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LezionePONTI E GRANDI STRUTTUREProf. Pier Paolo RossiUniversità degli Studi di Catania

Linee di influenza

Linea di influenzaDefinizione

Dicesi linea di influenza della grandezza G nella sezione S,Il diagramma che indica con la sua ordinata generica (x) il valore della grandezza in esame in S quando il carico F=1 agisce nella sezione di ascissa x.

3

S

F=1x

max

min

(x)

Linea di influenzaUtilizzo

Mediante le linee di influenza è possibile :

valutare l’effetto prodotto in una sezione da carichi mobili di vario tipo individuare le posizioni dei carichi per le quali si hanno i massimi ed i

minimi valori della grandezza G cercata

4

S

F=1x

max

min

(x)

Linea di influenzaCarico concentrato isolato

• La grandezza G=F è proporzionale all’intensità del carico.• La posizione del carico F per cui si ha il massimo (o minimo) valore

della grandezza G è unica ed è quella della verticale corrispondente all’ordinata massima (o minima) della linea di influenza.

5

S

F=1x

max

min

(x)

Linea di influenzaTreno di carichi concentrati

• E’ possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti per cui se 1, 2, 3 … sono rispettivamente le ordinate sotto i carichi F1, F2, F3 … la grandezza G sarà data da :

6

S

F1=1x1

max

min

(x)

F2=1 F3=1

(x)(x)

i ii

G F

Linea di influenzaCarico distribuito

• Nel caso di carico variabile q(x) si ha :

7

S

qx1

max

min

(x) (x)

2

1

( )x

xG q x dx

x2

• Nel caso di carico uniformemente ripartito q si ha : G q dove è l’area della linea di influenza sottostante la zona caricata.

Linea di influenzaCarico uniformemente distribuito

• Nel caso generale di carico uniformemente distribuito q è semplice l’individuazione della posizione di q per cui G è massimo.

Se, infatti, si sposta di dx il carico dalla posizione per cui l’effetto è massimo, si ha:

8

S

qx1

max

min

(x) (x)

x2

1 2d ( )d ( )dx x x x

Dovendosi avere un massimo, dovrà risultare :

1 2d 0 ( ) ( )d

x xx

ovvero, le ordinate della l.d.i. alle estremità del carico sono uguali.

Linea di influenzaCarico uniformemente comunque segmentabile

Un caso frequente di carico uniformemente distribuito è quello di carico comunque segmentabile, cioè di valore q fissato, ma di estensione arbitraria ed eventualmente a tratti, che dovrà quindi essere disposto opportunamente in sede di verifica.

9

S

q

max

minLa disposizione del carico risulterà evidente dall’esame delle linee di influenza, dovendosi caricare tutte le zone dello stesso segno.

Linea di influenzaTracciamento

Le linee di influenza possono essere tracciate con il metodo :

• DIRETTO

• INDIRETTO

10

Linea di influenzaMetodo diretto

Il metodo diretto consiste nel costruire la linea di influenza per punti,calcolando G per diverse posizioni del carico.

Più vicini sono i punti cui si dispone il carico e più preciso è l’andamento delle linee di influenza nella sezione considerata.

11

Nel caso delle sollecitazioni può essere conveniente determinare dapprima le linee di influenza delle reazioni vincolari e poi calcolare da queste le sollecitazioni nella sezione considerata.

Linea di influenzaMetodo diretto – trave semplicemente appoggiata

La linea di influenza (l.d.i.) delle reazioni vincolari è :

12

S

F=1x

L

1l.d.i. di RA

A B

l.d.i. di RB 1

RA RB A B+ 1R R

B 1 0R L x

A 1R x L

BR x L

Equazioni di equilibrio

Linea di influenza delle reazioni

RA

Linea di influenzaMetodo diretto – trave semplicemente appoggiata

Linea di influenza del taglio

13

S SL xM x

L

S A 1V R x L

S BV R x L

x

LA B

l.d.i. di MS

RB

Linea di influenza del momento

S S SL xM x x x

L

Sx x

Sx x

S

Sx x

Sx x

-+

+

l.d.i. di VS

F=1

xs

RA

Linea di influenzaMetodo diretto – trave a sbalzo


14

S SM x x

S 0V

S 1V F=1x

LA


S 0M Sx x

Sx x

S

Sx x

Sx x

+

-

xs

l.d.i. di MS

l.d.i. di VS

MA

RA

Linea di influenzaMetodo diretto – trave incastrata ‐ appoggiata

Linea delle reazioni vincolari

15

A B 1R R

3

B 3

312

x L xRL x

F=1x

LAS

+

xs

l.d.i. di RA

l.d.i. di RB

B

RB

MA

A BM R L x

l.d.i. di MA+ -

RA

Linea di influenzaMetodo diretto – trave incastrata ‐ appoggiata

16

F=1x

LA


S

+

xs

l.d.i. di MS

l.d.i. di VS

B

RB

MAS BV RS AV R

Sx xSx x


S S SBM R L x x x

S SBM R L x Sx x

Sx x

+

-

Linea di influenzaMetodo indiretto

Il metodo indiretto fa uso dei principi di reciprocità(che sono validi nell’ipotesi di validità del principio di sovrapposizione degli effetti)

17

Primo principio (teorema di Betti):«Dati due insiemi di forze agenti separatamente sulla struttura, il lavoro compiuto dal primo insieme per gli spostamenti indotti dal secondo è uguale al lavoro compiuto dalle forze del secondo insieme per gli spostamenti indotti dal primo»

Secondo principio (teorema di Land‐Colonnetti):«Dati due insiemi di forze e distorsioni agenti separatamente sulla struttura, il lavoro mutuo generalizzato è nullo»

Terzo principio (teorema di Volterra):«Dati due insiemi di distorsioni agenti separatamente sulla struttura, i due lavori mutui generalizzati sono uguali»


18

(teorema di Betti generalizzato):«Dati due insiemi di forze e distorsioni agenti separatamente sulla struttura, il lavoro compiuto dalle forze e distorsioni del primo insieme per gli spostamenti e sollecitazioni indotti dal secondo insieme è uguale al lavoro compiuto dalle forze e distorsioni del secondo insieme per gli spostamenti indotti dal primo»

Linea di influenzaDistorsioni

19

Si definisce «distorsione» di un volume elementare una qualsiasi sestupla dideformazioni eij di origine non elastica, ossia non generata da alcun insiemedi tensioni.

Nell’ambito della teoria delle travi, ci si limiterà alle cosiddette «distorsioni di Volterra»,

per cui il generico concio elementare di larghezza ∆s si deforma conservandola planeità delle sezioni rette. Considerando fissa la faccia di sinistra delconcio l’effetto delle distorsioni si riduce ad uno spostamento assoluto ∆sGdel baricentro della sezione di destra, e ad una rotazione assoluta ∆φ dellasezione di destra intorno ad un asse passante per il suo baricentro.

Linea di influenzaDistorsioni distribuite

20

Si presuppone che esistano, e siano finiti, i limiti :

I due vettori δ(s) e µ(s) si chiamano distorsione distribuita di traslazionerelativa, e distorsione distribuita di rotazione relativa, rispettivamente,mentre l’insieme delle loro sei componenti secondo gli assi si chiamano lecaratteristiche della distorsione distribuita.

0

lims

ss

GΔs

0lims

ss

Δ

Linea di influenzaDistorsioni concentrate

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Si consideri la sezione generica S, situata all’ascissa s, e si consideri un concioelementare di larghezza ∆s, centrato in S. Siano DG(s) = δ(s)∆s e Dφ(s) =µ(s)∆s i vettori dello spostamento relativo da distorsione tra le due facce delconcio elementare. Se ∆s tende a zero, mentre δ e µ vanno all’infinito, inmodo che il loro prodotto resti costante, si genera nella sezione S unadistorsione concentrata le cui caratteristiche sono, in base alle formuleprecedenti, uguali e contrarie allo spostamento assoluto ∆sG del baricentrodella sezione retta S alla rotazione assoluta ∆φ della sezione stessa, intornoad un asse passante per il suo baricentro:

Le caratteristiche della sollecitazione interna compiono lavoro negativo per effetto di distorsioni positive.

s s GΔsGD s s ΔD

Linea di influenzaDistorsioni in sistemi monodimensionali piani

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Le distorsioni distribuite δ si riducono a due: la distorsione distribuita di traslazione assiale relativa λ e la distorsione distribuita di scorrimento relativo θ. Delle tre componenti della distorsione distribuita µ sopravvive solo la componente secondo l’asse ortogonale al piano della struttura.

Analogamente, le componenti della distorsione concentrata DG si riducono a Dη e Dξ, mentre l’unica componente non nulla della distorsione concentrata Dφ sarà Dφ.

Linea di influenzaPrimo principio di reciprocità (Betti, 1872)

23

Si consideri una struttura, e due insiemi di forze e che su di essa possono agire.'iF ' '

jF

Si faccia agire prima l’insieme 1 (forze )

'iF

'is

'iF

Il lavoro compiuto da tale insieme è :

' '1 i i

i

12

L Fs

Si faccia agire poi l’insieme 2 (forze )' 'jF' 'jF

' 'js


' ' ' '2 j j

j

12

L F s

1 2

Quindi le forze compiono un ulteriore lavoro :


24

Durante l’azione delle le sono presenti in tutto il loro valore.'

iF

Pertanto, il lavoro totale è :

' ''12 i i

i

L F s

3' 'jF

' 'is

'iF

'iF

spostamenti indotti dal sistema di forze 2 in corrispondenza dei punti di applicazione del sistema di forze 1

1 2 1 2 12L L L L

( se agisce prima il sistema 1 e poi il sistema 2 )


25

Se si ipotizza di fare agire prima il sistema 2 e poi il sistema 1 si ha:

2 1 1 2 21L L L L

' ' '21 j j

j

L F sdove : spostamenti

indotti dal sistema di forze 1 in corrispondenza dei punti di applicazione del sistema di forze 2

Se il sistema è conservativo L1+2=L2+1e quindi :

21 12L L

Primo principio (teorema di Betti):«Dati due insiemi di forze agenti separatamente sulla struttura, il lavoro compiuto dal primo per gli spostamenti indotti dal secondo è uguale al lavoro compiuto dalle forze del secondo insieme per gli spostamenti indotti dal primo»

, da cui …………………………

Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza degli spostamenti

26

Per il primo principio di reciprocità (teorema di Betti) l’abbassamento wsp della sezione S per un carico verticale unitario posto in P è uguale all’abbassamento wps della sezione P per il carico unitario posto in S.

F’=1xp

S

xs

P

wsp

F’’=1xs

S

xp

P

wps

Quindi, il diagramma degli spostamenti w in S al variare dell’ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. dello spostamento w in S) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla forza unitaria in S.

' '' '' 'P PS S SPF s F s

Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza degli spostamenti

27

Per il primo principio di reciprocità (teorema di Betti) la rotazione sp della sezione S per un carico verticale unitario posto in P è uguale alla rotazione ps della sezione P per la coppia unitaria posta in S.

F’=1xp

SP

sp

xp

P

wps

Quindi, il diagramma della rotazione in S al variare dell’ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. della rotazione in S) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla coppia unitaria in S.

SM’’=1

' '' '' 'P PS S SP F s M

Linea di influenzaSecondo principio di reciprocità (Colonnetti)

28

Si consideri una struttura, e due insiemi di forze e distorsioni che su di essa possono agire.

iF k

Si faccia agire prima l’insieme 1 (forze )

iF

'is

iF


'1 i i

i

12

L F s

Si faccia agire poi l’insieme 2 ( )

' 'kS


' '2 k k

k

12

L S

1 2

k

k

Linea di influenzaSecondo principio di reciprocità (Colonnetti)

29

Per il teorema di Betti generalizzato

' ' ' ' ' ' '' ' ' ' 'i i k k j j h h

i k j h

Fs S F s S

Dunque, essendo e deve essere : ' 'j 0F '

h 0

' ' ' ' ' 'i i k k

i k

0Fs S Secondo principio(teorema di Land‐Colonnetti):«Dati due insiemi di forze e distorsioniagenti separatamente sulla struttura, il lavoro mutuo generalizzato è nullo»

12 0L , da cui …………………………

ovvero :

Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza delle sollecitazioni

30

Per il secondo principio di reciprocità (teorema di Land‐Colonnetti) la sollecitazione (N, M, V) prodotta nella sezione S da un carico verticale unitario posto in P è uguale all’abbassamento wps prodotto nella sezione P da una distorsione unitaria (che compie lavoro per la sollecitazione cercata) in S.

F=1xp

S

xs

P

Msp=1

xs

S

xp

P

wps

Quindi, il diagramma del momento flettente M in S al variare dell’ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. di M in S) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla distorsione angolare unitaria in S.

' '' ' ''P PS S SP 0 F s S


31

F=1xp

S

xs

P

Vsp=1

xs

S

xp

P

Vps

Quindi, il diagramma del taglio V in S al variare dell’ascissa del punto di applicazione della forza unitaria in P (l.d.i. di M in S) sarà uguale al diagramma degli spostamenti prodotti nella struttura dalla distorsione trasversale unitaria in S.

Per il secondo principio di reciprocità (teorema di Land‐Colonnetti) la sollecitazione (N, M, V) prodotta nella sezione S da un carico verticale unitario posto in P è uguale all’abbassamento wps prodotto nella sezione P da una distorsione unitaria (che compie lavoro per la sollecitazione cercata) in S.

' '' ' ''P PS S SP 0 F s S


32

La linea d’influenza di un qualsiasi ente E in S, per effetto di un ente V viaggiante, è il diagramma dell’ente V’ corrispondente a V, provocato dall’ente E’=±1 corrispondente a E ed agente in S; E’=+1 se E e V sono equivalenti, E’=‐1 se E e V non sono equivalenti.

Si precisa che l’ente V’ corrispondente ad un ente V è quello per cui V può compiere lavoro; per esempio, ad Fy corrisponde v e a x corrisponde Mx.

Classe forza Classe distorsioni

V(causa

viaggiante)

Fx Fy Fz Dsx Dsx Dsx

Mx My Mz Dx Dx Dx

E(effetto in S)

u v w Vx Vy N

x x x Mx My Mz


33

AyF

x z

Ad esempio:

1yAv zM

A

xDx z 1xA

xM zM

AyF

xM z 1xADv z

AyF

yv z 1yAFv z (Teorema di Betti)

(Teorema di Betti)

(Teorema di Colonnetti)

(Teorema di Colonnetti)


34

F=1xd

SA CB D

P

1

xsa b

xs a/Lxd /L

L

xs /L xd b/L

xd a/L xs b/L

xd

Esempio

Trave appoggiata con sbalzo.

xs

xs xd /L

Linea di influenza di V per la sezione S

Linea di influenza di M per la sezione S

SFV z

SFM z

v

v


35

Esempio

Trave Gerber

Linea di influenza di V per la sezione S3

Linea di influenza di M per la sezione S3

F=1xs

A EB F

P

L

C DS3

1

xd

xd

xd/L

xs/L

xs

S3FV z

S3FM z

v

v

Linea di influenzaMetodo indiretto – linee di influenza delle reazioni

36

F=1xp

P

RB

Esempio

Trave isostatica

Linea di influenza della reazione RB

v=1

A C D

(x)


37

F=1

A CB D

=1

Esempio

Trave continua

Linea di influenza della reazione MB

MB=1

P

(x)


38

F=1

BA

Carichi indiretti

Quando le strutture secondarie sono costituite da travi semplicemente appoggiate, la l.d.i. cercata di ottiene da quella della struttura principale supposta direttamente caricata, congiungendo con tratti rettilinei tutte le ordinate di detta linea posti sulla verticale per i punti di applicazione del carico. Infatti :

=RA A + RB B

P

(xp)

xp

Poiché RA e RB variano linearmente, anche seguirà la stessa legge essendo una combinazione lineare dei primi due.

Linea di influenzaMetodo indiretto – sollecitazioni massime e minime

39

F=1

A CB D

=1

+

E FP

(x)+

-+

-

S

M+max


40

F=1

A CB D

=1

+

E FP

(x)+

-+

-

S

M -max


41

F=1

A CB D

=1

-

E FP

(x)+

- -+

M -max


42

Calcolando le l.d.i. per un certo numero di sezioni e riportando in corrispondenza di ciascuno di queste sezioni il valore massimo o minimo dell’ente si hanno i diagrammi

dei massimi e dei minimi relativi a quel carico variabile.

Se a questi diagrammi si sommano quelli relativi ai carichi permanenti si hanno i diagrammi

dei massimi e dei minimi assoluti.

x1/L

LA BS

l.d.i. di VS

x2x1

x2/L

LA B

Diagramma dei massimi e minimi di VS

Carico uniforme segmentabile

21 2qx L

-

+ 22 2qx L

Superfici di influenza

Linea di influenzaSuperfici di influenza

44

Tutte le superfici di influenza si possono ottenere con opportune derivazioni dalla funzione di influenza della freccia di inflessione w, calcolata nel punto (x0,y0) in cui si vogliono eseguire le verifiche.

Per esempio :2 2

2 2xw wm Dx y

2 2

2 2xw wq D

x x y

3

212 1EsD

dove : ( rigidezza flessionale della piastra )


45

La deformata si ottiene risolvendo l’equazione differenziale del 4° ordine :

I vari metodi di calcolo delle superfici di influenza si differenziano nel modo di risolvere questa equazione.

4 4 4

4 2 2 42w w w qx x y y D

3

212 1EsD

dove : ( rigidezza flessionale della piastra )

Il problema quindi si riconduce al calcolo della deformata w(x,y,) per un carico unitario posto in (x0,y0).


46

mxymx

ad un estremo vincolato

my ad un estremo

liberomx

Proiezione isometrica di una superficie di influenza del momento

qxqx

ad un estremo vincolato

qy ad un estremo

libero

tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York.


47tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York.

Superficie di influenza del momento flettente my all’appoggio di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti

y

x

y

x

Superficie di influenza del momento flettente mx al centro di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti


48

Tra tutti i metodi si ricorda quello di Pucher che ha fornito le superfici di influenza per piastre rettangolari con diversi rapporti dei lati e diversamente vincolate.

L’utilizzazione pratica delle superfici di influenza è legata al fatto che esse sono le stesse per piastre di dimensioni diverse purché aventi lo stesso rapporto tra i lati.

Una volta in possesso di tabelle o grafici che forniscano le superfici di influenza per una piastra di riferimento di lati e tale che sia si dovrà calcolare il rapporto di similitudine :

0xl

0yl

0 0y y x xl l l l

0 0y y x xk l l l l

e ridurre in scala il carico. Il carico lineare avrà nella piastra di riferimento la lunghezza s/k mentre il carico ripartito graverà su una superficie ridotta pari a A/k².


49

Successivamente a Pucher, Homberg e Ropes hanno fornito superfici di influenza piastre di lunghezza infinita continue su più appoggi e a spessore variabile.


50

x

y

x

1.0 1.0

tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, Springer Verlag


51

x

y

x

1.0 1.0

tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, Springer Verlag

FINE

52

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