Lezione 11

AZIONAMENTI BRUSHLESSAZIONAMENTI BRUSHLESS

• Brushless = senza spazzole

Indicherebbe tutti gli azionamenti in C.A. Normalmente si usa per

i di i t i i i ti ti (i t i) d ttiindicare i motori sincroni a magneti permanenti (isotropi), detti

S.M.P.M. (Surface Mounted Permanent Magnet Synchronous Motor).

• Azionamenti brushless di impiego comune• Azionamenti brushless di impiego comune

-sostituiscono motori in c.c. (automotive), oppure il motore ad induzione (pompe, ventilatori)

non sono richieste prestazioni particolari (dinamica ripple coppia)-non sono richieste prestazioni particolari (dinamica, ripple coppia)

- schemi di controllo (di macchina) di tipo semplificato

• Azionamenti brushless ad alte prestazioni (tipo asse)• Azionamenti brushless ad alte prestazioni (tipo asse)

- Sostituiscono i servoazionamenti in C.C.

• Difetti del servomotore in corrente continua

Commutatore a lamelle:– Commutatore a lamelle:affidabilità (contatti striscianti) manutenzione (usura collettore e spazzole)manutenzione (usura collettore e spazzole) sovraccarico e limiti di velocità massima

– Generazione di calore sul rotoredissipazione più difficoltosa esecuzione chiusa

– Rapporto coppia/momento d’inerzia basso

• Vantaggi del motore brushless• Vantaggi del motore brushless

– Commutazione elettronicarichiede gli avvolgimenti sullo statore

– Generazione di calore sullo statore f ilità di di i i i hifacilità di dissipazione, esecuzione chiusa

– Alleggerimento del rotoreAlleggerimento del rotoremiglior rapporto coppia/momento d’inerzia

• Il principio di funzionamento del motore brushless è lo stesso di unmotore in C.C. a magneti permanenti, la differenza è che funzionalmentesono invertiti il rotore e statore: i magneti sono sul rotore e gli avvolgimentidi armatura sono nello statore La funzione del collettore viene realizzatadi armatura sono nello statore. La funzione del collettore viene realizzatadal convertitore di potenza.

Principio di funzionamento dei motori brushless

In figura è riportato un motore a due fasi ad una coppia polare

Il magnete nel rotore produce Φe, se si alimenta la fase F1, nelmodo indicato in figura, si produce una coppia che tende adallineare i due campi magnetici, quando ciò succede la coppia siannulla, alimentando poi in sequenza la fase 2 il rotore continueràa girarea girare.

•Per commutare l’alimentazione delle fasi nel modo opportunooccorre conoscere la posizione dei poli del rotore: serve un sensoredi posizione.

•Nel motore in C.C. questa informazione era intrinseca nel sistema collettore-spazzole.

•nell’esempio riportato il ripple di coppia sarebbe elevato, se non si prendono opportuni provvedimenti.

Nel caso del motore in C.C. il ripple si diminuiva aumentando il d ll f i d l i it di t ibil inumero delle fasi del circuito di armatura, non proponibile per i

brushless.

Nel brushless ogni fase viene alimentata con un convertitore dipotenza (semiponte).p ( p )

• Tecniche di comando– Scopo

•coppia indipendente dalla posizione angolare del rotore

– Modo•opportuna progettazione del motore e controllo delle correnti

– Tecniche

•Trapezoidale e sinusoidale

• Per rendere la coppia costante si costruisce il motore in modo• Per rendere la coppia costante si costruisce il motore in modoche la coppia generata da ciascun avvolgimento (alimentato acorrente costante), in funzione della posizione del rotore, sia) ptrapezoidale o sinusoidale, alimentando così le fasi in modoopportuno si ottiene una coppia costante.

• Ricordando che la coppia in un avvolgimento, libero di ruotare sulproprio asse, percorso da una corrente I ed immerso in un campomagnetico è data da:

dλ IddT C

θλ

=

possiamo analizzare le due tecniche:

• Tecnica trapezoidale

p

Tecnica trapezoidale

• Tecnica sinusoidale• Tecnica sinusoidale

• Tecnica trapezoidale

i fi i t ti li d ti d iin figura sono riportati gli andamenti deiflussi concatenati con gli avvolgimenti ele rispettive derivate ne segue che lale rispettive derivate, ne segue che lacoppia totale sarà:

22

11

21 id

did

dTTT cc

θφ

θφ

+=+=

Alimentando gli avvolgimenti con le correnti indicate in figura, il cui segnocoincide con quello delle derivate del flusso, si ottiene una coppia positivae il cui valore dipende dal valore delle correnti.

• Tecnica sinusoidale

Le derivate del flusso concatenatocon i rispettivi avvolgimenti sonodelle funzioni sinusoidali dell’angolo:delle funzioni sinusoidali dell angolo:

)sen(1 θφ Kd c =

)cos(

)sen(

2 θφ

θθ

Kd

Kd

c =

=

)cos(θθ

Kd

Se si alimentano le fasi con le seguenti correnti:

)()sen(1

θθ

iiii =

)cos(2 θii =

allora

21 ididTTT cc ΦΦ2

21

121 i

di

dTTT cc

θθ+=+=

iseniT K)](cos)([K 22 =+= θθ

La coppia T dipende dalla corrente ma non dall’angolo.

• Strutture multipolo

I flussi al traferro sono delle funzioni periodiche della posizione.Nel caso in cui un periodo coincide con un giro meccanico, si hap g ,una coppia polare o 2 poli. Questo è il caso che abbiamo sempretrattato e la posizione elettrica coincide con quella meccanica.

Nel caso in cui occorrono N periodi elettrici per effettuare unp pgiro meccanico, allora si hanno N coppie polari, nella figuraelettrica è indicato il caso con 2 coppie polari o 4 poli.

Funzionalmente non cambia niente, occorre considerare la,posizione angolare meccanica è uguale a quella elettrica diviso ilnumero di coppie polari: θm = θe

St tStatore: avvolgimenti trifase (120°) disposti simmetricamente e collegati a stella con neutro isolato.

Con questo collegamento i1+i2+i3 = 0

brushless trapezoidale• Modellistica motori brushless• Modellistica motori brushless

– Statore: avvolgimento trifase(120°) ⇒distribuzione dei conduttori di una fase

R t ti ti di t ib i i d i l t f– Rotore: magneti permanenti ⇒ distribuzione induzione al traferro

• STATORE: avvolgimento trifase (2 poli) ⇒ densità di distribuzione dei conduttorig ( p )

L’angolo α descrive la posizione sullo statore a partire dall’asse di i t i d ll f 1 L lt f i f l t di 120°simmetria della fase1. Le altre fasi sono sfalsate di 120°

• f(α): densità di distribuzione dei conduttori (segno)

• F(α) = ∫f(α)dα: distribuzione dei conduttori (segno)( ) ∫f( ) ( g )

• I F(α): rappresenta la distribuzione di f.m.m. al traferro

Stokes - Ampère

∫∫ ×=× T dsnGdH ln

Sl∫∫

SCl

l

S

2N

gHggHggHgNI ⋅=⋅+⋅= lll

)(If.m.m

I)(I2

α

α

F

FNgHg

⋅=

==⋅ l

)(If.m.m αF

• ROTORE: isotropo, 2 poli.

L’angolo ξ è la coordinata polare che rappresenta la posizione del rotore, prendiamo come posizione iniziale la mezzeria del polo N del magnete.

• Caratteristica nel caso di magnetizzazione ideale (radiale)

Consideriamo contemporaneamente le due distribuzioni:

α = θ + ξ →

La spira è fissa, mentre il rotore può rotare di un angolo θLa spira è fissa, mentre il rotore può rotare di un angolo θ

Il flusso prodotto dai magneti concatenato con l’avvolgimento è funzione di θ (triangolare)funzione di θ (triangolare).

Il valore massimo del flusso concatenato si avrà per θ = 0

∫Φ= Nmλ ∫ ⋅==ΦS

Sds 0m BB

l⋅⋅= rS π

S: superficie del traferro (forma cilindrica)

lrS π

l⋅⋅⋅⋅=Φ⋅== rBNN πλλ 0max

Il valore minimo del flusso concatenato si avrà per: θ=±π/2

2πθ ±= λ=02

Per θ tra 0 e ±π/2 il valore di λ varia in modo lineare formando ungrafico triangolare:

Formula generale del flusso concatenato con un avvolgimento in funzione di F(α) e B(α-θ):( ) ( )

∫ −=π

αθααθλ dBFr )()()( l∫ −=π

αθααθλ dBFr )()()( l∫−π αθααθλ dBFr mm )()()( l

per θ = 0 λm(0) = λmax

∫−π αθααθλ dBFr mm )()()( l

max000 B22

B2

B)0( λππαλπ

=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= ∫ lll rNNrdNrm max000 22)(

π∫−

m

per θ = ±π/2 λ (±π/2 ) = 0

la forza elettro-motrice (f.e.m.):

per θ = ±π/2 λm(±π/2 ) = 0

)()( tdd

dtd

dtdNte mm ω

θλλ

==Φ

=

a o a e e o o ce ( e )

ddtdt θ

A regime (ω=cost) la f.e.m. ha andamento quadro, come la F(α)

B2)( Nrd l πθλ

la derivata di λm nell’intervallo [ -π, 0] :

00 B2B2)(

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

= NrNrd

d m ll

ππ

θθλ

B2= Nrd m lλ

mentre per l’intervallo successivo [0, π]:

0B2 ⋅⋅⋅⋅−= Nrd

lθ

grafico a gradini che cambia segno ogni πcambia segno ogni π

• Se l’avvolgimento è distribuito uniformemente (trifase), occupa 1/6+1/6=1/3 di spazio al traferro.1/6 1/6 1/3 di spazio al traferro.

3π3

3π

2π 3π

La F(α) ha forma trapezoidale3

33

Supponiamo per Bm l’andamento rettangolare visto, allora l’equazione

∫π

∫− −=π

αθααθλ dBFr mm )()()( l

può essere semplificata, facendo riferimento alla figura seguente:

∫ =−π

αθαα dBF )()( per ragioni di simmetria di F(α)B(α-θ)∫−π αθαα dBF m )()( p g ( ) ( )

=−= ∫ 2 )()(2π

αθαα dBF mspostando l’intervallo di integrazione∫−

2

)()(π m

di θ→ B(α-θ)=B0

θθ ππ

∫∫+

+

+

+ −−⋅=−=

θ

θ

θ

θ

π

π

π

παααθαα 2

2

2

2

)(2)()(2 0 dFBdBF

il flusso concatenato: ∫+

+−⋅⋅⋅=

θ

θ

π

πααθλ 2 )(2)( 0 dFrBm l∫ +θ2

∫+θπ

αα2 )( dF L’integrale è una funzione di θ, il ∫ +− θπαα

2

)( dF g ,massimo si ha per θ = 0

5πNil massimo si ha per θ = 0 e il valore è

62⋅

nel caso precedente si aveva un rettangolo

πNcon area uguale a π2

NBrNBr ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= 00 22)( ππθλ ll

g

NBrBrrettm 00 22)( ππθλ ll

Adesso il grafico ha la forma trapezoidale togliendo quindi le aree tratteggiate si riduce il massimo di 1/6

65

65

22)( 00 ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅= NBrNBrtrapm ππθλ ll 662p

il minimo si ha per 2πθ = e il suo valore è nullo.

π6

5π

6π

• Andamento del flusso concatenato λm(θ): Andamento del flusso concatenato λm(θ):

6π

− 6π

65π

La f.e.m. (a regime) (dλm/dθ)ω(t) ha la forma della F(α), cioè trapezia (ciò è sempre vero se Bm è quadra)sempre vero se Bm è quadra).

• Conclusioni: per ottenere una derivata del flusso concatenato t id l di t ib i di d tt i if (F( )trapezoidale, occorre una distribuzione di conduttori uniforme (F(α) trapezoidale) ed un’induzione prodotta dai magneti di tipo quadro.

In pratica ciò non è vero.

• I conduttori sono in cave Ogni fase occupa ”q cave all’andata” e ”q al• I conduttori sono in cave. Ogni fase occupa q cave all andata e q al ritorno” per una coppia di poli. La cosa si ripete per ogni coppia di poli.

La presenza delle cave produce ondulazione di coppia, anche a motore non alimentato (cogging Torque)non alimentato (cogging Torque)

Per compensare tale ondulazione si può ”inclinare” (skewing) lo statore (o il rotore) di un passo/cavastatore (o il rotore) di un passo/cava.

• L’effetto dello skewing sulla F(α) è quello di trasformare la gradinata nel trapezio teorico. Questo indipendentemente dal numero di cavepolo/fase.

• La distribuzione trapezia F(α) si ottiene abbastanza semplicemente• La distribuzione trapezia F(α) si ottiene abbastanza semplicemente, non è proprio così per la Bm(ξ) quadra.

TERMINATORETERMINATORE

• Il gradino di induzione non è fisicamente realizzabile.

• E’ difficile ottenere una magnetizzazione perfettamente radiale, quindi la forma di Bm(ξ) che si ottiene è quella riportata di seguito.

• L’effetto che si ottiene è che la derivata del flusso concatenato ha una f t id l li i li t d ti iò d i l di iforma trapezoidale con gli spigoli arrotondati, ciò produce ripple di coppia, che è comunque inferiore a quello generato da una forma di corrente non ideale.

Lezione 12

brushless sinusoidale

• riferendoci al flusso concatenato con una fase, occorre progettare F e Bm, per avere λm(θ) desiderato. (non è detto che l’andamento i id l è l l i li )sinusoidale è la scelta migliore).

∫ −=π

αθααθλ dBFr )()()( l∫−π αθααθλ dBFr mm )()()( l

V l t b F B l i tà di i t iValgono per entrambe F e Bm le proprietà di simmetria.

F e Bm

0 π

1) Simmetria di semionda: descrizione con serie di Fourier di soli coseni (funzione pari)soli coseni (funzione pari)

∑ hF )(∑h

h hF )cos( α

2) Semionda positiva uguale ed opposta a semionda negativa: solo armoniche disparisolo armoniche dispari

F e Bm

0 π0 π

∑ h hF )cos(2

α [ ]∑ −− h hF )(cos2

παh 2 h 2

[ ][ ]∑ −−= h hhFF )(cos)cos()( πααα [ ][ ]∑h

hhF )(cos)cos(2

)( πααα

[ ] 0)cos()cos()sin()sin()cos()cos()(cos +=+=− παπαπαπα hhhhhhh

[ ]F0)cos()cos()cos( =− παα hhh

⎪⎨

⎧h pari

[ ]∑ −=h

h hhhFF )cos()cos()cos(2

)( πααα)cos(2)cos()cos()cos( απαα hhhh =−⎪

⎩

⎪⎨

h pari

h dispari

( )∑= h hFF )cos(22

)( αα ∑= h hFF )cos()( αα

⎩ h dispari

( )∑hdispari 2 ∑

hdispari

Dato che per Bm valgono le stesse proprietà:p m g p p

∑=kdi i

mm kBB )cos()( ξξkdispari

[ ]∫ ∑∑∫ −=−=ππ

αθαααθααθλ dkBhFrdBFr khmm )(cos)cos()()()( ll [ ]∫ ∑∑∫ −− ππkdispari

khdispari

hmm )()()()()(

• L’integrale esteso al periodo (1° armonica) del prodotto di due• L integrale esteso al periodo (1° armonica) del prodotto di due armoniche differenti è nullo, indipendentemente dal reciproco sfasamento:

[ ] [ ]∫ ∫∫ −−+++=+π ππ

αϕααϕααϕαα dkhdkhdkh )(cos)(cos)cos()cos(2− −− π ππ

se h ≠ k entrambi gli integrali sono nulli

se h = k il secondo integrale vale 2πcos(ϕ)

)cos(2)cos()cos( ϕπϕϕϕϕπ

π

π

π==− ∫∫ −−

dd

• Quindi per eliminare un’armonica da λm(θ) basta eliminarla da F( ) B (ξ)F(α) o Bm(ξ)

• Per ottenere λm(θ) con andamento sinusoidale si devono eliminare tutte le armoniche meno la prima.

• Su Bm si agisce giocando sull’ampiezza del vano tra i poli del• Su Bm si agisce giocando sull ampiezza del vano tra i poli del magnete: un vano di 1/6 del passo polare riduce la 5a e la 7a

armonica.

Passo polare

S NS N

1/6

• Su F(α) si agisce spostando una parte dei conduttori di una fase sulle cave adiacenti (conduttori di fasi diverse sulla stessa cavasulle cave adiacenti (conduttori di fasi diverse sulla stessa cava, problema di isolamento elettrico).

3/4 3/4 1/41/4

Le 3° armoniche e multipli (9°, 15°……) non danno contributo alla coppia,Le 3 armoniche e multipli (9 , 15 ……) non danno contributo alla coppia,le armoniche pari non ci sono, la 5° e la 7° le elimina Bm(ξ), la primaarmonica utile è la 11°, la cui ampiezza rispetto alla prima è piccola..

• Dato che non occorre eliminare le terze armoniche in λm(θ), in quanto non contribuiscono alla generazione di coppia, la F(α) ideale, eliminando tutte le armoniche salvo che le terze, sarebbe:

1° armonica

Forma reale=1°+3°

1 armonica

2 NN=

3° armonica323

=

ampiezza 3° armonica=1/6 ampiezza 1°armonica

Con una opportuna scelta del valore della 3° armonica, si ottiene un massimo per la 1° armonica, che è quella che conta per il contributo

√

Non solo possiamo non eliminare le 3° armoniche, ma sfruttiamo la loro

alla coppia, di F1 = N / √3 , contro un valore ”fisico” di N/2

presenza per avere una F(α) di 1° armonica più alta rispetto al valore fisico N/2

Con la scelta fatta in precedenza per il riempimento delle cave p p pstatoriche, si ottiene una F(α), che si avvicina a quella ideale.

8N

N83

• L’avvolgimento Trapezoidale visto in precedenza si chiama a ”passo intero” il nome fa riferimento alle connessioni frontali delle ca eintero”, il nome fa riferimento alle connessioni frontali delle cave.

• L’avvolgimento Sinusoidale si chiama a ”passo raccorciato”.

• Lo stesso discorso di F(α) può essere fatto per Bm(ξ), la distribuzione di induzione al traferro:

2Bdove il valore massimo della 1° armonica è:

32 0

1BBm ≈

Dall’equazione del flusso concatenato λm1 per le prime armoniche, dato che: 2 NBBF 011 3

NBBF m =

αα cos3

cos1NF =3

)cos(3

2)cos( 01 θαθα −=− BBm 3

=−⋅= ∫π

αθααθλ drNB )cos(cos2)( l =⋅= ∫−π

αθααθλ drNBm )cos(cos3

)( 01 l

[ ]θθθπ π 21)2(12

ll ⎥⎤

⎢⎡∫ ∫ NBddNB [ ]θπαθαθαπ π

cos32cos

21)2cos(

21

32

00 ll ⋅=⎥⎦

⎢⎣

+−⋅= ∫ ∫− −

rNBddrNB

( ) θπθλ cos3

2)( 01 NBrm l=

( )( )θωπωθθλθλ sin

32)()(

011

1 −=== NBrd

ddt

de mm l

Non occorre eliminare le terze armoniche in λm (θ), perchè non danno contributo alla generazione di coppia, infatti grazie alla connessione trifase a stella con neutro isolato si ottiene che:connessione trifase a stella con neutro isolato si ottiene che:

i1+i2+i3=0

∑ =++== mmmjmj d

did

did

did

diT

θλ

θλ

θλ

θλ 3

32

21

1j dddd θθθθ

)34()

32()( 321 πθλπθλθλ −=−= mmm

Il flusso concatenato con la fase 2 è uguale a quello concatenato con lafase 1 ma sfasato di (2/3)π, per la fase 3 lo sfasamento è di (4/3)π

Considerando le 3° armoniche:Considerando le 3 armoniche:

⎤⎡

)3cos()( 331 θλθλ mm =

)3cos()23cos()32(3cos)( 33332 θλπθλπθλθλ mmmm =−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

4 ⎤⎡ )3cos()43cos()34(3cos)( 33333 θλπθλπθλθλ mmmm =−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

Le 3° armoniche sono omopolari, cioè sono in fase fra di loro, il lorocontributo alla coppia è:

333231 di

di

diT mmm λλλ 33

332

231

13 =++=d

id

id

iT mmmarm θθθ

)3(3)3(3)3(3 333231 =−−−= seniseniseni mmm θλθλθλ

0))(3(3 3213 =++−= iiisenm θλ

La coppia risultante data dalla somma delle coppie delle 3 fasi non ha la 3° armonica anche se lo hanno i singoli contributi

• Nel caso di più coppie polari, normalmente i brushless vengono realizzati a 6 o 8 poli (3 o 4 coppie polari)p ( pp p )

Essendo N il numero totale di ”spire per fase”, ed p il numero di coppie polari, nelle precedenti equazioni cambiano i seguenti valori:

pNN ⇒

mpθθ ⇒p

Il nuovo angolo θ = pθm, si chiama angolo elettrico.

Dove θm è l’angolo meccanico.

θθπθλ cos)cos(2)(1 KpBNr mom =⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

= l )(3

)(1 pp mom ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

[ ]2)(1d πθλ [ ])sin(3

2)(11 mmom

m

m pBNrd

de θωπωθθλ

l−==

• Considerando il flusso concatenato di tutte e tre le fasi (j=1,2,3) e trascurando le armoniche triple, si ha:p ,

θθλ cos)(1 K= θθλ cos)(1 Km

)2(cos)( πθθλ =⎥⎤

⎢⎡

−= pK

)2cos()2cos(

)3

(cos)(2

πθπθ

πθθλ

−=−=

=⎥⎦

⎢⎣

−=

KpK

ppK mm

)3

cos()3

cos( πθπθ KpK m

4 )34cos()(3 πθθλ −= Km

N2

mp

BpNrK

θθ

π

=

= 032

l

mp

Ricapitolando:

Motore Trapezoidale

−Bm circa uguale a un onda quadraBm circa uguale a un onda quadra

−F trapezoidale (avv. passo intero)

− trapezoidaleλd m t ape o da e

M t Si id l

θd

Motore Sinusoidale

−Bm con vano interpolare

−F con passo raccorciato

− sinusoidale + 3° armonicaθλ

dd m

θd

Lezione 13

Auto e mutue induttanze neit i b hlmotori brushless

U t i f d f l l d àUna corrente in una fase produce una f.m.m., la quale produrrà un flusso, e quindi ci saranno dei flussi concatenati.

• Autoinduttanza di una fase Autoinduttanza di una fase

Analizziamo il flusso concatenato con un avvolgimento, prodotto dalla corrente dello stesso avvolgimentodalla corrente dello stesso avvolgimento.

.)( f.m.mIF =αDato che:

allora la distribuzione d’induzione (prodotta dallo stesso avvolgimento) sarà:sarà:

traferrotraferroBHmmf ll

0

)()(...μαα ==

f

mmfBl

...)( 0μα =traferrol

dato che il traferro può essere considerato dato dalla somma del traferro meccanico più lo spessore del magnete (permeabilità vicina a μ0):

traferro ≈ lg + lm

IFB )()( 0 αμαll +

=mg ll +

Come si vede, naturalmente è indipendente da θ (posizione del rotore), ed è per un dato valore di I, proporzionale ad F(α).ed è per un dato valore di I, proporzionale ad F(α).

Utilizzando la formula per calcolare il flusso concatenato:

∫⋅⋅=π

αααλ dBFr )()(l ∫−π

)()(

Sostituendo l’equazione di B(α) appena calcolata, e dividendo per I pertrovare l’autoinduttanza, si ottiene che L dipende dalla distribuzione deiconduttori F(α):

∫+⋅⋅

=π

ααμ dFrL 20 )(ll

l

−+ πmg ll

In generale:

...)3cos()cos(.....)()()( 3131 ++=++= ααααα pFpFFFF

2 NN

Nel caso del progetto sinusoidale l’ampiezza della prima armonica è:

332

21 pN

pNF ==

π π π 21 N

Se nell’integrale dell’autoinduttanza si considera solo la 1° armonica, si ha:

[ ]∫ ∫ ∫− − −

==+==π

π

π

π

π

π

ππαααααα 2

22

12

122

12

1 31)2cos(

21)(cos)(

pNFdpFdpFdF

2

20

1 3pNrL πμ

ll

l

+⋅⋅

=3pmg ll +

ππααααααπ ππ

23

21

223

221

2 )3(cos)(cos)( FFdpFdpFdF +=+= ∫ ∫∫ ππααααααπ ππ

3131 )3(cos)(cos)( FFdpFdpFdF ++∫ ∫∫− −−

L’autoinduttanza di una fase dipende dalle armoniche di F(α), ma Fk2

decade rapidamente, se i1 + i2 + i3 = 0 le 3° armoniche non influisconosul comportamento globale quindi non si commettono grossi errori asul comportamento globale, quindi non si commettono grossi errori a considerare solo la 1a armonica.

• Mutua induttanza fra le fasi

E’ la stessa per qualunque coppia di fasi (simmetria).

la B(α) è proporzionale alla F(α) dello stesso avvolgimento

Le 1° armoniche sono sfasate di 120° elettrici.

)cos( αp∝ )]32(cos[

pp πα −∝ )]

34(cos[

pp πα −∝

Le 3° armoniche sono in fase (omopolari) e hanno lo stesso effetto su t t i d ttauto e mutua induttanza.

)3cos( αp∝fase 1 )( p

)3cos()23cos()]32(3cos[ απαπα ppp =−=−∝fase 23p

)3cos()43cos()]34(3cos[ απαπα ppp =−=−∝fase 3 )()()]3

([ ppp

p

ππ ππ

∫ ∫∫ ddd )()()()2()( 2 πααααααπααπ ππ∫ ∫∫− −−

===− dpdppdp

pp )3(cos)3cos()3cos()]32(3cos[)3cos( 2

risulta uguale al contributo della 3° armonica dell’autoinduttanza

Considerando solo le 1° armoniche:

∫ =−π

απαα dp

pp )]32(cos[)cos(∫

−π p3

21112cos122cos1 ππααπαπαπππ

⎟⎞

⎜⎛+⎟

⎞⎜⎛ ∫∫∫ dddp

22

4223cos

232cos

2παααα

πππ

−=−=⎟⎠

⎜⎝−=+⎟

⎠⎜⎝

−= ∫∫∫−−−

dddp

• La mutua induttanza è negativa e vale circa la metà (modulo) dell’induttanza. La prima armonica dalla mutua induttanza vale:

22321

2

20

111LNrBFrM −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

πμπll

ll2232 2pmg ⎠⎝+⎠⎝ ll

Il flusso totale sarà la somma di due contributi: λm, dovuto ai magneti permanenti, funzione di θ e quello dovuto all’auto e mutua induttanza.p q

⎧

• Si può scrivere per le tre fasi (j=1,2,3):

⎪

⎪⎨

⎧+++=+++=

)()(

23212

13211

θλλθλλ

m

m

MiLiMiMiMiLi

⎪⎩ +++= )(33213 θλλ mLiMiMi

Se il motore è connesso a stella senza neutro: i1 + i2 + i3 = 0 allora:Se il motore è connesso a stella senza neutro: i1 + i2 + i3 0, allora: i2 + i3 = −i1 ……......, sostituendo:

⎧ += )()( θλλ iML per la 1a armonica:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++−=+−=

)()()()(

)()(

222

111

θλλθλλθλλ

m

m

iMLiMLiML

21

1LM −=

p

23 1

11LML =−⇒⎪

⎩ +−= )()( 333 θλλ miML 2 2

La terza armonica non da contributo: ML =La terza armonica non da contributo: 33 ML =

Si definisce induttanza equivalente:

σLMLLeq +−= Lσ = induttanza di dispersione

Nel caso sinusoidale si hanno praticamente solo le 1° armoniche, nelcaso trapezoidale si avranno anche le armoniche dispari ≠ 3°.

L’equazione diventa in forma matriciale:

][][][ meq iL λλ +=

[ ] [ ] tiiii 321 ,,=

[ ] [ ][ ] [ ] t321 ,, λλλλ =

[ ] [ ]t321 ,, λλλλ =[ ] [ ]mmmm 321 ,, λλλλ

Espressione della coppia• Relazione Tensione-Corrente

L t i di l i t è d t d ll d ll d tLa tensione su di un avvolgimento è data dalla somma della caduta resistiva e della variazione nel tempo del flusso concatenato con l’avvolgimento stesso: dλ

dtdRiV N

111

λ+=

d 2λdt

dRiV N2

22λ

+=

d 3λdt

dRiV N3

33λ

+=

scrivendo le equazioni in formato matriciale:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]

dtdiRV λ

+= [ ] [ ] tiiii 321 ,,=

[ ] [ ]tNNN VVVV 321 ,,=

dt [ ] [ ]321 ,,

[ ] [ ] t321 ,, λλλλ =

sostituendo l’equazione del flusso concatenato si ottiene:

[ ] [ ] [ ] [ ]dt

ddt

idLiRV meq

λ++=

dtdt

la tensione ai capi di un avvolgimento è data dalla caduta resistiva, caduta ginduttiva, f.c.e.m. prodotta dai magneti permanenti.

Il circuito equivalente è:

Per ogni fase vale la relazione:

jj

eqjjN edtdiLRiV ++=

dtde jm

jλ

=dt dt

Le mutue induttanze sono tenute in conto in Leq, perché i1 + i2 + i3 = 0,e le tre fasi sono simmetriche e fisse tra di loro (non dipendono da θ).

• Bilancio Energetico(determinazione coppia con il modello a parametri concentrati)(determinazione coppia con il modello a parametri concentrati)

Considerando l’equazione in forma matriciale:

[ ] [ ] [ ] [ ]didLiRV mλ++=

q

[ ] [ ]dtdt

LiRV eq ++

premoltiplicando per [i]t:

][][][][][][][][ eiidLiiRiVi teq

ttt ++= ][][][][][][][ eidt

iiiVi eq

dato che [i]t [V ]= i V + i V + i V rappresenta la potenza elettricadato che [i]t [V ]= i1V1N + i2V2N + i3V3N rappresenta la potenza elettrica assorbita dal motore, dalla equazione si deduce che si suddivide in tre termini:

( )23

22

21]][[][ iiiRiRi t ++= perdite Joule

⎞⎛ derivata dell’energia⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

dtdii

dtdii

dtdiiL

dtidLi eqeq

t 33

22

11

][][derivata dell energia magnetica accumulata W

( )2221 iiiLW ++= ( )3212iiiLW eq ++=

d ][λdt

diei mtt ][][][][ λ= potenza elettrica trasformata in meccanica

(trascurando le perdite nel ferro)

mmtmt p

ddi

dtdi ω

θλλ ][][][][ =

ddt θ

pd ωωθ== velocità angolare elettricamp

dtωω == velocità angolare elettrica.

Dividendo la potenza meccanica per la velocità angolare (meccanica) ωm otteniamo la coppia:pp

λdipPT mtmecc ][][==θω d

ipTm

][

Oppure in forma estesa:

∑=++= jmj

mmm

dd

ipd

did

did

dipTθλ

θλ

θλ

θλ )( 3

32

21

1 ∑j

j dp

dddp

θθθθ)( 321

R t l d l t ib t di i d i i li l i tiRappresenta la somma del contributo di coppia dei singoli avvolgimenti.

• Bilancio Energetico(Predizione coppia motrice)(Predizione coppia motrice)

∑∂

=IjmW

T WI coenergia magnetica∑ ∂=

jm

Tθ WI coenergia magnetica

( ) =+∂∂

=∂∂

= ∫∑∫∑ jj i

jjmjeqjm

i

jjjm

diiLdiT00

λθ

λθ

∑∑∑ ∫ =∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂=

j jjm

j jjm

j

i

jjm i

dd

pidij

θλ

θλ

θλ

0 me pθθ =∂⎠⎝ ∂ emm dθθθ0

dλj

j

jm id

dpT ∑=

θλ

• Equazione coppia

∑=++=j

jmj

mmm

dd

ipd

did

did

dipTθλ

θλ

θλ

θλ )( 3

32

21

1

θθλ cos)(1 Km =)(1m

)32cos()(2 πθθλ −= Km

BpNrK π= 03

2l

3

)34cos()(3 πθθλ −= Km

mpθθ =

∑ ⎤⎡ jiKT )2(θ∑ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=

jj jsenipKT )

3( πθ

∑ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+−=

jsenisenisenipKT )

34()

32( 321 πθπθθ

L’equazione di coppia in questa forma non è utilizzabile

Equazione coppia Motore DC MP

aT ikT = )2

( Brlnk aT =

2

Lezione 14

Controllo coppia di tipotrapezoidaletrapezoidale

Si progetta la macchina in modo da avere la derivata del flusso concatenatoSi progetta la macchina in modo da avere la derivata del flusso concatenato trapezoidale in funzione della posizione del rotore (θ), per tutte e tre le fasi, le quali sono disposte simmetricamente sullo statore e tutte sfasate fra loro di 120° elettricidi 120° elettrici.

p3π

p3π

p32π

analizzando tutte e tre le fasi contemporaneamente (sesto angolare):

1 2 3

CARATTERISTICA INTRINSECA DEL MOTORECARATTERISTICA INTRINSECA DEL MOTORE

Se la corrente della fase j-ma ha l’andamento (ideale), in funzione dell’angolo, come indicato in figura:dell angolo, come indicato in figura:

CONTROLLO DACONTROLLO DA REALIZZARE

λdLa corrente ij deve essere in fase con la

θλd

d jm

λdallora la coppia è indipendente dall’angolo, in quanto è costante per ij ≠0. θ

λd

d jm

Per questo occorre controllare le correnti in funzione dell’angolo, e i di i di id l ”SEI i i i l i di t i ”quindi individuare le ”SEI posizioni angolari di commutazione”.

Sono le posizioni nelle quali una fase commuta con un’altra.

La coppia T(t) è variata dal controllo variando le ampiezze delle correnti.

∑=j

jmj dd

ipTθλ

j dθ

Il controllo di macchina di tipo trapezoidale è detto: controllo scalare in quanto si individua e si controlla una corrente equivalente rappresentativa della coppia.

i i ii1 i2 i3

-i3

In una qualsiasi posizione angolare, due correnti sono uguali e contrarie e la terza nulla (Twophase on)contrarie e la terza nulla (Twophase-on).

• Per il funzionamento ”Two-phase-on”, ciascuna corrente non nulla può rappresentare ieq presa con il segno opportuno a seconda del ”sestorappresentare ieq presa con il segno opportuno a seconda del sestoangolare” in cui ci si trova.

In questo caso il funzionamento è praticamente coincidente con unIn questo caso il funzionamento è praticamente coincidente con un motore in C.C.

ad esempio consideriamo il sesto angolare con i2=0:

i1 + i2 + i3 = 0 → i1 = − i3i1 + i2 + i3 0 → i1 i3

⎟⎞

⎜⎛ −=⎟

⎞⎜⎛ +=

λλλλ ddpididipT mmmm 311

33

11 ⎟

⎠⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

+θθθθ dd

pid

id

ipT 131

Kd mλ1 Kd mλ3Kd

m =θ1 K

dm −=θ3

( )[ ] KpiKKpiT 2=−−= ( )[ ] KpiKKpiT 11 2=−−=

Simile all’equazione di un motore in C.C.: )(tiKT aT=

Il circuito equivalente del Brushless è:

Che coincide con il circuito equivalente del motore in C.C.:

VVV NNa VVV 31 −=

RRa 2=

LL 2=

31 eeea −=

eqa LL 2=

• In pratica la situazione è più complessa, poichè le commutazioni tra fasi non sono istantanee (e spesso avvengono in modo incompleto):fasi non sono istantanee (e spesso avvengono in modo incompleto):occorre considerare anche un funzionamento ”Three-phase-on”.

E d l t i li bil li it t l i i ò i iEssendo la tensione applicabile limitata, al massimo si può immaginare che la commutazione fra due fasi avvenga contemporaneamente in un tempo finito.

Considerando la coppia in questo frangente, se la commutazione è veloce, si può ammettere che le tre (dλj /dθ) siano costanti (varia quella dellasi può ammettere che le tre (dλjm/dθ) siano costanti (varia quella dellafase che si apre).

Kd m =λ1 K

dd m −≈θλ2 K

dd m −=θλ3

dθ dθ dθ

iii =( )KiKiKipd

ipT jm ≈= ∑λ

132 iii =−−

)(2)( tpKitT

( )KiKiKipd

ipTj

j 321 −−≈= ∑ θ

)(2)( 1 tpKitT =

Per avere coppia costante nell’esempio considerato deve essere i1 = cost. e pp pquindi:

01 =dtdidt

Ora, dalla relazione di i1 + i2 + i3 =0 (grazie al collegamento a stella con

dididi didi

neutro isolato), derivando, la somma delle derivate sarà nulla, quindi:

0321 =++dtdi

dtdi

dtdi

dtdi

dtdi 32 −=⇒

condizione di coppia costante

• Controllo semplificato (unipolare)

Si controlla la commutazione tramite una sola tensione alla volta.

Fissato il valore del set-point della corrente equivalente, in base a quello della coppia, si applicano tre forme d’onda ideali a tre anellidi corrente separati, uno per ciascuna fase del motore. p p

occorrono i sensori di posizione per costruire le tre forme di riferimento dioccorrono i sensori di posizione per costruire le tre forme di riferimento di corrente.

Considerando la commutazione 13’ 23’ si passerà dalla fase 1• Considerando la commutazione 13’→ 23’, si passerà dalla fase 1 alla fase 2, mentre si regola la fase 3, in modo da controllare i3

sVV −=10

sVV =20

l iV

R

eregolazion30 =V

Le fasi 1 e 2 vanno in saturazione di tensione:V10 = −Vs, V20 = Vs e V30 = regolazione., g

Ipotesi: durante la commutazione ω = cost., → e1, e2, e3,= cost.

ωθλd

de m11 = θd

ωKE =

e1 = e2 = Kω = E → e3 = −Kω = −E

mantenere i3 costante durante la commutazione equivale imporre:

03 =dtdi

dtdi

dtdi 21 −=

Nel caso in cui non riesco a mantenere 03 =dtdidt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

dididi 213 ⎟⎠

⎜⎝ dtdtdt

↑⇒−<→> Tdtdi

dtdi

dtdi 213 0 si ha una variazione di

coppia e quindi ripple

↓⇒−>→< Tdtdi

dtdi

dtdi 213 0

coppia e quindi ripple durante la commutazione.

dtdtdt

Vediamo entro quali vincoli viene rispettata la condizione di coppiaVediamo entro quali vincoli viene rispettata la condizione di coppia costante durante la commutazione:

Dato che i1+i2+i3 = 0 allora si può descrivere il circuito con due equazioni trascurando la caduta sulle resistenze:q

=−−+=−=diLeediLVVV 3

311

301013 +dt

Leedt

LVVV eqeq 31301013

=+

++=d

iidLeddiL eqeq

)( 2113

1

dtdt eqeq 13

13212 e

dtdiL

dtdiL eqeq ++= 3dtdt eqeq

Analogamente per V23: 2312

23 2 edtdiL

dtdiLV eqeq ++=

dtdt qq

Il sistema diventa: eVdidi 131321 −Il sistema diventa:

eVdidi 232321 −eqL

eVdtdi

dtdi 1313212 =+

eqLeV

dtdi

dtdi 232321 2 =+

dove il determinante è 4 − 1 = 3, ricavando le derivate:

VVVVdi 22

eqeqeq LeVeV

LeV

LeV

dtdi

322

332 23231313232313131 +−−

=−

−−

=

( ) ( )eqL

eeVVdtdi

322 231323131 −−−

=eq

LeVeV

LeV

LeV

dtdi

322

332 13132323131323232 +−−

=−

−−

=eqeqeq LLLdt 333

( ) ( )eeVVdi 22 132313232 −−−( ) ( )eqLdt 3

132313232 =

Sostituendo i valori che le grandezze assumono nella commutazioneSostituendo i valori che le grandezze assumono nella commutazione considerata:

VVVVV == ( ) EEEeee 2===30301013 VVVVV s −−=−=

30302023 VVVVV s −=−=

( ) EEEeee 23113 =−−=−=( ) EEEeee 23223 =−−=−=

Sss

LEVV

LEEVVVV

dtdi

323

32422 3030301 −−−

=+−+−−−

=eqeq LLdt 33

SSS EVVEEVVVVdi 232422 3030302 −−=

+−++−=

eqeq LLdt 33

Quello che si vuole imporre regolando V30 è la condizione:

dtdi

dtdi 21 −=

EVVEVV SS 2323 3030 ++−=−−− EV 230 −=

La condizione che ci permette di mantenere coppia costante durante la commutazione è: EV 230 −=30

data la scelta del nostro amplificatore di potenza: −VS < V30 < VS. La condizione di coppia costante può essere verificata solo per:La condizione di coppia costante può essere verificata solo per:

SS VEV<<−

22

Dato che E è proporzionale alla velocità (Kω), la condizione per cui non siDato che E è proporzionale alla velocità (Kω), la condizione per cui non si ha ripple di corrente, e quindi di coppia, è soddisfatta alle basse velocità.