POLITECNICO DI TORINO

III Facoltà di Ingegneria

Relazione sperimentale

L'effetto HallMappatura del campo magnetico

Docente

Prof. Mario Trigiante

Gruppo 6

Alberto Tibaldi

Adrien Yepdieu Yannick

Vittorio Giovara

Anno accademico 2006-2007

Capitolo 1

Finalita dell’esperienza

Con la presente relazione si intende esporre l’esperienza effettuata in labora-

torio riguardante la mappatura di un campo magnetico mediante una sonda

basata sull’effetto Hall. Poiche il campo magnetico viene generato da un

magnete permanente a forma di disco (di cui intendiamo inoltre individuare

l’asse di simmetria), e possibile approssimare il magnete ad una spira, in mo-

do tale da permettere di calcolare il valore del momento magnetico tramite

la relazione di dipendenza del campo dalla distanza lungo l’asse del magnete.

1

Capitolo 2

Descrizione della

strumentazione

Il materiale a disposizione per effettuare l’esperienza e stato il seguente:

• Sistema di movimentazione in piano, con scala graduata;

• Sonda ad effetto Hall;

• Foglio di calcolo per la memorizzazione del valori del campo nel piano;

• Matlab - Software per calcolo matriciale;

• Magnete a forma cilindrica.

L’esperienza si basa come gia accennato sull’effetto Hall, scoperto nel

1879 dal fisico americano Edwin Hall. L’effetto Hall e un fenomeno che ci

permette di determinare la carica dei portatori in una corrente elettrica medi-

ante lo studio dell’iterazione di quest’ultima con un campo magnetico esterno

ortogonale alla corrente elettrica. Questo fenomeno e dovuto alla natura del

flusso della corrente in un conduttore: quando in un conduttore e presente

un passaggio di corrente, si genera una forza, chiamata forza di Lorentz, che

quantifica e qualifica la variazione del moto di una carica all’interno di un

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campo magnetico. La forza di Lorentz si rappresenta matematicamente me-

diante la relazione:

→FL= q

→v × →

B

Si supponga di avere un nastro conduttore con una certa densita di carica→J , un movimento di cariche con velocita di deriva

→vd= vd

→ux ed un campo

magnetico direzionato nel verso dell’asse y (di conseguenza esprimibile in

termini versoriali come→B= B

→uy); riesprimendo la relazione appena esposta

considerando le ipotesi appena avanzate in notazione versoriale, si avra:

→FL=

→JnB −→ qvdB

→ux × →

uy−→ qvdB→uz

Si osserva che dunque di fatto il prodotto vettoriale di→ux e

→uy sia

→uz;

la forza di Lorentz, date le ipotesi proposte, agira esclusivamente sulla di-

rezione del versore→uz. Risulta spontaneo confrontare la forza di Lorentz con

un’ipotetica forza elettrica, definendo il campo elettrico di Hall EH come il

campo definito come EH =→FL

q=

→J×

→B

qn. L’effetto di tutto cio e creare un

eccesso di carica nel nastro conduttore e di conseguenza una differenza di

potenziale ai suoi capi. Si verra a creare una situazione di equilibrio gra-

zie alla presenza di un campo elettrostatico generato dall’eccesso di cariche:

l’effetto di quest’ultimo campo e di quello di Hall si bilanceranno. Poiche→

EH= −→

Ees e→

Ees e conservativo, e possibile ricavare un’espressione della

differenza di potenziale come ∆V = − i→B

nqa, dove a e la lunghezza del nastro

Lo strumento che viene utilizzato nell’esperienza, la sonda Hall, e uno

strumento in grado di variare la propria differenza di potenziale in uscita

in risposta alla variazione di intensita del campo magnetico presente nella

zona spaziale analizzata dalla sonda. In sostanza tale sonda e costituita

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da un trasduttore analogico inviante ad un amplificatore di segnale impulsi

elettrici indotti dal campo magnetico alla sonda.

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Capitolo 3

Esecuzione dell’esperienza

Per poter effettuare una mappatura del campo magnetico presente su di un

piano orizzontale, si ricerca innanzitutto il piano ortogonale all’asse spaziale

z, in cui il campo magnetico B ha modulo massimo. A tale scopo, si pone

la sonda di Hall allineata con il magnete e si rileva il valore massimo del

campo, variando l’altezza della sonda e leggendo sull’amplificatore di seg-

nale il valore proporzionale all’altezza. Una volta individuato il piano in cui

il campo magnetico ha massima intensita, la sonda viene fissata all’altezza

corrispondente, che restera costante durante lo svolgimento dell’esperienza.

Poiche si lavora su di un piano, per determinare la direzione delle linee del

campo magnetico sono necessarie due dimensioni: il vettore del campo proi-

ettato sull’asse x e il vettore del campo proiettato sull’asse y. Il vettore di

campo B corrispondente nel punto dello spazio sara la somma vettoriale delle

due componenti cosı misurate. Spostando il sistema di misura in un piano di

intervalli regolari, verranno ricavati i valori delle componenti x e y del campo

magnetico, tramite cui sara possibile formare una griglia descrivente l’anda-

mento del campo magnetico nello spazio. Per ricavare queste misurazioni

occorre dunque misurare prima le componenti→Bx, dopodiche ruotare di π

2

la sonda Hall e rieffettuare le misurazioni, in modo da ottenere una anche

misura di→By. In questo modo otterremo due griglie di misurazioni, una per

le misure di→Bx in vari punti del piano selezionato, e una le misure di

→By.

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La direzione del campo magnetico allora sara data da:

tan(→By→Bx

)

mentre il modulo del campo in un certo punto del piano (x, y) sara:

√(Bx

2 + By2

Sono state ottenute le seguenti misure del campo:

Si osserva dal grafico dei valori By

Bxche in prossimita di x = 0 si avran-

no i valori della tangente piu approssimativamente costanti. Si utilizzera

dunque tale insieme di valori come interpolanti per ottenere l’asse. A questo

punto e possibile, mediante un software di calcolo vettoriale come Matlab,

effettuare una mappatura del campo magnetico in analisi. Esistono diverse

funzionalita in grado di disegnare un campo magnetico date alcune matrici

di componenti: nella fatispecie quella che verra utilizzata nell’esperienza sara

la funzione quiver(). Mediante l’inserzione delle matrici delle posizioni in

cui si e misurato il campo vettoriale, delle velocita (valori della tangente) e

dei moduli (norma euclidea delle componenti→Bx e

→By) (poiche si ricorda che

l’esperienza va effettuata su di un piano), viene descritto un campo di vettori

bidimensionali, rappresentanti il campo magnetico misurato.

Si sceglie di rappresentare i vettori con modulo direzione e verso, con-

siderando dunque anche l’intensita del campo nel piano, per poter meglio

rendere idea della variazione del campo col variare della distanza dal magnete.

Per completare la mappatura, si disegnano linee di flusso del campo me-

diante un’altra funzionalita di Matlab; da qui si avra una rappresentazione

piu completa dell’andamento del campo.

Ora qui vengono riportate le tavole delle misure del campo, e il rapportoBy

Bx

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Tabella 3.1:

Bx 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

-5 7 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0

-4,5 9 7 5 3 1 0 0 0 0 0 0

-4 13 9 6 2 0 0 0 0 0 0 0

-3,5 18 11 6 2 0 0 0 0 0 0 0

-3 24 13 4 0 -1 -2 -2 -2 -1 -1 -1

-2,5 34 11 0 -4 -6 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-2 39 0 -12 -16 -15 -12 -9 -7 -5 -4 -2

-1,5 12 -30 -36 -31 -24 -18 -13 -9 -7 -5 -3

-1 -207 -139 -93 -61 -40 -27 -20 -14 -9 -7 -5

-0,5 -525 -267 -145 -82 -54 -34 -23 -16 -11 -8 -5

0 -712 -334 -179 -96 -60 -38 -25 -17 -12 -9 -5

0,5 -688 -349 -184 -100 -60 -37 -26 -16 -12 -8 -6

1 -393 -231 -130 -88 -51 -36 -24 -16 -11 -8 -6

1,5 -130 -117 -86 -58 -41 -28 -20 -14 -10 -7 -5

2 -6 -40 -41 -34 -26 -20 -15 -11 -8 -5 -4

2,5 10 -9 -18 -19 -17 -14 -11 -8 -6 -5 -3

3 15 0 -4 -7 -8 -8 -7 -5 -4 -3 -2

3,5 13 4 0 -2 -3 -4 -4 -3 -3 -2 -1

4 11 5 1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 0

4,5 8 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0

5 6 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0

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Tabella 3.2:By 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

-5 5 6 7 7 7 6 6 5 4 4 3

-4,5 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3

-4 12 12 14 13 12 10 9 7 6 5 4

-3,5 19 21 20 18 16 12 10 8 6 5 4

-3 31 33 29 25 20 15 11 8 6 5 4

-2,5 59 54 42 35 24 18 13 10 9 5 4

-2 120 91 70 45 31 19 11 10 8 5 4

-1,5 200 148 76 51 32 21 13 9 6 5 3

-1 334 175 87 47 28 19 11 7 5 3 2

-0,5 308 172 67 39 22 13 9 8 4 3 2

0 120 65 28 17 10 5 4 2 2 1 1

0,5 -173 -67 -29 -10 -6 -4 0 0 0 0 0

1 -266 -111 -61 -27 -14 -7 -3 -1 0 0 0

1,5 -200 -121 -64 -38 -19 -12 -6 -3 0 0 0

2 -118 -78 -49 -34 -22 -12 -7 -4 -2 0 0

2,5 -61 -52 -39 -28 -18 -11 -8 -5 -3 -1 0

3 -32 -30 -25 -22 -16 -11 -7 -4 -2 -1 0

3,5 -18 -19 -17 -15 -11 -8 -6 -4 -2 -1 0

4 -9 -11 -11 -9 -7 -6 -5 -3 -1 -1 0

4,5 -5 -6 -7 -6 -6 -4 -3 -2 -1 0 0

5 -1 -3 -4 -4 -3 -3 -2 -1 -1 0 0

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Tabella 3.3:

By

Bx0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

-5,00 0,71 1,20 1,75 2,33 3,50 6,00 - - - - -

-4,50 0,89 1,29 2,00 3,33 9,00 - - - - - -

-4,00 0,92 1,33 2,33 6,50 - - - - - - -

-3,50 1,06 1,91 3,33 9,00 - - - - - - -

-3,00 1,29 2,54 7,25 - -20,00 -7,50 -5,50 -4,00 -6,00 -5,00 -4,00

-2,50 1,74 4,91 - -8,75 -4,00 -3,00 -2,60 -2,50 -3,00 -2,50 -4,00

-2,00 3,08 - -5,83 -2,81 -2,07 -1,58 -1,22 -1,43 -1,60 -1,25 -2,00

-1,50 16,67 -4,93 -2,11 -1,65 -1,33 -1,17 -1,00 -1,00 -0,86 -1,00 -1,00

-1,00 -1,61 -1,26 -0,94 -0,77 -0,70 -0,70 -0,55 -0,50 -0,56 -0,43 -0,40

-0,50 -0,59 -0,64 -0,46 -0,48 -0,41 -0,38 -0,39 -0,50 -0,36 -0,38 -0,40

0,00 -0,17 -0,19 -0,16 -0,18 -0,17 -0,13 -0,16 -0,12 -0,17 -0,11 -0,20

0,50 0,25 0,19 0,16 0,10 0,10 0,11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

1,00 0,68 0,48 0,47 0,31 0,27 0,19 0,13 0,06 0,00 0,00 0,00

1,50 1,54 1,03 0,74 0,66 0,46 0,43 0,30 0,21 0,00 0,00 0,00

2,00 19,67 1,95 1,20 1,00 0,85 0,60 0,47 0,36 0,25 0,00 0,00

2,50 -6,10 5,78 2,17 1,47 1,06 0,79 0,73 0,63 0,50 0,20 0,00

3,00 -2,13 - 6,25 3,14 2,00 1,38 1,00 0,80 0,50 0,33 0,00

3,50 -1,38 -4,75 - 7,50 3,67 2,00 1,50 1,33 0,67 0,50 0,00

4,00 -0,82 -2,20 -11,00 - - 6,00 5,00 3,00 1,00 1,00 -

4,50 -0,63 -1,20 -3,50 - - - - - - - -

5,00 -0,17 -0,75 -2,00 -4,00 - - - - - - -

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Studiando le matrici di misure→Bx e

→By ed interpolando i valori medi-

ante il metodo dei minimi quadrati, e inoltre possibile ottenere una retta

di regressione rappresentante l’asse del magnete; poiche questo deve essere

a pendenza costante (infatti l’asse e una retta), cio che si intende cercare e

proprio una serie di valori a tangente costante:

>> [c, err] = polyfit(x, y, 1)

c =

0.0049 -0.1715

err =

R: [2x2 double]

df: 9

normr: 0.0871

>>

Il valore c(1) = 0.0049 rappresenta la pendenza della retta estrapolata dai

valori della tangente nel vettore x contenente i valori da 0 a 5 con differenza

0,5; la massima distanza tra i punti e la retta estrapolata, indicata come

normr (0.0871).

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Il terzo e ultimo punto dell’esperienza prevede la determinazione del mo-

mento magnetico del magnete: ipotizzando di considerare esclusivamente il

campo passante per il centro del magnete, ossia il suo asse, ed approssimando

dunque il magnete ad una spira lineare percorsa da corrente, si ricava che:

B = Bx = (µ0

4π) 2m

R2+x′232

Per lavorare meglio, si sceglie di linearizzare l’espressione, elevando tutto

ad esponente 23; cio che si intende a questo punto fare e ottenere una regres-

sione lineare a partire dal vettore→Bx, che viene scelto in base alle supposizioni

precedenti come asse del magnete. Otterremo dal valore del campo magnetico

in determinati punti, una retta di regressione lineare che approssimera il cam-

po; sara dunque possibile, mediante alcune relazioni che tra poco verranno

introdotte, determinare il momento magnetico del magnete. Linearizzando

l’espressione, si ottiene che:

Y = B− 23 = a + bX

Mediante regressione lineare dunque si ricavano i valori a e b, che vanno

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utilizzati per cercare la distanza del magnete R, e il momento magnetico:

R =√

ab

m = 2π

µ0b32

Considerando un’incertezza di ± 1 G per il campo magnetico e di 0, 1 cm

sulle distanze, dunque sulla griglia 0, 01 cm2, non contando eventuali errori

di parallasse, si determina il momento magnetico e si applica ai risultati

trovati la propagazione degli errori. Nella tabella 3.4 sono inserite le misure

del campo avente direzione dell’asse del magnete; nella tabella 3.5 i dati

estrapolati dalla regressione lineare di quest’ultimo, con l’applicazione della

propagazione degli errori per quanto riguarda le incertezze.

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Tabella 3.4:

X’ ∆x′ Bx(G) ∆Bx(G) B−23 (T ) ∆B

−23 (T )

0 0,1 712 1 5,82 0,01

0,5 0,1 334 1 9,64 0,02

1 0,1 179 1 14,62 0,05

1,5 0,1 96 1 22,14 0,15

2 0,1 60 1 30,29 0,34

2,5 0,1 38 1 41,07 0,72

3 0,1 25 1 54,3 1,45

3,5 0,1 17 1 70,22 2,76

4 0,1 12 1 88,57 4,92

4,5 0,1 9 1 107,3 7,95

5 0,1 5 1 158,78 21,18

Tabella 3.5:

Misura Incertezza

a 8,93 1,26

b 50258,14 1618

m 0,44 0,02

R 0,01 0

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