Lezioni di Meccanica del Volo 1 - Modellazione del velivolo · le caratteristiche di volo; 2. le...

Lezioni di Meccanica del Volo1 - Modellazione del velivolo

L. Trainelli

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Indice

1 INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1 Scelte di modellazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Equazioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Forze agenti sul velivolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Ipotesi di Terra piatta e non rotante . . . . . . . . . . . . 6

2 CINEMATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 Cinematica delle traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Posizione, velocita, accelerazione . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Velocita al suolo e all’aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Grandezze integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4 Riferimento orizzonte locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.5 Quota di volo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.6 Velocita orizzontale e verticale . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.7 Angoli di traiettoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.8 Classificazione delle manovre . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Cinematica degli assetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.1 Configurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Atto di moto rigido e velocita di volo . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Riferimento solidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.4 Componenti solidali della velocita . . . . . . . . . . . . . 162.2.5 Angoli aerodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.6 Angoli d’assetto e passaggio da assi orizzonte locale ad

assi corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.7 Componenti solidali della velocita angolare . . . . . . . . 192.2.8 Riferimento aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.9 Passaggio da assi orizzonte locale ad assi vento . . . . . . 222.2.10 Passaggio da assi corpo ad assi vento . . . . . . . . . . . . 232.2.11 Volo simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.12 Ipotesi di angoli piccoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 DINAMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1 Dinamica traslatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1 Quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.2 Derivata della quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.3 Definizione della spinta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.4 Espressioni per le forze applicate . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Dinamica rotatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.1 Riduzione al baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Risultante e momento risultante delle quantita di moto . 323.2.3 Derivata del risultante e del momento risultante delle quan-

tita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.4 Espressioni per i momenti applicati . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Manovre stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35A RIFERIMENTI E ROTAZIONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36A.1 Rotazioni nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

A.1.1 Matrice dei coseni direttori . . . . . . . . . . . . . . . . . 36A.1.2 Matrice di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38A.1.3 Composizione di rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

A.2 Rotazioni nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40A.2.1 Matrice dei coseni direttori . . . . . . . . . . . . . . . . . 40A.2.2 Matrice di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.2.3 Rotazioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.2.4 Composizione di rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A.2.5 Angoli di Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

A.3 Relazione tra i riferimenti aeronautici . . . . . . . . . . . . . . . 46A.3.1 Passaggio da assi orizzonte locale ad assi corpo . . . . . . 46A.3.2 Passaggio da assi orizzonte locale ad assi vento . . . . . . 47A.3.3 Volo in un piano verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47A.3.4 Volo in un piano orizzontale . . . . . . . . . . . . . . . . . 48A.3.5 Passaggio da assi vento ad assi corpo . . . . . . . . . . . . 48

30 marzo 2011(Versione 2.1)

1 INTRODUZIONE 4

The three most useless things in the world are the altitude above you, therunway behind you and a tenth of a second ago.

– one of the ‘Flight rules’ (from the Internet).

1 INTRODUZIONE

1.1 Scelte di modellazione

In questa sezione consideriamo la modellazione del velivolo, ed in parte anchedell’ambiente in cui questo si trova ad operare. Questa modellazione non e altroche un’idealizzazione che permette di formalizzare matematicamente i problemidella Meccanica del Volo Atmosferico.

A questo fine, notiamo che – come frequente nell’Ingegneria – sono disponibilidiverse scelte modellistiche caratterizzate da un diverso livello di dettaglio nelladescrizione del sistema da analizzare. Ad esempio, nel caso della Meccanica delVolo, per la struttura del velivolo si puo fare riferimento, in ordine crescente dicomplessita, ai modelli di

1. punto materiale nel piano o nello spazio (2 o 3 gradi di liberta);

2. corpo rigido nel piano o nello spazio (3 o 6 gradi di liberta);

3. corpo deformabile (sono possibili numerose possibilita combinando tra loroelementi di trave, guscio, continuo tridimensionale, con un numero di gradidi liberta dell’ordine tra 101 e 105).

La scelta di un modello piuttosto che un altro dipende fortemente dalle caratte-ristiche del risultato che si vuole ottenere. Sommariamente possiamo dire che,nel caso del velivolo, i modelli appena citati sono utilizzati al fine di analizzarne

1. le traiettorie, e quindi la maggior parte delle prestazioni, che determinanole caratteristiche di volo;

2. le condizioni di equilibrio, stabilita e controllabilita e la risposta dinamica,che concorrono a definire le qualita di volo;

3. il comportamento aeroelastico.

E chiaro che la modellazione strutturale si dovra accompagnare ad una model-lazione aerodinamica e propulsiva di livello analogo per ottenere un modello disistema consistente. Ecco quindi che, se per il punto materiale e per il corporigido e giustificata l’adozione di una descrizione aerodinamica per mezzo di coef-ficienti sperimentali di forza e momento, per modelli deformabili di complessitacrescente risulta via via necessario rivolgersi a modelli dell’aerodinamica capa-ci di supportare sempre maggiore dettaglio, passando cosı dalla linea portante

1 INTRODUZIONE 5

(strip theory), ai metodi ad elementi di contorno (panel methods e BEM, boun-dary element methods), fino alle tecniche CFD (computational fluid dynamics)basate su approcci agli elementi finiti, alle differenze finite, ai volumi finiti, etc.

Ai fini di questo corso, i modelli strutturali d’interesse si limitano a quelli dipunto materiale e di corpo rigido, corroborati da modelli aerodinamici semplicibasati su coefficienti sperimentali di forza e momento e da modelli propulsivi dianaloga semplicita.

1.2 Equazioni fondamentali

Il punto di partenza fondamentale per i ragionamenti della Meccanica del VoloAtmosferico e rappresentato dalle equazioni cardinali alla traslazione (per ilpunto materiale e per il corpo rigido) e alla rotazione (per il solo corpo rigido),altrimenti dette equazioni di bilancio delle forze e dei momenti, ovvero equazionidi conservazione della quantita di moto e del momento delle quantita di moto.

1.2.1 Forze agenti sul velivolo

Le equazioni cardinali si scrivono, rispetto ad un riferimento inerziale F i, comesegue:

dQ

dt=∑k

Fk,

dHP

dt+ vP ×Q =

∑k

MkP ,

(1)

dove Q rappresenta la quantita di moto risultante, HP il momento risultantedelle quantita di moto rispetto al generico polo P in moto con velocita vP , Fktutte le forze, attive e reattive, applicate sul sistema e Mk

P i corrispondentimomenti ridotti ad P .

Le forze in gioco, nel caso del velivolo, sono date, nel caso di volo libero, da

• forze aerodinamiche, di risultante F e momento risultante MP ;

• forze propulsive ‘esterne’,1 di risultante Ta e momento risultante ΓaP ;

• forze gravitazionali, di risultante W e momento risultante ΞP = W ×(P −G), dove G e il baricentro;

a cui si aggiungono, nel caso di volo vincolato (come nel caso di un aliantetrainato in quota) oppure di moto in contatto con il suolo o con uno specchiod’acqua,

• forze reattive, di risultante R e momento risultante NP .

1 Il significato di questa dizione sara chiarito nel seguito.

1 INTRODUZIONE 6

Pertanto, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale F i, le equazioni cardi-nali assumono la forma2

Q = F + Ta + W + R,

HP + vP ×Q = MP + ΓaP + ΞP + NP ,(2)

Naturalmente, alcuni dei termini presenti a secondo membro possono esserenulli, come nel caso di volo libero (i termini di reazione vincolare) oppure di volonon propulso (i termini propulsivi). Non sono mai nulli, nel volo atmosferico,invece i termini di natura aerodinamica e quelli di natura gravitazionale.

1.2.2 Ipotesi di Terra piatta e non rotante

Volendo descrivere ed analizzare il volo di un velivolo, risulta naturale osservareil moto da un sistema di riferimento Fe solidale alla Terra, e quindi, in linea diprincipio, non inerziale. Infatti la Terra e animata di un moto complesso rispettoad un sistema di riferimento inerziale (le cosiddette ‘stelle fisse’), comprendenteil moto di rivoluzione attorno al Sole, il moto di rotazione attorno al proprioasse polare ed altri moti di minore entita.

Nel caso si osservi il moto in un sistema di riferimento non inerziale Fm, leequazioni cardinali assumono la forma

dQ

dt=∑k

Fk + FFm

,

dHP

dt+ vP ×Q =

∑k

MkP + MFm

P ,

(3)

dove FFm

e MFm

P rappresentano il risultante ed il momento risultante delle forzeapparenti (centrifughe e di Coriolis), ossia di quelle azioni fisicamente inesisten-ti che permettono di estendere la validita delle equazioni cardinali a sistemi diriferimento non inerziali. L’entita di queste azioni e funzione dell’accelerazio-ne lineare, della velocita angolare e dell’accelerazione angolare del sistema diriferimento Fm rispetto ad un qualunque sistema di riferimento inerziale F i.

Ai fini della Meccanica del Volo Atmosferico, non e difficile dimostrare che levelocita e le quote in gioco comportano valori del risultante FF

e

e del momentorisultante MFe

O del tutto trascurabili rispetto ai valori che possono assumere leforze aerodinamiche, propulsive e gravitazionali. Pertanto, per i nostri scopi,

• assumeremo che un sistema di riferimento solidale alla Terra si possaconsiderare inerziale, e quindi che valgano le equazioni cardinali 2.

Di fatto, cio corrisponde a trascurare i moti della Terra rispetto alle stelle fisse,ed in particolare il moto che tra tutti ha gli effetti piu rilevanti perche carat-terizzato dalla velocita angolare piu elevata, ossia quello di rotazione attornoall’asse polare.

2 Indichiamo con un punto sovrapposto la derivata rispetto al tempo di una grandezza.

2 CINEMATICA 7

A quest’assunzione, detta ipotesi di Terra non rotante, si aggiunge un’altraassunzione sulla sua forma geometrica: l’ipotesi di Terra piatta. Trascurando lacurvatura della superficie terrestre, si ha che

• le traiettorie a quota costante (isoipse) possono essere assunte come ret-tilinee invece che approssimativamente circolari, il che a sua volta portaa trascurare l’effetto della forza centrifuga relativa alla curvatura dellatraiettoria rispetto a quella gravitazionale.

• il campo gravitazionale possa essere considerato un campo di vettori pa-ralleli, normali alla superfici terrestre.

Dato che il campo gravitazionale effettivo (quello che produce l’effetto del peso)deriva dalla composizione del campo gravitazionale in senso stretto (funzionedella distanza dal centro della Terra) con il campo delle forze centrifughe (fun-zione della distanza dall’asse polare della Terra), e quindi di fatto variabile conla quota e la latitudine, l’insieme delle due assunzioni appena viste consen-te di approssimare il campo gravitazionale effettivo come un campo vettorialeuniforme, ossia caratterizzato da un’intensita g = const , di modulo

g := ‖g‖ = 9.810 m/s2 (4)

(si tratta di un valore di riferimento, pari al valore medio misurato a quota zeroalla latitudine di 45 Nord).

L’ipotesi di Terra piatta, quindi, consiste nell’estendere l’approssimazionedella superficie terrestre con il suo piano tangente in un certo punto. Se dalpunto di vista delle grandezze locali, o ‘puntuali’, cio risulta sempre giustificato,non e sempre cosı nel caso delle grandezze globali, o ‘integrali’. Queste, infatti,sono legate ad una porzione finita di traiettoria (distanze, tempi, consumi, etc.)e quindi possono assumere valori significativamente differenti se calcolati su unatraiettoria rettilinea o su un arco di curva, tipicamente di ortodromia (trattodella curva piu breve che unisce due punti sulla superficie terrestre). Pertan-to, nei calcoli di navigazione ed in generale nella stima accurata di grandezzeintegrali realative a crociere prolungate, puo essere necessario considerare unaforma geometrica della Terra piu realistica.

2 CINEMATICA

2.1 Cinematica delle traiettorie

Per l’analisi delle traiettorie, adottiamo il modello di velivolo puntiforme, equindi consideriamo il velivolo come rappresentato dal punto materiale P . Ilmoto del punto P viene descritto rispetto ad un riferimento solidale alla TerraFe.

2 CINEMATICA 8

2.1.1 Posizione, velocita, accelerazione

Detto O un punto fisso sulla superficie della Terra, la posizione del velivolo r(t)e data dal vettore

r = P −O. (5)

Se introduciamo un’ascissa curvilinea s lungo la traiettoria, in modo da consi-derare r funzione di s, a sua volta funzione di t, la velocita del punto P risultadata da

r = s et, (6)

dove et e il versore tangente alla traiettoria nel punto P . Inoltre, l’accelerazionedel punto P risulta data da

r = s et +s2

Ren, (7)

dove en e il versore normale principale alla traiettoria ed R il raggio di curvaturadella traiettoria relativi al punto P . I versori tangente e normale principaleformano, assieme al versore binormale eb := et × en la terna ortonormale dettatriedro intrinseco o triedro di Frenet-Serret.

L’accelerazione ha quindi un componente tangenziale, di modulo

r · et = s, (8)

ed un componente normale (centripeto), di modulo

r · en =s2

R. (9)

Ricordiamo che il moto e rettilineo per R → ∞ (ossia quando l’accelerazionecentripeta e nulla), uniforme per s = 0 (ossia quando l’accelerazione tangen-ziale e nulla), e quindi rettilineo uniforme per r = 0 (ossia quando l’interaaccelerazione e nulla).

Il rapporto Ω := s/R rappresenta la velocita di rotazione del vettore ve-locita, spesso indicata come ‘velocita angolare’ della traiettoria del punto P .3

Adotteremo quindi le seguenti scritture alternative

r · en =s2

R= Ω s = Ω2R (10)

per il modulo dell’accelerazione centripeta.

2.1.2 Velocita al suolo e all’aria

La velocita del punto P rispetto al riferimento Fe e indicata con VGS(t) edenominata velocita al suolo (groundspeed):

VGS := r. (11)

3 Tale terminologia puo rivelarsi ambigua, in quanto grandezze denominate allo stesso modo(‘velocita angolari’) vengono definite a proposito del moto dei sistemi di riferimento.

2 CINEMATICA 9

Posto che s sia concorde con t, il modulo della velocita al suolo VGS := ‖VGS‖ edato da

VGS = s. (12)

La velocita al suolo e data dalla somma della velocita del velivolo rispetto allaporzione d’atmosfera in cui e immerso, indicata con V(t) e denominata velocitaall’aria (airspeed) e della velocita di tale porzione d’atmosfera rispetto al suolo,indicata con VWS(t) e denominata velocita del vento (windspeed):

VGS = V + VWS. (13)

Questa decomposizione e cruciale nell’analisi delle traiettorie del velivolo e dellesue prestazioni, dato che le forze aerodinamiche e propulsive agenti su di essodipendono dalla sola velocita all’aria V, di modulo V := ‖V‖. Quest’ultimaviene denominata anche velocita di volo oppure velocita vera (true airspeed,TAS). Questa terminologia e adottata per distinguere la velocita all’aria daaltre grandezze connesse direttamente misurate a bordo. L’argomento vienesviluppato ulteriormente nella trattazione dell’anemometria.

Ipotesi di vento nullo Dato il taglio elementare del corso, d’ora in poi assu-meremo per semplicita che la porzione d’atmosfera in cui e immerso il velivolosia in quiete rispetto alla Terra, il che comporta VWS = 0 e quindi

VGS = V, (14)

salvo recuperare eventualmente la decomposizione 13 per correggere alcuni ri-sultati che risentono significativamente della presenza di componenti orizzontalio verticali di vento. Assumendo l’ipotesi di vento nullo, abbiamo che la velo-cita all’aria e la sua derivata coincidono con le derivate prima e seconda dellaposizione e quindi possono essere espresse come

V = V et,

V = V et +V 2

Ren,

(15)

e naturalmente valgono le scritture alternative

V · en =V 2

R= ΩV = Ω2R (16)

per il modulo dell’accelerazione centripeta.

Unita di misura L’unita di misura della velocita, nel Sistema Internazionale,e il metro al secondo, m/s. Tuttavia, nella pratica aeronautica si fa larghissimouso del nodo, (knot) kn, pari ad un miglio marino (nautical mile) all’ora.4 Piuraro e l’uso del chilometro all’ora, km/h, mentre per velivoli lenti (regime basso

4 Essendo 1 NM = 1852 m, si ha 1 kn = 0.514 m/s.

2 CINEMATICA 10

subsonico) si usa talvolta il miglio all’ora (mile per hour), mph, essendo pero ilmiglio un miglio terrestre (statute mile)5 e non marino.

Per quanto riguarda la velocita angolare, nel Sistema Internazionale l’unitadi misura e il radiante al secondo, rad/s, ma di fatto si fa spesso riferimento algrado al secondo, /s.6

2.1.3 Grandezze integrali

Oltre alle caratteristiche locali viste in precedenza, hanno interesse grandezze ditipo integrale, quali il tempo di percorrenza T di una porzione della traiettoriae la lunghezza S:

T =

∫ tf

ti

dt =

∫ sf

si

1

VGS

ds,

S =

∫ tf

ti

VGSdt =

∫ sf

si

ds,

(17)

avendo tenuto conto che ds = VGSdt ed avendo posto si := s(ti) e sf := s(tf ).

Unita di misura L’unita di misura del tempo, nel Sistema Internazionale, e ilsecondo, s. Tuttavia, nella pratica aeronautica si fa largo uso tanto del minuto,min, quanto dell’ora, hr. Per quanto riguarda la lunghezza della traiettoria,l’unita di misura del Sistema Internazionale, il metro, m, viene normalmentesostituita nella pratica aeronautica dal chilometro, km, dal miglio marino, NM,o anche dal miglio terrestre, mi.

2.1.4 Riferimento orizzonte locale

Il sistema di riferimento detto ‘orizzonte locale’ (local horizon frame) Fh haorigine nel punto materiale P che rappresenta il velivolo ed assi ortonormali(xh, yh, zh) tali che il piano xhyh e tangente alla superficie terrestre e che l’assezh e diretto verso il basso, ossia nella direzione della gravita. I versori degli assisono indicati con (ehx, e

hy , e

hz ).

Altri nomi utilizzati in letteratura per questo sistema di riferimento sonosistema di riferimento ‘verticale trascinato’ (vehicle carried vertical frame) esistema di riferimento ‘terrestre mobile’ (moving Earth frame). Spesso gli assixh e yh vengono allineati in direzione Nord ed Est, rispettivamente, da cui ladenominazione particolare di NED frame, dove la sigla NED sta per North,East, Down.

Il riferimento orizzonte locale consente di formalizzare una quantita di gran-dezze cinematiche caratteristiche utili alla descrizione del moto del velivolo ealla caratterizzazione delle sue prestazioni. Tra queste grandezze, la quota divolo, le componenti verticale ed orizzontale della velocita di volo, gli angoli ditraiettoria.

5 Essendo 1 mi = 1609 m, si ha 1 mph = 0.447 m/s.6 Essendo 1 rad = 57, 295, si ha 1 /s = 0, 0174 rad/s.

2 CINEMATICA 11

2.1.5 Quota di volo

La quota di volo (flight altitude) e la distanza tra il velivolo e la superficieterrestre. Formalmente, quindi, la quota di volo h e data dalla proiezione delvettore posizione sull’asse verticale:

h := −ehz · r, (18)

essendo il segno negativo giustificato dal fatto che l’asse zh e rivolto verso ilbasso.

Si parla di quota ‘geometrica’ oppure quota ‘vera’ (true altitude, TA) quandotale grandezza e riferita al livello medio del mare, oppure di quota ‘assoluta’(absolute altitude, AA) quando e riferita alla superficie del suolo che il velivolosta sorvolando. Nell’ambito del nostro corso, con h intenderemo sempre la quotageometrica TA, riservando la notazione hAA alla quota assoluta AA.

Unita di misura L’unita di misura della quota, nel Sistema Internazionale, e ilmetro, m. Tuttavia, nella pratica aeronautica si fa largo uso del piede (foot), ft.7

L’argomento viene sviluppato ulteriormente nella trattazione dell’altimetria.

2.1.6 Velocita orizzontale e verticale

E naturale definire due componenti significative della velocita di volo V: lavelocita verticale Vv e la velocita orizzontale Vh, definite rispettivamente dalleproiezioni della velocita di volo sull’asse verticale e sul piano orizzontale:

Vv := −ehz ·V,Vh := ‖V + Vve

hz‖.

(19)

Si tratta quindi di componenti scalari relative a direzioni fra loro perpendicolari,sicche V =

√V 2v + V 2

h .La velocita verticale e anche indicata come velocita ascensionale, velocita

di salita o, nel gergo aeronautico, rateo di salita (rate of climb, R/C).8 Il suoopposto, Vd := −Vv e detto velocita di discesa ovvero rateo di discesa (rate ofdescent, R/D, oppure sinking speed).

Unita di misura Come unita di misura della velocita orizzontale si fa riferimen-to a quella della velocita di volo, mentre per la velocita verticale si utilizzano ilmetro al secondo m/s oppure, piu frequentemente, il piede al minuto, ft/min.9

7 1 ft = 0.3048 m.8 Nel gergo aeronautico si va oltre: spesso infatti la velocita verticale viene chiamata

variometro, usando cioe il nome dello strumento di bordo che la misura.9 1 ft/min = 0.005 m/s.

2 CINEMATICA 12

2.1.7 Angoli di traiettoria

Allo scopo di caratterizzare ulteriormente la velocita di volo, introduciamo dueangoli, detti angoli di traiettoria:

• l’angolo di rampa (flight path angle) γ, definito come l’angolo formatodalla velocita di volo ed il piano dell’orizzonte xhyh, con verso positivoverso l’alto (ossia in direzione opposta all’asse zh);

• l’angolo di rotta (track angle) χ, definito come l’angolo formato dalla pro-iezione della velocita di volo sul piano dell’orizzonte e l’asse xh, con versopositivo pari a quello naturale sul piano stesso (cioe da xh verso yh).

Formalmente, le definizioni appena date si traducono nelle formule

γ := −asinehz ·VV

,

χ := atanehy ·Vehx ·V

.

(20)

con γ ∈ [−π/2, π/2) e χ ∈ [0, 2π).L’eq. 201 mette in relazione l’angolo di rampa con la velocita verticale.

Infatti,

sin γ = −ehz ·VV

=VvV, (21)

e quindi la velocita verticale risulta data da

Vv = V sin γ. (22)

Di conseguenza la velocita orizzontale risulta

Vh = V cos γ, (23)

dato che V =√V 2v + V 2

h = V√

sin2 γ + cos2 γ.L’eq. 202 mette in relazione l’angolo di rotta con le componenti della velocita

orizzontale nel piano xhyh. Infatti,

tanχ =sinχ

cosχ=

ehy ·Vehx ·V

(24)

comporta che ehx ·V = Vh cosχ e ehy ·V = Vh sinχ.Tramite gli angoli di traiettoria e quindi possibile esprimere la velocita di

volo in componenti nel riferimento orizzonte locale nel modo seguente:

V = V (cosχ cos γ ehx + sinχ cos γ ehy − sin γ ehz ). (25)

Cio corrisponde semplicemente all’adozione di coordinate sferiche piuttosto checartesiane per la descrizione delle componenti scalari del vettore V, essendo Vil raggio della sfera, χ l’angolo di longitudine, γ quello di latitudine.

2 CINEMATICA 13

Gli angoli γ e χ rivestono un’importanza fondamentale nell’analisi delle pre-stazioni. In particolare, per come e stato definito, l’angolo di rampa rappresental’inclinazione della traiettoria del velivolo rispetto al suolo, ed e positivo nel voloin salita. Pertanto e anche noto come angolo di salita (angle of climb). In casodi volo in discesa, caratterizzato da valori negativi di γ, si preferisce spesso fareriferimento al suo opposto, detto angolo di discesa (angle of descent), indicatocon γd := −γ, che risulta quindi positivo.

2.1.8 Classificazione delle manovre

Le grandezze definite nei paragrafi precedenti permettono di caratterizzare inmodo significativo le diverse possibili manovre del velivolo. Assumendo ventonullo, ossia per V ≡ VGS, diciamo che, localmente, ossia in un certo istante, ilvolo e

• orizzontale se γ = 0,

• in salita se γ > 0,

• in discesa se γ < 0,

mentre, globalmente, ossia per una certa durata, il volo

• e uniforme se V = const ;

• si svolge in un piano verticale se χ = const;

• si svolge in un piano orizzontale se γ = 0;

• rettilineo se entrambi γ e χ sono costanti;

• curvilineo se γ e χ sono variabili nel tempo.

Notiamo inotre che se il volo si svolge in un piano verticale si ha χ = 0 eΩ = |γ|.10 Se invece si svolge in un piano orizzontale si ha γ = 0 e Ω = |χ|.11Nel volo rettilineo, R tende all’infinito e Ω = 0, mentre nel volo curvilineo R simantiene finito quasi ovunque. In generale, si puo dimostrare che

Ω =√γ2 + χ2 cos2 γ. (26)

Una manovra curvilinea nel piano verticale e detta

• richiamata (pull-up) se γ > 0;

• affondata (push-over) se γ < 0.

Una manovra curvilinea nel piano orizzontale e detta

10 In effetti, la velocita di rotazione del vettore velocita Ω e per definizione una grandezzapositiva. Vale Ω = +γ se il versore binormale eb := et × en coincide con ehy , Ω = −γ se

eb = −ehy .11 Analogamente, vale Ω = +χ se eb = ehz , Ω = −χ se eb = −ehz .

2 CINEMATICA 14

• virata positiva (right turn) se χ > 0;

• virata negativa (left turn) se χ < 0.

Tutte le definizioni viste fin qui comportano valori di parametri cinematici ca-ratteristici della sola traiettoria del punto rappresentativo del velivolo rispettoall’atmosfera circostante.

2.2 Cinematica degli assetti

Per l’analisi dei moti di rotazione del velivolo, ossia del modo in cui varia la suaorientazione, o ‘assetto’, rispetto ad un certo riferimento, il modello di puntomateriale va necessariamente abbandonato, ed in sostituzione consideriamo ilvelivolo rappresentato da un corpo rigido, in generale tridimensionale.

2.2.1 Configurazione

Un corpo rigido e un corpo esteso caratterizzato da un vincolo fondamentale:la distanza tra due punti qualsiasi appartenenti al corpo non varia durante ilmoto. Cio comporta che il moto del corpo nel suo insieme sia rappresentabileattraverso il moto di una qualsiasi terna d’assi materiali centrata in un certopunto P del corpo. L’insieme punto-terna rappresenta dunque un sistema diriferimento mobile, sicche il moto del velivolo puo essere descritto come il motodi tale riferimento rispetto al riferimento terrestre Fe.

Il moto di un sistema di riferimento e caratterizzato da sei gradi di liberta sca-lari, che possono essere scelti come tre parametri di traslazione e tre di rotazione.Tipicamente, tra le diverse scelte possibili,

• i parametri di traslazione sono le coordinate che descrivono lo spostamentodell’origine mobile rispetto all’origine fissa;

• i parametri di rotazione risultano dal considerare la matrice dei cosenidirettori assieme ai vincoli di ortonormalita per i versori della terna mobile.

I coseni direttori sono gli scalari che rappresentano i coseni degli angoli tra i ver-sori della terna mobile e quelli della terna fissa. Si tratta dunque di 9 parametri,ma non tutti indipendenti tra loro. Infatti, per i vincoli di ortonormalita delleterne, 6 sono sovrabbondanti e possono essere espressi in funzione degli altri 3.Pertanto, i gradi di liberta effettivi per descrivere completamente l’orientazionedella terna mobile rispetto alla terna fissa sono soltanto tre. La configurazionedel velivolo e descritta quindi dall’insieme dei tre parametri di posizione e deitre parametri di orientazione effettivamente indipendenti.

2.2.2 Atto di moto rigido e velocita di volo

La descrizione dell’atto di moto, analogamente, e piu ricca di quella relativaal punto materiale (in cui basta la velocita del punto stesso). Nel caso delmoto rigido, normalmente si considerano due grandezze vettoriali (e quindi seiparametri scalari):

2 CINEMATICA 15

• la velocita di un punto appartenente al corpo, ad esempio quella dell’ori-gine mobile P , ossia vP ;

• la velocita angolare ω.

Quest’ultima e un vettore che permette di esprimere la derivata dei versori dellaterna mobile attraverso le formule di Poisson:

ebx = ω × ebx,

eby = ω × eby,

ebz = ω × ebz,

(27)

e quindi e legata alla derivata della matrice dei coseni direttori. L’atto di motorigido e dunque caratterizzato dalla coppia (vP ,ω), ovvero da qualsiasi altracoppia (vQ,ω), dove Q e un generico punto materiale appartenente al corpo.Infatti, vale la legge di distribuzione delle velocita nel moto rigido

vQ = vP + ω × (Q− P ) (28)

per qualsiasi coppia di punti materiali (P,Q). L’equazione precedente e anchedetta regola di trasporto delle velocita.12

Adottando il modello di velivolo rigido, in generale la velocita e diversa dapunto a punto, secondo la regola di trasporto appena richiamata. Pertanto, lavelocita di volo V e definita come la velocita di un punto materiale notevole(tipicamente il baricentro nominale).13 Gli angoli di traiettoria, le componentiverticale ed orizzontale della velocita, la quota di volo ed in generale tuttele grandezze finora esaminate s’intendono dunque riferite al punto scelto percaratterizzare la velocita di volo.

2.2.3 Riferimento solidale

Il sistema di riferimento solidale (body frame) Fb utilizzato in Meccanica del Voloha origine in un punto materiale P del velivolo ed assi ortonormali (xb, yb, zb)tali che il piano xbzb coincide con il piano di simmetria materiale del velivolo.14

In particolare, l’asse xb, detto asse di rollio (roll axis), e allineato con l’asselongitudinale di fusoliera e l’asse yb, detto asse di beccheggio (pitch axis), ediretto verso la semiala destra. L’asse zb, detto asse d’imbardata (yaw axis),risulta quindi determinato dal fatto che deve completare la terna ortonormaledestra, e quindi e rivolto verso il basso del velivolo. I versori degli assi sonoindicati con (ebx, e

by, e

bz).

12 E evidente l’analogia formale di questa formula con quella detta regola di trasporto deimomenti, per cui si ha MQ = MP + F × (Q − P ), dove F e il risultante di un certo campodi forza e MP il momento risultante rispetto al polo P .13 La dizione nominale e necessaria perche, a rigore, il baricentro di un velivolo spesso non e

un punto materiale e cambia posizione durante il volo (per effetto del consumo di combustibile,degli spostamenti di passeggeri ed equipaggio, etc.).14 Assumiamo infatti che il velivolo possieda un piano di simmetria materiale, almeno dal

punto di vista macroscopico, come si verifica nella stragrande maggioranza dei casi.

2 CINEMATICA 16

Altri nomi utilizzati in letteratura per questo sistema di riferimento sonosistema di riferimento ‘corpo’ o sistema degli ‘assi corpo’ (body axes).

2.2.4 Componenti solidali della velocita

Nella Meccanica del Volo l’orientazione della velocita di volo rispetto al velivolo(e quindi rispetto agli assi del riferimento solidale) e della massima importanza,dato che le forze aerodinamiche e propulsive dipendono strettamente da taleorientazione.

Le componenti scalari della velocita di volo nel riferimento Fb sono di normaindicate con le lettere (u, v, w) e denominate rispettivamente velocita longitudi-nale, velocita laterale e velocita trasversale:

u := ebx ·V,v := eby ·V,w := ebz ·V,

(29)

sicche possiamo scrivere

V = u ebx + v eby + w ebz. (30)

Conviene inoltre introdurre la velocita nel piano di simmetria materiale delvelivolo Vs, definita come il componente vettoriale della velocita di volo nelpiano di simmetria materiale del velivolo:

Vs = V − v eby. (31)

Pertanto, il suo modulo risulta

Vs = ‖Vs‖ =√u2 + w2. (32)

Si tratta quindi, assieme alla grandezza v definita sopra, di componenti sca-lari relative a direzioni fra loro perpendicolari, sicche V =

√V 2s + v2. La

componente v viene anche detta velocita di derapata.

2.2.5 Angoli aerodinamici

Analogamente a quanto visto per gli angoli di traiettoria, caratterizziamo ul-teriormente l’orientazione della velocita di volo introducendo due angoli, dettiangoli aerodinamici :

• l’angolo d’incidenza (angle of attack, AoA) α, definito come l’angolo for-mato dalla proiezione della velocita di volo nel piano di simmetria delvelivolo e l’asse xb, con verso positivo pari a quello naturale sul piano xbzb

(da zb a xb);

• angolo di deriva (angle of sideslip) β, definito come l’angolo formato dallavelocita di volo ed il piano di simmetria xbzb del velivolo, con verso positivoin direzione della semiala destra.

2 CINEMATICA 17

Formalmente, le definizioni appena date si traducono nelle formule

α := atanebz ·Vebx ·V

,

β := asineby ·VV

.

(33)

con α ∈ [−π, π) e β ∈ [−π/2, π/2).L’eq. 332 mette in relazione l’angolo di deriva con la velocita di derapata.

Infatti,

sinβ =eby ·VV

=v

V, (34)

e quindi la velocita di derapata risulta data da

v = V sinβ. (35)

Di conseguenza la velocita nel piano di simmetria risulta

Vs = V cosβ, (36)

dato che V =√V 2s + v2 = V

√sin2 β + cos2 β.

L’eq. 331 mette in relazione l’angolo d’incidenza con le componenti dellavelocita nel piano xbzb. Infatti,

tanα =sinα

cosα=

ebz ·Vebx ·V

(37)

comporta che ebx ·V = Vs cosα e ehz ·V = Vs sinα e quindi

u = Vs cosα = V cosα cosβ,

w = Vs sinα = V sinα cosβ.(38)

Tramite gli angoli aerodinamici e quindi possibile esprimere la velocita divolo in componenti nel riferimento solidale nel modo seguente:

V = V (cosα cosβ ebx + sinβ eby.+ sinα cosβ ebz). (39)

Cio corrisponde semplicemente all’adozione di coordinate sferiche piuttosto checartesiane per la descrizione delle componenti scalari del vettore V, essendo Vil raggio della sfera, α l’angolo di longitudine, β quello di latitudine.

L’importanza degli angoli aerodinamici risiede nel fatto che α e in pratical’angolo d’incidenza delle superfici portanti orizzontali, ed in particolare dell’ala,mentre β rappresenta di fatto l’angolo d’incidenza delle superfici verticali, ed inparticolare della deriva.

2 CINEMATICA 18

2.2.6 Angoli d’assetto e passaggio da assi orizzonte locale ad assi corpo

Come accennato, esiste una notevole liberta di scelta per i tre parametri chedescrivono l’orientazione del riferimento solidale rispetto al riferimento orizzontelocale. Quelli tradizionalmente piu utilizzati nella Meccanica del Volo sono treangoli, detti di azimuth ψ, di elevazione (elevation) θ e di rotazione propria(rotation) φ.15

Si tratta di una terna di angoli di Cardano, o angoli di Eulero ‘aeronautici’,16

definiti quindi attraverso una successione di rotazioni parziali che trasformanola terna del riferimento Fh in quella del riferimento Fb data da

1. rotazione attorno a ehz , terzo asse della terna iniziale, di un angolo ψ ∈[−π, π);

2. rotazione attorno al secondo asse delle terne intermedie (asse dei nodi) diun angolo θ ∈ (−π/2, π/2);

3. rotazione attorno a ebx, primo asse della terna finale, di un angolo di φ ∈[−π, π).

Pertanto, eseguendo una prima rotazione di ψ attorno a ehz , la terna (ehx, ehy , e

hz )

del riferimento Fh si trasforma in una prima terna intermedia (eIx, e

Iy, e

Iz) dove

eIx = cosψ ehx + sinψ ehy ,

eIy = − sinψ ehx + cosψ ehy ,

(40)

mentre eIz ≡ ehz . La successiva rotazione di θ attorno a eI

y trasforma la prima

terna intermedia (eIx, e

Iy, e

Iz) in una seconda terna intermedia (eII

x , eIIy , e

IIz ) dove

eIIz = cos θ eI

z + sin θ eIx,

eIIx = − sin θ eI

z + cos θ eIx,

(41)

mentre eIIy ≡ eI

y. Infine, l’ultima rotazione di φ attorno a eIIx trasforma la

seconda terna intermedia (eIIx , e

IIy , e

IIz ) nella terna (ebx, e

by, e

bz) del riferimento

Fb:

eby = cosφ eIIy + sinφ eII

z ,

ebz = − sinφ eIIy + cosφ eII

z ,(42)

mentre ebx ≡ eIIx . La composizione di questa sequenza di rotazioni parziali

conduce pertanto alla seguente espressione per la matrice dei coseni direttori

15 Nella pratica aeronautica, soprattutto anglosassone, si tende a dare a questi angoli i nomi– impropri – di angoli di imbardata, beccheggio e rollio. E importante ricordare, nel caso diuso di questi termini, che le velocita di imbardata, beccheggio e rollio non sono le derivate diquesti angoli, come specificato in seguito.16 Si veda l’appendice per una trattazione dettagliata delle relazioni algebriche tra riferimenti

ortogonali e per la definizione degli angoli di Cardano.

2 CINEMATICA 19

del riferimento Fb rispetto al riferimento Fh:

Qhb =

cψ −sψ 0sψ cψ 00 0 1

cθ 0 sθ0 1 0−sθ 0 cθ

1 0 00 cφ −sφ0 sφ cφ

=

cψcθ cψsθsφ − sψcφ cψsθcφ + sψsφsψcθ sψsθsφ + cψcφ sψsθcφ − cψsφ−sθ cθsφ cθcφ

,(43)

avendo posto, per brevita di scrittura, cψ := cosψ, sψ := sinψ e analogamenteper θ e φ.

La matrice Qhb, che trasforma le componenti scalari rispetto agli assi corpodi un generico vettore in quelle rispetto agli assi orizzonte locale, e interpretabilecome formata per colonne dalle componenti scalari dei versori degli assi corporispetto agli assi orizzonte locale, oppure per righe dalle componenti scalari deiversori degli assi orizzonte locale rispetto agli assi corpo.

Si noti che il solo angolo di elevazione e intepretabile come un angolo for-mato da un versore degli assi corpo e un versore degli assi orizzonte locale: θe infatti l’angolo formato dall’asse xb col piano dell’orizzonte locale xhyh, converso positivo verso l’alto17

θ = −asin(ebx · ehz ), (44)

come si evince osservando che il prodotto scalare ebx ·ehz (primo asse corpo e terzoasse orizzonte locale) ha il valore presente nella posizione (3,1) della matrice Qhb.

Un altro angolo d’interesse nella caratterizzazione delle manovre e

• l’angolo d’inclinazione laterale (bank) Φ, definito come l’angolo formatodall’asse yb col piano dell’orizzonte locale xhyh, con verso positivo versoil basso,18

Φ := asin(eby · ehz ). (45)

Per questo ulteriore angolo d’assetto vale la relazione

sin Φ = cos θ sinφ, (46)

come si evince dal fatto che il prodotto scalare eby ·ehz (secondo asse corpo e terzo

asse orizzonte locale) ha il valore presente nella posizione (3,2) della matrice Qhb.

2.2.7 Componenti solidali della velocita angolare

La velocita angolare ω del velivolo e il vettore che permette di esprimere le deri-vate dei versori solidali (assi corpo) attraverso l’operazione di prodotto vettorialecon i versori stessi (formule di Poisson, equazioni 27), e che caratterizza l’atto

17 Pertanto, θ e positivo se l’asse di rollio e diretto sopra l’orizzonte.18 Pertanto, Φ e positivo se l’asse di beccheggio e diretto sotto l’orizzonte, ossia quando la

semiala destra e abbassata, come in una virata corretta verso destra.

2 CINEMATICA 20

di moto dal punto di vista rotatorio. Quando il velivolo manovra, cambiandoorientazione rispetto alla porzione d’atmosfera in cui e immerso, le forze aerodi-namiche e propulsive dipendono anche dalla velocita angolare, ed in particolaredalle sue componenti solidali.

Le componenti scalari della velocita angolare nel riferimento Fb sono dinorma indicate con le lettere (p, q, r) e denominate rispettivamente velocita dirollio (roll rate), velocita di beccheggio (pitch rate) e velocita d’imbardata (yawrate):19

p := ebx · ω,q := eby · ω,r := ebz · ω,

(47)

sicche possiamo scrivere

ω = p ebx + q eby + r ebz. (48)

Volendo esprimere le formule di Poisson attraverso le componenti solidali dellavelocita angolare otteniamo

ebx = ω × ebx = r eby − q ebz,

eby = ω × eby = p ebz − r ebx,

ebz = ω × ebz = q ebx − p eby.

(49)

Essendo la velocita angolare legata alle derivate dei versori solidali, e pos-sibile esprimere le sue componenti solidali attraverso i coseni direttori e le loroderivate, e di conseguenza mediante espressioni che coinvolgono gli angoli diCardano (φ, θ, ψ) e le loro derivate. L’ottenimento di queste relazioni, a secon-da della strada percorsa, puo rivelarsi piuttosto laborioso. Un modo pratico perarrivarvi e il seguente.

Data la definizione degli angoli di Cardano (φ, θ, ψ) e l’additivita delle velo-cita angolari dei moti parziali, possiamo assumere che la velocita angolare delvelivolo e data dalla somma delle velocita angolari

• del moto di azimuth, di intensita ψ ed asse zh (terzo asse della ternainiziale);

• del moto di elevazione, di intensita θ ed asse n (secondo asse delle terneintermedie, ossia l’asse dei nodi, di versore en := eI

y ≡ eIIy );

• del moto di rotazione propria, di intensita φ ed asse xb (primo asse dellaterna finale).

19 Nel gergo aeronautico ogni componente della velocita angolare si indica anche con il temine‘rateo’ (di rollio, beccheggio, imbardata).

2 CINEMATICA 21

Pertanto,ω = φ ebx + θ en + ψ ehz . (50)

Per trovarne le componenti rispetto al riferimento Fb, dobbiamo dunque espri-mere ehz e en in tale riferimento:

ehz = Qhbzxebx +Qhbzye

by +Qhbzze

bz

= −sθebx + cθsφeby + cθcφe

bz,

en = cφeby − sφebz.

(51)

Risulta

ω = φ ebx + θ (cφeby − sφebz) + ψ (−sθebx + cθsφe

by + cθcφe

bz)

= (φ− ψ sθ) ebx + (ψ cθsφ + θcφ) eby + (ψ cθcφ − θsφ) ebz(52)

da cui si ricavano immediatamente le espressioni per le velocita di rollio, bec-cheggio ed imbardata:

p = φ− ψ sin θ,

q = ψ cos θ sinφ+ θ cosφ,

r = ψ cos θ cosφ− θ sinφ.

(53)

Le equazioni precedenti mostrano chiaramente che (p, q, r) non rappresentanoderivate di grandezze angolari, eccetto che nel caso di moto rigido piano e proprioin uno dei piani coordinati del riferimento solidale (ad esempio, se il moto e dipuro beccheggio, ossia di rotazione nel piano di simmetria materiale del velivolo,si ha q = θ, con ψ, φ = const).

Al contrario, queste espressioni mostrano il carattere intrinsecamente accop-piato dei moti rotatori componenti della sequenza di Cardano. In particolare, eevidente, ad esempio, che si possa avere una velocita di rollio anche in assenzadi un moto di rotazione propria, infatti p 6= 0 se φ = 0, ma ψ sin θ 6= 0. Analo-gamente, si puo avere una velocita di beccheggio anche in assenza di un motodi elevazione,20 oppure una velocita d’imbardata anche in assenza di un motodi azimuth.

2.2.8 Riferimento aerodinamico

Il sistema di riferimento ‘aerodinamico’ (air trajectory frame oppure flight pathframe) Fa ha origine in un punto materiale P del velivolo ed assi ortonormali(xa, ya, za) tali che l’asse xa e allineato con la velocita di volo e l’asse za econtenuto nel piano di simmetria del velivolo, disposto in modo da formare unangolo acuto con l’asse zb. I versori degli assi sono indicati con (eax, e

ay, e

az).

20 E il caso, ad esempio di una virata corretta, in cui l’angolo θ tra l’asse di rollio e l’orizzontelocale e costante, e tuttavia il velivolo e soggetto ad un atto di moto di beccheggio (q 6=0), tanto piu importante quanto maggiore sono la velocita di virata (ossia ψ) e l’angolo dirotazione propria (e di conseguenza l’angolo di bank Φ, come si vede riscrivendo l’eq. 532 comeq = ψ sin Φ + θ cosφ, avendo usato l’eq. 46).

2 CINEMATICA 22

Altri nomi utilizzati in letteratura per questo sistema di riferimento sonosistema di riferimento ‘vento’ o sistema degli ‘assi vento’ (wind axes).

Notiamo che l’espressione della velocita di volo nel sistema di riferimentoaerodinamico e particolarmente semplice,

V = V eax. (54)

Questo sistema di riferimento viene introdotto in quanto funzionale all’espres-sione delle forze aerodinamiche, come vedremo in seguito.

Notiamo che le definizioni degli angoli aerodinamici consentono altre espres-sioni equivalenti in termini dei versori degli assi corpo e quelli degli assi vento.Ad esempio, possiamo dire che l’angolo d’incidenza e quello che porta Vs su ebx,mentre l’angolo di deriva e quello che porta Vs su eax.

2.2.9 Passaggio da assi orizzonte locale ad assi vento

Analogamente a quanto visto per l’orientazione del riferimento solidale rispettoal riferimento orizzonte locale, per l’orientazione del riferimento aerodinamicorispetto al riferimento orizzonte locale si considerano tre angoli di Cardano. Diquesti, due sono stati gia introdotti a proposito dell’orientazione della velocitadi volo (ossia del primo asse del riferimento aerodinamico): sono l’angolo dirotta χ e l’angolo di rampa γ. Il terzo angolo, detto di rollio aerodinamico(aerodynamic roll), completa la terna di Cardano, che definisce una successionedi rotazioni parziali che trasformano la terna del riferimento Fh in quella delriferimento Fa:

1. rotazione attorno a ehz , terzo asse della terna iniziale, di un angolo χ ∈[−π, π);

2. rotazione attorno al secondo asse delle terne intermedie (asse dei nodi) diun angolo γ ∈ (−π/2, π/2);

3. rotazione attorno a eax, primo asse della terna finale, di un angolo di µ ∈[−π, π).

Pertanto, eseguendo una prima rotazione di χ attorno a ehz , la terna (ehx, ehy , e

hz )

del riferimento Fh si trasforma in una prima terna intermedia (eIx, e

Iy, e

Iz) dove

eIx = cosχ ehx + sinχ ehy ,

eIy = − sinχ ehx + cosχ ehy ,

(55)

mentre eIz ≡ ehz . La successiva rotazione di γ attorno a eI

y trasforma la prima

terna intermedia (eIx, e

Iy, e

Iz) in una seconda terna intermedia (eII

x , eIIy , e

IIz ) dove

eIIz = cos γ eI

z + sin γ eIx,

eIIx = − sin γ eI

z + cos γ eIx,

(56)

2 CINEMATICA 23

mentre eIIy ≡ eI

y. Infine, l’ultima rotazione di µ attorno a eIIx trasforma la

seconda terna intermedia (eIIx , e

IIy , e

IIz ) nella terna (eax, e

ay, e

az) del riferimento

Fa:

eay = cosµ eIIy + sinµ eII

z ,

eaz = − sinµ eIIy + cosµ eII

z ,(57)

mentre ebx ≡ eIIx . La composizione di questa sequenza di rotazioni parziali

conduce pertanto alla seguente espressione per la matrice dei coseni direttoridel riferimento Fa rispetto al riferimento Fh:

Qha =

cχ −sχ 0sχ cχ 00 0 1

cγ 0 sγ0 1 0−sγ 0 cγ

1 0 00 cµ −sµ0 sµ cµ

=

cχcγ cχsγsµ − sχcµ cχsγcµ + sχsµsχcγ sχsγsµ + cχcµ sχsγcµ − cχsµ−sγ cγsµ cγcµ

,(58)

avendo posto anche in questo caso cχ := cosχ, sχ := sinχ e analogamente perγ e µ.

La matrice Qha, che trasforma le componenti scalari rispetto agli assi ventodi un generico vettore in quelle rispetto agli assi orizzonte locale, e interpretabilecome formata per colonne dalle componenti scalari dei versori degli assi ventorispetto agli assi orizzonte locale, oppure per righe dalle componenti scalari deiversori degli assi orizzonte locale rispetto agli assi vento.

Pertanto, e immediato riconoscere nella prima colonna della matrice Qha letre componenti scalari rispetto agli assi orizzonte locale del versore della velocitadi volo, cosı come espresso dall’eq. 25:

eax = cosχ cos γ ehx + sinχ cos γ ehy − sin γ ehz . (59)

Ne discende che le definizioni date in precedenza per gli angoli (γ, χ) attraversole componenti della velocita di volo sono del tutto equivalenti a quelle date qui intermini di rotazioni parziali tra riferimenti. Con gli angoli (γ, χ) viene orientatoil vettore della velocita di volo rispetto agli assi del riferimento orizzonte locale.Il terzo angolo, µ, rappresenta l’entita della rotazione attorno alla velocita divolo necessaria per completare la trasformazione da assi orizzonte locale ad assivento.

2.2.10 Passaggio da assi corpo ad assi vento

Anche per caratterizzare l’orientazione del riferimento aerodinamico rispettoal riferimento solidale si considera una sequenza di rotazioni parziali di tipoeuleriano: tuttavia, nel caso presente, sono sufficienti due rotazioni invece ditre. Infatti, l’asse za e contenuto per definizione nel piano di simmetria xbzb,il che riduce di uno il numero dei parametri indipendenti che descrivono larotazione.

2 CINEMATICA 24

Questi due parametri possono essere rappresentati dai due angoli gia intro-dotti a proposito dell’orientazione della velocita di volo (ossia del primo assedel riferimento aerodinamico): sono l’angolo d’incidenza α e l’angolo di derivaβ. Attraverso questi angoli si definisce una successione di rotazioni parziali chetrasformano la terna del riferimento Fb in quella del riferimento Fa:

1. rotazione attorno a eby, secondo asse della terna iniziale, di un angolo (−α),con α ∈ [−π, π);

2. rotazione attorno a eaz , terzo asse della terna finale, di un angolo β ∈[−π/2, π/2).

Pertanto, eseguendo una prima rotazione di (−α) attorno a eby, la terna (ebx, eby, e

bz)

del riferimento Fh si trasforma in una terna intermedia (eIx, e

Iy, e

Iz) dove

eIz = cosα ebz − sinα ebx,

eIx = sinα ebz + cosα ebx,

(60)

mentre eIy ≡ eby. La seconda rotazione di β attorno a eI

z trasforma la terna

intermedia (eIx, e

Iy, e

Iz) nella terna (eax, e

ay, e

az) del riferimento Fa:

eax = cosβ eIx + sinβ eI

y,

eay = − sinβ eIx + cosβ eI

y,(61)

mentre ebz ≡ eIz . La composizione di questa sequenza di rotazioni parziali con-

duce pertanto alla seguente espressione per la matrice dei coseni direttori delriferimento Fa rispetto al riferimento Fb:

Qba =

cα 0 −sα0 1 0sα 0 cα

cβ −sβ 0sβ cβ 00 0 1

=

cαcβ −cαsβ −sαsβ cβ 0sαcβ −sαsβ cα

,(62)

avendo posto anche in questo caso cα := cosα, sα := sinα e analogamente perβ.

La matrice Qba, che trasforma le componenti scalari rispetto agli assi ventodi un generico vettore in quelle rispetto agli assi corpo, e interpretabile comeformata per colonne dalle componenti scalari dei versori degli assi vento rispettoagli assi corpo, oppure per righe dalle componenti scalari dei versori degli assicorpo rispetto agli assi vento.

Pertanto, e immediato riconoscere nella prima colonna della matrice Qba letre componenti scalari rispetto agli assi corpo del versore della velocita di volo,cosı come espresso dall’eq. 39:

eax = cosα cosβ ebx + sinβ eby + sinα cosβ ebz. (63)

2 CINEMATICA 25

Ne discende che le definizioni date in precedenza per gli angoli (α, β) attraversole componenti della velocita di volo sono del tutto equivalenti a quelle date quiin termini di rotazioni parziali tra riferimenti.

Si noti inoltre che, dati i valori presenti nella terza colonna della matriceQba, l’opposto dell’angolo d’incidenza e quello che permette di ruotare il versoreebz su eaz , mentre, dati i valori presenti nella seconda riga, l’angolo di deriva equello che permette di ruotare il versore eay su eby.

2.2.11 Volo simmetrico

Avendo considerato le formule generali che legano i coseni direttori degli assicorpo a quelli degli assi vento, consideriamo il caso del volo simmetrico, in cuitali formule diventano particolarmente semplici.

Il volo si dice simmetrico quando la velocita di volo e contenuta nel piano disimmetria materiale del velivolo. Questa situazione caratterizza le condizioni divolo di gran lunga piu importanti dal punto di vista operativo, ed in generalepiu desiderabili, perche, a parita di altri parametri minimizzano sia il carico dilavoro del pilota, sia la resistenza aerodinamica (e di conseguenza i consumi).Le condizioni di volo simmetrico implicano percio

β = 0 ⇐⇒ v = 0 ⇐⇒ Vs ≡ V. (64)

Pertanto, l’espressione della velocita di volo in assi solidali risulta

V = V (cosα ebx + sinα ebz). (65)

I piani xbzb e xaza coincidono, ovvero coincidono gli assi yb e ya. L’unica diffe-renza tra il riferimento solidale ed il riferimento aerodinamico consiste quindi inuna rotazione nel piano di simmetria materiale del velivolo: gli assi vento si so-vrappongono agli assi corpo con una rotazione dell’angolo α, mentre il viceversasi ottiene con una rotazione dell’angolo (−α).

Valgono dunque le seguenti relazioni tra i versori dei sistemi di riferimentoFb e Fa, per comodita scritte in forma matriciale:[

ebxebz

]=

[cosα − sinαsinα cosα

] [eaxeaz

], eby = eay. (66)

Come vedremo in seguito, due particolari condizioni di volo sono di interessefondamentale nell’analisi delle prestazioni e dell’equilibrio, della stabilita e delcontrollo: il volo simmetrico in un piano verticale ed il volo simmetrico in unpiano orizzontale.

2.2.12 Ipotesi di angoli piccoli

Per concludere l’esame delle grandezze cinematiche, consideriamo il caso diangoli aerodinamici ‘piccoli’, in senso matematico, ovvero

α, β 1 rad. (67)

3 DINAMICA 26

Angolo(gradi)

Angolo(radianti)

Seno Coseno Tangente

1 0.0174 0.0174 0.9998 0.01742 0.0349 0.0349 0.9994 0.03495 0.0873 0.0872 0.9961 0.087510 0.1745 0.1736 0.9848 0.176315 0.2618 0.2588 0.9659 0.267920 0.3491 0.3420 0.9396 0.3640

Tab. 1: Ipotesi di angoli piccoli. Sono sottolineate le cifre comuni ai valori del-l’angolo (in radianti), del suo seno e della sua tangente. Si nota chenell’intervallo (0, 15] il valore assoluto della differenza tra seno ed an-golo si mantiene inferiore allo 1.2%, quello della differenza tra cosenoed uno inferiore al 3.5%, quello della differenza tra tangente ed angoloinferiore allo 2.4%.

Cio significa che e giustificato confondere i valori del seno di questi angoli coni valori degli angoli stessi (in radianti) ed i valori del loro coseno con 1; diconseguenza, anche il valore della tangente di questi angoli puo essere confuso colvalore degli angoli stessi (a questo proposito, si veda la tabella 1). Naturalmente,la giustificazione di questo comportamento si ritrova formalmente sviluppandole funzioni sin(x), cos(x), tan(x) in serie di Taylor nell’intorno di x = 0.

In questo caso valgono quindi le approssimazioni

α =w

V,

β =v

V,

(68)

e corrispondentemente

u = V,

v = V β,

w = V α.

(69)

per le componenti solidali della velocita di volo.

3 DINAMICA

3.1 Dinamica traslatoria

Consideriamo le grandezze che compaiono nell’equazione cardinale alla trasla-zione. Questa, nel caso si adotti il modello di velivolo puntiforme, rappresentail fondamento dei procedimenti per l’analisi delle traiettorie e delle principaliprestazioni puntuali ed integrali.

3 DINAMICA 27

3.1.1 Quantita di moto

La quantita di moto Q del velivolo, nell’ambito del modello di punto materiale,vale

Q = mV. (70)

In generale, non solo la velocita di volo V, ma anche la massa m varia neltempo. In effetti, il modello di punto materiale per il velivolo va inteso in unsenso piu ampio di quanto si faccia nella Meccanica Razionale elementare, pertenere conto del decremento della massa a seguito di

• consumo di combustibile (per velivoli propulsi);

• aviolancio di uomini (paracadutisti) e carico utile;

• rilascio di zavorra (frequente negli alianti da competizione);

• rilascio di acqua/liquido ritardante (operazioni antincendio), di ordignimilitari, di serbatoi ausiliari, etc.;

nonche dell’incremento della massa a seguito di

• rifornimento di combustibile in volo;

• rifornimento d’aqua (operazioni antincendio);

• recupero aereo, etc.

Ai fini della presente trattazione, consideriamo il caso piu rilevante di variabilitadella massa, quello legato al consumo di combustibile nei velivoli propulsi. Ilprocesso di combustione comporta che i suoi prodotti siano espulsi dal velivolostesso e dispersi nell’ambiente. La massa del velivolo si riduce quindi in modocontinuo durante il volo, secondo l’equazione

dm

dt= −mf , (71)

dove mf > 0 rappresenta la portata in massa di combustibile bruciato (ossia lamassa di combustibile bruciato nell’unita di tempo).

Unita di misura L’unita di misura della massa nel Sistema Internazionale e ilkilogrammo, kg. Nella pratica e possibile incontrare anche altre unita di misura,come la libbra (pound), lb, e lo slug (slug).21 Per la portata in massa abbiamoil kilogrammo al secondo, kg/s, e la libbra al secondo, lb/s.

21 1 lb = 0.45 kg, 1 slug = 14.59 kg (il termine slug significa ‘proiettile’ nel gergo militare e‘pepita’ nel gergo minerario).

3 DINAMICA 28

3.1.2 Derivata della quantita di moto

La derivata della quantita di moto, che compare a primo membro dell’equazionecardinale alla traslazione, va valutata con attenzione per tenere conto dellavariabilita della massa. Supponendo che il regime del propulsore sia tale daconferire all’insieme dei prodotti di combustione una velocita uj relativa alvelivolo, e possibile valutare la derivata della quantita di moto del velivolo nelmodo seguente.

Consideriamo il sistema ‘chiuso’ formato dal velivolo, incluso il combustibilein esso contenuto prima della combustione e rilasciato nell’atmosfera dopo diessa. Al generico tempo t la quantita di moto vale Q = mV, mentre al tempo(t+ dt) vale

Q + dQ = (m+ dm) (V + dV) + mfdt (V + uj), (72)

in quanto la massa contenuta nel velivolo e cambiata da m a (m+ dm), essendodm = m dt = −mfdt, la velocita del velivolo e cambiata da V a (V + dV),

essendo dV = V dt, ed essendo la massa espulsa tra t e (t + dt) pari a mfdtanimata da una velocita assoluta pari a (V+uj). Pertanto, sottraendo membroa membro le eq. 72 e 70 si ottiene

dQ = m dV + mfujdt+ O(dt2), (73)

sicche, dividendo per dt e considerando il limite per dt→ 0 si ha

Q = m V + mfuj . (74)

In conclusione quindi, la derivata della quantita di moto del velivolo differisceda quella che avrebbe un punto materiale a massa costante (ossia il sempliceprodotto di massa m per accelerazione V) per un termine che rappresenta lavariazione di quantita di moto del combustibile espulso nell’unita di tempo.

Naturalmente, nel caso di volo non propulso, l’espressione per la quantitadi moto del velivolo si riduce a quella corrispondente ad un punto materiale amassa costante.

3.1.3 Definizione della spinta

Da quanto appena visto a proposito della derivata della quantita di moto,l’equazione cardinale alla traslazione 21 per velivoli propulsi si scrive

m V + mfuj = F + Ta + W + R. (75)

Nell’equazione precedente, compaiono due termini legati a variazioni di quantitadi moto di portate di fluido:

• la spinta ‘esterna’ Ta, corrispondente alla variazione di quantita di motodi una portata di fluido esterna al velivolo (ossia di aria atmosferica);

3 DINAMICA 29

• la spinta ‘interna’ Tf ,Tf := −mfuj , (76)

corrispondente alla variazione di quantita di moto di una portata di fluidointerna al velivolo (ossia di combustibile).

Pertanto, definendo spinta totale T (thrust) la somma di questi due contributi,

T := Ta + Tf , (77)

l’equazione cardinale alla traslazione assume una forma analoga a quella cheavrebbe nel caso di un punto materiale a massa costante:

m V = F + T + W + R, (78)

ed in particolare, in volo libero,

m V = F + T + W, (79)

In altre parole, il prodotto della massa per l’accelerazione di volo eguaglia lasomma totale delle forze applicate sul velivolo, comprendendo la forza di naturainerziale corrispondente alla variazione della quantita di moto della massa dicombustibile espulsa nell’unita di tempo.

Unita di misura L’unita di misura della forza nel Sistema Internazionale eil newton, N. Nella pratica si usano spesso altre unita di misura, come ilkilogrammo-forza, kgf, eventualmente ‘specializzato’ come kilogrammo-peso okilogrammo-spinta.22

3.1.4 Espressioni per le forze applicate

L’equazione 79 rappresenta la forma piu conveniente per rappresentare l’equi-librio alla traslazione (ovvero il bilancio delle forze) in forma vettoriale per ilvelivolo in volo. Le grandezze che vi compaiono possono essere espresse inmodo significativo in corrispondenza agli assi dei diversi sistemi di riferimentoprecedentemente definiti per il velivolo. Infatti,

• le forze aerodinamiche hanno un comportamento intrinsecamente legatoall’orientazione del vento relativo che investe il rispetto a questo, e quin-di trovano un’espressione naturale in componenti rispetto al riferimentoaerodinamico;

• il risultante delle forze propulsive, per la maggior parte dei velivoli, pos-siede una retta d’azione che in prima approssimazione puo essere consi-derata fissa rispetto al velivolo e quindi trova un’espressione naturale incomponenti rispetto al riferimento solidale;

22 1 kgf = 9.81 N.

3 DINAMICA 30

• il peso, essendo determinato dal campo gravitazionale, trova un’espressio-ne naturale in componenti rispetto al riferimento orizzonte locale.

Rimandiamo una trattazione dettagliata su ciascuno dei sistemi di forze con-siderati alla sede opportuna, limitandoci qui a puntualizzare sinteticamente leespressioni piu interessanti per i risultanti corrispondenti.

Forza aerodinamica Il risultante delle forze aerodinamiche F puo essere intesocome dato dalla somma vettoriale di due azioni intrinsecamente diverse:

• un’azione di resistenza, ossia direttamente opposta al vettore della velocitadi volo, di risultante Ft;

• un’azione deviatrice, ossia perpendicolare al vettore della velocita di volo,di risultante Fd:

F = Ft + Fd, (80)

La forza resistente Ft, essendo allineata a V, comporta la considerazione di unasola componente scalare rispetto agli assi aerodinamici:

Ft = −D eax. (81)

La resistenza D (drag) e definita quindi come la componente della forza aerodi-namica in direzione della velocita di volo e in verso opposto:

D := −eax · F = −eax · Ft. (82)

La forza deviatrice Fd, essendo disposta sul piano perpendicolare a V, comportala considerazione di due componenti scalari rispetto agli assi aerodinamici:

Fd = −Q eay − L eaz . (83)

La devianza Q (sideforce) e la portanza L (lift) sono definite quindi come lecomponenti della forza aerodinamica in direzione degli assi di beccheggio ed’imbardata ed in verso opposto:

Q := −eay · F = −eay · Fd,L := −eaz · F = −eaz · Fd.

(84)

In definitiva quindi il risultante delle forze aerodinamiche si esprime nel modoseguente:

F = −(D eax +Q eay + L eaz). (85)

Per le grandezze (D,Q,L), forniremo in seguito opportune equazioni costitutive,ossia relazioni che ne esplicitano la dipendenza dai diversi parametri relativiall’atto di moto (es. componenti solidali delle velocita lineare ed angolare), allecondizioni di volo (es. quota, regimi di volo), alle caratteristiche del velivolo(forma, dimensioni).

3 DINAMICA 31

Spinta Nella presente trattazione, considereremo la spinta T espressa da

T = T eT , (86)

essendo eT un versore fisso nel riferimento solidale e T := ‖T‖ la spinta scalare.Normalmente, si tratta di un versore contenuto nel piano di simmetria materialedel velivolo, e quindi con componente nulla lungo l’asse di beccheggio, eT · eby =0, e tipicamente allineato in direzione longitudinale, per ovvie ragioni. Datal’arbitrarieta della scelta dell’asse di rollio, quindi, introduciamo l’assunzioneche sia proprio eT ≡ ebx, ovvero scegliamo l’asse di rollio coincidente propriocon l’asse della spinta:

T = T ebx. (87)

Per la grandezza T , forniremo in seguito opportune equazioni costitutive, ossiarelazioni che ne esplicitano la dipendenza dai diversi parametri relativi all’atto dimoto (es. componenti solidali delle velocita lineare ed angolare), alle condizionidi volo (es. quota, regimi di volo), alle caratteristiche del propulsore (tipo,posizione della manetta).

Peso Il peso W e in generale dato da

W = mg, (88)

essendo g l’intensita del campo gravitazionale che, date le ipotesi di ‘Terra piattae non rotante’, puo essere espressa come g = g ehz , dove g e data dall’eq. 4. Diconseguenza, il peso puo essere espresso semplicemente come

W = mg ehz = W ehz , (89)

dove naturalmente W := ‖W‖ = mg rappresenta il peso scalare.

3.2 Dinamica rotatoria

Consideriamo le grandezze che compaiono nelle equazioni cardinali, sia alla tra-slazione, sia alla rotazione. Queste, nel caso si adotti un modello di velivolo comecorpo esteso, ed in particolare come corpo rigido, rappresentano il fondamentodei procedimenti per l’analisi dell’equilibrio, del controllo e della stabilita.

Ci limitiamo a cenni sintetici, dato che il tema ha bisogno degli strumentidella Meccanica del Corpo Rigido nello spazio per un’analisi completa, il cheesula dai requisiti necessari al presente corso, limitati alla Meccanica del CorpoRigido nel piano.

3.2.1 Riduzione al baricentro

L’equazione cardinale alla rotazione 22 e stata scritta per un generico polo P diriduzione dei momenti. Assumendo al posto di P il baricentro G si ottiene lasemplificazione

HG = MG + ΓaG + NG, (90)

3 DINAMICA 32

e, nel caso di volo libero,HG = MG + ΓaG. (91)

Questo risultato consegue dal fatto che vG × Q = 0 in quanto Q = mvG(prodotto vettoriale di vettori paralleli) e dal fatto che ΞG = 0 (momento delpeso identicamente nullo al baricentro).

3.2.2 Risultante e momento risultante delle quantita di moto

Per il velivolo rigido, il risultante ed il momento risultante delle quantita dimoto, sono definiti dalle formule

Q :=

∫B

vQdmQ,

HP :=

∫B

vQ × (P −Q) dmQ,

(92)

dove B rappresenta l’estensione del velivolo, Q rappresenta il punto materialecorrente d’integrazione, dmQ la massa elementare relativa a tale punto e

vQ = vP + ω × (Q− P ) (93)

la distribuzione di velocita corrispondente ad un moto rigido. L’integrale nel-l’eq. 921 risulta pari a mvG, essendo G il baricentro del velivolo, e quindi

Q = mV, (94)

come nel caso del punto materiale, essendo V := vG. Il calcolo dell’integralenell’eq. 922 conduce invece ad un risultato piu complesso, che omettiamo nelcaso generale. Nel caso in cui P ≡ G, tale integrale puo essere ridotto alleformule seguenti:

HG = (JxxG p+ JxyG q + JzxG r) ebx

+ (JxyG p+ JyyG q + JyzG r) eby

+ (JzxG p+ JyzG q + JzzG r) ebz,

(95)

dove (JxxG , JyyG , JzzG ) rappresentano i momenti polari d’inerzia baricentrali delvelivolo rispetto agli assi (xb, yb, zb), rispettivamente,

JxxG :=

∫B

((yG − yQ)2 + (zG − zQ)2

)dmQ,

JyyG :=

∫B

((zG − zQ)2 + (xG − xQ)2

)dmQ,

JzzG :=

∫B

((xG − xQ)2 + (yG − yQ)2

)dmQ,

(96)

3 DINAMICA 33

mentre (JxyG , JyzG , JzxG ) rappresentano i prodotti d’inerzia baricentrali del velivolorispetto ai piani (xbyb, ybzb, zbxb), rispettivamente,

JxyG :=

∫B

(xG − xQ) (yG − yQ) dmQ,

JyzG :=

∫B

(yG − yQ) (zG − zQ) dmQ,

JzxG :=

∫B

(zG − zQ) (xG − xQ) dmQ.

(97)

Assumendo che il piano xbzb sia di simmetria materiale per il velivolo, si ha diconseguenza

JxyG = 0, JyzG = 0, (98)

e quindi la formula semplificata

HG = (JxxG p+ JzxG r) ebx + JyyG q eby + (JzxG p+ JzzG r) ebz. (99)

Notiamo dunque che le componenti solidali del momento risultante delle quan-tita di moto in rollio ed imbardata dipendono da entrambe le velocita di rollio ped imbardata r, mentre la componente in beccheggio dipende dalla sola velocitadi beccheggio q.

3.2.3 Derivata del risultante e del momento risultante delle quantita dimoto

Per quanto riguarda la derivata del risultante della quantita di moto, valgo-no le considerazioni gia svolte nel caso del modello di punto materiale, con leconseguenze sulla definizione della spinta totale.

La variabilita della massa per effetto del consumo di combustibile del velivolonon comporta pero conseguenze significative in termini di distribuzione spazialedella stessa, per cui normalmente e giustificato considerare i momenti polarid’inerzia ed i prodotti d’inerzia costanti nel tempo. Cio comporta anche che nonvi sia un contributo significativo in termini di momento da parte della portata dicombustibile consumata. Di fatto, i propulsori aeronautici non conferiscono aiprodotti di combustione componenti di velocita significative in direzione normalea quella assiale, per cui il momento propulsivo totale puo essere identificato conquello ‘esterno’,

ΓG ≡ ΓaG. (100)

L’equazione cardinale alla rotazione 91 si scrive quindi

HG = MG + ΓG. (101)

Derivando l’espressione 99 e tenendo conto delle formule di Poisson 49, e possibi-le esprimere compiutamente la derivata del momento risultante delle quantita di

3 DINAMICA 34

moto in funzione delle componenti solidali della velocita angolare e delle loro de-rivate. Tale espressione rivela un cospicuo accoppiamento sui tre assi: ad esem-pio, la componente in rollio dipende, oltre che dall’accelerazione e dalla velocitadi rollio, anche dalle velocita di beccheggio ed imbardata e dall’accelerazioned’imbardata.

Ai fini del presente corso, non e necessario considerare quest’espressione nelcaso generale, essendo generalmente sufficiente fare riferimento ad alcuni casiparticolari (es.: manovre stazionarie, manovre nel piano di simmetria).

3.2.4 Espressioni per i momenti applicati

L’equazione 101 rappresenta la forma piu conveniente per rappresentare l’equi-librio alla rotazione (ovvero il bilancio delle momenti) in forma vettoriale per ilvelivolo in volo. Analogamente a quanto visto per le forze applicate, le grandezzeche compaiono in questa equazione possono essere espresse in modo significati-vo in corrispondenza agli assi dei diversi sistemi di riferimento precedentementedefiniti per il velivolo.

Momento aerodinamico Il momento risultante delle forze aerodinamiche MP

viene normalmente espresso nella forma seguente:

MP = LPebx +MPeby +NPebz. (102)

dove il momento di rollio LP (rolling moment), il momento di beccheggio MP

(pitching moment) ed il momento d’imbardata NP (yawing moment) sono de-finiti come le componenti della momento aerodinamico in direzione degli assi dirollio, beccheggio ed imbardata:

LP := eax ·MP ,

MP := eay ·MP ,

NP := eaz ·MP .

(103)

Per le grandezze (LP ,MP ,NP ), forniremo in seguito opportune equazioni co-stitutive, ossia relazioni che ne esplicitano la dipendenza dai diversi parametrirelativi all’atto di moto (es. componenti solidali delle velocita lineare ed ango-lare), alle condizioni di volo (es. quota, regimi di volo), alle caratteristiche delvelivolo (forma, dimensioni).

Momento propulsivo Il momento risultante delle forze propulsive ΓP puo es-sere generalmente considerato come fornito dalla somma di una pura coppia Ce di un momento di trasporto,

ΓP = C + T× (P −H), (104)

essendo H il centro del sistema di forze propulsive. Analogamente alla spinta,almeno in prima approssimazione, si ritiene che la coppia C possieda una retta

3 DINAMICA 35

d’azione che puo essere considerata fissa rispetto al velivolo e quindi trova un’e-spressione naturale in componenti rispetto al riferimento solidale. In particolare,spesso e possibile ritenere che sia C = C eT e quindi

C = C ebx (105)

per le ipotesi viste a proposito della spinta T.Per la grandezza C, forniremo in seguito opportune equazioni costitutive,

ossia relazioni che ne esplicitano la dipendenza dai diversi parametri relativiall’atto di moto (es. componenti solidali delle velocita lineare ed angolare), allecondizioni di volo (es. quota, regimi di volo), alle caratteristiche del propulsore(tipo, posizione della manetta).

3.3 Manovre stazionarie

Il velivolo si dice in equilibrio stazionario, ovvero in manovra stazionaria, quandotutte le forze che compaiono a secondo membro delle equazioni 79 e 101 sonovettori solidali, ossia hanno componenti costanti nel riferimento solidale.

Si puo dimostrare che, di conseguenza, anche la velocita di volo e solidale;cio significa in particolare che la velocita di volo ha modulo costante, ossia ilvolo e uniforme, V = const ⇔ V = 0, e che la velocita angolare della traiettoriacoincide con la velocita angolare del velivolo, Ω = ‖ω‖. Inoltre, anche la velocitaangolare del velivolo e solidale; il moto di rotazione risulta quindi uniforme,Ω = const .

Si puo dimostrare facilmente che il tipo piu generale di manovra stazionariacomporta una traiettoria elicoidale con asse perpendicolare al piano dell’oriz-zonte locale: infatti, un’elica e il luogo geometrico tracciato da un punto che simuove con V e Ω costanti, mentre l’asse verticale e necessario in quanto, perchela forza peso (la quale e l’unica a non dipendere dall’orientazione del velivolo)sia solidale, la direzione verticale deve risultare costante in assi solidali, e quindideve coincidere con l’asse di rotazione.

Naturalmente, nella categoria delle manovre stazionarie rientrano le viratestazionarie ed il volo rettilineo uniforme. Le prime corrispondono al caso dieliche verticali a passo nullo, ossia a traiettorie circolari nel piano orizzontale,mentre il volo rettilineo corrisponde al caso degenere di elica di raggio tenden-te all’infinito. In entrambi i casi, si tratta di condizioni di volo di primariaimportanza per la Meccanica del Volo.

A RIFERIMENTI E ROTAZIONI 36

A RIFERIMENTI E ROTAZIONI

A.1 Rotazioni nel piano

Consideriamo due sistemi di riferimento nel piano, detti FA e FB ai cui assicorrispondono le coppie di vettori ortonormali (eAx , e

Ay ) e (eBx , e

By ). Un generico

vettore r ha le seguenti componenti scalari nel riferimento FA:

rAx := eAx · r, rAy := eAy · r, (106)

per cui e possibile scrivere l’espressione del vettore r come combinazione linearedei versori della base FA nella forma seguente:

r = (eAx · r) eAx + (eAy · r) eAy = rAx eAx + rAy eAy . (107)

Analogamente, nel riferimento FB si avra

rBx := eBx · r, rBy := eBy · r, (108)

corrispondenti all’espressione del vettore r come combinazione lineare dei versoridella base FB nella forma seguente:

r = (eBx · r) eBx + (eBy · r) eBy = rBx eBx + rBy eBy . (109)

Nel seguito indicheremo con rA e rB le matrici colonna formate dalle componentidel vettore r nei riferimenti FA e FB , rispettivamente,

rA =

[rAxrAy

], rB =

[rBxrBy

], (110)

e ci porremo il problema di esprimere le componenti rB in funzione delle com-ponenti rA e viceversa.

A.1.1 Matrice dei coseni direttori

Per ottenere le espressioni che legano tra loro le componenti scalari nei dueriferimenti, consideriamo quelle che permettono di scrivere i versori del riferi-mento FB in funzione di quelli del riferimento FA, attraverso le loro componentiscalari. In generale, infatti, possiamo scrivere

eBx = (eAx · eBx ) eAx + (eAy · eBx ) eAy ,

eBy = (eAx · eBy ) eAx + (eAy · eBy ) eAy .(111)

Definiamo dunque i coseni direttori23 del riferimento FB rispetto al riferimentoFA come

QABhk := eAh · eBk , h, k = x, y, (112)

23 Si tratta infatti di prodotti scalari tra vettori di modulo unitario, e quindi pari al cosenodell’angolo compreso tra questi.


e notiamo cheQBAkh = QABhk , (113)

ossia che i coseni direttori del riferimento FB rispetto al riferimento FA formanouna matrice QAB ,

QAB :=

[QABxx QABxyQAByx QAByy

]=

[eAx · eBx eAx · eByeAy · eBx eAy · eBy

]. (114)

la cui trasposta coincide con la matrice dei coseni direttori del riferimento FArispetto al riferimento FB ,

QBA :=

[QBAxx QBAxyQBAyx QBAyy

]=

[eBx · eAx eBx · eAyeBy · eAx eBy · eAy

]. (115)

Pertanto, l’equazione 113 puo essere riscritta in forma matriciale come segue:

QBA =(QAB

)T. (116)

Notiamo che QAB puo essere interpretata come formata per colonne dalle com-ponenti dei versori del riferimento FB rispetto al riferimento FA, oppure perrighe dalle componenti dei versori del riferimento FA rispetto al riferimentoFB . La sua trasposta QBA, conseguentemente puo essere interpretata comeformata per colonne dalle componenti dei versori del riferimento FA rispetto alriferimento FB , oppure per righe dalle componenti dei versori del riferimentoFB rispetto al riferimento FA.

Con riferimento alla matrice QBA, otteniamo quindi

eBx = QBAxx eAx +QBAxy eAy ,

eBy = QBAyx eAx +QBAyy eAy(117)

e la relazione inversa

eAx = QBAxx eBx +QBAyx eBy ,

eAy = QBAxy eBx +QBAyy eBy .(118)

Pertanto, considerando l’espressione del generico vettore r rispetto al riferimentoFA, abbiamo

r = rAx eAx + rAy eAy

= rAx (QBAxx eBx +QBAyx eBy ) + rAy (QBAxy eBx +QBAyy eBy )

= (QBAxx rAx +QBAxy r

Ay ) eBx + (QBAyx r

Ax +QBAyy r

Ay ) eBy ,

(119)

cosicche

rBx = QBAxx rAx +QBAxy r

Ay ,

rBy = QBAyx rAx +QBAyy r

Ay ,

(120)


ovvero, in forma matriciale,rB = QBArA. (121)

Il risultato precedente mostra che le componenti scalari di un vettore rispetto alriferimento FB si ottengono da quelle rispetto al riferimento FA premoltiplican-dole per la matrice dei coseni direttori del riferimento FA rispetto al riferimentoFB .

A.1.2 Matrice di rotazione

Per caratterizzare la matrice dei coseni direttori, si noti che la trasformazionedella base (eAx , e

Ay ) nella base (eBx , e

By ) puo avvenire soltanto a mezzo di una

rotazione, ossia una trasformazione di vettori in vettori che ne preserva il mo-dulo (ossia la lunghezza) e l’orientazione mutua (l’angolo tra due vettori deveconservarsi in valore assoluto e anche in verso, rispetto alla convenzione di segnostabilita sul piano xy, ossia tale per cui si considera positiva una rotazione nelsenso che porta l’asse x sull’asse y con una rotazione di 90).

Supponiamo che i versori del riferimento FB siano ottenuti ruotando quellidel riferimento FA di un angolo ϕ. Cio significa che

eBx = cosϕ eAx + sinϕ eAy ,

eBy = − sinϕ eAx + cosϕ eAx .(122)

Abbiamo percio

QABxx = QAByy = cosϕ, −QABxy = QAByx = sinϕ. (123)

Pertanto,QAB = R(ϕ), (124)

dove con R(ϕ) indichiamo la particolare matrice definita da

R(ϕ) :=

[cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

]. (125)

Osservando la struttura della matrice di rotazione R(ϕ) e immediato riconoscereche si tratta di una matrice ortogonale propria, ossia tale che la sua inversacoincide con la trasposta,

R(ϕ)−1 =

[cosϕ sinϕ− sinϕ cosϕ

]= R(ϕ)T , ∀ϕ, (126)

ed il suo determinante e pari a +1,

det(R(ϕ)) = cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1, ∀ϕ. (127)

L’insieme delle matrici ortogonali proprie nel piano e un gruppo di R2×2, dettogruppo ortogonale proprio o gruppo delle rotazioni e indicato con SO(2) ⊂ R2×2.La proprieta di costituire un gruppo si traduce nel fatto che il prodotto di


due matrici ortogonali proprie e una matrice ortogonale propria e che per ognimatrice ortogonale propria esiste la sua inversa, tale che il prodotto delle dueporge la matrice identita.

Geometricamente, la condizione di determinante positivo unitario, eq. (127),significa che la matrice trasforma i vettori del piano senza modificare la superficiedel parallelogramma che essi definiscono, mentre la condizione di ortogonalita,eq. (126), corrisponde al fatto che la matrice preserva l’orientazione mutua, ossiatrasforma basi destre in basi destre e viceversa.24

Notiamo inoltre che se una rotazione di un angolo ϕ viene rappresentatadalla matrice R(ϕ), l’operazione inversa, rappresentata dalla matrice R(ϕ)−1

corrisponde alla rotazione retrograda della stessa entita, che quindi puo essererappresentata dalla matrice R(−ϕ). Risulta quindi

R(−ϕ) = R(ϕ)−1 = R(ϕ)T . (128)

A.1.3 Composizione di rotazioni

Se si ruotano ulteriormente i versori (eBx , eBx ) di un angolo η, ottenendo i versori

(eCx , eCx ),

eCx = cos η eBx + sin η eBx ,

eCy = − sin η eBx + cos η eBy ,(129)

si potra scrivere la relazionerC = QCBrB , (130)

dove la matrice QCB e data dalla trasposta della matrice dei coseni direttori delriferimento FC rispetto al riferimento FB , ossia QBC = R(η).

La relazione che permette di passare dalle componenti nel riferimento FA aquelle nel riferimento FC risulta dunque

rC = QCBQBArA

= QCArA,(131)

dove la matrice QCA = QCBQBA non e altro che la trasposta della matricedei coseni direttori del riferimento FC rispetto al riferimento FA, ossia QAC =QABQBC .

Risulta quindiQAC = R(ϕ)R(η) (132)

24 Il gruppo ortogonale proprio e un sottogruppo del gruppo ortogonale, formato dalle matriciper cui l’inversa coincide con la trasposta. Questa proprieta comporta che il determinante dellematrici ortogonali sia in modulo unitario (positivo o negativo). In generale, in un gruppomatriciale, gli elementi con determinante positivo vengono detti propri, per cui il gruppoortogonale proprio e l’insieme di tutte le matrici ortogonali con determinante pari a +1.


e si verifica immediatamente che

R(ϕ)R(η) =

[cosϕ cos η − sinϕ sin η − cosϕ sin η − sinϕ cos ηcosϕ sin η + sinϕ cos η cosϕ cos η − sinϕ sin η

]=

[cos (ϕ+ η) − sin (ϕ+ η)sin (ϕ+ η) cos (ϕ+ η)

]= R(ϕ+ η),

(133)

ed essendo naturalmente R(ϕ + η) ≡ R(η + ϕ), risulta anche R(ϕ)R(η) ≡R(η)R(ϕ). In altre parole, le rotazioni nel piano sono commutative ed additivesotto composizione, al contrario di quanto avviene in generale per le rotazioninello spazio.

A.2 Rotazioni nello spazio

Consideriamo due sistemi di riferimento nello spazio, detti FA e FB ai cui assicorrispondono le terne di vettori ortonormali (eAx , e

Ay , e

Az ) e (eBx , e

By , e

Bz ). Un

generico vettore r ha le seguenti componenti scalari nei due riferimenti:

rAx := eAx · r, rAy := eAy · r, rAz := eAz · r,rBx := eBx · r, rBy := eBy · r, rBz := eBz · r,

(134)

per cui e possibile scrivere

r = (eAx · r) eAx + (eAy · r) eAy + (eAz · r) eAz = rAx eAx + rAy eAy + rAz eAz ,

r = (eBx · r) eBx + (eBy · r) eBy + (eBz · r) eBz = rBx eBx + rBy eBy + rBz eBz .(135)

Nel seguito indicheremo con rA e rB le matrici colonna formate dalle componentidel vettore r nei riferimenti FA e FB , rispettivamente,

rA =

rAxrAyrAz

, rB =

rBxrByrBz

, (136)

e nuovamente ci porremo il problema di esprimere le componenti rB in funzionedelle componenti rA e viceversa.

A.2.1 Matrice dei coseni direttori

Analogamente a quanto fatto per le rotazioni nel piano, definiamo i cosenidirettori del riferimento FB rispetto al riferimento FA come

QABhk := eAh · eBk , h, k = x, y, z, (137)

e notiamo cheQBAkh = QABhk , (138)


ossia che i coseni direttori del riferimento FB rispetto al riferimento FA formanouna matrice QAB ,

QAB :=

QABxx QABxy QABxzQAByx QAByy QAByzQABzx QABzy QABzz

=

eAx · eBx eAx · eBy eAx · eBzeAy · eBx eAy · eBy eAy · eBzeAz · eBx eAz · eBy eAz · eBz

. (139)

la cui trasposta coincide con la matrice dei coseni direttori del riferimento FArispetto al riferimento FB ,

QBA :=

QBAxx QBAxy QBAxzQBAyx QBAyy QBAyzQBAzx QBAzy QBAzz

=

eBx · eAx eBx · eAy eBx · eAzeBy · eAx eBy · eAy eBy · eAzeBz · eAx eBz · eAy eBz · eAz

. (140)

Pertanto, anche in questo caso l’equazione 138 puo essere riscritta in formamatriciale come segue:

QBA =(QAB

)T. (141)

Analogamente al caso planare, QAB puo essere interpretata come formata percolonne dalle componenti dei versori del riferimento FB rispetto al riferimentoFA, oppure per righe dalle componenti dei versori del riferimento FA rispettoal riferimento FB . Anche per la sua trasposta QBA vale quanto gia detto inprecedenza.

Con riferimento alla matrice QBA, otteniamo quindi

eBx = QBAxx eAx +QBAxy eAy +QBAxz eAz ,

eBy = QBAyx eAx +QBAyy eAy +QBAyz eAz ,

eBz = QBAzx eAx +QBAzy eAy +QBAzz eAz

(142)

e la relazione inversa

eAx = QABxx eBx +QABxy eBy +QABxz eBz ,

eAy = QAByx eBx +QAByy eBy +QAByz eBz ,

eAz = QABzx eBx +QABzy eBy +QABzz eBz .

(143)

Pertanto, considerando l’espressione del generico vettore r rispetto al riferi-mento FA, abbiamo

r = rAx eAx + rAy eAy + rAz eAz

= rAx (QBAxx eBx +QBAyx eBy +QBAzx eBz )

+ rAy (QBAxy eBx +QBAyy eBy +QBAzy eBz )

+ rAz (QBAxz eBx +QBAyz eBy +QBAzz eBz )

= (QBAxx rAx +QBAxy r

Ay +QBAxz r

Az ) eBx

+ (QBAyx rAx +QBAyy r

Ay +QBAyz r

Az ) eBy

+ (QBAzx rAx +QBAzy r

Ay +QBAzz r

Az ) eBz ,

(144)


cosicche

rBx = QBAxx rAx +QBAxy r

Ay +QBAxz r

Az ,

rBy = QBAyx rAx +QBAyy r

Ay +QBAyz r

Az ,

rBz = QBAzx rAx +QBAzy r

Ay +QBAzz r

Az ,

(145)

ovvero, in forma matriciale,rB = QBArA. (146)

Il risultato precedente mostra che le componenti scalari di un vettore rispetto alriferimento FB si ottengono da quelle rispetto al riferimento FA premoltiplican-dole per la matrice dei coseni direttori del riferimento FA rispetto al riferimentoFB .

A.2.2 Matrice di rotazione

Anche nel caso spaziale, la matrice dei coseni direttori rappresenta una rota-zione, ossia una trasformazione di vettori in vettori che ne preserva il moduloe l’orientazione mutua. E possibile quindi identificare un particolare asse nellospazio ed un particolare angolo che consentono di rappresentare la matrice deicoseni direttori mediante un’operatore che estende l’operatore R(·) visto nel ca-so planare (teorema di Eulero sulle rotazioni). Tuttavia, l’espressione generaledella matrice di rotazione in funzione dell’asse e dell’angolo citati va al di ladei limiti di questa trattazione, per cui ci limitiamo nel seguito a fornire unmetodo di rappresentazione classico nella Meccanica del Volo, costituito dallasuccessione di rotazioni parziali secondo lo schema degli angoli di Cardano.

Notiamo tuttavia, che per quanto detto sopra, anche nel caso spaziale la ma-trice dei coseni direttori risulta ortogonale propria, e gode quindi delle proprietafondamentali (

QAB)−1

=(QAB

)T,

det(QAB

)= 1,

(147)

gia viste nel caso planare.L’insieme delle matrici ortogonali proprie nello spazio e un gruppo di R3×3,

detto gruppo ortogonale proprio o gruppo delle rotazioni e indicato con SO(3) ⊂R3×3.

Geometricamente, la condizione di determinante positivo unitario significache la matrice trasforma i vettori dello spazio senza modificare il volume delparallelepipedo che essi definiscono, mentre la condizione di ortogonalita cor-risponde al fatto che la matrice preserva l’orientazione mutua, ossia trasformabasi destre in basi destre e viceversa.

A.2.3 Rotazioni elementari

Prima di considerare delle espressioni generali che permettono la determina-zione della matrice dei coseni direttori, e utile riferirsi a dei casi particolari,


detti rotazioni elementari, corrispondenti a rotazioni attorno ad uno degli assicoordinati.

Rotazione attorno al primo asse Supponiamo che i vettori del riferimento FBsiano ottenuti ruotando quelli del riferimento FA di un angolo ϕ attorno a eAx .Cio comporta che i versori (eBy , e

Bz ) siano dati a partire dai versori (eAy , e

Az ) attra-

verso equazioni analoghe alle eq. 122, mentre il primo versore risulta inalteratodalla trasformazione,

eBy = cosϕ eAy + sinϕ eAz ,

eBx ≡ eAx ,

eBz = − sinϕ eAy + cosϕ eAz .

(148)

Ne discende immediatamente che

QAB = Rx(ϕ), (149)

dove la matrice di rotazione elementare attorno al primo asse Rx(ϕ) e semplice-mente data da

Rx(ϕ) :=

1 0 00 cosϕ − sinϕ0 sinϕ cosϕ

. (150)

Rotazione attorno al secondo asse Supponiamo ora che i vettori del riferi-mento FB siano ottenuti ruotando quelli del riferimento FA di un angolo ϕattorno a eAy . Cio comporta che i versori (eBx , e

Bz ) siano dati a partire dai verso-

ri (eAx , eAz ) attraverso equazioni analoghe alle eq. 122, mentre il secondo versore

risulta inalterato dalla trasformazione,

eBx = cosϕ eAx − sinϕ eAz ,

eBy ≡ eAy ,

eBz = sinϕ eAx + cosϕ eAz .

(151)

Ne discende quindi cheQAB = Ry(ϕ), (152)

dove la matrice di rotazione elementare attorno al secondo asse Ry(ϕ) e sempli-cemente data da

Ry(ϕ) =

cosϕ 0 sinϕ0 1 0

− sinϕ 0 cosϕ

. (153)

Rotazione attorno al terzo asse Infine, supponiamo che i vettori del riferi-mento FB siano ottenuti ruotando quelli del riferimento FA di un angolo ϕ


attorno a eAz . Cio comporta che i versori (eBx , eBy ) siano dati a partire dai verso-

ri (eAx , eAy ) proprio attraverso le eq. 122, mentre il terzo versore risulta inalterato

dalla trasformazione,

eBx = cosϕ eAx + sinϕ eAy ,

eBy = − sinϕ eAx + cosϕ eAx ,

eBz ≡ eAz .

(154)

Ne discende quindi cheQAB = Rz(ϕ), (155)

dove la matrice di rotazione elementare attorno al terzo asse Rz(ϕ) e semplice-mente data da

Rz(ϕ) =

cosϕ − sinϕ 0sinϕ cosϕ 0

0 0 1

. (156)

A.2.4 Composizione di rotazioni

Supponiamo di ruotare i versori del riferimento FA attraverso una rotazioneelementare attorno al primo asse per un angolo ϕ, ottenendo i versori del riferi-mento FB , e successivamente di ruotare questi ultimi attraverso una rotazioneelementare attorno al secondo asse per un angolo η, ottenendo i versori delriferimento FC . Abbiamo

QAB = Rx(ϕ), QBC = Ry(η). (157)

Valgono le relazioni

rB = QBArA,

rC = QCBrB ,(158)

e quindirC = QCArA, (159)

dove la matrice QCA = QCBQBA non e altro che la trasposta della matricedei coseni direttori del riferimento FC rispetto al riferimento FA, ossia QAC =QABQBC .

Risulta quindiQAC = Rx(ϕ)Ry(η) (160)

e si verifica immediatamente che, a causa della differenza tra gli assi di rotazionedelle due rotazioni componenti,

Rx(ϕ)Ry(η) 6= Ry(η)Rx(ϕ). (161)

In altre parole, questo caso particolare mostra che le rotazioni nello spazio nonsono commutative (ne tantomeno additive) sotto composizione, al contrario diquanto visto per le rotazioni nel piano.


A.2.5 Angoli di Cardano

Tre rotazioni elementari opportunamente scelte possono essere combinate perottenere rotazioni arbitrarie nello spazio. Questa strategia va sotto il nome diangoli euleriani (Euler-type angles) e sono disponibili in diverse versioni.25 NellaMeccanica del Volo si fa riferimento in particolare alla combinazione indicatacome angoli euleriani aeronautici, o angoli di Cardano.

Problema diretto Il riferimento FA viene ruotato inizialmente di un angolo ϕzattorno a eAz , ottenendo un riferimento intermedio FB con terna (eBx , e

By , e

Bz ≡

eAz ). PertantoQAB = Rz(ϕz). (162)

Quindi il riferimento FB viene ruotato di un angolo ϕy attorno a eBy , ottenendo

un secondo riferimento intermedio FC con terna (eCx , eCy ≡ eCy , e

Cz ). L’asse

yB ≡ yC e detto asse dei nodi. Pertanto

QBC = Ry(ϕy). (163)

Infine, il riferimento FC viene ruotato di un angolo ϕx attorno a eCx , ottenendoil riferimento FD con terna (eDx ≡ eCx , e

Dy , e

Dz ). Pertanto

QCD = Rx(ϕx). (164)

Componendo le rotazioni elementari pertanto si ha

QAD = QABQBCQCD = Rz(ϕz)Ry(ϕy)Rx(ϕx). (165)

Il significato geometrico di questi angoli e il seguente:

• ϕz e l’angolo compreso tra l’asse yA e l’asse dei nodi yB ≡ yC ;

• ϕy e l’angolo compreso tra il piano xAyA e l’asse xD ≡ xC ;

• ϕx e l’angolo compreso tra l’asse dei nodi yB ≡ yC e l’asse yD.

Gli angoli di Cardano cosı definiti sono utilizzati per caratterizzare l’orientazio-ne relativa sia degli assi del riferimento solidale (assi corpo), sia di quelli delriferimento aerodinamico (assi vento) rispetto a quelli del riferimento orizzontelocale, e viceversa.

Problema inverso Consideriamo ora il cosiddetto problema inverso degli angolidi Cardano, ossia la determinazione degli angoli (ϕx, ϕy, ϕz) nota la matrice deicoseni direttori QAD.

L’algoritmo per l’inversione e il seguente:

25 Gli angoli di Eulero propriamente detti, utilizzati nella Meccanica Analitica,corrispondono ad una delle possibili scelte di angoli euleriani.


1. si ottengono le componenti in FA del versore dell’asse dei nodi, la cuimatrice colonna e indicata con eAn , come

eAn =

enAx

enAy

enAz

=1√

(QADxx )2

+(QADxy

)2 −QADxyQADxx

0

; (166)

2. si ottengono le componenti in FD del versore dell’asse dei nodi, la cuimatrice colonna e indicata con eDn , come

eDn =

enDx

enDy

enDz

=1√(

QADzy)2

+ (QADzz )2

0QADzz−QADzy

; (167)

3. si calcolano quindi gli angoli di Cardano come

ϕz = arctan2(−enAx , enAy ), (168)

ϕy = arctan2

(−QADzz ,

√(QADxx )

2+(QADxy

)2)(169)

≡ arctan2

(−QADzz ,

√(QADzy

)2+ (QADzz )

2

), (170)

ϕx = arctan2(−enBz , enBy ). (171)

A.3 Relazione tra i riferimenti aeronautici

A.3.1 Passaggio da assi orizzonte locale ad assi corpo

Gli angoli di Cardano utilizzati per caratterizzare l’orientazione del riferimentosolidale Fb rispetto al riferimento orizzonte locale Fh sono

• l’angolo di azimuth ψ ∈ [−π, π), corrispondente alla rotazione attorno aehz , terzo asse della terna iniziale;

• l’angolo di elevazione θ ∈ (−π/2, π/2), corrispondente alla rotazione at-torno al secondo asse delle terne intermedie (asse dei nodi);

• l’angolo di rotazione propria φ ∈ [−π, π), corrispondente alla rotazioneattorno a ebx, primo asse della terna finale.

Ne discende cheQhb = Rz(ψ)Ry(θ)Rx(φ), (172)

ossia, per esteso,

Qhb =

cψcθ cψsθsφ − sψcφ cψsθcφ + sψsφsψcθ sψsθsφ + cψcφ sψsθcφ − cψsφ−sθ cθsφ cθcφ

, (173)


avendo posto, per brevita di scrittura, cψ := cosψ, sψ := sinψ e analogamenteper θ e φ.

Ricordiamo che la matrice Qhb e interpretabile come formata per colonnedalle componenti dei versori degli assi corpo rispetto agli assi orizzonte locale,oppure per righe dalle componenti dei versori degli assi orizzonte locale rispettoagli assi corpo.

A.3.2 Passaggio da assi orizzonte locale ad assi vento

Gli angoli di Cardano utilizzati per caratterizzare l’orientazione del riferimentoaerodinamico Fa rispetto al riferimento orizzonte locale Fh sono detti

• angolo di rotta χ ∈ [−π, π), corrispondente alla rotazione attorno a ehz ,terzo asse della terna iniziale;

• angolo di rampa γ ∈ (−π/2, π/2), corrispondente alla rotazione attorno alsecondo asse delle terne intermedie (asse dei nodi);

• angolo di rollio aerodinamico µ ∈ [−π, π), corrispondente alla rotazioneattorno a eax, primo asse della terna finale.

Ne discende cheQha = Rz(χ)Ry(γ)Rx(µ), (174)

ossia, per esteso,

Qha =

cχcγ cχsγsµ − sχcµ cχsγcµ + sχsµsχcγ sχsγsµ + cχcµ sχsγcµ − cχsµ−sγ cγsµ cγcµ

, (175)

avendo usato le medesime abbreviazioni viste sopra per seni e coseni.Ricordiamo che la matrice Qha e interpretabile come formata per colonne

dalle componenti dei versori degli assi vento rispetto agli assi orizzonte locale,oppure per righe dalle componenti dei versori degli assi orizzonte locale rispettoagli assi vento.

A.3.3 Volo in un piano verticale

Il volo e detto in un piano verticale quando la velocita di volo e contenuta in untale piano. Co comporta che l’angolo di rotta sia costante e, data l’arbitrarietadella scelta di una direzione di riferimento nel piano dell’orizzonte locale, si eliberi di assumere per esso il valore nullo:

χ = 0. (176)

In questo caso, pertanto,

Qha =

cγ sγsµ sγcµ0 cµ −sµ−sγ cγsµ cγcµ

. (177)


Dato che la traiettoria e contenuta in un piano, la velocita di rotazione delvettore velocita risulta pari al modulo della derivata dell’angolo di orientazionedella stessa in tale piano:

Ω = |γ|. (178)

A.3.4 Volo in un piano orizzontale

Il volo e detto in un piano orizzontale quando la velocita di volo e contenuta inun tale piano. Co comporta che l’angolo di rampa sia nullo:

γ = 0. (179)

In questo caso, pertanto,

Qha =

cχ −sχcµ sχsµsχ cχcµ −cχsµ0 sµ cµ

, (180)

Dato che la traiettoria e contenuta in un piano, la velocita di rotazione delvettore velocita risulta pari al modulo della derivata dell’angolo di orientazionedella stessa in tale piano:

Ω = |χ|. (181)

A.3.5 Passaggio da assi vento ad assi corpo

Gli angoli di Cardano utilizzati per caratterizzare l’orientazione del riferimentosolidale Fb rispetto al riferimento aerodinamico Fa sono soltanto due:

• l’opposto dell’angolo di derapata β ∈ (−π/2, π/2), corrispondente allarotazione attorno a eaz , terzo asse della terna iniziale;

• l’angolo d’incidenza α ∈ [−π, π), corrispondente alla rotazione attorno aeby, secondo asse della terna finale.

Infatti si haQab = Rz(−β)Ry(α), (182)

ossia, per esteso,

Qab =

cαcβ sβ sαcβ−cαsβ cβ −sαsβ−sα 0 cα

. (183)

Ricordiamo che la matrice Qab e interpretabile come formata per colonne dallecomponenti dei versori degli assi corpo rispetto agli assi vento, oppure per righedalle componenti dei versori degli assi vento rispetto agli assi corpo.

Avvertenza

Questo testo e fornito per uso personale degli studenti. Viene reso disponibile informa preliminare, a supporto per la preparazione dell’esame di Meccanica del Volo.E gradita la segnalazione di errori e refusi.

Copyright Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale – Politecnico di Milano(Legge italiana sul Copyright 22.04.1941 n. 633)

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