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Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 14 Pagina 1

Lez.14 Bipoli dinamici


Il bipolo condensatore ideale

i (t)

Cv(t)

Il condensatore lineare è un bipolo dinamico. La sua relazione

caratteristica espressa con la convenzione dell’utilizzatore è:

𝑖(𝑡) = 𝐶𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡

Il parametro C è detto capacità. La sua unità di misura è il Farad [F].


L’ intensità di corrente in un condensatore è in relazione differenziale

con la tensione. Tale relazione è lineare, ma non è sufficiente a fornire

le informazioni per risalire al valore della tensione; infatti:

𝑣(𝑡) = 𝑣(𝑡0) +1

𝐶∫ 𝑖(𝜏)𝑑𝜏

𝑡

𝑡0

Il legame tensione-corrente è univocamente definito solo se è noto il

valore della tensione v(t0) all’istante iniziale t0.

Il bipolo condensatore è un bipolo a memoria.


Comportamento energetico

La potenza assorbita dal condensatore è:

𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝐶𝑣(𝑡)𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡

Il segno della potenza assorbita all’istante t non dipende solo dal valore

della tensione in quell’istante ma anche dal segno della sua derivata.

Il condensatore può sia assorbire potenza positiva che assorbire

potenza negativa: il condensatore non è un bipolo strettamente passivo.


L’energia assorbita dal condensatore nel generico intervallo di tempo

(t1, t2) vale:

𝑤(𝑡1, 𝑡2) = ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

= ∫ 𝐶𝑣(𝑡)𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

=1

2𝐶 ∫ 𝑑(𝑣2(𝑡))

𝑣(𝑡2)

𝑣(𝑡1)

𝑤(𝑡1, 𝑡2) =1

2𝐶𝑣2(𝑡2) −

1

2𝐶𝑣2(𝑡1)

L’energia assorbita dipende esclusivamente dal valore che la tensione

sul condensatore assume nell’istante iniziale t1 e nell’istante finale t2;

il lavoro (energia) non dipende dalla particolare evoluzione temporale

della tensione nell’intervallo (t1, t2).


Partiamo ora da una situazione in cui all’istante iniziale t1=0 il

condensatore sia scarico (q(t1)=0; v(t1)=0) e calcoliamo l’energia

assorbita nell’intervallo (0, t):

𝑤(0, 𝑡) =1

2𝐶𝑣2(𝑡)

Pensiamo poi ad una qualsiasi trasformazione in un intervallo di tempo

(t, t2) che riporti la tensione sul condensatore dal valore v(t) al valore

v(t2)=0 e valutiamo in tal caso l’energia erogata dal condensatore:

𝑤(𝑡, 𝑡2) = ∫ −𝑣(𝑡)𝑖(𝑡)

𝑡2

𝑡

= +1

2𝐶𝑣2(𝑡)


Il condensatore ha ceduto verso l’esterno tutta l’energia che aveva in

precedenza assorbito. Il condensatore è un bipolo conservativo: esso si

comporta come un serbatoio di energia: immagazzina energia e poi è in

grado di cederla tutta verso l’esterno.

La funzione 𝑤(𝑡) =1

2𝐶𝑣2(𝑡) esprime l’energia immagazzinata nel

condensatore all’istante generico t. Il condensatore non è in grado di

fornire più energia di quanta non ne abbia immagazzinata in precedenza.

Il condensatore è un bipolo passivo.

La tensione sul condensatore è una funzione di stato in quanto legata

all’energia immagazzinata.


La tensione sul condensatore è una variabile continua se la forma d’onda

della corrente si mantiene limitata.

Per dimostrarlo, supponiamo che la tensione non sia continua:

arriveremo ad un assurdo. Se la tensione non è continua in t, si ha:

{lim

𝑡→𝑡+𝑣(𝑡) = 𝑣(𝑡+)

lim𝑡→𝑡−

𝑣(𝑡) = 𝑣(𝑡−)

𝑣(𝑡+) − 𝑣(𝑡−) ≠ 0

Il limite destro e il limite sinistro di v(t) sono diversi


Di conseguenza, ricordando la caratteristica integrale del

condensatore possiamo affermare che:

𝑣(𝑡+) − 𝑣(𝑡−) =1

𝐶∫ 𝑖(𝜏)𝑑𝜏

𝑡+

𝑡−

e

1

𝐶∫ 𝑖(𝜏)𝑑𝜏 ≠ 0

𝑡+

𝑡−

L’integrale della corrente, esteso ad un intervallo infinitesimo, è

diverso da zero. Ciò è un assurdo se la corrente è limitata. Di

conseguenza, deve necessariamente essere 𝑣(𝑡+) = 𝑣(𝑡−)


Il dispositivo fisico condensatore

Il dispositivo fisico condensatore è un componente a due terminali

costituito da due corpi conduttori affacciati (armature), di forma

qualsiasi, tra i quali sono interposti uno o più mezzi dielettrici. Il

condensatore si dice carico quando sul primo conduttore è presente la

carica qA, mentre sul secondo conduttore è presente la carica qB=-qA.

Nascerà un campo elettrico tra le armature; indicata con v la tensione

tra le armature, esiste la seguente relazione di proporzionalità tra il

modulo q della carica sulle armature e la tensione v : 𝑞 = 𝐶𝑣


La costante di proporzionalità C è chiamata capacità del condensatore.

Essa dipende dalla forma e dalla posizione relativa tra le armature,

nonché dal mezzo che le separa. L’unità di misura della capacità è il

farad [F]:

[𝐶] =[𝑞]

[𝑣]=

𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏

𝑣𝑜𝑙𝑡= 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑

Il condensatore piano costituisce il caso più semplice di condensatore.

In esso le armature sono piane e parallele, di uguale superficie S, e

distanti d. Tra le armature è interposto un dielettrico ideale di


permettività . La carica (in modulo) sulle armature è q. La densità

superficiale di carica è =q/S

Aq

Bq

S

d E

Se la distanza d è piccola rispetto alle dimensioni delle armature, cioè

(d ≪ √S), si può affermare con buona approssimazione che il campo

elettrico si addensi nel solo dielettrico e che sia uniforme tra le

armature.

n iAB(t)


Il campo elettrico vale:

𝐸 =𝜎

𝜀=

1

𝜖

𝑞

𝑆

La tensione si calcola come:

𝑣𝐴𝐵 = ∫ 𝑬 ∙ 𝒕 𝑑𝑙

𝐵

𝐴

= 𝐸𝑑

In tali condizioni la capacità C è:

𝐶 =𝑞

𝑣𝐴𝐵=

𝑞

𝐸𝑑 𝐶 = 𝜀

𝑆

𝑑

Come si vede, la capacità dipende solo da fattori geometrici (S, d) e dal

tipo di dielettrico inserito tra le armature ().


Materiale Permettività relativa r

Polietilene 2.3

Carta 3.5

Vetro 4.7

Mica 5.4

Porcellana 6

Gomma 7

Acqua distillata 80

n.b. i valori di permettività in tabella sono indicativi perché dipendono anche dalla lavorazione e\o

trattamento subito dall’isolante (es. carta cellulosica o aramidica, vetro temprato o non ecc.)


Nell’ipotesi in cui: (a) pur variando nel tempo, le cariche sulle armature

del condensatore assumano sempre valore opposto 𝑞𝐴(𝑡) = −𝑞𝐵(𝑡); (b)

la tensione 𝑣(𝑡) si possa esprimere sempre come differenza di

potenziale; (c) la capacità sia C costante, applichiamo la legge di

conservazione della carica alla superficie , orientata come in figura,

che racchiude il volume e contiene la sola armatura superiore:

𝑑𝑞𝑑𝑡

+𝑑𝑞𝑑𝑡

= 0 → 𝑑𝑞Σ

𝑑𝑡= −

𝑑𝑞𝐴

𝑑𝑡

−𝑖𝐴𝐵(𝑡) = −𝑑𝑞𝐴

𝑑𝑡= −

𝑑

𝑑𝑡(𝐶𝑣𝐴𝐵)

𝑖𝐴𝐵(𝑡) = 𝐶𝑑𝑣𝐴𝐵

𝑑𝑡


Condensatore cilindrico – Capacità di un cavo rettilineo

E’ costituito da due armature cilindriche coassiali di raggio r1 e r2

𝑉 = ∫ 𝐸(𝑟)𝑑𝑟𝑟2

𝑟1= ∫

𝑄

2𝜋𝑟𝐿𝜖 𝑑𝑟

𝑟2

𝑟1=

𝑄

2𝜋𝐿𝜖 ln

𝑟2

𝑟1 𝐶 =

2𝜋𝐿𝜖

ln(𝑟2𝑟1

)

𝑟2

𝑟1

𝐿


Il bipolo induttore ideale

i (t)

Lv(t)

L’induttore lineare è un bipolo dinamico. La sua relazione caratteristica

espressa con la convenzione dell’utilizzatore è:

𝑣(𝑡) = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡

Il parametro L è detto induttanza. La sua unità di misura è l’Henry [H].

Il bipolo induttore è il duale del bipolo condensatore


Il legame integrale tra tensione e corrente in un induttore è:

𝑖(𝑡) = 𝑖(𝑡0) +1

𝐿∫ 𝑣(𝜏)𝑑𝜏

𝑡

𝑡0

Il legame tensione-corrente è univocamente definito solo se è noto il

valore della corrente i(t0) all’istante iniziale t0.

Il bipolo induttore è un bipolo a memoria.


Comportamento energetico

La potenza assorbita dall’induttore è:

𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡𝑖(𝑡)

2sin ; cos ; sin cosM M Mi t I t v t LI t p t LI t t

-1 -0.5 0 0.5 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Tempo [s]

corrente

tensione

potenza


L’induttore può sia assorbire potenza che erogare potenza; l’induttore

non è un bipolo strettamente passivo.

L’energia assorbita dall’induttore nell’ intervallo di tempo (t1, t2) è:

𝑤(𝑡1, 𝑡2) =1

2𝐿𝑖2(𝑡2) −

1

2𝐿𝑖2(𝑡1)

L’energia assorbita può essere espressa come differenza tra l’energia

immagazzinata all’istante t2 e quella immagazzinata all’istante t1:

𝑤(𝑡1, 𝑡2) = 𝑤(𝑡2) − 𝑤(𝑡1)

L’induttore può fungere da serbatoio di energia, accumularla in un certo

intervallo di tempo e poi restituirla tutta all’esterno. Il bipolo induttore

è un bipolo conservativo.


L’induttore non può però erogare più energia di quanta ne abbia

immagazzinata in precedenza. L’induttore è un bipolo passivo.

L’intensità di corrente elettrica nell’induttore è una funzione di stato

in quanto legata all’energia immagazzinata:

𝑤(𝑡) =1

2𝐿𝑖2(𝑡)

L’intensità di corrente elettrica nell’induttore è una variabile continua

se la forma d’onda della tensione si mantiene limitata.


Il dispositivo fisico induttore

Il dispositivo fisico induttore è un componente a due terminali

costituito da un filo conduttore di resistività molto bassa (al limite

nulla) avvolto su un supporto, ad esempio toroidale.

Se nel filo conduttore circola una corrente i(t), nasce un campo

magnetico e un flusso (t) concatenato con lo stesso avvolgimento.

e

A

B


In regime lentamente variabile, se il supporto è costituito da materiale

con caratteristica magnetica lineare, esiste la seguente relazione di

proporzionalità tra il flusso e la corrente: Φ = 𝐿𝑖.

La costante di proporzionalità L è chiamata induttanza (o coefficiente

di autoinduzione) dell’induttore. Essa dipende dalla geometria e dal

numero delle spire dell’avvolgimento, nonché dal mezzo con cui è

realizzato il supporto.

L’unità di misura dell’induttanza è l’henry [H]:

[𝐿] =[Φ]

[𝑖]=

𝑤𝑒𝑏𝑒𝑟

𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒= ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦


Nel caso di induttore toroidale con raggio r, e sezione trasversale S,

realizzato con N spire percorse da corrente i e avvolto su un mezzo

lineare con permeabilità magnetica , il campo magnetico nella sezione

trasversale S può considerarsi uniforme e pari a:

𝐵 = 𝜇𝑁𝑖

2𝜋𝑟

Il coefficiente di autoinduzione vale:

𝐿 =Φtot

𝑖=

𝑁𝐵𝑆

𝑖= 𝜇

𝑁2𝑖𝑆

2𝜋𝑟∙

1

𝑖

𝐿 = 𝜇𝑁2𝑆

2𝜋𝑟


Nell’ipotesi di regime lentamente variabile, considerando L costante nel

tempo (induttore tempo-invariante), possiamo calcolare la tensione 𝑣𝐴𝐵

ai capi dell’avvolgimento in funzione della corrente 𝑖𝐴𝐵.

La tensione elettrica si calcola come:

𝑣𝐴𝐵 = ∫ 𝑬𝒆 ∙ 𝒕 𝑑𝑙

𝐵

𝐴,𝛾

Applichiamo la legge di Faraday-Neumann alla linea chiusa Γ costituita

dall’avvolgimento 𝛾𝑖 e dalla linea 𝛾𝑒 aperta esterna alla superficie:

∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑙Γ

= −𝑑Φ𝛾

𝑑𝑡


∮ 𝑬 ∙ 𝒕 𝑑𝑙Γ

= ∫ 𝑬𝒊 ∙ 𝒕 𝑑𝑙

𝐵

𝐴,𝛾𝑖

+ ∫ 𝑬𝒆 ∙ 𝒕 𝑑𝑙

𝐴

𝐵,𝛾𝑒

= −𝑑𝛷𝛾

𝑑𝑡

Ricordando che il campo elettrico 𝑬𝒊 lungo la linea interna 𝛾𝑖 è nullo se

il filo conduttore è realizzato con materiale conduttore perfetto, si ha:

𝑣𝐴𝐵 = +𝑑𝛷𝛾

𝑑𝑡

𝑣𝐴𝐵 = +𝑑

𝑑𝑡(𝐿 𝑖𝐴𝐵)

𝑣𝐴𝐵 = 𝐿𝑑𝑖𝐴𝐵(𝑡)

𝑑𝑡


Per ottenere un flusso più elevato a parità di corrente conviene

scegliere materiali con permeabilità elevata, quali i materiali

ferromagnetici in cui la caratteristica B-H è di tipo isteretico.

Materiale Permeabilità relativa µr

Acqua pura (diamagnetico) 1-(9 10-6)

Alluminio (paramagnetico) 1+(2.3 10-5)

Ferro puro (ferromagnetico) 2 105

Permalloy (Ni – Fe 22%) 5 104

Caratteristica B-H in materiali ferromagnetici

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Linea bifilare – coefficiente di autoinduzione

La linea è costituita da due conduttori paralleli cilindrici filiformi di raggi r1 e r2, lunghi

h, distanti d (r1<<d e r2<<d) e percorsi da intensità di corrente i uguali e opposte

{𝑩𝟏 ∙ 𝒏 =

𝜇𝑖

2𝜋𝑟

𝑩𝟐 ∙ 𝒏 =𝜇𝑖

2𝜋(𝑑−𝑟)

𝜙 = ℎ𝜇𝑖

2𝜋∫ (

1

𝑟+

1

𝑑−𝑟) 𝑑𝑟

𝑑−𝑟2

𝑟1~ℎ

𝜇𝑖

2𝜋ln (

𝑑2

𝑟1𝑟2) 𝐿 =

𝜙

𝑖= ℎ

𝜇

2𝜋ln (

𝑑2

𝑟1𝑟2)

d

h

i

i

n

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