LEZIONE 1

1.1. Matrici a coefficienti in R.

Definizione 1.1.1. Siano m,n ∈ Z positivi. Una matrice m × n a coefficienti in R e uninsieme di mn numeri reali disposti su m righe ed n colonne circondata da parentesi. Talinumeri sono dette entrate o componenti della matrice.

L’insieme di tutte le matrici m×n a coefficienti in R si indichera con Rm,n. La matrice0m,n ∈ Rm,n avente tutte le entrate nulle viene detta matrice nulla.

Se m = n si parlera di matrici quadrate, se m = 1 di matrici riga, se n = 1 di matricicolonna.

La definizione data sopra ha senso anche quando m = n = 1. In tal caso pero, sipreferisce identificare R1,1 con R.

Esempio 1.1.2. Diamo alcuni esempi di matrici.

A =

1 π−3/19

√21

0 0

∈ R3,2, B =(

1 −3/19 0π

√21 0

)∈ R2,3,

C =

12−3

∈ R3,1, D = ( 1 0 ) ∈ R1,2, E =(

1 00 1

)∈ R2,2 .

C, D, E sono, rispettivamente, una matrice colonna, riga, quadrata. Invece A e B nonsono ne riga, ne colonna, ne quadrate. Invece la tabella 1 2 3 4

2 −1 017

non e una matrice.

Sia A ∈ Rm,n. Ad ogni sua entrata a rimangono associati due numeri interi positivi,gli indici i e j della riga e della colonna al cui incrocio si trova a: i e j vengono dettirispettivamente indice di riga e indice di colonna di a, a si dice l’entrata in posizione (i, j):spesso, per indicarla nelle formule, si scrivera ai,j . In particolare, la matrice A si indicasovente con il simbolo

A = (ai,j) 1≤i≤m1≤j≤n

.

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2 1.1. MATRICI A COEFFICIENTI IN R

Se A e quadrata con m = n si scrive anche

A = (ai,j)1≤i,j≤n .

Quando le dimensioni della matrice sono fissate spesso le entrate si indicano con letteredistinte. Per esempio, una matrice 2× 2 generica verra indifferentemente indicata con unodei seguenti simboli:

(ai,j) 1≤i≤21≤j≤2

, (ai,j)1≤i,j≤2 ,

(a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

),

(a bc d

).

Esempio 1.1.3. Si considerino

A =

1 π−3/19

√21

0 0

∈ R3,2, B =(

1 −3/19 0π

√21 0

)∈ R2,3

Allora l’entrata (1, 2) di A e a1,2 = π. Le entrate (3, 1) e (3, 2) di A sono a3,1 = a3,2 = 0.Invece le entrate (3, 3) e (2, 3) non esistono.

Similmente le entrate (3, 1), (3, 2), (3, 3) di B non esistono. Invece le entrate (1, 2) e(2, 3) di B sono b1,2 = −3/19 e b2,3 = 0.

Definizione 1.1.4. Sia A ∈ Rm,n. L’opposto di A e la matrice di Rm,n, indicata con −A,la cui entrata (i, j) coincide con l’opposto dell’entrata (i, j) della matrice A per i = 1, . . . ,me j = 1, . . . , n.

Se A = (ai,j) 1≤i≤m1≤j≤n

∈ Rm,n spesso si scrivera, in simboli, −A = (−ai,j) 1≤i≤m1≤j≤n

∈ Rm,n.Per esempio, per le matrici A e B degli Esempi 1.1.2 e 1.1.3, vale

−A =

−1 −π3/19 −

√21

0 0

∈ R3,2, −B =(−1 3/19 0−π −

√21 0

)∈ R2,3 .

Definizione 1.1.5. Due matrici

A′ =(a′i,j)

1≤i≤m′1≤j≤n′

, A′′ =(a′′i,j)

1≤i≤m′′1≤j≤n′′

si dicono uguali se hanno lo stesso numero di righe e colonne, cioe m′ = m′′ = m, n′ = n′′ =n, e se le entrate aventi la stessa posizione nelle due matrici coincidono, cioe a′i,j = a′′i,jper ogni i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.

Le due matrici A e B degli Esempi 1.1.2 e 1.1.3 sono percio diverse. Ciononostante sonolegate da un’ovvia relazione: l’entrata (i, j) di A coincide con l’entrata (j, i) di B.

LEZIONE 1 3

Definizione 1.1.6. Sia A ∈ Rm,n. La trasposta di A e la matrice di Rn,m, indicata contA, la cui entrata (j, i) coincide con l’entrata (i, j) della matrice A per i = 1, . . . ,m ej = 1, . . . , n.

Se A = (ai,j) 1≤i≤m1≤j≤n

∈ Rm,n spesso si scrivera, in simboli, tA = (aj,i) 1≤j≤n1≤i≤m

∈ Rn,m. Per

esempio, per le matrici A e B degli Esempi 1.1.2 e 1.1.3 vale B = tA e A = tB.

Proposizione 1.1.7. Valgono le seguenti proprieta:

(T1) per ogni matrice A risulta A ∈ Rm,n se e solo se tA ∈ Rn,m;(T2) per ogni matrice A ∈ Rm,n risulta t(tA) = A;(T3) per ogni matrice A ∈ Rm,n risulta t(−A) = −(tA). �

In qualche senso l’operazione di trasposizione ci permette di identificare, all’occorrenza,matrici m×n con matrici n×m: per esempio, identificare matrici riga con matrici colonna.

1.2. Matrici quadrate.

In questo paragrafo descriveremo alcune classi notevoli di matrici quadrate. Innanzitutto diamo una definizione.

Definizione 1.2.1. Sia A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Rn,n. La diagonale di A e l’insieme ordinatodelle entrate di posizione (i, i) di A.

Per esempio, se

A =

1 −17 4π 0 82 −3/4 −e

,

la diagonale di A e la successione ordinata (1, 0,−e) (e non (1,−e) o (−e, 1, 0) o altro).

Esempio 1.2.2. Una matrice quadrata A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice diagonale se tuttele entrate al di fuori della diagonale sono nulle, ovvero, in simboli, se ai,j = 0 quando i 6= j.Per esempio,

A =

1 0 00 0 00 0 −e

e diagonale. Una matrice diagonale puo essere descritta indicando solo la sua diagonale: peresempio, la matrice A di cui sopra viene spesso indicata con il simbolo A = diag(1, 0,−e).

Invece

B =

0 −17 00 0 00 0 0

non lo e.

Si noti che la matrice nulla 0n,n e diagonale.

4 1.2. MATRICI QUADRATE

Fra le matrici diagonali una e particolarmente importante e, percio, merita un simboloed un nome particolari: si tratta della matrice identita di ordine n, indicata con In. Sitratta della matrice diagonale avente tutte le entrate diagonali uguali ad 1. Per esempio,

I1 = (1), I2 =(

1 00 1

), I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Esempio 1.2.3. Una matrice quadrata A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice triangolaresuperiore se le sue entrate al di sotto della diagonale si annullano, ovvero, in simboli,se ai,j = 0 quando i > j. Per esempio,

A =

1 −17 40 0 80 0 −e

e triangolare superiore.

Similmente si puo introdurre la nozione di matrice trangolare inferiore. La matriceA = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice triangolare inferiore se le sue entrate al di sopra delladiagonale si annullano, ovvero se ai,j = 0 quando i < j. Per esempio,

B =

1 0 0π 0 02 −3/4 −e

e triangolare inferiore.A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice strettamente triangolare superiore (inferiore) se e

triangolare superiore (inferiore) e le sue entrate sulla diagonale si annullano, ovvero seai,j = 0 quando i ≥ j (i ≤ j). Per definizione ogni matrice strettamente triangolaresuperiore od inferiore e triangolare superiore od inferiore, ma non vale il viceversa: infattile matrici A e B sopra riportate sono, rispettivamente, triangolare superiore ed inferiorema non lo sono strettamente.

Si noti che la matrice nulla 0n,n e (strettamente) triangolare superiore ed inferiore.

Esempio 1.2.4. Una matrice quadrata A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice simmetrica secoincide con la sua trasposta, ovvero, in simboli, se tA = A: cio significa ai,j = aj,i perogni i, j = 1, . . . , n, quindi le entrate in posizione simmetrica al di fuori della diagonalesono uguali. Per esempio,

A =

1 −17 4−17 0 8

4 8 −e

e simmetrica. Invece

B =

1 −17 44 0 8−17 8 −e

LEZIONE 1 5

non e simmetrica perche b1,2 = −17 6= 4 = b2,1.Si noti che ogni matrice diagonale, in particolare, la matrice nulla 0n,n, e simmetrica.

Invece non possono essere simmetriche le matrici (strettamente) triangolari superiori edinferiori che non siano diagonali.

Esempio 1.2.5. Una matrice quadrata A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice antisimmetricase coincide con l’opposto della sua trasposta, ovvero, in simboli, se tA = −A: cio significaai,j = −aj,i per ogni i, j = 1, . . . , n, quindi le entrate diagonali devono essere nulle, e quellein posizione simmetrica al di fuori della diagonale sono opposte. Per esempio,

A =

0 −17 417 0 8−4 −8 0

e antisimmetrica. Invece

B =

1 −17 417 0 8−4 −8 0

, C =

0 −17 417 0 84 −8 0

,

non sono antisimmetriche perche b1,1 = 1 6= 0 e c3,1 = 4 6= −c1,3.Si noti che l’unica matrice diagonale o (strettamente) triangolare superiore ed inferiore

o simmetrica che sia anche antisimmetrica e la matrice nulla 0n,n.

1.3. Somma e prodotto per scalari.In questo paragrafo definiremo due importanti operazioni su matrici. Iniziamo a definire

la somma di matrici.

Definizione 1.3.1. Siano A = (ai,j) 1≤i≤m1≤j≤n

, B = (bi,j) 1≤i≤m1≤j≤n

∈ Rm,n. Definiamo somma

di A e B la matrice di Rm,n, indicata con A+B, la cui entrata in posizione (i, j) e ai,j +bi,j .

Si noti che la somma e stata definita solo per matrici aventi le stesse dimensioni.

Esempio 1.3.2. Si ha 1 −15 73 2

+

0 13 −4−1/2 0

=

1 08 3

5/2 2

.

Proposizione 1.3.3. Valgono le seguenti proprieta:(S1) per ogni A,B ∈ Rm,n si ha A+B = B +A (la somma e commutativa);(S2) per ogni A,B,C ∈ Rm,n si ha A+(B+C) = (A+B)+C (la somma e associativa);(S3) la matrice nulla e l’unico elemento neutro per la somma, cioe e l’unica matrice tale

che 0m,n +A = A, per ogni A ∈ Rm,n;(S4) per ogni A ∈ Rm,n, −A e l’unico elemento opposto di A, cioe e l’unica matrice tale

che A+ (−A) = 0m,n.

6 1.3. SOMMA E PRODOTTO PER SCALARI

Inoltre:(ST) per ogni A,B ∈ Rm,n si ha t(A+B) = tA+ tB. �

Se A,B ∈ Rm,n, spesso scriveremo A−B invece di A+ (−B). Passiamo ora a definireil prodotto di una matrice per un numero reale.

Definizione 1.3.4. Siano α ∈ R, A = (ai,j) 1≤i≤m1≤j≤n

. Definiamo prodotto dello scalare α

per A la matrice di Rm,n, indicata con αA, la cui entrata in posizione (i, j) e αai,j .

Esempio 1.3.5. Si ha

2(

3 2 51 −7 0

)=(

6 4 102 −14 0

).

Proposizione 1.3.6. Valgono le seguenti proprieta:(P1) per ogni A ∈ Rm,n si ha 1A = A;(P2) per ogni α1, α2 ∈ R e A ∈ Rm,n si ha α1(α2A) = (α1α2)A;

(SP1) per ogni α1, α2 ∈ R e A ∈ Rm,n si ha (α1 + α2)A = α1A+ α2A;(SP2) per ogni α ∈ R e A,B ∈ Rm,n si ha α(A+B) = αA+ αB.

Inoltre:(PT) per ogni α ∈ R, A ∈ Rm,n si ha t(αA) = α(tA);(LP) per ogni α ∈ R, A ∈ Rm,n si ha αA = 0m,n se e solo se o α = 0 o A = 0m,n (legge

di annullamento del prodotto per scalari). �