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Fenomenologia del Modello Standard – Prof. A. Andreazza

Universalità delle interazioni deboli

Lezione 3

Universalità delle interazioni deboli

•  In questa lezione passeremo in rassegna i dati sperimentali sulla universalità delle interazione deboli: –  Inizialmente un dato sperimentale/ragionevole ipotesi –  Nel modello standard conseguenza della simmetria di gauge

•  Universalità delle interazioni dei leptoni: –  La teoria di Fermi applicata al decadimento del µ permette di definire una

costante di accoppiamento GF. –  Il decadimento del pione mostra l’equivalenza tra accoppiamenti deboli di

e e µ. –  Se applichiamo la stessa procedura al decadimento leptonico del τ,

otteniamo lo stesso valore della costante.

•  Non-universalità delle interazioni degli adroni: –  I valori ottenuti danno delle costanti di accoppiamento nei decadimenti

adronici: G(decadimenti β)~0.98 GF, G(decadimenti K)~0.22 GF

–  Recupero dell’universalità attraverso la matrice CKM

Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 3- A. Andreazza - a.a. 2014/15 2

Costante di Fermi e accoppiamenti al W

•  Teoria di Fermi

–  interazione puntuale tra correnti:

•  Modello Standard

–  scambio di un W:


per q2 <<MW2 GF

2=g 2

8MW2

M =GF2uνµγ

µ 1−γ5( )uµ"#

$% ueγµ 1−γ5( )uνe"#

$%

( )5122

gM u uµ

µν µ

γγ

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )5122 ee

g u uνν

γγ

−⎡ ⎤× ⎢ ⎥

⎣ ⎦

2 2W

gq M

µν×−

Determinazione della costante di Fermi

•  La larghezza di decadimento del µ definisce la costante di Fermi:

–  Ne permette il calcolo da quantità tutte ben misurate.

•  Calcoliamone il valore cerchiamo di capire quali sono i contributi degli errori sperimentali alla sua determinazione:

•  Il valore tabulato è: GF=1.1663787(6)x10-5 GeV-2

δGF/GF=5x10-7


Γ µ− → e−νeνµ( ) =GF2mµ

5

192π 3

GF =192π 3

mµ5

1τ µ

mµ =δGF

GF

=52δmµ

mµ

=

τ µ =δGF

GF

=12δτ µτ µ

=

GF =δGF

GF

=

PDG 2014

Da ricordare

•  Il decadimento del muone “definisce” la costante di Fermi con un’incertezza sperimentale di 5×10-7

•  La differenza tra il valore che abbiamo calcolato e quello effettivamente tabulato O(10-3) deriva da ordini successi nella teoria delle perturbazioni (il diagramma di Feynman che avete calcolate era solo il primo ordine):

–  ed effettivamente se correggiamo per questi fattori otteniamo:

–  il messaggio è che con incertezze di questo ordine si possono verificare sperimentalmente correzioni quantistiche ai fenomeni osservati!

Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 3- A. Andreazza - a.a. 2014/15

1τ µ

=GF2mµ

5

192π 3× 1−8

me2

mµ2

#

$%%

&

'((× 1+

258−π 2

2

#

$%

&

'(απ+

)

*++

,

-..

Spazio delle fasi: 0.99981295

Radiazione elettromagnetica:

0.99580184

GF =1.1638188×10−5 ×1.00219945=1.1663786×10−5 GeV-2

5

Il decadimento del π

•  La larghezza di decadimento del π è:

•  Confrontando le larghezze parziali per i decadimenti in elettrone e muone, otteniamo il rapporto delle costanti di accoppiamento per i due leptoni al W:


Γ π + → +ν( ) =GF ,2 fπ

2mπ3

8πm2

mπ21−m2

mπ2

!

"##

$

%&&

2

Γ π + → µ+νµ( )Γ π + → e+νe( )

=GF ,µ2 mµ

2 1−mµ2 mπ

2( )2

GF ,e2 me

2 1−me2 mπ

2( )2

GF ,µGF ,e

=me 1−me

2 mπ2( )

mµ 1−mµ2 mπ

2( )BR π + → µ+νµ( )BR π + → e+νe( )

GF ,µGF ,e

= ±

Anche in questo caso la differenza del 2% è effetto di correzioni di ordine superiore (Marciano e Sirlin, Phys. Rev. Lett. 71 3629)

Esercizio 3.1

La “costante di Fermi” del τ•  Si consideri il decadimento che ha larghezza:

•  Si verifichi che GF è la stessa che nel decadimento del µ.

τνντ ++→ −−ee

mτ =δGFGF

=52δmm

=

ττ =δGFGF

=12δττ=

BR = δGFGF

=12δBRBR

=

GF ,τGF ,µ

= ±


Γ τ − → e−νeντ( ) = GF2mτ

5

192π 3

Universalità dei leptoni

•  L’uguaglianza tra la costanti di accoppiamento dei leptoni è un dato sperimentale verificato con ottima precisione, –  aspetto fondamentale del Modello Standard, in quanto teorie di

gauge non abeliane hanno una sola costante di accoppiamento.

•  Una deviazione anche minima dall’universalità implicherebbe –  o la non validità della struttura di teoria di gauge del Modello

Standard (cosa cui nessuno è disposto a credere)

–  o la manifestazione di nuovi fenomeni di fisica che estendono il Modello Standard (ciò che si cerca ormai da decenni...)


Adesso andiamo a considerare le interazioni deboli degli adroni: analizzando i fondamenti sperimentali che hanno portato

alla formulazione della matrice CKM

Decadimenti beta “speciali”

9

•  Il primo processo in cui si potrebbe studiare la forza dell’accoppiamento alla corrente adronica è il decadimento β.

•  Nella teoria del decadimento beta si cerca il più possibile di ignorare il calcolo degli elementi di matrice nucleari. La motivazione è che il loro calcolo richiede la conoscenza completa della funzione d’onda dei nuclei.

•  Esiste però una classe di decadimenti in cui tale elemento di matrice può essere calcolato con una precisione sufficiente.

•  Transizioni di Fermi superpermesse: –  0+→0+,

–  tra nuclei che sono parte di un multipletto di spin isotopico;

•  tutte le transizioni studiate sono –  β+,

–  in multipletti con T=1.

•  Scrivendo la corrente adronica in termini di operatori sui quark, l’elemento di matrice è dato da ( )

( ) ( ) ( )

152

152

4, 1 1 ,

21 e e

GM A Z d u A Z

u p v p

β µ

ν ν µ

γ γ

γ γ

= − −

× −


Ipotesi CVC

•  Il problema di calcolare elementi di matrice tra stati adronici a priori richiede di tenere conto degli effetti delle interazioni forti.

•  Tuttavia gli operatori: proporzionali alle correnti elettriche dei quark, non possono venire modificati dalle interazioni forti (i loro elementi di matrice dipendono solo dai numeri quantici degli stati e non dai dettagli delle funzioni d’onda).

•  In particolare, non viene alterato dalle interazioni forti il valore di aspettazione di:

•  Ipotesi Corrente Vettoriale Conservata (CVC): –  l’operatore fa parte di un tripletto di isospin di correnti:

–  se l’isospin è una buona simmetria, allora, come l’elemento di T3=0 è protetto dalle interazioni forti, cosí lo devono essere anche le correnti con T3=±1.

•  Si noti che: –  non esiste un analoga considerazione per le correnti con γ5; –  si applica lo stesso ragionamento per SU(3) di sapore, aggiungendo il quark s,

ma la simmetria SU(3) è meno buona, quindi lo sono anche i risultati.

dduu µµ γγ

( )12u u d dµ µγ γ−

( ) ( ) ( ) ( )13 3 32

1, 1 1, 0 1, 1T T u d T T u u d d T T d uµ µ µ µγ γ γ γ= = = = − = = −


Elemento di matrice nucleare

•  In transizioni 0+ →0+, il termine γ5 non contribuisce.

•  Approssimazione non relativistica –  Per i decadimenti nucleari, in cui

l’energia disponibile conta solo la componente 0 del tetravettore.

–  In questa approssimazione, l’operatore si traduce semplicemente nell’operatore di isospin T-, che abbassa di uno la componente T3.

•  Ipotesi CVC –  l’elemento di matrice della

corrente è uguale all’elemento di matrice dell’operatore di isospin.

L’elemento di matrice risulta quindi

dove i fattori proporzionali alle masse dei nuclei vengono dalla normalizzazione della funzione d’onda e, in accordo con l’approssimazione non relativistica, si è posto:

( ) ZAudZA ,11, 521 γγ µ −−

,,1,, ZAZAZA mmmQ <<−= −

12, 1 ,A Z T A Z−−

EA,Z ≈ mA,Z EA,Z−1 ≈ mA,Z−1.

1,)1()1(,

1,)1()1(,

,,

,)1(,

3

2

−−++=

++−+=

=

+=

−

+

mjmmjjmjT

mjmmjjmjT

mjmmjT

mjjjmjTAZIONE DEGLI OPERATORI DI SU(2):

, , 11 2 2 2,2 A Z A Zm m −=


Gli altri ingredienti

•  La componente 0,0 del tensore leptonico è: •  Il fattore di spazio delle fasi è:

•  usiamo le componenti spaziali della δ(4) per integrare sul momento del nucleo

•  e la componente temporale per integrare sull’energia del neutrino, si noti che possiamo trascurare l’energia cinetica portata via dal nucleo O(Q2/2mA,Z-1)

•  ed infine, siccome l’elemento di matrice dipende solo da cosθνe, possiamo integrare su tutte le altre variabili angolari:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 1,

31,

3

3

3

3

3

1,,44

2222222

−

−− −−−=

ZA

ZA

e

eeZAZA E

pdEpd

EpdppppdS

πππδπ

ν

νν

( ) ( ) ( )ν

ννννδ

π Eddpp

EddppEEEE

EdS

e

eeeeZAZA

ZA 22221 22

1,,1,

5ΩΩ

−−−= −

−

( ) ( ) ( )ee

eee

ZA

EQEdEddpp

mEdS −=Ω

Ω=

−

ννν

π 242

2

1,5

( )eeeZA

e EQEddEmpEdS −==

−νν

ν θπ

cos32 1,

3

( )0,0 2 cose e e eL E E p pν ν νθ= +


…mettendo tutto assieme

•  La larghezza differenziale è data da

•  Integrando su cosθνe si ottiene lo spettro dell’elettrone

•  e la larghezza di decadimento diventa

–  Per avere un’idea dell’ordine di grandezza del fattore f, possiamo calcolare l’integrale nell’approssimazione di elettrone relativistico (ovvero me≈0) e trascurando le correzioni coulombiane:

( ) ( )2

23 1 cos cos

2 e e e e e e e

Gp E Q E dE dβ

ν νβ θ θπ

= − +

( ) ( )2

23 ,e e e e e

Gp E Q E F Z E dEβ

π= −

( ) ( ) ( )2 2def.2 53 3

1 , ,e

Q

e e e e e em

G Gp E Q E F Z E dE m f Z Qβ β

τ π π= Γ = − =∫

( )30

5

0

225 QdEEQEfmQ

eeee =−≈ ∫

Correzione dovuta alle interazioni coulombiane tra l’elettrone e l’atomo (calcolabili numericamente)

( )( )2, , 1 3

, , 1

1 8 2 2 (1 cos ) cos ( )2 32

eA Z A Z e e e e e e

A Z A Z

E pd G m m E E dE d E Q Em m

νβ ν ν ν νβ θ θ

π−−

Γ = + = −

( ), eF Z E×


Confronto con i dati sperimentali

•  Nella maggior parte dei casi, il decadimento 0+ → 0+, è in competizione con decadimenti su altri stati e con decadimenti per cattura elettronica, quindi la larghezza di decadimento si deve ricavare dalla vita media, tenendo conto di questi fattori:

•  Infine, invece della vita media, è tradizione usare il tempo di dimezzamento:

•  La costante di Fermi nel decadimento β si ricava dunque a partire

dal valore misurato ft:

Γ 0+ → 0+( ) = 1τ

BR1+PEC

2ln2/1 τ=t

ft = f Z ,Q( ) t1/2BR 1+ PEC( ) = π3 ln 2Gβ2me

5

Γ

frazione di decadimenti β in 0+

frazione di decadimenti per EC


Confronto con i dati sperimentali (Phys. Rev. C79 (2009) 05552)


Correzioni e-nucleo e struttura nucleare.

Determinazione di GF

•  Utilizzando i valori della tabella otteniamo il valore

•  che è chiaramente incompatibile con quello dal decadimento del muone:

•  Alcuni spunti di riflessione: –  EC viene calcolata. Perché è difficile da misurare sperimentalmente? –  Perché è più difficile usare i decadimenti:

•  n→p+e-+ν ? •  π+→π0+e++ν ?

Gβ = 1.14962± 0.00015( )×10−5GeV-2

GF = 1.1663786± 0.0000006( )×10−5GeV-2


Decadimenti del quark s

( ) ( )520

3192s K

eG m m

K e ππ νπ

+ − −Γ → + + =

•  Nello studio dei decadimenti deboli del quark s, si segue lo stesso approccio del decadimento β, in cui si cerca di trovare transizioni in cui sia possibile calcolare gli elementi di matrice tra gli stati iniziale e finale.

•  I calcoli sono meno affidabili perché si tratta di applicare l’ipotesi CVC ad SU(3) di sapore, che è violata a causa della massa del quark s.

•  Per considerare solo ordini di grandezza, possiamo provare a limitarci al modello a “spettatore”: il quark s decade, mentre il suo compagno nel mesone sta a guardare: mK −mπ = 497.6−139.6 MeV

τKL

0 = 5.116±0.021( )×10−8 s

BR KL0 → π +e−ν e( ) = 40.55±0.11( )%5 20.23 10 GeV-

sG−≈ ×

approssimazione per ms


Decadimenti del quark s

•  Il modello a quark spettatore non permette di fare previsioni quantitative: bisogna tenere in conto in qualche modo delle funzioni d’onda.

•  Esercizio: applicare lo stesso procedimento al decadimento analogo del K-.

–  La ragione della differenza la possiamo trovare applicando SU(3) di sapore all’ottetto dei mesoni pseudoscalari.

–  Oltre al tripletto di correnti di isospin, si possono definire altri due tripletti di correnti conservate secondo CVC:

–  Questo deriva dal fatto che in SU(3) esistono tre sottogruppi SU(2).

–  Applicando le formule di SU(2), abbiamo che i decadimenti deboli considerati sono mediati dagli elementi di matrice:

T3

S

π+ π- π0

η η’

K-

K+ K0

K0

Q=T3+S/2

( ) ( )1 13 32 2

U u s V d s

U u u s s V d d s s

U s u V s d

µ µ

µ µ µ µ

µ µ

γ γ

γ γ γ γ

γ γ

+ +

− −

= =

= − = −

= =

0

0

1

2

U K

U K

π

π

+ +

+ −

∝

∝


L’angolo di Cabibbo

•  Facendo le cose per bene si ottiene:

•  I dati sperimentali ci forniscono l’informazione che

•  che può anche venire riscritta introducendo un angolo θC (angolo di Cabibbo):

•  Ciò permette di conservare l’universalità delle interazioni deboli assumendo che la corrente adronica sia della forma:

GsGF

= 0.2252±0.0009

Gβ2 +Gs

2 =GF2

uγ µ 12 1−γ5( ) "d = uγ µ 1

2 1−γ5( ) cosθcd + sinθcs( )

Gβ/GF Gs/GF

GF2 cos2θC +GF

2 sin2θC =GF2


Flavour Changing Neutral Currents

•  Esiste tuttavia un altro input sperimentale di cui tenere conto:

•  che possiamo esprimere anche come rapporto di larghezze di decadimento:

•  Questo ci dice per prima cosa che non esiste una corrente adronica debole del tipo , derivante dal termine , altrimenti ci aspetteremmo dei rapporti tra le larghezze come:

( )0 96.84 0.11 10LBR K µ µ+ − −→ = ± ×

( )( )

100

103 −++

−+

×=→Γ

→Γ

µνµµµ

KKL

( )152sin cos 1C C d sµθ θ γ γ−

( )( )∝→Γ

→Γ++

−+

µνµµµ

KKL0

2

2

)1(O=

( )152 1d dµγ γʹ′ ʹ′−


Flavour Changing Neutral Currents

•  Le cose non vanno per niente bene neanche con la corrente di Cabibbo

•  in quanto lo scambio di un quark u può comunque mediare l’annichilazione della coppia quark-antiquark del K0:

( )( )sdu cc θθγγ µ sincos1 521 +−

( )( )∝→Γ

→Γ++

−+

µνµµµ

KKL0

2

2

)10()( 44 −== OgO

g sinθc g

g g sinθc g cosθc


Meccanismo di Glashow-Iliopolous-Maiani

•  Si ipotizza l’esistenza di un nuovo quark c •  La corrente adronica è descritta da una matrice di mixing:

•  nel processo di annichilazione deve intervenire anche il diagramma con il quark

c, che interferisce distruttivamente con il quark u

•  se le masse di u e c fossero uguali ci sarebbe una cancellazione esatta tra i due diagrammi.

•  Di fatto la differenza di massa produce uno sbilanciamento proporzionale a che riporta il valore della larghezza di decadimento in una regione comparabile con quella osservata.

u c( )γ µ 12 1−γ5( )

cosθc sinθc−sinθc cosθc

"

#

$$

%

&

''

ds

"

#$

%

&'

g sinθc

g cosθc

g cosθc -g sinθc +

( ) )10( 4222 −=− Ommm Wuc


GIM e le oscillazione del K0

•  Le oscillazione del K0 sono descritte dall’hamiltoniana efficace:

–  I termini m12 sono dovuti a diagrammi a “scatola”.

–  Le interazioni forti sono inglobata nei due parametri •  fK O(100 MeV) •  BK O(1)

•  Predizione della massa del charm (Gaillard e Lee, 1972):

m12 ≈GF2 fK

2mK

12π 2 BK VqsVqd*( )

2mq2

ΔmK ≈ 2m12 ≈4 mc

2 −mu2( )cos2θc

3πmµ2

GF2 fK

2 sin2θcmKmµ2

8π

( )νµ++ →Γ KFenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 3- A. Andreazza - a.a. 2014/15 23

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Γ−Γ−

Γ−Γ−=

00*12

*12

121200

22

22imim

imimH

Matrice Cabibbo-Kobayashi-Maskawa

•  Aggiungendo la terza famiglia di quark ci ritroviamo ad avere una matrice complessa 3x3 che generalizza la matrice con l’angolo di Cabibbo:

•  L’unitarietà della matrice di mixing descrive due osservazioni sperimentali: –  universalità dei decadimenti deboli: ogni quark può essere visto come accoppiato ad

una mistura degli altri con la corretta normalizzazione.

–  soppressione delle FCNC, ottenuta attraverso il meccanismo di GIM.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

tbtstd

cbcscd

ubusud

CKM

VVVVVVVVV

V ( ) ( ) c.c. 1 521

had +⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

bsd

VtcuJ CKMγγ µµ

∑= tcui ,,

( ) 0*** ==++∝ +dstdtscdcsudus VVVVVVVV

( ) 1*** ==++ +bbtbtbcbcbubub VVVVVVVV


Conteggio dei parametri

•  Determiniamo il numero di parametri che descrivono la “fisica” della matrice CKM: –  una generica matrice complessa NxN ha 2N2 parametri reali –  le condizioni di unitarietà danno:

•  N vincoli reali (diagonale principale) •  ½ N(N-1) vincoli complessi (annullamento dei termini non diagonali)

–  la fisica non cambia se ridefiniamo le fasi dei quark •  2N-1 parametri non fisici (una fase globale non cambia la matrice!)

–  il totale di parametri liberi diventa quindi (N-1)2

•  ½ N(N-1) angoli di rotazione reali; •  ½ (N-1)(N-2) fasi complesse.

•  Per N=2 abbiamo un unico parametro, l’angolo di Cabibbo •  Per N=3 abbiamo tre angoli di mixing ed una fase complessa:

–  possibilità di descrivere la violazione della simmetria CP


Appendice: parametrizzazione di Wolfenstein

•  Tra le possibili parametrizzazioni della matrice CKM, quella dovuta a Wolfenstein mette in evidenza la struttura gerarchica osservata sperimentalmente: –  il mixing tra le famiglie diminuisce con la

generazione; –  è tanto più piccolo, quanto più ci si

allontana dalla diagonale principale.

•  Il “parametro d’ordine” dello sviluppo è

•  gli altri termini sono di ordine 1:

•  la fase complessa, si traduce in un valore non nullo di η.

cθλ sin=

4.0

8.022 ≈+

≈

ηρ

A

( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

+−

=

112

1

21

23

22

32

ληρλ

λλ

λ

ηρλλλ

AiA

A

iA

VCKM


Appendice: Determinazione degli elementi CKM

•  Vud –  decadimenti deboli superpermessi

•  Vus –  decadimenti Ke3 (K0,+→π-,0+e++ν)

•  Vcs –  decadimenti diretti W→cs

–  Esercizio: determinare la vita media del c


27

0005.09738.0 ±=udV

0026.02200.0 ±=usV

( )( )

013.0996.0

3 2

±=

=→Γ

→Γ

cs

cs

V

VW

csWµν

Appendice: Determinazione di Vcd

•  Vcd viene determinato da deep inelastic scattering di neutrini:

–  si sfrutta il fatto che i decadimenti del charm sono la principale fonte di eventi con due muoni nello stato finale;

–  la dipendenza dalla funzione di struttura si può ridurre confrontando diversi processi e diversi bersagli.


28

funzioni di struttura per il quark d

Vcd BR(c→µνX)

012.0224.0 ±=cdV

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