LE ONDE MECCANICHE -...

CAPITOLO 25

LE ONDE MECCANICHE

1

1 I MOTI ONDULATORI 1 Un’onda è una perturbazione che si propaga trasportando energia. Un impulso sonoro, per esempio dovuto a uno sparo, produce un’onda sonora che, propagandosi attraverso l’aria, raggiunge la neve: l’impatto su questa può determinare il distacco di lastroni di ghiaccio e produrre una valanga. 2 • Si tratta di un impulso longitudinale poiché le persone si spostano nella stessa direzione di

propagazione dell’impulso. • La velocità dell’impulso è determinata dai tempi di reazione delle persone e dalla velocità con

cui esse si muovono. 3 • Lungo gli spalti. • Il «mezzo» è l’insieme degli spettatori. • Ognuno si muove prima verso l’alto e poi verso il basso. • L’onda è trasversale. 4 L’onda è longitudinale. 2 FRONTI DʼONDA E RAGGI 5 Circonferenze concentriche. 6 Hanno forma sferica. 7 I fronti d’onda sono porzioni di piano. 3 LE ONDE PERIODICHE 8 La frequenza di un’onda periodica è sempre uguale a quella della sorgente. Può cambiare, a seconda

Amaldi, Dalla mela di Newton al Bosone di Higgs CAPITOLO 25 • LE ONDE MECCANICHE

2

del mezzo, la velocità e dunque la lunghezza d’onda. 9 Le due onde hanno la stessa lunghezza d’onda, ma la velocità di propagazione di un’onda elettromagnetica nell’aria è molto più elevata di quella del suono; dunque, poiché v = λ f , la frequenza delle onde elettromagnetiche è più elevata di quelle sonore. 10 ★ • f = 1

T= 16,0 s

= 0,17 Hz

• λ = vT ⇒ v = λT= 90 m6,0 s

= 15 m/s

11 ★

λ = 100 m14

= 7,14 m

12 ★ T = 1

f= 1446 Hz

= 2,24 ⋅10−3 s

λ = vf= 343 m/s446 Hz

= 0,769 m

13 ★ Il periodo delle onde è 2,0 s, la lunghezza d’onda è pari a 6,5 m, dunque la velocità delle onde è

v = λT= 6,5 m

2,0 s= 3, 3 m/s

14 ★

• v = st= 2L∆ t

=2 840 m( )4,90 s

= 343 m/s

• f = vλ= 343 m/s0,800 m

= 429 Hz

• T = λv= 0,800 m343 m/s

= 2,33×10−3 s

15 ★ v = λ f

∆ t = ∆ sv

= ∆ sλ f

= 35,8 m2,82 m( ) 546 Hz( ) = 0,0233 s


3

16 ★★ • Onda rossa: ampiezza = 1 cm; lunghezza d’onda = 2 cm. • Onda verde: lunghezza d’onda = 2 cm. Onda blu: lunghezza d’onda = 1 cm. • La lunghezza d’onda. 17 ★★ La distanza è data da

d = v∆ t = 340 m/s( ) 4,0 s( ) = 1,4 ×103 m

La frequenza del suono è

f = vλ= 340 m/s0,743 m

= 4,6 ×102 Hz

18 ★★ • La distanza tra una cresta e una gola vale

λ2= v2 f

= 18 m/s2 0,18 Hz( ) = 50 m

• La velocità di tale onda è

v2 = λ f2 = λ 3 f1( ) = 3 λ f1( ) = 3v1 = 3 18 m/s( ) = 54 m/s 19 ★★ La frequenza dell’onda generata è uguale alla frequenza della sollecitazione:

f = 1T= 11 s

= 1 Hz

λ = vf= 5 ×10

−2 m/s1 s−1

= 0,05 m

20 ★★

• La velocità di propagazione delle onde è sempre la stessa in una stessa molla. • La velocità di propagazione delle onde dipende solo dalle caratteristiche fisiche e geometriche

della molla. • Velocità: 3,5 m/s 3,5 m/s 2,5 m/s 2,5 m/s 2,1 m/s 2,2 m/s 21 ★★

• La velocità delle onde è data da


4

v = λ f = 0,50 m( ) 10 Hz( ) = 0,50 m/s

La profondità del liquido è

h = v2

g=0,50 m/s( )29,8 m/s2

= 2,6 cm

• ????

22 ★★ La forza di tensione della corda è uguale alla forza-peso dell’oggetto appeso:

FT = Fp = mg = 2,5 kg( ) 9,8 m/s2( ) = 24,5 N

La densità lineare della corda vale

dL =mL= 0,050 kg

2,5 m= 0,020 kg/m

La velocità di propagazione dell’impulso è

v = FTdL

= 24,5 N0,020 kg/m

= 35 m/s

23 ★★ La densità lineare della fune vale

dL =FTv2

= 400 N200 m/s( )2

= 0,0100 kg/m

La tensione della fune è

F = dLv2 = 0,0100 kg/m( ) 300 m/s2( ) = 900 N

24 ★★ La densità lineare del secondo cavo è il quadruplo della densità lineare del primo cavo. Dal problema modello, sappiamo che dL = Sd . Inoltre, la tensione è direttamente proporzionale alla densità lineare, poiché la velocità non varia. Quindi la tensione sul secondo cavo è il quadruplo della tensione sul primo cavo:

F2 = 4F1 = 4 300 N( ) = 1200 N = 1,2 ×103 N 25 ★★ La distanza della località dall’ipocentro, chiamata d, è percorsa dalle onde P in 4,0 s in meno rispetto alle onde S. Quindi

∆ t = 4,0 s = d3,0 km/s

− d5,0 km/s

⇒

⇒ 5,0 km/s− 3,0 km/s( ) d = 60 km ⇒ d = 30 km


5

4 LE ONDE ARMONICHE 26 Le oscillazioni delle boe sono in fase, poiché la distanza che le separa è il doppio della lunghezza d’onda. 27 ★ Scegliamo in modo comodo il sistema di riferimento necessario per risolvere il problema, quindi poniamo in x = 0 il punto di massimo dell’onda e poniamo y = 0 a metà altezza tra il massimo dell’onda e il minimo, in modo da usare la formula [7] con ϕ0 = 0 . In questo modo il punto P, di cui dobbiamo trovare l’altezza, ha x = 0,500 m = 50,0 cm.

y

x

P

50,0 cm

0

Sostituendo nella [7] i valori numerici del problema e usando una calcolatrice scientifica, troviamo:

y(x) = a cos 2πλx +ϕ0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y P( ) = 1,73 m( ) cos 6,284,22 m

0,500 m( ) + 0⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 1,73 m( ) cos 0,744( ) = 1,73 m( ) 0,736( ) = 1,27 m

28 ★

• y t( ) = a cos 2πTt⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = 0,15 m( ) cos 2π

1,8 st⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

• y t( ) = a cos 2πTt⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = 0,15 m( ) cos 2π

1,8 s2,2 s( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= 0,026 m

29 ★

• 2πTt⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = πt ⇒ T = 2 s

• 0 rad • L’ampiezza dell’oscillazione.


6

30 ★

• y x( ) = a cos 2πλx⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = a cos

2πvT

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y 40 cm( ) = 1,40 m( ) cos 2π1,88 m/s( ) 2,13 s( ) 40,0 ×10

−2 m( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 1,13 m

• cos 2πλx⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = 0 ⇒ 2π

λx = π

2⇒ x = λ

4= vT4

=1,88 m/s( ) 2,13 s( )

4= 1,00 m

•

1 2 3 4

–1,0

–0,5

0,5

1,0

1,4

x

y

00,4

1,13

31 ★★ • L’altezza dell’onda rispetto al livello del mare è la sua ampiezza. La distanza tra le creste è la lunghezza d’onda. L’intervallo di tempo trascorso tra due creste è il periodo. Con questi dati calcoliamo la frequenza, la pulsazione e la velocità:

f = 1T= 18,0 s

= 0,13 Hz

ω = 2π f = 2π rad( ) 0,13 Hz( ) = 0,79 rad/s

v = λ f = 15 m( ) 0,13 Hz( ) = 1,9 m/s

• y t( ) = a cos ωt( ) = 0,80 m( ) cos 0,79 rad/s( ) t⎡⎣ ⎤⎦ 32 ★★

• 2πTt⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = 2πt ⇒ T = 1 s

λ = vT = 0,040 m/s( ) 1 s( ) = 0,040 m


7

•

0,5 1,0 1,5 2,0

– 0,5

0,5

0,8

t

y

33 ★★ • Dall’onda di figura conosciamo ampiezza, lunghezza d’onda e velocità di propagazione. Da

queste ricaviamo la funzione d’onda y(x) e la frequenza f. Infine, da quest’ultima, ricaviamo l’equazione dell’onda x(t).

La fase iniziale, per x = 0 m, è pari a zero, quindi la curva è una cosinusoide:

y x( ) = a cos 2πλx⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = a cos

2π10 m

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 0,50 m( ) cos 0,63 rad/m( ) x⎡⎣ ⎤⎦

• f = vλ= 5,0 m/s10 m

= 0,50 Hz

y t( ) = a cos 2πft( ) = 0,50 m( ) cos 2π 0,50 Hz( ) t⎡⎣ ⎤⎦ = 0,50 m( ) cos πt( )

La funzione armonica è dunque

y = 0,50 m( ) cos 2π10 m

x − (5,0 m/s) t[ ]⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

34 ★★ • L’ampiezza della sinusoide è la semioscillazione:

a = 0,30 m2

= 0,15 m

La frequenza e la pulsazione sono:

f = 1T= 11,5 s

= 0,67 Hz

ω = 2π f = 2π 0,67 Hz( ) = 4,2 rad/s

• y t( ) = a cos ωt( ) = 0,15 m( ) cos 4,2 rad/s( )


8

–0,15

–0,10

–0,05

0,05

0,10

0,15

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

y

t

35 ★★

• Il punto P è in ritardo rispetto al punto A di un quarto di un intero ciclo. Dunque la differenza di fase tra i due punti è

∆ ϕ = 142π( ) = π

2

• Il punto P è in fase con il punto D. • Il punto E è in fase con il punto B. • Il punto C è in anticipo rispetto al punto P di 3/4 di un intero ciclo. Dunque la differenza di fase tra i due punti è

∆ ϕ = 342π( ) = 3

2π

• Il punto C, poiché la differenza di fase tra il punto A e il punto C è

∆ ϕ = 122π( ) = π

• La differenza di fase tra i punti B e D è

∆ ϕ = 122π( ) = π

36 ★★ Conoscendo ampiezza e periodo dell’onda possiamo determinare la sua funzione:

y t( ) = a cos 2πTt⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = 0,70 m( )cos 2π

0,50 st⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= 0,70 m( )cos 13 rad/s( ) t⎡⎣ ⎤⎦

Il grafico risulta il seguente:


9

0,2

0,4

0,60,7

–0,6

–0,4

–0,20,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

y

t

37 ★★ λ = v

f= 340 m/s880 Hz

= 0,386 m

y = a cos 2πλ

x − vt( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

= 3,00 m( ) cos 2π0,386 m

x − 340 m/s( ) t⎡⎣ ⎤⎦⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

= 3,00 m( ) cos 16,3 rad/m( ) x − 340 m/s( ) t⎡⎣ ⎤⎦{ } 5 LʼINTERFERENZA 38 Si ha interferenza costruttiva quando si incontrano linee dello stesso colore. 39 L’interferenza è costruttiva perché i punti di a sono equidistanti dalle sorgenti S1 e S2. 40 ★

ϕ0 =π2

A = 2a cos ϕ0

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2a cos

π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2a

22

= a 2

41 ★★

• f1 =ω1

2π= 12π

= 0,16 Hz


10

f2 =ω2

2π= π2π

= 0,5 Hz

f3 =ω3

2π= 22π

= 0,32 Hz

a1 = 2,0 m

a2 = 0,50 m

a3 = 1,0 m •

2 4 6 8 10

–1

1

2

3

t

y

42 ★★

–8

–6

–4

–2

2

4

1 2 34

5 6

y

x


11

43 ★★ Gli angoli di sfasamento possono essere trasformati da gradi in radianti ricordando la proporzione:

α (°) : 180° = x (rad) : π rad

Le equazioni d’onda delle due onde che interferiscono sono:

y1(t) = a cos ωt +ϕ1( ) = 0,20 m( ) cos 5 rad/s( ) t + 0,35⎡⎣ ⎤⎦

y2 (t) = a cos ωt +ϕ2( ) = 0,20 m( ) cos 5 rad/s( ) t +1,4⎡⎣ ⎤⎦

Applicando le formule di prostaferesi, si ottiene

y t( ) = y1 t( ) + y2 t( ) = 2a cos ϕ2 −ϕ12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos 10 t +

ϕ2 −ϕ12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

= 0,40 m( ) cos π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos 5 rad/s( )t + π

6⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

44 ★★

A = 2a cos ϕ0

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒

⇒ 2a cos ϕ0

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

a2

⇒

⇒ ϕ0 = 2arccos14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 151°

45 ★★

• Il grafico delle due onde al variare del tempo è

–3 –2 –1

1 2 3

–3

–2

–1

1

2

3

y

t


12

• Il grafico dell’onda ottenuta dalla sovrapposizione delle due onde è

–3 –2 –11 2 3

–6

–4

–2

2

4

6

46 ★★ La somma delle due onde armoniche è

y t( ) = y1 t( ) + y2 t( ) = 0,60 m( ) cos π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos 10 t +

π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L’onda risultante si annulla quando si annulla il coseno:

cos 10 t + π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 0 ⇒ 10 t + π

6= π2+ kπ ⇒ 10 t + π

6= k + 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ π ⇒

⇒ 10 t = kπ + π3

⇒ t = k + 13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟π10 s

47 ★★ Dopo 1 s, gli impulsi si sono spostati di 2 m: in questa situazione si sovrappongono e la corda si sposta verso il basso di 2,5 m (spostamento massimo) rispetto all’asse x. Dopo 2 s gli impulsi si sono spostati di 4 m e non interferiscono più. 48 ★★ L’equazione dell’onda risultante è

y t( ) = y1 t( ) + y2 t( ) = 2a cos ∆ φ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos ωt + ∆ φ

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

La condizione sulle ampiezze risulta:

2a cos ∆ φ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = A ⇒ 0,26 m( ) cos ∆ φ

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 0,20 m

Da questa condizione si calcola lo sfasamento:


13

∆ φ = 2 arccos 0,20 m0,26 m

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1,4 rad

49 ★★ Dalla condizione sulle ampiezze, so ottiene:

A = 2a cos φ22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒ 1

4a = 2a cos φ2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒ cos φ2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

18

⇒ φ2 = 2,9 rad

6 LʼINTERFERENZA IN UN PIANO E NELLO SPAZIO 50 ★★

∆ L = λ2= 12vsf

⇒ f = vs2∆ L

= vs2 d 2 + D2 − D( ) =

= 340 m/s

2 2,10 m( )2 + 2,80 m( )2 − 2,80 m( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= 243 Hz

51 ★★

d

A

B

!

x

P

x La differenza dei cammini D delle due onde è

D = DP − AP = x2 + d 2 − x = k + 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ λ k = 0, 1, 2, 3, ...

Sviluppando il calcolo si ricava x:

x2 +16 = x + k + 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ λ ⇒ x2 +16 = x2 + 2x k + 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ λ + k + 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

λ2 ⇒


14

⇒ x =16 − k + 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

λ2

2k +1( )λ ≥ 0

La condizione

16 − k + 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

λ2

2k +1( )λ ≥ 0

è verificata se

k + 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

λ2 ≤16

ovvero se

k ≤ 4λ− 12= 3,5 ⇒ k = 0, 1, 2, 3

Con questi valori di k ammessi, si ricavano le posizioni dei minimi:

k = 0 ⇒ x0 = 16 mk = 1 ⇒ x1 = 4,6 mk = 2 ⇒ x2 = 2,0 mk = 3 ⇒ x3 = 0,54 m

52 ★★ La posizione utile è quella in cui la differenza di cammino delle due onde sonore è uguale a mezza lunghezza d’onda. Ci sono anche altre posizioni tali che la differenza di cammino è un numero intero di lunghezze d’onda più mezza lunghezza d’onda.

A1 A2PP! P!

La lunghezza d’onda delle onde sonore è

λ = vf= 340 m/s170 Hz

= 2,00 m

Sia P il punto centrale tra A1 e A2 e sia ′P la nuova posizione della scrivania, che può essere a destra o a sinistra, come indicato in figura. Poniamo:

A1 ′P = A1P − x = 5,0 m − x


15

A2 ′P = A2P + x = 5,0 m + x

Per avere interferenza distruttiva, la posizione della scrivania deve essere tale che

A1 ′P − A2 ′P = 2x = λ2

e quindi

x = λ4= 2,00 m

a= 0,500 m

Giulia si deve quindi spostare di mezzo metro, a destra oppure a sinistra, dalla posizione centrale P prima occupata. 53 ★★

A1

d1 d2

A2P

La lunghezza d’onda sonora è

λ = 340 m/s900 Hz

= 0,378 m

Siano d1 e d2 le distanze dagli altoparlanti A1 e A2 alle quali si può mettere il bicchiere. La condizione di interferenza costruttiva è

d1 − d2 = kλ

sono quindi ricavabili dalle condizioni

d1 − d2 = kλd1 + d2 = 2 m

⎧⎨⎩

e risultano

d1 = 1 m + k λ2

d2 = 1 m − k λ2

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

k = ..., −2, −1, 0, +1, +2, ...

54 ★★ La lunghezza d’onda dell’onda sonora da attenuare è

λ = vf= 340 m/s1000 Hz

= 0,340 m


16

La condizione per l’interferenza distruttiva è

d1 − d2 = 32λ = 0,510 m

da cui

d2 = d1 ± 0,510 m

Perciò, se d1 = 2,50 m, per d2 avremo i possibili valori 1,99 m e 3,01 m. 55 ★★ La lunghezza d’onda delle armoniche è

λ = vf= 250 m/s5,00 ×103 Hz

= 5,00 ×10−2 m

Si ha interferenza costruttiva quando le distanze delle due sorgenti dal punto P di osservazione differiscono di kλ . Possiamo scrivere, per k = 1,

d 2 + 0,10 m( )2 − d = λ

da cui ricaviamo d:

d = 0,10 m( )2 − λ22λ

=0,10 m( )2 − 5,00 ×10−2 m( )2

2 5,00 ×10−2 m( ) = 75 ×10−3 m

7 LA DIFFRAZIONE 56 Non vediamo l’immagine di questa persona poiché la lunghezza d’onda della luce visibile è dell’ordine di mezzo micron (1 µm = 10–6

m), troppo piccola per generare fronti d’onda oltre l’ostacolo. La lunghezza d’onda del suono invece è dell’ordine del metro, pertanto confrontabile con l’ostacolo. Per questo motivo può aggirarlo e generare il fenomeno di diffrazione. 57 L’onda di lunghezza d’onda di 1 m diffrange contro lo scoglio più piccolo, superandolo facilmente. Lo scoglio più grande invece si comporta da schermo, così come avviene con un’ombra generata dalla luce schermata da un ostacolo. Per questa ragione non vedremo l’onda propagare appena dietro allo scoglio di lunghezza di 12 m.


17

PROBLEMI GENERALI 1 ★★ T4= 0,30 s ⇒ λ = vT = 4v T

4= 4 4,0 m/s( ) 0,30 s( ) = 4,8 m

2 ★★

• λ = 8,40 m200

= 4,20 ×10−2 m

λ = vT ⇒ v = λT= λ f = 8,40 m

20050,0 Hz( ) = 2,10 m/s

• Dall’equazione

y t( ) = a cos 2πTt +ϕ0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

imponendo le condizioni iniziali t = 0 s, y = –28,2 cm, a = 28,2 cm, si ricava ϕ0 :

−28,2 cm = 28,2 cm( ) cos 0 +ϕ0( ) ⇒ cosϕ0 = −1 ⇒ ϕ0 = π

L’equazione dello spostamento verticale è

y x( ) = a cos 2πλx +ϕ0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 0,282 m( ) cos 2π

4,20 ×10−2 mx + π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

= 0,282 m( ) cos 48 m−1( )πx + π⎡⎣ ⎤⎦ 3 ★★

• λ = 8,0 ×10−2 m

• a = 8,0 ×10−2 m

• T = λv= 8,0 ×10−2 m

10 m/s= 8,0 ×10−3 s

• f = 1T= vf= 10 m/s8,0 ×10−2 m

= 1,3×102 Hz

4 ★★

• λ = 1,2 m

• v = ∆ s∆ t

= 10 ×10−2 m

0,20 s= 0,50 m/s

• T = λv= 1,20 m0,50 m/s

= 2,4 s


18

• f = 1T= vf= 0,50 m/s1,20 m

= 0,42 Hz

5 ★★ • I tempi impiegati dall’onda ad attraversare i due mezzi sono

t1 =sv1

= 0,100 m340 s

= 2,94 ×10−4 s

t2 =sv2

= 0,100 m1480 s

= 6,76 ×10−5 s

La loro differenza risulta

∆ t = t1 − t2 = 2,26 ×10−4 s

• Le lunghezze d’onda del suono in aria e in acqua sono

λ1 =v1f= 340 m250 Hz

= 1,36 m

λ2 =v2f= 1480 m250 Hz

= 5,92 m

6 ★★ Dalle condizioni iniziali si ricava l’ampiezza iniziale:

0,015 m = 0,030 m( ) cos 0 +ϕ0( ) ⇒ cosϕ0 = 0,5 ⇒ ϕ0 = 60° =π3

La legge delle onde armoniche in un punto fissato è

y t( ) = 0,030 m( ) cos 400 πt + π3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7 ★★ La densità lineare del cavo è

dL =mL= dVL

= dLSL

= dS = 8960 kg/m3( ) 2,0 ×10−4 m2( ) = 1,8 kg/m

La velocità dell’onda è

v = λ f = 0,20 m( ) 500 Hz( ) = 100 m/s

La tensione alla quale è sottoposto il cavo risulta:

FT = dLv2 = 1,8 kg/m( ) 100 m/s( )2 = 1,8 ×104 N

8 ★★ vs = velocità di propagazione del suono nel terreno; v = velocità di propagazione del suono nell’aria;


19

s = distanza indiani-bufali; t2 = tempo impiegato dal suono a percorrere nel terreno la distanza indiani-bufali; t1 = tempo impiegato dal suono a percorrere nell’aria la distanza indiani-bufali;

t2 =svs

= s10v

t1 =sv

t2 − t1 = s1vs− 1v

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒ s =t2 − t1( )vsvv − vs

=−10 s( )10v2

−9v= 3,8 ×103 m

9 ★★ D = distanza dell’epicentro dalla stazione sismografica

tS =DvS

tempo di arrivo delle onde S

tP =DvP

tempo di arrivo delle onde P

tS − tP = D1vS

− 1vP

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒ D = tS − tP( ) vSvPvP − vS

10 ★★★ La forza a cui è soggetta la corda è

F = mg = 1,5 kg( ) 9,8 m/s2( ) = 14,7 N

La massa per unità di lunghezza (densità lineare) della corda è

dL =ml= 0,400 kg

10 m= 0,040 kg/m

La velocità con cui si propaga l’impulso risulta

v = FdL

= 14,7 N0,040 kg/m

= 19 m/s

11 ★★★ Il periodo di rotazione del disco è

T = 133 min−1 =

60 s33

= 1,8 s

e dunque la velocità con cui si sposta un punto alla distanza dal centro assegnata è

v = 2πrT

=2π 0,10 m( )1,8 s

= 0,35 m/s

Il disco scorre con questa velocità rispetto alla puntina e così anche le onde sul solco.


20

La puntina viene sollecitata alla frequenza f data da

f = vλ= 0,35 m/s1,50 ×10−3 m

= 2,3×102 Hz

12 ★★★ Le onde riflesse interferiscono con quelle che provengono direttamente dalla sorgente. L’interferenza è costruttiva se la differenza di cammino è pari a un numero intero di lunghezze d’onda. La differenza di cammino è data dal doppio della distanza del riflettore dal rivelatore. Dette l1 e l2 le due distanze misurate, si ha

2l1 = nλ

2l2 = n +10( )λ

2 l2 − l1( ) = 10λ ⇒ λ = l2 − l15

= 2,8 cm

13 ★★★

• A = 2a cos ϕ0

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒ ϕ0 = 2 arccos

A2a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2 arccos

0,36 m2 0,21 m( )

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 62°

• y = 2a cos ϕ0

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos ωt + ϕ0

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2 0,21 m( )cos 62°

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos 10π rad/s( )t + 62°

2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

= 0,36 m( ) cos 10 rad/s( )πt + 31180

π rad⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

14 ★★★

• 3a = 2a 32

= 2a cos π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y t( ) = 3a cos ωt + π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2a

32cos ωt + π

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2a cos

π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos ωt + π

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Dal confronto con la relazione trigonometrica

2cosα cosβ = cos α +β( ) + cos α −β( ) si può porre

α = ωt + π4

β = π6

e quindi ottenere

α +β = ωt + π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

π6= ωt + 5

12π


21

α −β = ωt + π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

π6= ωt + 1

12π

Di conseguenza si può scrivere

y t( ) = y1 t( ) + y2 t( )

essendo

y1 t( ) = a cos ωt + 512

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y2 t( ) = a cos ωt + 112

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

• ∆ ϕ = 512

π − π12

= π3

• A = a ⇒ 2a cos ∆ ϕ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = a ⇒ ∆ ϕ

2= arccos 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∆ ϕ = ± 23π + 4kπ con k intero relativo arbitrario.

15 ★★★ La lunghezza d’onda del segnale è

λ = vf= 340 m/s200 s−1

= 1,70 m

• La differenza di fase tra due punti dell’onda, distanti ∆x, allo stesso istante di tempo, è data da

∆ ϕ = 2πλ∆ x

Da questa si ha

∆ x = ∆ ϕ2π

λ = π312π

1,70 m( ) = 0,283 m

• Fissato il punto x, la differenza di fase corrispondente all’intervallo di tempo assegnato è

∆ ϕ = 2πT∆ t = 2π f ∆ t = 2π 200 s−1( ) 1,0 ×10−3 s( ) = 1,3 rad

• Nel primo caso la distanza tra le due sorgenti che emettono in fase è ∆x = 0,283 m. Le onde arrivano sul ricevitore con una differenza di fase pari a

∆ ϕ = π3 rad

Nel secondo caso, se raddoppia la distanza tra le sorgenti, raddoppia anche la differenza di fase:

∆ ϕ = 2π3 rad


22

Nel terzo caso, se triplica la distanza tra le sorgenti, triplica anche la differenza di fase:

∆ ϕ = π rad

Perciò le onde arrivano in opposizione di fase e si ha interferenza distruttiva. 16 ★★★ La condizione che ottimizza l’ascolto è quella in cui il suono alla frequenza desiderata ha un massimo di interferenza delle onde generate da ogni cassa acustica. Il disegno mostra la geometria del sistema. Calcoliamo innanzitutto la lunghezza d’onda. Imponiamo la condizione di interferenza costruttiva, con k = ±1 :

λ = vf= 340 m/s700 Hz

= 0,486 m

d1 − d2 = λ

4,00 m( )2 + x2 − 4,00 m( )2 + 3,50 m − x( )2 = 0,486 m ⇒

⇒ x =2,36 m1,14 m⎧⎨⎩

LE ONDE MECCANICHE -...

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