Lezioni di Meccanica del Volo 4 - Forze aerodinamiche · quanto va al di l a delle necessit a della...

Lezioni di Meccanica del Volo4 - Forze aerodinamiche

L. Trainelli

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Indice

1 INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1 Sforzi e risultanti delle azioni aerodinamiche . . . . . . . . . . . . 52.2 Analisi dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Teorema di Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Vento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3 Caratterizzazione delle dipendenze . . . . . . . . . . . . . 92.2.4 Coefficienti adimensionali di forza e momento . . . . . . . 11

2.3 Componenti delle azioni aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.1 Componenti di forza nel riferimento aerodinamico . . . . 122.3.2 Componenti di forza nel riferimento solidale . . . . . . . . 142.3.3 Componenti di momento nel riferimento solidale . . . . . 14

2.4 Effetto del numero di Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.1 Numero di Mach e fenomeni di comprimibilita . . . . . . 162.4.2 Regimi di volo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Effetto del numero di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.1 Numero di Reynolds e strato limite . . . . . . . . . . . . . 182.5.2 Strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Dipendenza dalla velocita equivalente . . . . . . . . . . . . . . . 213 AERODINAMICA DEL PROFILO ALARE . . . . . . . . . . . . 233.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Descrizione di un profilo alare . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2 Riferimenti per un profilo alare . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.3 Azioni aerodinamiche su un profilo alare . . . . . . . . . . 24

3.2 Portanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.1 Curva di portanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2 Stallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.3 Approssimazione per basse incidenze . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.1 Resistenze di pressione e d’attrito . . . . . . . . . . . . . . 283.3.2 Polare del profilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.3 Efficienza aerodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Momento di beccheggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4.1 Regola di trasporto dei momenti . . . . . . . . . . . . . . 303.4.2 Centro di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.3 Centro aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.4 Curva di momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Superfici mobili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6 Effetto dei numeri di Mach e Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6.1 Numero di Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6.2 Numero di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 AERODINAMICA DELL’ALA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 AERODINAMICA DEL VELIVOLO . . . . . . . . . . . . . . . . 38

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NB – Versione parziale in corso di completamento.

7 marzo 2011(Versione 2.2)

1 INTRODUZIONE 4

If you push the stick forward, the houses get bigger. If you pull the stickback, they get smaller. Unless you keep pulling the stick all the way back- then they get bigger again.

– one of the ‘Flight rules’ (from the Internet).

1 INTRODUZIONE

In questa sezione consideriamo la modalita di generazione delle forze aerodi-namiche sul velivolo, con particolare riferimento al volo rettilineo stazionario.Infatti questo, da un lato e di fondamentale importanza in quanto rappresen-tativo delle condizioni di volo affrontate per la maggior parte del tempo nelcorso di una missione dalla grande maggioranza dei velivoli; dall’altro, consentedi mettere in luce gli aspetti piu importanti ed utili alla comprensione dellefenomenologie coinvolte. Inoltre, una discussione dedicata al volo curvilineoe/o non stazionario comporterebbe un notevole incremento della complessitadell’esposizione, inadatto al carattere introduttivo della presente trattazione.

Il velivolo e assunto come caratterizzato da una forma fissata, intendendocon cio che

• tutte le superfici di controllo primarie (equilibratori, alettoni, timone didirezione) siano bloccate in una certa posizione;

• la configurazione sia fissata, dove con cio ci si riferisce principalmentealla posizione delle superfici d’ipersostentazione (flaps, slats) ed eventualisuperfici di controllo secondarie (diruttori, aerofreni) ed al carrello, nonchealla freccia dell’ala (per velivoli a geometria variabile), al calettamentodelle gondole motrici (per convertiplani), etc.

Per gli scopi che ci interessano, possiamo limitarci a considerare che tale confi-gurazione sia quella nominale di crociera, detta in gergo ‘pulita’ (clean configu-ration), ossia con ipersostentatori non deflessi e carrello retratto, e con superficidi controllo non deflesse.

La struttura di questa sezione comporta

• la discussione della forma generale delle leggi costutitive per le diversecomponenti di forze e momenti aerodinamici sul velivolo, da cui emerge ilruolo fondamentale dei coefficienti di forza e momento, i quali dipendonodagli angoli aerodinamici e dai numeri di Mach e Reynolds di volo;

• la trattazione della fenomenologia aerodinamica che permette di carat-terizzare le dipendenze di questi coefficienti; tale fenomenologia e tradi-zionalmente esaminata a partire dal caso dei profili bidimensionali, perarrivare, attraverso l’ala tridimensionale, al velivolo completo, secondo unapproccio a complessita crescente.

2 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI 5

2 LEGGI COSTITUTIVE GENERALI

2.1 Sforzi e risultanti delle azioni aerodinamiche

Le relazioni che esprimono la dipendenza delle azioni aerodinamiche dalle va-riabili che caratterizzano lo stato di moto del velivolo e lo stato dell’ambientecircostante sono dette leggi costitutive delle forze aerodinamiche.

La valutazione accurata delle azioni aerodinamiche in condizioni di volo ar-bitrarie e un compito impegnativo e non viene affrontato in questa sede, inquanto va al di la delle necessita della Meccanica del Volo, ed in particolaredell’analisi delle prestazioni e delle caratteristiche fondamentali di equilibrio estabilita dei velivoli. A questo fine, e sufficiente analizzare la dipendenza delrisultante delle azioni aerodinamiche e del loro momento risultante da alcunevariabili fondamentali.

Il risultante F ed il momento risultante MP rispetto al generico polo P delleazioni aerodinamiche possono essere espressi nel modo piu generale possibilecome integrali delle corrispondenti distribuzioni superficiali di sforzi e dei loromomenti, secondo le formule

F =

∫Sa

τQdAQ,

MP =

∫Sa

τQ × (P −Q) dAQ,

(1)

dove τQ rappresenta lo sforzo esercitato dall’aria sulle superfici del velivolo nelpunto Q, punto materiale corrente d’integrazione, dAQ la superficie elementarerelativa a tale punto. Questi integrali sono estesi alla superficie Sa, corrispon-dente alla superficie ‘bagnata’ del velivolo (ossia la superficie esposta al contattocon l’aria esterna), fatta salva la superficie pertinente agli organi propulsivi.1

Adottando per l’aria il modello di fluido viscoso comprimibile, che risultamolto generale tra i possibili modelli disponibili nella fluidodinamica dei mezzicontinui, si puo mostrare che lo sforzo τx nel punto x e decomponibile secondol’espressione

τx = τnx + τ tx, (2)

dove τnx e normale alla superficie su cui si esercita lo sforzo (sforzo di com-pressione), mentre τ tx e ad essa tangente (sforzo di taglio). Assumendo inoltrel’ipotesi di flusso traslatorio stazionario, si puo dimostrare che entrambi i com-ponenti vettoriali normale e tangenziale dello sforzo τx dipendono dai valorilocali della velocita del flusso ux, della viscosita µx, nonche dal versore localenormale alla superficie exn, mentre il solo sforzo normale dipende anche dallapressione locale px:

τnx = τnx(ux, px, µx, exn),

τ tx = τ tx(ux, µx, exn).(3)

1 La superficie Sp pertinente agli organi propulsivi corrisponde a quella delle pale nei velivolipropulsi a motoelica, alle superfici interne (condotti) ed esterne (prese d’aria e carenature semontati su gondole) per i motori a getto.


Pertanto, si deduce che gli integrali nelle eq. 1 possono essere intesi come di-pendenti da un valore di pressione di riferimento, da un valore di velocita diriferimento, da un valore di viscosita di riferimento, da un valore di superficie diriferimento e da opportune grandezze – che lasceremo qui indefinite – che tengo-no conto della forma della superficie Sa, intendendo con cio tanto la geometriagenerale, quanto il grado di finitura superficiale locale:

F = F(uref , pref , µref , Sref , forma),

MP = MP (uref , pref , µref , Sref , forma).(4)

Per il velivolo, i valori di riferimento (uref , pref , µref ) sono assunti come quellicaratterizzanti il flusso d’aria indisturbato a monte del velivolo, tipicamenteindicati con (u∞, p∞, µ∞). Inoltre, la superficie di riferimento Sref , nel caso diun velivolo ad ala fissa, e generalmente assunta pari alla superficie nominaledell’ala,2 tipicamente indicata con S.

Allo scopo di preparare gli sviluppi successivi, assumendo l’ipotesi di gasperfetto per l’aria, e possibile sostituire la dipendenza dalla pressione con quelladalla densita e dalla temperatura assoluta, essendo

p∞ = ρ∞Raϑ∞, (5)

dove Ra rappresenta la costante di gas perfetto dell’aria, pari a 287.05 m2/K s2.Inoltre, sempre sotto l’ipotesi di gas perfetto per l’aria, e possibile far comparirela velocita del suono al posto della temperatura assoluta, essendo

a∞ =√γaRaϑ∞, (6)

dove γa rappresenta il rapporto tra i calori specifici dell’aria a pressione costantee a volume costante, pari a 1.4.

Risulta quindi che, indicando per brevita tanto F quanto MP col simboloA,

A = A(u∞, ρ∞, a∞, µ∞, S, forma). (7)

Con questa forma funzionale generale, possiamo affrontare l’analisi dimensionaleper i risultanti delle azioni aerodinamiche.

2.2 Analisi dimensionale

Ottenuta la forma funzionale 7, il passo successivo consiste nel chiedersi qualesia l’effettiva dipendenza dei risultanti delle azioni aerodinamiche dalle gran-dezze evidenziate sopra. Un modo per rispondere a tale domanda e fornito dalprocedimento detto analisi dimensionale, che affrontiamo di seguito.

2 Si tratta della superficie in pianta dell’ala, inclusa la porzione che ‘attraversa’ la fusoliera.Risulta pertanto sempre inferiore a meta della superficie bagnata del velivolo.


2.2.1 Teorema di Buckingham

Il procedimento di analisi dimensionale puo essere visto come un’applicazione diun potente strumento teorico noto come Teorema ‘Π’ o Teorema di Buckingham(E. Buckingham, 1914), che trova il suo utilizzo nelle piu diverse branche dellafisica.

Tale teorema asserisce che:

ogni equazione fisica, dipendente da n variabili fisiche {qi} che sianoesprimibili in termini di k quantita fisiche fondamentali indipenden-ti, e rappresentabile come funzione di (n−k) variabili adimensiona-li {πj} costruite moltiplicando fra loro combinazioni delle variabilioriginali.

In altre parole, ogni equazione fisica del tipo

f(q1, q2, . . . , qn) = 0, (8)

puo essere espressa nella forma

g(π1, π2, . . . , πn−k) = 0, (9)

essendo le variabili adimensionali {πj} definite da equazioni del tipo

πj = qej11 q

ej22 . . . qejnn , j = 1, . . . , n− k, (10)

dove gli n (n− k) esponenti {eji} sono delle costanti.In linea di principio, l’equazione 9 puo essere esplicitata rispetto ad una delle

variabili adimensionali, ad esempio la prima, nella forma

π1 = ϕ(π2, . . . , πn−k). (11)

Questo comporta quindi un legame tra le variabili fisiche che concorrono a for-mare la variabile adimensionale π1 e le restanti variabili adimensionali {πj} conj = 2, . . . , n.

Un modo per determinare un insieme di variabili adimensionali tra tuttiquelli possibili consiste nel definirli come segue:

πj = qej11 q

ej22 . . . q

ejkk qk+j , j = 1, . . . , n− k, (12)

ossia mettendo in relazione biunivoca ciascun {πj} con ciascun {qk+j}. Questocorrisponde all’aver scelto quali quantita fisiche fondamentali le prime k variabilifisiche {qj} con j = 1, . . . , k, il che consente quindi di esprimere attraverso questequantita le (n − k) variabili rimanenti {qj} con j = k + 1, . . . , n. Notiamo chele equazioni 12 comportano che gli esponenti devono soddisfare il requisito diconsistenza dimensionale, ossia che

[q1]ej1 [q2]ej2 . . . [qk]ejk [qk+j ] = [πj ] ≡ [1], j = 1, . . . , n− k, (13)

avendo indicato con [•] la dimensione della grandezza •. Pertanto, da ognunadelle equazioni 13 e possibile, sostituendo ad ogni termine [qi] il suo valore


dimensionale, ottenere k equazioni per i k esponenti che vi compaiono, ottenendocosı la definizione completa di ogni variabile adimensionale.

Il Teorema di Buckingham fornisce quindi un modo per calcolare le varia-bili adimensionali (spesso detti numeri caratteristici) che governano un certofenomeno, nonostante la forma dell’equazione fisica non sia nota a priori. Ciofornisce agli sperimentatori una notevole conoscenza preliminare di un datofenomeno di cui si vuole determinare l’equazione che lo governa.

Due sistemi fisici che siano caratterizzati dagli stessi numeri adimensionalisono detti simili o in similitudine. Essi risultano dunque equivalenti dal puntodi vista dell’equazione che li governa. Questa circostanza ha un rilievo enormein tutte le branche della fisica, tanto dal punto di vista teorico, quanto da quellosperimentale.

2.2.2 Vento relativo

Prima di sviluppare l’analisi dimensionale per i risultanti delle azioni aerodi-namiche, premettiamo che la velocita del flusso d’aria indisturbato rispetto alvelivolo e pari all’opposto della velocita di volo del velivolo,

u∞ ≡ −V, (14)

pertanto scriviamoA = A(V, ρ, a, µ, S, forma), (15)

intendendo d’ora in poi che (ρ, a, µ) rappresentino i valori di densita, velocitadel suono e viscosita corrispondenti alla quota di volo, omettendo il pedice ∞.

Inoltre, a partire da principi fondamentali quali l’invarianza delle leggi costi-tutive rispetto al sistema di riferimento, si puo dimostrare quello che l’esperienzapermette di comprendere con una certa semplicita:

con riferimento alla velocita di volo, i risultanti delle azioni aero-dinamiche dipendono esclusivamente dal vento relativo, ossia dallecomponenti della velocita di volo rispetto agli assi di un riferimentosolidale.

Cio comporta, ad esempio, che le forze generate su un corpo fermo immersoin una corrente (come accade in una galleria del vento) siano le stesse che sigenerano sullo stesso corpo in moto in una corrente in quiete, a parita di motorelativo.

Pertanto, la dipendenza dalla velocita di volo V puo essere esplicitata nelladipendenza dalle sue coordinate cartesiane (u, v, w) oppure sferiche (V, α, β)rispetto al sistema di riferimento solidale. Propendiamo qui per la secondapossibilita, ottenendo

A = A(V, α, β, ρ, a, µ, S, forma). (16)

In questo modo, nel seguito sara agevole distinguere l’effetto dell’intensita dellavelocita (rappresentata dal suo modulo V ) da quello della sua orientazione re-lativa al velivolo (rappresentata dagli angoli aerodinamici, ossia incidenza α ederiva β).


2.2.3 Caratterizzazione delle dipendenze

Il procedimento dell’analisi dimensionale per i risultanti delle azioni aerodina-miche consiste nell’applicare il teorema di Buckingham alle singole componen-ti scalari, oppure al modulo A := ‖A‖, della grandezza espressa attraversol’equazione 16. Consideriamo dunque la grandezza

A = A(V, α, β, ρ, a, µ, S, forma), (17)

e notiamo che (α, β) sono grandezze adimensionali, mentre con ‘forma’ si puointendere un insieme, qui imprecisato, di variabili adimensionali che caratte-rizzano le proporzioni del velivolo attraverso rapporti tra grandezze omogenee(lunghezze, superfici, volumi). Pertanto, l’insieme delle variabili (α, β, forma) ecostituito da numeri adimensionali indipendenti tra loro determinati a priori,che possiamo escludere dal procedimento seguente. Infatti, consideriamo

• le variabili fisiche {qi} date da {A, V, ρ, a, µ, S} e quindi n = 6;

• le quantita fisiche fondamentali date da {massaM, lunghezzaL, tempoT}e quindi k = 3 (infatti le dimensioni delle variabili fisiche citate sopra sonotutte ottenibili con combinazioni opportune di queste tre quantita);

• le variabili adimensionali {πj}, in numero quindi di n− k = 3.

E quindi possibile assumere che vi sia una relazione

g(π1, π2, π3, α, β, forma) = 0, (18)

ovvero che si abbiaπ1 = ϕ(π2, π3, α, β, forma). (19)

Per determinare le tre variabili adimensionali (π1, π2, π3), scegliamo le tre va-riabili fisiche (ρ, V, S) quali indipendenti e quindi scriviamo quindi le variabiliadimensionali come segue

π1 = ρe1ρV e1V Se1SA,

π2 = ρe2ρV e2V Se2Sa,

π3 = ρe3ρV e3V Se3Sµ,

(20)

facendole corrispondere alle variabili fisiche (A, a, µ). Deve quindi essere

[ρ]e1ρ [V ]e1V [S]e1S [A] = [1],

[ρ]e2ρ [V ]e2V [S]e2S [a] = [1],

[ρ]e3ρ [V ]e3V [S]e3S [µ] = [1].

(21)

Viste le dimensioni di densita, velocita di volo, superficie, velocita del suono,viscosita e azione risultante A, date nella tabella seguente:


Grandezza Dimensione

ρ M L−3

V LT−1

S L2

a LT−1

µ M L−1T−1

A M LmT−2

con m = 1, 2 a seconda che con A si consideri il risultante o il momento risultantedelle azioni aerodinamiche, otteniamo

(M L−3)e1ρ(LT−1)e1V (L2)e1S (M LmT−2) = 1,

(M L−3)e2ρ(LT−1)e2V (L2)e2S (LT−1) = 1,

(M L−3)e3ρ(LT−1)e3V (L2)e3S (M L−1T−1) = 1.

(22)

Perche vi sia consistenza dal punto di vista dimensionale, la somma degli espo-nenti risultanti per ciascuna quantita (M,L, T ) deve annullarsi; abbiamo quindi

e1ρ + 1 = 0,

−3 e1ρ + e1V + 2 e1S +m = 0,

−e1V − 2 = 0,

(23)

per π1,

e2ρ = 0,

−3 e2ρ + e2V + 2 e2S + 1 = 0,

−e2V − 1 = 0,

(24)

per π2, ed infine

e3ρ + 1 = 0,

−3 e3ρ + e3V + 2 e3S − 1 = 0,

−e3V − 1 = 0,

(25)

per π3. Risolvendo, si trovano i valori

e1ρ = −1, e1V = −2, e1S = −(m+ 1)/2,

e2ρ = 0, e2V = −1, e2S = 0,

e3ρ = −1, e3V = −1, e3S = −1/2,

(26)

e quindi le variabili adimensionali risultano date da

π1 =A

ρV 2Sm+1

2

, π2 =a

V, π3 =

µ

ρV√S. (27)

Naturalmente, e possibile sostituire le variabili adimensionali appena determi-nate con loro inversi e/o multipli. In effetti, nel caso presente hanno particolare


rilievo il numero di Mach di volo,

M :=V

a, (28)

pari quindi all’inverso di π2, ed il numero di Reynolds di volo,

Re :=ρ V L

µ, (29)

pari all’inverso di π3 a meno della moltiplicazione per la costante L/√S, dove

L e una lunghezza di riferimento opportuna per il velivolo. Inoltre, definiamocoefficiente adimensionale corrispondente ad A la grandezza

CA :=A

qdS lm−1, (30)

avendo fatto comparire la pressione dinamica di volo qd, definita come

qd :=1

2ρ V 2, (31)

ed avendo introdotto un’opportuna lunghezza di riferimento l.3 Si vede quindiche CA e pari a π1 moltiplicato per la costante 2 (

√S/l)m−1. A questo punto,

possiamo invertire l’equazione 30 scrivendo

A = qdS lm−1CA, (32)

e, data l’equazione 19, la dipendenza di π1 da (π2, π3, α, β, forma) equivale alladipendenza di CA da (M,Re, α, β, forma), per cui

A = qdS lm−1CA(α, β,M,Re, forma). (33)

Quest’ultima espressione consente la definizione delle equazioni costitutive ge-nerali per le azioni aerodinamiche, attraverso i loro coefficienti adimensionali,un risultato assolutamente fondamentale per l’intero sviluppo dell’aeronautica.

2.2.4 Coefficienti adimensionali di forza e momento

Tornando ora esplicitamente al risultante F ed al momento risultante MP delleazioni aerodinamiche, al posto della grandezza generica A, abbiamo

CF :=F

qdS,

CMP:=

MP

qdS l,

(34)

3 Le lunghezze di riferimento L e l usate nelle definizioni di Re e CA sono tipicamentedettate da convenzioni e consuetudini, e possono quindi essere diverse fra loro. Come si vedrain seguito, nel caso che A rappresenti un momento di beccheggio, la lunghezza l e assuntapari alla corda media aerodinamica, mentre se si tratta di un momento di rollio o d’imbardataall’apertura alare.


attraverso cui possiamo scrivere le equazioni

F = qdS CF (α, β,M,Re, forma),

MP = qdS lCMP(α, β,M,Re, forma).

(35)

Come si vede, secondo l’analisi appena svolta, i risultanti delle azioni aero-dinamiche risultano proporzionali al prodotto della pressione dinamica per lasuperficie di riferimento (caso della forza risultante) oppure per la superficie diriferimento e per una lunghezza di riferimento (caso del momento risultante),attraverso i due coefficienti adimensionali CF e CMP

che dipendono dagli angolid’incidenza e deriva, dai numeri di Mach e Reynolds e dalla forma del velivolo.Pertanto, l’entita delle forze aerodinamiche cresce linearmente con la pressionedinamica e con le dimensioni superficiali del velivolo, a parita di valori assuntidagli angoli d’incidenza e deriva, dai numeri di Mach e Reynolds, e a parita diforme.

Una conseguenza fondamentale dei risultati appena ottenuti consiste nelfatto che due velivoli identici nelle forme, ma non nelle dimensioni (ad esempiodue modelli perfettamente in scala), immersi, a parita di angoli aerodinamici influssi diversi per velocita, densita, temperatura e viscosita, ma tali da fornireuguali valori dei numeri di Mach e di Reynolds, sviluppano coefficienti di forzae momento identici.

Come sara richiamato nel seguito, le espressioni nelle eq. 35 risultano ampia-mente verificate sperimentalmente nelle ipotesi di flusso traslatorio stazionarioe possono essere assunte quindi come leggi costitutive generali per i risultantidelle azioni aerodinamiche sul velivolo in tali condizioni.

2.3 Componenti delle azioni aerodinamiche

I risultati ottenuti sopra in termini generali vanno specializzati alle singole com-ponenti scalari di forza e momento rispetto ad opportuni sistemi di riferimento.Infatti, queste componenti presentano caratteristiche fenomenologiche partico-lari e distinte, il cui esame e della massima importanza per la comprensione delcomportamento dei velivoli.

2.3.1 Componenti di forza nel riferimento aerodinamico

Il risultante delle azioni aerodinamiche F puo essere decomposto in modo mol-to significativo secondo gli assi del riferimento aerodinamico Fa. Infatti, sidefiniscono:

• la resistenza (drag) D come la componente della forza aerodinamica chesi oppone al moto, e quindi in direzione della velocita all’aria V e in versoopposto,

D := −eax · F; (36)

• la devianza (sideforce oppure crosswind force) Q come la componente dellaforza aerodinamica che si genera nella direzione di eay ed in verso opposto,

Q := −eay · F; (37)


• la portanza (lift) L come la componente della forza aerodinamica che sigenera nella direzione di eaz ed in verso opposto,

L = −eaz · F. (38)

Pertanto,4 risulta

F = −(D eax +Q eay + L eaz). (39)

Come vedremo, la natura della resistenza e profondamente diversa da quel-la delle altre due componenti, che assieme danno luogo alla forza deviatrice,perpendicolare alla velocita di volo.

Adimensionalizzando le tre componenti, dividendole cioe per il prodotto(qdS), che ha le dimensioni di una forza, si definiscono:

• il coefficiente di resistenza (drag coefficient) CD,

CD :=D

qdS, (40)

• il coefficiente di devianza (sideforce coefficient) CQ,

CQ :=Q

qdS, (41)

• il coefficiente di portanza (lift coefficient) CL

CL :=L

qdS. (42)

Le leggi costitutive per le componenti del risultante delle azioni aerodinamichesecondo gli assi aerodinamici si compendiano dunque nelle seguenti equazioni:

D = qdS CD,

Q = qdS CQ,

L = qdS CL,

(43)

dove s’intende che i coefficienti di resistenza, devianza e portanza rispondanoad equazioni funzionali, per il momento indeterminate, del tipo seguente:

CD = CD(α, β,M,Re, forma),

CQ = CQ(α, β,M,Re, forma),

CL = CL(α, β,M,Re, forma),

(44)

ottenute applicando l’analisi dimensionale vista in precedenza alle singole com-ponenti in esame.

4 Il segno nelle equazioni precedenti deriva dal fatto che la resistenza D e sempre positiva,mentre la portanza L lo e in condizioni di volo stazionario tipiche, in quanto rappresenta ilmodo specifico del velivolo per equilibrare il peso, o una parte considerevole di esso. Il segnodi Q e scelto quindi per coerenza con D e L.


2.3.2 Componenti di forza nel riferimento solidale

Oltre alla decomposizione appena vista, risulta utile considerare le componentidel risultante delle azioni aerodinamiche secondo gli assi del riferimento solidaleFb. Infatti, si definiscono:

• la forza longitudinale X come la componente della forza aerodinamicalungo l’asse di rollio,

X := ebx · F; (45)

• la forza laterale Y come la componente della forza aerodinamica lungol’asse di beccheggio,

Y := eby · F; (46)

• la forza trasversale Z come la componente della forza aerodinamica lungol’asse d’imbardata,

Z = ebz · F. (47)

Pertanto, risulta

F = X ebx + Y eby + Z ebz. (48)

Anche in questo caso si puo fare riferimento all’adimensionalizzazione eseguitadividendo le componenti per il prodotto (qdS), ottenendo le leggi costitutive perle componenti del risultante delle azioni aerodinamiche secondo gli assi solidali:

X = qdS CX ,

Y = qdS CY ,

Z = qdS CZ ,

(49)

dove i coefficienti di forza rispondono ad equazioni funzionali del tipo seguente:

CX = CX(α, β,M,Re, forma),

CY = CY (α, β,M,Re, forma),

CZ = CZ(α, β,M,Re, forma),

(50)


2.3.3 Componenti di momento nel riferimento solidale

Analogamente a quanto visto per il risultante delle azioni aerodinamiche F,anche il momento risultante MP puo essere decomposto in modo molto signifi-cativo secondo gli assi del riferimento solidale Fb. Infatti, si definiscono:

• il momento di rollio (rolling moment) LP come la componente del mo-mento aerodinamico attorno all’asse di rollio,

LP := ebx ·MP ; (51)


• il momento di beccheggio (pitching moment)MP come la componente delmomento aerodinamico attorno all’asse di beccheggio,

MP := eby ·MP ; (52)

• il momento d’imbardata (yawing moment) NP come la componente delmomento aerodinamico attorno all’asse d’imbardata,

NP := ebz ·MP ; (53)

Pertanto, risulta

MP = LPebx +MPeby +NPebz. (54)

Ricordiamo che, dati i versi di rotazione positivi sui piani coordinati del riferi-mento solidale Fb, il momento di rollio risulta positivo quando fa abbassare lasemiala destra ed alzare la sinistra, il momento di beccheggio risulta positivoquando fa alzare la prua ed abbassare la poppa, il momento d’imbardata risultapositivo quando fa arretrare la semiala destra ed avanzare la sinistra.

Nel caso dei momenti, l’adimensionalizzazione si ottiene, per una tradizioneispirata da motivi pratici, dividendo le componenti per il prodotto (qdS) e peruna lunghezza che per i momenti di rollio e imbardata e l’apertura alare b,mentre per il momento di beccheggio e la corda media aerodinamica (MAC,mean aerodynamic chord)5 c dell’ala:

LP = qdS bCLP ,

MP = qdS cCMP,

NP = qdS bCNP ,

(55)

dove i coefficienti di momento rispondono ad equazioni funzionali del tipo se-guente:

CLP = CLP (α, β,M,Re, forma),

CMP= CMP

(α, β,M,Re, forma),

CNP = CNP (α, β,M,Re, forma),

(56)


2.4 Effetto del numero di Mach

Abbiamo visto che tutti i coefficienti di forza e momento dipendono dal numerodi Mach. Pertanto, prima di esaminare l’aerodinamica dei profili, delle ali e deivelivoli, premettiamo alcune considerazioni generali sull’effetto delle variazionidi questo parametro sulle condizioni di flusso aerodinamico.

5 La corda media aerodinamica a rigore e definita come il valore quadratico medio dellacorda dell’ala in funzione dell’apertura. In generale, rappresenta una lunghezza caratteristicarelativa all’ala.


2.4.1 Numero di Mach e fenomeni di comprimibilita

Il numero di Mach e un parametro adimensionale che indica l’importanza dellacompressibilita di un fluido nei fenomeni fluidodinamici. Viene definito come ilrapporto tra una velocita di flusso di riferimento ed una velocita del suono diriferimento.

Localmente, questa grandezza e definita come il rapporto tra la velocitascalare del flusso Ux in un certo punto x e la velocita del suono locale ax:

Mx :=Ux

ax. (57)

Essendo la velocita del suono la celerita con cui si propagano piccole perturba-zioni di pressione (ossia, nell’ambito delle frequenze udibili dall’uomo, il suono),il numero di Mach locale definisce tre possibili regimi di moto o di flusso:6

• regime subsonico quando Mx < 1; in questo regime, quindi, la velocita delflusso e inferiore a quella del suono, pertanto le perturbazioni di pressionegenerate nella posizione x si propagano piu velocemente delle particellemateriali che passano per tale punto;

• regime sonico quando Mx = 1; in questo regime, la velocita del flusso e paria quella del suono, pertanto le perturbazioni di pressione generate nellaposizione x si propagano con la stessa velocita delle particelle materialiche passano per tale punto;

• regime supersonico quando Mx > 1; in questo regime, la velocita delflusso e superiore a quella del suono, pertanto le perturbazioni di pressionegenerate nella posizione x si propagano piu lentamente delle particellemateriali che passano per tale punto.

Risulta quindi che posizioni successive assunte dalle particelle passanti per x inun intorno di tale posizione vengono raggiunte dalle perturbazioni di pressioneprima del passaggio delle particelle che le hanno prodotte, se in regime subso-nico; proprio al passaggio delle particelle che le hanno prodotte, se in regimesonico; dopo il passaggio delle particelle che le hanno prodotte, se in regimesupersonico.

Notiamo che, essendo per un gas perfetto ax =√γ Rϑx =

√γ px/ρx, es-

sendo (px, ρx, ϑx) le grandezze di stato termodinamiche pressione, densita etemperatura (assoluta) nel punto x, mentre R e γ sono due costanti che dipen-dono soltanto dalla natura chimica del gas (per l’aria si ha R = 287.05 m2/K s2

e γ = 1.4) si ha

M2x =

ρxU2x

γ px. (58)

6 Limitatamente alle condizioni di volo interessanti per la Meccanica del Volo Atmosferico,ossia quelle di flussi ‘continui’ (tali da poter considerare per la loro descrizione un modello dicorpo continuo). Infatti, in problemi di Meccanica del Volo extratmosferica, in condizioni dielevatissima rarefazione, e ancora possibile considerare dei ‘flussi’, ma di tipo discontinuo (suscala molecolare), che vanno trattati mediante la teoria cinetica dei gas.


Il quadrato del numero di Mach indica dunque, a meno di una costante paria 2/γ, il rapporto tra l’energia cinetica per unita di volume del flusso, ossia1/2 ρxU

2x, e la pressione statica dell’ambiente indisturbato (equivalentemente,

il rapporto tra energia cinetica ed energia di pressione, entrambe per unita divolume).

Oltre alla caratterizzazione locale, viene definito anche un numero di Machnominale del flusso come il rapporto tra la velocita scalare del flusso all’infinitoa monte U∞ e la velocita del suono dell’infinito a monte a∞:

M∞ :=U∞a∞

. (59)

In base ai valori assunti da questo parametro si possono distinguere regimiglobali di flusso, che esamineremo in relazione al velivolo.

2.4.2 Regimi di volo

Il numero di Mach di volo M di un velivolo e dato dal rapporto tra la velocitadi volo e la velocita del suono dell’ambiente indisturbato,

M :=V

a. (60)

Nel caso di un velivolo in volo, la velocita del flusso all’infinito a monte u∞ e ilvettore opposto alla velocita di volo V, sicche i loro moduli, dati rispettivamenteda U∞ := ‖u∞‖ e V := ‖V‖, coincidono, V ≡ U∞. Inoltre, la velocita delsuono dell’infinito a monte a∞ coincide con la velocita del suono dell’ambienteindisturbato a alla quota di volo. Pertanto, il numero di Mach di volo coincidecon il numero di Mach nominale del flusso provocato dal moto del velivolonell’ambiente altrimenti indisturbato.

Per un velivolo, le condizioni di volo si distinguono in funzione della di-stribuzione delle condizioni locali di flusso sulla sua superficie ‘bagnata’, ossiala superficie esposta al contatto con l’aria circostante. Tali condizioni localipermettono di distinguere diversi regimi di volo, caratterizzati da una diversafenomenologia aerodinamica, in funzione del valore del numero di Mach di volo.Infatti, si dice

• volo subsonico, se il numero di Mach di volo e compreso nell’intervalloM ∈ (0,Mcr ): in questo regime di volo, l’intera superficie esposta delvelivolo e in condizioni localmente subsoniche; il valore Mcr , detto numerodi Mach critico del velivolo, si colloca tipicamente nell’intervallo (0.7, 0.8);per questo valore del numero di Mach di volo il primo punto sulla superficiedel velivolo raggiunge condizioni soniche;

• volo transonico, se il numero di Mach di volo e compreso nell’intervalloM ∈ [Mcr ,Msup ]: in questo regime di volo, una parte della superficieesposta del velivolo e in condizioni localmente subsoniche ed una partein condizioni localmente supersoniche, separate da contorni in condizioni


soniche; il valore Msup si colloca tipicamente nell’intervallo (1.1, 1.2); perquesto valore del numero di Mach di volo l’intera superficie del velivolo epraticamente soggetta interamente a flusso supersonico;

• volo supersonico, se il numero di Mach di volo e maggiore di Msup : inquesto regime di volo, l’intera superficie esposta del velivolo e in condizio-ni localmente supersoniche con eccezione dell’intorno delle zone di rista-gno (come la prua, il bordo d’attacco alare, etc.), dove si generano dellesuperfici di discontinuita della pressione dette onde d’urto (shock waves).

L’isolamento del regime transonico, a cavallo di M = 1, risulta particolar-mente significativo in quanto sede di fenomenologie complesse e generalmentesvantaggiose per le prestazioni, il controllo e la stabilita del velivolo.

A quanto appena esposto va aggiunto che, a fini pratici, il regime subsonicoviene ulteriormente suddiviso in

• subsonico incomprimibile, se il numero di Mach di volo e compreso nell’in-tervallo M ∈ (0, 0.3): in questo regime di volo, l’aria puo essere approssi-mata come un gas incomprimibile senza commettere errori rilevanti;

• subsonico comprimibile, se il numero di Mach di volo e compreso nel-l’intervallo M ∈ [0.3,Mcr ); in questo regime di volo, l’aria non puo es-sere approssimata come un gas incomprimibile senza commettere erroririlevanti.

Questa separazione si giustifica col fatto che il valore di molte grandezze ci-nematiche e dinamiche relative al velivolo risulta proporzionale all’espressione√

1−M2 o al suo inverso. Pertanto, per M < 0.3 il valore di tale espressionedifferisce dall’unita per meno del 5%.

2.5 Effetto del numero di Reynolds

Abbiamo visto che tutti i coefficienti di forza e momento dipendono dal numerodi Reynolds. Analogamente a quanto visto per il numero di Mach, prima diesaminare l’aerodinamica dei profili, delle ali e dei velivoli, premettiamo alcu-ne considerazioni generali sull’effetto delle variazioni di questo parametro sullecondizioni di flusso aerodinamico.

2.5.1 Numero di Reynolds e strato limite

Il numero di Reynolds e un parametro adimensionale che indica l’importanzadella viscosita di un fluido nei fenomeni fluidodinamici. Viene definito come ilrapporto tra il prodotto di una densita di riferimento per una velocita di flussodi riferimento per una lunghezza di riferimento, ed una viscosita di riferimento.

Localmente, questa grandezza e definita come il rapporto tra il prodottodella densita del flusso ρx in un certo punto x, della sua velocita scalare Ux, edi una lunghezza caratteristica L e la viscosita locale µx:

Rex :=ρxUxL

µx. (61)


Regime di volo Numero di MachCondizioni di flusso localesulle superfici del velivolo

Subsonicoincomprimibile

M ∈ (0, 0.3)Ovunque subsonico,

effetti di comprimibilita trascurabiliSubsonico

comprimibileM ∈ [0.3,Mcr ) Ovunque subsonico

Inizio deltransonico

M = Mcr Primo punto in condizioni soniche

Transonico M ∈ (Mcr ,Msup)Regioni subsoniche e supersoniche

contemporaneamente presentiFine del

transonicoM = Msup

Le regioni subsoniche si riduconoalle sole zone di ristagno

Supersonico M > MsupOvunque supersonico

(eccetto le zone di ristagno)

Tab. 1: Definizioni dei regimi di volo.

Il valore assunto dal numero di Reynolds contraddistingue due possibili regimidi moto:

• regime laminare quando Rex < Recr ; in questo regime, per condizioniglobali stazionarie, il moto delle particelle del fluido avviene per strati pa-ralleli con velocita, pressione, densita costanti nel tempo; il moto consistequindi in uno scorrimento ordinato di strati fluidi adiacenti, a velocitadiverse;

• regime turbolento quando Rex > Recr ; in questo regime, per condizioniglobali stazionarie, il moto delle particelle del fluido avviene in modo local-mente caotico con velocita, pressione, densita continuamente variabili neltempo; il moto consiste quindi nella sovrapposizione di un moto d’insiemecostante su grande scala, e di un moto di rimescolamento vorticoso diffusosu scala molto piu piccola.

Il valore critico Recr per la transizione da regime laminare a regime turbolentodipende dal problema specifico e dalla scelta della lunghezza caratteristica. Siaggira normalmente nell’intervallo Recr ∈ (1 · 102, 1 · 104). Va detto che latransizione tra i due regimi non e necessariamente brusca e puo comportare unintervallo di valori a cavallo di Recr .

Notiamo che

Rex =ρxU

2x

µxUx

L

= 2qdxτx

. (62)

Il numero di Reynolds indica dunque, a meno della costante 2, il rapporto trala pressione dinamica locale del flusso (ossia la sua energia cinetica per unita divolume) qdx := 1

2ρxU2x ed una grandezza che puo essere interpretata come uno

sforzo tangenziale locale di riferimento, τx := µxUx/L.


Oltre alla caratterizzazione locale, viene definito anche un numero di Rey-nolds nominale del flusso utilizzando i valori delle grandezze dell’infinito amonte:

Re∞ :=ρ∞U∞L

µ∞. (63)

In base ai valori assunti da questo parametro si possono distinguere regimiglobali di flusso, che esamineremo in relazione al velivolo.

2.5.2 Strato limite

Il numero di Reynolds di volo Re di un velivolo e dato da

Re :=ρ V L

µ. (64)

Nel caso di un velivolo in volo, la velocita del flusso all’infinito a monte u∞ e ilvettore opposto alla velocita di volo V, sicche i loro moduli, dati rispettivamenteda U∞ := ‖u∞‖ e V := ‖V‖, coincidono, V ≡ U∞. Inoltre, densita e viscositadel flusso all’infinito coincidono con quelle dell’ambiente indisturbato (ρ, µ) allaquota di volo. Pertanto, il numero di Reynolds di volo coincide con il numerodi Reynolds nominale del flusso provocato dal moto del velivolo nell’ambientealtrimenti indisturbato.

Il valore del numero di Reynolds di volo ha normalmente valori compresinell’intervallo (1·106, 1·108), che corrispondono a condizioni di regime turbolentonella stragrande maggioranza del suo strato limite.

Lo strato limite (boundary layer) e la porzione del flusso attorno al velivolodove si concentrano gli effetti della viscosita dell’aria. Si tratta di una regionerelativamente limitata, al di fuori della quale il flusso e molto ben approssimabilecome non viscoso. All’interno dello strato limite, la velocita del flusso scenderapidamente fino ad annullarsi sulla superficie del velivolo, per effetto delle forzed’attrito viscoso che si sviluppano tra le particelle d’aria.

Per numeri di Reynolds molto bassi, dell’ordine di (1 · 100, 1 · 102), il flussonello strato limite e dominato dalle forze d’attrito viscoso che sostanzialmentedissipano l’energia connessa alle piccole perturbazioni di velocita e pressione (adesempio dovute a vibrazioni strutturali o acustiche, ad imperfezioni superficiali,etc.), impedendo a queste perturbazioni di diffondersi.

Al contrario, per numeri di Reynolds elevati, superiori a 1 ·104, il flusso nellostrato limite e dominato dalle forze d’inerzia ed il moto si svolge caoticamen-te, dato che la diffusione e l’amplificazione delle perturbazioni non viene piuimpedita a causa della scarsa rilevanza delle forze d’attrito viscoso. Si assistequindi alla formazione di vortici e di fluttuazioni delle grandezze di stato anchein condizioni di volo stazionarie.

Data una superficie estesa, uno strato limite inizialmente laminare puo diven-tare turbolento con l’aumentare della lunghezza percorsa dal flusso, col risultatodi un aumento dello spessore dello strato limite e di una omogenizzazione dellavelocita in porzioni sempre maggiori dello strato limite stesso. Cio comporta una


riduzione del gradiente normale di velocita in porzioni sempre maggiori delo stra-to limite ed un suo corrispondente aumento sempre piu marcato in prossimitadella superficie del corpo. Essendo lo sforzo d’attrito tangenziale proporzionaleal gradiente normale di velocita, la transizione da regime laminare a turbolentoproduce un vistoso aumento dello sforzo d’attrito.

Coll’aumentare della distanza percorsa, l’ispessimento dello strato limitecomporta un aumento progressivo della pressione e quindi un gradiente di pres-sione avverso al moto del fluido. Questa situazione puo progredire fino ad unasituazione critica, in cui si verifica il distacco della vena fluida dalla superficie delcorpo, con la creazione di una zona di ricircolazione nella quale il flusso, altamen-te turbolento, risulta mediamente fermo rispetto al corpo, e conseguentementedi una scia. Si parla in questo caso di flusso separato.

Con l’aumentare del numero di Reynolds (ad esempio perche aumenta lavelocita del flusso a parita degli altri parametri), il punto di transizione daregime laminare a turbolento arretra, ossia si sposta progressivamente versomonte, mentre il punto di separazione arretra, ossia si sposta progressivamenteverso valle, riducendo l’entita della scia.

2.6 Dipendenza dalla velocita equivalente

Data la dipendenza delle componenti delle azioni aerodinamiche dalla pressionedinamica qd, a parita di (α, β,M,Re, forma), si ha una variazione crescente conla densita dell’aria (e quindi decrescente con la quota) e con il quadrato dellavelocita di volo (TAS). Ad esempio, per la portanza abbiamo:

L =1

2ρ V 2S CL(α, β,M,Re, forma). (65)

Nella pratica aeronautica, la pressione dinamica qd viene rappresentata attra-verso la velocita equivalente (equivalent airspeed o EAS) VEAS, definita da

VEAS :=

√ρ

ρ0V. (66)

Questa grandezza, tale per cui

1

2ρ V 2 = qd =

1

2ρ0V

2EAS, (67)

permette quindi di scrivere

L =1

2ρ0V

2EASS CL(α, β,M,Re, forma), (68)

dove non compare piu esplicitamente la dipendenza dalla quota di volo.Le espressioni precedenti mostrano quindi che considerando condizioni di

volo diverse a parita di valori assunti dai vari coefficienti adimensionali di forzae momento, componenti e risultanti delle azioni aerodinamiche non dipendono


dalla quota e dalla velocita di volo, ma soltanto dalla velocita equivalente. Inaltre parole, fissato CL, c’e un solo valore di velocita equivalente per ogni va-lore di portanza, indipendentemente dalla quota di volo, e cosı per resistenza,devianza e momenti di rollio, beccheggio ed imbardata.

3 AERODINAMICA DEL PROFILO ALARE 23

3 AERODINAMICA DEL PROFILO ALARE

L’analisi dei fenomeni aerodinamici sul velivolo, sia pure con geometria fissata,e un compito complesso, che va affrontato per gradi. Cominciamo quindi conl’esame dell’aerodinamica dei profili alari, per poi estendere lo studio alle ali eal velivolo completo.

3.1 Generalita

3.1.1 Descrizione di un profilo alare

Un profilo alare (airfoil) e un corpo ideale, piano che rappresenta una sezionelongitudinale di un’ala.

Si tratta di un profilo affusolato che puo essere descritto geometricamenteattraverso la sovrapposizione di una distribuzione di spessore su una linea media(mean line), che puo essere diritta oppure convessa, nel qual caso e possibilequantificarne la curvatura (camber).

Il punto corrispondente all’estremita anteriore della linea media, ossia quel-la rivolta verso il flusso, e detto bordo d’attacco (leading edge), quello oppostobordo d’uscita (trailing edge). Il contorno superiore del profilo e detto estra-dosso (upper contour), quello inferiore intradosso (lower contour). Il segmentoche congiunge il bordo d’attacco col bordo d’uscita e detto corda (chord line),cosı come la sua lunghezza, indicata con c. Il profilo e detto simmetrico secaratterizzato da una linea media rettilinea, convesso in caso contrario.

Consideriamo il profilo alare immerso in un flusso anch’esso piano, e indi-chiamo con V la velocita all’aria del profilo.

3.1.2 Riferimenti per un profilo alare

Definiamo, analogamente a quanto si fa per il velivolo, alcuni riferimenti. Inparticolare,

• il riferimento solidale Fb, i cui versori {ebx, eby, ebz} individuano direzionimateriali mutuamente ortogonali date rispettivamente da un asse longitu-dinale orientato dal bordo d’uscita verso il bordo d’attacco, tipicamentecoincidente con l’asse della corda, da un asse normale al piano del profilo eda un asse tale da formare un angolo retto positivo nel senso di rotazione“z su x” (e quindi rivolto orientato dall’estradosso verso l’intradosso);

• il riferimento aerodinamico Fa, i cui versori {eax, eay, eaz} individuano dire-zioni mutuamente ortogonali date rispettivamente da un asse parallelo alvettore V e con lo stesso verso, da un asse normale al piano del profilo eda un asse tale da formare un angolo retto positivo nel senso di rotazione“z su x”.

Naturalmente, ebx ≡ eax. L’angolo compreso tra la direzione della velocita delflusso indisturbato e l’asse longitudinale xb e detto angolo d’incidenza del profilo,


e indicato con α. La relazione tra i versori dei due riferimenti appena definiti esemplice:

ebx = cosα eax − sinα eaz ,

ebz = sinα eax + cosα eaz .(69)

Cio comporta quindi una scrittura in componenti della velocita di volo data da

V = V eax = V (cosα ebx + sinα ebz) (70)

rispetto ai riferimenti aerodinamico e solidale.

3.1.3 Azioni aerodinamiche su un profilo alare

Trattandosi di un corpo piano, e quindi bidimensionale, il risultante delle azioniaerodinamiche F ottenuto integrando le distribuzioni di sforzo sul contorno delprofilo ha le dimensioni di una forza per unita di lunghezza, ovvero di unadensita lineare di forza. La sua decomposizione rispetto agli assi del riferimentoaerodinamico risulta quindi data da

F = −(D eax + L eaz), (71)

essendo D e L rispettivamente la resistenza e la portanza del profilo, che,ricordiamo, hanno dimensioni di densita lineari di forza.

Per quanto riguarda il momento risultante delle azioni aerodinamiche MP

rispetto ad un generico polo P , le cui dimensioni sono quelle di una coppia perunita di lunghezza, ossia di una densita lineare di coppia, abbiamo

MP = MPeay, (72)

essendo il momento di beccheggio del profilo MP l’unica componente del mo-mento risultante.

Date le definizioni generali, risulta che le tre componenti delle azioni aero-dinamiche si ottengono dai seguenti integrali:

D = −∫Cτ · eaxds,

L = −∫Cτ · eazds,

MP =

∫CrP × τ · eayds,

(73)

dove C rappresenta il contorno del profilo e ds la lunghezza elementare.


I coefficienti adimensionali per un profilo alare si definiscono nel modo se-guente:

CD :=D

qdc,

CL :=L

qdc,

CMP:=MP

qdc2,

(74)

in modo del tutto analogo a quanto fatto per il velivolo, salvo che l’adimensiona-lizzazione tiene conto delle dimensioni delle grandezze (D, L,MP ) sostituendola corda del profilo c alla superficie alare S. Mediante i coefficienti appenadefiniti si possono scrivere le seguenti equazioni costitutive:

D = qdcCD(α,M,Re),

L = qdcCL(α,M,Re),

MP = qdc2CMP

(α,M,Re),

(75)

valide sotto l’ipotesi di flusso traslatorio stazionario per un profilo di forma data.Per alleggerire la notazione, d’ora in avanti si ometteranno i segni ˜ nei

simboli delle componenti delle azioni aerodinamiche e dei loro coefficienti. Ilseguito di questa sezione sara dedicato all’esame delle dipendenze dei coefficientidi portanza, resistenza e momento di beccheggio dai parametri (α,M,Re).

3.2 Portanza

Ci interessiamo qui dell’andamento del coefficiente di portanza di profilo CL infunzione dell’incidenza α, supponendo costanti i valori dei numeri di Mach e diReynolds (e quindi omettendo di indicarli nelle dipendenze funzionali).

3.2.1 Curva di portanza

Le esperienze in galleria del vento mostrano che i profili alari correntementeutilizzati hanno una dipendenza praticamente lineare del coefficiente di portanzarispetto all’incidenza, almeno finche il flusso rimane attaccato. Pertanto,

CL(α) = aα+ CL0. (76)

Il coefficiente a e detto pendenza della curva di portanza (lift curve slope) eassume valori tipici nell’intervallo (5, 6), avendo un limite superiore pari al valoreteorico di 2π ricavato dalla teoria dei profili (infinitamente) sottili. Il valore CL0

dipende naturalmente dalla scelta dell’asse solidale xb, tipicamente assunto comel’asse della corda del profilo.

Per rendere l’equazione 76 indipendente da tale scelta, si puo procedere comesegue

CL(α) = a

(α+

CL0

a

)= a (α− αZL), (77)


essendo αZL := −CL0/a l’angolo formato dall’asse di portanza nulla (zero-lift li-ne) con l’asse solidale xb. Pertanto, definendo l’angolo d’incidenza aerodinamico(absolute angle of attack) αa := α− αZL si puo scrivere

CL(αa) = aαa, (78)

ossia una relazione omogenea indipendente dalla scelta dell’asse xb.Se si considera una lastra piana infinitamente sottile quale prototipo piu

semplice di profilo alare, e possibile mostrare che l’aggiunta della curvaturaproduce effetti benefici aumentando a, cosı come l’aggiunta di un’opportunadistribuzione di spessore. Per questo motivo, la stragrande maggioranza delleali ha sezioni costituite da profili convessi dotati di uno spessore non trascurabile,il cui massimo valore normalmente non supera il 20÷ 25% della corda.

L’asse di portanza nulla chiaramente indica quella particolare direzione dellavelocita del flusso indisturbato che annulla la portanza sul profilo. Assumendol’asse xb coincidente con la corda, per un profilo simmetrico si ha CL0 = 0 eαZL = 0, mentre per un profilo convesso normalmente CL0 > 0 e quindi αZL < 0,essendo comunque |αZL| � 1 rad.

La gamma di valori di αa in cui si mantiene valida l’equazione 76 e tipica-mente compresa in (−5◦, 15◦). Al di sopra dei 12◦ ÷ 15◦, il flusso sul profilo sisepara in un’ampia porzione dell’estradosso e la linearita della dipendenza si per-de definitivamente. Successivamente alla separazione, la derivata del coefficientedi portanza rispetto all’incidenza si riduce progressivamente fino a raggiunge-re valori negativi. Si parla quindi di stallo del profilo, e piu specificamente distallo d’incidenza.

3.2.2 Stallo

Lo stallo consiste nella separazione di una parte consistente del flusso che in-veste un profilo, con generazione di un’importante scia vorticosa a valle dellostesso. Dato il recupero di pressione nella zona di ricircolazione, il bilancio deglisforzi tra estradosso ed intradosso comporta una diminuzione del coefficiente diportanza rispetto alle condizioni di flusso attaccato. Tale riduzione comportache la curva di portanza del profilo raggiunga un massimo, e quindi decada piuo meno bruscamente.

L’angolo d’incidenza corrispondente al massimo del coefficiente di portanzae detto incidenza di stallo αstall. Valori tipici per αastall rientrano nell’intervallo(14◦, 18◦). Si tratta di valori scarsamente dipendenti dalla forma del profilo,mentre dipenndono significativamente da M e Re. Valori tipici per maxCLrisultano compresi in (1.2, 1.8), con forte dipendenza dalla forma del profilo.

Lo stallo si presenta in modalita diverse a seconda della forma dei profili:

• stallo di bordo d’attacco (leading edge stall): in questo caso, la forma delprofilo e tale da portare rapidamente il punto di separazione in prossimitadel bordo d’attacco, all’aumentare dell’incidenza; cio comporta che la qua-si totalita dell’estradosso sia sede di ricircolazione, con una conseguentecaduta brusca della portanza e con un massimo della curva di portanzapiuttosto acuto;


α (◦) α (rad) sinα cosα tanα

0◦ 0 0 1 05◦ 0.087266 0.087155 0.996194 0.08748810◦ 0.174533 0.173648 0.984808 0.17632715◦ 0.261799 0.258819 0.965926 0.26794920◦ 0.349066 0.342020 0.939693 0.363970

Tab. 2: Valore delle funzioni trigonometriche per angoli ‘moderati’.

• stallo di bordo d’uscita (trailing edge stall): in questo caso, la forma delprofilo e tale da portare lentamente il punto di separazione in prossimitadel bordo d’attacco, all’aumentare del’incidenza; cio comporta che la l’e-stradosso venga invaso dalla ricircolazione in modo graduale, con unaconseguente caduta dolce della portanza e con un massimo della curvadi portanza piu curvo;

• stallo di profilo sottile (thin airfoil stall): in questo caso, la forma del pro-filo e tale da creare una bolla di separazione che ha inizio in prossimita delbordo d’attacco e si espande verso il bordo d’uscita all’aumentare del’inci-denza; il flusso quindi, passata la bolla, si riattacca e consente di ricreareuna zona di depressione sull’estradosso, con una conseguente caduta moltodolce della portanza e con un massimo della curva di portanza piuttostopiatto.

Lo stallo d’incidenza, qui sommariamente descritto, e un fenomeno complessoe tipicamente non stazionario, nonostante che lo possano essere le condizioni diflusso indisturbato. Tuttavia, per gli scopi del presente testo, non e necessarioapprofondirne ulteriormente l’esame.

3.2.3 Approssimazione per basse incidenze

Notiamo che l’intervallo di valori dell’incidenza aerodinamica per cui la dipen-denza del coefficiente di portanza dall’incidenza si mantiene lineare comprendeangoli ‘piccoli’, ossia tali che |αa| � 1 rad. Per questi valori, e giustificatal’approssimazione lineare delle funzioni trigonometriche,

|αa| � 1 rad =⇒

sinαa ≈ αacosαa ≈ 1tanαa ≈ αa

(79)

che si giustifica sviluppando tali funzioni in serie di Taylor attorno a αa = 0 etroncando tali espressioni al primo ordine in |αa|, ossia ‘linearizzandole’.


3.3 Resistenza

Ci interessiamo qui dell’andamento del coefficiente di resistenza di profilo CLin funzione dell’incidenza α, sempre supponendo costanti i valori dei numeri diMach e di Reynolds (e quindi omettendo di indicarli nelle dipendenze funzionali).

3.3.1 Resistenze di pressione e d’attrito

Allo scopo di caratterizzare il coefficiente di resistenza, notiamo che, essendoτ = τn+τ t, la resistenza di un profilo puo essere decomposta in due contributidistinti:

D = Dp +Df , (80)

dove la resistenza di forma (form drag) Dp e la resistenza d’attrito (frictiondrag) Df , sono definite da

Dp = −∫Cτn · eaxds,

Df = −∫Cτ t · eaxds,

(81)

Per quanto riguarda la resistenza di forma, generata dall’integrale degli sforzinormali τn, ricordiamo che questi dipendono dalle grandezze (u, p, µ, en) lo-cali. In prima approssimazione (e comunque per condizioni di basse velocitasubsoniche), si puo trascurare la dipendenza dalla viscosita e concludere che laresistenza di forma e dovuta principalmente alla distribuzione di pressione. Perquesto motivo, e detta anche resistenza di pressione (pressure drag).

In particolare, essa rappresenta gli effetti della separazione del flusso, che,anche in condizioni di incidenze molto inferiori allo stallo, sussiste in prossi-mita del bordo d’uscita. Lo sbilanciamento tra le pressioni nella zona di bordod’attacco e quelle intorno al bordo d’uscita dunque si traduce in una resisten-za all’avanzamento del profilo, fortemente dipendente dalla forma dello stesso.All’aumentare dell’angolo d’incidenza, questa separazione tende a crescere mo-deratamente fino al momento in cui il profilo stalla e la separazione investegran parte dell’estradosso. Pertanto la componente Dp cresce leggermente conl’incidenza, per poi aumentare vistosamente in condizioni di stallo.

Per quanto riguarda la resistenza d’attrito, generata dall’integrale degli sforzitangenziali τ t, ricordiamo che questi dipendono dalle grandezze (u, µ, en) locali.

Pertanto, la resistenza d’attrito e dovuta fondamentalmente alla viscositache si risente nello strato limite e non mostra una dipendenza significativadall’incidenza.

Risulta quindiCD(α) = CDp(α) + CDf , (82)

dove il coefficiente di resistenza di forma, per α < αstall, puo essere ben appros-simato come una parabola concava, debolmente crescente con α. Per incidenzesuperiori a quella di stallo il coefficiente di resistenza cresce piu marcatamente.


Il valore minimo del coefficiente di resistenza di un profilo assume valori tipicinell’intorno (0.01, 0.02), raggiunto per valori di α prossimi a quello di portanzanulla. Allo stallo il coefficiente di resistenza puo assumere valori nell’intervallo(0.1, 0.2). Si vede pertanto che CL e CD assumono valori separati da almenoun ordine di grandezza nella stragrande maggioranza dell’intervallo significativoper l’angolo d’incidenza aerodinamico.

3.3.2 Polare del profilo

Dato che tra l’angolo d’incidenza e il coefficiente di portanza vi e una relazioneiniettiva (per ogni valore di α si ha uno ed un solo valore di CL, ma non ilviceversa), e possibile eliminare α in favore di CL nell’espressione del coefficientedi resistenza, ottenendo quindi CD in funzione di CL:

α =CL − CL0

a=⇒ CD(α) = C~

D(CL) (83)

La relazione CD = C~D(CL) si chiama curva polare del profilo ed e uno strumento

particolarmente conveniente per analizzare le prestazioni del profilo stesso comegeneratore di forze aerodinamiche. Il suo andamento generale e grossomodoparabolico fino a valori prossimi allo stallo.

Sulla curva polare, che tradizionalmente viene tracciata ponendo i valoridel coefficiente di resistenza in ascisse e quelli del coefficiente di portanza inordinate, si identificano alcuni punti notevoli:

• il punto di coefficiente di resistenza minimo (min CD,CLminCD ): in talepunto la curva polare ha una tangente verticale;

• il punto di coefficiente di portanza massimo (CDmaxCL ,max CL): in talepunto la curva polare ha una tangente orizzontale.

Ogni punto della curva polare e associato ad uno ed un sol valore dell’angolod’incidenza. Il segmento orientato spiccato dall’origine degli assi e terminantein un punto della curva polare, supponendo di utilizzare le medesime unita sugliassi coordinati, e parallelo al risultante F che si produce all’incidenza corrispon-dente (questo giustifica il nome di curva ‘polare’). Tuttavia, e bene notare chela curva polare di un profilo normalmente viene tracciata utilizzando unita di-verse sugli assi coordinati, data la grande differenza di valori tra i coefficienti diportanza e resistenza.

3.3.3 Efficienza aerodinamica

L’efficienza aerodinamica (lift-to-drag ratio) E e una grandezza adimensionaleassai significativa definita come il rapporto tra portanza e resistenza:

E =L

D=

CLCD

. (84)

Anche l’efficienza viene spesso diagrammata in funzione del coefficiente di por-tanza, piuttosto che dell’incidenza.


Sul grafico della curva polare del profilo, l’efficienza per una certa incidenzae data dal coefficiente angolare della semiretta spiccata dall’origine passante peril punto della polare corrispondente. Su tale curva polare si identificano il puntonotevole:

• il punto di efficienza massima, (CDmaxE,CLmaxE): in tale punto la tan-gente alla curva polare passa per l’origine degli assi.

Il valore massimo dell’efficienza aerodinamica di un profilo assume valori ti-pici nell’intervallo (20, 100), raggiunto per valori di αa compresi generalmentenell’intervallo (3◦, 5◦).

3.4 Momento di beccheggio

Ci interessiamo qui dell’andamento del coefficiente di momento di beccheggio diprofilo CMP

in funzione dell’incidenza α, sempre supponendo costanti i valori deinumeri di Mach e di Reynolds (e quindi omettendo di indicarli nelle dipendenzefunzionali).

Naturalmente, il coefficiente di momento di beccheggio varia al variare delpolo P a cui e riferito, sicche, in generale, non e molto significativo esaminarnei valori senza specificare la posizione di P . Per questo motivo, e necessariopremettere le definizioni di opportuni poli di riduzione dei momenti ‘privilegiati’:il centro di pressione ed il centro aerodinamico del profilo.

3.4.1 Regola di trasporto dei momenti

In generale, per il momento risultante delle azioni aerodinamiche vale la seguenteregola di trasporto:

MQ = MP + F× (Q− P ), (85)

per qualsiasi coppia di punti (P,Q).Nel caso di un profilo alare, abbiamo MP =MPe

ay e F = −(D eax + L eay),

cosicche

MQeay =MPe

ay − (D eax + L eaz)×

((xQ − xP ) ebx + (zQ − zP ) ebz

), (86)

avendo indicato con (xP , zP ) e (xQ, zQ) le coordinate in assi solidali dei puntiP e Q. Data la relazione tra i versori degli assi solidali ed aerodinamici, eq. 69,e immediato ottenere

eax × ebx = sinα eay, eax × ebz = − cosα eay,

eaz × ebx = cosα eay, eaz × ebz = sinα eay,(87)

e dunque

MQ =MP−(xQ−xP ) (L cosα+D sinα)−(zQ−zP ) (L sinα−D cosα). (88)


Utilizzando la definizione dell’efficienza aerodinamica, E := L/D, l’equazioneprecedente assume la forma

MQ =MP −(

(xQ − xP )

(cosα+

sinα

E

)− (zQ − zP )

(sinα− cosα

E

))L.

(89)Quest’equazione si semplifica se si assume che il volo si svolga

• ad incidenze moderate, α� 1 rad;

• ad efficienze aerodinamiche medie o elevate, E ≥ O(1).

Entrambe queste condizioni sono ampiamente verificate nella stragrande mag-gioranza delle condizioni di volo livellato d’interesse.

Applicando tali condizioni, arriviamo all’equazione seguente:

MQ =MP −(

(xQ − xP )− (zQ − zP )

(α− 1

E

))L. (90)

Di fatto, quindi, abbiamo trascurato D sinα rispetto a L sinα, mentre nonabbiamo tratto alcuna conclusione sulla grandezza relativa dei termini L sinαe D cosα (entrambi ‘piccoli’ in molte condizioni di volo).

Se infine assumiamo che i punti (P,Q) abbiano la stessa ordinata z in as-si solidali, come accade ad esempio se entrambi i punti appartengono al’asselongitudinale xb, la regola di trasporto del momento di beccheggio assume laforma

MQ =MP − (xQ − xP )L, (91)

che risultera di uso frequente negli sviluppi seguenti. In termini di coefficientiadimensionali risulta quindi

CMQ= CMP

− (ξQ − ξP ) CL, (92)

dove ξ := x/c rappresenta l’ascissa lungo l’asse xb adimensionalizzata rispettoalla corda del profilo.

3.4.2 Centro di pressione

Il centro del sistema di sforzi aerodinamici e detto centro di pressione (centerof pressure, CP) ed indicato qui con K. La condizione che definisce il centro dipressione e dunque

MK = 0 ⇐⇒ CMK= 0, (93)

Il centro di pressione in generale non e un punto materiale. Infatti, la suaposizione dipende fortemente dall’angolo d’incidenza.

Per descrivere il suo spostamento, notiamo che dalla regola di trasporto deimomenti di beccheggio, eq. 90, essendo MK = 0, abbiamo

MP = −(

(xP − xK)− (zP − zK)

(α− 1

E

))L. (94)


Per semplicita, tenendo presente l’allungamento del profilo in direzione xb ed ilfatto che il termine (α − 1/E) e spesso piccolo, assumiamo di poter trascurareil secondo contributo al momento di trasporto, quello legato al braccio (zP −zK), rispetto al primo. Cio risulta se assumiamo che entrambi i punti P e Kappartengono all’asse longitudinale xb. Sotto queste ipotesi, dunque, abbiamo

MP = −(xP − xK)L, (95)

Abbiamo dunque

xK − xP = −MP

L, (96)

ovvero, in termini adimensionali

ξK − ξP = −CMP

CL, (97)

L’equazione appena trovata permette di interpretare i risultati sperimentali con-cernenti lo spostamento del centro di pressione K in funzione dell’incidenzaaerodinamica αa per un profilo convesso:

• per αa = 0, ossia in condizioni di portanza nulla, il sistema di azioniaerodinamiche si riduce ad una pura coppia, che indichiamo come MZL;tale coppia risulta negativa (ossia picchiante):

CL = 0 =⇒ CMP= CMZL

< 0,∀P (profili convessi); (98)

in queste condizioni, la posizione del centro di pressione tende asintotica-mente all’infinito a valle del profilo.

• per αa ∈ (0, αastall) si ha portanza positiva: inizialmente il centro di pres-sione avanza fino a raggiungere una posizione all’incirca pari a c/3 a valledel bordo d’attacco, poco prima dello stallo;

• per αa ≥ αastall il centro di pressione riprende ad arretrare nuovamente.

Nel caso di un profilo simmetrico, invece, il centro di pressione ha una posizionefissa in assi solidali, ossia risulta essere un punto materiale. Per tali profili, lacondizione di portanza nulla si ha quando la velocita e parallela alla corda delprofilo (se si assume l’asse corda come asse xb, abbiamo αZL = 0), cosicche siha una distribuzione delle azioni aerodinamiche sul profilo del tutto simmetricatra estradosso ed intradosso, quindi tale da dare una coppia nulla:

CL = 0 =⇒ CMP= CMZL

= 0,∀P (profili simmetrici). (99)

La posizione del centro di pressione nei profili simmetrici si trova facilmente conriferimento alla nozione di centro aerodinamico.


3.4.3 Centro aerodinamico

La natura del sistema di forze aerodinamiche agenti su di un profilo alare, chesi compendia nella linearita della portanza rispetto all’incidenza e nella regoladi trasporto dei momenti, eq. 90, consente di stabilire l’esistenza di uno specialepunto tale per cui il valore del momento di beccheggio riferito ad esso nondipende dall’incidenza.

Questo punto e detto fuoco o centro aerodinamico del profilo (aerodyna-mic center, AC) e indicato qui con A. La condizione che definisce il centroaerodinamico e dunque

MA,α = 0 ⇐⇒ CMA ,α = 0, (100)

avendo indicato con •,α la derivata parziale della grandezza • rispetto a α, ossia∂•/∂α.7 Per trovare la posizione del centro aerodinamico si procede come segue:consideriamo due punti (P,Q) sull’asse longitudinale xb del profilo e deriviamorispetto all’incidenza la regola di trasporto dei momenti tra questi due punti,eq. 92:

CMQ ,α= CMP ,α − (ξQ − ξP ) CL,α. (101)

Pertanto, ponendo Q = A e tenendo conto della condizione 100 si ottiene

CMP ,α − (ξA − ξP ) CL,α = 0, ∀P (102)

e dunque

ξA − ξP =CMP ,α

CL,α, ∀P, (103)

ovvero, in termini dimensionali,

xA − xP =MP,α

L,α, ∀P. (104)

Quindi, fissato un qualsiasi punto P del profilo in cui sia nota la derivata rispettoall’incidenza del momento di beccheggio ridotto a tale punto, la posizione delcentro aerodinamico relativa a tale punto e data dalle formule appena ricavate.

La teoria dei profili (infinitamente) sottili consente di calcolare l’ascissa delcentro aerodinamico, che risulta un quarto di corda a valle del bordo d’attacco.Si tratta di un valore abbastanza ben verificato per profili reali, leggermentesottostimato per profili di vecchio disegno, e al contrario leggermente sovrasti-mato per profili moderni a bassa resistenza. Cio che piu importa, ad ogni modo,e che si tratta di un valore costante, il che comporta che il centro aerodinamicopuo essere considerato un punto materiale, almeno per (M,Re) fissati.

7 Ricordiamo che, data una funzione di piu variabili, la derivata parziale rispetto ad unacerta variabile e la derivata fatta tenendo costanti tutte le altre. Nel caso attuale, essendoper un dato profilo CMA

funzione di (α,M,Re), la derivata e fatta tenendo costanti tanto ilnumero di Mach, quanto il numero di Reynolds.


Il valore del momento al centro aerodinamico e pari alla coppia che si ottienein condizioni di portanza nulla:

CMA= CMZL

. (105)

Infatti, quest’ultimo non dipende dal polo di riduzione e pertanto deve coinciderecon quello al centro aerodinamico, che si mantiene costante. Peraltro,

CMP= CMP ,αα+ CMP 0

= CMP ,α

CL − CL0

CL,α+ CMP 0

=CMP ,α

CL,αCL +

(CMP 0 −

CMP ,α

CL,αCL0

)= (ξA − ξP ) CL + CMZL

(106)

e quindi

CMZL= CMP 0 − (ξA − ξP ) CL0

= CMP− (ξA − ξP ) CL

= CMA.

(107)

Cio comporta che il momento al centro aerodinamico risulta negativo per profiliconvessi e nullo per profili simmetrici. In particolare, in quest’ultimo caso, eevidente che il centro aerodinamico coincide con il centro di pressione.

3.4.4 Curva di momento

Per quanto visto, risulta chiaro che il momento di beccheggio dipende dall’inci-denza secondo l’equazione

MP (α) =MA + (xA − xP )L(α) (108)

e, in termini adimensionali,

CMP(α) = CMA

+ (ξA − ξP ) CL(α), (109)

sicche varia linearmente con l’incidenza nella gamma di quest’ultima che garan-tisce una dipendenza lineare della portanza:

CMP(α) = (ξA − ξP ) aαa + CMA

. (110)

La pendenza della curva di momento, pari a (ξA− ξP ) a, naturalmente ha valoridiversi a seconda della posizione del polo di riduzione P . Dato che CMA

< 0 perprofili convessi e CMA

= 0 per profili simmetrici, si hanno le seguenti situazioni:

• per P davanti al centro aerodinamico A, (ξA−ξP ) < 0 e quindi la pendenzadella curva di momento di beccheggio risulta negativa; i valori del momentorisultano negativi per αa > 0;


• per P = A, (ξA − ξP ) = 0 e quindi la pendenza della curva di momen-to risulta nulla; il momento di beccheggio al centro aerodinamico risultanegativo, ∀αa, per profili convessi e nullo, ∀αa, per profili simmetrici;

• per P dietro al centro aerodinamico A, (ξA−ξP ) > 0 e quindi la pendenzadella curva di momento risulta positiva; i valori del momento al cresceredi αa > 0 risultano prima negativi, poi positivi per profili convessi, ovverosempre positivi per αa > 0 per profili simmetrici.

Quando il profilo stalla, il momento di beccheggio al centro aerodinamico tendea ridursi piu o meno bruscamente (effetto di pitch down allo stallo) rispetto alsuo valore pre-stallo e continua a scendere nel post-stallo.

3.5 Superfici mobili

Per analizzare l’effetto della presenza di superfici mobili sul velivolo, Supponia-mo che il profilo sia dotato di una o piu porzioni calettabili, incernierate in puntidella sua linea media. Queste porzioni mobili vengono dette slats se poste sulbordo d’attacco, flaps sul bordo d’uscita. Si tratta dell’idealizzazione piu sem-plice possibile per modellare le superfici mobili di un velivolo, che nella praticapossono essere realizzate in modi molto diversi fra loro.

In un velivolo, le superfici mobili normalmente assumono il ruolo di iper-sostentatori, aerofreni e simili, oppure di superfici di controllo (equilibratori,alettoni, timoni di direzione). Nel primo caso, il loro orientamento relativo ri-spetto alla porzione fissa e dato da un insieme discreto di valori, nel secondocaso, si tratta di superfici comandate in modo continuo, che possono assumerequalsiasi orientazione all’interno di un certo intervallo.

Consideriamo un profilo dotato di uno slat e di un flap ed indichiamo con φLEe φTE gli angoli formato dalla tangenti alla linea media a monte e a valle dellacerniera che permette il calettamento dello slat e del flap, rispettivamente, con-siderati positivi quando la porzione mobile si abbassa (e quindi concordementecon α per φTE ed inversamente per φLE). Supponiamo che l’estensione dello slate del flap siano ridotte rispetto alla corda, cosicche l’effetto delle deflessioni edel tutto analogo ad un aumento della curvatura del profilo.

In particolare, per angoli φLE e φTE piccoli (ossia molto minori di 1 rad),si osserva che il coefficiente di portanza varia linearmente con gli angoli dideflessione:

CL(α, φLE, φTE) = aα+ bLEφLE + bTEφTE + CL0, (111)

essendo CL,φLE = bLE > 0 e CL,φTE = bTE > 0. Sempre sotto l’ipotesi di angolipiccoli, possiamo assumere che il centro aerodinamico del profilo non vari conle deflessioni, e quindi che anche il coefficiente di momento di beccheggio varilinearmente:

CMP(α, φLE, φTE) = CMA

+ (ξA − ξP ) CL(α, φLE, φTE), (112)

sicche CMP ,φLE= (ξA − ξP ) bLE e CMP ,φTE

= (ξA − ξP ) bTE.


3.6 Effetto dei numeri di Mach e Reynolds

3.6.1 Numero di Mach

Il numero di Mach di volo ha una forte influenza sulla generazione delle azioniaerodinamiche su un profilo alare in regime transonico. Infatti, in tale regime,che ricordiamo corrisponde a M ∈ [Mcr ,Msup ] con valori per Mcr tipicamenteattorno a 0.7 ÷ 0.8 e per Msup attorno a 1.1 ÷ 1.2, nel flusso che lambisceil profilo si instaura un sistema di onde di compressione ed espansione la cuiconfigurazione dipende fortemente dal numero di Mach.

Benche l’esame dettagliato di questa situazione va al di la della presentetrattazione, e bene considerarne una sommaria descrizione qualitativa per giu-stificare gli effetti che si producono in termini di risultanti, interessanti per laMeccanica del Volo.

Fenomenologia transonica Consideriamo un profilo ad incidenza aerodinami-ca ridotta, positiva e costante e numero di Mach crescente a partire da valori nelregime subsonico incomprimibile. Fino al raggiungimento di Mcr , il flusso at-torno al profilo si mantiene interamente subsonico. Superato Mcr , si forma unaregione supersonica sull’estradosso il cui limite a valle e costituito da un’ondad’urto normale, ossia una superficie di discontinuita della pressione ortogonalealla velocita locale che si origina nello strato limite immediatamente a valle delpunto di massimo spessore del profilo. All’aumentare del numero di Mach, laregione supersonica tende a crescere verso monte e verso valle, cosicche l’ondad’urto cresce in intensita e si sposta verso il bordo d’uscita. Nel frattempo, siforma anche un’onda d’urto normale sull’intradosso, anch’essa tendente verso ilbordo d’uscita. All’incirca per M = 1, entrambe le onde d’urto raggiungono ilbordo d’uscita. Per M = Msup il profilo risulta completamente immerso in uncampo supersonico, con l’eccezione della zona attorno al bordo d’attacco. Inqueste condizioni, le onde d’urto al bordo d’uscita divengono oblique rispettoalla velocita locale e si riducono in intensita, perche separano zone entrambesupersoniche. Davanti al bordo d’attacco si forma un’onda d’urto normale chesi ripiega rapidamente dando origine a due onde d’urto oblique, rispettivamenteverso l’alto e verso il basso. Aumentando ancora il numero di Mach, la configu-razione delle onde d’urto non cambia qualitativamente, eccetto che per l’angoloche formano con la velocita asintotica, che tende a diminuire, essendo prossimoa asin(1/M).

Portanza – Stallo d’urto Per quanto riguarda la generazione della portanza,un primo effetto di cui tenere conto e dato dal fatto che la curva di portanza di unprofilo, al crescere del numero di Mach in condizioni subsoniche, e caratterizzatada pendenze a(M) crescenti e da valori massimi max CL(M) decrescenti.

Giunti in corrispondenza di M = Mcr , l’instaurarsi del sistema di onde d’urtonormali, attraverso le quali il flusso aumenta drasticamente la sua pressione sta-tica, comporta l’insorgere di una separazione dello strato limite (shock inducedboundary layer separation) e quindi di una significativa riduzione del coefficien-


te di portanza. Questo fenomeno e denominato stallo d’urto (shock stall). Alcrescere del numero di Mach, il coefficiente di portanza raggiunge un minimo,dopodiche recupera parzialmente a seguito del ridursi della zona di separazione amano a mano che le onde d’urto si spostano verso il bordo d’uscita. Questo recu-pero si interrompe poi per M = Msup ed aumentando ancora il numero di Mach(regime supersonico) il coefficiente di portanza tende a ridursi gradualmente emonotonicamente.

Resistenza – Divergenza Per quanto riguarda la generazione della resistenza,l’instaurarsi del sistema di onde d’urto normali per M > Mcr comporta un au-mento drastico della resistenza di pressione. Questo fenomeno e detto divergenzatransonica della resistenza (transonic drag rise) e si manifesta per una valoredel numero di Mach leggermente superiore a quello critico, spesso indicato conMDD . L’aumento repentino del coefficiente di resistenza raggiunge un massimopoco dopo M = 1, quando le onde d’urto normali raggiungono il bordo d’uscitae hanno la massima intensita, dopodiche la resistenza diminuisce rapidamentefino ad assestarsi (in regime supersonico) ad un valore superiore a quello ca-ratteristico del regime subsonico, tipicamente attorno al doppio. La differenzatra i valori di CD in regime supersonico e subsonico e detto coefficiente di re-sistenza d’onda (wave drag) in quanto legato alla presenza delle onde d’urto.Il valore massimo raggiunto dal coefficiente di resistenza in regime transonicopuo arrivare a 4 volte quello caratteristico del regime subsonico.8 Si evince che,soprattutto approssimandosi al regime transonico, il profilo sia caratterizzatoda una diversa curva polare per ogni numero di Mach di volo.

Momento di beccheggio – ‘Tuck under’ Per quanto riguarda la generazionedel momento di beccheggio, per motivi analoghi a quelli che giustificano lo stallod’urto, durante il regime transonico si assiste al fenomeno del Mach tuck o tuckunder, ossia una rapida diminuzione del momento di beccheggio in un qualsiasipunto fisso sul profilo (per esempio, il bordo d’attacco). Questo raggiunge unminimo e poi aumenta nuovamente, per poi decrescere in modo piu graduale inregime supersonico.9 Cio comporta che il centro aerodinamico si sposti lungol’asse longitudinale, abbandonando la posizione a circa un quarto di corda dalbordo d’attacco per arretrare fino a collocarsi stabilmente all’incirca a metacorda in regime supersonico.

Complessivamente, le questioni accennate hanno indotto i progettisti a svi-luppare profili alari specialmente dedicati al volo transonico (profili sottili ‘su-percritici’) o al volo supersonico (profili a diamante, etc.), allo scopo di ridurrele problematiche legate al regime transonico ed ottimizzarne le prestazioni.

8 La divergenza transonica della resistenza, comportando elevati valori di spinta necessaria,ha rappresentato la prima difficolta al volo ad alta velocita e ha dato origine alla locuzione‘muro del suono’.

9 Il fenomeno del Mach tuck, comportando elevati valori di forza di comando necessaria, harappresentato un’ulteriore difficolta al volo ad alta velocita.

4 AERODINAMICA DELL’ALA 38

3.6.2 Numero di Reynolds

Le fenomenologie associate al numero di Reynolds, nell’ambito dei valori esperitinel volo atmosferico dei velivoli, comportano effetti significativi, ma non cosıdrammatici come per il numero di Mach. In generale, all’aumentare del numerodi Reynolds a parita d’incidenza, assistiamo ad una diminuzione del coefficientedi resistenza, per effetto del progressivo spostamento verso il bordo d’attacco delpunto di transizione tra flusso laminare e turbolento nello strato limite. Lo stessofenomeno e responsabile di un progressivo aumento del valore di max CL(Re)con il numero di Reynolds.

4 AERODINAMICA DELL’ALA

5 AERODINAMICA DEL VELIVOLO

NB – Versione parziale in corso di completamento.

Avvertenza

Questo testo e fornito per uso personale degli studenti. Viene reso disponibile informa preliminare, a supporto per la preparazione dell’esame di Meccanica del Volo.E gradita la segnalazione di errori e refusi.

Copyright Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale – Politecnico di Milano(Legge italiana sul Copyright 22.04.1941 n. 633)

Lezioni di Meccanica del Volo 4 - Forze aerodinamiche · quanto va al di l a delle necessit a della...

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