Lezione 18 - Statistica - - Università degli Studi di Cassino · 2013-05-26 · Il modello di...

Lezione 18

A. Iodice

Regressionelinearesemplice

Assunzioni sulmodello diregressionesemplice

Stimatoredella varianza

Verifica diipotesi sulcoefficienteangolare dellaretta diregressione

Regressione sutabella adoppia entrata

Lezione 18Statistica

Alfonso Iodice D’[email protected]

Universita degli studi di Cassino

A. Iodice () Lezione 18 Statistica 1 / 45

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Outline

1 Regressione lineare semplice

2 Assunzioni sul modello di regressione semplice

3 Stimatore della varianza

4 Verifica di ipotesi sul coefficiente angolare della retta diregressione

5 Regressione su tabella a doppia entrata


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Modello di regressione lineare semplice

In molte applicazioni il ruolo delle variabili x ed Y non e lo stesso, in particolare,assegnato un certo valore al predittore x (indicato pertanto con la letteraminuscola), il valore che Y assume dipende in qualche modo da x. La relazionepiu semplice tra le variabili e quella lineare, e il modello corrispondente e

Y = β0 + β1x;

tale modello presuppone che, stabiliti i parametri β0 e β1, sia possibiledeterminare esattamente il valore di Y conoscendo il valore di x: salvo eccezioni,questo non si verifica mai.

Il modello

Alla determinazione del valore di Y , oltre che la componente deterministicaβ0 + β1x, concorre anche una componente casuale detta errore non osservabile ε,una variabile casuale con media 0

Y = β0 + β1x+ ε.

Analogamente, la relazione di regressione lineare semplice puo essere espressa intermini di valore atteso

E[Y |x] = β0 + β1x.

poiche E[ε] = 0.


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Modello di regressione lineare semplice

Si consideri di voler analizzare la relazione tra il peso del rullo di un taglia erba e l’entita della depressioneriscontrata nel prato da tagliare. Sia Y la depressione (depression) e x il peso del rullo utilizzato (weight).Per vedere se l’utilizzo del modello di regressione lineare semplice sia ragionevole in questo caso occorreraccogliere delle coppie di osservazioni (xi, yi) e rappresentarle graficamente attraverso il diagramma didispersione.

units weight depression1 1.9 2.02 3.1 1.03 3.3 5.04 4.8 5.05 5.3 20.06 6.1 20.07 6.4 23.08 7.6 10.09 9.8 30.010 12.4 25.0

Il diagramma di dispersione (scatter plot)


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La retta di regressione


La retta di regressione fornisce unaapprossimazione della dipendenza dei valoridi Y dai valori di X. La relazione didipendenza non e esattamente riprodottadalla retta; i valori yi = β0 + β1xi sonodunque i valori teorici, ovvero i valori che lavariabile Y assume, secondo il modelloY = β0 + β1x, in corrispondenza deivalori xi osservati.Le differenze ei tra i valori teorici yi e ivalori osservati yi vengono definite residui.Questo perche per ciascuna osservazione ilmodello e dato da

yi = β0 + β1xi︸︷︷︸comp. deterministica

+ εi︸︷︷︸comp. casuale

rette passanti per la nube di punti

Determinazione della retta di regressione

L’identificazione della retta avviene attraverso la determinazione dei valori di B0, e B1, stime dell’intercettae del coefficiente angolare o pendenza, rispettivamente. La retta ’migliore’ e quella che passa piu ’vicina’ aipunti osservati. In altre parole, si vuole trovare la retta per la quale le differenze tra i valori teorici yi e ivalori osservati yi siano minime.


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Metodo dei minimi quadrati

La retta di regressione e tale che la somma dei residui alquadrato sia minima. Formalmente

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − yi)2

=n∑i=1

(yi − B0 − B1xi)2

Il problema consiste dunque nel ricercare B0 e B1 cheminimizzano la precedente espressione. Da un punto divista operativo bisogna risolvere il seguente sistema diequazioni (condizioni del primo ordine o stazionarieta).

∂

∂B0

n∑i=1

(yi − B0 − B1xi)2

= 0

∂

∂B1

n∑i=1

(yi − B0 − B1xi)2

= 0

Nota: si tratta di punti di minimo perche le derivateseconde ∂B0B0

f(B0, B1) = −2(−n),

∂B1B1f(B0, B1) = −2

∑ni (−x2

i )sono sempre non negative.

Stimatori dei parametri della retta diregressione:(B0)

− 2n∑i=1

(yi − B0 − B1xi) =

n∑i=1

yi − n ∗ B0 − B1

n∑i=1

xi = 0

B0 = y − B1x


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I residui

le differenze tra i valori stimati yi e i valoriosservati yi vengono definite residui. Laretta di regressione e tale che la somma deiresidui al quadrato sia minima.Formalmente

RSS =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − yi)2

=

=

n∑i=1

(yi − B0 − B1xi)2

RSS (residual sum of squares)

Stimatori dei parametri della retta diregressione:(B1)

− 2n∑i=1

xi(yi − B0 − B1xi) = 0

n∑i=1

xiyi − B0

n∑i=1

xi − B1

n∑i=1

x2i = 0

B1

n∑i=1

x2i =

n∑i=1

xiyi −n∑i=1

xi

(∑ni=1 yi

n− B1

∑ni=1 xi

n

)

B1

(nn∑i=1

x2i − (

n∑i=1

xi)2

)= n

n∑i=1

xiyi −n∑i=1

xi

n∑i=1

yi

B1 =n∑ni=1 xiyi −

∑ni=1 xi

∑ni=1 yi

n∑ni=1 x

2i − (

∑ni=1 xi)

2=σxy

σ2x


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...statistiche descrittive

x =

∑10i=1 xi10

= 6.07 y =

∑10i=1 yi10

= 14.1

sx =

√∑10i=1

(xi−x)2

10= 3.04 sy =

√∑10i=1

(yi−y)2

10= 10.1

sxy =

∑10i=1 (xi−x)(yi−y)

10= 24.7

rxy =σxyσxσy

= 0.8


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Calcolo dei coefficienti

Richiamando le quantita calcolate in precedenza e le formule per il calcolo dei parametri si ha

B1 =σxyσ2x

= 2.66 B0 = y −B1x = 14.1− (2.66 ∗ 6.07) = −2.04

Y = −2.04 + 2.66x rappresenta la retta di regressione stimata

La retta ’migliore’


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Interpretazione dei valori dei coefficienti diregressione

B0 rappresenta l’intercetta della retta di regressione edindica il valore della variabile di risposta Y quando ilpredittore x assume valore 0.

B1 rappresenta l’inclinazione della retta di regressione,ovvero la variazione della variabile di risposta Y inconseguenza di un aumento unitario del predittore x.


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Assunzioni sul modello

Il modello di regressione lineare semplice e

Y = β0 + β1x+ ε

e l’errore non osservabile ε e una variabile aleatoria con valore atteso pari a 0. Perpoter fare inferenza sono necessarie alcune assunzioni:

la variabile aleatoria εi si distribuisce come una Normale di parametri 0 eσ2: dunque la varianza dell’errore non osservabile εi non dipende dalpredittore xi;

cov(εi, εj) = 0, ∀i 6= j (i, j = 1, . . . , n), questo comporta che la rispostarelativa al predittore xi e indipendente da quella relativa al predittore xj ;

x e nota e non stocastica (priva di errore);

dalle precedenti assunzioni segue che ∀i la variabile di risposta Yi sidistribuisce secondo una Normale di parametri

E[Yi] = β0 + β1xi e var(Yi) = σ2.


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Assunzioni sul modello

fonte: Statistics for Business and Economics (Anderson, Sweeney and Williams, (2011))


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Lo stimatore della varianza σ2

La quantita σ2 e incognita e deve essere stimata a partire dai dati. A questoscopo si consideri che la standardizzazione di Yi si distribuisce secondo unanormale

Yi − E[Yi]√var(Yi)

=Yi − (β0 + β1xi)

σ.

La somma dei quadrati delle Yi standardizzate e∑ni=1 (Yi − β0 − β1xi)

2

σ2

ed essendo la somma di n normali standardizzate indipendenti, si distribuiscecome una variabile aleatoria chi-quadro con n gradi di liberta.Sostituendo i parametri β0 e β1 con gli stimatori dei minimi quadrati B0 e B1 laprecedente diventa ∑n

i=1 (Yi −B0 −B1xi)2

σ2

e un chi-quadro con n-2 gradi di liberta, in quanto si perde un grado di liberta per

ogni parametro stimato.


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Lo stimatore della varianza σ2

Il numeratore della precedente rappresenta la somma dei quadrati dei residui

n∑i=1

(Yi −B0 −B1xi)2 =

n∑i=1

e2 = RSS;

da quanto trovato in precedenza, la quantita RSSσ2 e un chi-quadro con n-2 gradi

di liberta.Poiche il valore atteso di un chi-quadro e uguale ai gradi di liberta possiamoscrivere

E[RSS]

σ2= n− 2 da cui E

[RSS

n− 2

]= σ2,

lo stimatore della varianza σ2 e dunque RSSn−2

. Lo stimatore dello scarto

quadratico medio σ viene definito errore standard della stima e corrisponde a√RSSn−2

.


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Verifica dell’ipotesi che β1 = 0

Un’ipotesi molto importante da verificare nel modello di regressione linearesemplice e che il coefficiente angolare della retta di regressione sia pari a 0: seinfatti β1 = 0 allora la variabile di risposta non dipende dal predittore, in altreparole non c’e regressione sul predittore.Per ottenere il test H0 : β1 = 0 vs H1 : β1 6= 0 e necessario studiare ladistribuzione dello stimatore B1 di β1: se B1 si discosta da 0 allora si rifiuta H0,altrimenti non si rifiuta. Ma di quanto B1 deve discostarsi da 0?

A questo scopo si consideri che B1 si distribuisce come una Normale e occorre

definirne i parametri.


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Si consideri la seguente formalizzazione alternativa dello stimatore B1

B1 =σxy

σ2x

=

∑ni=1 (xi − x)

(Yi − Y

)/n∑n

i=1 (xi − x)2/n=

∑ni=1 (xi − x)

(Yi − Y

)∑ni=1 (xi − x)2

=

=

∑ni=1

[(xi − x)Yi − (xi − x) Y

]∑ni=1 (xi − x)2

=

∑ni=1 (xi − x)Yi − Y

=0︷︸︸︷n∑i=1

(xi − x)∑ni=1 (xi − x)2

=

=n∑i=1

((xi − x)∑ni=1 (xi − x)2

)︸︷︷︸ponendo tale quantita=δi

Yi =n∑i=1

δiYi


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Due relazioni interessanti che riguardano δi:

n∑i=1

δi =n∑i=1

(xi − x)∑ni=1 (xi − x)2

=1∑n

i=1 (xi − x)2

=0︷︸︸︷n∑i=1

(xi − x) = 0

n∑i=1

δ2i =

n∑i=1

[(xi − x)∑ni=1 (xi − x)2

]2

=1[∑n

i=1 (xi − x)2]2 n∑

i=1

(xi − x)2 =

=1∑n

i=1 (xi − x)2


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E’ a questo punto possibile dimostrare che lo stimatore B1 di β1 e non distorto.

E[B1] = E

[n∑i=1

δiYi

]=

n∑i=1

δi E [Yi]︸︷︷︸β0+β1xi

=n∑i=1

δi (β0 + β1xi) =

=n∑i=1

δi︸︷︷︸=0

β0 + β1

n∑i=1

δixi︸︷︷︸δi=

(xi−x)∑ni=1 (xi−x)2

= β1

n∑i=1

((xi − x)∑ni=1 (xi − x)2

)xi =

= β11∑n

i=1 (xi − x)2

n∑i=1

(xi − x)xi = β11∑n

i=1 (xi − x)2

n∑i=1

x2i − x

n∑i=1

xi︸︷︷︸=nx

=

= β11∑n

i=1 (xi − x)2

n∑i=1

x2i − nx2

︸︷︷︸=∑ni=1 (xi−x)2

= β1

∑ni=1 (xi − x)2∑ni=1 (xi − x)2

= β1


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La varianza dello stimatore B1 e data da

var (B1) = var

n∑i=1

δi︸︷︷︸= costante

Yi

= ( poiche se Z = bY , b e una costante, var(Z) = b2var(Yi))

=n∑i=1

(δi)2

︸︷︷︸= 1∑n

i=1 (xi−x)2

var(Yi)︸︷︷︸=σ2

=σ2∑n

i=1 (xi − x)2


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la Normale standard √∑ni=1 (xi − x)2

σ2(B1 − β1)

non consente ancora di costruire una statistica test perche e ancora presente ilparametro incognito σ2: tuttavia si puo stimare tale parametro attraverso RSS

n−2che, come visto in precedenza, si distribuisce secondo un chi-quadrato con n-2gradi di liberta; sostituendo a σ2 il suo stimatore si ha√

(n− 2)∑ni=1 (xi − x)2

RSS(B1 − β1).

Poiche questa quantita ha al numeratore una Normale standard ed al

denominatore un chi-quadro rapportato ai propri gradi di liberta, si distribuisce

come una distribuzione t di student con n-2 gradi di liberta.


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A questo punto la statistica test da utilizzare sotto H0 (β1 = 0) e

ST =

√(n− 2)

∑ni=1 (xi − x)2

RSSB1 ∼ tn−2

Il test di livello α di H0 e ha la seguente regola di decisione:

se | ST |≥ tn−2,α/2 allora si rifiuta H0

se | ST |< tn−2,α/2 allora non si rifiuta H0

Nell’esempio roller, il valore della statistica test e ST = 3.808,

il p− value corrispondente e 0.00518.


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Intervallo di confidenza su β1

A partire dalla statistica test per il test su β1, e possibile definire l’intervallo diconfidenza, i cui estremi sono:

B1 ± t(α/2,n−2)

√RSS

(n− 2)∑ni=1 (xi − x)2︸︷︷︸√

var(B1)

con riferimento all’esempio roller, gli estremi dell’intervallo sono, ad un livello di

confidenza del 95% sono [1.05, 4.28].


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Bonta di adattamento e diagnostica

Una volta stimato il modello di regressione, e necessario misurare la bontadell’adattamento del modello ai dati e analizzare i residui per controllare che leassunzioni di normalita con media nulla e varianza costante dei residui sianorispettate.

Strumenti analitici: coefficiente di determinazione lineare R2

Strumenti grafici: plot dei residui

plot variabili esplicative vs. residui: in caso di relazione non lineare

nella configurazione dei punti allora la relazione con la variabile

esplicativa potrebbe non essere di primo grado (lineare), ma di grado

superiore;

plot valori stimati dal modello vs. residui: se i residui aumentano

all’aumentare dei valori stimati dal modello, allora potrebbe essere

necessario effettuare una trasformazione della variabile di risposta;

Normal probability plot: confronto tra i quantili della distribuzione

dei residui osservati e quella di una normale standardizzata;


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Plot dei residui

Perche la retta possa essere considerata una buona approssimazione della relazione che intercorre tra Y edX e necessario che i residui abbiano un andamento casuale rispetto ai valori della x. Se, ad esempio,all’aumentare dei valori della x aumentassero sistematicamente anche i residui, allora la relazione potrebbenon essere non lineare: la retta di regressione ne sarebbe dunque una cattiva approssimazione.

variabili esplicative vs residui

Per verificare che l’andamento dei residui sia effettivamente casuale rispetto ad x, e possibile utilizzare undiagramma di dispesione tra i valori xi ed i corrispondenti residui ei(i = 1, . . . , n)


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Plot dei residui

Perche la retta possa essere considerata una buona approssimazione della relazione che intercorre tra Y ed xe necessario che i residui abbiano un andamento casuale rispetto ai valori della x. Se, ad esempio,all’aumentare dei valori della x aumentassero sistematicamente anche i residui, allora la relazione potrebbenon essere non lineare: la retta di regressione ne sarebbe dunque una cattiva approssimazione.

valori stimati y vs residui


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Quantile-quantile plot

Per controllare che l’assunzione della normalita dei residui sia rispettata si ricorre al confronto tra i quantilidella distribuzione Normale standard ed i quantili della distribuzione dei residui osservati.

Q-Q plot

Quanto piu i punti del grafico risultano allineati lungo la bisettrice del primo quadrante, tanto migliore saral’adattamento dei residui osservati alla distribuzione normale.


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coefficiente di determinazione lineare R2

Ricordando che la devianza il numeratore della varianza...

SSy =n∑i=1

(yi − y)2

=n∑i=1

(yi − yi + yi − y)2

=

=n∑i=1

(yi − yi)2

+n∑i=1

(yi − y)2

+ 2n∑i=1

(yi − yi)(yi − y)

=n∑i=1

(yi − yi)2

+n∑i=1

(yi − y)2

+ 2(n∑i=1

yi −n∑i=1

yi)(n∑i=1

yi − ny)

Poiche yi e una trasformazione lineare di xi, allora

µy = B0 + B1x = (ricordando che B0 = y − B1x)

= y − B1x︸︷︷︸B0

+B1x = y

dunque µy = y →∑ni=1 yin

=

∑ni=1 yin

da cui∑ni=1 yi −

∑ni=1 yi = 0, quindi

SSy =n∑i=1

(yi − yi)2

+n∑i=1

(yi − y)2

+ 2 ∗ 0 ∗ (n∑i=1

yi − ny)

=n∑i=1

(yi − y)2

+n∑i=1

(yi − yi)2

= SSr + RSS


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Decomposizione della devianza

La devianza puo essere decomposta dunque nelle seguenti quantita SSy = SSr + RSS

SSy =∑ni=1 (yi − y)2 devianza totale

SSr =∑ni=1 (yi − y)2 devianza di regressione

RSS =∑ni=1 (yi − yi)2 devianza dei residui

Interpretazione grafica


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Bonta dell’adattamento

Intituitivamente, l’adattamento della retta e migliore quanto maggiore sara proporzione di variabilita totaleche la retta di regressione riesce a spiegare; ovvero, l’adattamento della retta e migliore quanto minore sarala variabilita residua. Una misura di come il modello approssima i dati osservati e data dal coefficiente dideterminazione lineare R2, dato da

R2

=SSr

SSy=

∑ni=1 (yi − µy)2∑ni=1 (yi − µy)2

ovvero

R2

= 1−RSS

SSy= 1−

∑ni=1 (yi − yi)2∑ni=1 (yi − µy)2

esempio di calcolo R2

SSy =∑ni=1 (yi − y)2 = 1020.9

SSr =∑ni=1 (yi − y)2 = 657.97

RSS =∑ni=1 (yi − yi)2 = 362.93

R2

=SSr

SSy=

657.97

1020.9= 0.64

ovvero

R2

= 1−RSS

SSy= 1−

282.1862

5058.4= 1− 0.36 = 0.64


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Bande di confidenza e di previsione

Utilizzo del modello per stima e previsione

Se il modello stimato si adatta bene ai dati e se la relazione tra Y e X esignificativa, si puo utilizzare la retta di regressione stimata per la stima e laprevisione.

Banda di confidenza

La banda di confidenza e composta dalle stime intervallari, ognuna costruita sulvalore atteso di Y dato il valore corrispondente di xi.

Banda di previsione

La banda di previsione e composta dalle stime intervallari, ognuna costruita sulsingolo valore di Y dato il valore corrispondente di xi.


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...qualche definizione

xp e un valore specifico assunto dalla variabile indipendente X;

yp e il valore assunto da Y quando X = xp;

E [yp] e il valore atteso di Y quando X = xp;

yp = B0 +B1xp, il valore stimato dalla retta di regressione,dunque e la stima di E [xp] per X = xp.


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Intervallo di confidenza su E[Y | X = xp] = E[yp]

Per costruire lo stimatore intervallare su E[yp] dato che X = xp e necessariostimarne la varianza, lo stimatore in questione e

s2yp =RSS

n− 2

[1

n+

(xp − x)2∑ni=1 (xi − x)2

]

pertanto l’intervallo di confidenza e dato da

yp ± tα2,(n−2)syp


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Intervallo di previsione su yp

Per costruire lo stimatore intervallare su yp e necessario stimarne la varianza, lostimatore in questione consiste di due componenti

la varianza RSSn−2

di un singolo di valore Y rispetto alla sua media E[yp]

la varianza associata all’utilizzo di un singolo valore yp per stimare E[yp](gia stimata in precedenza s2yp )

s2singolo =RSS

n− 2+ s2yp

pertanto l’intervallo di previsione e dato da

yp ± tα2,(n−2)ssingolo


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Intervallo di confidenza su E(yp)

Bande di confidenza


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Intervallo di previsione

Bande di previsione


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Bande di confidenza e previsione


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Regressione su distribuzione doppia di frequenze

Si consideri di aver osservato su 10 rivenditori di componentiinformatiche le variabili numero di punti vendita e Fatturatosettimanale complessivo. Si studi la dipendenza del fatturato dalnumero di punti vendita.

fino a 2 tra 2 e 4 tra 4 e 6fino a 5000 3 2 0

tra 5000 e 10000 1 2 2

Si stimino i coefficienti della retta di regressione.

Si valuti la bonta di adattamento della retta ai dati.


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Regressione distribuzione doppia di frequenze

Essendo le modalita delle variabili qualitative espresse in intervalli di valori, e necessario fare riferimento aicentri di ciascun intervallo. La tabella e dunque data da

Y/X 1 3 5 Tot2500 3 2 0 57500 1 2 2 5Tot 4 4 2 10

Le medie aritmetiche si ottengono a partire dalle distribuzioni marginali di frequenze:

µx =1

n

k∑j=1

xjn.j =1

10× (1× 4) + (3× 4) + (5× 2) =

4 + 12 + 10

10= 2.6

µy =1

n

h∑i=1

yini. =1

10× (2500× 5) + (7500× 5) =

12500 + 37500

10= 5000

dove h rappresenta numero di righe della tabella, k il numero di colonne della tabella.


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Regressione: distribuzione doppia di frequenze

Per calcolare le varianze si fa riferimento agli scarti dalla media al quadrato

Y/X (1− 2.6)2 (3− 2.6)2 (5− 2.6)2 Tot

(2500− 5000)2 3 2 0 5

(7500− 5000)2 1 2 2 5Tot 4 4 2 10

Le varianze si ottengono a partire dalle distribuzioni marginali di frequenze:

σ2x =

1

n

k∑j=1

(xj − µx)2n.j =

1

10× ((1− 2.6)

2 × 4) + ((3− 2.6)2 × 4)+

+ ((5− 2.6)2 × 2) =

10.24 + 0.64 + 11.52

10= 2.24

σ2y =

1

n

h∑i=1

(yi − µy)2ni. =

1

10× (2500× 5)

2+ (7500× 5)

2

=31250000 + 31250000

10= 6250000

dove h rappresenta numero di righe della tabella, k il numero di colonne della tabella.


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Esercizio regressione: distribuzione doppia difrequenze

Per calcolare la covarianza si deve fare riferimento alle distribuzioni condizionate di frequenza.

Y/X (1− 2.6) (3− 2.6) (5− 2.6) Tot(2500− 5000) 3 2 0 5(7500− 5000) 1 2 2 5

Tot 4 4 2 10

yi xi yi − µy xi − µx2500 1 (2500-5000) (1-2.6)2500 1 (2500-5000) (1-2.6)2500 1 (2500-5000) (1-2.6)2500 3 (2500-5000) (3-2.6)2500 3 (2500-5000) (3-2.6)7500 1 (7500-5000) (1-2.6)7500 3 (7500-5000) (3-2.6)7500 3 (7500-5000) (3-2.6)7500 5 (7500-5000) (5-2.6)7500 5 (7500-5000) (5-2.6)

σxy =1

n

h∑i=1

k∑j=1

(yi − µy)× (xj − µx)× nij =

=1

10((2500− 5000)(1− 2.6)× 3 + (2500− 5000)(3− 2.6)× 2+

+ (7500− 5000)(1− 2.6)× 1 + (7500− 5000)(3− 2.6)× 2+

+ (7500− 5000)(5− 2.6)× 2) =12000− 2000− 4000 + 2000 + 12000

10= 2000


Lezione 18

A. Iodice






Esercizio regressione: distribuzione doppia difrequenze

Avendo calcolato le quantita µx = 2.6, µy = 5000, σ2x = 2.24 e

σxy = 2000, e possibile calcolare i coefficienti della retta diregressione

Calcolo dei coefficienti

b1 =σxyσ2x= 2000

2.24 = 892.571

b0 = µy − b1µx = 5000− (892.571 ∗ 2.6) = 2679.315

quindi l’equazione della retta di regressione e

y = b0 + b1x = 2679.315 + 892.571x

Dunque, il valore stimato yi corrispondente ad un valore xiassegnato e yi = b0 + b1x.


Lezione 18

A. Iodice






Valutazione della bonta di adattamento

Ricordando che

R2

=Devr

Devy=

∑ni=1 (yi − y)2∑ni=1 (yi − y)2

ovvero

R2

= 1−Deve

Devy= 1−

∑ni=1 (yi − yi)2∑ni=1 (yi − y)2

con Devy = Devr +Deve

SSy =∑ni=1 (yi − y)2 devianza totale

SSr =∑ni=1 (yi − y)2 devianza di regressione

RSS =∑ni=1 (yi − yi)2 devianza dei residui

Per ottenere R2, misura della bonta di adattamento, si deve calcolare solo la devianza dei residui, avendogia calcolato σ2

y .


Lezione 18

A. Iodice






Calcolo della devianza dei residui

RSS =∑n

i=1 (yi − yi)2 devianza dei residui

in base alla retta di regressione stimata, i valori yi stimati in funzionedei valori xi sono

y1 = b0 + b1x1 = 2679.315 + 892.571× 1 = 3571.886

y2 = b0 + b1x2 = 2679.315 + 892.571× 3 = 5357.028

y3 = b0 + b1x3 = 2679.315 + 892.571× 5 = 7142.17


Lezione 18

A. Iodice






Calcolo della devianza dei residui

Per calcolare i residui yi − yi nel caso di tabella a doppia entrata si procede come segue

yi/yj y1 = 3571.886 y2 = 5357.028 y3 = 7142.17 Toty1 = 2500 3 2 0 5y2 = 7500 1 2 2 5

Tot 4 4 2 10

RSS =∑hi=1

∑ki=1 ((yi − yj)2)× nij devianza dei residui per tabella doppia

calcolo della devianza dei residui

RSS =

h∑i=1

k∑j=1

((yi − yj)2)× nij = ((2500− 3571.886)

2)× 3 + ((2500− 5357.028)

2)× 2+

+ ((7500− 3571.886)2)× 1 + ((7500− 5357.028)

2)× 2 + ((7500− 7142.17)

2)× 2 =

= 44642859

SSy =n∑i=1

(yi − y)2

= σ2y × n = 6250000× 10 = 62500000

R2

= 1−RSS

SSy= 1− 0.71 = 0.29


Lezione 18

A. Iodice







A questo punto il valore della statistica test (stimatore standardizzato di β1) e

ST =

√(n− 2)

∑ni=1 (xi − x)2

RSSB1 =

√(10− 2)22.4

446428592679.315 = 5.37

Tenuto conto del fatto che∑10i=1 (xi − x)2 = n× σ2 = 10× 2.24 = 22.4.

Poiche il p− value corrispondente e 2× 0.0003, non si puo rifiutare H0.


Lezione 18 - Statistica - - Università degli Studi di Cassino · 2013-05-26 · Il modello di...

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