Lez.6 Il modello circuitale - unina.it AA...Lezione 6 Pagina 22 Aggiungiamo di volta in volta ad...

Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 6 Pagina 1

Lez.6 Il modello circuitale


Legge di Kirchhoff

Legge di Kirchhoff delle correnti per gli insiemi di taglio:

“In ogni rete, in ogni istante, è uguale a zero la somma algebrica

(pesata) delle correnti dei lati che costituiscono un insieme di taglio”

Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC):

“In ogni rete, in ogni istante, e per ogni morsetto, è uguale a zero la

somma algebrica (pesata) delle correnti dei lati che interessano quel

morsetto”


LKC - regole di scrittura

fissare il riferimento di corrente di ogni lato;

scegliere il morsetto e la superficie chiusa associata;

orientare la superficie chiusa con il versore entrante o uscente;

individuare le correnti nel morsetto;

classificare le correnti in due gruppi in base all’orientamento;

“pesare” con un segno tutte le correnti di un gruppo e con segno

opposto tutte le correnti appartenenti all’altro gruppo;

Uguagliare a zero la somma “pesata”.


LKC - esempio

Morsetto F

+i1 - i7 + i6= 0

-i1 + i7 - i6 = 0

+i1 +i6= + i7


In ogni rete, in ogni istante, per ogni morsetto, la somma delle correnti

il cui riferimento è concorde con l’orientamento della superficie chiusa

associata al morsetto è uguale alla somma delle correnti il cui

riferimento è discorde con l’orientamento di tale superficie.

La LKC non dipende dalla tipologia dei bipoli ma esclusivamente da come

essi sono collegati.


La legge di Kirchhoff alle correnti per il morsetto D è:

+ i4(t) + i9(t) + i5(t)= 0

Ricordando il significato di intensità di corrente elettrica, possiamo

affermare che in ogni istante la carica netta entrante nella superficie

chiusa associata al morsetto è nulla, cioè: la carica contenuta nella

superficie chiusa non può variare nel tempo.

4 9

5

D


Legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT):

“In ogni rete, in ogni istante, è uguale a zero la somma algebrica

(pesata) delle tensioni dei lati di una maglia”

LKT - esempio

Maglia M1286

+ v1 - v6 – v8 + v2 = 0

- v1 + v6 + v8 - v2 = 0

+ v1 v6 + v2 = v6+v8


LKT - regole di scrittura

fissare il riferimento di tensione di ogni lato;

scegliere la maglia;

orientare la maglia ( riferimento orario o antiorario);

individuare le tensioni nei lati della maglia;

classificare le tensioni in due gruppi in base all’orientamento;

“pesare” con un segno tutte le tensioni di un gruppo e con segno

opposto tutte le tensioni appartenenti all’altro gruppo;

Uguagliare a zero la somma “pesata”.


In ogni rete, in ogni istante, per ogni maglia, la somma delle tensioni di

lato il cui riferimento è concorde con l’orientamento della maglia è

uguale alla somma delle tensioni di lato il cui riferimento è discorde con

l’orientamento della maglia.

La LKC non dipende dalla tipologia dei bipoli ma esclusivamente da come

essi sono collegati.


La legge di Kirchhoff alle tensioni per l’anello A678 di figura è:

+ v6 + v7 + v8 = 0

Ricordando il significato di tensione elettrica, possiamo affermare che

in ogni istante è nullo il lavoro elettrico sulla carica unitaria lungo una

linea chiusa, ossia: il lavoro elettrico tra due punti è indipendente dal

percorso che li congiunge e può essere espresso come d.d.p.

8

7

6 E F

B


Circuiti e reti elettriche

Le equazioni LKC e LKC insieme con le caratteristiche dei bipoli

costituiscono il modello circuitale.

Tramite il modello circuitale è possibile risolvere una rete, cioè

conoscere le 2L incognite (tensioni e correnti sui lati della rete).

Le equazioni di Kirchhoff sono lineari, algebriche, a coefficienti

costanti, omogenee.

Le caratteristiche dei bipoli sono, in generale, non lineari, differenziali,

non omogenee.

La tipologia del sistema dipende quindi dal tipo di bipoli connessi.


Il sistema di equazioni risultante è un sistema ben posto?

Il sistema si dice ben posto se la soluzione esiste ed è unica.

Condizione necessaria affinché il sistema sia ben posto è che le

equazioni indipendenti siano tante quante sono le incognite (2L, nel caso

specifico) (i.e. la matrice dei coefficienti delle incognite ha rango

massimo). Inoltre non deve mai accadere che le equazioni siano tra loro

incompatibili (es. 𝑥 + 𝑦 = 0 e 𝑥 + 𝑦 = 5)

Le caratteristiche dei bipoli sono indipendenti e compatibili tra loro

(hanno sempre 2 incognite in esclusiva). E le LKC e LKT lo sono?


Problema della topologia

Scrivere in modo intelligente le equazioni LKC e LKT (in modo da

ottenere un sistema di equazioni indipendenti e compatibili)

E’ possibile dimostrare che:

Il numero massimo di equazioni LKC indipendenti è (N-1)

Il numero massimo di equazioni LKT indipendenti è [L-(N-1)]

Le equazioni sono compatibili (Ad eccezione di alcuni casi patologici)


Il numero massimo di equazioni LKC indipendenti è (N-1)

Perché?. Come trovarle?

Proviamo questa affermazione e rispondiamo alle domande utilizzando

il nostro circuito generico già sopra rappresentato e considerandone il

grafo:

{

𝐴) 𝑖1 − 𝑖2 = 0𝐵) +𝑖2 + 𝑖3 − 𝑖7 + 𝑖8 + 𝑖9 = 0

𝐶) −𝑖3 + 𝑖4 = 0𝐷) −𝑖4 − 𝑖5 − 𝑖9 = 0𝐸) +𝑖5 + 𝑖6 − 𝑖8 = 0𝐹) −𝑖1 − 𝑖6 + 𝑖7 = 0


Per un grafo orientato possiamo scrivere N equazioni ai nodi.

Supponiamo di scriverle avendo l’accortezza di scegliere sempre lo

stesso criterio per “pesare” le correnti in un nodo.

In particolare, pesiamo con il segno “+” le intensità di corrente con

verso uscente dal morsetto e con il segno “-” quelle calcolate con verso

di riferimento entrante.

Otteniamo il sistema di equazioni sopra riportato:


In questo modo la corrente in un generico lato, che collega due

morsetti, apparirà solo in due equazioni LKC distinte (quelle relative ai

suoi morsetti): una volta con il segno “+” ed una volta con il segno “-“.

Sommiamo a questo punto tutti i primi membri delle equazioni scritte e

tutti i secondi membri. Per quanto detto otterremo l’identità

00

Tale risultato ci suggerisce che almeno una delle N equazioni scritte

può essere ottenuta come combinazione lineare delle altre e, pertanto,

l’informazione in essa contenuta è ridondante.


E’ possibile mostrare che, invece, (N-1) equazioni LKC sono

indipendenti.

Per farlo basta scegliere un albero particolare della rete, avente la

proprietà di non avere più di due lati che confluiscono in un singolo nodo.


Partiamo dal primo nodo A e scriviamo le LKC progressivamente,

seguendo l’albero (A – B – F –E –D – C)

Ci accorgiamo che, di volta in volta, nello scrivere le equazioni, possiamo

ricavare l’incognita corrente di un ramo di albero in funzione delle

correnti di rami di coalbero (non appartenenti all’albero). Ad es.

nel nodo A la corrente i2 (di albero) può essere ricavata dalla i1 (di

coalbero);

nel nodo B, la corrente i7 può essere ricavata dalle correnti i3, i9, i8

(di coalbero) e dalla corrente i2, la quale in precedenza era stata

ricavata dalla i1 di coalbero ecc.


L’operazione può essere ripetuta per tutte le (N-1) correnti di albero.

In questo modo abbiamo ottenuto un sistema di (N-1) equazioni in cui

in ogni equazione esiste un’incognita in esclusiva (la corrente di albero),

espressa in funzione delle correnti di coalbero.

Tale condizione è sufficiente per affermare che il sistema di equazioni

è formato da (N-1) equazioni indipendenti.

Lo stesso discorso può essere ripetuto per qualsiasi altro albero della

rete avente le caratteristiche suindicate.

Concludiamo pertanto che per le LKC: E’ sufficiente scrivere (N-1)

equazioni ai morsetti scartandone uno a piacere.


Il numero massimo di equazioni LKT indipendenti è [L-(N-1)]

Perché?, Come trovarle?

Innanzitutto notiamo che, per scrivere correttamente le LKT, è

necessario fissare il verso di riferimento per le tensioni su ogni lato.

Per semplicità, anche se non necessario, fissiamo su ogni lato la

convenzione dell’utilizzatore. In questo modo, fissata la stessa

convenzione su ogni lato, tutte le tensioni sono automaticamente

orientate: basterà seguire il verso di orientamento scelto per le

intensità di corrente di lato.

Le LKT potranno perciò essere scritte utilizzando solo l’orientazione

dei lati.


Usiamo ora un albero della rete per scrivere le LKT. Vediamo come.

Ricordiamo che i lati del coalbero sono [L-(N-1)].

Partiamo dal generico albero della rete in figura.

{

𝑀127) +𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣7 = 0

𝑀678) −𝑣6 − 𝑣7 − 𝑣8 = 0

𝑀5679) +𝑣5 − 𝑣6 − 𝑣7 − 𝑣9 = 0

𝑀34567) −𝑣3 − 𝑣4 + 𝑣5 − 𝑣6 − 𝑣7 = 0


Aggiungiamo di volta in volta ad esso un lato del coalbero. Per

definizione, ogni volta che aggiungiamo tale lato di coalbero, otteniamo

un percorso chiuso, ossia una maglia della rete.

Per ognuna di queste maglie ottenute scriviamo la corrispondente LKT.

Otterremo il sistema sopra riportato.

In esso esisterà sempre una tensione incognita in esclusiva, data dalla

tensione sull’unico lato di coalbero aggiunto, la quale è scritta in

funzione delle tensioni sui lati di albero.


Ad esempio:

aggiungiamo il ramo 1 e otteniamo la maglia M127; la tensione v1 di

coalbero è scritta in funzione delle tensioni di albero v2 e v7;

aggiungiamo il ramo8 otteniamo la maglia M678 ecc. La tensione v8 di

coalbero è scritta in funzione delle tensioni di albero v2 e v7;

Si ottiene in questo modo un insieme di [L-(N-1)] maglie che

chiameremo maglie fondamentali.

Questa condizione è sufficiente per affermare che le [L-(N-1)]

equazioni scritte sono indipendenti.


Inoltre, ogni altra maglia può essere ottenuta come “unione” di maglie

fondamentali, il che implica che qualsiasi altra LKT dipende linearmente

da quelle già scritte.

Infatti, proviamo a scrivere la LKT per la maglia M1268, ottenuta come

“unione” delle maglie M127 e M678, ove per operazione di “unione” tra due

maglie si intende l’operazione per la quale si elidono i lati comuni (in

questo caso il lato 7) e si lasciano tutti gli altri lati (in questo caso

1268).

Supponiamo di aver fatto la convenzione dell’utilizzatore su tutti i

bipoli e scriviamo le LKT per le maglie M127 e M678 avendo cura di


“pesare” le tensioni utilizzando lo stesso criterio e lo stesso verso di

percorrenza delle maglie.

0

;0

768

721

678

127

vvv

vvv

M

M

Ci accorgiamo che, sommando le equazioni membro a membro, otteniamo

una nuova equazione in cui scompare la tensione sul lato comune 7 e in

cui appare la LKT per la maglia M1268.

;086211268 vvvvM

Concludiamo pertanto che per le LKT: E’ sufficiente scrivere [L-(N-1)]

equazioni alle maglie fondamentali.


Se la rete è piana è possibile scegliere l’albero tale che la maglie

ottenute siano anelli ed è possibile scrivere per essi [L-(N-1)] equazioni

LKT indipendenti.

Attenzione: non sempre tutti gli anelli costituiscono un insieme di

maglie fondamentali. Ciò accade, ad esempio, se esiste almeno un anello

tutto interno ad una rete, il quale non possiede lati in esclusiva.

5


Conclusione

BIPOLI CAR L

LKT 1-N-L

LKC 1N

Sistema ben posto di 2L equazioni in 2L incognite

Se i bipoli sono adinamici, il sistema di equazioni è algebrico, lineare, a

coefficienti costanti. A meno di casi patologici (es. generatore di

tensione in parallelo a cto cto) esso ammette soluzione unica.

Ricordiamo che tra i metodi di risoluzione possiamo elencare la regola

di Cramer o anche con il metodo di eliminazione di Gauss.


Esempi di situazioni “patologiche”

Vi sono casi in cui il sistema di equazioni non è ben posto perché

formato da equazioni non compatibili. Ad esempio quando:

1) Esistono una o più maglie formate da soli generatori di tensione e

cortocircuiti

2) Esistono uno o più insiemi di taglio formati da soli generatori di

corrente e circuiti aperti.


In generale, per la scrittura del sistema fondamentale possiamo anche

rifarci al teorema fondamentale dei grafi:

Dato un grafo G connesso, con l lati e n nodi, e un qualsiasi albero A:

1) Esistono (n-1) lati di albero e [l-(n-1)] lati di coalbero;

2) Aggiungendo un lato di coalbero all’albero si ottengono [l-(n-1)]

maglie fondamentali per le quali scrivere le LKT indipendenti

3) Ad ogni lato di albero si possono aggiungere lati di coalbero

individuando (n-1) insiemi di taglio fondamentali per le quali

scrivere le LKC indipendenti


Esercizio 1

Risolvere la rete adinamica lineare di figura:

R

i (t)1

1

E

+

R2

R3R4

i (t)2

R5

i (t)3

i (t)4

i (t)5

v 1

v 2

v 5

v 4

v 3

A

B

C

D

i (t)e


1 2 3 4 5100 ; 5 ; 3 ; 6 ; 4 ; 4 ;E V R R R R R

Scriviamo le equazioni nelle sole incognite correnti

Innanzitutto disegniamo il grafo orientato:

i (t)1

E

i (t)2

i (t)3

i (t)4

i (t)5

v 1

v 2

v 5

v 4

v 3

A

B

C

Di (t)E


1 2

1 5 4

4 3

1 1 2 2 5 5

4 4 5 5 3 3

2 2 3 3

0

0

0

0

0

e

e

i i i

i i i

i i i

R i R i R i

R i R i R i

R i R i E

Risultati:

1 2 3 4 59.9 ; 12.9 ; 10.2 ; 12.6 ; 2.7 ; 22.8 ;ei A i A i A i A i A i A

Valutiamo le potenze assorbite dai resistori e la potenza erogata da E

1 2 3

4 5

491 ; 500.2 ; 625.5 ;

636.3 ; 29.2 ; 2282.2 ;E

P W P W P W

P W P W P W


Esistono metodi alternativi per la risoluzione delle reti adinamiche

lineari.

Tra questi, possiamo segnalare il metodo che fa uso delle sole incognite

corrente o delle sole incognite tensione, il metodo della equivalenza tra

bipoli, della connessione elementare “serie”, connessione elementare

“parallelo”, del partitore di corrente, del partitore di tensione, del

principio di sovrapposizione degli effetti.


Esercizio 2

Risolviamo il circuito di figura avendo cura di:

a) Utilizzare un’unica corrente incognita in bipoli serie (I1 in fig.)

b) Utilizzare un’unica tensione incognita in bipoli parallelo (V4 in fig.)

c) Scrivere le LKT sostituendo direttamente le caratteristiche

{

𝑉1 = 𝐸 = 70 𝑉𝐼4 = 𝐽 = 2𝐴𝑅2 = 10 Ω𝑅3 = 5 Ω

A

V2

V4

I1

I3


Scriviamo la LKC al nodo A e la LKT all’anello sinistro

(1)(2)

{𝐼1 + 𝐼4 − 𝐼3 = 0

𝑉1 − 𝑅2𝐼1 − 𝑅3𝐼3 = 0

Sostituendo la (1) nella (2)

{𝐼3 = 𝐼1 + 𝐽

𝐸 − 𝑅2𝐼1 − 𝑅3𝐼1 − 𝑅3𝐽 = 0

{

𝐼3 = 𝐼1 + 𝐽 = 6 𝐴𝐸 − 𝑅3𝐽

(𝑅2 + 𝑅3)= 𝐼1 = 4 𝐴

𝑉2 = 𝑅2𝐼1 = 40 𝑉𝑉3 = 𝑅3𝐼3 = 30 𝑉

{

𝑃𝐸 = 𝑉1𝐼1 = 70 ∙ 4 = 280 𝑊𝑃𝐽 = 𝑉4𝐼4 = 60 𝑊

𝑃𝐽 + 𝑃𝐸 = 340 𝑊 {

𝑃2 = 𝑉2𝐼2 = 160 𝑊𝑃3 = 𝑉3𝐼3 = 180 𝑊𝑃2 + 𝑃3 = 340 𝑊

Lez.6 Il modello circuitale - unina.it AA...Lezione 6 Pagina 22 Aggiungiamo di volta in volta ad...

Documents

Transcript of Lez.6 Il modello circuitale - unina.it AA...Lezione 6 Pagina 22 Aggiungiamo di volta in volta ad...