Costruzione di macchine

Modulo di:

Progettazione probabilistica e affidabilità

Marco Beghini e Leonardo Bertini

Lezione 5:

Funzioni di variabili aleatorie

Funzione di variabile aleatoria continua

Sia data una V.A. continua con distribuzione nota, se applichiamo una funzione per ottenere una nuova V.A., come sarà la sua distribuzione?

Esempio 5.1Il raggio di tappi di sughero X è una variabile aleatoria normale con =25mm e =3mm, determinare la distribuzione dell’area Y.

, 25,3X N x

?Y

2Y X

1 1 1

1 1 1

y

x

P y y y dy f y dy

P x x x dx f x dx

x

y y g x

1y

1x

1 1y xf y dy f x dx

11 1x g ydy

dx

1dy g x dx

1

1

xx xy

f g yf x f xf y

dy g x g g ydx

Caso elementare: relazione monotona

Soluzione esempio 5.1

xf x

?yf y

, 25,3

, 25,32 2y

yNN x

f yx y

y2y x

x

yygx

xxgxxg

)(

2)(')(

1

2

0 1000 2000 3000 40000

2 10 4

4 10 4

6 10 4

8 10 4

0.001 yf y

2mmy

, 25,3

2y

yNf y

y

21992mmy 2473mmy

Skewness:3

1 0.358 0y

y

YE

2 21963mmx

Caso elementare: trasformazione linearey

0 1y a a x

x

10 1 1

1

, 25,5, ,y x x

yNa

f y N y a a aa

yf y

Una trasformazione lineare a parametri deterministici costanti di una V.A. non modifica la natura della distribuzione: se contraggo la variabile (| a1|<1) aumento di conseguenza la densità

xf x

xx

0 1y xa a 1y xa

Trasformazione per una V.A. con basso CV y

x

, ,

, ,x x

xy x x x

x

yNg

f y N y g gg

xf x

yf y

In una trasformazione localmente regolare (derivabile per x=x) di una V.A. con basso CV, la trasformata conserva la natura

y g x

xxx xggy '

Esempio 5.1 (bis)Il diametro di tappi di sughero è una variabile aleatoria normale con =25mm e =3mm, determinare la distribuzione dell’area con approssimazione lineare locale.

Il CV è solo 0.12 per cui l’approssimazione lineare dovrebbe essere accettabile

2 21963mm ; 471mmy x y x xg g

1000 2000 3000 40000

21992mmy 2473mmy

V.A. log-normaleConsideriamo una V.A. (spesso il tempo) il cui logaritmo sia distribuito in modo gaussiano (esempio tipico: le durate in fatica)

ln t

lnf t

llog-mean

l log-deviation

ln ln , , ?l lf t N t f t

2

2

ln

212

l

l

t

l

f t et

2

2

log

2log2

l

l

t

l

ef t e

t

Logaritmi naturali Logaritmi in base 10

1000

2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

t

f t

0; 1l l

1; 1l l

2; 1l l

Distribuzioni log-normali

2 2

ln 1 ; ln2

t ll l t

t

Esempio 5.2La durata a fatica di molle a elica sollecitate con cicli di ampiezza costante segue una log-normale (base 10) con parametri:

determinare:• Il valor medio della vita (in cicli)• La deviazione standard effettiva della vita (in cicli)• L’affidabilità a 106 cicli di carico• Dopo quanti cicli l’affidabilità della molla arriva al 99%

6.1399; 0.1035l l

2

2

log

2log2

l

l

n

l

ef n e

n

6

0

1.42 10n f n dn

0 1 106 2 106 3 1060

5 10 7

1 10 6

1.5 10 6

f n

n

22 6

0

0.3432 10n f n dn

log 6.152 l

Risposta 1)

Risposta 2)

0 1 106 2 106 3 1060

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

R n

M

61.380 10M log lM

Risposta 3)

610R

610 0.912R

Risposta 4)

99%n

699% 0.793 10Rn

Mediana

V.A. esponenziale: densità

, tf t e

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1

0.5

0.2

f t

t

VA esponenziale: affidabilità

, 1 ; ,t tF t e R t e

1

0.5

0.2

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

11.0

6.738 10 3

R tt i 1 R tt i 0.5 R tt i 0.2

50 tt i tt i tt i

R t

t

VA esponenziale: tasso di guasto

, (costante)t

t

f t eh tR t e

11 ; 0.368MTTF R e

Tipico di sistemi complessi, spesso elettrici-elettroniciComponente Tasso (10-6h-1)

Generatore AC 0.81Fusibile 26.0Lampada neon 0.49Interruttore 107.3Turbina/generatore 626.2Motore elettrico 0.9Ingranaggio 0.17Cuscinetto a sfere 1.1O-ring 2.4Ventilatore 2.8

Esempio 5.3: Problema dello Tsunami!Il valore medio misurato dell’altezza delle onde su una costa è 0.6m. Assumendo per la distribuzione delle altezze un modello esponenziale, determinare la percentuale di onde con altezza superiore a 2.5m

10.6m 1.66 m

2.50.62.5 1.6%P x e

Esempio 5.4L’intensità dei terremoti è modellata con distribuzione esponenziale. Si definisce OBE (Operating Basic Earthquake) un’intensità sismica (x1) che ha probabilità di essere superata pari a 10−3 e SSE (Safe Shutdown Earthquake) un’intensità sismica (x2) che ha probabilità di essere superata pari a 10−6. Determinare il rapporto di intensità tra SSE e OBE.

1 23 6

1 2

10 ; 106.908 13.816;

x xe e

x x

2

1

2xx

Esempio 5.5Un componente ha probabilità di guasto esponenziale con un MTTF di 700h. 1) Determinare la probabilità che il componente arrivi a 400h di funzionamento 2) Dopo quanto tempo la probabilità di guasto arriva al 50%?3) Sapendo che dopo 200h di funzionamento il componente è integro, qual è la probabilità che si guasti nelle 24h successive?4) Ripetere il calcolo precedente dopo 400h di funzionamento5) Al momento della messa in esercizio, calcolare la probabilità che il componente si guasti nell’intervallo compreso tra 200h e 224h di funzionamento.

/ 700tR t e

1) 400 56.5%R

200 2243) 3.37%; 24 3.43%

200R R

P PR

400 4244) 3.37%; 24 3.43%

400R R

P PR

5) 200 224 2.20%P R R

httR 2.4855.0)()2

V.A. di WeibullModello a due parametri

F t1

t

1t

F t e

1 ttf t e

fattore di scala: tempo caratteristico (dimensioni di t)o lunghezza caratteristica

fattore di forma (numero puro)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

f t

/t

0.2

0.5

1

1

V.A. di Weibull: densità (1/2)

V.A. di Weibull: densità (2/2)

1

2

4

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

22

0

dweib wi 1 2 dweib wi 1 4 dweib wi 1 1

2.50 wi

1 f t

/t

V.A. di Weibull affidabilità

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

11.001

0

1 pweibull wi 0.2

1 pweibull wi 0.5

1 pweibull wi 1

1 pweibull wi 2

1 pweibull wi 4

2.50 wi

R t

/t

1

1 1

1 0.368e

t

R t e

V.A. di Weibull: tasso di guasto (1/2)

10.5

0.2

1

0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

4

/t

h t

V.A. di Weibull: tasso di guasto (2/2)

1

4

2

1

/t

h t

0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

4

V.A. di Weibull: parametri centrali (1/2)

0

11t f t dt

1

0

x ux u e du

1 1x x x

Valor medio della distribuzione di Weibull

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

x

x !1 nnn N

V.A. di Weibull: parametri centrali (2/2)

22 2 2

0

21t f t dt

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

211

Varianza della distribuzione di Weibull

Funzioni a più parametri:Esponenziale a due

t

R t

0

00

0

0 , ,

t t

t tf t t

e t t

0

00

0

1 , ,

t t

t tR t t

e t t

0t

0t tempo di latenza

Funzioni a più parametri:Weibull a tre

0

0

10 0

0

0

, , ,

t t

t t

f t t t t e t t

0

0

0

0

1 , , ,

t t

t tR t t

e t t

t

R t

0t

Esempio 5.6L’affidabilità della pompa di raffreddamento del motore di un veicolo commerciale è una Weibull con =250000 km, =0.65 e t0=20000 km. Determinare:1) il valore atteso della percorrenza con pompa integra2) la probabilità che la pompa funzioni a 100000km3) le percorrenze per una affidabilità di 90, 50, 30 e 10%4) la probabilità che una pompa che ha fatto 100000km si rompa nel successivo viaggio di 500km

0

3 30 0250 10 km; 0.65; 20 10 km; , , , min 1,

x x

x R x x e

30

11) 1 362 10 kmx

32) 100 10 62%R

3

3) 90%, 50%, 30%, 10% (10 km) 27.8, 162, 353, 922

Rx

3 3

3

100 10 100.5 104) = 0.19%

100 10

R RP

R

Blending di distribuzioniIn certe situazioni vi sono due (o più) tipi diversi di effetti sovrapposti, esempi:• Distribuzione delle altezze di soggetti di etnia diversa• Guasti di sistemi dovuti a rotture di due (o più) componenti diverse• Guasti prodotti da meccanismi diversi (esempio usura con fatica)

Esempio 5.7Due torni A e B producono rispettivamente il 45% e il 55% dei cilindri di una fornitura. I diametri dei cilindri hanno distribuzioni gaussiane, i prodotti di A con A e A 20.8mm e 0.25mm risp. mentre quelli di B : B e B 20.3mm e 0.18mm risp.1) Rappresentare la distribuzione dei diametri dell’intera produzione determinandone media e deviazione standard2) Il calibro passa-non passa del controllo di qualità ha estremi a D1=20.1mm e D2=20.9mm, determinare la percentuale di componenti scartata al controllo3) Tracciare la distribuzione fn(D) del diametro degli elementi dopo il controllo di qualità

Indicate con 0.45 e 0.55 le frazioni di produzione dei due torniA BP P

, , , ,A A A B B Bf D P N D P N D

19 20 21 220

0.5

1

1.5

D

f D

, ,A A AP N D , ,B B BP N D

20.53mmD A A B BD f D dD P P

22 0.328mmD D DD f D dD

NB : D A A B BP P

2

1

1 23%D

DP f D dD

La frazione di componenti non conformi può essere ottenuta con le tabelle delle cumulate delle due normali:

1 2

1 2

1

0 n

f DD D Df D PD D D D

nf D

D19 20 21 220

0.5

1

1.5

Attenzione alla normalizzazione

Andamenti tipici del tasso di guasto in componenti meccanici

t

t

Bath-tub curve

Start-up,Infant-mortalityor early failures:decreasing

Operative lifeRandom-failures:constant

Ageing,Wear-out failuresincreasing

Rappresentazione completa di una bathtub con blending di Weibull

Con distribuzioni di Weibull è possibile riprodurre tassi di guasto che hanno trend diversi:

t

t1

1

1

Esempio 5.8L’analisi dei guasti per un componente meccanico ha fornito i seguenti dati per un blending di weibulliane a due parametri:

P (h) 0.5 1200 0.80.4 4250 1.250.1 9000 5.0

Tracciare il tasso di guasto nelle prime 10000 ore di funzionamento

0 5000 1 1040

2

4

Relazioni utili (1/2)

1f t dR th t

R t R t dt

0 1R

ln

dR th t dt d R t

R t

0 0

1ln ln lnt th d d R R t

R t

0

th d

R t e

Relazioni utili (2/2)

0 0

0 0

dRMTTF f d d

d

R R d

0

MTTF R t dt

Affidabilità condizionataProbabilità che un elemento funzioni nell’intervallo sapendo che è funzionante all’inizio dell’intervallo:

,t t t

,c

R t tR t t

R t

,

t t

th d

cR t t e

0

0

t t

t

h d

h d

e

e