Lezione n. 16Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 1 La diffrazione Curvatura dei raggi...

Lezione n. 16 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

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La diffrazioneCurvatura dei raggi luminosi quando oltrepassano un ostacolo di dimensioni a (Grimaldi, 1650). La figura di diffrazione è formata da figure di interferenza.Fresnel nel 1819 dimostrò sperimentalmente che le figure di diffrazione possono essere spiegabili nell’ambito della teoria ondulatoria della luce (la macchia di Fresnel). Normalmente si seguono due approcci:

Diffrazione di Fresnel

Sorgente e schermo sono posti a

DISTANZA FINITA dall’apertura diffrangente

Fronti d’onda NON piani, raggi NON

paralleli

Difficoltà di calcolo

Diffrazione di Fraunhofer

Sorgente e schermo

sono posti a GRANDE DISTANZA dall’apertura diffrangente

Si ottiene con l’utilizzo

di LENTI

Fronti d’onda piani, raggi paralleli

Semplicità di calcolo


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Diffrazione da una singola fendituraSi consideri un’onda piana () diffratta da una fenditura di ampiezza a. Si vuole trovare la posizione del primo minimo (frangia scura). Per questo motivo, consideriamo la fenditura come suddivisa in due metà ideali (a/2). Il raggio luminoso proveniente da uno dei due bordi della fenditura interferisce con il raggio proveniente dal centro. Se P1 è la posizione della prima frangia scura, si ha interferenza distruttiva se la differenza di cammino ottico tra i due raggi (a/2 sin ) è pari a . Tale soluzione è tanto più accettabile quanto più lo schermo C è distante dalla fenditura.Pertanto, la posizione del primo minimo si trova a a sin =


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La posizione dei minimiPer trovare la posizione del secondo minimo (frangia scura), consideriamo ora la stessa fenditura come divisa in 4 quarti (a/4). In questo caso, la differenza di cammino ottico tra due coppie di raggi adiacenti (r2-r1, r3-r2, r4-r3) cioè a/4 sin , deve sempre essere pari a . Di nuovo, tale soluzione è tanto più accettabile quanto più lo schermo C è distante dalla fenditura.Pertanto, la posizione del secondo minimo si trova a a sin =Per analogia, la posizione del minimo m-esimo si troverà a a sin =m


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Differenze di faseSuddividendo la fenditura in tantissimi sottointervallini, è possibile analizzare il contributo di ogni intervallino supponendo che esso si comporti come sorgente elementare puntiforme di un fronte d’onda (principio di Huygens). Analizziamone il comportamento su uno schermo posto a grande distanza partendo dalla posizione centrale e muovendoci verso angoli crescenti..Nella posizione centrale (=0) tutti i fasori (vettori di fase) sono paralleli perché hanno la stessa fase (il cammino ottico è per tutti lo stesso). Pertanto (caso a) l’ampiezza dell’onda risultante E, data dalla somma vettoriale di tutti i fasori, è massima (=Em).In una posizione generica (caso b) i fasori si sommano vettorialmente generando un fasore risultante di ampiezza E < Em. Quando i fasori formano una linea chiusa (caso c), il fasore risultante ha ampiezza nulla (E=0) e tale angolo corrisponde al primo minimo. Proseguendo nel muoversi sullo schermo, l’ampiezza del fasore risultante ricomincia a crescere (caso d) fino ad arrivare al secondo massimo ecc.


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sin

2

2sinmm III

Intensità dell’onda diffrattaNel caso di una posizione generica , i fasori si sommano vettorialmente generando un fasore risultante di ampiezza E < Em.

Essendo ed anche si arriva all’espressione:

oppure, introducendo l’intensità:

dove

2sin2

RE R

Em

2sin

2

mEE

sin

2

a

I minimi si hanno per =m con m=1,2,3,… La larghezza centrale del massimo di diffrazione diminuisce al crescere dell’ampiezza della fenditura rispetto a .


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Diffrazione attraverso un foro circolareL’immagine prodotta da un foro circolare di diametro d produce figure di diffrazione. Il primo minimo si trova alla distanza angolare data dalla formula seguente, dove 1.22 è il risultato dell’integrazione delle sorgenti elementari in cui si può suddividere l’apertura circolare.

R può anche essere visto come l’angolo minimo affinché 2 oggetti siano separabili (criterio di

Rayleigh).Per > R i due oggetti sono SEPARATI

Per > R i due oggetti sono NON SEPARATI

d

22.1sin ddR

22.122.1arcsin


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Diffrazione da doppia fendituraNel caso in cui luce di lunghezza d’onda passi attraverso tante fenditure di larghezza a<<, le frange di interferenza hanno tutte la stessa ampiezza (caso a). Se, invece, la fenditura ha ampiezza a, le frange di interferenza sono modulate dalla figura di diffrazione (b) e l’ampiezza risultante sullo schermo è composta da frange d’interferenza di ampiezza variabile modulata dalla figura di diffrazione (c).

sin

cos Intensità 2

,

d

II INTm

sin

sin

2

2

,

a

IIIntensità DIFm

cos

sin

2

2

,DIFmII interferenza diffrazione

Intensità risultante


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Reticoli di diffrazioneUn insieme di N fenditure uguali, parallele ed equidistanti è chiamato reticolo di diffrazione (es.: gli atomi in un solido cristallino come NaCl). Come visto prima, quando si aumenta il numero di fenditure, si ottiene una figura con un insieme di frange di interferenza, le cui intensità sono modulate dall’inviluppo di diffrazione. Nel caso in cui tale numero sia molto grande, il massimo centrale di diffrazione (per ogni fenditura) è molto stretto, e si creano strette frange di interferenza.La posizione dei massimi è data dall’equazione: dove d è la distanza tra due fenditure adiacenti.Solitamente, si usa caratterizzare i reticoli di diffrazione con il passo, cioè il numero di fenditure per unità di lunghezza (ad es.: 600 fenditure per mm).

md sin


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Larghezza delle righe nei reticoliI reticoli di diffrazione sono solitamente usati per misurare lunghezze d’onda. La loro principale caratteristica è la larghezza delle righe (spettrali). Si definisce larghezza di riga la distanza angolare tra la posizione centrale ed il punto in cui l’intensità va a zero.Il primo minimo (di diffrazione) per una fenditura singola cade nel punto in cui la differenza di cammino ottico (a sin) vale . Per un reticolo con N fenditure e passo d, la differenza di cammino ottico è N d sin N d . Tale valore deve essere pari a . da cui / N d Se la fenditura si trova, invece, ad un angolo rispetto all’asse centrale, tale valore è:

Pertanto la larghezza di riga è migliore per reticoli più fitti.

cosNd


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Lo spettroscopioCome noto, ogni sostanza emette onde elettromagnetiche con uno spettro caratteristico. Per le sostanze gassose, normalmente lo spettro di emissione è composto da righe spettrali.Uno spettroscopio a reticolo permette di osservare l’intensità delle righe spettrali che escono dal reticolo G colpito dalla luce della sorgente S focalizzata attraverso le lenti L1 e L2 e la fenditura S1 orientando semplicemente il telescopio T (cioè variando l’angolo ).

La riga spettrale osservata quando l’angolo vale =0 contiene tutte le . Invece, a causa della dispersione, i massimi di ordine m successivo delle varie righe spettrali si osservano a posizioni angolari m distinte.


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Dispersione e potere risolutore nei reticoliIn un reticolo la capacità di distinguere due lunghezze d’onda molto vicine tra loro è una caratteristica fondamentale. Tale proprietà è fisicamente esprimibile attraverso la dispersione, data da:

= distanza angolare tra le due righe = differenza di tra le righe d = passo del reticolo m = ordine del massimo

Una grandezza fisica alternativa è il potere risolutore di un reticolo, definito dall’espressione:

= numero di fenditure

cosd

mD

NmR

Maggiore

potere risolutore

Maggiore

dispersione


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Diffrazione dei raggi XI raggi X hanno nm 10-10 m e pertanto un reticolo di diffrazione che funzioni nel visibile ( 550 nm 5.5 10-7 m ) non ha il potere risolutore sufficiente per discriminare le dei raggi X.Ma quando un fascio di raggi X colpisce un solido cristallino, i raggi vengono diffusi dal cristallo stesso in tutte le direzioni. In alcune direzioni le onde diffuse interferiscono positivamente, in altre negativamente, per cui si creano massimi in corrispondenza di piani di riflessione paralleli.Le condizioni (legge di Bragg) per cui ciò avviene sono: 2d sin = m

Un metodo per generare raggi X è quello di riscaldare un filamento incandescente F i cui elettroni, accelerati dalla d.d.p. V, colpiscono un bersaglio metallico T posto dentro un tubo a vuoto C.

In questo caso la relazione tra distanza interplanare d e dimensione della celle elementare a0 vale 50.5 d = a0

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