Lez. 19: Analisi Stadio Singolo Turbina Assiale a Reazione

Analisi dello Stadio Singolo di Turbina Assiale a Reazione Analisi del condotto fisso (schiera statorica) Analisi del condotto

Lez. 19: Analisi Stadio Singolo Turbina Assiale a Reazione

Sunday, July 12, 15


Analisi dello Stadio Singolo di Turbina Assiale a Reazione

Figure: Sezione su piano meridiano e pianointer-palare

Figure: Piano (T,s) e triangoli divelocita

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Analisi del condotto fisso (schiera statorica)

L’entalpia totale si conserva attraversola schiera statorica (sia nel casoisoentropico che nel caso reale) e quindinon si ha scambio energetico tra fluido epalette statoriche:

h00 = h0 +C2

0

2= h1 +

C21

2= h1s +

C21,s

2

da cui possiamo ricavare l’entalpiastatica in entrambi i casi

h1 = h00 −

C21

2

h1s = h00 −

C21s

2

Figure: Piano h − s per un condotto fisso

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Perdite di entalpia nello statore

Perdite di entalpia nello statore

La velocita reale allo scarico dello statore C1 e proporzionale alla velocitaisentropica C1,s secondo il fattore di perdita KN .

C1 = KNC1,s

e quindi

K2N =

h00 − h1

h00 − h1s

da cui

h1 = h00 −K2N (h00 − h1s) = h00 −K2

N

C21,s

2

Le perdite di entalpia nello statore possono quindi essere legate a KN e allavelocita C1,s:

RN = h1 − h1s =(1−K2

N

)(h00 − h1s) =

(1−K2

N

) C21,s

2

con

C1,s =

√√√√√

2γ

γ − 1RT00

⎡

⎣1−(

p1p00

)γ−1γ

⎤

⎦

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Adimensionalizzazione delle perdite


Per adimensionalizzare e quindi semplificare le analisi sperimentali le perdite sipossono adimensionalizzare in differenti maniere:

rispetto al salto entalpico ideale

ζN :=RN

h00 − h1s= 1−K2

N

rispetto al salto reale

ζ′N :=RN

h00 − h1=

ζNK2

N

=ζN

1− ζN=

1−K2N

K2N

introducendo un fattore di perdita in funzione della perdita di pressionetotale attraverso la schiera statorica

YN :=p00 − p01p01 − p1

=p00 − p01

ρ1C2

12

che quindi permette di ricavare il rapporto tra le pressioni totali

p01p00

=1 + YN

(p1p00

)

1 + YN

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Relazione fra ζN e YN

Relazione fra ζN e YN

Si dimostra che:

ζN =

(

1+YN

1+YNp1p00

) γ−1γ

− 1

(p1p00

) 1−γγ − 1

che nel caso di espansione nulla(

p1p00

= 1)

e

ζ0N =1

1 + YN

e che in un piano

(

p1p00

, ζNζ0N

)

vede le

perdite attenuarsi con l’aumento deirapporti di espansione e al diminuire diYN .

Figure: Perdite in relazione al rapporto diespansione

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Rendimenti per condotto fisso

Rendimenti per condotto fisso

Il rendimento per condotto fisso puo essere definito come:

isoentropico

ηN,is :=h0 − h1

h0 − h1s=

C21 − C2

0

C21,s − C2

0

fluidodinamico

ηN,fl :=h00 − h1

h00 − h1s=

C21

C21,s

= K2N = 1− ζN =

1

1 + ζ′N

legato al quadrato di KN .

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Analisi del condotto rotante (schiera rotorica)

Attraverso una schiera rotorica siconserva la rotalpia totale:

∆ [IR] = 0

che e quindi la medesima sia per lo stato(1), lo stato (2) e lo stato (2s)isoentropico

h1+W 2

1

2−U21

2= h2+

W 22

2−U22

2= h2s+

W 22s

2−U22

2

Figure: Piano entalpico per il condottomobile

da cui si ricava la velocita relativa nel caso isoentropico:

W2s =

√

2

[(

h1 +W 2

1

2

)

− h2s +

(U22

2−

U21

2

)]

che presenta un termine aggiuntivo dovuta alla forza centrifuga (termine che siannulla per flusso assiale).

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Ipotizzando ancora una proporzionalita tra la velocita nel caso ideale e reale:

W2 = KRW2s

si puo calcolare l’entalpia reale

h2 =

[(

h1 +W 2

1

2

)

+U22 − U2

1

2

]

−K2R

[(

h1 +W 2

1

2

)

− h2s +U22 − U2

1

2

]

con le perdite nel rotore

Rrot = h2 − h2s =(

1−K2R

)[

h1 +W 2

1

2− h2s

]

= ζRW 2

2s

2

introducendo ancora i fattori di perdita:

ζR :=Rrot

h01,R − h2s

=Rrot

W 22s

= 1−K2R

ζ′

R :=Rrot

h01,R − h2

=1

K2R

=ζR

1− ζR

YR :=p01r − p02rp02r − p2

=p01r − p02r

ρ2W2

22

con YR che ha senso solo per macchine assiali in quanto per macchine mista lavariazione di U2 puo far invertire il segno al numeratore.

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Rendimenti per condotto rotante

Rendimenti per condotto rotante

Note le prove sui condotti fissi, quindi nota YR, si puo, con l’uso della definizioneper i condotti mobili, trovare la variazione di pressione totale e quindi trovare leperdite per lo stadio rotante della turbina.I rendimenti per i condotti mobili sono sempre quello isoentropico e fluidodinamico(quest’ultimo ancora legato al quadrato del fattore di proporzionalita KR)

ηR,is :=h1 − h2

h1 − h2s=

W 22 −W 2

1 −(U22 − U2

1

)

(

W 22s −W 2

1

)

−(

U22 − U2

1

)

ηR,fl :=h01 − h2

h01 − h2s

=W 2

2

W 22s

= K2R

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Perdite attraverso uno stadio di turbina

Perdite attraverso uno stadio di turbina

Le perdite attraverso una schiera possono essere espresse in diversi modi:

Schiera Statorica Schiera rotorica

KN :=C1

C1,isKR :=

W2

W2,is

ζN :=h1 − h1,s

V 212

=h1 − h1,s

h00 − h1ζR :=

h2 − h2,s

W222

=h2 − h2,s

h01,R − h2

∆sN := s1 − s0 = s1 − s1,s = R lnp01p02

∆sR := s2 − s1 = s2 − s2,s = R lnp02,Rp03,R

YN :=p00 − p01p01 − p1

=p00 − p01

V 212

YR :=p01,R − p02,Rp02,R − p2

=p01,R − p02,R

W222

M :=C

√γRT

h0 := h(1 + δM2) p0 := p

(1 + δM2)

γγ−1

MR :=W

√γRT

h0,R := h(1 + δM2

R

)p0,R := p

(1 + δM2

R

) γγ−1

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Procedura di Verifica di Stadio di Turbina

Si suppongono note:

geometria dello stadio in termini di angoli del palettaggio: αi (per lostatore) e βi (per il rotore);

geometria del rotore in termini di raggio medio delle palette R;

stato termodinamico del fluido in ingresso dello stadio, T0, p0;

proprieta del fluido in ingresso dello stadio: peso molecolare miscela, W , erapporto calori specifici, γ;

velocita del flusso in ingresso dello stadio, C0;

condizioni del fluido allo scarico dello statore, p1, e del rotore, p2;

velocita di rotazione della turbina ω.

Si suppone inoltre che lo stadio di turbina (assiale) sia progettato a velocitameridiana costante

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Per lo studio delle prestazioni dello stadio e possibile seguire il seguente algoritmo:

i coefficienti di perdita KN e KR (ovvero i rendimenti dei canali statorici erotorici ) dipendono dal grado di deviazione ∆α (nello statore) e ∆β (nelrotore) della corrente realizzato tra ingresso ed uscita della paletta

numero di Mach di ingresso

M0 =C0√γRT0

grandezze totali in ingresso

T00 = T0(

1 + δM20

)

p00 = p0(1 + δM2

0

) γγ−1

h00 = cpT00

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Rappresentazione nel piano h-s dell’espansione in uno stadio di turbina

Rappresentazione nel piano h-s dell’espansione in uno stadio di turbina

Figure: Sistema statore-rotore sul piano entalpico

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Statore

Statore

Attraverso lo statore l’entalpia totale si conserva

∆[

h0]

= 0

ed e la medesima tra ingresso, uscita, e uscita ideale (alla stessa pressione p1)

h00 = h1 +C2

1

2= h1s +

C21,s

2

La velocita ideale in uscita dallo statore (espansione isentropica dallo stato (0) ad (1s))vale

C1,s =

√√√√√

2γ

γ − 1RT00

⎡

⎣1 −(

p1

p00

) γ−1γ

⎤

⎦

mentre la velocita reale nello stato (1)

C1 = KNC1,s

e quindi l’entalpia reale nello stato (1) vale

h1 = h00 −C2

1

2

e le perdite in termini entalpici attraverso lo statore

RN = h1 − h1s =C2

1s

2

(

1 − K2N

)

Dal triangolo di velocita in uscita dello statore si ricava la velocita relativa in ingressodel rotore

W 21 = C2

1 + U2 − 2C1U1 cosα1

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Rotore

Rotore

Attraverso il rotore la rotalpia totale risulta costante

∆[

I0R

]

= 0

Per una macchina assiale questo si traduce nel fatto che l’entalpia totale relativa e lastessa tra ingresso rotore, uscita e uscita ideale

h01,R = h1 +W 2

1

2= h2 +

W 22

2= h2s +

W 22s

2

Confrontando il primo e l’ultimo termine si ricava:

W2s =

√√√√√

2γ

γ − 1RT01,R

⎡

⎣1 −(

p2

p01,R

) γ−1γ

⎤

⎦ W2 = KRW2s

con

T01,R = T1

(

1 + δM21,R

)

p01,R = p1

(

1 + δM21,R

) γγ−1 M1,R =

W1√γRT1

Possiamo quindi trovare lo stato finale del fluido

h2s = h01,R −W 2

2s

2h2 = h01,R − K2

R

W 22s

2

e da qui le perdite in termini entalpici

RR = h2 − h2s =W 2

2s

2

(

1 − K2R

)

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Condizioni di ristagno allo scarico del rotore

Condizioni di ristagno allo scarico del rotore

Dal triangolo di velocita in uscita dal rotore si ricava la velocita assoluta tramitela relazione

C22 = U2 +W 2

2 − 2UW2 cos β2

attraverso la quale si puo ricavare l’entalpia di ristagno allo stato (02)

h02 = h2 +C2

2

2

e di seguito temperatura, pressione, ecc. . .Questo consente di calcolare il lavoro dello stadio ed il suo e rendimento

Wst = h00 − h02

ηst =h00 − h02

h00 − h02,ss

in cui il denominatore si calcola in funzione delle condizioni a monte dello stadio(T00) e del rapporto di espansione p00

p02:

h00 − h0,ss = cp (T00 − T02,ss) = cpT00

⎡

⎣1−(p00p02

) γ−1γ

⎤

⎦

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