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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

La stranezza

Lezione 12

La “stranezza”

•  Esperimenti coi raggi cosmici dimostrarono anche la presenza di altre nuove particelle,

•  confermate da esperimenti agli acceleratori. •  Vennero chiamate strane:

–  Prodotte con sezione d’urto forte –  Decadimento con tempi tipici delle interazioni deboli

•  Si osservava che venivano sempre prodotte in coppie: –  Un nuovo numero quantico: stranezza –  Conservato nelle interazioni forti –  Violato nelle interazioni deboli

•  Consistente con l’introduzione di un nuovo quark: s –  Le interazioni deboli di questo quark apriranno la strada alla

sistematizzazione delle interazioni deboli degli adroni.

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 12 A. Andreazza - a.a. 2015/16 2

Particelle strane

•  Nell’esposizione di camera a nebbia a raggi cosmici, si misero in evidenza decadimenti di nuove particelle. –  Si poteva ricavare il momento dalla curvatura in campo magnetico –  Ma non sufficiente capacità di identificare la massa


Rochester e Butler 1947

Decadimento di una particella carica

Decadimento di una particella neutra

Esercizio


P+

P-

θ

•  P+ = 340 ± 100 MeV

•  P- = 350 ± 150 MeV

•  θ = 66.6o

•  PV = 600. ± 300 MeV

•  P+ = 770. ± 100 MeV

•  θ = 161.1o

PV

P+

θ

Pn

PnT P+T

•  Calcolare la massa invariante delle particelle che decade assumendo che le particelle prodotte siano note:

•  cariche: p, µ, π±

•  neutre: n, ν, π0 •  Verificare se alcune delle combinazioni possono corrispondere a masse già note.

Particelle strane

•  La sfida successiva era costruire rivelatori in grado di identificare senza ambiguità la massa delle particelle osservate: –  Esperimenti con camere a nebbia in alta montagna (es.: Pic du Midi) –  Emulsioni nucleari in palloni


Camera a nebbia


•  Il momento si misura tramite il raggio di curvatura •  β, o γβ, dalla Perdita di energia nella materia per ionizzazione: formula di

Bethe-Bloch

–  K = 0.307 MeV cm2

–  z carica della particella

•  Per gli eventi che stiamo discutendo la regione importante è quella rela- tiva a velocità “basse”

p =mβ1− β 2

= mγβ

−dEdx

= Kz2 ZA1β 2

×12ln 2mec2β 2γ 2Tmax

I− β 2 −

δ2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Emulsioni nucleari


densità dei grani

−dEdx

= Kz2 ZA1β 2

...[ ]

θ

θrms =13.6MeV

β pz x

Xo

Particelle strane


•  Numerose nuove particelle •  Le nuove particelle sono pesanti: hanno diversi decadimenti possibili

•  Mesoni:

•  Iperoni:

•  Vite medie dell’ordine di 10-8-10-10 s: –  Decadimenti deboli

•  Dal tasso di produzione si poteva evincere una sezione d’urto in alluminio (involucro della camera a nebbia) dell’ordine del mb –  La produzione è un processo forte

K+ → π +π +π −

K+ → π +π 0

K+ → µ+ν

mK+ = 493.677 MeV K 0 → π +π −

mK 0 = 497.646 MeV

Λ0 → pπ −

Σ+ → pπ 0

Σ± → nπ ±

Ξ− → Λ0π −

mΛ = 1115.683 MeVmΣ+

= 1189.37 MeV

mΣ−

= 1197.449 MeV

mΞ−

= 1321.31 MeV

•  Prima di procedere nella nostra discussione sulle particelle strane analizziamo la conservazione del numero barionico

•  Il decadimento b del neutrone: n → p e- ν –  Abbiamo un nucleone nello stato iniziale e uno nello stato finale

•  Sorge la domanda: perchè non esiste il decadimento p → e+ π0

•  Oppure: perchè non esiste la reazione e- p → π+ p-

•  La vita media del protone ( τp > 1.6 ×1033 anni ) è il risultato degli studi più recenti

•  L’esperimento consiste nel tenere una grande massa “sotto osservazione” •  Ad esempio 1 cm3 di ferro contiene ρ/A NAZ = 2.2 × 1024 nuclei/cm3

–  Un esperimento sensibile richiede pertanto: elevata massa (1000 ton) e basso fondo (caverne, miniere)

•  L’elevato valore di τp suggerisce che il protone sia stabile •  Dal momento che il neutrone decade in protone e i decadimenti degli iperoni

portano sempre ad un protone si stabilisce che: –  Gli Iperoni sono Barioni –  Il Numero Barionico è conservato: in una reazione o decadimento il numero dei

nucleoni è costante

Il numero barionico


Produzione associata


•  Nel 1953 il gruppo di Fowler a Bro-okhaven, utilizzando un fascio di π- di 1.5 GeV dell’acceleratore Cosmotron osservò il seguente evento

•  L’evento fu interpretato come

•  L’importanza di questo evento fu la dimostrazione della produzione asso-ciata delle particelle strane

•  Nello stesso esperimento il gruppo di Fowler osservò anche il decadimento

•  L’osservazione della produzione asso-ciata porta all’ipotesi che ci sia una quantità conservata: –  la stranezza

p π-

π-

π+

Λ0

K0

π-

π − p → Λ0 K 0

π + π −

p π −

π − p → Σ− K+

n π −

Isospin e stranezza: iperoni

•  Per spiegare tutte le osservazioni, Gell-Mann e Nishijima proposero: –  un numero quantico additivo: la stranezza –  nelle interazioni forti la stranezza è conservata –  nelle interazioni deboli la stranezza non è

conservata: |ΔS|=1 nei decadimenti

•  Includendo la stranezza, la relazione per la carica deve venire modificata:

–  dove si è introdotta l’iper-carica Y=B+S


Q =B2+S2+ I3 =

Y2+ I3

Q B S T T3 p 1 1 0 1

2 12

n 0 1 0 12 1

2- Λ0 0 1 -1 0 0 Σ+ 1 1 -1 1 1 Σ0 0 1 -1 1 0 Σ- -1 1 -1 1 -1

!- -1 1 -2 12 1

2-

!0 0 1 -2 12 1

2

Isospin e stranezza: mesoni


•  Innanzitutto consideriamo la reazione –  Assumendo che nella interazione forte

la stranezza sia conservata dobbiamo concludere che il mesone K0 ha S = +1

•  Per quanto riguarda l’Isospin assumiamo che esso sia conservato nella reazione di produzione –  Deve essere semintero –  Assumiamo che il K0 abbia Isospin T = ½

•  La formula per la carica applicata al K0 implica che esso è il membro T3 = -½ di un doppietto –  Il membro T3 = +½ deve avere carica +1 ed è

pertanto il mesone K+

•  Il mesone K- è l’antiparticella del K+

–  Anch’esso deve avere Isospin T = ½ –  Deve esserci anche un partner neutro: K0

•  Le particelle K0 e K0 sono distinte: hanno stranezza differente

•  In definitiva i numeri quantici dei mesoni sono

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0 0 −1 1S

12

0 0

1 0 ?

p Kp- Æ Lπ − p → Λ0 K 0

1 12 0 1

2T

Q =B2+S2+T3 → 0 = 1

2+T3

Q B S T T3 π+ 1 0 0 1 1 π0 0 0 0 1 0 π- -1 0 0 1 -1 K+ 1 0 1 1

2 12

K0 0 0 1 12 1

2- K0 0 0 -1 1

2 12

K- -1 0 -1 12 1

2-

Decadimenti delle particelle strane


•  Le particelle strane decadono tramite interazione debole violando la conservazione della stranezza

•  Le prime particelle strane studiate sono anche le più leggere –  Possono decadere soltanto in particelle “normali” con S = 0 –  La violazione della stranezza proibisce che l’interazione sia forte

•  Infatti i seguenti decadimenti

–  Sarebbero permessi dalla conservazione della stranezza –  Sono proibiti dalla conservazione della energia

•  Il decadimento

•  è invece permesso sia dalla conservazione della stranezza che dalla conservazione dell’energia –  avviene tramite interazione elettromagnetica

Λ → N K Σ → N K Ξ → Λ K

Ξ → Σ K Σ → Λ π

Σ0 → Λ0 γ

Interpretazione nel modello a quark


•  Il modello a quark si può estendere con l’aggiunta di un nuovo quark: –  s: stranezza S=-1, B=1/3, Y=-2/3, I=I3=0 ⇒ Q = -1/3 –  massa ms ~ mK-mπ = 360 MeV

•  Gli adroni sono stati legati dei 3 quark u, d, s •  Come esempio notiamo la composizione dei seguenti adroni:

•  Veniamo alla reazione π-p → Λ0 K0

–  I quark u e u si annichilano tramite interazione forte (gluone) e producono successivamente quarks s e s

•  Per il decadimento Λ0 → π-p –  Il quark s si trasforma in u tramite

interazione debole (emissione W-)

p = uud( )

Λ = uds( )

π − = ud( )

K 0 = ds( )

ud

duu

dus

sd

p

π − K 0

Λ0g

ud

dus

duu

π −

Λ0

W -

p

SU(3) di sapore

•  Reiteriamo l’idea che le interazioni forti sono independenti dalla carica dei quark: –  sia elettrica –  che di ipercarica

•  Invarianza rispetto a rotazione nello spazio di tre stati |u⟩, |d⟩, |s⟩ –  gruppo SU(3)

•  La massa delle particelle strane ≫ particelle ordinarie: –  la simmetria è meno buona di quella di isospin


Y

T3 12− 12

13

− 23

ud

s

Y

T3

12− 12

− 13

23

u d

s

Gruppi SU(N)


•  Per definizione, una matrice n×n del gruppo U(N) soddisfa la relazione

•  L’equazione precedente implica n×n rela-zioni fra gli n×n elementi di matrice

•  Pertanto dei 2×n×n parametri reali solo 2×n×n - n×n = n×n sono indipendenti

•  La richiesta poi che il determinante sia 1 (cioè appartenga al gruppo SU(N) ) riduce di un’altra unità questo numero

•  Pertanto i parametri indipendenti dei 2 gruppi più importanti per la fisica delle particelle sono

–  SU(2) 3 parametri reali –  SU(3) 8 parametri reali

•  Veniamo alle rappresentazioni: –  Una rappresentazione è un omomorfi-

smo di un gruppo con un gruppo di matrici definite su uno spazio vetto-riale di dimensione n

–  I fisici spesso chiamano rappresenta-zione i vettori dello spazio vettoriale

•  Tutti i gruppi hanno una rappresentazione banale di dimensione 1 che corrisponde all’elemento 1

•  La dimensione della rappresentazione di dimensione più piccola successiva dipende dal gruppo –  SU(2): è realizzata su uno spazio

vettoriale di dimensione 2 •  Coincide con la rappresentazione

coniugata delle matrici U* •  Una sola rappresentazione: 2

–  SU(3): è realizzata su uno spazio vettoriale di dimensione 3

•  Non coincide con la rappresenta-zione coniugata delle matrici U*

•  Due rappresentazioni: 3 e 3

UU† = I

La rappresentazione 3 di SU(3)


•  Le 8 matrici della rappresentazione 3 (matrici di Gell-Mann) sono:

•  La generica rotazione:

•  Le regole di commutazione:

•  Si definiscono gli operatori T3 e Y

•  Comportamento sulla base λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

λ4 =0 0 10 0 01 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

λ7 =0 0 00 0 −i0 i 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

λ8 =13

1 0 00 1 00 0 −2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Y = 13λ8 T3 = 1

2 λ3

u =100

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟d =

010

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟s =

001

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

T3 u = 12 u

T3 d = − 12 d

T3 s = 0 s

Y u = 13 u

Y d = 13 d

Y s = − 23 s

Y

T3 12− 12

13

− 23

ud

s

⌢U = exp i αn

⌢λn

n=1

8

∑⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⌢λi,⌢λ j⎡⎣ ⎤⎦ = 2ifijk

⌢λk

ijk fijk ijk fijk ijk fijk 123 1 246 1

2 367 − 12

147 12 257 1

2 458 32

156 − 12 345 1

2 678 32

Operatori di SU(3)


•  Abbiamo finora visto il comportamento degli stati per gli operatori T3 e Y

•  Definiamo per comodità gli operatori

•  Gli operatori F1, F2, F3 ≡ T3 hanno le stesse regole di commutazione dell’isospin

•  fijk è totalmente antisimmetrico e f123 = 1 e coincide pertanto con εijk

•  Infatti riconosciamo le matrici di Pauli

•  Definiamo pertanto gli operatori di innal-zamento e abbassamento

•  In modo analogo si definiscono gli operatori

•  Le regole di commutazione fra questi nuovi operatori sono facilmente derivabili

•  In particolare le regole

•  permettono di calcolare il comportamento degli operatori V± e U± nel piano Y-T3

•  Ad esempio U+ applicato ad un autostato di T3 con autovalore α produce uno stato con autovalore α - ½

•  Analogamente U+ applicato ad un auto-stato di Y produce uno autostato con un autovalore aumentato di una unità

Fi = 12 λi

λ1 =0 1 01 0 00 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

T± = F1 ± iF2

V± = F4 ± iF5 U± = F6 ± iF7V3 = 1

2 F3 + 3F8( ) U3 = 12 −F3 + 3F8( )

Fi,Fj[ ] = ifijkFk

T3,T±[ ] = ±T± Y,T±[ ] = 0T3,U±[ ] = ∓ 12U± Y,U±[ ] = ±U±

T3,V±[ ] = ± 12V± Y,V±[ ] = ±V±

= U+T3 − 12U+( ) αT3U+ α

= α − 12( )U+ α=αU+ α − 1

2U+ α

La rappresentazione 3* di SU(3)


•  Analogamente si può studiare la rappre-sentazione coniugata in cui generatori sono

•  Riportiamo per brevità solo gli operatori λ3 e λ8

•  Definiamo nuovamente

•  Studiamo infine l’effetto dei generatori diagonali sulla base

•  Abbiamo

•  Rappresentiamo sul piano Y-T3 i 3 stati

⌢λn →−

⌢λn*

−λ3* =

−1 0 00 1 00 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−λ8* =

13

−1 0 00 −1 00 0 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Y = − 13λ8* T3 = − 12 λ3

*

u =100

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟d =

010

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

s =001

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

T3 u = − 12 u

T3 d = 12 d

T3 s = 0 s

Y u = − 13 u

Y d = − 13 d

Y s = 23 s

Y

T3

12− 12

− 13

23

u d

s

Ottupletto mesonico


•  Nel modello a quark i mesoni sono uno stato legato di un quark e di un antiquark

•  Per i 3 “sapori” (flavors) esistono 9 possibili combinazioni q + anti-q

•  Gli stati con I3=Y=0 sono combinazioni lineari che hanno i numeri quantici corrispondenti a stati fisici:

•  In realtà, siccome SU(3) è rotta dalla massa di s gli stati reali sono combinazioni di questi.

•  Specialmente nel caso dei mesoni vettoriali 1--

13uu + dd + ss( ) =η '

16uu + dd − 2ss( ) =η

12uu − dd( ) = π 0 T =1 T3 = 0

T = 0 T3 = 0

T = 0 T3 = 0

12uu − dd( ) = ρ0, 1

2uu + dd( ) =ω

ss = φ

Singoletto di SU(3)

Classificazione dei barioni

•  Anche nel caso dei barioni si possono classificare gli stati possibili in termini di I3 ed ipercarica: Y=(B+S)/2

•  Gli stati fondamentali corrispondono ad un ottetto ed un decupletto.


La scoperta del barione Ω-

•  Un significativo successo del modello a quark fu la predizione dell’esistenza di uno stato (sss): –  B=1, I=0, S=-3, Q=-1 –  Scoperto nel 1964 in un esperimento in camera a bolle


Decadimento dei mesoni K

•  Applichiamo lo stesso approccio del decadimento β ai mesoni K:

•  Nel caso Q≫me, si ha che

•  Nel caso del decadimento

–  approssimazione peggiore di quella per i decadimenti super-permessi:

–  non potrei trascurare i fattori di forma f(q2) –  simmetria rotta da ms

•  Da cui otteniamo


mK −mπ = 497.6−139.6 MeV

τKL

0 = 5.116±0.021( )×10−8 s

BR KL0 → π +e−νe( ) = 40.55±0.11( )%

Γ K 0 → π + + e− +νe( ) =Gs2 mK −mπ( )

5

60π 3

λ =GF2 M fi

2mec

2( )5

2π 3!f Z,Q( )

mec2( )5 f Z,Q( ) ≈Q5

30K 0 → π + + e− +νe

M fi ≈ π + V+K 0 =1

Usando queste semplificazioni: Molto minore di GF.

Gs = 0.13×10−5GeV−2

Q valore

L’angolo di Cabibbo


•  Facendo un trattamento accurato dei fattori di forma nei decadimenti delle particelle strane, si ottiene:

•  Dai decadimenti β, abbiamo visto che •  I dati sperimentali ci forniscono l’informazione che

•  che può anche venire riscritta introducendo un angolo θC (angolo di Cabibbo):

•  Ciò permette di conservare l’universalità delle interazioni deboli

assumendo che il quark che partecipa alle interazioni deboli sia:

Gs /GF = 0.2252±0.0009

Gβ2 +Gs

2 =GF2

u↔ ʹd = cosθc d + sinθc s

Gβ/GF Gs/GF

GF2 cos2θC +GF

2 sin2θC =GF2

Gβ /GF = 0.98563±0.00013

Il quarto quark

•  La teoria di Cabibbo presenta una forte asimmetria tra il quark u da una parte e la combinazione lineare di d ed s dall’altra:

•  Ciò portò a supporre l’esistenza di un quarto quark, il charm (c) –  Nuovo numero quantico, C: conservato nelle interazioni forti ed elettromagnetiche,

violato nelle deboli –  Y=B+S+C e Q(c)=+2/3

•  Probabilità di transizione nei decadimento deboli, mediata da una matrice di mescolamento:

•  Quark effettivamente scoperto nel 1974, con mc~1.6 GeV


u↔ ʹd = cosθc d + sinθc s

u c( ) cosθc sinθc−sinθc cosθc

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ d

s( )

Z

49. Plots of cross sections and related quantities 5

σ and R in e+e− Collisions

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

1 10 102

σ[m

b]

ω

ρ

φ

ρ′

J/ψ

ψ(2S)Υ

Z

10-1

1

10

102

103

1 10 102

Rω

ρ

φ

ρ′

J/ψ ψ(2S)

Υ

Z

√

s [GeV]Figure 49.5: World data on the total cross section of e+e− → hadrons and the ratio R(s) = σ(e+e− → hadrons, s)/σ(e+e− → µ+µ−, s).σ(e+e− → hadrons, s) is the experimental cross section corrected for initial state radiation and electron-positron vertex loops, σ(e+e− →µ+µ−, s) = 4πα2(s)/3s. Data errors are total below 2 GeV and statistical above 2 GeV. The curves are an educative guide: the broken one(green) is a naive quark-parton model prediction, and the solid one (red) is 3-loop pQCD prediction (see “Quantum Chromodynamics” section ofthis Review, Eq. (9.7) or, for more details, K. G. Chetyrkin et al., Nucl. Phys. B586, 56 (2000) (Erratum ibid. B634, 413 (2002)). Breit-Wignerparameterizations of J/ψ, ψ(2S), and Υ(nS), n = 1, 2, 3, 4 are also shown. The full list of references to the original data and the details ofthe R ratio extraction from them can be found in [arXiv:hep-ph/0312114]. Corresponding computer-readable data files are available athttp://pdg.lbl.gov/current/xsect/. (Courtesy of the COMPAS (Protvino) and HEPDATA (Durham) Groups, May 2010.)

Risonanze cc

σ e+e− → adroni( )

√s [GeV]

I quark

•  I quark possono essere classificati in famiglie, come i leptoni.

•  Nel 1977 venne scoperto anche un quinto quark b (bottom or beauty) –  Q=-1/3, mb ~5 GeV

•  Il suo partner top (t) osservato solo nel 1995 •  Q=+2/3, mt ~175 GeV

–  Diversamente dai leptoni, le transizioni deboli sono mediate dalla matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM)

•  Matrice unitaria •  Transizioni sempre più improbabili

all’aumentare della differenza di massa.


49. Plots of cross sections and related quantities 5

σ and R in e+e− Collisions

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

1 10 102

σ[m

b]

ω

ρ

φ

ρ′

J/ψ

ψ(2S)Υ

Z

10-1

1

10

102

103

1 10 102

Rω

ρ

φ

ρ′

J/ψ ψ(2S)

Υ

Z

√

s [GeV]Figure 49.5: World data on the total cross section of e+e− → hadrons and the ratio R(s) = σ(e+e− → hadrons, s)/σ(e+e− → µ+µ−, s).σ(e+e− → hadrons, s) is the experimental cross section corrected for initial state radiation and electron-positron vertex loops, σ(e+e− →µ+µ−, s) = 4πα2(s)/3s. Data errors are total below 2 GeV and statistical above 2 GeV. The curves are an educative guide: the broken one(green) is a naive quark-parton model prediction, and the solid one (red) is 3-loop pQCD prediction (see “Quantum Chromodynamics” section ofthis Review, Eq. (9.7) or, for more details, K. G. Chetyrkin et al., Nucl. Phys. B586, 56 (2000) (Erratum ibid. B634, 413 (2002)). Breit-Wignerparameterizations of J/ψ, ψ(2S), and Υ(nS), n = 1, 2, 3, 4 are also shown. The full list of references to the original data and the details ofthe R ratio extraction from them can be found in [arXiv:hep-ph/0312114]. Corresponding computer-readable data files are available athttp://pdg.lbl.gov/current/xsect/. (Courtesy of the COMPAS (Protvino) and HEPDATA (Durham) Groups, May 2010.)

Risonanze bb

σ e+e− → adroni( )

√s [GeV]

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

tbtstd

cbcscd

ubusud

CKM

VVVVVVVVV

V

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