Lezione 4 - Statistica - - Università degli Studi di Cassino · Lezione 4 A. Iodice Indici di...
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Lezione 4 A. Iodice Indici di posizione la moda La classe modale La mediana Calcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarie Calcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze di variabili discrete Quartili, decili, percentili Calcolo indici di posizione per v. continue in classi Metodo di interpolazione lineare Lezione 4 Statistica Alfonso Iodice D’Enza [email protected] Universit` a degli studi di Cassino A. Iodice () Lezione 4 Statistica 1 / 28
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Lezione 4
A. Iodice
Indici diposizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo dellamediana nel casodi distribuzioniunitarie
Calcolo mediananel caso didistribuzioni difrequenze divariabili discrete
Quartili, decili,percentili
Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
Lezione 4Statistica
Alfonso Iodice D’[email protected]
Universita degli studi di Cassino
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Quartili, decili,percentili
Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
Outline
1 Indici di posizione
2 la modaLa classe modale
3 La medianaCalcolo della mediana nel caso di distribuzioni unitarieCalcolo mediana nel caso di distribuzioni di frequenze divariabili discrete
4 Quartili, decili, percentili
5 Calcolo indici di posizione per v. continue in classiMetodo di interpolazione lineare
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Calcolo mediananel caso didistribuzioni difrequenze divariabili discrete
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Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
Indici robusti (o di posizione): la moda
La moda di una distribuzione di frequenze si indica con Mo ecorrisponde alla modalita con la frequenza assoluta (relativa)piu alta
Esempio
Dato un collettivo di 10 unita statistiche, si consideri laseguente serie di osservazioni:
{1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 1}
risulta Mo = 4, dal momento che la modalita 4 presentecinque volte nel collettivo.
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Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
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Indici robusti (o di posizione): la moda
classe modale
E’ possibile calcolare la moda anche per variabili quantitativecontinue raggruppate in classi: se le classi sono di ampiezzadiversa si fa riferimento alla densita di frequenza e non allafrequenza di ciascuna classe.
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Indici robusti (o di posizione): la mediana
La mediana Me di una distribuzione corrisponde alla modalitaosservata sulla unita statistica centrale nella distribuzioneordinata delle osservazioni
variabile X discreta
Si considerino le osservazioni ordinate dal valore minimo x1 alvalore massimo xn, la mediana Me sar data da
Me =
{x(n+1
2) se n dispari
x(n2 )+x(n2 +1)
2 se n pari
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Metodo diinterpolazionelineare
La mediana per variabili discrete (dati indistribuzione unitaria)
Esempio (n dispari)
Dato un collettivo di 15 unita statistiche, si consideri laseguente serie di osservazioni:
{29, 7, 18, 15, 27, 23, 14, 1, 25, 13, 18, 24, 28, 22, 5}
che ordinata in modo crescente diventa
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
la mediana e data dalla modalita che occupa la posizionen+12 = 16/2 = 8, vale a dire Me = 18
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Metodo diinterpolazionelineare
La mediana per variabili discrete (dati indistribuzione unitaria)
Esempio (n pari)
Dato un collettivo di 12 unita statistiche, si consideri laseguente serie di osservazioni:
{34, 42, 1, 34, 19, 42, 25, 35, 21, 15, 9, 10}
che ordinata in modo crescente diventa
{1, 9, 10, 15, 19, 21, 25, 34, 34, 35, 42, 42}
la mediana data dalla semi somma delle modalita che occupanole posizioni n2 = 12/2 = 6 e n
2 + 1 = (12/2) + 1 = 7, vale adire Me = 21+25
2 = 462 = 23
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La mediana per variabili discrete (dati organizzatiin frequenze)
Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante unadistribuzione di frequenze (seriazione) l’individuazione dellamodalita assunta dall’unita statistica di posto centrale risultaagevole se, calcolate le frequenze relative cumulate, siconsidera la funzione di ripartizione F (x) (supponendo di averordinato le modalita di X in modo crescente) .
individuare la modalita x(i−1) tale che
F (x(i−1)) < 0.5
F (x(i)) ≥ 0.5
La mediana data da Me = xi: tra le ni unita statistiche chepresentano la modalita xi ci saranno quelle di posizionecentrale (o delle posizioni centrali se n dispari)
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Quartili, decili,percentili
Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
La mediana per variabili discrete (dati organizzatiin frequenze)
Se i dati della variabile X discreta sono noti mediante unadistribuzione di frequenze (seriazione) l’individuazione dellamodalita assunta dall’unita statistica di posto centrale risultaagevole se, calcolate le frequenze relative cumulate, siconsidera la funzione di ripartizione F (x) (supponendo di averordinato le modalita di X in modo crescente) .
individuare la modalita x(i−1) tale che
F (x(i−1)) < 0.5
F (x(i)) ≥ 0.5
La mediana data da Me = xi: tra le ni unita statistiche chepresentano la modalita xi ci saranno quelle di posizionecentrale (o delle posizioni centrali se n dispari)
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La mediana per variabili discrete (dati organizzatiin frequenze)
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La mediana per variabili discrete (dati organizzatiin frequenze)
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La mediana per variabili discrete (dati organizzatiin frequenze)
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La mediana per variabili discrete (dati organizzatiin frequenze)
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Quantili di una distribuzione
La mediana corrisponde alla modalita assunta dall’unita statistica che bipartiscela distribuzione ordinata delle osservazioni Il 50% delle unita statistiche si trovaalla sinistra della mediana, l’altro 50% alla sua destra. Analogamente possibiledefinire i seguenti quantili di una distribuzione.
primo quartile Q1: corrisponde alla modalita assunta dall’unita statisticaper la quale 25% delle unita statistiche presenta valori ad essa inferiori
secondo quartile Q2: coincide con la mediana
terzo quartile Q3: corrisponde alla modalita assunta dall’unita statistica perla quale 75% delle unita statistiche presenta valori ad essa inferiori
decili: le soglie sono in questo caso 10%, 20%, 30%, 40%, . . .
i percentili generalizzazione dell’indice di posizione a qualunque percentualedella distribuzione
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Quantili di una distribuzione
Regola generale per il calcolo:
ordinare le modalita in modo crescente
calcolare l’indice i come segue: i =(α100
)n dove α e il
percentile di interesse, n e il numero di modalita
se i e un intero, il valore corrispondente a α e la media trala posizione i e la posizione i+ 1
se i non e un intero, arrotondare per eccesso ottenendo i∗;il valore di interesse e quello corrispondente alla posizionei∗
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Quartili in distribuzione unitaria)
Esempio
Dato un collettivo di 15 unita statistiche, si consideri la seguente serie diosservazioni:
{29, 7, 18, 15, 27, 23, 14, 1, 25, 13, 18, 24, 28, 22, 5}
che ordinata in modo crescente diventa
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
calcolare i quartili, il 68o e il 20o percentile.
Q1 corrisponde a α = 25, n = 15;i =
(α
100
)n =
(25100
)15 = 3.75. Poiche i non e intero, si arrotonda per
eccesso, dunque i∗ = 4, il valore corrispondente alla posizione 4 e Q1=13.
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Quartili in distribuzione unitaria)
Esempio (2)
{1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29}
calcolare i quartili, il 68o e il 20o percentile.
Q2 corrisponde a α = 50, n = 15;i =
(α
100
)n =
(50100
)15 = 7.5. Poiche i non e intero, si arrotonda per
eccesso, dunque i∗ = 8, il valore corrispondente alla posizione 8 e Q2=18.
Q3 corrisponde a α = 75, n = 15;i =
(α
100
)n =
(75100
)15 = 11.25. Poiche i non e intero, si arrotonda per
eccesso, dunque i∗ = 12, il valore corrispondente alla posizione 12 eQ3=25.
α = 68, n = 15;i =
(α
100
)n =
(68100
)15 = 10.2. Poiche i non e intero, si arrotonda per
eccesso, dunque i∗ = 11, il valore corrispondente alla posizione 11 e 24.
α = 20, n = 15;i =
(α
100
)n =
(20100
)15 = 3. Poiche i e intero, si effettua la media dei
valori di posizione i = 3 e i+ 1 = 4; dunque 7+132
= 10.
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Calcolo percentili di variabili continue (suddivise inclassi)
Per calcolare il valore del percentile α si ricorre al calcolo dell’equazione della retta passante per due punti.
Retta passante per due punti
Dati due punti P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2), l’equazione dell’unica rettapassante per P1 e P2 e descritta dalla seguente equazione
(x2 − x1)× (y − y1)− (y2 − y1)× (x− x1) = 0
si ottiene la seguente equazione
x× (y2 − y1)− x1 × (y2 − y1) = (x2 − x1)× (y − y1)
se y1 6= y2 l’equazione puo essere riscritta in forma esplicita
x(y2 − y1) = x1 × (y2 − y1) + (x2 − x1)× (y − y1)
da cui
x = x1 ×(y2 − y1)(y2 − y1)
+(y − y1)(y2 − y1)
× (x2 − x1)
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Calcolo percentili di variabili continue (suddivise inclassi)
Retta passante per due punti (epilogo...)
x = x1 ×(y2 − y1)(y2 − y1)
+(y − y1)(y2 − y1)
× (x2 − x1)
la forma esplicita dell’equazione della retta passante per due punti e
x = x1 +(y − y1)(y2 − y1)
× (x2 − x1)
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Calcolo indici di posizione per variabili suddivise inclassi
Si consideri la distribuzione di frequenze relativa alla variabile peso inchilogrammi.
f.abs f.rel cum.f.abs F(x)fino a 50 4.00 0.20 4.00 0.20
(50,55] 3.00 0.15 7.00 0.35(55,60] 2.00 0.10 9.00 0.45(60,65] 2.00 0.10 11.00 0.55(65,70] 2.00 0.10 13.00 0.65(70,75] 3.00 0.15 16.00 0.80(75,80] 1.00 0.05 17.00 0.85(80,85] 0.00 0.00 17.00 0.85(85,90] 2.00 0.10 19.00 0.95
oltre 90 1.00 0.05 20.00 1.00
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Calcolo percentili di variabili continue (suddivise inclassi)
Si supponga di voler calcolare il 72mo percentile, ovvero siaα = 0.72.
Individuare graficamente il percentile α
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Calcolo percentili di variabili continue (suddivise inclassi)
Utilizzo dell’interpolazione
Una volta identificati i punti che delimitano il tratto della funzione dipartizione contenente l’α-mo percentile, si ricorre alla formalizzazionedella retta
x = x1 +(y − y1)(y2 − y1)
× (x2 − x1)
In questo, per α = 0.72 risulta
P1 = (x1 = 70, y1 = 0.65)
P2 = (x2 = 75, y2 = 0.8)
y = α = 0.72
x =?, e il valore del percentile che si vuole trovare
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Calcolo percentili di variabili continue (suddivise inclassi)
Utilizzo dell’interpolazione
Una volta identificati i punti che delimitano il tratto della funzione dipartizione contenente l’α-mo percentile, si ricorre alla formalizzazionedella retta
x = x1 +(y − y1)(y2 − y1)
× (x2 − x1)
sostituendo le quantita note
x = 70 +(.72− 0.65)
(0.8− 0.65)× (75− 70) = 72.33
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Calcolo percentili di variabili continue (suddivise inclassi)
approssimazione del valore di un generico percentile tramiteF (x) F. di ripartizione
xα ' x1 + (x2 − x1)α− F (x1)
F (x2)− F (x1)
x2 e la modalita per la quale F (x2) ≥ αx1 e la modalita per la quale F (x2) < α
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La mediana per variabili continue (suddivise inclassi)
Nel caso di variabili continue, la suddivisione in classi dellemodalita del carattere consente l’identificazione della classemediana: in tale classe cadra la modalita assunta dall’unitastatistica che occupa la posizione centrale della distribuzioneordinata delle modalita
approssimazione del valore Me (tramite F (x) F. di ripartizione)
Me ' xi−1 + (xi − xi−1)0.5− F (xi−1)F (xi)− F (xi−1)
xi la modalita per la quale F (xi) ≥ 0.5
xi−1 la modalita per la quale F (xi−1) < 0.5
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La mediana per variabili continue (suddivise inclassi)
Nel caso di variabili continue, la suddivisione in classi dellemodalita del carattere consente l’identificazione della classemediana: in tale classe cadra la modalita assunta dall’unitastatistica che occupa la posizione centrale della distribuzioneordinata delle modalita
approssimazione del valore Me (tramite F (x) F. di ripartizione)
Me ' xi−1 + (xi − xi−1)0.5− F (xi−1)F (xi)− F (xi−1)
xi la modalita per la quale F (xi) ≥ 0.5
xi−1 la modalita per la quale F (xi−1) < 0.5
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La mediana per variabili continue (suddivise inclassi)
Trovati i valori xi, xi−1, F (xi) e F (xi−1) possibile ricavare ilvalore approssimato di Me
Me 'xi−1 + (xi − xi−1)0.5− F (xi−1)F (xi)− F (xi−1)
=
= 80 + (100− 80)0.5− 0.3897
0.5247− 0.3897=
= 80 + 20× 0.817 = 96.3407
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La classe modale
La mediana
Calcolo dellamediana nel casodi distribuzioniunitarie
Calcolo mediananel caso didistribuzioni difrequenze divariabili discrete
Quartili, decili,percentili
Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
La mediana per variabili continue (suddivise inclassi)
Trovati i valori xi, xi−1, F (xi) e F (xi−1) possibile ricavare ilvalore approssimato di Me
Me 'xi−1 + (xi − xi−1)0.5− F (xi−1)F (xi)− F (xi−1)
=
= 80 + (100− 80)0.5− 0.3897
0.5247− 0.3897=
= 80 + 20× 0.817 = 96.3407
A. Iodice () Lezione 4 Statistica 23 / 28
Lezione 4
A. Iodice
Indici diposizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo dellamediana nel casodi distribuzioniunitarie
Calcolo mediananel caso didistribuzioni difrequenze divariabili discrete
Quartili, decili,percentili
Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
Proprieta della mediana
la mediana sempre un valore osservato su una delle unitastatistiche oggetto di studio
la mediana minimizza la somma degli scarti in valoreassoluto. Dato un valore c,
n∑i=1
|xi − c|
minima se (e solo se) c ≡Me.
resistenza della mediana ai valori estremi
A. Iodice () Lezione 4 Statistica 24 / 28
Lezione 4
A. Iodice
Indici diposizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo dellamediana nel casodi distribuzioniunitarie
Calcolo mediananel caso didistribuzioni difrequenze divariabili discrete
Quartili, decili,percentili
Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
Proprieta della mediana
la mediana sempre un valore osservato su una delle unitastatistiche oggetto di studio
la mediana minimizza la somma degli scarti in valoreassoluto. Dato un valore c,
n∑i=1
|xi − c|
minima se (e solo se) c ≡Me.
resistenza della mediana ai valori estremi
A. Iodice () Lezione 4 Statistica 24 / 28
Lezione 4
A. Iodice
Indici diposizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo dellamediana nel casodi distribuzioniunitarie
Calcolo mediananel caso didistribuzioni difrequenze divariabili discrete
Quartili, decili,percentili
Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
Proprieta della mediana
la mediana sempre un valore osservato su una delle unitastatistiche oggetto di studio
la mediana minimizza la somma degli scarti in valoreassoluto. Dato un valore c,
n∑i=1
|xi − c|
minima se (e solo se) c ≡Me.
resistenza della mediana ai valori estremi
A. Iodice () Lezione 4 Statistica 24 / 28
Lezione 4
A. Iodice
Indici diposizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo dellamediana nel casodi distribuzioniunitarie
Calcolo mediananel caso didistribuzioni difrequenze divariabili discrete
Quartili, decili,percentili
Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise inclassi)
Utilizzo dell’interpolazione per il calcolo dei quartili
In questo caso α = 0.25
x = x1 +(y − y1)(y2 − y1)
× (x2 − x1)
sostituendo le quantita note
x = 50 +(.25− 0.2)
(0.35− 0.2)× (55− 50) = 51.66 = Q1
A. Iodice () Lezione 4 Statistica 25 / 28
Lezione 4
A. Iodice
Indici diposizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo dellamediana nel casodi distribuzioniunitarie
Calcolo mediananel caso didistribuzioni difrequenze divariabili discrete
Quartili, decili,percentili
Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise inclassi)
Individuare graficamente il valore corrispondente ad α
A. Iodice () Lezione 4 Statistica 26 / 28
Lezione 4
A. Iodice
Indici diposizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo dellamediana nel casodi distribuzioniunitarie
Calcolo mediananel caso didistribuzioni difrequenze divariabili discrete
Quartili, decili,percentili
Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise inclassi)
Utilizzo dell’interpolazione per il calcolo dei quartili
In questo caso α = 0.75
x = x1 +(y − y1)(y2 − y1)
× (x2 − x1)
sostituendo le quantita note
x = 70 +(.75− 0.65)
(0.8− 0.65)× (75− 70) = 73.33 = Q3
A. Iodice () Lezione 4 Statistica 27 / 28
Lezione 4
A. Iodice
Indici diposizione
la moda
La classe modale
La mediana
Calcolo dellamediana nel casodi distribuzioniunitarie
Calcolo mediananel caso didistribuzioni difrequenze divariabili discrete
Quartili, decili,percentili
Calcolo indicidi posizioneper v.continue inclassi
Metodo diinterpolazionelineare
Calcolo percentili di variabili continue (suddivise inclassi)
Individuare graficamente il valore corrispondente ad α
A. Iodice () Lezione 4 Statistica 28 / 28
