Libro Algebra Domingo Savio 2013 Imprimir

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COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con nivel Pre-Universitario …¡ Álgebra

Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

1

POLINOMIOS

1) calcular el coeficiente del polinomio

M= , si su grado

absoluto es 8 y el grado relativo de „y‟ es

1.

Solución::

Primero grado relativo.(GR) de „Y‟

3a – b=1, de donde b=3a-1………(I)

Segundo grado absoluto (GA)

3a+2b+3a-b=8, de donde

6a+b=8……..(I)

Remplazando (I) en (II)

6a +3a-1=8, 9a=9

a=1, de donde b=3a-1 para ello b=2

Nos pide: =1 Rpta.

2) calcular „m.n‟, si el grado absoluto es

igual a 20 del polinomio

P(X;Y)=4 -

, y su grado relativo de „y‟ es 8.

Solución:

GA (grado absoluto es el mayor)

m+n+1=20…..(I)

GR (grado relativo)

n - 2=8, de donde n=10 remplazando en

la ecuación (I) m+10+1=20, m=9

Nos pide (m.n)=90

3) hallar el coeficiente del monomio:

R(X)=2n √ √ , si es de segundo

grado.

Solución:

Método práctico solo trabajamos con la

variable debida que solo nos importa el

grado. =2, de donde n=7 pero

nos pide coeficiente (2n)=14

4) calcular el valor de „x+y‟, en el

monomio. P=√ √ , si se sabe que:

G.A.=5 además: x=3y-1

Solución:

Otra vez trabajamos solo con los

exponentes.

=5, de donde

x+3y-2=15, x+3y=17 de la condición

x=3y-1

Tenemos 3y-1+3y=17

6y=18, y=3 , x=8 nos pide (x+y)=11 Rpta.

5) si la expresión: √ , es de

grado cero, calcular „n+4‟.

Solución:





2

Una vez más solo trabajamos con las

variables.

=0, de donde

n=24 nos pide „n+4‟=28 Rpta.

6) hallar el coeficiente del monomio:

R(x,y,z)=4mp , si su grado

relativo a „x‟ es 2, su grado relativo a „y‟

es 1 y su grado absoluto es 5.

Solución:

Otra vez trabajando solo con sus

exponentes de las variables.

GR(X)=2,=2 tenemos que n=4

GR(y)=1, =1 donde m=9

Para GA=5 tenemos

+p=5, de donde p=2

7) Nos pide 4mp=4.9.2=72 Rpta.

Sabiendo que el polinomio:

N(x,y)=

, es de

grado absoluto 36 y la diferencia entre el

grado relativo de „x‟ y el menor

exponente de „y‟ es 12. Calcular el valor

de „m+n‟.

Solución:

Para el GA (es la mayor suma de

exponentes de cada término)

4m+2n+2=36……… (I)

Por otro ladoGR(x)-Menor expo.(y)=12

3m+n+1-(m+n-1)=12, donde 2m+2=12

m=5 remplazando en la primera

ecuación

4(5)+2n+2=36, donde n=7

Nos pide (m+n)=12 Rpta.

8) si el grado de „M‟ es 16 y el menor

exponente de „y‟ en el polinomio „M‟ es 6.

Hallar el valor de „3m+n‟.

M=

Solución:

GA=16, m+n+9=16 de donde

m+n=7…(I)

Menor expo (y)=6, de donde n-3=6

n=9, remplazando en la ecuación (I) así

tenemos m+9=7, m=-2

Nos pide (3m+n)=3(-2)+9=3 Rpta.

9) si en el monomio

P(x,y) √ , el

grado relativo a „x‟ es 3, hallar el grado

absoluto.

Solución:

Otra vez utilizando solo los exponentes

de las variables.





3

=3, n=-13 nos pide el

absoluto será +5-n=21 Rpta.

10) de las siguientes proposiciones,

indicar con (V) si es verdad y con (F) si

es falsa.

I. el grado de P(x)= es 12.

(F), el grado es 6 debido a que cero

multiplicado por cualquier número es

cero.II. en todo polinomio, el grado absoluto

siempre es igual al grado relativo con

respecto a una de sus variables.(F)

III. el coeficiente principal del polinomio

P(x,y)= , es 72.

Esta dado por el coeficiente de la

variable de mayor grado en cada termino

Coe. Pri.= =72 (v)

IV. la suma de coeficientes del polinomio

P(x,y)= , es 3.

Para la suma de coeficientes (x,y)=(1,1)

P(1,1)=

=3 (v)

FFVV

11) si el grado absoluto del polinomio

P(x,y)= , es 22 y el grado

respecto a la variable „x‟ es 7, hallar m.n

Solución:

GA=22, 2m+n+3=22 de donde 2m+n=19

GR(x)=7, 2m-1=7 de donde m=4

remplazando a 2m+n=19

2.4+n=19, n=11

Nos pide m.n=44 Rpta.

12) dados los polinomios.

P(x)=( )

Q(x)=

(

) y R(x)=7x+4.

Si el grado del polinomio producto de los

tres polinomios es 25, entonces el valor

de „n‟, es:

Solución:

Sabemos que en una multiplicación se

suma. =25

P(x) su grado es

Q(x) su grado es 2.

R(x) su grado es 1. Remplazando a la

ecuación+2+1=25, llamaremos

entonces +2a=24, factorizando

a(a+2)=24, tenemos a=4

Entonces , n=2 Rpta.

13) determine la suma d coeficientes en

P(x)= +6

Solución:

Sabemos que suma de coeficientes se

calcula con P(1), para x=1





4

P(1)= +6=67 Rpta.

14) Determinar la suma de coeficientedel polinomio:

P(X)= +13

Solución:

Para la suma de coeficiente se calcula

con P(1)= +13

P(1)=589 Rpta

15) El término independiente y

coeficiente principal de:

P(X)=

Son iguales. Hallar el grado de P(x):

Solución:

Termino independiente se calcula con

P(0); entonces P(0)=coef. Princ…….(I)

Remplazando para T.I

P(0)=

P(0)=(3)(n+2)(n)(1)

Para coeficiente Princ.

P(x)=1.8.3.6

Remplazando a la ecuación (I)

3n(n+2)=3.8.6

n(n+2)=6.8

n=6

el grado es: 2+n+4+n=18 Rpta

16) Siendo P(X)=3x+1 la suma siguienteP(0)+P(1)+P(2)+…..+P(20);es:

Solución:

Para P(0), P(0)=1

Para P(1), p(1)=4

Para P(2), p(2)=7

Para P(20), P(20)=61

Remplazando:

1+4+7+……..+61, sabiendo que la

razón es 3, y hay 21 términos la suma es:

S=

Donde a1=primer término, an=ultimo

termino y n es número de términos

S= =651 Rpta

17) Si se cumple:

P(-7)=4-15 y P(F(x)+3)=8x-11

Hallar F(-4)

Solución:-7=F(x)+3=F(x)+10

Remplazando en el original:

P=4(F(x)+10)-15

8x-11=4F(x)+40-15





5

8x-36=4F(x)

2x-9=F(x)F(x)=2x-9

Nos pide Hallar F(-4):

F(-4)=2(-4)-9

F(X)=-17 Rpta

18) Siendo P(x)=2x-1. Hallar el valor de:

P(P(P……P(P(x))…….))

100 Factores

19) Si P(x)= +…….+

Determinar el valor de la siguiente

expresión:

E=

Solución:

P(x)= +…….+, es una

suma notable. =P(x)

Primero. P(x-1)=

P(x-1)=

Segundo. P(x)=

Tercero.

P( )=

P( )=

Ahora remplazamos en E

E=

E=

E=1/6 Rpta.

20) Determinar el grado de:

N(x)= ….

20 Factores

Solución:

7+8+9+…………………………….

Primero hallemos =+(n-1)r, donde Ultimo termino

=primer termino

n=número de términos

r=razón 7+(20-1)1=26

Para la suma es:

S=

S=

S=330 Rpta.

21) Determinar el grado de la expresión

E(x)=6 8P(x).Q(x)

Si P(x) es de cuarto grado y Q(x) es de

tercer grado.





6

Solución:

Supongamos P(x)= , Q(x)= el gradosolo trabaja con el exponente y no

depende la coeficientes.

Primer término. 4(4)=16

Segundo termino. 3(6)=18

Tercer término. Por ser producto se

suma 4+3=7, de todo ello se ve suma y

diferencia por lo tanto es el mayor entre(16,18 y 7)

Rpta. 18

22) Hallar „‟6m+7n‟‟ en la expresión:

P(x,y)=

; Además se sabe

que: G.A(P)=53 ; G.

(P)=20

Solución:

GA=53, =53

26m+2n=106, 13m+n=53……….(I)

Para GR(x)=20, =20

8m+8n=40, m+n=5 de donde n=5-m….(II)

De (II) en (I) 13m+5-m=53, 12m=48 de

donde m=4 y n=5-m, n=1

Nos pide 6(4)+7(1)=31

23) Calcular el grado de:

E=

; sabiendo que P(x)

es de quinto grado y Q(x) es de tercergrado.

Solución:

Sea P(x)=, Q(x)=

5(4)+-6(3)

20+5-18=7 Rpta.

24) Si la expresión:

P(x)=[] ; es de grado 8.

Hallar el valor de „‟n‟‟

Solución:

7+20(2n+3)+12(3n-1)-35(2n)-13(5)=8

n=13 Rpta.

25) Si el grado de la expresión:

P(x,y)= es 36. Hallar el valor

de „‟n‟‟

Solución:

n+2+3n+4+2(5)=36, n=5 Rpta.

26) El grado absoluto del monomio:

P(x,y,z)=2

es 114. Calcular 5a+15b+20c

Solución:





7

GA=114, sabemos que el absoluto es la

suma de todos sus exponentes de las

variables en un término y es el mayor.

3a+4b+5c+2a+3b+13c+a+11b+6c=114

6a+18b+24c=114, a+3b+4c=19 a todos

5(a+3b+4c)=5(19), 5a+15b+20c=95

Rpta.

27) Hallar „‟a+b‟‟ en el polinomio:

P(x,y)=

Además se sabe que: GA(P)=33;

G(P)-G(P)=6.

Solución:

Para el absoluto es el mayor

GA=33, 2a+2b+9=33….. (I)

Para los relativos

GR(x)-GR(y)=6, 2a+b+3-(b+7)=6

2a-4=6, a=5 remplazando en (I)

2(5)+2b+9=33, b=7 nos pide

(a+b)=(5+7)=12 Rpta.

28) Si el grado de la expresión:

P(x)= ; Es 108. Calcular el valor de „‟‟‟

Solución:

m+2+(m+2)(m-2)=108

m+2+ =108

+m=110, m(m+1)=10(11) de donde

m=10 nos pide

=100 Rpta.

29) ¿Cuántos factores se debe de tomar

en la expresión?

P(x)= …..

Tal que P(x) sea de grado 572.

Solución:

2+6+12+20+………….+ =572

La suma es:-2+-3+-4+-5+………-n=572,

ordenando. -

(2+3+4+5+…+n)=572

Es suma notable =572

=572

n(n-1)(n+1)=1716

(n-1)(n)(n+1)=(11)(12)(13) comparando.

n-1=11, n=12 es el número de términos

como empieza de 2 restamos posición 1

entonces es 12-1=11, hay 11 términos

Rpta.

30) Si; P(x)= Hallar el termino

independiente de P(x).

Solución:





8

Para T.I.=P(0), así tenemos.

P(0)= -(0+2)(0-3)

P(0)=32-27+6

P(0)=11 Rpta.

31) Calcular la suma de coeficientes de:

P(x)=

Solución:

Para suma de coeficientes es P(1):

P(1)= +5

P(1)=0-1+1+5=5 Rpta.

32) Si el monomio√ √ es de tercer

grado. Hallar el valor de „‟m‟‟

Solución:

1+ =3

m=22 Rpta.

33) Hallar la suma de los coeficientes del

polinomio completo

P(x)=

Solución:

Primero factorizando.

P(x)=c

P(x)=

como es completo:

c=1, b=2 y a=3 entonces suma de

coeficientes es 2(a+b+c)+abc=18 Rpta.

34) En la siguiente identidad de

polinomios

23

El valor de a+b+c+d, es:

Solución:

23

Dónde: comparando por términos como

semejantes 23=3c+2, c=7

a=-2, d=8, b=c, c=7

Nos pide (a+b+c+d)=20

35) sea:

P(x,y)=

El grado relativo a x es 12 y el grado

absoluto es 18. Hallar GR(Y)

36) Hallar la suma de los coeficientes delpolinomio ordenado en forma

decreciente

P(x)=

37) Determinar el término

independiente del polinomio:

P(x)=

….+mx+(m+n)

Que es completo, ordenado y de grado 7.

PRACTICA I





9

38) El grado del polinomio

P(x,y,z)= , es10, Hallar la suma de los coeficientes.

39) Construir un polinomio de segundo

grado, si el coeficiente de „‟X‟‟ y del

termino independiente son iguales.

Además P(1)=7 y P(2)=18 Hallar el

coeficiente de

40) Si el polinomio

P(x,y)=

Hallar „‟m‟‟

41) Si , . Hallar los valores de „‟a‟‟

42) Si el polinomio

P(x,y)= es

homogéneo de grado 16. Hallar „‟m-n‟‟

43) Si el grado del polinomio

√ , es 8. Hallar el valor

de „‟m‟‟


P(x)= es 49. Hallar √

45) Hallar el grado absoluto del

polinomio

P(x)=

………..

52 factores

46) En el polinomio

P(x,y)= . Hallar lasuma de sus coeficientes.

47) Si el polinomio

P(x)= es

Mónico. Hallar el valor de „‟n+a‟‟

01._ Hallar la proposición no

incorrecta de las siguientes expresiones:

a) Toda expresión algebraica es unpolinomio.

b) El grado de un polinomio en “x” solose define por el mayor exponente deesta variable.

c)

Si un binomio es un monomioentonces sus términos de dicho binomio son semejantes.

d) El grado absoluto de:

, es 10

e) Todo polinomio completo en una variable implícitamente es ordenado.

02._ Sea: , además

; . Hallar

“mn”.

a) 15 b)20 c)25 d)30 e)12

03._ Hallar la suma de los

coeficientes del siguiente polinomio.

a) 24 b) 38 c) 36 d) 75 e) 52

372245 yx3 yx4 yx2)x(P

3 n 3 m 2 mn

P x, y 4 x y z

G.A. P 11 G.R. x G.R. y 5

n52

n3n nx4nx3nx2) x(P

PRACTICA II





10

04._ Sean:

I) ;

II) ;

Si los grados absolutos de y

son 8 y 4 respectivamente.

Hallar el coeficiente de .

a)18 b)32 c)40 d)30 e)24

05._ Hallar el coeficiente del monomiode grado 21:

a) 221 b) 240 c) 241

d) 245 e) 441

06._ Si: , ,

. Hallar: m/n.

a)5 b)23 c)

d) e)

07._ Si:

Se reduce a un monomio de 8vo grado,halle “n”.

a)4 b) 8 c) 6 d) 5 e) 2

08._ Hallar el coeficiente de

, cuyo

y

a)81 b) 16 c) 20

d) e)

09._ Halle “a” si el monomio es desegundo grado:

a)4 b) 8 c) 6 d) 7 e) 2

10._ Sea el polinomio:

, cuyo

y además se cumple que:

.

Calcular “ ”

a)6 b) 5 c)23 d)11 e)31

11._ Si: [P.Q.R]º=289.¿Halle “n+1”?

a)6 b) 8 c) 4 d) 7 e) 2

12._ Calcular “ ”, si el polinomio:

Es de grado absoluto 20;

b c 2b 1 b 3

P x, y 2 x y

c 2 c 4Q x, y x y

P x ,y Q x, y

P x ,y

nm25npnmn y xp y xm5) y ; x(P

G.A. Q 15

G.R. x1

G.R. y

2 n 5 m 4

Q x,y 16 x y

5

23

23

5

5

23

242n

423n232n

) x) x((

x] x) x[() x(S

nm 3m 2n 5m n1

P x, y 9 x y2

G.A. 20 G.R. x 14

81

16

16

81

31a

5a2a

x

x x) x(M

m n 1 n m n 3 n 2Q x;y 7x y 6x y

G.A. 21

G.R. x G.R. y 7

3m n

nnnn nnn ]3 x7 x3[) x(P

2n

]1 x7 x3[) x(Q

nn

1 x11) x(R

mn

m 1 n 2 m 2 n 1 m 3 n 2

P x, y 4x y 6x y 6x y

G.R. x 8.





11

a)71 b)70 c)68 d)69 e)72

13._ Se tiene el polinomio:

Donde el grado relativo de “x” es 5

¿hallar la suma sus coeficientes?

a)12 b)11 c)10 d)18 e)14

14._ el grado relativo a “x” vale 12,

siendo el grado absoluto del polinomio

18. Hallar el grado relativo a “y”.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

15._ Se tiene el polinomio:

Donde el grado relativo de “x” es al

grado relativo de “y” como 4/3

¿Hallar la suma de coeficiente del

polinomio?

a)23 b)26 c)22 d)20 e)28

16._ En el polinomio:

Se verifica que y que el

menor exponente de “y” es 5. Calcular elgrado absoluto del polinomio.

a)21 b)15 c)31 d)37 e)17

17._ Si el grado absoluto de:

Es igual a la mitad de la suma de los

exponentes de todas sus variables.

Calcular el grado relativo de “y”

a)1 b) 3 c) 5 d)7 e) 9

18._ El grado del polinomio:

;

Es 48. Calcular el valor de “n”.

a)10 b)12 c)14 d)16 e)18

19._ Señale el grado de:

a)20 b)32 c)23 d)19 e)24

20._ Se tienes dos polinomios P y Q si el

polinomio P es de grado 10 respecto a“x”. En el polinomio Q el grado respecto

a “x” es 5 grados menos que el grado

respecto a “y” .Hallar el grado respecto a

“y” en el polinomio P, siendo:

a)16 b)15 c)12 d)19 e)18

21._ Calcule “m” en:

Sabiendo que el coeficiente principal del

producto es igual al término

independiente del mismo.

7a51a43a y ax y x5 y x3) y ; x(P

7k4k6k5k2k3k y x y x2 y kx) y ; x(P

m n 2 m 3 m n 5 m 4 m n 6 m 23x y x y 2x y

G.R. x G.R. y 15

ba1ba2ba2 y x y x3 y x) y ; x(P

3n 3 2P(x) = (x + 1)(x + 5)

52

2 4

3 2 4 63

x y x 1 xyE x, y

x 1 x xy y

n1m1n1m1n1m yx7 yx3 yx) y;x(P222

3n1m2nm6n7m yx9 yx5 yx2) y;x(Q

m 3

m m 1 2 2F x 3x x 1 mx x 3 x 192





12

a) 2 b) 3 c) 5 d)12 e) 4

22._ Si el término independiente y el

coeficiente principal del polinomio son

iguales. Hallar el grado del polinomio:

a)12 b)13 c)10 d) 8 e)18

23._ Hallar la suma de coeficientes del

siguiente polinomio:

a)7 b) 9 c)-9 d)10 e)11

24._ Dado el polinomio:

Su término independiente será:

a)3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 8


;

Calcular “n” sabiendo que la suma de sus

coeficientes es 99.

a) 2 b) 4 c) 3 d) 6 e) 5

26._ Dado el polinomio:

;

Halle el valor de “n+3”, sabiendo que la

suma de coeficientes y el termino

independiente del polinomio suman 249.

a) 7 b) 6 c) 8 d) 5 e) 3

27._ Determine el grado del polinomio

sabiendo que el grado de:

Es igual a 21 y además

el grado de es igual a 24.

a)6 b) 7 c) 5 d) 3 e) 1

28._ El grado del polinomio es

19. El polinomio tiene grado 28.Hallar el grado de Q(x).

a) 1 b) 2 c)12 d) 4 e) 6

29._ Sean los polinomios M(x) y N(x). El

grado de es 11 y el grado de

es 20. Hallar el grado de N(x).

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 5

30._ Si la expresión:

,

Se reduce a un término. Hallar el

coeficiente de dicho término.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e)

31._ Si el grado del siguiente monomio:

Es 8, el valor de “m” es:

a)12 b)10 c) 5 d)11 e) 7

2 n

4 2 n 1 n

P x x 3x 5 6 x x n

2x x n 1 10x 5x 1

101 nP(x 3) (3x 7) (x 3) 6x 1

n nP(x 2) (7x 11) 3x 1 3

nP x 4x 1 x 1 x 3 10

n nP x 1 2x 1 3 x 1

P x

2 3P x Q x

3 2P x Q x

P(x) Q(x)

4

P(x)

3

M(x) N(x)

4

M(x)

4 n 3

8 4P x n 3 x n 4 x

5 36 4 m m

M x 3x 9x x 2x





13

32._ Si: ;

Es de grado 32, el coeficiente es:

a)5 b) 2 c) 4 d) 9 e) 6

33._ Hallar “n” si el grado del polinomio:

Es 272.

a) 4 b) 2 c) 0 d)12 e)16

34._ La expresión:

a) Es un trinomio

b) Se puede reducir a un

binomio

c) Se puede reducir a un

monomio

d) Es equivalente a cero

e) No es un polinomio

35._ En el polinomio, donde “n” es

impar:

La suma de coeficientes y el término

independiente suman 1; luego el valor de

“n” es:

a)5 b) 7 c) 9 d)11 e)13

36._ Halle el grado absoluto del

polinomio:

,

a)0 b) 7 c)13 d)12 e)14


Con si el producto de los grados

relativos de “x” e “y” es 24. El valor de

“n” es:

a)1 b)-2

c) 2 d) 3 e)-3

38._ El siguiente monomio es de grado

99. Calcule “n”.

a)6 b)10 c)12 d)16 e)20

39._ Hallar el grado absoluto de la

expresión, si con respecto a “y” es de 2°

grado:

a)14 b) 8 c) 6 d) 7 e) 9

40._ En la siguiente expresión:

C(x) =

Determinar “n” para que dicha expresión

sea de grado 6.

a)44 b)16 c)40 d)24 e)48

n n3n 2nn nn n n

P x n 1 x x

nn

nnnn

n

nnP x x x 1 x 2

2

45 4 2 2 3E x,y 17x y 11 y x x 2 x xy

n n

P x 1 2x 1 x 2 128 2x 3

a 7a 6 a 5 2a 6 4P x,y x y x y xy

n n

2n 2 n n nP x,y x y xy y x ,

3

2n 1 n 23 x y

n 1

n 3 n 5 n 125x y

4n 1 n

36 5n 4

x x

x





14

41._ Halle el grado del monomio:

a) 0 b) 1 c)11 d) 7 e)13

42._ Si el grado de es 44 y el grado

de es 3. Calcular el grado de

sabiendo que P y Q son 2

polinomios de grado desconocido.

a)33 b)42 c)24 d)12 e)1024

43._ Si el siguiente polinomio es de

grado 20:

Encuentre el valor de “n”.

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

44._ Calcular el valor de “n” en:

Si el grado del producto es 210.

a)20 b)15 c)30 d)25 e)35

45._ Hallar el grado del monomio

siguiente:

Si se cumple que:

a)97 b)65 c)57 d)87 e)77

46._ Si el grado de es 13 y el

grado de es 22. Calcular elgrado de: .

a)12 b)13 c)14 d)15 e)16

47._ Si la suma de los monomios T1 y

T2:

Resulta ser otro monomio. Calcular el

valor de “k” en la relación:

a) 4 b) 7 c) 5 d) 6 e) 8

48._ ¿Qué valor debe asignarse a “n” en

la expresión:

De modo que su grado absoluto excede

en 9 al grado relativo a “y”.

a) 2 b) 1 c) 4 d) 9 e) 3

49._ Si la expresión:

Se reduce a un monomio de 8° grado,

halle el valor de “n”.

a)4 b) 3 c) 6 d) 5 e) 2

50._ Halle “h” si en el siguiente

polinomio:

3 6 5 2F(x ; y) = 12x y z

5 2P Q

35Q P

2

2 3P Q ;

n

n 1n

n nn n n

x 12x 7 9x 2x 1

2 3 n(x 1)(x 2)(x 3)...(x n)

a b b a ccM(x,y,z) = x y z

a b b c a c20

a b c

2P(x)Q (x)

2 3P (x)Q (x)

3 2P (x) Q (x)

a d c a1T c – b x y

c– 2 5b2T a – d x y

5 101 2T T kx y

n

n 2 n 1 n n 1x x y y

n 2 3 2n 3 2 4

n 2 4 2[(x ) x ] xS(x)

((x ) x )





15

;

Se cumple:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0


¿Qué valor toma “m” si se cumple en el

polinomio que la suma de coeficientes y

su término independiente suman:

a)-2 b) 1 c) 3 d)-

2

e)-1


Se observa que:

Calcular el valor de “n”.

a)1 b)

c) 2 d) 3 e)

53._ Si P x

es un polinomio completo,ordenado y decreciente y de gradoabsoluto 4 hallar el valor de n .

2 2 3

2 4 2 5 3 33 5 4 2 .

m nn n m mn m m m

P x x x x x x

a) 4 b) 5 c) 6

d) 2 e) 3

54._ Si

1 6 2 5 3

, 6 3

m n m n m n

P x y x y x y x y

es un polinomio cuyo grado absoluto es

17, y su grado respecto a “ x ” es 6, calcule

.mn

a) 32 b) 39 c) 34

d) 30 e) 35

55._ Si el grado de 2

. P x Q x es 13, y

el grado de 2 3. P x Q x es 22.

Calcule el grado de 3 3. P x Q x

a) 28 b) 21 c) 20d) 25 e) 27

56._ Hallar la suma de valores de “ n ”

para los cuales la expresión

12810 2

2 2, 4 3

n

n

P x y x y

, sea un polinomio.

a) 3 b) 5 c) 6

d) 4 e) 2

57._ Si el menor grado absoluto que sepresenta en uno de los términos del

polinomio:

66 5 2 6 4, 2 2

nn n n P x y x y nx y xy

es 2.

Halle el grado absoluto del polinomio.

a) 13 b) 15 c) 16

d) 14 e) 12

58._ Dado el polinomio

2 2

( 1) . ( 1) ., , 5 6 5

b a a b a ba b a b b

P x y z x y z , si

se cumple que. . . ; 1. x y z G R G R G R b

Calcular el valor de .a b

a) 3 b) 5 c) 6

d) 4 e) 2

59._ Si el grado del monomio

3 hP(x) (2x 1) 4x 2

coef T.I. 12

m mP(2 x-1 )= (5 x-1 ) + (2 x+ 1 ) - 2 x + 1

mm3

24 2 ?2

2n 2P(x+ 1 ) = (3 x + 2 ) (5x + 7) (4x + 7 )

3 coef 686 Térm.Ind.

3

2

2

3





16

5 36 4( ) 3 9 2

m m P x x x x x es 8. Entonces el

valor de 2m , es:

a) 13 b) 15 c) 16

d) 12 e) 14

60._ Si el grado absoluto de

3 1 2 2 2 3 3, 2

n n n n n n P x y x y x y x y

es 11.

Calcular el valor de n .

a) 6 b) 5 c) 3

d) 4 e) 9

61._ Si el grado del polinomio8 2 3 2 3 3

( ) (9 1) (2 3 1) (3 )n n

P x x x x x

Es 47, determinar el valor de:

10( ) ( ) P x coeficiente principal de P x

a) 1 b) 0 c) 3

d) 5 e) 2

62._ Calcular el valor de “ n ” en la

expresión2 1 1

( , ) ( )n n n n n

P x y x x y y

de

modo que el grado absoluto excede en 9

al grado relativo a . y

a) 2 b) 9 c) 3

d) 4 e) 1

63._ Si el grado del polinomio

homogéneo

2 2 1 1 2 2 1, 2

m n m m n m m n m P x y m x y nx y m n x y

. Es 13 y el grado relativo de “ x ” es el

grado relativo de “ y ”como 3 es a 2, halle

la suma de sus coeficientes.

a) 133 b) 129 c) 141

d) 121 e) 143

64._ Determine el grado del polinomio2 2 1 2

( ) 4(3 1) (2 1) 1,n n

P x x x

si se sabe que

la suma de coeficientes de P sea un

término independiente como 43 es a 1.

a) 13 b) 15 c) 11

d) 14 e) 12

65._ Dar la suma de coeficientes del

trinomio

9 2 17 23( , ) ( 3) .

m

m m m P x y m x mx y y

a) 2 b) 8 c) 10

d)4 e) 6

66._ Si el polinomio1 2 2 1 3 2

( , ) 4 6 5m n m n m n

P x y x y x y x y es de

grado absoluto 20 y grado relativo

respecto a “ y ” 8, calcule .mn

a) 60 b) 70 c) 80

d) 90 e) 102

67._ Si el grado absoluto de3 1 2 2 2 3 3

( , ) 2n n n n n n

P x y x y x y x y es 11,

calcular el valor de n .

a)3 b) 5 c) 7

d) 11 e) 9

68._ Hallar el coeficiente del monomio3 2 5 5

( , , ) 4m m n m n

P x y z n x y z si su grado

absoluto es 10 y el grado relativo

respecto a “ x ” es 7.

a)3 b) 5 c) 6

d)2 e) 4

69._ Dado el polinomio:5 3 4 3 4 2

( , ) ( 1) 7 .m m m

P x y m x y x y x y m

Halle la suma de coeficientes para le

mayor valor de m .

PRACTICA III





17

1. Cuál o cuáles de las siguientesafirmaciones son verdaderas.

I. El grado relativo de un polinomioestá determinado por menor exponente

de la variable

II. El grado absoluto de un polinomio

en una variable se determina mediante el

término de máximo grado

III. En un polinomio completo y

ordenado en una variable, el número de

términos es uno más que su grado

a)Sólo I b)I y III c)Sólo III

d)I, II y III e)II y III

2. Determinar la verdad o falsedadde las siguientes proposiciones:I. El grado absoluto de un polinomio

puede coincidir con el grado relativo de

una de sus variables.

II. Un polinomio homogéneo puede

ser completo.

III. Todo polinomio completo es

ordenado.

IV. Un polinomio en una sola variable,

puede ser ordenado, completo y

homogéneo.

a) VVFF b) FVFF c)

VVFV

d) FFVF e) VFVF

3. Indicar si las afirmaciones son Verdaderas (V) o Falsas (F).

I) Un polinomio completo siempre es

ordenado.

II) Un polinomio completo de grado “n”

posee (n+1) términos.

III) En un polinomio idénticamente nulo

sus exponentes son iguales a cero.

IV) En un polinomio completo y

ordenado en forma ascendente, el

primer término es el de mayor grado.

a) FVFF b) FVVF c) VVFV

d) FFVV e) VFVF

4. Hallar el grado absoluto de:

7 7 7 7

2 3 4 20x y x y x y ........ x y

a) 1463 b) 1999 c) 1974

d) 2000 e) 9999

5. Sean P(x) y Q(x) polinomios degrados “m” y “n” respectivamente. De lossiguientes enunciados cuáles son

verdaderos:I. El grado del polinomio producto

P x Q x es igual a m n.

II. El grado del polinomio suma P x Q x es igual a m n.

III. El grado del polinomio diferencia P x Q x es menor o igual que el valor

máximo de “m” y “n”.

a) Sólo II b) I y II c) II y III

d) I y III e) I, II y III

6. Señalar el coeficiente del





18

monomio a a b 2a bS x;y 2 5 a b x y

Si es noveno grado, y de octavo grado

relativo a “y”

a) 50 b) 100 c) 150

d) 200 e) 250

7. Si el grado de la expresiónreducida equivalente a:

3 8 ;

n

x M x x es uno:

Hallar el grado de:

2 8 18 32

" " min

... x

n tér os

P x x x x

a) 50 b) 72 c) 98

d) 128 e) 162

8. Halle “a” si el equivalente de:

5 36 4 a aM(x) 3x 21x x 2x , es un monomio de

grado 8.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

9. Dado el monomio:

2 n3 42 5 2 m

x y x y x y

Si: xGR 2 y GA 5 ; hallar mn

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

10. Si la suma de los grados absolutosde los términos de:

b 72b 14

aaax 5ab xy by

es:

210

a 1 .¿Qué

valor asume “b”? a) 13 b) 14 c) 15 d)

16 e) 17

11. Si el grado del polinomio:

n n 2 3

8 2 3 3P x 9x 1 2x 3x 1 3 x

es 47

Determinar: 10 Coef. principal de P x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

12. ¿Qué valor debe asignarse a “n” en

la expresión: n

n 2 n 1 n n 1x x y y

de modo que su grado absoluto excede

en 9 al grado relativo a “y”.

a) 2 b) 4 c) 1 d)9 e) 3

13. Determinar el grado del producto: 2 12 36 80

10 pa réntesis

P x x 1 x 1 x 1 x 1

a) 3025 b) 3045 c) 385

d) 3036 e) 3410

14. Cuántos factores han de tomarse enla expresión:

2 6 12P x x 1 x 2 x 3

Tal que P x sea de grado 330.

a) 10 b) 12 c) 13 d) 9 e) 8

14. Clasificar el polinomio de variables x,y:

n 4 n 3 n 3 n 2 n 2 n 1 n 1 nn 3 x y n 2 x y n 1 x y nx y

Siendo:

1327

12 5n 1 02 4

a) homogéneo b) ordenado

c) irracional d) completo y ordenado

e) completo en y

15. Dado el polinomio: 2m 1 3 m m 2

P x mx 3x m 2 x





19

Ordenado en forma decreciente, la suma

de sus coeficientes, es:

a) 1 b) 2 c) –1 d) 0

e) 3

16. Si el polinomio x, yP es homogéneo

y la suma de sus coeficientes es 19.

7 b a 2b a 16

x,yP 2a 3 x 2 4 b x y

Hallar el

valor de (a+b)

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

17. Si xP es completo y ordenado

hallar (a + n) si tiene (2n+8) términos.

n 3 n 2 a 4

xP x x ..... x

a) 9 b) 3 c) 10

d) 12 e) 11

18. Si el polinomio homogéneo:m 5 n 3 m 4 n 2

(a;b)P a b a b ... , es ordenado y

completo con respecto a “a”, calcular “m

+ n”. Si es de décimo grado en “a” y

grado quince en “b”.

a)10 b)12 c)11 d)13 e)14

19. El polinomio completo y ordenado:

4n 1 4n 2 4n 2 4n 1

P x, y x x y ... xy y

Que

también es homogéneo, se verifica que la

suma de los grados absolutos de sus

términos

Es 240, según esto halle Ud. Su grado de

Homogeneidad.

a) 20 b) 15 c) 10 d) 5 e) 25

20.

Si el polinomio xP es completo y ordenado. Hallar el número de términos. n 9 n 8 n 7

xP n 2 x n 3 x n 4 x ......

a) 5 b) 7 c) 9 d) 3

e) 10

21. Si se cumple:

d 1 b c a 4 a 1 a

7x dx bx 1 ax 2a 1 x 5x c Hallar el

valor de: a b c d

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

22. ¿Cuál o cuáles de las siguientesproposiciones son falsas?

I) 3 2 2 2 2 2 4

P x, y, z x y x xy xyz 3x y x y z y

es un polinomio homogéneo.

II) 3 2P x 4x 3x 6x x 2 x 8 1 es un

polinomio completo.

III) Q x 4 x 3 2 x 4 x 5 2x x 2 2 x 2 6

es idénticamente nulo.

a) I y II b) III c) II y III

d) solo I e) solo II

1. Reduzca el polinomio “p” si sustérminos son semejantes.

m 2n m 3 2 n 2 p x; y 2m x y 3nx y

mn 0

a) 2 5x y b) 2 2

1 6 x y c) 5 225x y

d) 2 225x y e) 2 5

25x y

PARA CASA





20

2. Si el grado del polinomio:

n n 2

2 3 5R x 25x 7 100x 1 2x 1

; es 49

Calcular: n 6

a) 10 b) 4 c) 16 d) 5 e) 6

3. Si el monomio: n P x x x x x es de

cuarto grado. Calcular el valor de “n”. a) 64 b) 16 c) 50 d) 78 e) 14. Qué valor debe tomar “n” paraque la expresión adjunta:

3 3 31 1 nx x x x

Sea de segundo grado:

a) 39 b) –39 c) 29 d) –29 e) –

27

5. Sean los polinomios: P x , Q x ; G.A. P G.A. Q

Si el grado de: 3P Q

Q

; es 12 y el grado de

4 P Q es “2”

Determinar el grado de P x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 56. Determinar el grado del polinomioP(x) sabiendo que el grado de

2 3

. P x Q x Es 21; además que el grado

de 4 2

. P x Q x es igual a 22

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7

7. Si el grado del siguiente monomio5 3 mm46 x2xx9x3 Es 8

El valor de “m” es:

a) 2 b) 6 c) 9 d) 12 e) 16

8. Si el grado del siguiente monomio

: 5 36 4

333 555 888a a

M y y y y y es 8,entonces el

valor de “a” es: a) 2 b) 6 c) 9 d) 12 e) 169. Calcular “n” si el monomio es de

2do grado:

3 7n 2 3n

21 n 2

x . xM x

x

a) 6 b) 8 c) 10 d) 7 e) 9

10.

Si la expresión:242n

423n232n

)x )x((

x ]x )x[( )x( S

se reduce a un monomio de 8° grado,halle el valor de “n”.

a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6

11. Halle “n” si la expresión:

3 4 52 5 n 2n 3n

M x 2 a x x x

Es de grado “22” a) 22 b) 25 c) 30 d) 40 e) 4512. Si el trinomio:

c cab cba ba xxx ; es

Homogéneo, de gado 10 de qué grado es

el monomio ?z.x.xb cc aa b

a) 7 b) 13 c) 27 d) 33 e) 30

13. Si el polinomio siguiente:

n 2 m n 3 m 1 n 1 m 1

P x;y 2x y 3x y 4x y

Es homogéneo de grado 10 y G.R. x 6 .

Hallar:

m n

n m

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6





21

14. En el siguiente polinomiohomogéneo

2

a 2b2 a b 256P x, y, z a x 4aby 9bz

Con; a, b 0 la suma de sus coeficienteses:

a) 2 b) –2 c) 3 d) –4 e) 4

15. Dado el polinomio homogéneo:

a 3 b a 3 4 c 2 b 2

P x,y 10x 2ax (x y ) x y

El valor de: “ a b c ” es:

a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 9

16. Hallar m p b si el polinomio es

completo y ordenado descendentemente. m 18 m p 15 b p 16

P x 5 x 18 x 7 x

a) 72 b) 18 c) 34 d) 20 e) 70

17. Calcular "mn" en la siguienteidentidad:

2 x 7 m x 2 n x 3

a) 20 b) –8 c) 8 d) 16 e) 24

18. Hallar el número de términos en:

m 7 m 6

m 5

M x m 1 x m 2 x

m 3 x .....

Si es completo.

a) 6 b) 24 c) 9 d) 719. Si se cumple la siguienteidentidad:

a x 3 b x 4 7 2x 3

Calcular: 3

a b

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

20. El grado de polinomiohomogéneo:

3 m 4 2 n 10 6 pT x, y, z mx y z nx y z pxyz

Es 10 entonces la suma de loscoeficientes es:

a) 16 b) 15 c) 13 d) 21e) 23

21. Halle n si:

(2) (4) (6) (2n)P P P ....P 145

Donde (x)

x 1P

x 1

a) 10 b) 24 c) 45 d) 72 e) 145

22. Si el término independiente delpolinomio 2F(3x 2) 9x 6x 10 m es 12.Calcule F(5)

a) 13 b) 27 c) 35 d) 16 e) 31

23. Sabiendo que; x1; y: f(x) =1x

1x

,

Calcular f[f(x)]

a) 3x b) x c) 1 d) 2x e) N.A.

24. Siendo f(x) una función definidatal que:f(x) = f(x-1) + f(x-2)

Además: f(1) = 3 ; f(2) = 4

Calcular: f[f[f(0)]]

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

25. Sea f(x) un polinomio que cumplecon f(x+1) = 3 f(x) - 2 f(x-1)

Además f (4) = 1 y f (6) = 4

Calcular f (5)

a) 1 b) 2 c) -2 d) -1 e) 0

26. Si: 2f x x 2x 2 .

Calcular:

VALOR NUMERICO





22

M f f 3 f 2 1

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

27. Si: 2f x 4 x 4x 5

Hallar: “ f x ”

a) 2x 4x 5 b) 2

x 4x 5 c)2

x 4x 5

d) 2x 5 e) 2

x 5

28. Si: f x 1 x 3

Hallar:

f x 7 a) 11 b) x 10 c) x 12

d) x 11 e) x 8

29. Si: f x ax b y f 2 11 ; f 2 5

Hallar el valor de: f 3

a) 13 b) 12 c) 16 d) 18 e) 15

30. Si:

2P x 2 x 4x 4

Hallar: E P 3 P 4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5

31. Hallar “ f x ” si se conoce que: f x 3 4x 2

a) 4x 6 b) 4x 3 c) 4x 10

d) 4x 10 e) 4x 6

32. Si:

2

5x 1 ; Si : x 3

f x x 1 ; Si : 3 x 5

3x 4 ; Si : x 5

Calcular:

f 9 f 3 f 0

f 9 f 3 f 0

a) 37

30 b) 37

30c) 35

30

d) 35

30e) 34

30

33.

Siendo:21

P ax 3x 1ax 1

Obtener: 1P

2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 0

34. De la expresión:2012 20111

2 41

x P x x

x

Hallar el valor de P 1

P 3

a) 2 b) 4 c) 256 d)0 e) 1

35. Si: 2 3P x 1 x x x

Calcular: P 1 x

a) 1

xb) 1

x 1c) 1

1 xd) 1

x 1e) x

36. Hallar “n” si el grado de:

nn

nn

nn n

n

n )2x.( 1xx

Resulta ser 272.

a) 1 b) 2 c) 16 d) 4 e) 272

37. Dados:2nnn

nnnn

nnn 1x7x3)x(Q;3x7x3)x(P

R(x) 11x+1

Si: grado de 289)x(R.)x(Q),x(P . Calcular el

grado M(x) siendo:

M(x) (11xn + 1)2 (x2n - xn)

PRACTICA IV





23

a) 12 b) 6 c) 15 d) 9 e) N.A.

1) Sí 5 3

2 3 2 3 P x x x x x . Hallar

el término independiente de P x .

Rpta. 11

2) Calcular la suma de coeficientes de:

20 7 31 2 5 P x x x x

Rpta. 5

3) Si el monomio2

3 2

m

m

x x

x

es de tercer

grado. Hallar el valor de m .Rpta.22

4) Hallar la suma de los coeficientes delpolinomio completo

a b b c a c P x c x x a x x b x x abc

Rpta. 18

5) En la siguiente identidad depolinomios

5 6 5

23 2 3 2 8b a d c c c

x bx dx cx c x x a

El valor de a b c d , es:

Rpta. 20

6) Hallar la suma de los coeficientes delpolinomio ordenado en formadecreciente

2 1 3 23 2m m m P x mx x m x

Rpta. 3

7) Sea:

1 1 2 2

3 1

, 2 3 7

6

m n m n m n

m n

P x y x y x y x y

x y

El grado relativo a x es 12 y el grado

absoluto es 18. Hallar GR(y).

Rpta. 7

8) Determinar el término independientedel polinomio:

2 1...

n m P x x x mx m n

Que es completo, ordenado y de

grado 7.

Rpta. 12

9) El grado del polinomio 3 2 6, , a b c

P x y z ax y z bx y z cxyz , es10,

hallar la suma de los coeficientes.

Rpta. 0

10) Construir un polinomio desegundo grado, si el coeficiente de x y del término independiente soniguales. Además 1 7 P y 2 18 P .

Hallar el coeficiente de 2 x .Rpta. 3

11) Si el polinomio 2 2 2 2, 10 5 2 P x y m x y nxy x y xy Hallar

n

m .

Rpta. 225

12) Si 4 2 236 6 13a x a a a x , Hallar los

valores de a .Rpta. 2, –3

13) Si el polinomio

2 1 7 2 3, 3

m n n P x y x y x y

es

homogéneo de grado 16. Hallar m n .Rpta. 2

14) Si el grado del monomio

5 36 43 9 2m m x x x x es 8. Hallar el valor de

m .Rpta. 12


2

2 3 3 53 5 5 7 2 3

n nn m n

P x x x x

Es 49.

Hallar 6n .

Rpta. 4





24

16) Hallar el grado absoluto delpolinomio

8 7 10 9 12 11

52

...

factores

P x x y x y x y

Rpta. 3068

17) En el polinomio

9

68 27,

nn

n P x y nx y x y . Hallar la suma

de sus coeficientes.Rpta. 62

18) Si el polinomio

5 2 432

n

n n n P x x nx x x ax es

Mónico. Hallar el valor de n a .Rpta. 4

19) Hallar el coeficiente de

3 2 51, 9

3

nm m n m n

P x y x y

, si su grado

absoluto es 10 y el grado relativo a x es7.Rpta. 1

20) Si 2 2 8, 15 2a b a b b b a a b P x y x y x y x y

es

homogéneo. Hallar el valor de ab a b

.Rpta. 160

21) Hallar el coeficiente den m 3m 2 5m n1

E(x, y) ( ) 9 x y3

, sabiendo que

su grado absoluto es 10 el grado

relativo a x es 7.

Rpta: 1

22) El grado de la expresión

2 4(4) 6(9)

n factores

E(x) x 1 x 1 x 1 ... Es:

Rpta: 22n n 1

2

23) El grado absoluto del polinomio:P(x,y) = (x3 y+x)5(x5 y+x2)5(x7 y+x3)5

…20 factores, es:

Rpta. 2300

24) Qué valor debe asignarse a n en laexpresión:P(x,y) = (xn+2+xn+1 y n+y n+1)n

De modo que su grado absoluto

exceda en 9 al grado relativo de y.

Rpta. n=3.

25) Hallar el valor de n para que el

grado del monomio:41

36 5 4

( )n n

n

x x M x

x

,

sea 1.Rpta. n=8

26) Si el grado de la expresión:2122 )8()5()( mmmmmm

x x x x x P Es 108.

Hallar el valor de m donde m>2.

Rpta. m=7

27) Hallar la suma de todos los valorede n, para que:

2 1 19 6( ) 4 5 3 6

n

n n n P x x x x x ;

Sea un polinomio.

Rpta. 36.

28) Si el menor grado absoluto que sepresenta en uno de los términos delpolinomio:

646256)2(2),(

nnnn xy ynx y x y x P Es

2. Hallar el grado absoluto del

polinomio. Rpta. 13.

29)

Dado el polinomio:





25

124112358)(63),(

y x x y x y xbababababaQ De

grado absoluto 22 y grado relativo

respecto a (a) ES igual a 9.Hallar x y

Rpta. -7

30) Dados los polinomios P y Q dondeel grado absoluto de P es 14 y elmenor exponente de x en elpolinomio Q es 10. Indicar cuál es elgrado absoluto del polinomio Q.

m 7 n 2 m 4 n 1 m 2 n 12P x, y 3x y 2x y x y

5

3m 7 n 1 3m 5 n 4 3m 1 n 6Q x, y 4x y 2x y 3x y

Rpta:24

31) Hallar el valor de n si GA(P)=3;GA(Q)=4 y se conoce que el grado

absoluto de la expresión

27 5

35 4

n

n

P Q

P Q

es

igual a 4.Rpta:2

32) Sea 4 5 72 3m m mQ x mx mx mx

,

un polinomio de quinto grado. Señalael coeficiente del término cuadrático.Rpta:27

33) Si 2a b

b a , donde 0, 0a b . Hallar

el valor de:

2 2

2 2

1 3

3 1

a b H

a b

.

Rpta:1

34) Si el monomio2

3 2

m

m

x x

x

es de cuarto

grado. Calcular m .Rpta:28

35) Si los exponentes de las variablesdel polinomio son iguales, reducir la

expresión, siendo 6 42 a b a b

P x a b x ab x b a x Rpta: 5 x


2

2 3 650 10 200 1 5 1m m

P x x x x

Es 75. Hallar el valor de m . Rpta:15

Nos pide (a + b + c + d)=20

37) Sí2 2

5

3

ab

a b

; que valor se obtiene

para2 2

a b E

b a

Rpta:-1/5

38) Si 2 p q r , pq pr qr , Hallar el

valor de 2 2 2 p q r .

Rpta:4

39) Si 4a b , 5ab . Calcular3 3

2 2

a b E

a b

Rpta:2/3

40) En el polinomio

9

68 27,

nn

n P x y nx y x y

. Hallar la

suma de sus coeficientesRpta:62

41) Encuentre el grado absoluto máximode:

3 2 2 3 6

112

, , 2 4n n n n

n

n

P x y z x y z x y

xy z

Rpta:10

42) Si el polinomio

PRACTICA I productos

notables





26

5 2 432

n

n n n P x x nx x x ax

, es

Mónico, determinar el valor de n a Rpta:4

43) En el polinomio

2 21 2 3 3 2 32 2

n n P x x x x , el

término independiente es el doble de

la suma de coeficientes. Determinar

el valor de n .

Rpta:1

44) En el monomio

3 3 35 1 4,

n n P x y x x x y el grado

relativo respecto a x es 3 , hallar el

grado relativo de la variable y .

Rpta:43

45) Si en el polinomio

2 2

2 4 2 65 3n n

P x x x x El

termino independiente es igual a la

suma de coeficientes de P x . Hallar

el coeficiente principal de P x .

Rpta:65

46) Si 3 2 P x x y 23 2 P G x x x ;

hallar 2G .

Rpta. 10/3

47) Si , 0 P x y , donde

2 2 2, 4 20 P x y a xy b x y ax y . Calcular

ab .Rpta. 8

48) Si el grado del producto

2 2 94 2 33 2 3 3 8

n n

P x x x x x

Es 47, el

valor de n es:

Rpta. 4

49) Si 1 5 x x , el valor de 3 3

x x , es:

Rpta. 140

50) Si 2a b y 3ab , el valor de3 3 2 2

M a b a b , es:

Rpta. -1251) Si 3 3 5 x y y 1 1 xy x , el valor de

2

x y , es:

Rpta. 4

52) Si 5a b c y 2 2 2 7a b c , el valorde ab ac bc , es:Rpta. 9

53) Si 0ab , la expresión simplificada

de:

2 22 2 2 2

2 23 3 3 3

4a b a b a b

M a b a b

, es:

Rpta. 4

ab

54) Al efectuar la expresión

21 1 1 1 x x x x M a a a , se obtiene:

Rpta. 4a

55) Sabiendo que 7a b c y 2 2 2 31a b c , el valor de 18 2ab

E

ac bc

, es:

Rpta. 2

56) Al simplificar la expresión

2 2

2 2

ax by ay bx E

x y

, se obtiene:

Rpta. 2 2a b

57) Calcular P(1,1) a partir de:2 2 3 3 1 2 2 3 4( , ) a b a b P x y a x y b x y

2 1 3 2 2 2 3 3

2a b a b

abx y x y

Sabiendo que su grado absoluto es 24

y los grados relativos respecto a x e y

son iguales.

Rpta. 65.

58) Hallar un polinomio de segundogrado cuyo coeficiente de x y eltérmino independiente son iguales,además P(1)=7 y P(2)=18. Dar como

respuesta el coeficiente de x2

.





27

Rpta. 3

59) Sabiendo que 2( 1) 1 P x x , el

valor de)3(

)2()0( P

P P E , es:

Rpta. E=4/17

60) Dado el polinomio:2 2( 1) (2 3) (3 2) 32( 2)n n P x x x x Si se

cumple que el término independiente

es 2 veces la suma de los coeficientes

del polinomio P x , el valor de n, es:

Rpta. n=1

61) El polinomio:8 2 3 2 9( ) (9 7) (2 3 1) ( 3)n n P x x x x x

Tiene como

grado 47. Determinar la raíz quinta

del coeficiente principal.

Rpta. 9

1 En la siguiente identidad de polinomios5 6 5

23 2 (3 2) 8 .b a d c c c

x bx dx cx c x x a

El valor de ,b d

a c

es:

a) 3 b) 4 c) -4

d) 5 e) -3

2 Si el polinomio18 15 16

( ) 9 12 15 ,a a b c b

P x x x x es

completo y ordenado en forma

decreciente. Calcular .a b c a) 32 b) 52 c) 72

d) 82 e) 94

3 Si el polinomio2 1 7 2 3

( , ) 5 ( )m n n

P x y x y x y es homogéneo

cuyo grado de homogeneidad es 16.

Determinar los valores de m y n

respectivamente.a) 2,6 b) 6,8 c) 5,8

d) 7,5 e) 6,9

4 Si el polinomio cuartico2 2

( ) ( 3)n

P x a x ax a , es Mónico, halle

el valor de (2 ) ( ). P n P a

a) 28 b) 42 c) 36

d) 0 e) 26

5 Si el polinomio2 9

( , ) (2 3) (2 4 )b a b a

P x y a x y b x y es

homogéneo y la suma de sus coeficientes

es 9, hallar el valor de .ab a) 28 b) 42 c) 28

d) 42 e) 16

6 Si el polinomio2 2 1 2 2

( ) 2 (2 1) (2 2) ....a a a

P x ax a x a x es

completo y de (4 )a términos, hallar el

valor de “a ”. a) 3 b) 5 c) 6

d) 2 e) 4

7 5._ Determinar el grado relativo de

8 16( , ) a a b b P x y ax abx y by respecto a “ y ”, sabiendo que es

homogéneo.a) 33 b) 3 c) 20

d) 24 e) 22

8 Si 2 2 6 6( , ) ,

a b a ba a

P x y a x bx y ax y

es un

polinomio homogéneo, hallar la suma de

sus coeficientes.a) 7 b) 5 c) 6

d) 4 e) 5

9 Si 3 2 1 1 3 1( ) 4 5 ,

m n m n P x x y x y

es

homogéneo y la relación de los

exponentes de “ x ” en sus dos términos

es como 3 a 1, el valor de

( )m n Es:

POLINOMIOS ESPECIALES





28

a) 4 b) 7 c) 1

d) 26 e) 3

10 Dado el siguiente polinomio ordenado y

completo:1 2 3 1

( ) ( 1) ( 2) (2 1) ( 1) 1m m q p

P x n x m x p x q x

, la suma de coeficiente, es:a) 14 b) 13 c) 14

d) 12 e) 10

1._ Si: calcular:

M=

a)40 b)35 c)20 d)30 e)15

02._ Efectuar:

a)

b)

c)

d)

e)0

03._ Si: x + y=4; Calcular:

E=

a)6 b)-4 c)-3 d)-6 e)2

04._ Si: √

Entonces es:

a)6 b)-7 c)-9 d)12 e)10

05._ Si:

Hallar:

a)243 b)240 c)728 d)120 e)3

06._ Sabiendo que: ; determine

el valor de:

a)49 b)36 c)25 d)18 e)23

07._ Determine:

a)(a-2)(a+2) b) √ c)(a-√ )(a+√ ) d) e)(a-√ )(a+2)

08._ Si: entonces es:

a)27 b)6 c)12 d)0 e)4.3758

09._ Hallar el V.N. de:

Si: mn=2 y m+n=√ .

a)2 b)1 c)√ d)3 e)4

10._ si:

Calcular:

a)12 b)13 c)√ d)√ e)11

11._ si: , el valor

de: ,es:

a)3 b)4 c)5 d)6 e)2

12._ calcular:

Si:

a)2 b)3 c)1 d)4 e)6

13._ calcular:

√

√

PROD. NOT. I





29

a)x-3 b)3 c)x d)-3 e)√

14._calcular: a) b) c) d) e)

15._ la expresión simplificada de: es:a) b) c)

d)

e)

16._ hallar el V.N. de: Para: √ √

√

a)0 b)10 c)47 d)50 e)40

17._ sabiendo que: x + y + z = 1Calcular:

a)1 b)-1 c)-3 d)3 e)2

18._ si: x + y + z = 3xy + yz + xz = 0calcular:

a)3 b)2 c)-2 d)-1 e)1

19._ calcular el producto abc, sabiendoque: a)no se puede determinar

b)80 c)70 d)60 e)75

20._ sabiendo que:

Calcular: abc, además:

a) b) c) d) e) _ sabiendo que: Calcular:

a)1/3 b)3 c)2 d)1/2 e)1

22._ evaluar:√ a)2 b)4 c)8 d)16 e)32

23._ si: √ √ √ √

Calcular:

a)4 b)

√ c)2 d)

√ e)

√

24._ si: √ √

Calcular: √ √ a)2 b) c)1 d) e)0

25._si: √ √

√ √

Calcular el valor de:

a)1 b)0 c)m+n d) e)n-1

26._ reducir: a) b)m c)m+3 d)m+4 e)m+8

27._ determinar el valor numérico de:





30

Siendo:√ √ √ √ a)1 b)-1 c)2 d)-2 e)√

28._ si: a + b + c = 0, reducir:

a)1 b)0 c)3 d)-1 e)2

29._ si se tiene como suma ¨s¨ y producto ¨p¨ de dos cantidades x, y,entonces:

es igual a:

a) b)

c)

d)

e)

30._ siendo que: Calcular:

a)0 b)n c)

d)n-1 e)

31._ sean ¨a¨ y ¨b¨ números realespositivos, tales que: y 0 1

a) b) c)

d) e)

32._ si:

Calcular:

a)2 b)1/2 c)3 d)1 e)0

33._ si: x + y + z = 6, calcular:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)6

34._ hallar el valor numérico de:

Para: √ √ √ a)4 b)5 c)6 d)7 e)8

35._ dado: Hallar el valor de ¨M¨:a)2ª b)2b c)-2ab d)

e)

36._ dado el polinomio:

Obtener: . √ √ /

a)0 b)217 c)216 d)215 e)218

37._ el valor numérico de:

;

Para x = 999 es:a)19990 b)991000 c)100000d)999000e)998000

38._ si: √ √

Calcular:

a)√ b)√ c)0 d)2 e)1

39._ si:





31

Dónde:

Calcular:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

62) En las siguientes igualdadesmarcar con (V) si es verdadera o con(F) si es falsa.

I)

2 2 3 3 x y x xy y x y

II) 2 2 4 21 1 1 x x x x x x

III) 2 2 2 2 2 x y z x y z xy yz xz

La secuencia correcta, es:

Rpta. FVV

63) Al reducir la expresión

3 3 3 3

4 4

x y x y x y x y M

x y

, se

obtiene:

Rpta. 264) Reducir

5 6 ... 9 10 120 P x x x x x

Sabiendo que 2 15 58 0 x x .

Rpta. 56

65) Si 2 10 24 49mx m x es un trinomiocuadrado perfecto, el valor de m , es:Rpta. 25

66) Para 6x 3 . ¿Cuánto vale laexpresión?

2 2 4 2

8 4 8

x x 1 x x 1 x x 1

x x 1 x 1

Rpta:80

67) El equivalente de

2 4

x 1 x 1 x 1 x 1 ... ,

n factores, es:

Rpta:n 12

x 1

68) Sabiendo que1

x 3x

, determinar

el valor de:

1 1

x xx x1 1

A x ( ) x ( )x x

Rpta:20

69) Si x 2 3 2 3 y

y 3 2 2 3 2 2 calcular el valor de4 4x y .

Rpta:52

70) De los siguientes productos

I) 6 3 2 4 6 3 2 4 x x y y x x y y

II) 2 23 1 3 1 x x x x

III)

2 23 9 3 9 x x x x

IV) 1 1 x x x x

Los que corresponden a la identidad

de Argand, son:

Rpta: I, II y IV

71) En las siguientes igualdades marcar

(V) si es verdadera y con (F) si esfalsa según que corresponde

I) 2 2

2a b a b a b

II) 2 2 2 2

2a b c a b c ab ac bc

III) 3 3 3 3

3a b c a b c a b a c b c

IV) 27 8 5 6 3 2

Rpta: FFVV

PRACTICA I





32

72) Simplificar la expresión:

2 2 4 2 2 4 2 23 3a b a a b a a b a b a b Rpta:

2 2a b

73) Sí 3 3; x y x y . Hallar

2 x y

xy

Rpta:-3

74) El valor de m, para que elpolinomio:

2532),( 22 y ymxy x y x P ,

Sea equivalente al producto de dos

trinomios lineales, es:Rpta. 7

75) El resultado de efectuar:

22

22

66

22

y y x y x

y xS

, empleando

identidades es:

Rpta. 22 y x

01._ Dado:

Determine:

a) 1 b)-2 c)3 d)2 e)-1

02._ Siendo:

Calcular el valor reducido de:

a) 1 b)2 c)4 d) e)

03._ Halle:

a) 8 b)4 c)3 d)2 e)1

04._ Si: .Halle:

a)24 b)63 c)52 d)41 e)84

05._ Si:

Reduce:

a) 2 b)1 c)b d)ab e)a

06._ Calcular: , si se verifica:

a)12 b)14 c)18 d)16 e)11

07._ Si: ; ;

a) 2 b)18 c)24 d)32 e)26

08._ La suma de dos números es 2 y lasuma de sus cubos es 5 .Hallar la sumade sus cuadradosa) 0 b)2 c)5 d)1 e)3

09._ Si:

Calcule:

a) 0 b)2 c)3 d)6 e)7

10._ Si , calcule el valor de

a b1;

b a a, b 0

4 4

2 2

a b

a b

ab2

a b

2 2 2(a b) a b

Ea b

3

2

1

2

n 1

nn 1 n 1

a b;

a b

n N n 2

x41 x2 33 x x

a b c a b c

ab

2 2R a b

3 3a b 40

ab 2

3 3

x y 280 x y 10 xy ?

2x 3x 2 0

x x 1 x 2 x 3 2 2

2x 1 2x

2 4

3

x 1 x 1

x

c

a

b

PRACTICA II





33

a) b) c)

d) e)

11._ Si: ;

Calcule:

a)10 b)2 c)8 d)15 e)32

12._ Halle , si:

a) 1 b)2 c)5 d)4 e)3

13._ El área de un cuadrado de lado “a +

b” es 8 veces el área de un triángulo de

base “a” y altura “b” calcule:

a) 4 b)-2 c)-3 d)1 e)3

14._ Si se cumple que:

Reduzca:

a) 3 b)5 c)4 d)7 e)9

15._ Si: ;

Calcule:

a) 2 b)5 c)4 d)8 e)1

16._ Si:

Calcular:

a) 1 b)2 c)5 d)4 e)3

17._ Si: , calcule:

a) 3 b)1 c)-1 d)-2 e)3

18._ Si: , ,

Determinar el valor de “ ”

a) 6 b)7 c)5 d)4 e)3

19._ Si:

20._ Calcule:

a)160 b)150 c)360

d)720 e)320

20._ Halle “m” si la expresión

algebraica:

Es un trinomio cuadrado perfecto.

a) 1 b)2 c)5 d)4 e)3


2 6 3 6 4 6

4 6

2 2x a 12a x a a 0

2 2 2

2

a x mx 3m 6a

6c a 2cx

3 )] x/ y [()] y / x[(

5 y x

5.0 xy

4 4

2 22 2 2 2

a b a b

4a b 4a b

x y2

y x

7x 2y x 3yE 3

x y

x b x b b x b 0

x b x b

235C

5232B

325U

.U.B.C

UBCE

333

x y z 1

3 3 3

2

x y z 3xyzE

x y z 3 xy xz yz

3 3x y 133 xy x y 70

x y

ab bc 8

bc ac 9

a,b,c CR

ac ab 5

2 2 2a b c 14

M abc 6 c 6 b 6 a

8436 my y x5m4 x9





34

22._ Calcule:

a)16 b)12 c)15 d)7 e)5

Si: , calcular:

a) a b)1 c)3 d)2 e)4

23._Reducir a su mínima expresión:

a) 4ac b) 4bc c) 4ab

d) e)

24._ Si:

Calcule:

a) 9 b)4 c)8 d)6 e)2

25._ Hallar:

Si:

a)-8 b)-9 c)-10 d)-11 e)11

26._ Hallar el valor de “m” si se sabe que

la expresión:

Es un trinomio cuadrado perfecto.

a)20 b)22 c)26 d)25 e)24

27._ Si:

…(I)

…(II)

…(III)

Halle:

a)16 b)25 c)36 d) 9 e)11

28._ Por cuanto hay que multiplicar a:

, para obtener:

a) 8 b)4 c)2 d)6 e)0

29._ Reducir:

a) b) c)

d) 4 e) 0

30._ Sean números que verifiquen

.

Calcule el valor de

a)45 b)69 c)81 d)112 e)213

31._ Teniendo en cuenta:

Reducir:

a) n b)2n c)3n d)4n e)5n

32._ Si:

Halle:

a) b)2n c)0 d)2 e)1

x y z xy yz zx xyz2

2 3 4

3 3 3E x y z

a 4 b4

b a 3

a 6bS

3b a

a b c a b c b a c a b c

22b

22a

x

16)2 x()2 x( 22

1 x

1 x

1 x

1 xE

2 2 2L x 2y y 2z z 2x

2 2 2x y z 5 xy xz yz 9

2P(x) mx 10 m 24x 49

a b c 6

2 2 2a b c 14

3 3 3a b c 36

2 2 2E a b c

)ba( 44

)ba)(ba()ba)(ba( 3333

2 2 2E a b a c b c 2

a a b b c b c a c

a b a b a c

a;b

a b 15 ab 9

2a b

2n n 1 ; n R

2 482 4 8

1 1 1 1L n n n

n n n n

nnmnm

nmnm





35

m

33._ Reducir:

a) ab b) 4ab c) 8ab

d) 16ab e) 32ab

34._ Si: , donde:

, y , el valor de

, es:

a)8 b)9 c)10 d)11 e)14

35._ Con:

Halle el valor de:

a) b) c)

d) e)

36._ Halle:

Para:

a)28 b)24 c)26 d)22 e)20

37._ Conociendo:

Según ello reducir:

a) abc b) 36 c) 14

d) 14 e)

38._ Siendo x; y son números reales que

cumplen , calcule el valor

de:

a) b)1 c)2 d)3 e)

39._ Siendo:

Hallar:

a) 4 b) 16 c) 33

d) e) 2

40._ Del gráfico:

Calcular el coeficiente entero positivo

luego de reducir la expresión:

41._ Dadas las condiciones:

Hallar:

a) 4 b) 16 c) 64

d) e) 2

42._ Sabiendo que:

2 2 22 2

a 2b a 2b a 16b 4b a

2a b c 4 ac bc

a b c 0

2 22a b b aE 2

c a b c

abc 0 a b c 1

2 2 2 3 3 3a b c a b c

N2 3

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

246 x9 x6 xE

33 6767 x

a 4 b 9 c 0

2 2 2a 2b 2b 3c 3c a

ab bc ac

a b c

2 2x y 5 2x 4y

x y

y

3

2

2

3

3 3ab 100 10 1

3a b 1 10

3ab a b

332

3333 )cb3()cab3()bac3()cba(

2 2 2a b c 2

a b c 1 ab ac bc 32

a b c ?

316

a

c

b





36

,el valor de:

, es:

a) 1 b)4 c)2 d)3 e)5

43._ Si:

Halle:

a) 2 b)4 c)6 d)3 e)1

44._ Si:

Calcule:

a) ab b)

c) a

d) b e)


Calcular el valor de:

a) 4 b)2 c) d)3 e)5

46._ Si:

Calcule:

a)2 b)3 c)9 d)1/2 e)1/4

47._ Si:

Hallar:

a) 8 b)1 c)2 d)6 e)4

48._ Sí ;

Halle:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 1 e) 0

49._ Sabiendo que: , con:

Reduzca:

a) 2 b)-1 c)0 d)1 e)4

50._ Si:

Halle:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

51._ Si:

Halle:

a) 1 b) 2 c)1 d) 5 e) 7


Reduzca:

a) 3 b)2 c)1 d)-3 e)-1

2a b c d 4 a b c d

a c b cEd b d a

1) y z)( y x(

z

y z

z x 2

222

x

y z

z

y x

y

xz

x x

f x a b f 3 1

3f 1

f 4 f 7

1

ab

2ab

2n 2n 2na b c 0

n n na b c

C

bc ac ab

2 2 2 2a b c a b c

2 2 2

abc a b c

ab bc ca

0b,a,62a

b

b

a

3ab

baM

2

a b c 3 ab ac bc a, b,c R

8a 5b 2c

a b c

3a = 1 a 1

5a + a + 1

a b 1

2 2 3 36 a b 4 a b

2a b c d 4 a b c d

c d

2 a b4

1 1 1 1

a b c a b c

3 3 3

3

a b c

(a b c)





37

53._ Si:

Calcule: , sabiendo que:

a)4 b)3 c)5 d)2 e)10

54._ Conociendo: .Halle:

a)30 b)20 c)25 d)45 e)35

55._ Si:

Encuentre:

a)4/3 b)1/5 c)2/5 d) 3 e)1/7


a+b+c 0,

Calcular el valor numérico de:

a) 3 b)2 c)1 d) e)

57._ Si:

Reduzca:

a) 2 b) 5 c) 9 d)12 e)15

58._ Sean:

a,b,c/ a + b + c = abc

Simplificar:

a)1 b)2 c)3 d)-1 e)-2

59._ Al reducir:

Resulta:

a) b) c)

d) e)

60._ Si:

Halle:

a) 3 b) 1 c) 7 d)xy e)

61._ Efectuar:

a)-3 b)-4 c)-2 d)-1 e)-5

4x y 5 2y xy 5

2 2x y x, y R

01 x3 x2

x x

1 x

1

x

x

1 x

x

1 xE

3 3 3

a b c 24 ... I

2 2 2

a b c 12... II

ab bc ac 12... III

1 1 1E

ab bc ac

3 3 3a b c 3abc

2011

20102011 2011 2011

a b cE

a b c

1

2

1

3

E L I 0

2 2 2

2 2 2E L 2I E I 2L L I 2EE L I

1 1 ab 1 1 bc 1 1 aca a b b b c c a c

4 42 2

2 2

a b a bE 16a b

a b

4a b 4a b a b

4a b

x y 3 xy

2 2

1 1xy

x y

2 2(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) (x 7 x 1 1)





38

62._ Si: ; es un trinomio

cuadrado perfecto, calcule:

a) 8 b) 4 c) 2 d)32 e)64

63._ Efectuar:

a) 9 b)2 c)4 d)3 e)6

64._ Si:

Halle:

a)16 b) 8 c)6 d) 3 e) 4

65._ Si:

E equivale a:

a) b)

c) d)

66._ Si , entonces el

valor de:

, es:

a) 1 b)2 c)3 d)4 e)0

67._ Si: a + b = 3

Reduzca:

a)-1 b)2 c)3 d)4 e)-2

68._ Si: y

Halle:

a b) c)

d) e)


Calcule:

a)-3 b)1 c)3 d)-2 e)2

70._ Si:

Halle:

a) 1 b)1 c) 0 d) 2 e)2

71._ Si se verifica:

Calcule el valor de:

a)16 b)20 c)21 d)25

2

f x ax bx c

28 b

a c

2 2 2(3x 2) (4x 6) (5x 6)

2 2 2 3 3 32 2a b c a b c a b c 4

7 17

abc ?

2 22 2 2 2 2 2 2E x y z E x y z x y z

x y z 2 xy xz yz

2 2 2x y z

xy xz yz

1 1 1 1+ + =

a b c a + b + c

6 6 6 6

3 3 3 3 3 3

a b c a b cE

a b b c a c

2 2(a c) (b c) 9

(a c)(b c)

1 1 1a b c 0

abc 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

a a 2b b b 2c c c 2aE

a b c a b c

a b c a b

a b c

a c b c

2(a b) a b 1 (a 1)(b 1)

2 2

2 2

(a b) (a b)

a b

5a 5c ac 0

5a c

a 5 5 c a c

3 3a b 124

a b 4

2 2(a b) (a b)





39

72._ Si: ;

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

73._ Si se verifica que:

(a + b + c)2 = 3(ab + bc + ac)

Encuentre el valor numérico queadquiere:

a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5

74._ Si: ; con ;

Evalúe:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

75._ Si: a + b + c = 0

a) 1 b)2 c)3 d)5 e)-3

76._ Efectuar:

a) x – y b)

c) d)

e)

77._ Reducir:

a) ab b) 4ab c) 8ab

d) 16ab e) 32ab

78._ Si:

; Evalúe:

a)45 b)47 c)49 d)51 e)53

79._ Si se verifica:

el valor de: , es:

a) 2 b)4 c)1 d)5

80._ Si: ; halle:

a) b) c)

d)√ e)√

81._ Si:

Calcular el valor numérico de:

a)17 b)35 c)70 d)42 e)76

82._ Si se cumple:

Calcular:

a 2 3 b 1 2 3; c 3 3

a a 1 a 1 b b 1 b 1 c c 1 c 1E

a bc 1 b ac 1 c ab 1

6

56 6 6

(a b c)Y

a b c

a b c 3 a 0 b 1 c 2

3 33a b 1 c 2

a b 1 c 2

2 2 2a(b c) b(a c) c(a b)

abc

y y y y 4 y 4yE x x x x x 1 x

3y 3yx x

6y 6yx x

2y 2yx x

2 2x y

2 2

a b c a b c 4 a b 2 a b c a b c

2 2

ab 5

5a b

8 8a b

b a

n n

n n

a b7

b a

n n

n n

2 2

a bx

a .b

x 2 23 2x

8

x 2S

2x

3 5 7

a b 3 ; ab 2

4 4L a b

a ac b bc ; a b

a b cJ

bc ac ab





40

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

83._ Tres números reales x, y, z verificanla igualdad:

con esto, evaluar la expresión:

a)-2 b)2 c)-1 d)-3 e)1

84._ Si: tal que:

Hallar el valor de:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

85._ Dados:

Calcular:

a) 1 b)2 c)3 d)-1 e)-2

86._ Si:

Evaluar:

a)22 b)33 c)44 d)66 e)88

87._ Reducir:

a) 3 b)9 c)

d)27 e)

88._ Si el grado del polinomio:

es 47

Determinar:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

89._ Dadas las condiciones:

Hallar el valor de: x – y

a)13 b)11 c)2 d)3 e)5

90._ Si:

Determine:

a)1 b)3 c)2 d)3/2 e)2/3

91._ Si:

Reduzca:

a) 2 b)3 c)4 d)5 e)6

92._ Si:

2 2 2x y z 14 2(x 2y 3z)

2 2 2x y z

Mxy

x,y,z

2 2 2x y z 14 2 x 2y 3z

3 3 3

x y z xyz

x y z

3 3

xy(x y) 1

x y 4

x yW

xy

3 3xy 100 10 1

2 2 3x y 10 1

4 4E x y x y

3 3 3(x y) (y z) (z x)

9(x y)(y z)(z x)

1

3

1

9

n n 2 3

8 2 3 3P x 9x 1 2x 3x 1 3 x

10 Coef. principal de P x

3 3x y 945

x y 15

a b c 5

2 2 2a b c 7

3 3 3a b c 8

1

1 1 1L a b c

2 2 2 2a d c b

4 4 4 4

2 2 2 2

a c b d

a c b d

2x z z

1z y x y z y





41

Hallar:

a) 1 c) 3 d) 4 e) 5 b) 2

93._ Siendo:

Calcule:

a)11 b)14 c)26 d)44 e)70

94._ Si:

Además:

Halle:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

95._ Si:

Simplifique:

a) 3 b)1 c)2 d) e)

96._ Si: y , entonces el

valor de: , es:

1._ si en una división:

P(x) = eldividendo; Q(x) =

el divisor

S(x) el cociente y R(x) el residuo,resolver la siguiente ecuación:Q(x) – S(x) + R(x) = 0a)2 b)4 c)1 d)6 e)5

2._ si la división: es

exacta, calcular: a – ba)6 b)5 c)7 d)9 e)8

3._calcular: (m + n), si: , esuna división exacta.a)-2 b)-1 c)2 d)3 e)0

4._ hallar () si la división es exacta:

a)81 b)82 c)83 d)84 e)805._ si la división:(

) +

Es exacta, el

valor de “p + q”, es: a)11 b)1 c)9 d)-1 e)-2

6._ si la división:

deja como resto .Hallar “m + n + p” a)6 b)5 c)7 d)9 e)8

7._ hallar “n”, si el polinomio

, es divisible entre a)3 b)1 c)4 d)2 e)5

8._ hallar “a”, si el residuo de la divisiónes -16

a)-1 b)-2 c)-3 d)1 e)2

2 2 2z x x y z y

R y z x

2 2 2

ab ac bc 11

a b c 14

2 2 2L (2a b) (2b c) (2c a)

x y z 0

y z z x x y9

x y z

x z yS

z y x

2 2 2a b c ab bc ac

6

56 6 6

a b cE

a b c

1

3

1

2

x 2 1 y 2 1

5 4 6 7

4 5 8 7

x y 1 x y 1M

x y 1 x y 1

DIVISION POR HORNER





42

9._ reconstruir la siguiente división porel método de Guillermo Horner.

5 (a + 6) 6b c 0-1 2 -a -b -3

Dar como respuesta: a)-4 b)1 c)10 d)8 e)6

10._ en la siguiente división:

el residuo

obtenido es de grado cero e igual a: . Calcular

a)13 b)12 c)18 d)10 e)11

1._ hallar la suma de los coeficientes queresulten de efectos de efectuar lassiguientes divisiones:

I)

II)

a) b) c) d) e)

2._ si al polinomio , se ledivide entre x + 1, se obtiene un cocientede grado “m”, término constante “b” y residuo “a”. Hallar “m + b + a”

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

3._ hallar la suma de coeficientes del

cociente en la siguiente división:

a)4 b)3 c)2 d)5 e)-3

4._ al dividir:

; el cociente del termino de 4to grado es:a)-3 b)3 c)2 d)27 e)-1

5._ encuentre el término independiente

del cociente:

a)-2 b)-1 c)2 d)1 e)0

6._ cual es el valor de “a”, si al dividir elpolinomio: ,entre x – 1, la suma de coeficientes delcociente es 161 y el residuo 16.a)-3 b)3 c)2 d)27 e)-1

TEOREMA DEL RESTONIVEL I

1._ calcular el valor de “a”, si elpolinomio , es divisiblepor x + 1a)4 b)5 c)2 d)1 e)3

2._ hallar “k”, para que el polinomio:

, sea divisible por

x + y

a)0 b)-31 c)20 d)32 e)-32

3._ hallar el resto en la división:

a)x – 1 b)x + 1 c)x – 2 d)x + 2 e)x + 3

4._ calcular el resto de:

a)14 b)13 c)12 d)15 e)16

POR RUFFINI

NIVEL I





43

5._ determinar el resto de la división:

a)20 b)19 c)18 d)17 e)16

6._ calcular el resto de dividir:

a)129 b)513 c)257 d)255 e)128

7._ el resto de dividir:

es:

a)17 b)16 c)15 d)19 e)18

8._ hallar “m”, si la división deja porresto

a)80 b)70 c)60 d)50 e)20

9._ hallar el resto al dividir: , es

exacta, los coeficientes del resto suman:a)x + 2 b)2x + 1 c)2x – 1 d)x + 1e)x – 1

10._ si la división: , es

exacta, los coeficientes del resto suman:a)-2 b)-1 c)2 d)1 e)0

NIVEL II

TEOREMA DEL RESTO


a)-14 b)6 c)21 d)-12 e)-10

2._ hallar el resto:

a)128 b)256 c)3 d)64 e)257

3._ calcular el resto:

a)x + 1 b)x + 2 c)x + 3 d)x + 4 e)x + 5

4._ hallar “n” si el resto de dividir: ;es 64

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7


a)127 b)513 c)257 d)423 e)136

6._ halle el resto en:

a)x + 8 b)2 c)8 d)x + 4 e)2x + 8

7._ calcule el resto de la división:

a)x – 10 b)x – 12 c)x + 1 d)x + 12e)x + 10

8._ hallar el resto de la división:

a)32 b)16 c)8 d)4 e)64

9._ calcular el resto en la división:

a)2x – 1 b)2x – 5 c)2x – 4 d)4xe)5

10._ el resto de la división: ;es:

a)2x + 3 b)26x + 31 c)26x – 31d)31x + 26 e)31x – 26ex.Adm.2012 I





44

11._ en el esquema de la división depolinomio por el método de Horner:

2 a -b c -d em 6 -4-n 0 0

-3 22 0 -1 -4 3

El valor de “a + b + c + d + e + m + n” es: a)25 b)20 c)17 d)19 e)23 Ex.ord.2010

12._ en la división:

La suma de coeficientes del cociente es36, el valor de “m” es: a)-1 b)-7 c)7 d)-10 e)101ªOP 2010

13._ si al dividir los polinomiosP(x)= entreQ(x)= , se obtiene un residuode (a + 2)x + (a + 3); el valor de (a + b)es:a)-5 b)5 c)-3 d)3 e)-4 Ex.1ª OP2010

14._ si al dividir los polinomiosP(x)= entreQ(x)= , se obtiene un residuoigual a (b + 6)x + (4 – a /2). El valor de( ) , es:a)16 b)20 c)22 d)18 e)14 Ex.1ªOP2009

15._ el resto de dividir: Entre es x + n + 3 hallarel valor de “n” a)4 b)6 c)-2 d)8 e)12

16._ si la división de

Entre

deja por residuo

. Hallar “w + h + m” a)14 b)24 c)-2 d)-12 e)-32

17._ si al dividir el polinomioP(x)= , entreQ(x)= , se obtiene un residuode la forma (e + 2)x + (e + 3), el valor de“e + n” es: a)4 b)3 c)-2 d)-5 e)12

18._ si la división de Entre deja como resto , hallar “m + n” a)14 b)13 c)-2 d)-12 e)-32

19._ los coeficientes de un polinomiocompleto de cuarto grado son númerosenteros consecutivos; si se divide dichopolinomio entre (x – 1) el resto es 35,

entonces el coeficiente del términocuadrático del coeficiente, es:a)3 b)7 c)11 d)8 e)2

20._ los coeficientes de un polinomiocompleto de cuarto grado son númerosenteros consecutivos; si se divide dichopolinomio entre (x - 2) el resto es 119.Calcular el coeficiente del término linealdel cociente.

a)20 b)24 c)32 d)25 e)2821._ si al dividir entre (x – 1) la suma de los coeficientesdel cociente es 176 y el residuo 20,entonces el valor de m es:a)13 b)11 c)16 d)2 e)9

22._ si al dividir entre (x – 1) la suma de los coeficientesdel cociente es 1064 y el residuo 56

entonces el valor de “r” es:





45

a)13 b)11 c)7 d)2 e)9

DIVISION DE POLINOMIOS:

76) Hallar el residuo de dividir:

4113

)9)(8)(7)(6)(5)(4(2

x x

x x x x x x

Rpta. 5

77) Hallar el valor de a, si al dividir:14)43()1()3()( 81

a xa xa xa x P nn Entre

1 x , el resto es 4.Rpta. 51

78) Los restos de dividir de P(x) porlos binomios 1 x y 2 x sonrespectivamente 8 y -7. Hallar el restode dividir P(x) entre 22 x x .Rpta. 35 x

79) Calcule el valor de a para que la

suma de coeficientes del cociente sea161, talque el resto es 16.

1

2251

x

abbxax

Rpta.3

80) Calcular m si el resto de ladivisión:

23 5

2

x mx

x

Es igual al resto de la

división22 1

2

x x

x

.

Rpta. 3

81) Calcular el residuo de la división:2 2 2(3x ) 2(2x) mx 3m

3x 2

Si el cociente evaluado en cero es 3.

Rpta. 9

82)

En la división:4 3ax ax ax 1 Entre 2x x 1

El residuo es 4.

Hallar la suma de coeficientes del

dividendo.

Rpta. 10

83) En el esquema de la división de

polinomios por el método de Hornner2

6 4

0 0

3 2

2 0 1 4 3

a b c d e

m

n

Hallar a b c d e m n

Rpta:19

84) Si en la división

39 383 1 3 4 14

1

a x a x a x a

x

El resto

es 4 , hallar la suma de coeficientes

del cociente

Rpta:315

85) Calcular m n , si la división es

exacta 4 3 2

6 4 4 8 x x mx n x x Rpta:16

86) Si al polinomio 5 33 6 3 x x x se ledivide entre 1 x , se obtiene uncociente de grado m , terminoindependiente b y residuo a . Hallarm b a .Rpta:4





46

87) Para efectuar una división según elmétodo de Ruffini se planteó el

siguiente esquema

2

4 3

2 8

4

b a

x a a c m

b d n

Determinar el resto

Rpta:11

88) ¿Cuál es el valor de a, si al dividir

elPolinomio ax263+5bx+5b-a entre x-1,

la suma de los coeficientes del

cociente es 1330 y el residuo 30?

Rpta. 5

89) En el siguiente esquema de Ruffini4 ? 6 ? 8

? 4 ? 15 ?

? ? ? ?

Hallar la suma de los coeficientes del

cociente.

Rpta:2

90) Dividir

5 4 3 23 3 3 2 3 5 3 2 9 x x x x x

x

Luego,

hallar el valor del cociente cuando x

toma el valor de 4.

Rpta:3

91) Al dividir n P x nx x n , entre

1Q x x , el resto es:

Rpta: 2 1n

92) Al efectuar la división en x delresiduo es 6 7 x . Determinar ab .

Rpta:6

93)

Encontrar la relación entre p y qpara que al dividir 3 3 2 x px q entre

2 x a el residuo sea cero.

Rpta: 3 2 p q

94) Hallar un polinomio de segundogrado de la forma 2P x 4x bx c tal

que al ser dividido entre 2 1 x el

resto es cero, y al ser dividido entre 2 x el resto es 5.

Rpta: 24 4 3 x x

95) Cuando el polinomio

4 3 28 P x x mx nx qx p Se divide

entre 22 1 x x se obtiene un cociente

cuyos coeficientes van disminuyendo

de uno a uno a partir del primero y un

residuo idéntico a 5 1 x . Calcularm n p q

Rpta:16

NIVEL II

01. Calcular “ a b ” si la división esexacta:

4 3 2

2

x 2x 3x ax b

x 2x 5

a) 10 b) 20 c) 25 d) 40 e) 45

02. Hallar “ a b n ”, si la división: 5 4 3 2

3

x 2x 4x 19x ax 12 b

x 7x 5

Deja por residuo: 2mx 2x 6

a) 32 b) 32 c) 31

d) 31 e) 30





47

03. Calcular (m + n), si:6

2

2x mx n

x 2x 1

,

es una división exacta.a) -2 b) -1 c) 2 d) 3 e) 0

04. Calcular A y B, si la división:5 2

3 2

3x 48x Ax B

x 2x 4x 8

Deja como resto: 5x 2

a) –54; 200 b) –53; 194 c) 4; 35

d) 53; 194 e) 53; –194

05. Si la siguiente división:4 3 2 2 3 4

2 2

x 3x y x y axy by

x xy 2y

Tiene como resto: 3 42xy 3y

Calcular: b aE a b

a) 0 b) –5 c) 4 d) –2 e) –3

06. Si al dividir:4 3

2

2 + 5 + Ax + 2Ax x

- x + 1x, el

resto resulta un T.I., el valor es:a) –5 b) –2 c) –3 d) –1 e) 2

07. Al efectuar la división siguiente:5 4 3

3 2

2x 7x 3x 5x 1

x 3x 4x K

, se obtiene un residuo

de primer grado, hallar el residuo.

a) 14x + 1 b) 14x + 3 c)3x + 14

d) 14x – 2 e)4x + 2

08. Calcular “A+B” en la siguientedivisión exacta:

4 3 2

2

4 17 10

3 2

Ax Bx x x

x x

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

09.

calcular (A – B) si la división esexacta:4 3 2

2

12x Ax Bx 31x 15

4x 5x 3

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

10. De acuerdo al esquema de Horner:2 a b c d e f

m 4 12

n p 3

q 9

0 0

4 1 3 0 10 1

Hallar la suma de coeficientes dedividendo.

a) 9 b) 10 c) 7 d) 8

e) 6

11. Reconstruir la siguiente división por

el método de Horner. 5 a 6 6b c 0

1

2 a b 3

Dar como respuesta: a b c

a) –4 b) 1 c) 10 d) 8 e) 6

METODO DE RUFFINI1. Encuentre el términoIndependiente del cociente:

3 2x 4x 1

x 1

a) 1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 3

2. Hallar la suma de coeficientes delcociente en la siguiente división:





48

4 3 26x 13x x 2x 17

2x 5

a) 10 b) 12 c) 13 d) 20 e) 23

3. Al dividir: 5 4 3 2

ax 2bx 3c a x a 2b x 2b a x a

x 1

La suma de coeficientes del cociente es54.Calcular el residuo.a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

4. En el siguiente esquema deRuffini:

y78 x 2

m 16 z 2 w

a b c d 8

Hallar: “ a b c d ” a) 6 b) 7 c) 8 d)9 e) 10

5. Indicar la suma de coeficientes delcoeficiente a dividir:

4 3 23 13 10 5 1

3 1

x x x x

x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. En el esquema (Ruffini)C 1 F 4 5

1D 1 2 A

3

C 3 E B 3

Calcule: A B C D E F

a) 2 b) 5 c) 9 d) 11

e) 12

7. En el esquema de Ruffini:a 1 b 2 c 3

n 3 m 10 p n

a 4 5 12 1 q

Halle: “ an b c m n p q ”

a) 13 b) 9 c) 6

d) 16 e) 27

8. Hallar el residuo de la división de:3 2

6x 5x px 1

2x 1

Sabiendo que su cociente toma el valor

numérico de 53 para x = 5.

a) 1 b) 4 c) –3 d) –4 e) 5

9. En la siguiente división:40

(2x n)x 5

x 1

Determinar el resto para que a la suma

de coeficientes del cociente sea 93.

a) 15 b) 11 c)9 d) 13

e) 18

10. Calcular “a” si la suma decoeficientes del cociente es 200, talqueél, resto es 16.

322ax 4bx 4b 2a

x 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Calcular (a + b) si la suma de loscoeficientes del cociente es 256 y el restoes 24.

61a.x 2b.x 2b a

x 1

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

e) 14





49

12. Dividir por Ruffini y dar comorespuesta la suma de coeficientes del

cociente.nn.x x n

x 1

a) n2 b) n –1 c) n2 – 1

d) n - 2 e) n3

TEOREMA DEL RESTO

1. El resto de la división:298 959 243 2 2 2

, :3

+ + x x x xes

x +

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10

e) 11

2. Calcule el resto de dividir:

2 2

2 2 2 2 2 28 6

2

4

1

a b a b a b x x

x

a) 2x b) x-1 c) x d) 0 e)

4x

3. Hallar el resto de la división:

7 7 7x a x a

x 2a

a) 7a b) 0 c) 7

2a

d) 7126a e) 7

128a

4. Calcular el resto de dividir:4 3 2

2

x 3x x 4

x 4

a) –8 b) 8 c) 16–12x

d) 12x+6 e) x

5.

Hallar el resto de dividir: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Entre

2x 7x 11

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

6. Hallar el resto de:102 53

4 4 4

4

x 3x 6 x 3x 4 2x 6x 14

x 3x 5

a) 4 b) -4 c) 5 d) -5 e) 6

7. Calcular el resto de dividir:41 1641

2

(x + 2 + (x+ 1) )x

+ 2x - 1x

a) 129 b) 513 c) 257

d) 255 e) 128

8. Hallar el residuo de:2n + 2 2n

2

-x x

(x - 1)(x + 1)

a) 1 b) –1 c) x+1 d) x–1 e) x2

9. Calcular "k" sabiendo que la

división:

3

2 2 2

x y z kxyz k x y y z x z

x y z xy yz zx

Es

exacta.

a) 3 b) –3 c) 9 d) –9 e) 1

10. Hallar el resto al dividir:

82 63 24 3

2

x 2 4 x 2 5 x 2 3 x 2 7

x 4x 5

a) x 2 b) 2x 1 c) 2x 1

d) x 1 e) x 1





50

11. Determine el resto de:

500 2

2

x 1 x x 1 x 2 x

x 2x 2

a) 2x 13 b) 2

x 1 c) 0

d) 3x 15 e) 2x 2

12. Si se divide:21 7

2

4 + 7 + 8x x

+ x + 1xel resto

es:

a) 7x - 12 b) x-12 c)

x+ 12d) 7x + 12 e) 7x

13. Calcular el resto de:15 5

2

- 1x

+ x + 1x

a) 2 1 x b) x+1

c) x-1

d) x-2 e) -(x+2)

14.

Hallar el valor de “a + b + c” si elresto de la división indicada siguiente:

2xxx2

3x5cxbxax23

345

Es: 7x2 + 8x – 3

a) 21 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

15. Calcular “n” si el residuo de la

división:

2

nn

)2x(1)5x)(1x(nx)1x()3x(

es igual a: 2(1 – 18x); n es par.

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

16. En la división siguiente:

bxx

axbx6bxx3x22

2345

Se sabe que el resto es 2x + 3; además lasuma de coeficientes del cociente es

mayor que 15. Calcular ba a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

17. En la siguiente división:

1x

5x)nx2( 40

Determinar el resto para que la suma decoeficientes del cociente sea 93.

a) 15 b) 11 c) 9 d) 13 e) 18

18. Hallar el valor de “a” si al dividir:

1xx...xxx 215a16a17a Entre x – 1, se observa que la suma de loscoeficientes del cociente es igual a 90

veces su resto.

a) 133 b)155 c) 160

d) 163 e) 165

19. Qué valor adquiere: n 19

k 1

, si la

división19

2

x nx k

x 2x 1

, sea exacta.

a) 1 b) 2 c) 19 d) 38 e) 4

20. Hallar el resto de la división:

2x

10xxxx2xx2

245678

a) 40 b) 40 2x c) 40 3x

d) 40 4x e) 4x

NIVEL III

Método de horner





51

1 De las siguientes proposiciones indicar verdad (V) o falso (F) según

corresponda. El grado del dividendo es igual al

grado del cociente más el gradodel divisor.

El grado del divisor es mayor oigual que el grado del resto.

El grado mínimo del resto es uno.a) VFV b) VFF c) FFF

d) FVF e) VVV

2 El resto de dividir5 4 3 2( ) 3 2 7 ( 3) ( 3) P x x x x n x n entre

3 2( ) 2 1Q x x x x es ( ) 3. R x x n Hallar

el valor de ( 2).n a) 17 b) 10 c) 13

d) 11 e) 12

3 Al dividir 5 2( ) 3 P x x x mx n entre

2( ) 2Q x x x deja como resto

( ) 2 3. R x x Hallar el valor de .mn a) 5 b) 0 c) 6

d) 6 e) 7

4 Si la división1 1

2 2 2 2( ) 3 2 5 6

n n n

P x x x x x x

entre1

2 2( ) 2 1, 1

n n

Q x x x n

deja como resto

( ). R x Halle el resto de dividir ( ) R x entre( 1). x

a) 10 b) 0 c) 6d) 1 e) 2

5 Si la división ( ) / ( ) P x Q x deja como resto2

( ) 2 6, R x mx x siendo5 4 3 2 3

( ) 2 4 19 12 ( ) 7 5. P x x x x x ax b Q x x x

Hallar el valor numérico de( 30).a b m a) 4 b) 0 c) 3

d) 1 e) 2

6 Indique la suma de coeficientes delcociente luego de dividir

4 3 2

( ) ( 1) ( 1) ( ) 3 P x x a x a b x b a x b entre 2

( ) .Q x x ax b a) 3 b) 5 c) 1

d) 4 e) 2

Método de ruffini 1 Al dividir

5 4 3 2( ) ( 3) 3( 3) 2( 3) 5( 3) 2 9 P x x x x x x

entre“ x ” indicar el valor de: (1).q

a) 3 b) 5 c) 4

d) 1 e) 2

2 Si al dividir 835 5mx nx n m entre ( 1) x

la suma de los coeficientes del cocientees 176 y el residuo es 20. Hallar el valorde “ m ”. a) 3 b) 5 c) 1

d) 4 e) 2

3 Hallar el valor de “ n ” si la división3 2 2

( ) P x amx apx anx bmx bpx bn entre

( )Q x ax b , deja como ( ) 20 . R x b a) 8 b) 5 c) 10

d) 6 e) 12

4 Luego de dividir de30 20 10

( ) 18 7 10 8 P x x x x entre5

( ) 3 1Q x x la suma de los coeficientes

del cociente, es:

a) 8 b) 5 c) 7

d) 9 e) 0

5 Obtener el residuo luego de dividir2 2 2

( ) (3 ) 2(2 ) 3m

P x x x mx entre





52

( ) 2 3 .Q x x Si el cociente evaluado en

cero resulta ser 3.

a) 3 b) 5 c) 6

d) 0 e) 9

6 Luego de dividir de4 3 2

( ) 8 2 9 4 16 P x x x x mx entre

( ) 3 4.Q x x la suma de los coeficientes

del cociente es 36. Hallar el valor de “ m

”. a) 8 b) 10 c) 10

d) 12 e) 12

Teorema del resto1 hallar el resto luego de dividir

425 424( ) 27 81 5 19 P x x x x entre

( ) 3.Q x x

a) 3 b) 5 c) 1

d) 4 e) 2

2 indicar el resto luego de dividir2 2 2

( ) ( 1)( ) ( 5 6) P x x x x x x entre2

( ) 2 4.Q x x x

a) 13 b) 25 c) 21

d) 14 e) 20

x x x

x x

3 hallar el resto al dividir257 257 16

( ) ( 2) ( 1) P x x x x entre2

( ) 2 1.Q x x x

a) 263 b) 265 c) 251

d) 264 e) 257

4 el resto de dividir

6( ) 27 ( 7)( 1)( 2)( 4) P x x x x x entre

( ) ( 3) 27.Q x x x

a) 63 b) 65 c) 61

d) 64 e) 62

5 hallar el resto al dividir

3 2( ) 64 ( 2)

n P x x x entre

( ) ( 1)( 3).Q x x x

a) 13 +53 b) 5 +53 c) 5 +54

d) 54 +51 e) 52 3

x x x

x x

6 si el polinomio 2 2( ) ( 1) 1

n n P x x ax bx

es divisible por el producto ( 1)(2 1). x x

Calcular el valor de “ b ”.a) 3 b) 5 c) 1

d) 4 e) 2

FACTORIZACION:

1._ la suma de los factores primos de:P(x) = , es:a)4x – 1 b)4x c)6x d)6x – 1 e)6x – 1

2._ la suma de los factores primos de:P(x) = , es:

a)9x + 4 b)7x c)9x – 1 d)7x – 1 e)6x – 2

3_ la suma de coeficientes de uno de losfactores primos de:P(x;y) = ; es:

a)7 b)5 c)9 d)3 e)8

4._ factorice:P(y ; x) = E indique el factor primo de mayor sumade coeficientesa)5x + 2y + 7 b)4x + 6y + 2c)5x + 6y + 7 d) 5x + 9y + 3e)5x + 3y + 2

5._ factorice:





53

P(x) = eindique la suma de sus factores primos.

a) b) c) d) e)

6._ al factorizar: , la sumade coeficientes de uno de los factoresprimos, viene a ser:a)-1 b)-4 c)2 d)-3 e)0

7._ factorizar:

M(a; b)= e indicar unfactor primoa) a + b +2 b) b – 2 c) a + b – 4d) a + 2 e)b + 2

8._ factorizar:P(x ; y) = indicar la suma de sus términosindependientes que resulta al factorizar.a)1 b)2 c)-1 d)-2 e)0

9._ al factorizar el polinomio:P(x) = La suma de los factores primos es:a)2x + 1 b)3x + 4 c)4x + 2 d)3x + 1e)4x

10._ al factorizar: Indique la suma de los términosindependientes de los factores primos.

a)7 b)-2 c)4 d)2 e)-7

11._ indicar la suma de los términosindependientes de sus factores primosen: a)1 b)-1 c)3 d)-3 e)5

12._ al factorizar:P(x) =

, se

obtiene una expresión de la forma:

, con a>m;

Z

Hallar: “a + b + c + m + n + p” a) 11 b)-1 c)0 d)8 e)4

13._ factorizar:P(x) =

y dar como respuesta la suma de susfactores primos lineales.a)5x – 3 b)4x – 1 c)4x + 3 d)4x e)5x +314._ al factorizar:

P(x) = , el factor primode menor suma de coeficientes, será:a) b) c) d) e)

15._ factorizar:P(x) =(x + 1) (x + 2)(x + 3) + (x + 2) (x +1) + (x + 1)a)

b)

c) d) e)

16._ factorice:P(x;y)= Indique el factor primo de mayor sumade coeficientes.a)2x + y – 3 b)3x – 5y c)2x + 5y – 3d)2x + 5y e)3x + y

17._ factorice:P(x;y;z) = Indique la suma de sus factores primos.a)x + y + z + 5 b)x 2y + zc)2x + y + z + 5 d)2x + 2y +z + 5e)x + 2y + 5

18._ factorice:P(x)= Indique el factor primo de mayor suma

de coeficientes:





54

a) b)3x + 1 c) d)x + 1 e)5x + 3

19._ factorice:P(x,y)= Indique la suma de factores primos:a) b) c) d) e)

20._ dado el esquema de aspa simple:P(x)=

4

-1

n -(n-3)

Indique el factor primo con menor sumade coeficientes:a) b)2x + 1 c) d)2x – 1e)x + 2

21._ factorizar e indicar un factor primo:

a)(a + b + c + d) b)(a – b – c – d)c)(a – b – c + d) d)(a + b + c – d)e)(a – b + c + d)

22._ factorizar: V(x)= a)x(x + 1)( + x – 1) b)x c) d) e)

23._ factorizar:E=(x + 1)(x – 7)(x + 2)(x - 6) + 16Dar como respuesta la suma decoeficientes de un factor primo.a)-11 b)-12 c)-14 d)-13 e)-15

24._ luego de factorizar:P(x) = toma laforma:P(x) =

, hallar: a + b

a)-1 b)2 c)4 d)1 e)3

25._ luego de factorizar:P(x)=

entonces la suma de los términosindependientes de sus factores primoses:a)0 b)2 c)-3 d)3 e)-2

PRACTICA Nº 01

1._al factorizar, indicar la diferencia delos términos independientes

a)5 b)6 c)7 d)8 e)9

2._ al factorizar: ,determinar la suma de los cuadrados delos términos independientes de losfactores primos.a)25 b)26 c)27 d)28 e)29

3._ indicar un factor primo de:

a) b) c) d) e)

4._ indicar el cuadrado de la suma de lostérminos independientes de los factoresprimos de: a)15 b)16 c)17 d)18 e)19

5._si

Se transforma en un producto indicado,uno de sus factores primos, es:a)

b) c) d) e) 6._

PRACTICA N2

FACTOR COMUN





55

01._ Factorizar:

Indicando un factor primo:a) b)x – y c)x + 2y d)x – 2y e)x + 8y

02._ Factorizar: Indicar el número de factores lineales.a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

03._ Al factorizar:abc + ab + ac + bc + a + b + 1Uno de los Factores es:a)(a + b) b)(b + c) c)(a + 1) d)(a + c)e)(abc + 1)

04._ Factorizar:

Señale el número de factores

primos.a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

05._ Señale el número de factoresprimos en: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

06._ Indicar el número de factoresprimos en:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

07._ Dar la suma de factores primos en: a)2m+n-q b)2(m+n+p+q) c)m+2n-qd)m+2n+2p e)2m-n+p

08._ Factorizar:

Indicar un término de un factor primo.a)2x b)3x c)-2x d)-6x e)10x

09._ Al factorizar: Uno de los factores primos es:a)a+2 b)x-2 c)x-a d)a+x e)a-1

10._ Indicar un factor primo de:

a)x-1 b)ax+1 c)x-a d)ax-a+1 e)x+1-a

11._ indique el número de factoresprimos de: a)2 b)1 c)4 d)3 e)5

12._ dar uno de los factores obtenidos alfactorizar:

a) b)xy+1 c) d)

13._ la suma de los coeficientes de unode los factores primos en: ,es:a)2 b)3 c)4 d)5 e)0

14._ factorizar:

Indicar el factor primo quemas se repite.a)x+1 b)x+2 c)x+5 d)x+3 e)x+9

15._ factorizar: e indicar un factor primo.a)a+b+1 b)a+b+2 c)b-2 d)b+2 e)a-4

MET: IDENTIDADES

ASPA SIMPLE





56

16._ factorizar y dar la suma de factoresprimos en:

a)4x-3 b)2x-1 c)6x-2 d)4x+3 e)2x+117._ la suma de los coeficientes de unfactor primo es: a)4 b)2 c)3 d)13 e)15

18._ indique la suma de los coeficientesde uno de los factores primos de: a)1 b)4 c)8 d)9 e)5

19._ factorizar: ;señale el número de factores primos:a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

20._ al factorizar: seobtienen como factores primos a: (ax+b)

y (cx-d) entonces, el valor de ¨a + b +c +d¨, es:a)12 b)13 c)14 d)15 e)16

21._ si el polinomio sefactoriza en la forma: ( )( )donde A,B,C y D son numeros enterospositivos con A C y las flechasrepresentan operaciones aritméticas,hallar el valor de: ( )a)11 b)9 c)17 d)8 e)10

22._ el número de factores primos queposee:

a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

23._ al factorizar: un factor primo es:a)x+3 b)x+2 c)3x-2 d)3x-5 e)x-2

24._ la diferencia positiva de los factoresprimos de:

, es:

a)5x b)4x c)x-1 d)2x e)x-2

25._ halla el número de factores primosque se obtiene al factorizar: a)4 b)5 c)6 d)7 e)8

26._ un factor primo del polinomio:

,es:a)x+y+1 b)3x+1 c)y+1 d)3x+2y+1e)3x-y+1

27._ la suma de los coeficientes de unode los factores primos de:

28._ proporcione un factor de:

29._ factorice: eindique la diferencia de sus factoresprimos.a)x+2y-3 b)2x+y+1 c)x+y d)x+y-2e)x+3y+1

30._ factorice:

E indique el factor prima de mayor sumade coeficientes.a)x+2y+z b)x+y+2z c)x+2y+3zd)x+y+3z e)x+2y+2z

31._ al factorizar:

ASPA DOBLE

ASPA DOBLE ESPECIAL





57

la suma decoeficientes de uno de sus factores

primos viene a ser:a)19x b)7x c)10x d)12x e)6x

32._ al factorizar: , la suma decoeficientes de uno de sus factoresprimos es:a)8 b)2 c)7 d)-3 e)-5

33._ al factorizar: , indicar elcoeficiente lineal de uno de sus factoresprimos.a)4 b)5 c)-5 d)1 e)-2

34._ al factorizar: , la suma de susfactores primos es:a)

b) c) d) e)

35._ señalar el factor primo cuadráticode mayor suma de coeficientes en: a)

b)

c) d) e)

36._ factorice: eindique un factor primo.a)

b)

c)

d)

e)

37._ factorizar: , e indicar elfactor de mayor suma de coeficientes.a)

b) c) d) e)

38._ indicar el factor primo de: a)x+1 b)x+7 c)x+3 d)x-7 e)x+2

39._ al factorizar el polinomio: Indicar la suma de sus factores primoslineales:

a)3x+4 b)3x-4 c)2x+1 d)2x-1 e)4x+3

40._ factorizar: E indicar el factor primo:a)x-1 b)x-3 c)x-2 d)x-4 e)x+4

41._ dado el polinomio: , si alfactorizar se expresa como:

P(x)=( Calcule

a)1 b)1/2 c)-1/2 d)2 e)-2

42._ calcule abc(a + b + c) de laidentidad: a)50 b)80 c)75 d)64 e)144

DIVISORES BINOMICOS





58

43._ la suma de sus coeficientes primosde:

, es:a)4x+3 b)6x+5 c)5x+2 d)5x-3 e)6x-3

44._ al factorizar: Indicar la suma de los términosindependientes de sus factores primos.a)-8 b)-10 c)-12 d)-14 e)-1545._ si: es factor de

.

Calcule ¨m + n¨a)2 b)7 c)8 d)9 e)5

46._ factorizar: ;señalar el termino independiente de unode los factores primos.

a)-3 b)3 c)2 d)4 e)-4

47._ factorizar: ; señalarel coeficiente cuadrático de un factorprimo:a)5 b)-5 c)-2 d)4 e)2

48._ factorizar: ;señale el producto de los términos de unfactor.

a) b) c) d) e)

49._ factorizar:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 hallar elcoeficiente lineal de un factor primo.a)3 b)5 c)7 d)-5 e)6

50._ factorizar:(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24

Señalar la suma de los factores primoslineales.

a)2x-1 b)2x+1 c)3x+2 d)2x-3 e)2x+7

51._ la suma de los factores primos quese obtienen al factorizar: a)6x+1 b)6x c)6x+5 d)6x-1 e)6x-5

52._ indicar un factor de: a)

b) c) d) e)

53._ indicar el factor primo cuadráticode mayor suma de coeficientes, despuésde factorizar: a)

b) c) d) e)

FACTORIZACION

96) La suma de los factores primos delpolinomio

2P(x) 5 x 3 4 x 3 12 , es:

Rpta. 6 14 x

97) El número de factores delpolinomio

3 2P(x) 2x 5x 3x , es:

Rpta. 8

98) La suma de los coeficientes de unode los factores primos del polinomio

2 2P(x, y) x y 5xy 24

Rpta. –7

ARTIFICIOS





59

99) La suma de los divisores binomiosdel polinomio

5 3 2

P(x) x 25x x 25 , es:Rpta. 3 1 x

100) La suma de los factores binomiosdel polinomio

2

2 2P(x) x x 18 x x 72 , es:

Rpta. 4 2 x

101) Uno de los factores del polinomio2 2P(x, y) 5x y 10x 2y 4xy , es:

Rpta. 5 x y 102) La suma de los coeficientes de uno

de los factores primos del polinomio2 2P(x, y) x 4x y 6y 5 , es:

Rpta. 1

103) El número de factores delpolinomio

4 3 2P(x) x 4x 10x 12x 9 , es:

Rpta. 3

104) La suma de los factores linealesdel polinomio

4 3 2P(x) x x 7x 13x 6 , es:

Rpta. 3x

105) La suma de los divisores binomiosdel polinomio

3 2P(x) 30x 7x 7x 2 , es:

Rpta. 10 2 x

106) ¿Cuántos factores de primer grado

admite: 2 2 2

a b c b c a c a b ?

Rpta:3

107) Después de factorizar7 5 4 3 220 2 64 40 128a a a a a Uno de los

factores primos es:

Rpta: 4a

108) Factorizar: 2 4 1 1 2 2 3 2 x x x x

Rpta: 38 1 x

109) Después de factorizar:

22 27 15 3 21 5m m m m , la suma de

los factores primos lineales, es:

Rpta: 2 7m

110) Factorizar 5 4 22 1 x x x

Rpta: 2 3 21 2 1 x x x x x

111) Uno de los factores primos delsiguiente polinomio 5 1 P x x x , es:

Rpta: 2 1 x x 112) La suma de los factores primos del

polinomio: 5 4 3 24 16 12S a a a a a a , es:

Rpta: 5 4a

113) Uno de los factores primos de 5 3 2 P x x x x , es:

Rpta: 2 1 x x

114) Hallar la suma de los factores

primos de 3 2

x a b c x ab ac bc x abc Rpta:

3 x a b c 115) El polinomio 33 21 18 x x al

factorizar tiene la forma a x b x c x d , donde b c d .

Calcular a b c d

Rpta:5

116) Cuántos divisores tiene la

siguiente expresión 1 2 3 4 1 P x x x x x

Rpta:3

117) Hallar el número de factoresprimos de 7 7, 64 P a b a b ab

Rpta:6

118) Indicar el término independientede uno de los factores primos deltrinomio

2, 3 7 7 31 P x y x y x y





60

Rpta:8 ó 5

119) Factorizar 2 26 11 4 8 14 8a ab b a b

Rpta: 3 4 2 2 4a b a b 120) El factor primo de mayor suma de

coeficientes de 1 2 7 6 7 E x x x x , es:

Rpta: 25 7 x x

121) La suma de los factores primos de12 6

1 x x x x , es:Rpta: 62 2 x

x

122) Determinar el número de factores

primos de

22 2 2 2 2 2 2 2 E a b ab a b a c b c Rpta:3

123) Uno de los factores primos de 5 1 P x x x , es:

Rpta: 3 2 1 x x

124) El factor primo de menos suma decoeficientes del polinomio

4 2 2, 6 10 16 P x y x y x y , es:

Rpta: 2 2 x y

125) El número de factores primoslineales de 5 4 3 25 7 8 4 P x x x x x x ,

es:Rpta:3

126) La suma de los divisores binomiosdel polinomio:

13412)( 23 x x x x P , es:

Rpta. 17 x

127) Después de factorizar:4)1()1(4)1()1(13 323 aaaaa

Uno de los factores primos es:

Rpta. (3 1)a

128) La suma de los factores primos de8 6 4 22 16 8 1 x x x x , es

Rpta. 4 2(3 2 ) x x

129) Señale el factor primo de menorgrado de: 5 4 2( ) 2 1 P x x x x , es:

Rpta. 12 x x

130) Reducir:3 3 3 3

4 4

( )( ) ( )( )

( )

a b a b a b a b E

a b

Para ba Rpta. 2.

131) Al factorizar el polinomio:2 2 2 2( , , ) 2 3S a b c a ac bc b ab Uno de

sus factores, es:

Rpta. a b

132) Al factorizar el polinomio:4 2( ) 16 24 9 P x x x x ,

La suma de los coeficientes de los

términos cuadráticos de los factores

primos del polinomio, es:

Rpta. 2

133) Simplificar:2 2 3 3 2 2

4 2 2 4 12

( )( )( )( )

( )

a b a b a b a ab b

a a b b b

Rpta. 12a

134) Factorizar el polinomio:6 5 4 2( ) 4 21 20 4 P x x x x x

Rpta. )23)(27(2323 x x x x

135) Uno de los factores del polinomio:8 4 2( ) 5 6 5 P x x x x , es:

Rpta. 2 1 x x

136) Luego de factorizar, indicar unfactor primo de :

])()[(2),,(22

z y x z y x z y x P

)2(5 222 xy z y x

Rpta. z y x 33

137) El número de factores primos delpolinomio:

122)( 2345 x x x x x x P , es:

Rpta. 2 factores primos.

138) Uno de los factores primos del

polinomio:





61

30301451015115),( 22 y x y xy x y x P , es:

Rpta. 3015 y x

139) Indicar el número de factoresprimos de:

221)1(3)57()( 222 x x x x x P .Rpta. 3

140) Factorizar e indicar un factorprimo del polinomio:

abcbacacbcbacba P 8)()()(),,(222

Rpta. ca

141) ¿Cuál no es un factor de2 2(1 ) ( ) E mx m x ?

Rpta. xm 142) Si ))(( d cbad cba

))(( bad cbad c .

Calcular22

22

d c

ba M

Rpta. 1

143) Dar la suma de sus términos delos factores primos de:

222222 )()(4 d cbabcab

Rpta. )(2 d cba 144) La diferencia de los factores

primos de:

)6)(4)(3)((40)(4

a xa xa xa xa x P Es:

Rpta. 26a

145) En el campo de númerosracionales ¿Cuántas de las siguientesproposiciones son verdaderas?

I El polinomio 225 )2)(1(3)( x x x P tiene

dos factores primos.

II El binomio 1)( 2 x x P , es un factor

primo.

III El trinomio 1522 x x , no tiene dos

factores primos.

IV El binomio 4)(4 x x P , tiene tres

factores primos.

Rpta. 2

NIVEL II

ASPA SIMPLE

01

02

03

04

05

215x 14x 8

2

2x 3a 2b x a a b

4 2x 1 13 x 1 36

272 x y z x y z

2

4 2 4 2x x 1 3x 3x 15





62

06

07

08

09

10

11 Halle la suma de los factores primos de

la expresión:

a)10x b)18x c)13x d)14x e)12x


la expresión:


la expresión:

a) 8x+3 b) 8x+4 c) 8x+2

d) 8x+5 e) 8x+6


la expresión:

a) 8x+3 b) 8x+4 c) 8x+2

5 3 2x 2x 5x 10

11 2 9 4 7 6144a b 436a b 100a b

12 8 4 6 2a 6a 5a 2a 6a 1

3 2 2 2xyz x y z z xyz

2

2m 3n p 14m 21n 7p 18

36 x109 x25) x(P 24

3 x2 x8) x(P 2

60) x4 x3(19) x3 x4() x(P 222

60) x4 x3(19) x3 x4() x(P 222





63

d) 8x+5 e) 8x+6

15 Halle el número de factores compuestos

de la expresión:

a) 3 b)4 c) 2 d) 5 e) 1


de la expresión:

a) 6 b) 4 c) 8 d) 5 e) 0

17 Halle el número de factores primos de la

expresión:

ASPA DOBLE

01

02

03

04

05

06

07

5 x2 x) x1() x(P 24

2 x21)1 x(3)5 x7 x() x(P 222

1 x2 x2 x x) x(P245

2 2 26x 7xy 2y 11xz 6yz 4z

2 2 210a 18ab 4b 11ac 11bc 6c

2 2 4 4

15x 7xy 2y 23x 2y 4

5 2 4 2 3 4 3 3 3 29m n 3m n m n 3m n 2m n

2 210x 17xy 3y 5x y

2 215x 151xy 10y 45x 301y 30

221xy 39y 56x 92y 32

a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 1





64

08

09

10

11 Halle el número de factores primos de laexpresión:

a) 3 b)4 c) 2 d) 5 e) 6

12 Halle un factor primo de la sgte

expresión:


expresión:

a) 7x-y b) 9x-y c) 7x+y

d) 4x-y e) 5x-y


expresión:

a) 7y+5 b) 9y+3 c) 2y+7

d) 3y+8 e) 5y+2

15 Halle el número de factores compuestosde la expresión:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

16 Halle el total de factores primos de:

a) 2 b) 4 c) 1 d) 5 e) 3

17 Halle la suma de los valores de “a” para

que la expresión:

2 2 2m n 4p 2mn 3mp 3np

2 26a 12ab 6b ab 29b 26a 28

2 2 2 2 2 220 m n 3m n 18 m n

1 y 2 x4 y xy 4 x3) y ; x(P 22

3 y 5 x26 y 2 xy 11 x9) y ; x(P 22

y x5 y 3 xy 17 x10) y ; x(P 22

32 y 92 x56 y 39 xy 21) y ; x(P 2

4 x20 x21 x4 x) x(P 2456

pn8mp2p3n4m)n;m(P222

2 y)3a(x y)7a(xy)3a(x10)x(P 22





65

Pueda descomponerse en dos factores

primos.

a)12 b)14 c)17 d)18 e)16

ASPADOBLE ESPECIAL

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

4 3 2x 7x 19x 36x 18

4 3 2x 5x 9x 11x 6

4 2x 8x 12x 5

4 3 2x 4x 6x 7x 2

4 3 22x 3x 3x 3x 1

4 3 2 2 3 45x 14x y 8x y xy 2y

4 32x 3x 1

4 3 2

12z 56z 89z 56z 12

7 5 4 3 2a 20a 2a 64a 40a 128

2 2y 1 y 4 3 2y 3





66

Hallar el número de factores primos de

la expresión:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 0

12 Hallar un factor primo de la expresión:

a)x2+5x+2 b)x2+5x+5 c)x2+5x+1

d)x2+5x+3 e)x2+5x+7

13 Hallar el número de factores algebraicos

de la expresión:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 1

14 Hallar el número de factores compuestos

de:

a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6

15 Hallar el número de factores algebraicosde:

a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6

16 Halle el valor de “a” de manera, que:

Tenga raíz cuadrada exacta.

a) 1 b) 3 c) 4 d) 7 e) 917 Hallar el valor numérico de uno de los

factores primos cuando: x=2 de la

expresión factorizada:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 0

FACTOR COMUN

01

02

03

04

05

10 x14 x11 x4 x) x(P 234

1 x6 x7 x6 x) x(P 234

3 x8 x8 x13 x10) x(P 234

32 x8 x4 x2 x) x(P 234

5 x12 x8 x) x(P 24

a x6 x7 x2 x) x(P 234

17)2 x( x3)1 x() x(P 24

abc ab ac bc a b c 1

a b a c b d c d

7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7x x y x y x y x y x y xy y

2 2ab x y xy a b

10 9 4 3 2x 2x x 2x 3x 6x





67

3 3 3 2 2 2 2 2 2x y z x y x z y x y z z x z y

06

07

08

09

10

10._ Factorizar:

Indicando el número de factores

algebraicos que presenta dicha

expresión.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


de la expresión:

a) 6 b) 8 c) 2 d) 1 e) 4

12 Factorizar:

Indicando el número de factores

compuestos que presenta dicha

expresión.

a)58 b)52 c)60 d)56 e)50

13 Hallar el número de factores algebraicos

de:

a) 9 b) 8 c) 1 d) 2 e) 3

14 Hallar el número de factores básales que

presenta la expresión:

a) 6 b) 8 c) 2 d) 1 e) 4

15 Hallar el número de factores primos de

la expresión:

6 6 2 4 3 2 4 3a b a b a b b a ab

7 6 5 4 3 2x x x x x x x 1

ax by cz bx cy az cx ay bz

4 2 3 3 2 4mn 5m n 4m n 20m

234 y 12 xy 8 y x9 x6) y ; x(P

)ac(b)cb(a)c,b,a(P 2222

634436 nppnpnpn)p;n(P

22ba xy y xab) y ; x(P

4x4x3x4x3x2x





68

a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4

16 Indicar la suma de coeficientes de los

factores primos de:

a) 6 b) 8 c) 2 d) 0 e) 4

DIVISORES BINOMICOS

01

02

03

04

05

06

07

Halle el número de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

08 Hallar la suma de los coeficientes de uno

de los factores primos de la siguiente

expresión:

pmpmpnpn nmnnmm)p,n,m(P

)ba(c)ac(b)cb(a)c,b,a(P 222

5 4 2x 4x 10x x 6

5 4 3 2

x 5x 7x x 8x 4

3 22x 3x 3x 1

3 212x 8x 3x 2

6 5 4 3 2a 5a 6a 2a 9a 7a 6

3 22x x 3x 2

3 2

10x 3x 6x 1

6 x x) x(P 3

3 x6 x2 x) x(P 23





69

a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 6


la expresión:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8


la expresión:

a) 2 b) 4 c) 3 d) 7 e) 8


de la expresión:

a)16 b)19 c)18 d)12 e)14

12 Factorizar:

Indicando la suma de los factores primos

de dicha expresión:

a) 7x+9 b) 5x+3 c) 6x+5

d) 5x+3 e) 7x+2

13 Factorizar:

Indicando la suma de los factores primos

de dicha expresión:

a)5x b)3x c)7x d)4x e)2x

EJEMPLOS

01

02

03

04

05

2 x x2 x5 x2) x(P 234

8 x4 x6 x x) x(P 234

4 x8 x x7 x5 x) x(P 2345

2 x3 x8 x12) x(P 23

1 x x9 x13 x8 x12) x(P 2345

4 2x x 1

4 4a 4b

4 2 2 4a a b b

4 2 2 4x x y 49y

4 4 4m n 64p





70

06

07

08

09

10


la expresión:

a) 7 b) 4 c) 2 d) 1 e) 3

11 Hallar un factor de.

a) b b)b+c c)2c d) c e) a


de la expresión:

a) 1 b) 8 c) 2 d) 6 e) 3


la expresión:

a) 1 b) 8 c) 2 d) 6 e) 3


la expresión:

a) 1 b) 8 c) 2 d) 6 e) 3

15

5x x 1

5x x 1

4 3 28x 2x 13x 2x 8

5 4 3 23x 5x 3x 3x 5x 3

6 5 4 3 2x 4x 3x 8x 3x 4x 1

222 n4mn4p4m)p;n;m(P

babacbacba

222244 y x3) y x( xy 2 y x) x(P

1 x x2 x2 x x) x(P 2345

1 x4 x3 x2 x) x(P 2456





71


la expresión:

a) 1 b) 8 c) 2 d) 6 e) 3

16 Señalar la suma de coeficientes de

Uno de los factores de:

a)10 b) 2 c) 8 d) 7 e) 6

COMBENIENTE AGRUPAR

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 Hallar un factor de:

a) x2+x-3 b)x2+2x-3 c)x2+x+2

d)2x2+x+1 e)x2+5x+2

12 Señalar un factor de:

13 Hallar un factor de:

a) x+3 b) x+1 c) x+2

d) x+4 e) x+5

14 Halle el número de factores primos de laexpresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22222222 z y x4)a x() y z()z; y ; x(P

abc8)ba(c)ac(b)bc(a 222

x 1 x 2 x 3 x 4 1

x 2 x 3 x 2 x 1 3

2x 1 x 3 x 5 63

1 x x 1 x 2 x 3

x 1 x 2 x 3 x 4 24

22 2x x 1 3x 3x 15

2x 1 x 2 x 3 x 6 7x 28x 1

2 2x 2 x 4x 6 15

2

2 2 2x x x 5x 6 x 3x 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2a x 1 a x 2 a x 3 a x 4 36

31 x2 x3 x2 x) x(P

154 x3 x2 x1 x) x(P

244 x3 x2 x1 x) x(P

27)4 x( x5)3 x)(1 x()2 x( 2

1 x28 x7)6 x)(3 x)(2 x)(1 x( 2

361)9 x( x46)7 x)(5 x)(4 x)(2 x( 222222

)a6 x)(a4 x)(a3 x)(a x(a40 4





72

REDUCCION A DIFERENCIA DE

CUADRADOS

Hallar la suma de uno los factores

primos de la siguiente expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

02 Hallar la suma de uno los factores

primos de la siguiente expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4


expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

SUMAS Y RESTAS ESPECIALES

07

Halle la suma de los coeficientes de uno


expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


de la expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


de la expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

25 x x) x(P 24

1 x x) x(P 24

4224 b9ba2a)b;a(P

44 y 4 x) y ; x(P

44 y 81 x4) y ; x(P

324n)n(P 4

16 x17 x16) x(P 48

1 x x) x(P 5

1 x x) x(P 45

2m)1m()m(P 5





73

03 Halle la suma de los coeficientes de uno

de los factores primos de la siguienteexpresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04 Halle la suma de los coeficientes de uno


expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


de la expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


siguiente expresión:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RADICACION:

1._ √

2._

√

3._

√

4._ √

5._ √

6._ √

7._ √ √ √

8._ √

9._ √

10._ √

11._ √

12._

√

13._ √

14._ √

15._ √

16._

√

17._ √

18._ √

19._ √

20._

√ √

1 x x) x(P 57

1 x x) x(P 57

1 x x) x(P 810

545 y y x x) y ; x(P





74

21._

√

22._ √

23._ √

24._ √

25._ √

26._ √ √

27._ √ √

28._ √ √ . ._ √

29._ √

30._

√

31._ √

32._ √

33._

√

34._ √

35._ √

36._ hallar “x” en: √ 37._ calcular la raíz cuadrada de:

38._

E = √

√ √ √

39._

√ √ (√ ) √

CASO II

1._ √ √ √

2._ √ √ √

3._ √ √ √

4._ √ √ √

5._ √ √ √

6._ √ √ √

7._ √ √ √

8._ √ √ √

9._ √ √ √

10._

√ √ √ 11._ si x>1; transformar:

Luego indicar el producto de radicalessimples:

CASO III





75

1._ √

2._ √

3._ √

4._ calcular la raíz cubica de: 7+5√

5._ √

6._ hallar la raíz cubica de: 170-78

√

7._ calcular: x= √ √

8._ calcular: x= √ √

9._ hallar la raíz cubica de: 9

√ √

10._ hallar la raíz cubica de: 14√ √

11._ √ √ √

12._ la raíz cubica de: 72+32√

Problemas de Aplicación

1. Hallar los valor de (a+b+c) ena b c 2a b 3c a11 11 22 33 33

Si son radicales homogéneos

A) 3b B) 5a C) 2a D) 9b E) 11a

2. Transformando a radicales simples:

4 2 4 2 15 Obtenemos:

a) 5 3 b) 5 3

c) 5 3 d) 5 3

e) 3 2

3. Simplificar:

8 2 12 11 120 7 40

a) 3 5 b) 2 5 c)

5

d) 5 e) 5 5

4. descomponer en radicales simples:4

7 4 3

a) 2 3 b) 13

2

c) 3 1

2 2

d) 15

2 e) 1

32

5. Simplificar:11 4 7 16 6 7 11 96 5 24

a) 5 2 b) 1 2 c) 2 3

d) 4 3 e) 5 3

6. Simplificar:

9 4 2 2 3 8 12 8 2

13 4 10 11 2 10 15 10 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5

7. Efectuar:

E 7 2 6 8 2 12

a) 1 b) 2 1 c)

2 1

d) 3 2 e) 3 2





77

d) 3x 2 e) 3x 2

19. Luego de transformar a radicalessimples:

3 6 4 2x 4x x 8x 16x 1 Señale uno de

ellos: x 1

a) 3x 4x 1 b) 3

x 4x 1

2

c) 3x 4x 1 d) 3

x 4x 1

2

e) 3x 6x 1

2

20. Simplificar:2 2E 2x 1 2 x x 2 2x 3 2 x 3x 2

a) 22 2 x 1 b) 2

2x 2 x 1

c) 2 2x d) 3x 1

e) 2x x 1

21. Transformar a radicales simples:3 2 5 4E x x 2 2 x x 1

a) 2 2x x 1 x x 1

b) 2 3x x 1 x x 1

c)2 2

x x 1 x x 1 d) 3 2 3x x 1 x x 1

22. Efectuar:

9 40 11 8 11 8 21 320

a) 3 b) 4 c) 6 d) 2 e) 5

23. Hallar el valor de:3 3

E 20 14 2 20 14 2

a) 2 b) 4 c) 9 d) 8 e) 10

24. Calcular la suma 3 3E 26 675 26 675

a) 3 2 b) 1 c) 2 5

d) 3 5 e) 4

25. la transformación a radicalessimples de: 3

38 17 5 es:

a) 2 3 b) 3 2 c) 2 5

d) 5 2 e) 3 5

Racionalización:1._√ -------------------------------------

√ -----------------------------------

√ ------------------------------------√ -----------------------------------√ √ ------------------------------- √ ---------------------------------- -------------------------------√ -------------------------------

------------------------------------

√ -------------------------------

2.- ------------------------------------

---------------------------------

--------------------------------- √ ------------------------------------ ---------------------------------- ------------------------------------√ -----------------------------------

-----------------------------------





78

-----------------------------------

-----------------------------------

-3._√ √ -------------------------------------

-- √ √ --------------------------------------

---√ √

--------------------------------------

-- √ √ --------------------------------------

--√ √ √ --------------------------------------

- √ -------------------------------------√ ----------------------------------------

-

√ √ ------------------------------------

- √ --------------------------------------

-- √ ---------------------------------------

---4._ √ √

-----------------------------------

√ √ √ ---------------------------------√ √ √ ----------------------------------√ √ √ -------------------------------√ √ √ -------------------------------

- √ √ √ √ --------------------------

-

√

√ √ √ √ -----------------------------

---- √ √ √ √ ---------------------------√ √ √ ----------------------------------

- √ √ √ --------------------------------

-5._√ √

= ----------------------------------

√ √ ----------------------------------√ √ ---------------------------------√ ------------------------------------- √ ------------------------------------√ √ √ -------------------------√ √ -------------------------------

√ √ √ --------------------------

√ √ √ -------------------------√ √ ---------------------------

6._ al racionalizar el denominador de:

E=√ , se obtiene:

a)√ b)√

c)√ d)√

e)√

7._ el denominador racionalizado de:

E= , es:a)6a b)3abc c)2b d)2ab e)abc8._el denominador racionalizado de:

E=√ es:

a)6a b)3a c)2b d)2ab e)3ab9._ al racionalizar el denominador de:

E=√ √ , el resultado es:

a)

√

b)

√

√

c)

√

d)

√

√

e)√ √





79

10._ racionalizar: E=

√

a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 11._ racionalizar: E= √

a) √ b)√

c)√ d)√

e)√

12._ al racionalizar y simplificar la

expresión:√ ; se obtiene:

a)√ b)√

c)√ d) √

e)√

13._ al racionalizar y simplificar la

expresión: √ ; se obtiene:a) √ b)√ c)√

d)√ e)√

14._ racionalizar√ √

a)a + b b)a – b c)√ d)√ √

e) √ √

15, _ el denominador de:√ √ √ √

a)10 b)12 c)6 d)1 e)0

16._ el denominador racionalizado de :E = √ √ es:

a)14 b)13 c)12 d)11 e)1017._ el denominador de la fracción √ es:

a)12 b)9 c)17 d)5 e)1518._ racionalizar el denominador de la

expresión:

√

a)3(√ √ ) b)√ √ c) 2(√ √ ) d) 2√ √

e)(√ √

19._ racionalizar: E= √ √ √ ;

indicar el denominador:a)22 b)12 c)2 d)3 e)6

20._ hallar el equivalente de:

√

√

a)√ b)2 -√ c) 1√ d) 2 +√

e) √

21._ el denominador racional de:

, es:

a)3xy b)xy c)2y d) e) 22._ el denominador racional de: , es:

a)2xy b)2x c)2y d) e) 23._ el denominador racionalizado de: , es:

a)6a b)3abc c)2b d)2ab e)abc

24._ el denominador racionalizado de :E= √ , es:

a) 6a b) 3a c) 2b d) 2ab e) 3ab25._al reducir la siguiente expresión; el

denominador racionalizado es:

E = √ √ √ √

a)1 b)2 c)3 d)4 e)526._ al racionalizar y simplificar la

fracción √ √ √ , el denominador racionales:a)5 b)4 c)6 d)2 e)3

27._ racionalizar√ √ √ √

a)√ b)√

c) √ d) √ e)x – 128._ al racionalizar la expresión:

√ el denominador es:

a)x – 25 b)x + 9 c)x – 9 d)x – 25 e)129._ racionalizar e indicar el

denominador racionalizado en:√ √ √ √

a)6 b)5 c)4 d)3 e)230._ indique el denominador luego de

racionalizar:√ √ √

a)12 b)14 c)16 d)15 e)35





80

31._ al racionalizar el denominador y

simplificar la expresión E =

√ √ √ √

resulta:

a)21√ b)94 c)42√ d)47 e)74Ex. Adm. 201132._ el denominador racional de la

fracción irracional E=√ √ es:

a)5 b)10 c)8 d)1 e)2 Ex. Adm. 201033._ el denominador racional de:√

√ , es:

a) 10 b)7 c) 11 d)1 e)834._ el denominador racional de: √ √ √ , es:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)535._ el denominador racionalizado de:√ √ √ es:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)836._ indicar el denominador

racionalizado en: W= √ √ √ a) 12 b)9 c)9 d)3 e)137._ racionalizar e indicar el

denominador racionalizado√ √

a)1 b)2 c)3 d)4 e)538._ el denominador racionalizado de:

E=√ √ , es:

a)3 b)6 c)9 d) 12 e)139._ el denominador racional de:

√ √ , es:

a) 10 b)7 c) 11 d)1 e)840._ el denominador racional de: √ √ √ , es:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)541._ al racionalizar el denominador de√

√ √ , el número es de la forma

√ √ , el valor de a + b es:a)7 b)5 c)2 d)6 e)4

42._ el denominador racionalizado de

√ √ √ , es:

a)7 b)5 c)2 d)6 e)443._ al racionalizar la siguienteexpresión: √ √ √ √ √ √ √ √

Se obtiene√ √ ; A>B, hallar el valor de

C:a) 16 b) 17 c) 19 d) 20 e) 1844._ después de racionalizar

E= √ √ , el denominador es:

a) 12 b) 13 c)-2 d) 14 e)245._ al racionalizar el denominador de la

expresión √ √ √ , se obtiene:

a)√ √ b) √ √

c) √ √

d) √ √ e) √ √

46._ el denominador de la fracción:

E=

√ √ √

a)6 b)9 c) 11 d)5 e) 1347._ al racionalizar la expresión: √ , el denominador es:

a) 21 b) 11 c) 13 d) 10 e) 14

ECUACIONES LINEALES:

1._ el valor de ¨x¨ que satisface la

ecuación

, es:

a)5 b)6 c)-5 d)7 e)12._ si k , el valor de ¨n¨ para que la

ecuación sea incompatible,

es:a)5/2 b)2/3 c)2/5 d)1 e)23._ si la ecuaciónmx + (3-n)x = 5x + 2m – 10 + n tieneinfinitas soluciones, entonces el valor dem – n, es:

a)2 b)3 c)1 d)-2 e)54._ hallar a – b para que la ecuación





81

(5a + 7)x – 5b+12 = 0, sea compatibleindeterminado

a)19/5 b)-19/5 c)12/5 d)-12/5 e)15._ resolver ;

a a)a-b b)a+b c)a d)b e)ab6._ si la ecuación es compatible indeterminada, entoncesel valor de ¨k¨, es:a)1 b)2 c)-1 d)3 e)5

ECUACIONES CUADRATICAS:

1._ si una de las raíces de la ecuación es -2, entonces el valorde ¨k¨, es:2._ si las ecuaciones cuadráticas y Tienenlas mismas raíces entonces el valor de¨m.n¨, es:

3._ si las ecuaciones cuadráticas y Presentanlas mismas soluciones, entonces el valorde ¨k + p¨, es:4._ si las ecuaciones cuadráticas y tienen raíz común.El producto de las raíces no comunes, es:5._ el valor de ¨k¨ para que la ecuación

Tengaraíces reales e iguales, es:6._ hallar el conjunto de valores de ¨k¨

para que la ecuación: Tenga raícesreales, es:7._ hallar el conjunto de valores de ¨k¨

para que la ecuación: No tengaraíces reales, es:

8._ hallar ¨m¨ en la ecuación:

Para que la suma delos cuadrados de sus raíces sea 40

9._ hallar la suma de los cuadrados delas raíces de la ecuación: Sabiendo que sus raíces son reciprocas.10._ el valor de ¨k¨ para que la ecuación tenga raíces simétricas es:

11._ hallar el valor de ´k´ para que la

ecuación tenga

raíces reciprocas.

12._ si los cuadrados de las dos raícesreales de la ecuación suman 9, entonces el valor de ¨c¨ es:13._ si p y q son las raíces de la ecuación . Hallar una ecuacióncuadrática cuyas raíces sean 14._ las raíces p y q de la ecuación son tal que

. Hallar el

producto de todos los valores de ¨k¨.

15._ si p y q son las raíces de la ecuación , tales que . El producto de los valores de ¨m¨ es:16._ dada la ecuación de raíces . Si ,entonces el valor de .

ECUACIONES:

1._ Determine la suma de los valores que

pueda tomar p para

Que la ecuación 21 1 0 p x px

Tenga una sola solución si p es un

número real y diferente

De -1.a) 3 b) 5 c) 6

d) 4 e) 2





82

2._ Si 1 2 x x son raíces de la ecuación2

2 4 0, x x

Calcule el valor de:1 2

1 1

3 3 E

x x

a) -3 b) -5 c) -4

d) -1 e) -2

3._ Qué valor debe tener n en la

ecuación2

48 0, x nx

Para que una raíz sea el triple de la otra.a) 13 b) 15 c) 16

d) 11 e) 12

4._ Dada la ecuación

24 2 2 0, x kx x

La suma de los valores de “k” que hacen

Que dicha ecuación tenga raíces reales e

iguales, es:a) -3 b) -5 c) -4

d) -2 e) -1

5._ Si una de las raíces de la ecuación

2 25 8 3 0 x n x n Es -3, la otra raíz

es:a) 3 b) 7 c) 4

d) 2 e) 1

6._ Hallar el mayor valor de “ m ”

Para que una de las raíces de la ecuación 2 2

3 2 1 0, x m x m Sea el triple de la

otra.

a) 3 b) 5 c) 6

d) 4 e) 2

7._ Si la ecuación 236 0 x nx

Admite como raíces 1 2 x x donde:

1 2

1 1 5 ,12 x x Encontrar el valor de “ n ”.

a) 13 b) 15 c) 16

d) 14 e) 12

8._ Si p q son las raíces de la ecuación2

0, x mx n el valor de2 2

p q , es:

2 2 2

2 2

a) 2 b) 4 c) 4

d) e) 2

m n m n m n

m n m n

9._ Formar la ecuación cuadrática cuyas

raíces son:3 1 1 3 2 2 2

a) 2 2 0 b) 2 2 0 c) 2 2 0 x x x x x x

2 2d) 2 2 0 e) 1 0 x x x x

10._ Si la ecuación cuadrática

24 6 2 0 p q x p q x

Es

incompatible,

Calcule el valor de 2 2 p q .a) 23 b) 25 c) 26

d) 24 e) 22

11._ El conjunto solución de los valores

de k para que

La ecuación

25 3 4 5 0k x kx k

No tenga raíces

reales,

Es:

a) 4,4 b) 2,2 c) 2,

d) 2, e) 4,

12._ Para qué valor de “ b ” la ecuación

3 5 1 6 2 7,bx x a x a Es compatible

indeterminada.





83

a) 3 b) 5 c) 6

d) 4 e) 2

13._ El valor de b para que la ecuación12 3 10

2 6 ,3

x abx a

Sea compatible

determinada, es:

a) R - {-2} b) R - {3} c) R - {2}

d) R - {-3} e) R

14._ Dada la ecuación:

2 2

3 10 3 10:

2 24 4 x x x x

Indicar un (V) si es verdad o un (F) si es

falsa de las

Siguientes proposiciones:

I. La ecuación es compatible.

II. La ecuación es compatible

indeterminado.

III. La ecuación es incompatible

IV. La única solución es x = 2.a) VFVV b) FVFV c) VVVV

d) FFVF e) FFFF

15._ Si 1 2 x x son las raíces de la

ecuación:

23 2 5 0. x m x m

Determine uno de los valores de m de

modo que:

2 2

1 1 2 25 28 x x x x

a) -3 b) -5 c) -4

d) -1 e) -2

16._ Hallar la suma de los cuadrados de

las raíces de la ecuación

22 2 4 4 2 0k x k x k . Sabiendo

Que las raíces son reciprocas.

82 83 83a) b) c)

13 13 9

82d)13

82e)9

17._ Si la ecuación

29 4 9 4 5 0m x m m x m

Admite raíces reciprocas. Hallar el valor

de “ m ”.

2 8 9a) b) c)

3 13 83

d) 2

2

e) 9

18._ Si la ecuación 22 5 0, x k x k se

conoce

Que una raíz excede a la otra en 3

unidades el

Valor de k es igual a:

a) -3 b) -5 c) -4d) -1 e) -2

19._ El mayor valor de “ k ” para que la

ecuación

22 8 15 x k x Tenga raíces reales e

iguales, es:a) 3 b) 5 c) 6

d) 4 e) 2

20._ El conjunto de valores de “ m ” paraque la ecuación

28 4 0mx x no tenga soluciones

reales, es:

a) 4,4 b) 2,2 c) 2,

d) 2, e) 4,

NIVEL II

1.- Dada la ecuación cuadrática2ax bx c 0 , ¿Cuál o cuáles de las





84

siguientes proposiciones son verdaderas?

I. La ecuación es compatibledeterminada, si a=0, b=0 y c=0.

II. La ecuación es incompatible, sia=0, b=0 y c 0 .

III. La ecuación no tiene raíces reales,si 2

b 4a c 0 .

IV. La ecuación tiene raíces iguales

imaginarias, si 2 b 4a c 0

a)II y IV b)Sólo II c)II y III

d)I y II e)II, III y IV

1. Señalar que ecuación tiene raícesreales e iguales:a) 2

x 3x 2 0

b) 2x 5x 4 0

c) 2x 2x 3 0

d) 22x 7x 3 0

e) 29x 30x 25 0

2. Para qué valor de “p” la ecuación:2

(p 1)x 2px p 3 0 , tiene dos raíces realese iguales?

a) 3

2 b) 1

3c) 2

3d) 2

3 e) 3

2

3. Si las raíces de la ecuación: 2m 5 x 7x 1 0

Son reales y diferentes, indique el mayor valor entero de “m”.

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

4. Si las raíces de la ecuación: 2

x 2x m 3 0

Son conjugadas complejas, señale el

menor valor entero de “m”.

a) –2 b) –1 c) 0 d)1 e)2

5. Para qué valor de “n” eldiscriminante deLa ecuación: 2

x 8x n 0 , es igual a 20.

a) 44 b) 11 c) 3 d) 22 e) 17

6. Determinar el valor de “m” en: 2

x 5x m 1

4x 3 m 2

Si las raíces tienen igual valor absoluto y con signo contrario (simétricos).

a) 2 b) 6 c) 10 d) 12 e)14

7. Si la ecuación: 23mx 6m 1 x m 4 0

Tiene raíces recíprocas. Señalar una deellas.

a) 1/2 b) 2/3 c)3/4

d) 4/5 e) 5/6

8. Siendo 1 2x x las raíces de cadaecuaciónIndicar cuántas relaciones nos e

cumplen:

21 23 6 1 0 2 x x x

21 25 4 0 4 x x x x

21 22 9 3 0 9/2 x x x x

21 25 3 5 0 1 x x x x

21 23 9 0 3 x x x x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) 5

* En cada una de las siguientespreguntas las ecuaciones tienen porraíces “ 1 2x ,x ”

9. Si: 1x y 2x son raíces de la ecuación:2

2x x 3 0





85

Calcular: 1 2

1 2

x x

x x

a) 0,5 b) 0,25 c) 1 d) 2 e)1/3

10. Ecuación: 22x 6x 5 0

Calcular: 2 21 2M x x

a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e)2


Calcular: 3 31 2M x x

a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19


Calcular:

1 2

1 2

2 x 2 xM

1 x 1 x

a) 5/4 b) 4/5 c) 5/6

d) 6/5 e) 7/5


Calcular: 1 2

2 1

x x 1Mx x 15

a) –2 b) –1 c) 0

d) 1 e) 2

14. Si la suma de los cuadrados de lasraíces es 34 en la ecuación:

2x 8x K 0

Indicar una de sus raíces.

a) –3 b) 3 c) –7 d) 7

15. Calcular la menor raíz de laecuación:

22x K 1 x K 1 0

Cuyas raíces difieren en 1.

a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

16. Dada la ecuación: 2x 10x m 0 , si

la suma de los cuadrados de sus raíces es40. Hallar “ 2m 1”

a) 39 b) 49 c) 59 d) 69 e) 79

17. Hallar la suma de las raíces e laecuación 22k 2 x 4 4k x k 2 0 si el producto

de sus raíces es 1:

a) 10

3

b) 3

10

c) 3

10 d) 10

3 e) 10

7

18. Hallar ecuaciones de segundo gradoconociendo sus raíces: Raíces: 1 2x 1 x 2 …………

Raíces: 1 2x 3 x 4 ………….

Raíces: 1 2x 0 x 5 ………… Raíces: 1 2x 6 x 6 ……….

Raíces: 1 2x 2/3 x 3/2 19. Forman una ecuación de segundogrado sabiendo que sus raíces son:

12

x3

y 2

1x

5

a) 217x 11x 2 0 b) 2

12x 8x 3 0

c) 25x 17x 1 0 d) 2

15x 7x 2 0

e)2

3x 3x 1 0 20. Las raíces de la ecuación de segundogrado son: 2 3 5 ; dicha ecuación es:a) x2 – 10x + 13 = 0 b) x2 + 10x – 13 = 0

c) x2 + 10x + 13 = 0 d) x2 – 10x – 13 = 0

e) x2 + 10x + 12 = 0

21. Cuántas proposiciones siguientesson verdaderas:I. Sean 1 2x y x las raíces de la

ecuación cuadrática ; Si: 1 2x .x 1 ,entonces las raíces son simétricas.

II. Toda ecuación cuadrática siempre

Tiene una solución real.

III. Dadas m y n raíces de la ecuacióncuadrática entonces dicha ecuación es:

2x (m n)x mn 0





86

IV. La suma de raíces de la ecuacióncuadrática: 2

2x 6x 7 0 es 3

a) 1 b) 4 c) 3 d) 2

e) 0

22. Cuántas de las siguientesproposicionesSon verdaderas:

I. La ecuación: 23x 5x 6 0, tiene

raíces

Reales diferentes.

II. La ecuación: 2ax bx c 0, es

incompatible,

si a 0, b 0 y c 0.

III. Si 1x y 2x son las raíces de la

ecuación: 2ax bx c 0, entonces

1 2

1 1 b

x x c .

IV. Si 1

2y 3

2 son las raíces de una

ecuación cuadrática, entonces laecuación, es: 2 3

x x 04

.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 e) 1

23. Cuantas proposiciones siguientesson verdaderas:I. Sean 1 2x y x las raíces de la

ecuación cuadrática ; Si: 1 2x .x 1 ,entonces las raíces son simétricas.

II. Toda ecuación cuadrática siempretiene una solución real.

III. Dadas m y n raíces de la ecuacióncuadrática entonces dicha ecuación es:

2x (m n)x mn 0

IV. La suma de raíces de la ecuacióncuadrática: 2

2x 6x 7 0 es 3

a) 1 b) 4 c) 3 d) 2

24. Para qué valor de “a”, la ecuación: 22a 3 x 3ax 4a 1 0

Tiene raíces iguales.

a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e)5

25. Dada la ecuación: 2x 10x m 0 , si

la suma de los cuadrados de sus raíces es40. Hallar “ 2m 1”

a) 39 b) 49 c) 59 d) 69 e) 7926. Si las raíces de la ecuación: 2m 4 x 5x 1 0

Son reales y diferentes, indique el mayor valor entero de “m”.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 5

27. Si las raíces de la ecuación: 2

x 10x m 5 0 Son complejas conjugadas, señale elmenor valor entero de “m”.

a) 22 b) 21 c) 20 d) 19 e) 18

INECUACIONES:PARTE I

1._

2._ 3(x-1) + 2(4-x) 5 – 2x





87

3._ 4x - 1x + 5<1 – x

4._ <x + 55 – 2x

5._ x – 1<7 – 2x

6._

PARTE II1._ + 10x + 210

2._ - 2x – 15>0

3._ - 7x - 30

4._ + 11x + 2<0

5._ 5

6._ - 12x + 36>0

7._ + 10x + 250

8._ - 16x + 64<0

9._

- 10x + 1

0





88

10._ + 12x + 90

PARTE III

1._ + 2x + 5>0

2._ - 2x + 7<0

3._ + x + 50

4._ + x + 20

5._ ( + x + 4)( )

6._ - 10

7._ ( + 3x + 7)( )>

8._ ( - x + 1)( )

PARTE IV

1._

2._ <0

3._





89

4._ x

5._

6._

7._

8._

9._

10._

EXAMENES UNSAAC

1._ el conjunto solución de la inecuación

a) <-3,7> b) R-<-3,7> c) R-

d) R-<-3, e) R- 2._ el conjunto solución de lainecuación:

x , xR-{0} es:

a) R-<0, b) <-U c) <-U<0, d) e) <0, 3._ el conjunto solución de la

inecuación: , es:

a)<1,3> b) c) d)<-3,-1>e)R 4._ el conjunto solución de lainecuación: Es:

a) <-

b)

c) <-

d) <-

e) <- 5._ el conjunto solución de lainecuación:

x , es:

a) b) c) d) e)<- 6._ la suma de los valores enteros de “x”que verifican la desigualdad.

3x – 2<x + 67x – 6, es:a)4 b)6 c)5 d)7 e)9





90

7._ el conjunto solución de lainecuación:

, es:a) R b) c) R-{-2/3} d) R-{2/3} e){2/3}8._ el conjunto solución de lainecuación: , es:

a) <-√ √ > b) R c) d) <1,2>e) <-2,-1>9._ el conjunto solución de lainecuación:

, es:

a) {3/10} b) {-3/10} c) R d) e) R-{-3/10}10._ el conjunto solución de lainecuación: , es:

a) [2/5,+> b) [-5/2,+ c) <-

d) [5/2,+

> e) <-

,5/2]

11._ el conjunto solución de la

inecuación: , es:a) {4} b) <- ,4] c) [4,+ > d) e) R-{4}12._ la suma de los valores enteros queno se encuentran en el conjunto soluciónde la inecuación:( ) ( )>0, es:a)4 b)5 c)3 d) 15 e)913._ el menor número entero que

satisface la inecuación: , es:

a)-3 b)-2 c)2 d)-1 e)314._ el conjunto solución de lainecuación: , es:a) R b) c) R-{-2/3} d) R-{2/3} e){2/3}15._ hallar la suma de los números

enteros que satisfacen la inecuación:

, es:

a)10 b)12 c)14 d)18 e)2416._ indique cuantos enteros verifican lainecuación: , es:

a)3 b)6 c)5 d)0 e)1BANKITO DOMINGO SAVIO1._ hallar el intervalo de solución de:(x-5)(x-4)(X+1)(X+3) 2._ hallar el intervalo de solución de:

3._ determinar la suma de los valoresenteros que satisfacen la inecuación. ,4._ la inecuación: , tiene por solución elintervalo?5._ el conjunto solución de lainecuación:

, es:

6._ la solución de la inecuación: , es:7._ hallar el conjunto solución de lainecuación: 8._ el conjunto solución de lainecuación: 9._ el conjunto solución de lainecuación:

10._ determinar el intervalo de soluciónde: 11._ resolver: 12._ resolver: 13._ resolver:

14._ resolver:





91

15._ el conjunto solución de:

16._ el conjunto solución de lainecuación: 17._ hallar el conjunto solución de:X (3x+2) < 18._ resolver:

19._ hallar el complemento de intervaloal cual pertenece “x” en:

BANKITO UNSAAC

1._ el conjunto solución de la inecuación es:

2._ el mayor valor entero positivo de¨x¨, que verifica a la desigualdad

es:

3._ si

4._ si , hallar el valor de ¨m¨

talque

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)





92

k)

l)

2._ el conjunto solución de lainecuacion, es:

a)

b)

c)

d)

e) ||

f)

| |

g) || | | ||

h) || | | ||

i) ||||||

VALOR ABSOLUTO

1._ resolver:





93

| | a) {-1,5} b) {0,5} c) {5,-4} d) {4,5} e)

2._ al resolver la ecuación:| | , el valor de “x” es: a)0 b)-1 c)2 d)-4 y 2 e)-43._ el conjunto solución de:| | | | , es:a){-5,-3} b){-5,2} c){-5,-1/3} d){-2,5}e){-3,-2}4._ el conjunto solución de:| | , es:a) <-5,-2> b) [-5,-2] c) [-8,-2] d) [-8,-5]

e) [-2,-5>5._ la solución de:| | , es:a)<- > b)<- ]U[2,+> c)[2,+>d){2} e)[1,2]6._ dar el conjunto solución de:| | | | , es:a)[1,2] b)<- c)<1,2>d)<-

e)<1,2]

7._ resolver:

|| a) {3} b) {-3,3} c) {-1} d) {6,-3} e){3,8}8._ calcular la suma de los cuadrados delas raíces de la ecuación: || a)4 b)9 c) 10 d) 13 e)59._ resolver:

|| ||

a){2,0} b){-2,-1,0} c){0,2,3} d){-2,0,2}e){-3,-2,1}10._ el conjunto solución de lainecuación:| | || || || , es:11._ si x <0,3>, calcular:

K=||||

a)8 b) 11 c)3 d)-5 e)-612._ resolver la igualdad:

| | ||

a) {-1,3/5} b) {2,3/4} c) {3/4} d) {-1/2,1} e) {3/5}

13._ las soluciones de la ecuación son:|| a)-1,0 b)-2,-1 c)-2,0 d)-1, 0,1 e) 0,114._ ¿Cuántos valores satisface lainecuación?| | | | a)3 b)2 c)4 d)1 e)515._ al resolver la ecuación:|| , Se obtiene como c.s. a ?

a){-6,6} b){6} c){-6,0,6} d){0,6} e){-

6,-1,1,6}16._ resolver:|| | | || Dar lasuma de las soluciones.a)3/2 b)5/2 c)1 d)-1 e)-217._ hallar la suma de elementos de c.s.de:|| | | | | a)0 b)-1 c)2 d)3 e)-418._ la suma de elementos de c.s. de:

| | a)5 b)-1 c)2 d)0 e)119._ hallar la suma de cuadrados de los

valores enteros que satisfacen laecuación:| | || a)2 b)3 c)4 d)5 e)620._ la suma de las raíces de la ecuación:

||

||

a)0 b) 11 c)-1 d)1 e)6

21._ el conjunto solución que obtiene alresolver:| | | | a){1,7} b){2,6} c){1,2,6,7} d){1,2,7} e){-2,6}22._ resolver:| | 23._ el conjunto solución de:

| |

24._ resolver:





94

a) {3/7,5} b)3 c)-3/7 d) {5/7,3/7}e) {5/7,2/7}

25._ resolver:| | 26._ resolver:| | 27._ resolver:| | | | 28._ resolver:| | | | | | 29._ resolver

| | | | | | | | | | NIVEL II

1._ el valor de ¨x¨ que satisface laecuación, es:a) | |

b) | |

c) | | | |

d)

e) | |

f) | | | |

g) | | | | | | | |

h) | | | |

i) | | | |

j) | | | |





95

k) | | | |

l) | | | |

m) | | | |

n)

| | | |

o) | | | | | | | |

p) | | | | | | | | | |

q) | | | | | | | |

r) | | | | | | | |

s) | | | | | | | |

t) | | | | | | | |

u) | | | | | | | | | | | |

2._ la suma de las de las raíces| | | | 3._ | | 4._

| |

2._ el conjunto solución de la inecuacióncon v.a.





96

a) | | b)

| |

c) | | d) | | e) | | f) | | g) | | h) | | i) || | |

j) | | | | k)

| | | |

l)

| | | |

m) | | | | | | | | n) || | | | | o) | | | | | | p) | | | | q) | | | | r) | | | | s) | | | | t)

| | | | | | | |

u) | | | | | | | | | | v) | | | | || 2._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |,es:3._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |,es:

4._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |, es:

5._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |,es:6._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |,es:

7._ el conjunto solución de la inecuación

| | | | | | | |,es:

8._ el conjunto solución de la inecuación| | | | | | | |,es:9_ resolver:| | | | | |

GEOMETRIA ANALITICA:1._ hallar la distancia entre los puntos

A(3;1) y B(6;4)

a)3

√ b)2 c)5 d)3 e)4

2._ si: A=(1;1), B=(5;1) y C=(1;4); son los vértices de un triángulo; entonces elsemiperímetro de dicho triangulo es:a)6 b)7 c)8 d)9 e)103._ si el punto R(n;n+1) equidista de

A(2;1) y B(-6;5). Hallar “n”a)4 b)-4 c)6 d)5 e)-64._ si la distancia entre los puntos (3;5)

y (-6;a) es 9.El valor de “a” es:

a)5 b)12 c)10 d)9 e)85._ calcular el área del triángulo cuyos

vértices son los puntos: A(2;-3), B(3;2) y C(-2;5).a)10 b)12 c)14 d)16 e)186._ la pendiente de la recta que pasa porlos puntos A(x , x + 1) y B(1 , -2); es 3.Hallar “x” a)1 b)2 c)3 d)0 e)57._ hallar la ecuación de la recta que

pasa por el punto (3 , 4) y cuyapendiente es -1/5.a)x – 5y – 23 = 0 b)5y – x + 23 = 0c)x + 5y – 3 = 0 d)x – 5y – 23 = 0e)x – 5y – 24 = 08._ ¿cuál es la ecuación de la recta quepasa por los puntos (1 , 2) y (-3 , 10)?a)y + x – 2 = 0 b)y + 2x = 4c)y + x = 3 d)x – y = 7 e)y = 2x + 39._ hallar la ecuación de la recta que

pasa por el punto (1 , 4) y es paralela a larecta





97

2x – 5y + 7 = 0a)5y - 2x + 4 = 0 b)2x + 5y + 18 = 0

c)2x – 5y + 18 = 0 d)4x + 10y – 3 = 0e)2x – 5y + 8 = 010._ si la recta con pendiente -3 pasapor los puntos (0 , 0) y (a , b); y la recta con pendiente 2, pasa por los puntos(a , b) y (3 , 1), el valor de “a - b” es: a)-4 b)4 c)2 d)5 e)-211._ hallar la distancia del punto (5 , 8) ala recta L:3x + 4y – 12 = 0a)35 b)7 c)5 d)11 e)13

12._ hallar el valor de “n”, si la distanciade la recta L:4x – 3y = n, al puntoP=(-2 , 1) es de 2 unidades.a)-20 b)-15 c)15 d)-21 e)20

CIRCUNFERENCIA

Nivel I1._ hallar la ecuación de lacircunferencia con centro C(4 ; -2) y

radio r=5.a)

b) c) d) e) 2._ hallar el centro y el radio de lacircunferencia a)(3 , 4) y 4 b)(-3 , 4) y 16

c)(-3 , -4) y 4 d)(3 , 4) y 16e)(3 , -4) y 43._ determinar la longitud de lacircunferencia cuya ecuación es: a)11 b)4 c)6 d)7 e)8 4._ si “m” es igual a 2, hallar la longituddel diámetro de la circunferencia deecuación:

a)2 b)4 c)24 d)36 e)12

5._ hallar la suma de los componentesdel centro de la circunferencia cuya

ecuación es:C: a)1 b)2 c)-2 d)-1 e)06._ hallar la ecuación de lacircunferencia de centro en (2 , 2) y quepasa por el punto (4 , 5)a)

b) c) d)

e) 7._ hallar la ecuación de lacircunferencia cuyos extremos de sudiámetro son los puntos (2 , 3) y (-4 ,5)a)

b) c) d) e)

8._ hallar la ecuación de la

circunferencia cuyo centro está sobre eleje X positivo, pasa por el origen decoordenadas y tiene como diámetro 10unidades.a)

b) c)

d) √ e)

9._ la ecuación de la circunferencia cuyocentro esta sobre el eje “X” y que pasapor los puntos (1 , 3) y (4 , 6) es:a)

b) c) d) e) 10._ una circunferencia pasa por elpunto (4 , 5), su radio es 5 unidades y sucentro esta sobre el eje “Y”; la ecuaciónde la circunferencia es:





98

a) b)

c) d) e) 11._ hallar la ecuación de lacircunferencia concéntrica a lacircunferencia, ; cuyo radioes un tercio del radio de estacircunferencia.a)

b) c) d) e) 12._ hallar la ecuación de la rectatangente a la circunferencia: ; en el puntoP=(2 , 5)a)3x – 4y = 26

b)4x – 3y = 0c)d)e)

13._ los puntos extremos de una cuerdade una circunferencia son: A=(2 , 7) y B=(4 ,1). La ecuación de estacircunferencia que tiene su centro en eleje “Y” es: a)

b) c) d)

e)

14._ hallar la ecuación de lacircunferencia con centro en el origen decoordenadas, si es a la vez tangente a larecta de ecuación:L:3x – 4y = -20.a)

b) c) d)

e)

15._ si la ecuación de la circunferenciaestá dada por:

, halle lasuma de las componentes del centro.a)1/2 b)3/2 c)-3/4 d)-1/2 e)4/3

nivel II1._ la ecuación de la circunferencia concentro en (2 , 3) y que pasa por (3 , 5),es:a)

b)

c) d) e) 2._ halle la ecuación de la circunferenciaQue pasa por (2 , -1) y de centro (0 , 4)a)

b) c) d)

e)

3._ determinar la ecuación de lacircunferencia de radio 4 con centro enla intersección de las rectas

y a)

b) c) d) e)

4._ la longitud de una circunferencia

cuya ecuación es:a)4 b) c)8 d)10e) 5._ si la circunferencia De radio 3 es concéntrica a lacircunferencia: Calcular: D + E + Fa)10 b)-10 c)4 d)-4 e)6





99

6._ hallar la ecuación de lacircunferencia cuyo centro se encuentra

sobre el eje X y que pasa por los puntos(2 , 4) y el origen.Rpta: 7._ la ecuación de la circunferencia decentro en el eje Y, que pasa por lospuntos (2 , 1) y (5 , 4), es:Rpta: 8._ la ecuación de la circunferencia decentro (-2 , 5) y que es tangente a la rectax = 2, es:

Rpta: 9._ la ecuación de la circunferencia decentro (2, -3) y tangente a la recta y = -5,es:Rpta: 10._ la ecuación de la circunferencia decentro (2 , 5) y que es tangente a la rectaL:3x + 4y – 6 = 0; es:Rpta: 11._ la ecuación de la circunferencia de

centro (-4 , -1) y que es, tangente a larecta L:3x + 2y – 12 = 0, es:Rpta: 12._ la ecuación de la circunferencia decentro (1 , -2) y que es tangente a la rectaL:x – y – 1 = 0, es:Rpta: 13._ la ecuación de la circunferencia quepasa por los puntos (5 , 0) y (1 , 4) cuyocentro está en la recta L:x + y – 3 = 0, es:

Rpta: 14._ la ecuación de la circunferencia quepasa por los puntos (3 , -2) y (-1, -6) cuyocentro está en la recta L:x – 3y + 3 = 0,es:Rpta: 15._ la ecuación de la circunferencia quepasa por el punto (3 , 2) y cuyo centroestá en la intersección de las rectas:

Rpta:

16._ la ecuación de la circunferencia quepasa por los puntos (2 , 1) , (1 , -1) y

(0 , -1); es:Rpta: 17._ si al recta x – y + 3 = 0 es tangente ala circunferencia enel punto Q(a , b). hallar ¨a + b¨Rpta:-1/318._ una recta es tangente a lacircunferencia en el punto (-5 , 6) la pendiente de larecta tangente, es:

Rpta:-4/319._ la ecuación de la circunferencia quepasa por los puntos (0 , 1) y (-1 , 2) y quees tangente al eje X,. es:Rpta: 20._ la ecuación de la circunferencia quees tangente al eje X en (4,0) y que pasapor el punto (7,1), es:Rpta: 21._ la ecuación de la circunferencia que

es tangente al eje Y en (0 , 3) y que pasapor el punto (-2 , -1), es:Rpta: 22._ hallar el mayor valor de ¨K¨ paraque la ecuación represente una circunferencia de

radio √ unidades.Rpta:623._ el menor valor de ¨k¨ para que larecta L:3x – 2y + k = 0 sea tangente a la

circunferencia , es:Rpta:-3824._ el menor valor de ¨k¨ para que larecta L:4x – 3y + k – 5 = 0 sea tangente ala circunferencia ,es:Rpta:-2225._ hallar la ecuación de lacircunferencia concéntrica

y quees tangente a la recta 5x- 12y -1 = 0





100

26._ si la gráfica de la circunferencia:

Pasa por elpunto (3 , k), el mayor valor de ¨k¨, es:27._ hallar la ecuación de lacircunferencia concéntrica con y que estangente al eje Y.28._ hallar la ecuación de lacircunferencia que pasa por (5 , 1) y cuyocentro es el punto de intersección de lasrectas:

29._ hallar la ecuación de lacircunferencia concéntrica con y que pasa porel punto (1 , 2)PARABOLA

1._ la ecuación de la parábola de focoF(1 , 3) vértice V(-2 , 3) es:

a) b) c) d) e) 2._ hallar la ecuación de parábola cuyo

vértice es V(3 , 8) y foco es F(3 , 4)a)

b)

c)

d) e )3._ hallar la ecuación de la parábola con

vértice en el origen de coordenadas y directriz L:x + 6 = 0a)

b) c) d)

e)

4._ halla la ecuación de la parábola con vértice en (-2 , -4), eje focal paralelo al

eje “Y”, con d=(V,F)=1. a)

b) c) d) e) 5._ hallar la suma de los componentesdel vértice de la parábola: .a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

6._ la longitud del ancho focal en laparábola , es:a)2/3 b)3/4 c)3 d)2 e)3/87._ determinar la ecuación de unaparábola con vértice en (2 , 2) que pasapor el punto (-4 , 4) y tiene el eje focalparalelo al eje “Y”· a)

b)

c)

d) e) 8._ la suma de los componentes del focode la parábola: , es:a)2 b)4 c)6 d)8 e)109._ hallar las coordenadas del foco de laparábola: a)(-1/2 , -1) b)(-3 , -1) c)(-7/2 , -1)d)(-2 , -1) e)(-1 , -2)10._ hallar la ecuación de la parábola

con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto (0 , 3).a)

b) c) d) e) 11._ hallar la longitud del lado recto(ancho focal) de la parábola con vérticeen el origen, eje focal coincidente con el

eje “X” y que pasa por el punto (-2 , 4).a)2 b)4 c)6 d)8 e)10





101

12._ la ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas

simétricas con respecto a eje “Y” y quepasa por el punto (4 , -8) es:a)

b) c) d) e) 13._ el vértice de una parábola es (-2 , 3)pasa por el punto (-4 , 5) y su eje focal esparalelo al eje “X”; el foco es:

a)(-6 , 3) b)(-3 , 5/2) c)(-3 , 3)d)(-5/2 , 3) e)(-3/2 , 3)14._ hallar la ecuación de la parábolacuyo eje es paralelo al eje “X” y que pasapor los tres puntos (0 , 0) , (8 , -4) y (3 ,1)a)

b) c) d)

e)

ELIPCE

1._ dada la ecuación de la elipse: La suma desus coordenadas del centro de la elipsees:a)3 b)-1 c)2 d)0 e)12._ hallar la ecuación de la elipse si el eje

focal es paralelo al eje “X”, cuyo centroestá en el origen si la longitud de lossemiejes mayor y menor son 5 y 4respectivamente:

a) b)

c) d)

e)

3._ hallar la ecuación de la elipse si el

centro está en C(3 , 2), uno de los focos

es (7 , 2) y el vértice correspondiente es

(9 , 2)

a)

b)

c)

d)

e)

4._ dada la ecuación de la elipse: , hallar suexcentricidad.a)3/7 b)3/5 c)3/4 d)1/2 e)2/55._ la longitud del eje mayor de la elipse

, es:

a)6 b)4 c)9 d)13 e)56._ dada la ecuación de la elipse: , eltriple de la longitud de su lado recto es:a)18 b)16 c)12 d)9 e)157._ una elipse tiene su centro en elorigen y su eje mayor coincide con el eje“X”. hallar su ecuación sabiendo que

pasa por los puntos: A(√ ) y B(2 ;

√ )

a) b)

c) d)

e)

8._ los vértices de una elipse son lospuntos (4 , 0) ; (-4 , 0) y sus focos (3 , 0);(-3 , 0). Hallar al ecuación de la elipse.a) b) c)

d)

e)





102

9._ si

, es la ecuación de una elipse, entonces

la longitud del semieje mayor es:a)1 b)2 c)3 d)4 e)510._ si: , esla ecuación de una elipse, calcular lasuma de las longitudes del eje mayor y eje menor.a)8 b)9 c)12 d)5 e)411._ hallar la longitud del lado recto de laelipse:

.a)6 b)7 c)8 d)5 e)412._ si: , representala ecuación de una elipse,Calcular: ¨c + e¨

a)6 b)7 c)8 d)5 e)

13._ encuentre los vértices de la elipse:

a)(5 , 0) y (5 , 4) b)(5 , 0) y (5 , 6)c)(0 , 5) y (6 , 0) d)(0 , 5) y (6 , 5)e)(-5 , 0) y (-5 , 6)

FUNCIONESFunciones I1._ si ¨f¨ representa una función donde. Entonces la suma de los elementos delrango es:a)12 b)88 c)44 d)24 e)382._ dada la función siguiente:F= hallar el valor dela siguiente expresion:

C = a)6 b)8 c)10 d)12 e)163._ indicar el dominio de: :

4._ hallar el rango de la función:

√ :

5._ calcular el dominio de la siguientefunción:

:

6._ si ̈ F¨ es una función definida por:F= Entonces la suma de los elementos delrango es:a)6 b)11 c)8 d)13 e)97._ sea la función ¨F¨, tal que: f(x)=2x +1, si Dom(f)=

, halle la suma

de los elementos del Ran(f).a)30 b)31 c)32 d)33 e)608._ sea la función ¨f¨ , tal que: f(x)=3x +2,Si x halle la suma de elementos derangoa)25 b)31 c)42 d)51 e)629._ dada la relación:

{ | | | | ( √ ) }halle el

valor de ¨x - y¨ para que ¨f¨ sea función.a)24 b)20 c)12 d)14 e)1810._ la función f(x) = , toma suminimo valor ¨a¨ cuando X es igual a¨b¨. halle: aba)8 b)-8 c)4 d)-1 e)-411._ si (2, 5) es un punto que pertenece ala grafica de la función f(x)= ,calcule m + 3, si (5 , m) tambiénpertenece a la grafica de la función f.a)29 b)0 c)6 d)3 e)712._ si el conjunto de pares ordenados: Representa una función. Halle Domf Ranf a) b) c) d) e) 13._ si el conjunto de pares ordenados:





103

Es una función, calcule la suma deelementos del rango, a

0.

a)4 b)3 c)0 d)1 e)214._ hallar el dominio de: √ √

Y dar como respuesta la suma de valoresenteros de su dominio.a)5 b)20 c)39 d)15 e)015._ sea f una función real tal que: ; x ⟨

⟩

a + b = ?

a)0 b)4 c)8 d)12 e)16

16._ indique el dominio de la función: √ √

a)⟨⟩ b)* * c)* * d) ⟨⟩

e) * *

17._ el dominio de la función realdefinida por:

F(x)= | |, es:

a)

b)

c)

d)

e) 18._ hallar el rango de la función:f(x)= , x a) b) c) d) e) 19._ el rango de la función de la funciónreal definida por:

f(x)=

20._ hallar el rango de la función g tal

que: g(x)= 21._ hallar el rango de la función:

F(x)=

22._ hallar el rango de la función real

definida por: f(x)= 3- √ , es:23._ si ¨f¨ es una función de finida por:

F(x)= √ – 3 entonces:Dom(f)

Ran(f), es:

24._ hallar el rango de la siguiente

función: f(x)= √ ⟨⟩

25._ sea la función real:

F(x)= -

√ , hallar la suma de los

elementos enteros de: Dom(f)Ran(f)a)-1 b)-3 c)-2 d)3 e)226._ hallar el mayor valor entero derango de la función:

F(x)= √ ⟨√ ⟩ a)-1 b)0 c)-2 d)-3 e)127._ hallar el dominio de la función:

F(x)=* ||+

28._ sea:

F(x)= . Una funciónreal, la suma de los elementos del rangode la función es:a)-1 b)0 c)3 d)-3 e)129._ hallar el dominio de la función:

F(x)= √ 30._ hallar el rango de:F(x)= 4x-3; x 31._ sea la función:

F(x)= -3, de Ran(f)= , hallar eldominio:32._ hallar el dominio de la función:

F(x)=

33._ hallar el dominio de la función:

F(x)=

Hallar el rango de la función:

H(x)= ⟨⟩

34._ hallar el rango de la función:F(x)= 35._ si la función real:F(x)=√ Proporcione ¨n¨a)-3/2 b)5/2 c)-3/4 d)-2/3 e)-3/536._ halle el dominio de la función:

F(x)=

√





104

Funciones II1._ sea F una función constante, tal que:

, halle el valor de:

f(24)+f(31)+f(44)a)3 b)9 c)12 d)18 e)212._ si se sabe que f es una funciónconstante: Si a,b,c R, entonces el valor de(a+b+c), es:

a)6 b)8 c)0 d)12 e)163._ calcular el valor de: E= a – b – p,sabiendo que la siguiente función es dela identidad: a)3 b)1 c)5 d)6 e)2

4._ el rango de la función real ¨f¨

definida por √ , es:

a)

* +b)

c)

d)

e) 5._ resolver: ⟦ ⟧

a) * + b)* * c)⟨ ⟩ d)+ +

e) ⟨⟩ 6._ sea la función f cuya regla decorrespondencia es: | |

.hallar (1)

a)1 b)-1 c)0 d)2 e)-27._ sea f una función real definido por: | |

El valor de: ⟦⟧ es:a)15 b)30 c)50 d)25 e)458._ el rango de la función:

| | , es:

a)

*

+b)

c)

⟨

⟩

d)+ + e) ⟨⟩ 9._ dada la función: ,el valor de f(-3), es:

a)15 b)30 c)50 d)25 e)4510._ dadas las funciones , calcule: a)5 b)10 c)15 d)12 e)17

11._ si: ⟦⟧ .hallar:

a)1 b)0 c)4 d)5 e)312._ dada la función: || el valor de , es:a)-5 b)-10 c)-4 d)2 e)713._ si:

calcular: a)0 b)1 c)-1 d)3 e)614._ dada la función: el valor de , es:a)15 b)20 c)25 d)12 e)1615._ sea la función f cuya regla decorrespondencia es:

| | hallar: f(1)a)1 b)0 c)3 d)5 e)-1

16._ si: ⟦⟧ hallar:

f(3/2)a)1 b)0 c)3 d)5 e)-117._ dada la función:





105

el valor de , es:a)20 b)10 c)-5 d)12 e)4

18._ dada la función: hallar: f(1/2)a)20 b)12/5 c)-5 d)12 e)419._ dada la función: ⟦ ⟧ | | Hallar:f(1/3)a)-10/3 b)-1 c)-5/3 d)10/3 e)-11/3

20._ dada la función: 5x – 3y + 7 = 0, ⟨, hallar el rango de dichafunción:a) ⟨ b) ⟨⟩ c) d) ⟨ e) ⟨⟩ 21._ si ,

- es una función identidad,

entonces el valor de E = a + b + c,es:22._ si es una función lineal, entonces el valordeE = a + b + c, es:23._ sea ¨f¨ una función lineal, tal quef(2)=4; f(3)=9. El valor de f(-2), es:24._sea ¨f¨ una función cuadrática, talque f(-1)=2; f(1)=4 y f(-2)=6. El valor def(2), es:

25._ dada la función real ¨f¨ de variablereal, definida por | | El valor de ⟦⟧, es:26._ dada la función ¨f¨ definida por |⟦ ⟧|

, el valor de f(-1/2), es:

27._ la función real ¨f¨ definida por

, con

tiene como

rango:28._ el dominio de la función real ¨f¨

definida por ||||, es:

29._ el dominio de la función real ¨f¨

definida por || || ,es:30._ el rango de la función real ¨f¨

definida por

√ √ , es:

31._ el rango de la función real ¨f¨definida por ⟦⟧ ,es:32._ el rango de la función real ¨f¨

definida por ⟦⟧, es:33._ dada la función real ¨f¨ definida

por .la suma de elementos

de su rango, es:34._ el rango de la función real ¨f¨

definida por ⟦⟧⟦⟧ ||⟦⟧ , con ⟨⟩, es:35._ el rango de la función real ¨f¨definida por | | , es:36._ el rango de la función real ¨f¨definida por ||, es:37._ el rango de la función real ¨f¨definida por || , es:38._ el rango de la función real ¨f¨definida por

| | | |, es:

39._ el rango de la función real ¨f¨definida por , es:40._ el rango de la función real ¨f¨definida por , es:41._ el rango de la función real ¨f¨definida por | | ,es:





106

42._ el rango de la función real ¨f¨definida por

| | ,

es:43._ el rango de la función real ¨f¨

definida por ||||, es:

44._ dada la función real ¨f¨, definidapor

, el rango, es:

45._ en la función real ¨f¨, definida por

, elrango, es:

FUNCIONES III1._f= g= hallar la suma de los elementos delrango de la función compuesta: FoG2._dada las funciones:

hallar la suma de los elementos delrango de la función 3._ f(x) = x – 2 g(x) = x + 7 , hallar

X+1 , x+5 , x+2 , x+3 , x+44._ f(2x+3)=4x+1 g(x)=

hallar

, , , ,

5._ f(x)= , hallar

6._ hallar lasuma de elementos del rango de ¨h¨ talque G = HoF7._ f(x+2)=3x-2 en una función real

8._ sea f(x)= determinar

9._ si f(2x+1)=4x-3 es una función real;

el valor de

* +, es

10._ g(x-1)=3x+1 hallar 11._ lasuma de elementos de rango de la

función , es:

12._ la suma delos elementos del rango de la funciónFoG, es:

13._ ; es:

14._ hallar 15._ hallar el rangoFoG

16._f(x)=2x-3;_ g(x)=

halle

17._ ¨f¨ es una función, halle la suma delos elementos del rango.18._ indicar el dominio

19._ rango

√

20._ dominio

21._ rango √

22._ rango √

23._ rango √

FUNCION EXPONENCIAL

24._ el rango de la función real ¨f¨definida por

, es:

25._ el dominio de la función real ¨f¨definida por √ , es:





107

26._ dada la función real ¨f¨ definida

por

, hallar Dom(

)

27._ dada la función real ¨f¨ definida por , hallar Dom( )

28._ el rango de la función real ¨f¨definida por | | , es:29._ el rango de la función real ¨f¨

definida por , es:30._ el rango de la función real ¨f¨definida por

, es:

31._ el rango de la función real de

variable real ¨f¨ definida por , es:32._ el rango de la función real ¨f¨

definida por , es:33._ el rango de la función real ¨f¨

definida por ,es:34._ el rango de la función real ¨f¨

definida por

,

es:35._ el rango de la función real ¨f¨



definida por

, es:38._ el rango de la función real ¨f¨



definida por || , es:41._ el rango de la función real ¨f¨

definida por || , es:

42._ el rango de la función real ¨f¨

definida por

|| , es:43._ el rango de la función real ¨f¨

definida por ||, es:44._ el rango de la función real ¨f¨



definida por

||, es:

FUNCION LOGARITMICA:

47._ , el dominio def(x) es:a) b)⟨⟩ c)⟨⟩ d) e) 48._ dada la función de una variable realdefinida por con , setiene que:

I) la función f es creciente.II) si , entonces III) ) si , entonces Cuantas son verdaderas:a)solo II b)II y III c)solo III d)I y IIIe)I y II

49._ determine

el dominio:50._ el dominio de la función es:

51._ el dominio de la función real , es:52._ el dominio de la función real f,

definida por

53._ el dominio de la función real f,

definida por , es:

54._ el dominio de la función real f,

definida por , es:




55._ el dominio de la función real f,definida por

, es:56._ el dominio de la función real f,definida por 57._ el dominio de la función real f,definida por 58._ el dominio de la función real f,definida por

, es:

59._ el dominio de la función real f,definida por , es:

60._ el dominio de la función real f,definida por , es:

61._ el dominio de la función real

, es:

62._ el dominio de la función real , es:

63._ el dominio de la función real f definida por , es:

64._ el rango de la función real f definida por , es:65 el rango de la función real f definida

69._ dada la función real f definida por

, hallar el

dominio de f.70._ la función inversa de la funciónlogarítmica f definida por ; x ,es:71._ dada la función real f definida por Hallar la funcióninversa de f.72._ sea la función

, hallar

Dom(f)73._ dada la función real f definida por si x ,

entonces el rango de f, es:74._ el dominio de la función f de

variable real, definida por

,es:

75._ el dominio de la función

, es:

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