Seminario di Meccanica Celeste

Le variabili di Delaunay

Andrea Tamburelli

Sommario

Le variabili di Delaunay sono delle variabili azione-angolo per il problema keple-

riano dei due corpi: dopo averne presentato la derivazione classica, che si basa su

un calcolo diretto a partire dall'Hamiltoniana del problema attraverso il metodo di

Liouville, esporrò, seguendo l'articolo di Chang e Marsden Geometric derivation of

the Delaunay variables and geometric phases, un modo geometrico per ricavare que-

ste variabili canoniche, basato sulla denizione di un'opportuna azione simplettica

del toro T3 sullo spazio delle orbite ellittiche non degeneri.

Indice

1 Derivazione classica 2

1.1 Determinazione dei cicli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Il ciclo γθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Il ciclo γr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Determinazione delle variabili azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Determinazione delle variabili angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Derivazione geometrica 10

2.1 L'azione delle anomalie su Σelliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Interpretazione di Σelliptic come brato in cerchi . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Le variabili di Delaunay su Σelliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Appendice 16

1

1 Derivazione classica

Ricaviamo le variabili azione-angolo del problema di Keplero in modo classico, seguendo il

metodo di Liouville, che svolge dei conti espliciti a partire dall'Hamiltoniana del sistema.

Per semplicare le notazioni poniamo m = 1 la massa del corpo secondario e k = MG il

prodotto della massa del corpo primario e della costante di gravitazione universale.

In coordinate polari, l'Hamiltoniana del problema dei due corpi gravitazionale è

H =1

2

(p2r +

p2θ

r2+

p2φ

r2 sin2 θ

)− k

r

Un sistema completo di tre integrali primi in involuzione è costituito daJ = pφ

Γ2 = p2θ + J2

sin2 θ

H = p2r2 + Γ2

2r2− k

r

che sono, rispettivamente, la componente lungo l'asse z del momento angolare, il modulo

quadro del momento angolare e l'Hamiltoniana.

Ricordiamo il seguente teorema riguardante le variabili azione-angolo:

Teorema. Sia Φ1, . . . ,Φn un sistema completo di integrali primi in involuzione in

un sistema hamiltoniano a n-gradi di libertà. Supponiamo che la sottovarietà di livello

Φ1 = · · · = Φn = 0 contenga una componente connessa compatta M0. Allora

1. M0 è dieomorfa al toro Tn;

2. in un intorno diM0 si possono denire le variabili azione-angolo, ovvero un sistema

di coordinate canoniche (θ1, . . . , θn, I1, . . . , In) tali che θi ∈ Tn e

θj = −∂H∂Ij

Ij =∂H

∂θj= 0

La dimostrazione del teorema descrive un algoritmo per la costruzione delle variabili

azione-angolo:

(1) si determinano dei cicli γj indipendenti sul toro n-dimensionale;

(2) si calcolano le variabili azione tramite quadratura con la formula

Ij =1

2π

∫γj

pj(q,Φ)dqj

(3) si applica il metodo di Liouville ai nuovi integrali primi I1, . . . , In al ne di determi-

nare le variabili angolari coniugate.

2

Teorema (Metodo di Liouville). Supponiamo che un sistema hamiltoniano autonomo a

n gradi di libertà con Hamiltoniana H(q, p) ammetta n integrali primi Φ1, . . . ,Φn cheformano un sistema completo in involuzione. Supponiamo, inoltre, che

det

(∂(Φ1, . . . ,Φn)

∂p1, . . . pn

)6= 0 .

Allora la funzione

S(q, p) =

∫ ∑j

pj(Φ, q)dqj

genera una trasformazione canonica (q, p) 7→ (Φ, α) tale che ∂H∂α = 0.

1.1 Determinazione dei cicli

Seguendo l'algoritmo appena descritto iniziamo a determinare tre cicli indipendenti per

i tre integrali primi J,Γ2, H.

La funzione J coincide con la varibile pφ che è già coniugata ad una variabile angolo, per

cui non c'è nulla da fare.

1.1.1 Il ciclo γθ

La funzione Γ2 è l'Hamiltoniana di un sistema ad un grado di libertà costituito da un

punto sull'intervallo (0, π) soggetto a energia potenziale V (θ) = J2

sin2 θ.

Figura 1: Graco della funzione V (θ)

Scegliendo un valore Γ2 > Γ2min l'orbita del punto è una curva semplice e chiusa γθ.

3

Figura 2: Graco del ciclo γθ

Cerchiamo di parametrizzare questo ciclo tramite variabili di periodo 2π nel piano

(θ, pθ). Per semplicare i calcoli delle variabili azione saranno necessarie due diverse

parametrizzazioni:

(1) in funzione dell'angolo φ− Ω (Ω è la direzione del nodo ascendente);

(2) in funzione dell'angolo α misurato sul piano orbitale a partire dalla direzione del

nodo ascendente

Figura 3: Elementi orbitali

Iniziamo a cercare delle relazioni che legano questi angoli. Consideriamo i seguenti

cambi di coordinate

(x, y, z) 7→ (x′, y′, z′) 7→ (ε, η, ζ)

4

dove la prima è la rotazione di angolo Ω attorno all'asse z, che fa coincidere l'asse x′ conla direzione del nodo ascendente, e la seconda è la rotazione di angolo ι (inclinazione)attorno all'asse dei nodi. Scrivendo le matrici di rotazione e applicandole a un punto di

coordinate P = (ε, η, 0) otteniamo le relazionix′ = ε

y′ = η cos ι

z′ = η sin ι

x′ = sin θ cos(φ− Ω)

y′ = sin θ sin(φ− Ω)

z′ = cos θ

Inoltre, per denizione di α valgono le relazioniε = cosα

η = sinα

Passiamo, ora, al calcolo delle parametrizzazioni

(1) Le equazioni precedenti producono le seguenti relazionisin θ cos(φ− Ω) = cosα (i)

sin θ sin(φ− Ω) = sinα cos ι (ii)

cos θ = sinα sin ι (iii)

Siccome J è la proiezione sull'asse z del momento angolare, vale J = Γ cos ι. Sosti-tuendo questa espressione in pθ = (Γ2 − J2

sin2 θ)12 otteniamo

pθ = − Γ

sin θcosα sin ι

dove il segno meno deriva dal fatto che pθ < 0 quando α = 0 e θ = π2 . Otteniamo,

quindi, la seguente parametrizzazione del ciclo γθ in funzione di αcos θ = sinα sin ι

pθ = − Γsin θ cosα sin ι

(2) La parametrizzazione del ciclo γθ in funzione di φ− Ω si ottiene dividendo membro

a membro le equazioni (ii) e (iii) e sostituendo (i) nell'espressione di pθcot θ = tan ι sin(φ− Ω)

pθ = −Γ sin ι cos(φ− Ω)

5

1.1.2 Il ciclo γr

La funzione H può essere vista come l'Hamiltoniana di un sistema dinamico ad un grado

di libertà con energia potenziale V (r) = Γ2

2r2− k

r .

Figura 4: Graco della funzione V (r)

Quando − k2

2Γ2 = Hmin < H < 0 si ha un moto periodico su un orbita semplice e

chiusa che rappresenta il ciclo γr.

Figura 5: Graco del ciclo γr

Cerchiamo una parametrizzazione di questo ciclo nel piano (r, pr) in funzione di una

variabile di periodo 2π. Anche in questo caso, per facilitare i conti successivi della

variabile azione saranno necessarie due parametrizzazioni

(1) in funzione dell'anomalia eccentrica u;

6

(2) in funzione dell'anomalia vera ψ.

Iniziamo ad osservare che le costanti H e k nell'espressione pr =[2(H + k

r

)− Γ2

r2

] 12sono

legate ai parametri orbitali a ed e: infatti, per denizione, pr = r per cui i punti in cui

pr = 0 corrispondono a rmin = a(1 − e) e a rmax = a(1 + e), da cui si ottengono le

relazioni

a = − k

2He =

(1 +

2HΓ2

k2

) 12

Sfruttando queste relazioni otteniamo le parametrizzazioni del ciclo γr

(1) in funzione dell'anomalia eccentrica, usando la soluzione del problema a due corpi in

funzione di u r = a(1− e cosu)

pr =√

ka

e sinu1−e cosu

(2) in funzione dell'anomalia vera, usando la soluzione del problema a due corpi in

funzione di ψ r = a(1−e2)

1+ecosψ

pr = Γea(1−e2)

sinψ

1.2 Determinazione delle variabili azione

Calcoliamo le variabili angolari seguendo quanto illustrato nel teorema delle variabili

azione-angolo. La variabile azione legata al ciclo γφ è

Iφ =1

2π

∫γφ

pφdφ =1

2π

∫γφ

Jdφ = J

La variabile azione legata al ciclo γθ è

Iθ =1

2π

∫γθ

pθdθ =Γ2

2π

∫γθ

dθ

pθ− Γ2 cos2 ι

∫γθ

dθ

pθ sin2 θ

=Γ

2π

∫ 2π

0dα− |J |

2π

∫ 2π

0dφ = Γ− |J |

dove il valore assoluto compare perchè il verso dell'angolo φ cambia quando J cambia

segno.

La variabile azione legata al ciclo γr è

Ir =1

2π

∫γr

prdr =1

2π

∫γr

(− k

apr+

2k

rpr− Γ2

r2pr

)= −√ka

2π

∫ 2π

0(1− e cosu)du+

2√ka

2π

∫ 2π

0du− Γ

2π

∫ 2π

0dψ =

√ka− Γ

7

L'espressione dell'Hamiltoniana nelle variabili azione è, per sostituzione,

H = − k2

2(Ir + Iθ + |Iφ|)2

Il fatto che l'Hamiltoniana dipenda solo dalla somma delle variabili azione signica che

il sistema è degenere, nel senso che il moto degli angoli conigati r, θ, φ è periodico con

periodi identici: infatti

˙r = ˙θ = ˙φ =k2

(Ir + Iθ + |Iφ|)2

In queste condizioni è conveniente cambiare le variabili azione, introducendo le variabili

canoniche di Delaunay denite come

L = Ir + Iθ + |Iφ| =√ka

G = Iθ + |Iφ| = Γ = L√

1− e2

Θ = |Iφ| = J = G cos ι

(1)

(2)

(3)

1.3 Determinazione delle variabili angolari

Per completare il calcolo occorre determinare le variabili angolari coniugate a L,G,Θ.

Per il teorema di Liouville la funzione generatrice del cambio di coordinate canoniche è

S =

∫prdr + pθdθ + pφdφ =

∫ √− k

2

L2+

2k

r− G2

r2dr +

∫ √G2 − Θ2

sin2 θdθ +

∫Θdφ

Di conseguenza

l =∂S

∂L=k2

L3

∫ (− k

2

L2+

2k

r− G2

r

)− 12

dr =k2

L3

∫dr

pr

=

∫(1− e cosu)du = u− e sinu = n(t− τ)

coincide con l'anomalia media, dove τ è il tempo di passaggio al perielio.

La variabile coniugata a G è

g =∂S

∂G= G

∫ (G2 − Θ2

sin2 θ

)− 12

dθ −G∫r2

(k2

L2+

2k

r− G2

r2

)− 12

dr

= G

∫dθ

pθ−G

∫dr

r2pr=

∫dα−

∫dψ = ω

coincide con l'argomento del perielio.

La variabile coniugata a Θ è

θ =∂S

∂Θ= −Θ

∫sin2 θ

(G2 − Θ2

sin2 θ

)− 12

dθ +

∫dφ = −

∫dφ+

∫dφ = cost

8

Tradizionalmente si sceglie di far coincidere la costante con l'origine rispetto a cui si

misura l'angolo φ, ovvero con la longitudine del nodo ascendente Ω.Riassumendo, le variabili di Delaunay sono

L =√ka l = n(t− τ)

G = L√

1− e2 g = ω

Θ = G cos ι θ = Ω

(4)

(5)

(6)

Osserviamo che le variabili di Delaunay presentano delle singolarità

(a) Le orbite circolari, che corrispondono ad e = 0, fanno coincidere L e G. In questo

caso scompare il ciclo γr e perde signicato ω, dato che tutti i raggi sono vettori di

Lenz.

(b) Quando il piano orbitale coincide con il piano orizzontale ι = 0 e G = Θ. In questo

caso non è denita la longitudine del nodo ascendente.

(c) Le orbite in cuiG = 0 che corrispondono a condizioni iniziali in cui il corpo secondario

non entra in orbita ma va in collisione.

9

2 Derivazione geometrica

Seguendo l'articolo di Chang e Marsden, esponiamo un altro modo per ricavare le va-

riabili canoniche di Delaunay, basato sullo studio di un'oppurtuna azione simplettica del

toro tridimensionale sull'insieme delle orbite ellittiche non degeneri.

SiaM lo spazio totale del brato cotangente di R3\0: è ben noto cheM ha una naturale

struttura di varietà simplettica prendendo la 2-forma dierenziabile Ω =∑3

i=1 dqi ∧ dpi,dove qi sono le coordinate di R3 \ 0 e pi sono le coordinate di un elemento dello spazio

cotangente.

Siccome Ω è non degenere, induce una mappa C∞

Ω# : T ∗M → TM

α 7→ Ω#(α)

dove Ω#(α) è l'unico campo vettoriale tale che Ω(Ω#(α), v) = α(v) per ogni v ∈ TM .

Data una funzione H : M → R di classe C∞, il campo hamiltoniano associato ad H è

XH = Ω#(dH)

Nel caso del problema a due corpi la funzione che prendiamo in considerazione è l'energia

totale del sistema

H(q, p) =1

2‖p‖2 − k

‖q‖a cui è associato il campo vettoriale

XH(q, p) =

(p,− k

‖q‖3q

).

Indicheremo con ϕ : R×M →M il usso del campo vettoriale XH e, a volte, ϕt(q, p) =ϕ(t, q, p). Con questo formalismo, un integrale primo è una funzione liscia f tale che

f(q, p) = f(ϕ(t, q, p)) per ogni t ∈ R e, usando le parentesi di Poisson, tale condizione è

equivalente a H, f = 0.Si verica facilmente che

Γ(q, p) = q × pe(q, p) = p× (q × p)− k q

‖q‖

sono integrali primi del moto, che corrispondono, dal punto di vista sico, al momento

angolare del sistema e al vettore di Lenz. Osserviamo, inoltre, che Γ(q, p) · e(q, p) = 0 e

‖e‖2 = k2 + 2H‖Γ‖2.

Ricordando la soluzione del problema a due corpi, l'insieme

Σelliptic = (q, p) ∈M | H(q, p) < 0 L(q, p) 6= 0

corrisponde all'insieme delle orbite ellittiche non degeneri.

10

2.1 L'azione delle anomalie su Σelliptic

In questa sezione deniamo le naturali azioni delle anomalie media, eccentrica e vera

sull'insieme delle orbite ellittiche non degeneri ma vedremo che soltanto la prima sarà

utile al nostro scopo in quanto l'unica ad essere simplettica.

Consideriamo la funzione T : Σelliptic → R che associa ad ogni orbita il suo periodo.

Esplicitamente

T (q, p) =2πk

(−2H(q, p))32

Per ogni funzione F : Σelliptic → R che soddisfa la condizione

2π =

∫ T (q,p)

0F (ϕ(s, (q, p)))ds

deniamo l'angolo

θF (t, (q, p)) =

∫ t

0F (ϕ(s, (q, p)))ds ∈ [0, 2π]

e la funzionehF : R× Σelliptic → R× Σelliptic

(t, (q, p)) 7→ (θF (t, (q, p)), (q, p))

Deniamo l'azione di S1 indotta da F sull'insieme Σelliptic come

ΦF : S1 × Σelliptic → Σelliptic

(eiθ, (q, p)) 7→ ϕ(h−1F (θ, (q, p))

Il generatore innitesimo dell'azione ΦF è il campo vettoriale

YF (q, p) =d

dθ |θ=0

ΦF (eiθ, (q, p)) =dt

dθ

d

dt |t=0

ΦF (eiθ, (q, p))

=1

F (q, p)

d

dt |t=0

ϕ(t, (q, p)) =XH(q, p)

F (q, p)

e un'azione si dice simplettica se la forma dierenziale ιYFΩ è chiusa.

Le tre funzioni a cui applichiamo questa procedura sonoF1(q, p) = 2π

T (q,p)

F2(q, p) = ‖Γ(q,p)‖2‖q‖2

F3(q, p) =

√−2H(q,p)

‖q‖

i cui angoli corrispondenti sono, rispettivamente, l'anomalia media, l'anomalia vera e

l'anomalia eccentrica. Utilizzando le formule ricavate precedentemente è facile vericare

che le azioni indotte dall'anomalia vera ed eccentrica non sono simplettiche, mentre

l'azione indotta dall'anomalia media soddisfa la relazione

ιY1Ω = dI1

dove I1(q, p) = k√−2H(q,p)

, per cui è simplettica.

11

2.2 Interpretazione di Σelliptic come brato in cerchi

In questa sezione mostreremo che l'insieme Σelliptic ha una struttura di brato in circon-

ferenze non banale.

Consideriamo la sottovarietà di R3 × R3 denita da

D = (x, y) ∈ R3 × R3 | x · y = 0, x 6= 0, ‖y‖ < k .

Proposizione. Σelliptic è un brato in circonferenze su D tramite la mappa

π : Σelliptic → R3 × R3

(q, p) 7→ (Γ(q, p), e(q, p))

Dimostrazione. E' chiaro che la funzione sia di classe C∞ e che la bra di ogni punto sia

una circonferenza, dato che un'orbita è univocamente determinata dal vettore di Lenz e

dal momento angolare.

Per provare che è non banale cerchiamo un sottobrato non banale. Consideriamo

π−1(S2 × 0) = (q, p) ∈M | q · p = 0, ‖q‖ =1

k, ‖p‖ = k

Tramite il cambiamento di coordinate lineare (q, p) 7→ (kq, pk ), ricaviamo che π−1(S2 ×0) è dieomorfo a

T1S2 = (x, y) ∈ R3 × R3 | x · y = 0, ‖x‖ = 1, ‖y‖ = 1

che è dieomorfo a SO(3,R) ∼= P3(R). Ma P3(R) è un brato in cerchi non banale su S2

dato che ha classe di Eulero 2.

2.3 Le variabili di Delaunay su Σelliptic

In questa sezione dimostreremo il risultato centrale dell'articolo di Chang e Marsden

espresso dal seguente teorema:

Teorema. Esiste un'azione simplettica e libera del toro T3 sull'insieme Σelliptic ed esisto-

no coordinate canoniche (θ1, θ2, θ3, I1, I2, I3) sul sottoinsieme delle orbite ellittiche non

degeneri, non circolari e non equatoriali, che coincidono con le variabili classiche di

Delaunay.

Iniziamo a denire tre azioni di S1 su Σelliptic che commutano. La prima è l'azione

dell'anomalia media già introdotta nella sezione precedente, ovvero

Φ1 : S1 × Σelliptic → Σelliptic

(eiθ, (q, p)) 7→ ϕ

(2πt

T (q, p), (q, p)

)

12

Abbiamo, inoltre, già osservato che, indicando con Y1 il generatore innitesmi dell'azione

e con I1(q, p) = k√−2H(q,p)

, si ha ιY1 = dI1, per cui l'azione è simplettica.

La seconda è l'azione di rotazione attorno all'asse del momento angolare, che è descritta

esplicitamente dalla formula

Φ2;S1 × Σelliptic → Σelliptic

(eiθ, (q, p)) 7→ RΓ(q, p)Rz(θ)RΓ(q, p)−1 · (q, p)

dove

Rz(θ) =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

RΓ(q, p) =

[ey×Γ‖ey×Γ‖

Γ×(ey×Γ)‖Γ×(ey×Γ)‖

Γ‖Γ‖

]se ey × Γ 6= 0[

ez×Γ‖ez×Γ‖

Γ×(ez×Γ)‖Γ×(ez×Γ)‖

Γ‖Γ‖

]altrimenti

Un calcolo diretto mostra che, denendo eΓ = Γ‖Γ‖ , il generatore innitesimo dell'azione

è il campo vettoriale

Y2 = (eΓ × q, eΓ × p)

e l'azione è simplettica, poichè ιY2Ω = dI2, dove I2(q, p) = ‖Γ(q, p)‖.

La terza è l'azione di rotazione attorno all'asse z, ovvero

Φ3 : S1 × Σelliptic → Σelliptic

(eiθ, (q, p)) 7→ Rz(θ) · (q, p)

Si verica direttamente che il generatore innitesimo dell'azione è

Y3 = (ez × q, ez × p)

e l'azione è simplettica in quanto ιY3Ω = dI3, dove I3(q, p) = Γ(q, p) · ez.

Osserviamo, inoltre, che le azioni commutano: infatti, sfruttando il fatto che questo

avviene se e solo se il bracket di Lie dei generatori innitesimi è nullo, un semplice

calcolo mostra che

• Ij , Ik = 0

• [Yj , Yk] = Ω#(dIj , Ik) = 0

13

Lemma. Sia J : Σelliptic → R3 denita da J(q, p) = (I1(q, p), I2(q, p), I3(q, p)). L'in-

sieme dei valori regolari di J è B = (x, y, z) ∈ R3 | |z| < y < x e ΣB = J−1(B) =(q, p) ∈ Σelliptic | Γ(q, p) × ez 6= 0, e(q, p) 6= 0 coincide con l'insieme delle orbite

ellittiche non circolari, non equatoriali e non degeneri.

Dimostrazione. E' facile vericare che ImJ ⊆ (x, y, z) ∈ R3 | |z| ≤ y ≤ x.Osserviamo che rkdJ = rk(dI1, dI2, dI3) = rk(Y1, Y2, Y3) in quanto per ogni j = 1, . . . , 3vale Ω#(dIj) = Yj e l'applicazione Ω# è un isomorsmo lineare bra per bra.

Iniziamo a provare che se c'è un'uguaglianza, allora Y1, Y2, Y3 ha rango massimo:

• l'insieme Ac = J−1((x, y, z) ∈ R3 | |z| ≤ y < x) coincide con l'insieme delle

orbite circolari, in cui Y1 coincide con Y2;

• l'insieme Aeq = J−1((x, y, z) ∈ R3 | |z| = y ≤ x) coincide con l'insieme delle

orbite equatoriali in cui Y2 coincide con Y3.

Mostriamo, ora, che ΣB è costituito da soli punti regolari per J . Sia (q, p) ∈ ΣB.

Osservando che entrambe le componenti di Y1 e Y2 sono ortogonali a Γ(q, p), proviamo

che non tutte le componenti di Y3 possono essere ortogonali al momento angolare. Infatti,

se così non fosse, entrambi i vettori q e p sarebbero ortogonali a Γ(q, p), ma questo

implicherebbe che q e p siano paralleli. Ma allora il momento angolare sarebbe nullo

e questo è in contraddizione con il fatto che (q, p) ∈ Σelliptic. Di conseguenza Y3 /∈Span(Y1, Y2). Inoltre Y1 e Y2 sono linearmente indipendenti in ogni punto, perchè, se

fossero proporzionalii si avrebbe e(q, p) = 0, contraddicendo il fatto che (q, p) ∈ ΣB.

Consideriamo la mappa C∞

s : B → ΣB

(x, y, z) 7→ (qs, ps)

dove qs = ‖I‖2a(k+‖a‖)‖a‖ e ps = I×qs

‖qs‖2 sono rispettivamente il vettore posizione e il vettore velo-

cità del perielio dell'orbita kepleriana con momento angolare I(x, y, z) = (√y2 − z2, 0, z)

e vettore di Lenz a(x, y, z) =k√x2−y2xy (z, 0,−

√y2 − z2).

Si verica facilmente che s è una sezione liscia di J .

14

Teorema (Canonicità delle variabili di Delaunay). . La mappa C∞

Ψ : T3 ×B → ΣB

(θ1, θ2, θ3, x) 7→ Φ1(eiθ1 ,Φ2(eiθ2 ,Φ3(eiθ3 , s(x))))

induce un simplettomorsmo tra (ΣB,Ω) e (T3 ×B,∑3

i=1 dθj ∧ dIj).

Dimostrazione. Iniziamo a mostrare che Ψ è iniettiva. Supponiamo che esistano (g, x),(h, y) ∈ T3 ×B tali che Ψ(g, x) = Ψ(h, y). Siccome J è invariante per l'azione del toro e

J s = Id abbiamo

x = J(s(x)) = J(Ψg(s(x))) = J(Ψh(s(y))) = J(s(y)) = y

e poichè l'azione di T3 è libera si ha anche g = h.Proviamo, ora, che Ψ è surgettiva. Sia (p, q) ∈ ΣB e sia C un'orbita ellitica passante

per tale punto. Esiste un angolo θ1 tale che Φ1(eiθ1 , (q, p)) è il perigeo dell'orbita C .Compiamo, poi, una rotazione di angolo θ2 con asse il momento angolare in modo che

la coordinata lungo l'asse z del punto Φ2(eiθ2 ,Φ1(eiθ1 , (q, p))) sia la più piccola possibile

lungo l'orbita. Inoltre esiste un angolo θ3 tale che Φ1(eiθ1 ,Φ2(eiθ2 ,Φ3(eiθ3 , (q, p)))) è con-tenuto nell'insieme Π = ((x, 0, z), (0, v, 0)) ∈M | z < 0 v > 0. Se deniamo x = J(q, p)e g = (θ1, θ2, θ3) ∈ T3, si verica facilmente che s(x) = Φ1(eiθ1 ,Φ2(eiθ2 ,Φ3(eiθ3 , (q, p))))e quindi (p, q) = Ψ(g−1, x).Per concludere la dimostrazione basta provare che Ψ∗Ω =

∑3j=1 dθj ∧ dIj :

Ψ∗Ω

(∂

∂θj,∂

∂θk

)= Ω

(dΨ

(∂

∂θj

), dΨ

(∂

∂θk

))= Ω(Yj , Yk) = Ij , Ik = 0

Ψ∗Ω

(∂

∂θj,∂

∂Ik

)= Ω

(dΨ

(∂

∂θj

), dΨ

(∂

∂Ik

))= Ω

(Yj , dΨ

(∂

∂Ik

))= dIj

(dΨ

(∂

∂Ik

))= d(Ij Ψ)

(∂

∂Ij

)= dIj

(∂

∂Ik

)= δi,j

Ψ∗Ω

(∂

∂Ij,∂

∂Ik

)= s∗Φ∗gΩ

(∂

∂Ij,∂

∂Ik

)= s∗Ω

(∂

∂Ij,∂

∂Ik

)= 0

dove abbiamo usato che s∗Ω = 0 e Ψ∗gΩ = Ω in quanto l'azione è simplettica.

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3 Appendice

Ricordiamo alcune nozioni fondamentali riguardante i sistemi hamiltoniani su varietà

simplettiche.

Denizione. Una varietà simplettica è una coppia (M,Ω), dove M è una varietà die-

renziabile e Ω è una 2-forma chiusa non singolare

Segue immediatamente dalla denizione che una varietà simplettica ha necessaria-

mente dimensione pari.

L'esempio principale di varietà simplettica è R2n con la forma dierenziale∑n

i=1 dxi ∧dyi e un risultato fondamentale di Darboux mostra che, almeno localmente, ci si puo'

ricondurre sempre a questo caso:

Teorema (Darboux). Data (M,Ω) una varietà simplettica di dimensione 2n, esiste un

sistema di coordinate locali (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn), tale che Ω =∑n

i=1 dqi ∧ dpi.

Data una varietà simplettica (M,Ω), la forma dierenziale Ω induce un isomorsmo

Ω# : T ∗M → TM

α 7→ Ω#(α)

dove Ω#(α) è l'unico campo vettoriale tale che per ogni X ∈ TM vale Ω(Ω#(α), X) =α(X).

Denizione. Un campo hamiltoniano X su una varietà simplettica (M,Ω) è un campo

vettoriale per il quale esiste una funzione C∞ H : M → R, detta hamiltoniana, tale che

ιXΩ = dH

Denizione. Il usso di un campo hamiltoniano è una funzione liscia ϕ : R×M →Mche soddisfa l'equazione dierenziale

dϕdt (t, y) = X(y)

ϕ(0, y) = y

che in coordinate di Darboux di riscrive comeqi = ∂H

∂pi

pi = −∂H∂qi

Quando studiamo il problema del moto di un corpo su una varietà N tramite il forma-

lismo hamiltoniano, stiamo in realtà studiando il usso integrale del campo hamiltoniano

denito sul brato cotangente di N, che ha una naturale struttura di varietà simplettica

denita nel modo seguente: se (q1, . . . , qn) sono coordinate locali su N , sul brato cotan-

gente abbiamo coordinate locali (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) in modo che una qualunque forma

dierenziale α si scriva come α =∑n

i=1 pidqi. La 2-forma canonica che dà la struttura

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simplettica è Ω = −dα =∑n

i=1 dqi ∧ dpi, che risulta essere indipendente dalle coordinate

locali scelte e, quindi, è denita globalmente.

Uno strumento fondamentale per lo studio dei sistemi hamiltoniani è la parentesi di

Poisson:

Denizione. Data una varietà simplettica (M,Ω) e due funzioni f, g : M → R di classe

C∞ la parentesi di Poisson tra f e g è la funzione

f, g = Ω(Xf , Xg) = df(Xg) = Xg(f)

dove abbiamo indicato Xf = Ω#(df)

Proposizione. Le parentesi di Poisson soddisfano le seguenti proprietà:

(i) f, g = −g, f

(ii) f, g, h+ g, h, f+ h.f, g = 0

(iii) Xf,g = −[Xf , Xg]

Dimostrazione. (i) Segue dall'antisimmetria della forma Ω.(ii) Si verica con un calcolo diretto in coordinate di Darboux.

(iii) Mostriamo che Xf,g e −[Xf , Xg] coincidono come derivazioni.

Per ogni h ∈ C∞(M) vale

[Xf , Xg](h) = Xf (Xg(h))−Xg(Xf (h)) = Xf (h, g)−Xg(h, f)= f, g, h+ g, h, f = −h, f, g = −Xf,g(h)

come volevamo.

Denizione. Data un'hamiltoniana H e il suo campo hamitloniano associato XH con

usso integrale ϕt, un integrale primo per XH è una qualsiasi funzione liscia f che rimane

costante lungo il usso, ovvero per ogni t ∈ R e per ogni p ∈M si ha f(ϕt(p)) = f(p).

Lemma. f è un integrale primo per il campo hamiltoniano XH se e solo se f,H = 0.In particolare, l'Hamiltoniana stessa è sempre un integrale primo del campo associato.

Dimostrazione. Per denizione f è un integrale primo se e solo se ddtf ϕt(p) = 0 per

ogni p ∈M . D'altra parte

d

dtf ϕt(p) = dfϕt(p)(XH) = f,H ϕt(p)

e quindi si ha la tesi.

Denizione. Un simplettomorsmo (o trasformazione canonica) tra due varietà sim-

plettiche (M1,Ω1) e (M2,Ω2) è un dieomorsmo C∞ Φ : M1 → M2 tale che Φ∗Ω2 =Ω1.

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Segue subito dalla denizione che un simplettomorsmo conserva la parentesi di Pois-

son e, quindi, trasforma campi hamiltoniani in campi hamiltoniani.

Concludiamo dimostrando un criterio per capire se ussi relativi a campi vettoriali diversi

commutano.

Teorema. Siano X e Y campi vettoriali su una varietà dierenziabile M e siano ϕt eψs i rispettivi ussi integrali. Sono equivalenti:

(a) [X,Y ] = 0;

(b) Y è X-invariante (cioè d(ϕs)p(X) = Xϕs(p));

(c) X è Y -invariante;

(d) ϕt ψs = ψs ϕt.

Dimostrazione. (b) ⇒ (a) Ricordando che [X,Y ] coincide con la derivata di Lie di Ylungo X si ha

[X,Y ] = limt→0

d(ϕ−t)ϕt(p)(Y )− Ypt

= limt→0

Yp − Ypt

= 0

(a)⇒ (b) Consideriamo la funzione V (t) = d(ϕ−t)ϕt(p)(Y ) e mostriamo che è costante.

d

dt |t=t0V (t) =

d

dt |t=t0d(ϕ−t)ϕt(p)(Y ) =

d

ds |s=0

d(ϕ−t0−s)ϕt0+s(p)(Y )

=d

ds |s=0

(d(ϕ−t0)ϕt0 (p) d(ϕ−s)ϕs+t0 (p)(Y )

)= d(ϕ−t0)ϕt0 (p)

(d

ds |s=0

d(ϕ−s)ϕt0+s(p)(Y )

)= d(ϕ−t0)ϕt0 (p)([X,Y ]) = 0

Quindi V (t) = V (0) = Yp da cui segue la tesi.

Similmente si dimostra l'equivalenza tra (a) e (c), per cui le prime tre aermazioni sono

equivalenti.

(d)⇒ (c) Se i ussi commutano, allora

d(ψs)p(X) =d

dt |t=0

(ψs ϕt(p)) =d

dt |t=0

(ϕt ψs(p)) = Xψs(p)

per cui X e Y -invariante.(c)⇒ (d) Consideriamo la curva σ(t) = ψs ϕt(p). Il suo vettore velocità è

σ(t) = d(ψs)ϕt(p)(Xϕt(p)) = Xψsϕt(p) = Xσ(t)

perchè X è Y -invariante. Quindi σ è la curva integrale di X uscente da ψs(p) e, quindi,coincide con ϕt ψs(p).

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