Lezioni di epistemologia e storia della scienza V. Michele Abrusci Roma, novembre-dicembre 2008.

Lezioni di epistemologia e storia della scienza

V. Michele Abrusci

Roma, novembre-dicembre 2008

Stato dell’arte

• Fra la fine del secolo XIX e l’inizio del secolo XX, lo sviluppo della logica matematica – è strettamente legato alla presentazione di

diversi “programmi fondazionali” – costituisce una base per la nascita della

“filosofia della scienza” (positivismo logico) che caratterizzerà l’intero secolo

Stato dell’arte , 2

• La logica matematica nasce nella seconda metà del XIX secolo con la scoperta che l’oggetto della logica è di natura matematica e quindi deve essere trattato con metodi matematici:– Proposizioni e connettivi (Boole, algebra di Boole)– Insiemi (Cantor, teoria degli insiemi)– Dimostrazioni (Hilbert, teoria della dimostrazione)

• La logica matematica nasce nell’ambito delle tendenze tipiche della matematica del XIX secolo:– Algebra astratta– Metodo assiomatico astratto– Aritmetizzazione dell’analisi e della geometria

Stato dell’arte, 3

• Algebra astratta: – dall’algebra come teoria della risoluzione delle

equazioni all’algebra come teoria delle strutture algebriche

– Svolta: la dimostrazione dell’impossibilità della soluzione delle equazioni di grado superiore

• Una struttura algebrica per la logica (algebra di Boole) : la struttura astratta fatta da – 0 (falso, vuoto) e 1 (vero, tutto)– le operazioni (connettivi) di congiunzione

(intersezione), disgiunzione (unione) e negazione (complemento).


• Metodo assiomatico: – applicato a una disciplina, consiste nell’individuare

• alcuni concetti (“concetti primitivi”, “facilmente comprensibilii”) da cui ottenere tutti gli altri mediante definizioni logiche (le definizioni logiche trasmettono la intelligibilità dei concetti)

• alcuni teoremi (“assiomi”, “verità immediate”) da cui ottenere tutti gli altri mediante dimostrazioni logiche (le dimostrazioni logiche trasmettono la verità delle proposizioni)

– esempi: geometria euclidea, Fisica di Newton, ecc. – presuppone che una disciplina sia “matura” e

“sviluppata”– metodo di organizzazione, più che di sviluppo– Ruolo della logica: dimostrazione, definizione


• Metodo assiomatico astratto– Nasce nella fine del secolo XIX (Hilbert, Peano) – Motivato dall’algebra astratta e dalla nascita delle

geometrie non-euclidee– Gli assiomi sono la “definizione” dei concetti primitivi

(come si fa in algebra astratta)– L’accettazione degli assiomi è basata non sulla loro

verità immediata ma sulla prova della loro “non-contraddittorietà” (come si fa nelle geometrie non-euclidee)

– Esempi: Geometria (Hilbert), Aritmetica (Peano)– Ruolo della logica: prova della non-contraddittorietà

(impossibilità di una dimostrazione)


• Aritmetizzazione della analisi e della geometria– Definizione “aritmetica” dei numeri reali (insiemi infiniti

di numeri razionali) (Dedekind, Cantor, Weierstrass)– I numeri reali sono un “modello” degli assiomi della

geometria euclidea (la non-contraddittorietà degli assiomi della geometria euclidea è ricondotta a quella della teoria dei numeri reali, Hilbert)

– I numeri razionali e I numeri interi si definiscono a partire dai numeri naturali

– “Aritmetica” (dei numeri naturali), e “logica” (degli insiemi infiniti) ossia teoria degli insiemi di Cantor


• Aritmetizzazione del concetto di dimostrazione– Dimostrazione : può essere vista come “successione finita di

proposizioni scritte in un linguaggio su un alfabeto finito”– Codificazione: le proposizioni sono codificabili mediante numeri

naturali, le dimostrazioni sono codificabili mediante numeri naturali

– L’asserzione logica “non esiste una dimostrazione di una contraddizione dagli assiomi (di una teoria) diventa – via codifica - una asserzione aritmetica

– Idea di Hilbert, realizzata da K. Goedel – Teoria matematica della dimostrazione: in realtà, teoria

aritmetica delle dimostrazioni.


• I programmi fondazionali collegati alla logica matematica:– Basati sulla “riduzione della matematica a

aritmetica, algebra, logica” (la geometria “si riduce” a aritmetica e logica)

– Sono i modelli dei programmmi fondazionali del novecento

– “Logicismo” – “Costruttivismo” – “Programma Hilbertiano”


• Logicismo:– Ridurre tutta la matematica alla logica, ossia definire

in termini logici i concetti matematici; in sostanza, resta da definire il concetto di numero naturale

– La Logica così “fonderebbe” la matematica – Modello dei programmi fondazionali che mirano a

“ridurre tutte le scienze a una sola scienza”, definendo in termini di quella scienza tutti i concetti delle altre scienze

– Cantor?, Frege, Russell


• Costruttivismo– Accettare in matematica (in aritmetica) ciò che si può “costruire”,

in sostanza ciò che si può costruire da parte di un solo agente e in termini aritmetici, respingendo il resto (dimostrazioni di esistenza senza esempi, concetti astratti, infinito attuale, ecc.)

– Così, la matematica sarebbe fondata perché purificata da elementi criticabili e poggiata sulle costruzioni

– Modello dei programmi fondazionali che mirano a discriminare ciò che si deve conservare e ciò che non si deve conservare nelle scienze, sulla base di una concezione filosofica o epistemologica

– Matematica intuizionista (Brouwer), matematica predicativista (Poincaré, Weyl), analisi logica del concetto di costruzione e di macchina che costruisce


• Programma Hilbertiano: – Dimostrare con metodi aritmetici sicuri la non-

contraddittorietà degli assiomi della matematica, in sostanza dell’analisi (aritmetica dei numeri reali), dimostrare che esiste un modello degli assiomi senza mostrarlo

– Così, l’aritmetica costruttiva e sicura fonderebbe la sicurezza di tutta la matematica

– Modello dei programmi fondazionali che mirano a stabilire la sicurezza dei metodi e delle discipline utili senza fondare i “contenuti” di quelle discipline

– Teoria hilbertiana della dimostrazione


• Tutti i programmi fondazionali crollano entro la prima metà del secolo XX:– Logicismo : antinomia di Russell, il sistema “logico”

che permetteva di definire i concetti matematici (Frege, Cantor) è contraddittorio, né si trovano suoi sostituti “credibili”

– Costruttivismo: la purificazione intuizionista o predicativista non è accettata dalla comunità scientifica matematica

– Programma Hilbertiano: il teorema di Goedel di incompletezza (1931) fissa il suo fallimento


• Tutti i programmi sono contraddistinti da:– “riduzione” , della matematica

• Alla logica (logicismo)• All’aritmetica costruttiva che dà i contenuti (costruttivismo) o che

stabilisce la sicurezza dell’intera matematica (programma hilbertiano)

– assenza di approccio “geometrico” e dominio dell’approccio “combinatorio”, “algebrico”, “linguistico”

• Teoria degli insiemi senza considerazioni geometriche• Costruttivismo di carattere algebrico-aritmetico• Teorie assiomatiche basate sul linguaggio, dimostrazioni intese nel

loro aspetto linguistico e algebrico– assenza del tema “interazione”

• Applicazione , piuttosto che interazione tra funzione e argomento• Un solo agente che esegue le operazioni• Aspetto statico delle teorie da fondare


• Tutti i programmi sono caratterizzati anche da:– Distinzione rigida oggetto/soggetto

• Logicismo: il soggetto conosce l’universo degli insiemi senza modificarlo

• Costruttivismo: c’è solo il soggetto• Programma Hilbertiano:

– Distinzione rigida sintassi / semantica• Implicita nel logicismo, conta la semantica• Solo sintassi nel costruttivismo• Esplicita nel programma hilbertiano, conta la sintassi

– Distinzione rigida finito/infinito• Teoria degli insiemi come teoria dell’infirnito• Costruttivismo come tentativo di far a meno dell’infinito• Programma Hilbertiano, come tentativo di giustificare l’infinito

mediante il finito


• Nonostante il fallimento, i programmi fondazionali– continuano ad essere sostenuti – prevalentemente in

ambiente filosofico e logico, non nell’intero mondo matematico

– Influenzano la nascita della filosofia della scienza (v. avanti), - in particolare logicismo e programma hilbertiano

– Danno origine all’informatica (macchina di Turing, funzioni calcolabili), - in particolare costruttivismo e programma hilbertiano


• La filosofia della scienza, secondo il positivismo logico:– Modello: la fisica e la matematica – Cosa è una scienza – Teoria ed empiria nella scienza– Cosa sono le spiegazioni scientifiche– Cosa sono le leggi– Sviluppo delle scienze

Filosofia della Scienza, oggi, 1

• Il modello di scienza: – Positivismo logico: la fisica e la matematica,

tutte le scienze si riconducono ad esse (“fisicalismo”, interpretare ciascuna scienza in termini della fisica), e si modellano secondo esse

– Oggi: proporre un’auronomia di ciascuna scienza, e promuovere l’interazione tra le scienze

Filosofia della Scienza, oggi, 2

• Cosa è una scienza:– Positivismo logico: un complesso di concetti e

di proposizioni accertate (“vere”) su quei concetti, organizzato (organizzabile) secondo il metodo assiomatico

– Oggi: introdurre due importanti caratteristiche, almeno, che sconvolgono il quadro precedente:

• Le questioni aperte• I metodi

Filosofia della scienza, oggi, 3

• Teorico ed empirico nella scienza:– Positivismo logico:

• I concetti si distinguono in teorici e empirici• Le proposizioni “vere” si distinguono in teoriche

(solo concetti teorici), empiriche (solo concetti empirici), miste (concetti teorici e concetti empirici)

• La distinzione non c’è in matematica • La distinzione è critica in ogni altra scienza,

l’empirico è dominato e influenzato dal teorico, come si arriva al teorico?


• Teorico ed empirico nella scienza:– Oggi: la distinzione ha senso solo in termini di

modalità di uso: • Le proposizioni empiriche sono proposizioni che

possono essere usate in un ragionamento una sola volta, esprimono singolarità, eventi,

• Le proposizioni teoriche sono proposizioni che possono essere usate in un ragionamento anche più volte, ciò che esprimono persiste dopo l’uso

• La distinzione tra concetti empirici e teorici ha meno rilevanza


• Cosa sono le spiegazioni scientifiche– Spiegare un evento, una proposizione empirica, mediante una o

più ipotesi, proposizioni teoriche, in un dato contesto empirico…• Spiegazione deduttiva: l’evento è una conseguenza logica della

ipotesi e del contesto• Spegazione probabilistica: l’evento è una conseguenza

probabilistica della ipotesi e del contesto• Spiegazione teleologica: l’evento è finalizzato ad altro evento, sulla

base della ipotesi e del contesto• Spegazione causale: l’evento è causato da altro evento, sulla base

della ipotesi e del contesto • Ecc.

– Spiegazione: è in questo atto che si vede il ruolo delle proposizioni empiriche e delle proposizioni teoriche


• Cosa sono le spiegazioni scientifiche:– Introdurre nuove tipologie di spiegazione

scientifica (sulla base di nuove scienze)– Distinguere:

• Il carattere del rapporto tra evento e ipotesi + contesto : deduttivo, probabilistico

• Il carattere del rapporto tra eventi , sulla base (deduttiva o probabilistica) di ipotesi +contesto: causale, teleologico, ecc,

– Apporto della logica e delle singole discipline


• Cosa sono le leggi scientifiche:– Proposizioni teoriche che hanno conseguenze

“empiriche” , dunque “falsificabili” (Popper)– Ipotesi usate nelle spiegazioni– Ipotesi “convalidate”: come?

• Le loro conseguenze empiriche sono tutte verificate? Impossibile

• Accordo “teorico” con le altre leggi : sì• La “falisificazione” è assoluta: basta che non sia convalidata

da una conseguenza empirica • La “convalida” no? Discutere


• Cosa sono le leggi scientifiche:– Conseguenza empirica di una proposizione teorica:

B, tale che A →B – A “vera” se tutte le sue consgeuenze empiriche sono

“vere”: impraticabile– A “falsa” – da respingere – se una sua consgeuenza

empirica è “falsa” , in base alla regola logica del “modus tollens” : da A →B e dalla negazione di B, si conclude la negazione di A.

– “salvataggio delle ipotesi”…


• Sviluppo della scienza:– Positivismo logico:

• insensibile alle “crisi” e alle “rotture” che ci sono nel corso della storia,

• Si ha per “approfondimento” (nuovi principi più generali) o per “estensione” (aggiunta di nuovi principi, scoperta di nuove conseguenze)

– Alcune critiche: • Feyerabend, Kuhn: il ruolo delle rivoluzioni scientifiche, il

ruolo importante del cambio delle teorie, del cambio dei paradigmi, della rottura con il passto, delle “rivoluzioni”

• L’attenzione alla storia della scienza, e il rapporto tra storia e filosofia della scienza


• Alcune rotture epistemologiche, derivanti da :– La meccanica quantistica– L’informatica – La biologia– Le scienze economiche e sociali– La logica


• Meccanica quantistica:– Caduta della tradizionale impostazione : il soggetto

nel conoscere l’oggetto non lo modifica, fino a “la verità è la corrispondenza tra ciò che è e che si dice”

– L’impostazione tradizionale può essere usata, ma non sempre, e non a livelli più profondi di indagine

– Tentativi vari di “far tornare i conti” (ad esempio “variabili nascoste”)

– Soluzione: interazione tra soggetto e oggetto, nuova matematica (geometria non commutativa), nuova filosofia; impostazione utile anche altrove


• L’informatica– Cosa è la verità nell’informatica? Per una

singola macchina? Non “ciò che è”, ma è “adeguamento a protocolli interni”

– Come si stabilisce la verità in una rete? Mediante interazione, mediante confronto, e modifica di protocolli.

– Superamento dell’idea “verità come adeguamento alla realtà esterna”


• Biologia:– Evoluzionismo: una specie è data con la sua

evoluzione, non è quindi un aggregato di individui, certe inferenze (dalla specie agli individui) non sono lecite, certi modi di ragionare (per oggetto qualunque) non sono più utilizzabili, ecc. –

• La logica tradizionale vale solo se si fa astrazione: un solo istante.

• Un modello “storico” di spiegazione• Il ruolo della sperimentazione ( Popper)


• Biologia:– Leggi non “prescrittive”, ma “proscrittive” (vincoli di

impossibilità)– Posizionamento “non neutrale” del soggetto– Cambiamento nel rapporto tra “ricerca delle leggi” e

“analisi dei concetti” (a vantaggio dell’ultima)– Sperimentabilità– Spiegazione in termine di rete, piuttosto che in

termine di causalità: non spiegazione deterministica, ma probabilistica perchè c’è interazione . – I vecchi modelli funzionali di spiegazione

– Il tempo : nuove idee, che si aggiungono a quelle provenienti dalla fisica e dal calcolo (informatica)


• Scienze economiche e sociali:– Mai state entro il modello della filosofia della

scienza (positivismo logico), se non per il principio popperiano di falsificazionismo

– Certo, tutti I fenomeni visti con l’informatica, con la biologia e con la meccanica quantistica trovano qualcosa di analogo nelle scienze economiche e sociali


• Logica:– Scoperta di fenomeni “quantistici” entro la

logica – Scoperta dell’utilità di dimostrazioni non

corrette (v. analogo in altre scienze), che possono ben interagire con quelle corrette e che hanno una loro autonomia

– Scoperta del ruolo determinante dell’interazione e della dualità

– Importanza della geometria in logica

“Metafore del vivente”• Facoltà di Filosofia, La Sapienza, v. Carlo Fea, 2 (via Nomentana – Piazza Bologna)• 27 novembre: 15-19

– Prandi. L’interazione metaforica come grandezza algebrica– Capozzi. Segni visibili e retorica– Gagliasso. L’ambiguo ruolo della metafora nelle scienze del vivente– Casonato. L’ambiguo ruolo della metafora nelle scienze del vivente

• 28 novembre: 9-13– Boniolo. Modelli e esperimenti mentali– Longo. L’informazione in biologia: dal modello matematico al fascino discreto della metafora– Lassègue. Metaphors without the literal-figural distinction– Barsanti. Il labirinto della natura: dalle metafore alle immagini– Turchetto e Cavazzini. Tra Adam Smith e Darwin: scambi di metafore

• 28 novembre: 15-19– Buiatti. Metafore biologiche meccanicistiche: una concezione della vita– Debru. Le metafore del cervello– Santarpia. Metafore pesanti: markers fisologici e markers discorsivi– Gelo. L’analisi della metafora in psicoterapia– Fraire e Luchetti. Metafora-transfert

• 29 novembre: 9-13 (linguistica e filosofia)

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