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Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 27 Pagina 1

Lez.27 La macchina in corrente continua. Cenni.


Conduttore in moto in un campo magnetico

Supponiamo di avere un conduttore di lunghezza 𝑙 ruotante, con velocità

angolare Ω(𝑡) e velocità periferica 𝑣(𝑡), in un campo magnetico radiale

a distribuzione sinusoidale nello spazio 𝐵(𝛼) = 𝐵𝑀𝑠𝑖𝑛𝛼, ove 𝛼 è l’angolo

formato con l’asse neutro a-a.

Nel suo movimento, il conduttore taglia le linee di campo magnetico.

𝐵

𝑣 𝛼 𝑅

𝑙

𝑣

𝑛

𝑣𝑑𝑡

𝑑𝑆

𝑎

𝐵

𝑎


Il conduttore diviene sede di una f.e.m. indotta 𝑒(𝑡)

𝑒(𝑡) = −𝑑Φ

𝑑𝑡= −

𝐵 ∙ 𝑛 𝑑𝑆

𝑑𝑡= −

𝐵 ∙ 𝑛 𝑣 𝑑𝑡 𝑙

𝑑𝑡= −𝐵 𝑣 𝑙

Se 𝑅 è il raggio della circonferenza percorsa dal conduttore:

𝑒(𝑡) = −Ω 𝑅 𝑙 𝐵𝑀sin (Ω𝑡)

Formiamo ora una spira aggiungendo al primo conduttore un secondo

conduttore a 180° e collegandoli poi frontalmente.

𝐵

𝑣 𝛼 𝑅


La superficie della spira è 𝑆 = 2𝑅𝑙. La f.e.m. indotta nella spira sarà il

doppio della f.e.m indotta nel singolo conduttore

𝑒(𝑡) = −Ω 2 𝑅 𝑙 𝐵𝑀 sin(Ω𝑡) = −Ω S 𝐵𝑀 sin(Ω𝑡)

𝑒(𝑡) = −Ω Φ𝑀sin (Ω𝑡)

Il valore istantaneo della tensione indotta dipende dalla posizione

relativa tra spira e asse neutro. Il valore massimo 𝐸𝑀 = Ω Φ𝑀 e il

periodo 𝑇 = 2𝜋/Ω dipendono entrambi dalla velocità di rotazione Ω.

La tensione indotta 𝑒(𝑡) è massima in modulo negli istanti in cui Ω𝑡 =𝑘𝜋

2,

con 𝑘 intero, ossia quando l’asse della spira coincide con l’asse neutro

a-a mentre è nulla quando Ω𝑡 = 𝑘𝜋, cioè quando l’asse della spira è

ortogonale ad a-a.


Per prelevare questa tensione indotta ad andamento sinusoidale nel

tempo si può utilizzare un sistema con due anelli conduttori e due

contatti striscianti (spazzole, 𝑆1 e 𝑆2):

Per ottenere una tensione alle spazzole di tipo unidirezionale si può

usare un unico anello metallico (collettore) diviso in 2 semianelli

(lamelle) isolati tra loro e solidali con i terminali delle spire. Gli anelli

sono poi in contatto con le spazzole.

𝑒(𝑡)

𝑙

𝑣

𝑣

Ω 𝑆1

𝑆2


Ci si accorge che in un semiperiodo la tensione 𝑒(𝑡) ai morsetti è la

tensione 𝑣12(𝑡), mentre nel periodo successivo è 𝑣21(𝑡). Si ottiene una

tensione unidirezionale con periodo 𝑇/2

E’ anche possibile ridurre l’ondulazione (e ottenere una tensione al

limite costante) disponendo un numero N congruo di spire, ognuna

facente capo ad un settore (lamella) del collettore, il quale occupa una

frazione (𝜋𝑟/𝑁) dell’intera circonferenza.

𝑒(𝑡)

𝑙

𝑣

𝑣

Ω

𝑡

𝑒(𝑡)

𝑣12(𝑡)

𝑣21(𝑡)

1

2

𝑇


Ad esempio, disponendo 2 (𝑁) spire (𝐿1 e 𝐿2) sfasate nello spazio di 𝜋

2

(𝜋

𝑁) e utilizzando un collettore con 4 (2𝑁) lamelle, si può ottenere una

tensione unidirezionale 𝑒(𝑡) con periodo 𝑇

4, (

𝑇

2𝑁). Al limite, per 𝑁 molto

grande la tensione diviene costante con valore che dipende dal numero

di spire e dalla velocità 𝑛 (giri/min) del rotore: 𝐸 = 𝑘𝑛Φ

2 3

𝑒(𝑡) 𝑡

𝐿2

𝑣12(𝑡)

𝑣42(𝑡)

𝑣21(𝑡)

𝑣24(𝑡)

𝑒(𝑡)

𝐿1 4

1

3


Per tracciare la 𝑒(𝑡) nel caso di due spire, basta considerare che ogni

quarto di giro è prelevata alternativamente la tensione 𝑣13(𝑡), 𝑣42(𝑡),

𝑣31(𝑡) e 𝑣24(𝑡) e che la tensione indotta sulla spira 𝐿1 è in anticipo di

𝜋/2 rispetto a quella indotta nella spira 𝐿2.

spazzole

asse rotorico

collettore

avvolgimenti

rotorico


La macchina in c.c.

La macchina in c.c. può funzionare sia da generatore (dinamo) che da

motore (motore in continua). In tali macchine l’induttore è alimentato

in c.c. ed è posto nello statore, mentre l’indotto è posto sul rotore de

è sede di f.e.m. indotte. Sia lo statore che il rotore sono dotati di

conduttori avvolti su ferro.

Per ottenere un campo magnetico radiale al traferro con distribuzione

sinusoidale nello spazio (o meglio, trapezoidale), lo statore è

opportunamente sagomato con delle espansioni (scarpe) polari, che

lungo il traferro consentono di ottenere il valore di riluttanza

necessario per modellare il campo.


Intorno alle espansioni polari sono posti gli avvolgimenti induttori

alimentati in c.c.

Gli avvolgimenti di rotore sono posti in cave e sono collegati alle lamelle

del collettore che, ruotando, toccano alternativamente le spazzole, tra

le quali è possibile prelevare la tensione indotta.

statore scarpa polare

rotore


Generatore in c.c.

Nel funzionamento da generatore, l’induttore è alimentato in continua

per generare il campo voluto al traferro e il rotore è posto in rotazione

alla velocità 𝑛 [giri/min].

Quando alle spazzole non è collegato alcun carico, la macchina funziona

a vuoto e alle spazzole è prelevata la tensione 𝑒(𝑡) = 𝐸 = 𝑘𝑛Φ.

La macchina (dinamo) non eroga potenza elettrica all’esterno ma dissipa

potenza dovuta alle perdite meccaniche (per attrito e ventilazione), alle

perdite nel ferro (per isteresi e correnti parassite) e alle perdite per

effetto Joule nel circuito di eccitazione.

Se aumenta la corrente di eccitazione, aumenta il campo al traferro,

aumenta il flusso concatenato e aumenta la tensione alle spazzole.


Quando ai morsetti delle spazzole è collegato un carico elettrico, nel

circuito di indotto circola la corrente 𝐼 e la macchina eroga potenza

elettrica all’esterno.

La corrente di indotto dà luogo ad un campo di reazione che si oppone

al campo di eccitazione, lo riduce e lo deforma. Per la legge di Lenz, la

corrente circola in modo da creare una coppia resistente che si

contrappone alla rotazione.

La tensione indotta diminuisce nel passaggio da vuoto a carico per

effetto della reazione di indotto. L’equazione elettrica di equilibrio nel

circuito di indotto si può scrivere come:

𝑉 = 𝑘𝑛Φ − 𝑅𝑖𝐼


In tale relazione 𝑉 e 𝐼 sono, rispettivamente, la tensione e la corrente

sul carico, mentre 𝑅𝑖 è la resistenza equivalente del circuito di indotto.

Moltiplicando ambo i membri per la corrente 𝐼, si ottiene la relazione

energetica della macchina:

𝑘𝑛Φ𝐼 = 𝑉𝐼 + 𝑅𝑖𝐼2

La potenza elettrica (𝑃𝑒 = 𝑘𝑛𝛷𝐼) generata dalla macchina in parte è

fornita al carico (𝑉𝐼), in parte è dissipata per effetto Joule (𝑃𝐽 = 𝑅𝑖𝐼2).

Trascurando le perdite energetiche, si può uguagliare la potenza

elettrica generata 𝑃𝑒 alla potenza meccanica applicata all’albero,

ottenendo, in condizioni di equilibrio, l’espressione della coppia

elettromagnetica:

𝐶𝑒𝑚 =𝑃𝑒𝜔

=𝑘𝑛𝛷𝐼

𝜔=

𝑘𝑛𝛷𝐼

2𝜋𝑛60 = 𝑘𝑐𝛷𝐼


Motore in c.c

Nel funzionamento da motore la macchina in c.c. costruttivamente

rimane la stessa della dinamo. La differenza consiste nelle condizioni

esterne imposte alla macchina.

In particolare, il circuito induttore statorico rimane lo stesso, mentre

le spazzole sono ora collegate ad un generatore esterno (rete di

alimentazione) che fornisce la tensione 𝑉 e che farà circolare la

corrente 𝐼 nel circuito di indotto, cioè negli avvolgimenti di rotore.

I conduttori di rotore, interagendo con il campo al traferro, saranno

soggetti ad una forza del tipo 𝑖𝑙 × 𝐵, per cui si genererà un coppia

meccanica che porta in rotazione il rotore


Nel motore esisteranno gli stessi fenomeni di reazione di indotto

presenti nella dinamo.

Nella loro rotazione i conduttori rotorici, saranno sede di f.e.m. indotte

che agiranno come forze controelettromotrici che si oppongono alla

causa che le ha generate. Esse si opporranno quindi alla circolazione

delle correnti di indotto, per cui la tensione tensione 𝑉 del generatore

dovrà vincere tali forze controelettromotrici e, naturalmente, anche le

cadute di tensione resistive di indotto.

L’equazione elettrica di equilibrio nel circuito di indotto si può scrivere

come:

𝑉 = 𝑘𝑛Φ + 𝑅𝑖𝐼

Anche in questo caso possiamo moltiplicare ambo i membri per la

corrente rotorica 𝐼 al fine di avere una relazione energetica:


𝑉𝐼 = 𝑘𝑛Φ𝐼 + 𝑅𝑖𝐼2 → 𝑃𝑒 = 𝑃𝑀 + 𝑃𝐽

La potenza elettrica fornita dalla rete esterna è in parte dissipata per

effetto Joule e in parte è trasferita all’indotto sotto forma di potenza

meccanica 𝑃𝑀 = 𝑘𝑛𝛷𝐼.

La coppia motrice (coppia elettromagnetica) sviluppata dal motore è:

𝐶𝑒𝑚 =𝑃𝑀

𝜔=

𝑘𝑛𝛷𝐼

𝜔=

𝑘𝑛𝛷𝐼

2𝜋𝑛60 = 𝑘𝑐𝛷𝐼

La coppia elettromagnetica è, ovviamente, maggiore della coppia

motrice utile sul carico in quanto essa deve vincere anche la coppia

resistente dovuta all’attrito, alla ventilazione e alle perdite nel ferro.

In assenza di carico il motore genera una coppia che deve vincere le

sole perdite a vuoto.

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