qualitativi non sono molto diversi.



salario, che gli permette di acquistare i beni che desidera, e disutili-tà dall’istruzione, in quanto è costoso (anche in termini di impegno)studiare. Ciò fa sì che le curve di indifferenza dei lavoratori nel piano(e, w) siano strettamente crescenti; di conseguenza, l’utilità dei lavora-tori è tanto maggiore quando più le curve di indifferenza si trovano anord—ovest. Si fa poi generalmente l’ipotesi che le curve di indifferenzasiano strettamente convesse. Un’ultima, importante ipotesi che caratte-rizza il modello di Spence è che per ogni punto del piano (e,w) la curvadi indifferenza del lavoratore di cattiva qualità passante per tale puntosia più inclinata della curva di indifferenza del lavoratore di buona qua-lità. Questo implica che, se consideriamo una curva di indifferenza perciascuno dei due “tipi” di lavoratori, queste curve si intersecano una eduna sola volta; questa proprietà è nota nella letteratura economica comesingle—crossing property. Per capire il significato economico dell’ipotesidi Spence, consideriamo il grafico seguente.

6

-e

w

ppppppppppp

e0ppppppppppppppppppp

e0 +∆e

t = 1

t = 2

p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

w0

w0 +∆w2

w0 +∆w1

figura 6.12. ‘‘single—crossing property’’

Partiamo dal punto (e0, w0) e consideriamo una variazione ∆e > 0, cioèchiediamo all’individuo di aumentare il suo livello di istruzione. L’ideadi Spence è che è più facile per un lavoratore di buona qualità acquisireistruzione di quanto non lo sia per un lavoratore di cattiva qualità.Questo significa che l’aumento di retribuzione che dovremmo dare a unlavoratore di cattiva qualità per compensarlo della maggiore disutilitàcausata dall’aumento del livello di istruzione ∆e è maggiore di quelloche dovremmo dare a un lavoratore di buona qualità; nel grafico, questosignifica che ∆w1 > ∆w2. Questa proprietà deve valere per ogni puntoiniziale (e0, w0) e per ogni variazione del livello di istruzione ∆e. Ciò siverifica appunto se e solo se per ogni punto del piano (e,w) la curva diindifferenza del lavoratore di cattiva qualità passante per tale punto èpiù inclinata della curva di indifferenza del lavoratore di buona qualità.Spence considera un mercato del lavoro concorrenziale, nel quale

le imprese (uguali tra di loro e neutrali al rischio) non conoscono la



qualità del lavoratore, mentre il lavoratore sa se è di buona oppure dicattiva qualità. C’è quindi un’asimmetria informativa tra il lavoratoree le imprese. Se consideriamo questo problema come un gioco, siamo inpresenza di un gioco con informazione incompleta, in quanto all’iniziodel gioco il lavoratore ha un’informazione (la sua qualità, cioè il valoredi t) che invece le imprese non hanno. Mediante la cosiddetta trasfor-mazione di Harsanyi (par. 2.2*) possiamo trasformare tale gioco in ungioco con informazione imperfetta, retrodatandone l’inizio e introdu-cendo un giocatore fittizio, la Natura, che sceglie i “tipi” in base a delleprobabilità che sono conoscenza comune (cpa). Nell’esempio in esameipotizziamo che la probabilità a priori che un lavoratore sia di buonaqualità sia uguale a 0.5. Consideriamo la rappresentazione ex—post (ointerim) del gioco, nella quale i due “tipi” di lavoratori (t = 1 e t = 2)sono due giocatori diversi. Abbiamo un gioco a due stadi:i) nel primo stadio, il lavoratore, a seconda della sua qualità, sceglie illivello di istruzione;ii) nel secondo stadio, le imprese osservano il livello di istruzione sceltodal lavoratore, ma non il “tipo”. In questo stadio le imprese competonotra di loro à la Bertrand, fissando (simultaneamente e indipendente-mente) il salario w(e), funzione (eventualmente) del livello di istruzionescelto dal lavoratore.Calcoliamo ora gli equilibri sequenziali, partendo dal secondo stadio

del gioco.

Il salario di equilibrio. In equilibrio, nel secondo stadio del gioco, dato illivello di istruzione scelto dai due “tipi” di lavoratori, per ogni livello diistruzione e le imprese devono scegliere il salario w(e); la competizione àla Bertrand fa sì che il salario annulli il profitto atteso di ogni impresa.Di conseguenza, se µ(t = 1 |e) è la credenza di un’impresa sul fattoche un lavoratore che ha scelto un livello di istruzione e sia di cattivaqualità (t = 1),35 il salario di equilibrio sarà

[6.116] w(e) = µ(t = 1 |e)e+ (1− µ(t = 1 |e ))2e

Graficamente, dall’eq. [6.116] si ha che la curva che descrive la funzionedi salario w(e) nel piano (e, w) dovrà essere compresa tra le rette w = ee w = 2e.In un equilibrio sequenziale, le credenze dei giocatori devono essere

coerenti con le strategie di equilibrio. Per semplicità, ipotizziamo che idue “tipi” di lavoratori giochino una strategia pura: il lavoratore dicattiva qualità (t = 1) sceglie un livello di istruzione e1, mentre il

35. Per semplicità, ipotizziamo che tutte le imprese abbiano le stesse creden-ze. Questa ipotesi è compatibile con la cosiddetta dottrina di Harsanyi : poiché leimprese hanno le stesse informazioni, devono avere anche le stesse credenze.



lavoratore di buona qualità (t = 2) sceglie un livello di istruzione e2.Dobbiamo distinguere due casi: se e1 6= e2 si ha un equilibrio separatore;se e1 = e2 = e si ha invece un equilibrio accomunante.In un equilibrio separatore (e1 6= e2), dall’applicazione della regola

di Bayes si ha µ(t = 1 |e1 ) = 1 e µ(t = 1 |e2 ) = 0: il livello di istruzione“segnala” esattamente la qualità del lavoratore. Dall’eq. [6.116] si haw(e1) = e1 e w(e2) = 2e2: ogni lavoratore riceve un salario uguale allasua produttività marginale. Per ogni e 6= e1, e2, w(e) continua invece aessere determinata dall’eq. [6.116], con µ(t = 1 |e) arbitrario. Possiamoquindi concludere che, graficamente, in un equilibrio sequenziale di tiposeparatore la funzione w(e) può essere descritta con una qualunquecurva compresa tra le rette w = e e w = 2e passante per i punti (e1, e1)e (e2, 2e2).In un equilibrio accomunante (e1 = e2 = e), dall’applicazione del-

la regola di Bayes si ha µ(t = 1 |e) = 0.5: la probabilità a posterioricoincide con la probabilità a priori, in quanto il livello di istruzione nonfornisce alcuna informazione sul “tipo” del lavoratore. Dall’eq. [6.116]si ha w(e) = 1.5e: il lavoratore di buona qualità riceve un salario in-feriore alla sua produttività, mentre quello di cattiva qualità riceve unsalario superiore. Per ogni e 6= e, il salario w(e) continua invece a esseredeterminato dall’eq. [6.116], con µ(t = 1 |e) arbitrario. Graficamente,in un equilibrio sequenziale di tipo accomunante la funzione w(e) puòessere descritta con una qualunque curva compresa tra le rette w = e ew = 2e passante per il punto (e, 1.5e).Nel primo stadio del gioco, il concetto di equilibrio sequenziale ri-

chiede che, data la curva w(e), che ad ogni livello di istruzione associa ilsalario percepito dal lavoratore, ogni “tipo” di lavoratore scelga su talecurva il punto per lui migliore, cioè quello che si trova sulla sua curvadi indifferenza più elevata.Prima di risolvere il primo stadio del gioco, vale però la pena di con-siderare il “caso di scuola” caratterizzato dall’assenza di asimmetriainformativa, nel quale le imprese sono in grado di identificare la qualitàdei lavoratori. In questo caso la competizione tra le imprese fa sì cheil salario di ogni lavoratore sia uguale alla sua produttività marginale.Formalmente, se w1(e) è il salario pagato al lavoratore di cattiva qualitàquando il suo livello di istruzione è e, si ha w1(e) = e. Analogamente,per il lavoratore di buona qualità si ha w2(e) = 2e.



6

-e

wt = 1

w1 = e

w2 = 2et = 2

ppppp ppppppppppppppppppppppppppp

e1 e2

p p p p p p p p p p p p p p pe1

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p2e2

r

r

A

B

figura 6.13. informazione simmetrica e efficienza

Il lavoratore di cattiva qualità sceglie sulla curva w1 = e il punto che sitrova sulla sua curva di indifferenza più elevata. Egli sceglierà quindiun livello di istruzione e1 e riceverà un salario e1. Analogamente, illavoratore di buona qualità sceglie sulla curva w2 = 2e il punto che sitrova sulla sua curva di indifferenza più elevata. Egli sceglierà quindiun livello di istruzione e2 e riceverà un salario 2e2.36

Possiamo notare come, nel caso di informazione simmetrica, la si-tuazione finale sia efficiente nel senso di Pareto. Infatti, in termini dellafig. 6.13, con riferimento al lavoratore di cattiva qualità, la zona delpiano che identifica tutti i punti preferiti dalle imprese rispetto al puntoA = (e1, e1) (cioè i punti che si trovano al di sotto della retta w1 = e)è “disgiunta” dalla zona del piano che identifica tutti i punti preferitidal lavoratore di cattiva qualità rispetto al punto A = (e1, e1) (cioè ipunti che si trovano al di sopra della curva di indifferenza del lavora-tore di cattiva qualità passante per A). Un discorso analogo vale peril lavoratore di buona qualità e per il punto B = (e2, 2e2). Questo di-mostra che non è possibile migliorare la situazione di qualche giocatoresenza al contempo peggiorare quella di qualcun altro: con informazionesimmetrica si ha quindi una situazione efficiente nel senso di Pareto.

Informazione asimmetrica e efficienza. Ritorniamo ora al caso conasimmetria informativa: prima di osservare il livello di istruzione, le

36. Come era logico attendersi, in un modello in cui l’istruzione ha effetti posi-tivi sulla produttività, entrambi i “tipi” di lavoratori investono in istruzione e taleinvestimento è maggiore per il lavoratore di qualità più elevata, per il quale acqui-sire istruzione è meno costoso. Nel modello originario di Spence, invece, il livello diistruzione non influenza la produttività dei lavoratori; di conseguenza, in assenza diasimmetrie informative si ha e1 = e2 = 0.



imprese non sono in grado di riconoscere un lavoratore di cattiva qualitàda uno di buona qualità.Verifichiamo se sia possibile replicare l’esito che si ha con informa-

zione simmetrica quando l’informazione è invece asimmetrica. Se in unequilibrio sequenziale il lavoratore di cattiva qualità si posizionasse nelpunto A = (e1, e1) e quello di buona qualità nel punto B = (e2, 2e2),l’equilibrio sequenziale sarebbe di tipo separatore. Come abbiamo vistosopra, se esistesse un equilibrio di questo tipo, la funzione w(e) sarebbeuna qualunque curva compresa tra le rette w = e e w = 2e passante peri punti A = (e1, e1) e B = (e2, 2e2).37 Inoltre, per avere un equilibrio, ilpunto A = (e1, e1) dovrebbe essere il punto sulla curva w(e) che si trovasulla curva di indifferenza più elevata per il lavoratore di cattiva qualità;analogamente B = (e2, 2e2) dovrebbe essere il punto sulla curva w(e)che si trova sulla curva di indifferenza più elevata per il lavoratore dibuona qualità. Questo è esattamente ciò che avviene nella fig. 6.14.

6

-e

wt = 1

w = e

w = 2et = 2

ppppp ppppppppppppppppppppppppppp

e1 e2

p p p p p p p p p p p p p p pe1


r

r

A

B

³³³³

³³³³

³³

³³³³

³³³³

³³

³³³³

³³³³

³³£££££

£££££

£££££´´´

´´´

´´´

w(e)¾

figura 6.14. Informazione asimmetrica e efficienza

Abbiamo quindi mostrato che, nel gioco in fig. 6.14, possono esisteredelle credenze non di equilibrio µ(t = 1 |e) (per e 6= e1, e2) che, inbase all’eq. [6.116], danno luogo a una funzione di salario w(e) tale

37. In realtà, nei grafici che seguono adotteremo la convenzione di considerareuna curva w(e) continua e crescente, sebbene a rigore ciò non sia affatto necessario.In base all’eq. [6.116], la continuità di w(e) richiede sostanzialmente che un piccoloaumento del livello di istruzione non produca un “salto” nell’aspettativa che si trattidi un lavoratore di buona qualità. Inoltre, una curva w(e) crescente riflette l’idea che,quanto maggiore è il livello di istruzione, tanto maggiore è la probabilità che si trattidi un lavoratore di buona qualità. Benché queste considerazioni “di buon senso”vengano generalmente considerate “ragionevoli”, si tratta comunque di restrizioniesogene, che non sono “imposte” dalla razionalità nel senso Bayesiano del termine,intesa come massimizzazione dell’utilità attesa soggettiva.



che i due “tipi” di lavoratori si posizionano, rispettivamente, nei puntiA e B, replicando in tal modo l’esito (efficiente) che si avrebbe coninformazione simmetrica 38. È facile vedere che questo risultato dipendeunicamente dal fatto che, per il lavoratore di cattiva qualità, il puntoA si trova su una curva di indifferenza più elevata del punto B, mentreper il lavoratore di buona qualità vale il contrario. A questo puntoè semplice “inventarsi”39 una curva crescente w(e) passante per A eper B tale che, su tale curva, il lavoratore di cattiva qualità scelgadi posizionarsi nel punto A e il lavoratore di buona qualità scelga diposizionarsi nel punto B.Nell’equilibrio in fig. 6.14, il lavoratore di cattiva qualità si rende

conto che, se scegliesse un livello di istruzione e2, verrebbe scambia-to per un lavoratore di buona qualità e otterrebbe quindi un salariouguale a 2e2, cioè uguale a due volte la sua produttività. Tuttavia, illavoratore di cattiva qualità non ritiene conveniente “imitare” quello dibuona qualità, poiché questo richiederebbe di effettuare un grande inve-stimento in istruzione ed egli ritiene che ciò sia per lui troppo costoso: illavoratore di cattiva qualità preferisce quindi essere riconosciuto cometale e ottenere un salario uguale alla sua produttività.40

38. Il lettore non avrà difficoltà a capire che questo non era invece possibile nelmodello originario di Spence, nel quale e1 = e2 = 0.39. Il lettore potrebbe trovare di cattivo gusto l’utilizzo del verbo “inventare”.

Esso è stato scelto di proposito, per evidenziare il fatto che il concetto di equilibriosequenziale richiede solo che esistano delle credenze, ma non impone alcuna restrizio-ne sul valore di tali credenze quando si riferiscono a strategie che, in equilibrio, nonvengono giocate. L’utilizzo di tale termine aiuta inoltre a capire che, “scegliendo”altre credenze, è possibile individuare altri equilibri separatori. Consiglio al lettoredi ritornare su questo esempio dopo aver completato la lettura dell’intero paragrafo.Egli si renderà conto che il risultato in fig. 6.14 è l’unico compatibile con l’ipotesi diconoscenza comune dell’intelligenza e razionalità dei giocatori e della struttura delgioco (si veda a tale proposito la nota 43‡); inoltre è l’unico equilibrio compatibilecon il criterio intuitivo di Cho e Kreps.40. Questa situazione è simile a quella vista nella fig. 6.9: nel gioco Quiche and

Beer, se la colazione è molto importante, il mollaccione preferirà essere riconosciutoe importunato dal bullo piuttosto che “imitare” il duro in quanto, anche se questo glipermettesse di evitare la colluttazione, gli richiederebbe però di bere di prima mat-tina un bicchiere di birra che, nell’esempio in esame, gli risulterebbe particolarmenteindigesto.



informazione asimmetrica e inefficienza. Consideriamo orala situazione seguente:

6

-e

wt = 1

w = e

w = 2e

t = 2

pppppp ppppppppppppppppppppppppppp

e1 e2

p p p p p p p p p p p p p p p p p pe1


rA

rB

figura 6.15. impossibilità di replicare il risultato coninformazione simmetrica

In questo caso la situazione che si avrebbe con informazione simmetri-ca non può essere ottenuta come equilibrio sequenziale in presenza diinformazione asimmetrica. Infatti, se w(e1) = e1 e w(e2) = 2e2, il lavo-ratore di cattiva qualità preferirebbe “imitare” quello di buona qualità,in quanto il punto B si trova su una curva di indifferenza per lui piùelevata di quella che passa per il punto A. In un equilibrio separatorenel quale i due “tipi” di lavoratori scelgono, rispettivamente, i puntiA = (e1, e1) e B = (e2, 2e2), per il requisito di coerenza delle credenze,la curva w(e) deve passare per tali punti; poiché entrambi i “tipi” dilavoratori preferiscono B rispetto ad A, è evidente che A non può essereil punto preferito dal lavoratore di cattiva qualità sulla curva w(e). Neconsegue che la situazione che si avrebbe con informazione simmetricanon può essere un equilibrio del gioco con informazione asimmetrica.Vediamo ora se nel gioco in fig. 6.15 può esistere un equilibrio se-

quenziale di tipo separatore nel quale il livello di istruzione scelto dai duegiocatori (rispettivamente, e∗1 e e∗2) sia tale che e∗1 6= e∗2. In questo caso,da quanto abbiamo visto sopra si avrebbe w(e∗1) = e

∗1 e w(e

∗2) = 2e

∗2. Se

questo è percepito da tutti come il modo “ovvio” di giocare, affinchéil lavoratore di cattiva qualità non abbia alcun incentivo a “imitare” illavoratore di buona qualità è necessario che la sua curva di indifferenzapassante per il punto (e∗1, e

∗1) stia sopra la curva di indifferenza passante

per (e∗2, 2e∗2). Dall’eq. [6.116] si ha che se il lavoratore di cattiva qualità

sceglie e1 = e1, otterrà almeno un salario e1; di conseguenza, la curvaw(e) o passerà per il punto A = (e1, e1) o passerà al di sopra di tale pun-



to; in entrambi i casi il lavoratore di cattiva qualità è sempre in grado diraggiungere almeno la curva di indifferenza passante per A. Inoltre, inun equilibrio separatore, non potrà mai raggiungere un punto miglioredi A, in quanto questo è per definizione la coppia (e, w) che si trova sul-la curva di indifferenza più elevata per il lavoratore di cattiva qualità,dato che w = e. Possiamo quindi concludere che, se esiste un equilibriosequenziale di tipo separatore, allora e∗1 = e1. Il requisito precedenteper avere un equilibrio separatore diventa quindi: per il lavoratore dicattiva qualità A = (e1, e1) deve trovarsi su una curva di indifferenzapiù elevata del punto (e∗2, 2e∗2) (oppure sulla stessa curva di indifferen-za). In termini del grafico che segue, questo significa che e∗2 ≥ e, cioèil punto (e∗2, 2e

∗2) si troverà sul tratto di retta w = 2e evidenziato in

grassetto che si trova a destra del punto C (punto C compreso)41 diintersezione tra la retta w = 2e e la curva di indifferenza del lavoratoredi cattiva qualità passante per il punto A.

6

-e

wt = 1

w = e

w = 2e

t = 2

pppppp ppppppppppppppppppppppppppp


e1 e2 e

p p p p p p p p p p p p p p p p p pe1


rA

rB rC´´´´

´´

figura 6.16. informazione asimmetrica e inefficienza

Possiamo notare che tutti i punti del segmento in grassetto si trovanosu curve di indifferenza del lavoratore di buona qualità più basse rispet-to alla curva passante per il punto B; inoltre, tanto più ci spostiamoa destra su tale segmento, tanto minore sarà l’utilità per il lavoratoredi buona qualità. Di conseguenza, se esiste un equilibrio sequenzia-le di tipo separatore, in esso il lavoratore di cattiva qualità si troverànel punto A, esattamente come nel caso con informazione simmetrica,mentre il lavoratore di buona qualità si posizionerà su un punto delsegmento in grassetto e quindi su una curva di indifferenza più bassa

41. Per una questione “tecnica”, ipotizzeremo che, dovendo scegliere tra A e C,il lavoratore di cattiva qualità scelga il punto A, anche se è indifferente tra i due.



di quella in cui si sarebbe trovato nel caso con informazione simmetri-ca; infine, la competizione à la Bertrand tra le imprese fa sì che esseabbiano sempre (sia con informazione simmetrica, sia con informazio-ne asimmetrica) profitti attesi nulli. Possiamo quindi concludere che,in base al criterio di Pareto, qualunque equilibrio separatore di questogioco è peggiore dell’esito che si avrebbe con informazione simmetrica.Il lavoratore di buona qualità è danneggiato dall’asimmetria informati-va: se non vuole essere “imitato” dal lavoratore di cattiva qualità, deveinvestire eccessivamente in istruzione; è in grado di farsi riconosceredalle imprese solo se sceglie un livello di istruzione e2 ≥ e, maggioredi quello che sceglierebbe se non avesse la “necessità” di “segnalare” lasua qualità.42

Equilibri separatori e “criterio intuitivo”. Fino ad ora abbiamo analiz-zato le caratteristiche di un equilibrio separatore, ma non ne abbiamoin alcun modo dimostrato l’esistenza. Consideriamo ora un candida-to al ruolo di equilibrio separatore: il lavoratore di cattiva qualità siposiziona nel punto A = (e1, e1) e quello di buona qualità nel puntoC = (e, 2e). È facile costruire una curva w(e) crescente e passante per ipunti A e C tale che, data tale curva, sia effettivamente ottimale per illavoratore di cattiva qualità scegliere il punto A e per quello di buonaqualità scegliere il punto C. Questo è esattamente quello che accadenella fig. 6.17.

6

-e

wt = 1

w = e

w = 2e

t = 2

e1

rppppppe2 e


e1 p p p p p p p p p p p p p p p p p p

2e2

2e p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

A

rB rC

³³³³

³³³³

³³³³

³³³³

³³³³

³³³³

³³³³

³³³³

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¤¤¤¤

¤¤¤¤¤

¤¤¤¤¤´´´

´´´

´´´

w(e)

figura 6.17. un equilibrio separatore (e∗1 = e1, e∗2 = e)

42. Se volessimo fare un’analogia con il gioco Quiche and Beer con un unicoequilibrio in strategie miste (fig. 6.10), potremmo immaginare che, in assenza delmollaccione, il duro preferirebbe bersi un solo bicchiere di birra, ma sceglie invecedi berne due proprio per evitare di essere “imitato” dal mollaccione, riuscendo cosìa evitare di essere importunato dal bullo del quartiere.

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Consideriamo ora un altro punto del tratto in grassetto della fig. 6.16:il punto D. Anche in questo caso è facile individuare una curva w(e)crescente e passante per i punti A e D tale che, data tale curva, siaeffettivamente ottimale per il lavoratore di cattiva qualità scegliere ilpunto A e per quello di buona qualità scegliere il punto D. La fig. 6.18illustra un secondo equilibrio separatore.

6

-e

wt = 1

w = e

w = 2e

t = 2

e1

re2 e2

e1

2e2

e

A

rB rC

³³³³

³³³³

³³³³

³³

³³³³

³³³³

³³³³

³³

³³³³

³³³³

³³³³

³³¥¥¥¥¥¥

¥¥¥¥¥¥

¥¥¥¥¥¥´

w(e)

D

figura 6.18. gli altri equilibri separatori sono incompatibilicon il ‘‘criterio intuitivo’’

Il lettore avrà capito che, scegliendo “opportunamente” la curva w(e),possiamo sempre costruire un equilibrio sequenziale di tipo separatorenel quale il lavoratore di cattiva qualità si posiziona nel punto A eil lavoratore di buona qualità si posiziona in un qualunque punto delsegmento in grassetto della fig. 6.16, purché si trovi su una curva diindifferenza più elevata di quella passante per il punto A. Abbiamoquindi individuato un’infinità di equilibri separatori, ordinabili secondoil criterio di Pareto: in tutti gli equilibri il lavoratore di cattiva qualitàha sempre la stessa utilità, mentre più ci spostiamo verso destra sulsegmento in grassetto della fig. 6.16, più il lavoratore di buona qualitàsta peggio.Se adottassimo il criterio della dominanza rispetto ai payoff (par. 4.4**),

saremmo in grado di eliminare tutti gli equilibri sequenziali di tipo se-paratore ad eccezione di quello in cui il lavoratore di cattiva qualità siposiziona nel punto A e il lavoratore di buona qualità si posiziona nelpunto C (fig. 6.17). Mostriamo ora come sia possibile arrivare allo stes-so risultato sulla base di considerazioni completamente differenti, vale adire utilizzando il “criterio intuitivo” di Cho e Kreps (1987). Proviamoinfatti a considerare un equilibrio separatore diverso, per esempio quel-lo in fig. 6.18. Ipotizziamo ora che, contrariamente a quanto previsto

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da tutti, il lavoratore scelga un livello di istruzione e (o leggermentesuperiore). Il requisito di coerenza non impone alcuna restrizione sul-le credenze delle imprese quando viene scelto un livello di istruzionenon di equilibrio; di conseguenza, se adottiamo il concetto di equilibriosequenziale, la curva w(e) in fig. 6.18 è assolutamente ammissibile.L’idea di razionalità passata richiede invece che le imprese cerchino di“razionalizzare” la scelta di quel livello di istruzione. Dato l’equilibrioin fig. 6.18, un livello di istruzione superiore o uguale a e non potreb-be essere scelto razionalmente da un lavoratore di cattiva qualità, inquanto questi finirebbe su una curva di indifferenza più bassa rispet-to a quella passante per il punto A = (e1, e1). Di conseguenza, l’unico“tipo” di lavoratore che potrebbe beneficiare da un livello di istruzionesuperiore o uguale a e è il lavoratore di buona qualità, in quanto, se leimprese ritengono che sia sufficientemente probabile che un lavoratoreche sceglie quel livello di istruzione sia di buona qualità, pagherannoun salario che permetterà al lavoratore di buona qualità di raggiungereuna curva di indifferenza superiore a quella passante per il punto D.Possiamo quindi concludere che, dato l’equilibrio in fig. 6.18, se unlavoratore sceglie un livello di istruzione e ≥ e, per il “criterio intuiti-vo” si ha µ(t = 1 |e ≥ e) = 0; dall’eq. [6.116] si ha w(e ≥ e) = 2e,esattamente come nella fig. 6.17 43 . Naturalmente possiamo replicarelo stesso ragionamento per ogni punto del segmento di retta in grasset-to della fig. 6.14; di conseguenza, l’unico equilibrio sequenziale di tiposeparatore che soddisfa il “criterio intuitivo” richiede che il lavoratoredi cattiva qualità si posizioni nel punto A = (e1, e1) e che il lavoratoredi buona qualità si posizioni nel punto C = (e, 2e).

Equilibri accomunanti e “criterio intuitivo”. Vediamo ora se possonoesistere degli equilibri accomunanti, nei quali i due “tipi” di lavoratoriscelgono lo stesso livello di istruzione. Se e∗1 = e

∗2 = e

∗, si ha w(e∗) =1.5e∗.Preso un punto P = (e∗, 1.5e∗), è facile individuare una curva w(e)

crescente e passante per quel punto tale che, sulla curva w(e), entrambii “tipi” di lavoratori scelgono di posizionarsi nel punto P .

43. ‡ Per seguire la tradizione, abbiamo focalizzato la nostra attenzione su un’a-nalisi di equilibrio. Tuttavia, avremmo potuto ottenere lo stesso risultato anche inun contesto non di equilibrio. In base all’eq. [6.116], un lavoratore di cattiva qualitàche scegliesse un livello di educazione e1 = e1 si troverebbe nel punto A o su unacurva di indifferenza superiore, mentre se scegliesse un livello di educazione superio-re a e si troverebbe necessariamente su una curva di indifferenza inferiore a quellapassante per C (e per A). Di conseguenza, un lavoratore di cattiva qualità che siaintelligente, razionale e conosca la struttura del gioco non sceglierà mai un livello dieducazione superiore a e. L’ipotesi di conoscenza comune dell’intelligenza e razio-nalità dei giocatori e della struttura del gioco implica quindi che solo un lavoratoredi buona qualità possa razionalmente scegliere un livello di istruzione e > e.

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6

-e

w

w = e

w = 2e

w = 1.5e

ppppppppppppppppppppppp

e∗

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p1.5e∗ rP

rFrDp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

eD

2eD


ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

eF

2eFt = 1

t = 2

³³³³

³³³³³

³³³³

³³³³³

³³³³

³³³³³£

£££

££££

££££´´´´´´

´´´´´´

´´´´´´££££££££

££££££££

££££££££¡¡¡¡¡¡

6w(e)

figura 6.19. equilibrio accomunante e ‘‘criterio intuitivo’’

Naturalmente, scegliendo “opportunamente” la curva w(e), possiamofacilmente ottenere molti altri equilibri di questo tipo.Mostriamo ora che il “criterio intuitivo” è in grado di eliminare tut-

ti gli equilibri accomunanti. Consideriamo, per esempio, l’equilibrio infig. 6.19. In tale figura, i punti D e F sono ottenuti dall’intersezionedella retta w = 2e con le curve di indifferenza dei due “tipi” di lavoratoripassanti per il punto P . Ogni punto della retta w = 2e compreso tra De F 44 è migliore del punto P per il lavoratore di buona qualità, mentreè peggiore per quello di cattiva qualità. Questo significa che, dato l’e-quilibrio accomunante in fig. 6.19, un lavoratore di cattiva qualità nonavrebbe alcun interesse a scegliere un livello di istruzione e ∈ (eD, eF ],in quanto, anche nel migliore dei casi (quello in cui venisse scambiatoper un lavoratore di buona qualità e ricevesse un salario uguale a 2e), sitroverebbe su una curva di indifferenza più bassa di quella passante peril punto P . Al contrario, un lavoratore di buona qualità potrebbe gua-dagnare dalla scelta di un livello di istruzione e ∈ (eD, eF ] se credesseche le imprese attribuiscano una probabilità sufficientemente alta al fat-to che si tratti di un lavoratore di buona qualità e gli paghino quindi unsalario che gli permetta di posizionarsi su una curva di indifferenza piùelevata di quella passante per il punto P . Di conseguenza, dato l’equi-

44. ‡ L’esistenza di questo segmento di retta è assicurato dalla “single crossingproperty”.

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librio in fig. 6.19, per il “criterio intuitivo” µ(t = 1 |e ∈ (eD, eF ] ) = 0.L’equilibrio accomunante in fig. 6.19 è quindi “instabile”, in quantomandando un “segnale” non di equilibrio e ∈ (eD, eF ] il lavoratore dibuona qualità è in grado di farsi riconoscere, migliorando così la suasituazione e “distruggendo” in tal modo l’equilibrio considerato 45.Ovviamente, utilizzando una procedura analoga, otteniamo che l’ap-

plicazione del “criterio intuitivo” permette di eliminare qualsiasi equili-brio sequenziale di tipo accomunante. Possiamo quindi concludere chenel gioco in fig. 6.14 l’unico equilibrio sequenziale compatibile con il“criterio intuitivo” richiede che il lavoratore di cattiva qualità si posi-zioni nel punto A = (e1, e1) e il lavoratore di buona qualità nel puntoB = (e2, 2e2), mentre nei giochi in fig. 6.15 e seguenti l’unico equilibriosequenziale compatibile con il “criterio intuitivo” richiede che il lavora-tore di cattiva qualità si posizioni nel punto A = (e1, e1) e il lavoratoredi buona qualità nel punto C = (e, 2e).

esercizio 6.3 Considerate la versione seguente del modello di Spence.Un lavoratore può essere caratterizzato da abilità modesta (t = 1) oppu-re elevata (t = 2). L’abilità del lavoratore influenza la sua produttività.La produttività marginale di un lavoratore con abilità modesta (t = 1)è costante e uguale a 11, mentre quella di un lavoratore con abilità ele-vata (t = 2) è anch’essa costante ma uguale a 20. Il prezzo dell’outputè uguale a 1.

45. ‡ Il lettore noterà come questo risultato dipenda strettamente dal presuppostoche esista un equilibrio che rappresenti il modo “ovvio” di giocare e si discosti net-tamente dal ragionamento descritto nella nota 43‡, nel quale erano semplici requisitidi razionalità a permettere di eliminare tutti gli equilibri separatori ad eccezione diuno.Il lettore potrebbe poi dubitare che il risultato ottenuto dall’applicazione del “cri-terio intuitivo” sia realmente “intuitivo”. Ipotizziamo per esempio che la quota deilavoratori di cattiva qualità sia molto bassa e che le pendenze delle curve di indiffe-renza dei due “tipi” di lavoratori siano piuttosto simili. In questo caso sarebbe forse“lecito” aspettarsi che i lavoratori di buona qualità scelgano un livello di istruzionepiuttosto simile a quello che sceglierebbero con informazione simmetrica, in quantola presenza numericamente insignificante dei lavoratori di cattiva qualità non modi-fica in modo sostanziale il loro salario; per differenziarsi dovrebbero invece investiremoltissimo in istruzione. È vero che, se riescono a differenziarsi, ottengono un’utili-tà maggiore rispetto a quella che avrebbero nell’equilibrio accomunante. Tuttavia,la “distruzione” dell’equilibrio accomunante fa sì che i lavoratori di cattiva qualitàabbiano un incentivo maggiore a imitare quelli di cattiva qualità. Di conseguenza,per differenziarsi dai (pochi) lavoratori di cattiva qualità, i lavoratori di buona qua-lità dovranno investire massicciamente in istruzione. La richiesta che un equilibriosequenzial sia compatibile con il “criterio intuitivo” “impone” effettivamente ai lavo-ratori di buona qualità di differenziarsi da quelli di cattiva qualità. Ragionando sulla6.19, il lettore può tentare di rispondere alla domanda: è possibile che nell’equilibrioseparatore entrambi i “tipi” di lavoratori stiano peggio rispetto all’equilibrio acco-munante? In caso di risposta affermativa, i risultati di una “selezione” tra equilibribasata sull’applicazione del “criterio intuitivo” potrebbero contrastare con i risultatidi una “selezione” basata sul criterio della “dominanza rispetto ai payoff ”

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Sia e il livello di istruzione scelto dal lavoratore e w il salario che rice-ve. Il livello di istruzione non influenza la produttività del lavoratore.La funzione di utilità di un lavoratore con abilità modesta (t = 1) èu1(w, e) = w − e2, mentre quella di un lavoratore con abilità elevata(t = 2) è u2(w, e) = w − e.La tempistica del problema (gioco) è la seguente:(i) il lavoratore, a seconda della sua abilità, sceglie il livello di istruzio-ne;(ii) le imprese osservano il livello di istruzione e competono tra di loroà la Bertrand.(a) Illustrate la proprietà di single—crossing e verificate se nel caso inesame essa è soddisfatta oppure no.(b) Ipotizzate che l’abilità dei lavoratori sia osservabile dalle imprese.Calcolate l’equilibrio perfetto nei sottogiochi, spiegando con precisionecome è stato ottenuto. Fornitene inoltre una rappresentazione grafica.Qual è il livello ottimo di istruzione per i due tipi di lavoratori? Comegiustificate questo risultato?(c) Ipotizzate ora che l’abilità sia informazione privata dei lavoratorie che la probabilità a priori che un lavoratore abbia un’abilità modesta(t = 1) sia uguale a p ∈ (0, 1).Identificate l’insieme degli equilibri sequenziali di tipo separatore. Uti-lizzando l’induzione in avanti o il “criterio intuitivo” di Cho e Kreps,siete in grado di ridurre l’insieme di equilibri separatori ad un soloequilibrio (oppure a infiniti equilibri sequenziali equivalenti)? In casodi risposta affermativa, descrivete con precisione l’equilibrio ottenuto(oppure uno degli infiniti equilibri equivalenti) e fornitene una rappre-sentazione grafica. Calcolate poi il livello di istruzione scelto dai duetipi di lavoratori. Perché differisce da quello di cui al punto (b)? Di-mostrate infine che l’introduzione dell’asimmetria informativa ha datoluogo a un esito finale inefficiente nel senso di Pareto.

esercizio 6.4 Considerate un mondo caratterizzato da universale neu-tralità al rischio e da un tasso di interesse netto uguale a zero. Si con-sideri la seguente tempistica del gioco: al tempo 0 il manager sceglie illivello di debito; al tempo 1 il debito viene pagato se l’impresa ha abba-stanza fondi, altrimenti si ha la bancarotta. Ipotizzate che ci siano tretipologie di imprese: Good, Bad e Ugly, le quali sono caratterizzate, ri-spettivamente, da un flusso di cassa fg(x), fb(x) e fu(x). Ipotizzate checi sia dominanza stocastica del primo ordine: Fg(x) ≤ Fb(x) ≤ Fu(x)per ogni x. Le probabilità a priori che un’impresa sia good, bad e uglysono, rispettivamente, θg, θb e θu, con θg + θb + θu = 1. Il managerconosce il tipo dell’impresa.Con informazione simmetrica, il valore di un’impresa è determinatounicamente dal valore attuale dei flussi scontati. Il valore dei tre ti-

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pi di imprese è quindi, rispettivamente, µg =R +∞−∞ xfg(x)dx, µb =R +∞

−∞ xfb(x)dx, µu =R +∞−∞ xfu(x)dx.

La funzione di utilità del manager dipende positivamente dal valore del-l’impresa e negativamente dal costo di bancarotta, che è ipotizzato es-sere un costo non—percuniario che grava unicamente sul manager, nonva agli investitori e non influenza il valore dell’impresa. Quando l’im-presa è di tipo i (i = g, b, u) e il livello del debito è Dj , l’utilità attesadel manager è E(j |i) = aV (Dj) − πFi(Dj), con a,π > 0, dove V (Dj)è il valore di un’impresa che ha un debito j.Con informazione simmetrica, il debito non ha effetti sul valore del-l’impresa; di conseguenza, al tempo 0 il manager sceglierebbe sempre dinon contrarre alcun debito.(a) Mostrate che la situazione in cui tutti i manager scelgono un livellodi debito uguale a zero può essere un equilibrio sequenziale del gioco.[Consiglio: pensate a credenze non—di—equilibrio “estreme”, che possa-no giustificare la scelta dei manager di non avere debiti](b) Mostrate che la situazione in cui tutti i manager scelgono un livellodi debito uguale a zero è incompatibile con il “criterio intuitivo” di Choe Kreps. [Consiglio: pensate al diverso costo sostenuto dal manager diaumentare il debito, a seconda della qualità dell’impresa che gestisce.Dato il caso in cui il debito di tutte le imprese è uguale a zero, siamosicuri che il manager di un’impresa good avrà convenienza a “farsi ri-conoscere”? Se la risposta è positiva, la soluzione del problema è vicina](c) Quale fenomeno economico vuole illustrare con questo modello Ross(1977)?

esercizio 6.5 Considerate nuovamente il modello di Spence, ma ipo-tizzate ora che la tempistica sia la seguente:i) ogni impresa propone uno o più contratti del tipo (w, e). I contrattisono proposti (simultaneamente e indipendentemente) da un certo nu-mero di imprese neutrali al rischio a tutti i lavoratori.che accettino disottoscriverli.ii) ogni “tipo” di lavoratore sceglie uno (o nessuno) dei contratti propo-sti.Si tratta quindi di un modello di “selezione” ( screening). Un equilibriodi Nash perfetto nei sottogiochi (in strategie pure) di questo gioco è unequilibrio nel senso di Rothschild e Stiglitz (1976).

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a) Utilizzando il grafico seguente, mostrate che non può mai esistere unequilibrio nel senso di Rotshchild e Stiglitz di tipo accomunante.

6

-e

w

w = e

w = 2e

w = 1.5e

ppppppppppppppppppppppp

e∗

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p1.5e∗ rP

rFrDp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

eD

2eD


ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

eF

2eFt = 1

t = 2

b) Mostrate che, nel grafico seguente, esiste un equilibrio nel senso diRotshchild e Stiglitz di tipo separatore

6

-e

wt = 1

w = e

w = 2e

w = 1.5e

t = 2

e1

rppppppe2 e


e1

2e2

A

rB rC

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c) Utilizzando il grafico seguente, mostrate che è possibile che non esistaalcun equilibrio nel senso di Rotshchild e Stiglitz 46 .

6

-e

w

t = 1

w = e

w = 2e

w = 1.5e

t = 2

e1

rppppppe2 e


e1

2e2

A

rB rC

46. Si può però mostrare che esiste sempre un equilibrio di Nash perfetto neisottogiochi (eventualmente in strategie miste).

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