LE LEGGI FONDAMENTALI DELLA...

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LE LEGGI FONDAMENTALI DELLA DINAMICA

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Il primo principio della dinamica

• Obiettivi:– conoscere e capire i principi della dinamica;– conoscere i concetti di massa e peso;– conoscere la dinamica e la statica dei sistemi di punti– apprendere il concetto di momento.

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• Basandosi esclusivamente sugli esperimenti analizzati nella lezione precedente, la relazione, che qui ricordiamo:

1’) a1=f/m1 a2=f/m2 ….. an=f/mn

non si potrebbe considerare stabilita col rigore e la precisione richiesta per una legge generale e universale.


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• Tuttavia (riferendoci alle ricerche di Galileo) potremo considerarla valida con buona approssimazione per dei sistemi di riferimento connessi alla superficie terrestre.

• Anticipando però alcune nozioni sulle quali torneremo nel seguito, possiamo renderci conto che l’espressione (1’) rappresenta una legge universale.

• Una bilancia di torsione è un dinamometro molto sensibile, in cui le forze vengono misurate per mezzo delle reazioni elastiche (torsioni) che esse provocano.

• Lord Cavendish nel 1771, utilizzando questo delicato strumento, mostrò che due corpi qualsiasi si attirano con una forza che dipende dalla loro distanza.


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• Se i corpi sono così piccoli da poter considerare trascurabili le loro dimensioni rispetto alla loro distanza, allora si trova precisamente che la forza varia in ragione inversa del quadrato della distanza.

• Trasportando questa legge ai corpi celesti e in particolare applicandola ai corpi del sistema planetario è possibile prevedere quale debba essere il moto dei pianeti.

• È possibile cioè prevedere che le orbite hanno forma ellittica, che i tempi di rivoluzione stanno in certi rapporti con le dimensioni di tali orbite ecc. ecc,.


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• Il che equivale ad affermare che la (1’) stabilita da Galileo nel caso molto particolare di una forza costante e di un sistema di riferimento terrestre, è una legge molto più generale, valida per forze molto più complesse, in sistemi di riferimento rispetto ai quali la terra è solo un punto materiale.

• In base a considerazioni di questo genere Newton ha visto nella (1’) l’espressione di un principio generale applicabile a tutti i possibili movimenti dell’Universo.


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• E poiché un movimento ha un significato preciso solo se è definito il sistemadi riferimento rispetto al quale lo si osserva, Newton scelse come sistema di riferimento l’Universo stesso, ossia l’insieme delle stelle fisse.

• Ne segue che potremo assumere come legge fondamentale della dinamica il seguente principio.– ”Per ogni punto materiale in moto rispetto ad una terna di riferimento

solidale con le stelle fisse (cioè con origine e assi immobili rispetto a questi astri) la forza, misurata staticamente, è in ogni punto e in ogni istante, proporzionale all’accelerazione. Inoltre, forza e accelerazione (in quanto vettori) hanno la stessa linea di azione e lo stesso verso.”


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• In simboli, indicando con la forza e con l’accelerazione si può scrivere:

(2)

dove, m è la costante di proporzionalità (scalare) che abbiamo chiamato massa.

• Prima di discutere la (2) vogliamo chiarire alcuni punti dell’enunciato precedente.

• Intanto osserviamo che la (2) contiene implicitamente il principio diinerzia, in quanto se poniamo uguale a 0 il valore della forza, si avràun’accelerazione nulla.

fr

ar

f m a=r r

Il secondo principio della dinamica

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• Abbiamo poi parlato di forza misurata staticamente, ma appare evidente come sia assurdo pensare di misurare con un dinamometro la forza che si esercita fra la Terra e il Sole.

• Si può però misurare con un dinamometro la forza che si esercita fra due masse materiali (come effettivamente ha fatto Cavendish) e poi estendere alla Terra e al Sole il risultato di questa esperienza.

• In un simile caso, ciò che l’osservazione diretta fornisce non è più il valore della forza che si esercita fra la terra e il sole, ma il moto che la prima compie intorno al secondo, moto che noi potremo confrontare col risultato dell’esperienza di Cavendish.


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• In generale una misura statica di forza fornirà, in forma più o meno indiretta, attraverso induzioni, il valore del vettore che compare nella (2), come funzione delle coordinate spazio-temporali, scriveremo pertanto:

• La (2) stessa ci consentirà allora di riconoscere se quelle induzioni erano lecite e fino a qual punto lo erano.

• Se invece, per precedenti osservazioni, di tali induzioni eravamo già certi, la (2) ci servirà, come vedremo, a risolvere completamente il problema della dinamica del punto.

( , , , )f f x y z t=r r


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• Per un sistema rigidamente collegato con la superficie terrestre (come quelli che normalmente si considerano nelle esperienze di laboratorio) la (2) è vera con buona approssimazione.

• La terra è però animata, oltre che dal movimento di rotazione, anche da un altro movimento rispetto al sole, ossia rispetto a un sistema solidale con le stelle fisse: – questo è il moto di rivoluzione, che si svolge con la considerevole velocità

media di circa 30 Km/sec.


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• Ebbene nessuna esperienza meccanica (e in generale nessuna esperienza fisica) eseguita sulla terra, consente di mettere in evidenza, durante il periodo di qualche giorno, questo movimento.

• In un tale intervallo di tempo il moto della terra (a prescindere dalla rotazione) è da considerarsi, con approssimazione grandissima, rettilineo e uniforme.

• Quanto precede equivale a dire che i fenomeni meccanici si svolgono nello stesso identico modo, cioè seguono le stesse leggi nel sistema riferito alle stelle fisse, come su un sistema di riferimento che è in moto rettilineo e uniforme rispetto alle stelle fisse.


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• “Più in generale se due sistemi di riferimento qualsiasi sono in motorettilineo uniforme, l’uno rispetto all’altro, nessuna esperienza è in grado di rilevare che l’uno, anziché l’altro, è fisso.

• Le esperienze permettono solo di stabilire che i due sistemi sono in motol’uno relativamente all’altro.”

• Questo è il primo postulato della teoria della relatività ristretta.

• Il secondo, come vedremo, è quello della costanza della velocità della luce rispetto a qualsiasi sistema di riferimento.


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• Ci limiteremo qui ad indicare che la (2) è da ritenersi valida non solo in un qualsiasi sistema di riferimento universale solidale con le stelle fisse, ma anche in qualunque altro che si muova rispetto al primo di moto rettilineo e uniforme.

• Resta infine da chiarire il significato della massa. • È un fatto essenziale che, secondo la (2), per ogni corpo materiale, il

fattore m ha un valore costante.

• Vediamo più da vicino cosa significhi.


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• Indicando con la velocità generica al tempo t, la (2) si scrive allora:

• ossia:

(2’)

vr

dtvdmfrr

=

dtfm

vdrr 1

=


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• Ora, come abbiamo già visto, all’inizio del moto

è la velocità iniziale acquisita dal mobile tempuscolo dt.

• La (2’) esprime quindi in questo caso, che l’effetto della forza, cioè la velocità inizialmente da essa impressa al punto mobile, è proporzionalealla forza stessa e alla durata della sua azione.

• Questa è una considerazione più approfondita e una enunciazione in termini formali di quel concetto già introdotto nella prima lezione, ovvero il principio del moto incipiente.

vdr


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• Trattandosi di un atto elementare, ciò ci appare molto naturale, e la costante 1/m figura come quella costante di proporzionalità che compendia in sé gli attributi del corpo che intervengono nell’atto di moto ma sui quali la forza non può apportare nessuna modificazione.

• Ammettere valida la (2) anche per gli atti di moto elementari successivi, mantenendo ad m lo stesso valore che compare nell’equazione del motoincipiente, equivale ad ammettere che questi attributi rimangano tali e quali qualunque sia la velocità posseduta dal mobile nel generico tempo t.


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• Nello scrivere la (2) si postula quindi che l’equazione dei moti incipienti, così naturale al nostro intuito, valga anche per tutti gli istanti successivi a quello in cui si è iniziato il moto.

• La legge fondamentale della dinamica, così come l’abbiamo enunciata, presuppone dunque:

– che la massa del corpo non dipenda dalla velocità. – che si assuma, come forza agente sopra un corpo in moto, la forza

misurata staticamente.

• A questo valore di m si dà il nome di massa a riposo.


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• Circa il significato della massa e la sua misura, a maggior chiarimento di quanto precede, dobbiamo ancora fare le seguenti osservazioni.

• In generale, per la (2), due punti materiali che siano, in ragione della loro natura fisica soggetti ad una stessa forza, avranno proprietàdinamiche distinte solo per il fatto che a esse spettano due diversi valori di m (si pensi a due particelle dotate di una stessa carica e poste in uno stesso campo elettrico).


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• È allora chiaro che il problema da cui siamo partiti, cioè quello di prevedere quale sarà il moto di un punto materiale in un dato campo di forze (noto attraverso misure statiche precedenti) non si risolve, in base alla (2), finchénon è nota anche la massa di quel punto.

• Se la massa non è nota, la (2) ci fornisce solo il valore del prodotto e noi in questo caso potremo alternativamente:

– misurare (in modo indipendente dal movimento) la massa m e quindi determinare il valore dell’accelerazione e da questa il moto del punto;

– esaminare il moto medesimo, dedurne a e poi, da questo valore trarre quello della massa m=f/a.

m a× r


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• Nel primo caso la (2) è da considerarsi come una vera e propria leggefisica in quanto, in base a due misure preliminari, quella della forza e quella della massa, si è in grado di prevedere quale sarà il moto del punto.

• Nel secondo caso la (2) (per noi che siamo partiti dalla definizione statica di forza come concetto fondamentale) non è altro che la misura dinamicadella massa ossia la definizione fisica di essa come concetto derivato.


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• In base alla legge fondamentale della dinamica abbiamo quindi accertato che possiamo misurare la massa di un corpo qualsiasi sottoponendolo ad una forza nota e valutandone poi la corrispondente accelerazione.

• Questa forza può essere il peso. • Abbiamo detto che, in un determinato luogo l’accelerazione di gravità è

la stessa per tutti i corpi e che, i pesi sono proporzionali alle masseinerziali.

Massa e peso

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• L’ aggettivo “inerziale” serve a precisare che la massa (rapporto fra forza e accelerazione) dà una misura della resistenza che i corpi oppongono a cambiare la loro velocità e subire delle accelerazioni.

• Essendo il peso una forza particolare, normalmente alla parola massa si dà un significato diverso, che è quello di quantità di materia.

Massa e peso

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• In base alla legge fondamentale della dinamica abbiamo quindi accertato che possiamo misurare la massa di un corpo qualsiasi sottoponendolo ad una forza nota e valutandone poi la corrispondente accelerazione.

• Questa forza può essere il peso. • Abbiamo detto che, in un determinato luogo l’accelerazione di gravità è

la stessa per tutti i corpi e che, i pesi sono proporzionali alle masseinerziali.

Massa e peso

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• In generale in una sostanza omogenea, come per es. un liquido puro, il peso e quindi, secondo la relazione precedentemente scrittam=p/g,la massa è proporzionale al volume.

• Inoltre il peso di un corpo non cambia comunque esso venga deformato.

• L’espressione quantità di materia è tuttavia un pò vaga, si preciseràprogredendo nello studio dei fenomeni fisici e chimici, quando si avràun’idea abbastanza chiara della costituzione atomica della materia e quindi del concetto di particelle elementari ossia di particelle, fra loro indistinguibili e perciò in tutto identiche.

Massa e peso

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• Le masse delle particelle elementari sono, per il concetto stesso di particella elementare, costanti.

• Una certa quantità di materia è costituita sempre da un numero intero di queste particelle, se questo numero non cambia, la massa di quella quantità rimane costante, qualunque siano le azioni fisiche e chimiche alle quali essa viene sottoposta.

• Il concetto di massa si identifica così con quello di numero di particelle. • Questa è una delle leggi fondamentali della fisica, cioè il principio della

conservazione della materia.• A esso fanno riscontro altri principi del genere come quello della

conservazione della carica. Noi ci limiteremo a nominarli specialmente perché questi principi acquistano un senso preciso e profondo solo per chi si è addentrato nello studio della fisica.

Massa e peso

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• Circa questa affermazione vanno fatte alcune osservazioni.• Intanto fra le azioni fisiche e chimiche sopra accennate occorre escludere le

trasformazioni radioattive e le disintegrazioni nucleari. • Esse rientrano peraltro nella legge sopra enunciata quando si tenga conto

della trasformabilità reversibile della massa in energia secondo la relazione di Einstein:

E=mc2

dove c è la velocità della luce. • In secondo luogo appare evidente che, ragionando come sopra, la quantità di

materia si identifica col numero di particelle, ma non ancora con la massainerziale.

• Torneremo su questo punto nel seguito, per ora basti osservare che il concetto di materia non è indispensabile alla comprensione di quello di massa inerziale.

Massa e peso

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• Tornando al principio di conservazione della materia (che dipende dalla costanza della massa di un corpo o sistema di corpi) è bene tener presente che esso è rigorosamente valido finché si pensa di effettuare le misure delle masse (ossia di pesi) in un sistema di riferimento rispetto al quale le masse in questione sono ferme o, come sempre accade nei fenomeni meccanici, hanno velocità piccole rispetto a quella della luce(3x109 m/sec).

• Riterremo inoltre, a questo punto della discussione che l’equazione m=p/g

sia rigorosamente valida, ossia che una volta scelta la massacampione, tutte le altre masse si possono misurare confrontandolecon questa per mezzo della bilancia, ossia confrontandone i corrispondenti pesi.

Massa e peso

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• Da queste considerazioni appare chiaro che occorre stabilire deiriferimenti certi per le misure che vogliamo effettuare ovvero, come si dice in termini più precisi, dobbiamo stabilire uno (o più) sistemi di riferimento.

• Assumeremo come massa campione il chilogrammo-massa, ossia la massa del campione di platino conservato nel Bureau des poids etmesures di Parigi, consistente in un blocco di platino/iridio che avrebbe dovuto avere esattamente la massa di 1 dm3 di acqua distillata alla pressione normale e a 4°C di temperatura (per la precisione esso rappresenta la massa di dm3 1,000027 di acqua distillata in quelle condizioni).

Sistemi di misura

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• Nella tecnica, e spesso nella fisica, si assume questa unità accanto al metro, al secondo e all’ohm internazionale, come unità fondamentale.

• Si ha così il sistema MKS (Metro, Kilogrammo, Secondo).

• È chiaro, da quanto precede che la misura delle masse con la bilancia èessenzialmente una misura delle masse gravitazionali e che essa si riduce a quella delle masse inerziali, a causa della costanza di g.

Sistemi di misura

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• Nell’approssimazione in cui è valida la meccanica classica, la massa è da considerarsi rigorosamente costante ed e molto più conveniente assumerla come unità primitiva che non la forza peso che varia invece da luogo a luogo.

• In particolare il campione di platino iridato ha una massa che risponde in pieno al principio della riproducibilità delle esperienze, ossia al principio di identità delle misure.

• La sua massa è sempre quella, qualunque sia la pressione, il luogo e le altre condizioni fisiche a cui può essere sottoposto.

Sistemi di misura

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• Si può constatare con numerose esperienze che l’azione di una forza èindipendente dallo stato di quiete o di moto preesistente in un punto mobile (Galilei).

• Prima di esaminare una esperienza di questo tipo è bene far presente che questa affermazione è già implicita nella (2).

• Questa infatti ci dice che la accelerazione prodotta da una forza è

indipendentemente da qualsiasi riferimento allo stato di moto (e in particolare alla velocità) del punto in cui pensiamo applicata la forza.

fr

a f m=rr

Indipendenza delle azioni simultanee

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• L’esperienza che possiamo prendere in esame è (vedi figura), quella di un grave lanciato nel vuoto con velocitàiniziale in una direzione qualunque 0x, per es. il proiettile di un’arma da fuoco.

ovr


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• Se vi è indipendenza fra l’azione della gravità e la velocità, in ogni istante il proiettile dovrebbe essere sollecitato a muoversi nella direzione della verticale verso il basso, con moto uniformementeaccelerato, come se fosse stata nulla v0.

• Presa l’origine nella posizione iniziale e l’asse delle y verticale volta verso l’alto, le equazioni del moto si possono scrivere, per v0 = 0:

x1 = 0 y1 = ½gt2


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• Per la velocità v0 impressagli inizialmente invece, indipendentemente dalla gravità il proiettile si dovrebbe muovere di moto uniforme.

• Le equazioni di questo moto, rispetto al nostro riferimento, sarebbero le seguenti:

x2 = v0xt ; y2 = v0yt

• Se l’azione della gravità è indipendente dalla velocità del punto, il moto effettivo di questo è la composizione dei due precedenti:

x = x1 + x2 = v0xt; y = y2 + y1 = v0yt - ½gt2


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• Risolvendo la prima rispetto a t e sostituendo nella seconda si ha:

y = (v0y/v0x)x - ½[(g/2(v0x)2]x2

che è l’equazione di una parabola con l’asse verticale.

• La distanza alla quale il grave interseca l’asse x si ricava ponendo y=0. • Si ha pertanto:

x = 2v0xv0y/g


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• Come abbiamo visto per definire il concetto di forza siamo partiti dal misurare le forze con un dinamometro o con qualcosa di equivalente e cioè staticamente.

• Abbiamo anche detto che ciò va inteso in senso lato, dato che una sola misura di forze, in un dato punto o in certe particolari condizioni sperimentali può essere sufficiente a suggerire una legge, come quella della gravitazione universale, che ci permette di definire la forza in tutta una regione di spazio, regione che chiameremo campo di forza.

Misura della forza - Estensione del concetto di forza

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• L’osservazione più comune ci dice però che esistono dei movimenti cui competono delle accelerazioni che non sono così facilmente attribuibili né in modo diretto né in modo indiretto a delle forze di natura statica.

• Per es. se si esperimenta con un proiettile lanciato nell’aria con una velocitàiniziale v0 considerevole, si vede che il moto di questo proiettile non èparabolico.

• Anche limitando l’osservazione ad una regione di spazio dove non solo la gravità ma anche le condizioni dell’aria siano identiche in ogni punto, le traiettorie seguite da uno stesso proiettile non sono prevedibili in base ad una forza ottenuta sommando quella di gravità con una costante, diretta in senso contrario al moto, dovuta alla resistenza dell’aria.


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• Si vede invece che queste traiettorie sono caratterizzate, oltre che dalla gravitàda accelerazioni (dovute alla presenza dell’aria e atte a ostacolare il moto) che dipendono dalla velocità iniziale v0 e più in generale dalla velocità che il proiettile ha in un determinato istante.

• Se allora noi vogliamo mantenere alla (2) la sua validità, dobbiamo pensare ad una forza applicata istante per istante al proiettile la quale dipende non solamente dalle coordinate (ed eventualmente dal tempo), ma anche esplicitamente dalla velocità.


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• Ora una simile forza non si può misurare staticamente e noi ci rendiamo conto che in questo caso la (2) ha per noi il significato di una definizione di forza.

• Noi infatti potremo misurare questa forza solo misurando l’accelerazionecompetente al moto di quel proiettile e la massa di esso.

• Il prodotto

misurerà quella forza non esprimibile altrimenti con un numero.

f m a=r r


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• Una simile misura della forza si definisce dinamica e riguarda molti tipi di forza che si incontrano nello studio della fisica.

• Citiamo ad esempio due tipi di forze quali:

– la forza di Lorentz, che agisce su una carica in moto in una regione di spazio dove siano presenti campi elettrici e magnetici;

– le reazioni vincolari delle quali abbiamo già dato alcuni cenni.


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Impulso e quantità di moto

• Si chiama impulso elementare di una forza

nell’intervallo di tempo dt, il vettore infinitesimo:

fr

dh fdt=r r

Dinamica e statica dei sistemi di punti

43

• Si chiama impulso di una forza durante un intervallo finito di tempo t2 - t1, la somma di tutti gli impulsi elementari

relativi agli intervalli di tempo infinitesimi dt, in cui si può considerare diviso l’intervallo finito t2 - t1.

• L’impulso durante l’intervallo t2 - t1 è dato quindi dall’integrale:

(3)

dove è da tener presente che, nel caso generale, i vettori infinitesimicui si applica l’integrale, sono variamente diretti a seconda della direzione assunta da nell’intervallo di tempo t2 - t1.

fdtr

( )2

1

t

t

f t dt h=∫r r

fdtr

fr


44

• Si chiama quantità di moto di un punto materiale il vettore:

ottenuto moltiplicando la velocità

per la massa m del punto.

q m v=r r

vr


45

• Quantità di moto e impulso hanno le stesse dimensioni. • L’equazione fondamentale della dinamica ci indica la ragione di questa

identità mostrando immediatamente come siano fra loro collegate queste due grandezze.

• Si ha infatti:

da cui, essendo la massa una costante

(4)

dvf m a md t

= =rr r

( )fdt mdv d mv dq= = =r r r r


46

• Questa relazione può essere enunciata come segue:

“la variazione infinitesima della quantità di moto è uguale all’ impulso elementare della forza che la ha provocata”.

• Che possiamo anche enunciare: “la forza è uguale alla variazione della quantità di moto, nell’unità di tempo”.


47

• Ovviamente ci si riferisce, nel caso generale di una forza variabile, al fatto che la (4), dividendo per l'intervallo dt, diviene:

(4’)

• S’intende naturalmente che impulso e variazione sono relativiallo stesso punto P e allo stesso intervallo di tempo infinitesimo.

( )d mvf

dt=

rr


48

• Passando ad un intervallo di tempo finito occorrerà integrare nell’intervallo di tempo t2-t1 ottenendo infine:

relazione che ci porta ad enunciare che:“la variazione della quantità di moto di un punto materiale èuguale al corrispondente impulso della forza applicata.”

2 1h q q= −r r r


49

• In generale si chiama momento di un vettore rispetto ad un punto O(che generalmente, ma non sempre, è fisso nel sistema di riferimento in cui si valuta il vettore il prodotto vettoriale

(5)

del raggio vettore = R - O (che va dal punto O ad un punto qualsiasi R della retta aa’ individuata da ) per il vettore medesimo.

ur

K r u= ∧r r r

rr

ur

ur

Momento di una forza e momento della quantità di moto

50

• La retta aa’ si chiama retta d’azione del vettore

• Il punto R è un punto qualsiasi di questa retta e l’arbitrarietà di esso dipende dal fatto che il prodotto vettoriale

è sempre lo stesso qualunque sia il punto R preso su aa’.

• La cosa si vede subito osservando che, secondo l’interpretazione geometrica del prodotto vettoriale, il parallelogramma ORUR’ della figura seguente ha un’area che non dipende dal particolare punto R scelto su aa’.

ur

r u∧r r


51

• In particolare si può scegliere il punto R0, piede della perpendicolare abbassata da O sulla retta aa’.

• Ne segue che se si indica con δ la misura del segmento OR0, il modulo del momento di rispetto a O èdato dal prodotto u x δ.

ur


52

• Fra i momenti di vettori hanno particolare importanza il momento della quantità di moto e il momento di una forza.

• Sia P un punto in moto rispetto ad una data terna di riferimento e

la sua quantità di moto.

• Il momento della quantità di moto di P rispetto ad un punto O (qualsiasi) è il momento del vettore

rispetto a O.

vmq rr=

qr


53

• Assumendo R coincidente col punto mobile P, questo momento è dato da:

(6)

• dove è il raggio vettore r=PO(vedi figura).

( )vrmvmrqrp rrrrrrr∧=∧=∧=

rr


54

• Il vettore si chiama anche momento di rotazione del punto P rispetto ad O nel senso che esso è diverso da zero quando P ha, rispetto ad O, una velocità trasversale

non nulla.

• Anzi se si immagina di decomporre nelle sue componenti e si vede subito, per la proprietà distributiva del prodotto vettoriale, che:

ossia che al vettore contribuisce solo la componente trasversale della velocità.

pr

vrϕ

vr vr ϕ

v r

r

( ){ } ( ) ( ) ( )ϕϕϕ vrmvrmvrmvvrmqrp rrrrrrrrrrrrrr

∧=∧+∧=+∧=∧=


55

• Anzi poiché è normale a il modulo di è dato da:

(7) p = mr2 (dφ/dt)

o anche indicando con

ω = (dφ/dt)

la velocità angolare della rotazione di P rispetto a O e introducendo il vettore

(7')

prvrϕrr

ωr

( )2p mr ω=rr


56

• Si può rilevare che in questo modo viene ad assumere un aspetto analogo al vettore della quantità di moto e che precisamente i termini che si corrispondono sono la velocitàe la velocità angolare , la massa m e il prodotto mr2.

• A questo prodotto si dà il nome dimomento d'inerzia del punto P rispetto a O.

pr

qr

vrωr


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• Analogamente si chiama momento di una forza f, rispetto ad un punto O il prodotto

• In particolare la forza può essere applicata in un punto A e può essere comodo scegliere il punto R di cui sopra, coincidente con A.

• Se x, y, z sono le coordinate di A (o R che sia) e fx, fy, fz, le componenti di , le componenti di M (avendo preso l’origine delle coordinate in O) sono:

Mx = yfz - zfy; My = zfx - xfz; Mz = xfy - yfx.

( )R O f r f M− ∧ = ∧ =r r rr

fr


58

• Supponiamo ora di avere un punto materiale P in moto sotto l’azione di una forza e supponiamo di avere, nel sistema di riferimento, un punto fisso O rispetto al quale interessi di considerare il momento della quantità di moto di P, è facile porre in relazione questo momento con quello della forza rispetto allo stesso punto O.

• Infatti se si moltiplica vettorialmente la (4) per il raggio vettore

= P-O

si ottiene

fr

rr

( ) ( )r f d t r d m v∧ = ∧rr r r


59

• Ora noi sappiamo che

• ha la direzione di ed è perciò parallelo a e il prodotto vettoriale

è quindi nullo.

• La relazione precedente si può allora scrivere:

dtvrd rr=

vr m vr

vmrd rr∧

( ) ( ) vmrdvmdrdtfr rrrrrr∧+∧=∧


60

• Effettivamente si ha, eseguendo dei semplici calcoli e trascurando il termine di secondo ordine

possiamo scrivere:

(8)

• Da cui

(9)

mdr dv∧r r

( ) ( )d r m v r d m v d r m v∧ = ∧ + ∧r r r r r r

Mdt dp=r r


61

• Questa relazione è formalmente identica alla (4) posta l’equivalenza tra e da un lato e di con dall’altro.

• La (9) esprime il momento dell’impulso e si può enunciare:“la variazione del momento della quantità di moto di un punto materiale è uguale al corrispondente momento dell’impulso della forza applicata a quel punto”.

fr

Mr

qr pr


62

• In termini finiti abbiamo, integrando la (9):

(9’)

• Riscriviamo la (4) e la (9) nella forma più adatta ad essere applicata al moto di un sistema di punti:

2

1

2 1

t

t

K Mdt p p−= =∫r r

d qfd t

=rr dpM

d t=

rr


63

• Possiamo a questo punto enunciarne il significato nel modo seguente:– In un riferimento inerziale il moto di un punto materiale è tale che:a. la forza impressa è, istante per istante, uguale alla derivata rispetto al tempo della

quantità di moto del punto;b. Il momento della forza rispetto ad un punto fisso O è, istante per istante, uguale

alla derivata rispetto al tempo del momento della quantità di moto rispetto allo stesso punto.

• Questi due enunciati derivano direttamente dal II Principio della Dinamica e anzi sono degli enunciati diversi di questa Legge.

• In particolare: – l’enunciato a è il II Principio espresso in una forma che include il caso più

generale delle masse variabili, – l’enunciato b esprime il II Principio con riferimento a un determinato punto dello

spazio.


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• Per introdurre il concetto di sistema isolato consideriamo come esempio il sistema Terra - Luna.

• Questa tuttavia è un'approssimazione grossolana dato che il sistema è in realtà soggetto all'attrazione del sole e degli altri pianeti.

• Specialmente l'attrazione del Sole è evidentemente tutt'altro che trascurabile e lo dimostra la curvatura della traiettoria che la terra compie intorno al sole nel periodo in cui la luna compie una rivoluzione completa attorno alla terra.

Sistemi isolati e terzo Principio della Dinamica

65

• Si potrà allora considerare il sistema Terra – Sole - Luna come un sistema isolato, trascurando l’attrazione dei pianeti che è sicuramente più debole.

• Possiamo quindi precisare il significato di sistema isolato con la seguente definizione:

“si dice isolato un sistema i cui punti sono soggetti solo a "forze interne”

ossia a forze dovute ai corpi, e solo ai corpi, che appartengono al sistema.


66

• Con queste premesse si può enunciare il III Principio della Dinamicain una forma che non è la più generale, ma la più aderente ai controlli sperimentali e quella che meno si presta a equivocare.

• III Principio della dinamica:

“In un riferimento inerziale, la quantità di moto totale di un sistema isolato rimane costante nel tempo”.


67

• Per un sistema isolato vale quindi il principio della conservazione della quantità di moto che esprimeremo tramite l'equazione:

dove k è una costante.

1

t

n

ii

Q m v k=

= =∑r r


68

• Introduciamo, sempre sulla base di quanto discusso finora, il principio di azione e reazione.

• Si consideri un sistema costituito da due punti o, più in generale, da due sistemi parziali A e B.

• Per quanto abbiamo visto precedentemente, la risultante

delle forze che A esercita su B è uguale e di verso opposto alla risultante delle forze

che B esercita su A.

AFr

BFr


69

• Ma affinché nel sistema A + B sia nullo il momento

delle forze interne, e devono anche avere la stessa linea di azioneperché altrimenti esse costituirebbero una coppia di momento non nullo.

• Nel caso di due punti P1 e P2, ciò è illustrato dalla figura seguente.

iMr

AFr

BFr


70

• Si può allora affermare che:

la forza totale che un sistema di punti materiali A esercita su un altro sistema di punti B, è uguale in grandezza, diretta secondo la stessa linea di azione, ma con verso opposto, alla forza totale (reazione) che B esercita su A.

• Questo è il “Principio di azione e reazione” così come, con tutta generalità, fu enunciato da Newton.


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