1

La lezione di oggi !  Scalari

!  Vettori

!  Operazioni tra vettori

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3

Scalari !  Ci sono delle grandezze fisiche che possono essere

rappresentate con un numero, espresso in un’opportuna unità di misura. Si tratta di grandezze scalari.

!  Uno scalare può avere segno positivo o negativo

!  Esempi: !  Il volume di un oggetto.

!  Volume di un dado: 3.7 cm3

!  Volume del liquido in una siringa: 10 ml

!  La temperatura in una stanza: T=20 oC !  La potenza di una lampadina: P=20 W

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5

Scusi, sa

dov’è la

biblioteca ? !  Sì

!  Sì, a 0.5 km

! Sì, a 0.5 km in direzione nord-ovest

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7

Vettori !  Un vettore è una grandezza matematica definita da

modulo, direzione e verso

!  Come lo scalare, rappresenta una grandezza fisica con la sua unità di misura

!  Esempi di grandezze vettoriali: !  Velocità !  Accelerazione

!  Si indica con v o

!  Il modulo si indica con v o

v v

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Modulo: 0.5 km

9

Direzione:

verticale

10

Verso:

Nord

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Esercizio Indicare modulo, direzione e verso del

vettore indicato in figura.

La velocità del vento è pari a

v = 25 km/h

Soluzione modulo: 25 km/h direzione: orizzontale verso: OVEST

N

E

S

W

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Un vettore

Origine

(o punto di

applicazione)

Vertice

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I versori

Modulo: unitario (ad esempio, 1 m)

Direzione: orizzontale

Verso: da sinistra a destra i

Modulo: unitario (ad esempio, 1 m)

Direzione: verticale

Verso: dal basso verso l’alto

j

Versori coordinati

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x

y

z Terna destrorsa

x

y

z Terna sinistrorsa

i

jk

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16

Prodotto di un vettore per uno scalare

Vettore × Scalare =

Vettore con: !  uguale direzione !  verso: uguale o opposto

(dipende dal segno dello scalare)

!  modulo pari al prodotto dei moduli

3A = A+A+A = 3 x A

-3A = (-3) x A

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Componenti rx PROIEZIONE di r sull’asse x

ry PROIEZIONE di r sull’asse y

r = rxi + ry jr = (1.36 m) i + (0.634 m) j

18

Le componenti di un vettore

rx = r ⋅cos θ

ry = r ⋅sen θx

y

r

r θ tg =

2y

2x r r r +=

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Vettore posizione nello spazio Vettore posizione:

kzjyixr ˆˆˆ ++=

!  Indica la posizione di un oggetto (fermo o in movimento) rispetto all’origine di un sistema di riferimento..

!  Vedremo che velocità e accelerazione possono essere espresse a partire dal vettore posizione

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Esempio 1 Determinare le componenti di un vettore

con modulo 3.5 m e direzione 66°

Dunque il vettore si può esprimere come:

m 1.4 66 cos m) (3.5 θ cosA A ox ==⋅=

m 3.2 66sen m) (3.5 θsen A A oy ==⋅=

A = (1.4 m) i + (3.2 m) j

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Esempio 2 Determinare modulo e direzione di un vettore con

componenti AX=1.4 m e Ay=3.2 m

Il modulo del vettore sarà:

L’angolo θ si ottiene da:

m 3.5 m) (3.2 m) 4.1(A A A A 222y

2x =+=+==

o

x

y 66 2.25atan m 1.4m 3.2

atan A

Aatan θ ====

A = (1.4 m) i + (3.2 m) j

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Uno stormo di anatre si è spostato di 30 km,

come mostrato in figura (α = 30°).

Determinare lo spostamento verso Nord e verso Est.

Esercizio

O

A

S

Sest

Snord N

E

S

Wα#

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Soluzione = spostamento dello stormo = 30 km O = origine del vettore, da cui partono le due semirette dirette verso nord e verso est Si costruisce il parallelogrammo (rettangolo) avente una diagonale individuata dal vettore ed i lati diretti secondo le due semirette.

O

A

S

Sest

Snord N

E

S

W

Esercizio

|S| S = Sest + Snord

Snord = S sin α = 26 km

Sest = S cos α = 15 km

α#

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n. 38, pag. M88 Walker Si immagini di spingere una scatola su una rampa di carico lunga 10.0 m. In cima alla rampa la scatola ha raggiunto l’altezza di 3.00 m. Quanto misura l’angolo formato dalla rampa con il piano ?

Soluzione S’imposta il sistema: da cui si ricava e infine

m 10 s =

senθs y ⋅=

senθ = ys= 0.3 θ = arcsen ( y

s) = arcsen (0.3) = 17.5o

ys

θ

Esercizio

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Nota sul piano inclinato… Gli Egizi e le piramidi

Piramide = piano inclinato

Il piano inclinato rende più agevole lo spostamento dei carichi (blocchi di pietra).

Chi spinge il carico sul piano, infatti, deve vincere solo la componente parallela al piano, ottenuta proiettando P lungo la direzione del piano inclinato.

θP

P// = PsinθP⊥ = Pcosθ

26

Convenzioni

1o quadrante 2o quadrante

3o quadrante 4o quadrante

Verso antiorario

partendo dall’asse x

27

Convenzioni

Ax>0 , Ay >0

I quadrante

28

Convenzioni

Ax<0 , Ay >0

II quadrante

29

Convenzioni

Ax<0 , Ay <0

III quadrante

30

Convenzioni

Ax>0 , Ay <0

IV quadrante

31

Somma di vettori

32

Somma di vettori

33

Somma di vettori

Un vettore è definito da

MODULO, DIREZIONE, VERSO

indipendentemente dalla sua posizione

34

Somma di vettori

C = (Ax + Bx ) i + (Ay + By ) j

C =

A +

B

35

La somma tra vettori è

indipendente dall’ordine

con il quale i vettori

vengono sommati

A B B A C

+=+=

36

Esempio di somma di vettori Un aereo vola da Bari a Roma " AB = 388 km quindi l’aereo vola da Roma a Milano " BC = 472 km Lo spostamento risultante rispetto all’aeroporto di Bari è dato dalla posizione iniziale e da quella finale, ossia dal vettore che congiunge Bari con Milano " AC = 740 km

MILANO

ROMA BARI

C

B A

vettore risultante uguale somma vettori

ma

Modulo vettore risultante diverso somma dei moduli delle

componenti*

(*) AB+BC=(388+472)km=860 km

�!AC =

��!AB +

��!BC

AC 6= AB +BC

37

Esercizio Una barca viene trainata per mezzo di una fune da due persone

che camminano parallelamente, lungo le rive opposte di un canale.

Sapendo che:

α = 60° e che la forza esercitata da ciascun uomo = 577 N

Determinare la forza necessaria per trainare la barca.

#

#

α/2

α/2

38

Esempio di somma di vettori: Soluzione: α = 60° forza esercitata da ciascun uomo = 577 N = OA = OB

OH = OA cos (α/2) = ΟΒ cos (α/2) = 500 Ν

forza per trainare la barca = 2 OH = 1000 N = OO’

#

#

O

B

A

H

O’

α/2

α/2

39

L’opposto di un vettore è un vettore con uguale modulo e direzione, ma verso opposto

40

Differenza di vettori

D = (Ax − Bx ) i + (Ay − By ) j

D =

A −

B

41

Una importante convenzione

Useremo sempre

la convenzione

!  Primo indice (a): origine del vettore

!  Secondo indice (b): vertice del vettore

42

Prodotto scalare A ⋅B=

A ⋅B cosθ = ABcosθ

θ#

A

B "   Il risultato è uno scalare AB BA⋅=⋅"   Vale la proprietà commutativa "

"   Si chiama anche prodotto interno

i · i = 1

i · j = 0

"   Corollari:

|�!A |2 =�!A ·�!A

Prodotto scalare !  Se, in coordinate cartesiane, due vettori hanno componenti:

!  Il prodotto scalare vale:

!  Quindi: 43

�!A = a

x

i+ ay

j + az

k�!B = b

x

i+ by

j + bz

k

�!A ·�!B = a

x

b

x

i · i+ a

x

b

y

i · j + a

x

b

z

i · k+a

y

b

x

j · i+ a

y

b

y

j · j + a

y

b

z

j · k+a

z

b

x

k · x+ a

z

b

y

k · y + a

z

b

z

k · k�!A ·�!B = a

x

bx

+ ay

by

+ az

bz

44

Prodotto vettoriale C =

A∧B

θ#

A

B

"   Il risultato è un vettore con: #  Modulo = A B senθ #  Direzione perpendicolare al piano identificato da A e B #  Verso dato dalla regola della mano destra (vedi dopo)

AB - BA

∧=∧"   Vale la proprietà anticommutativa "#

"   Si chiama anche prodotto esterno

C =

A×BOppure, con altra notazione

45

Regola della mano destra

!  Prendo la mano destra e metto pollice, indice, medio a 90o l’uno rispetto all’altro !  L’indice indica il verso del vettore A !  Il medio indica il verso del vettore B !  Il pollice indica il verso del vettore C

Nota: devo usare la mano destra (non la sinistra) e non devo scambiare l’ordine dei vettori

"   Nota: vale anche per tutte le permutazioni cicliche, ovvero vale anche: #  Il pollice indica il verso del vettore A #  L’indice indica il verso del vettore B #  Il medio indica il verso del vettore C

Prodotto vettoriale / 2

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€

a × b =

ˆ i ˆ j ˆ k ax ay az

bx by bz

€

= ˆ i ay az

by bz− ˆ j

ax az

bx bz

+ ˆ k ax ay

bx by

€

= ˆ i aybz − azby( ) − ˆ j axbz − azbx( ) + ˆ k axby − aybx( )

In coordinate cartesiane, il prodotto vettoriale si ottiene valutando il seguente determinante simbolico:

Versori coordinati

47

€

ˆ i × ˆ j =

ˆ i ˆ j ˆ k 1 0 00 1 0

= ˆ k

€

ˆ j × ˆ k =

ˆ i ˆ j ˆ k 0 1 00 0 1

= ˆ i

€

ˆ k × ˆ i =

ˆ i ˆ j ˆ k 0 0 11 0 0

= ˆ j

x

y

z Terna destrorsa

x

y

z Terna sinistrorsa

In una terna destrorsa si ha sempre: