FUNZIONE

Una relazione fra due sottoinsiemi A e B di R è una funzione se ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B

f :A→B tale che ogni x in A ha per immagine y=f(x) in B

DOMINIO

CODOMINIO

FUNZIONE INIETTIVA

Una funzione da A a B si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più

un elemento di A, ossia x1≠x2→ f(x1) ≠f(x2)

A ogni elemento di B arriva

al più una freccia

La funzione f:R R definita da y=3x+1 è iniettiva

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3

y=3x+1

La funzione f: N N definita da f(x)=x2 è iniettiva

La funzione f:R R definita da y=x2-2x+2 non è iniettiva

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y=x^2-2x+2

FUNZIONE SURIETTIVA

Una funzione da A a B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine

di almeno un elemento di A .

A ogni elemento di B arriva

almeno una freccia

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

La funzione è suriettiva se l’insieme di arrivo è rappresentato dalle 1<y<6

La funzione f: Z Z definita da f(x)=x2 non è suriettiva

FUNZIONE BIUNIVOCA O BIIETTIVA

Una funzione da A a B si dice BIIETTIVA quando è sia iniettiva che

suriettiva.

A ogni elemento di B arriva

una e una sola una freccia

La funzione y=f(x) è biettiva La funzione y=g(x) non è biettiva

perché non è iniettiva

Funzione crescente in senso stretto

Una funzione y=f(x) di dominio D si dice crescente in senso stretto (o strettamente crescente) se comunque scelti x1 e x2

in D, con x1<x2 si ha f(x1)<f(x2)

x1 x2

f(x1)

f(x2)

Funzione non decrescente (monotòne) Una funzione y=f(x) di dominio D si dice non decrescente (o monotòna) se comunque scelti x1 e x2 in D, con x1<x2 si ha

f(x1)<f(x2)

x1 x2

f(x2) f(x1)=

Funzione decrescente in senso stretto Una funzione y=f(x) di dominio D si dice decrescente in senso

stretto (o strettamente decrescente) se comunque scelti x1 e x2 in D, con x1<x2 si ha f(x1)>f(x2)

x1 x2

f(x2)

f(x1)

Funzione non crescente (monotòne) Una funzione y=f(x) di dominio D si dice non crescente se

comunque scelti x1 e x2 in D, con x1<x2 si ha f(x1)> f(x2)

x1 x2

f(x2) f(x1)=

La funzione

è definita per casi . E’ non crescente in tutto R

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Esempi 1.L’insieme A={x|x=2n/n+1,nϵN} è limitato

poiché è contenuto nell’intervallo [0,2]

2. L’insieme F={-1,0,2,3 } è limitato poiché contenuto nell’intervallo [-1,3]

3. L’insieme dei numeri naturali è limitato

inferiormente ma non superiormente

Definizioni : Un numero reale l si dice estremo inferiore per l’insieme A e si indica con inf A, se è il più grande dei minoranti. Un numero reale L si dice estremo superiore per l’insieme A e si indica con

supA, se è il più piccolo dei maggioranti.

Definizioni : • Una funzione si dice limitata superiormente (inferiormente) se tale è

il suo codominio. Una funzione si dice limitata se è limitata sia inferiormente sia

superiormente; Una funzione non limitata si dice illimitata

• L’estremo superiore[inferiore] di una funzione è l’estremo superiore[inferiore] del codominio.

Qualora il codominio abbia massimo [minimo], questo si dice massimo[minimo] della funzione.

Il massimo M [oppure il minimo m] è pertanto il più grande [oppure il più piccolo] tra i valori della funzione.

• Si dice che xo ϵ Df è un punto di massimo [minimo] locale o relativo per la funzione f se esiste un intorno I xo di xo tale che:

f(x)< f(xo) [f(x)> f(xo)] xϵ Df I xo

Le funzioni periodiche Una funzione y=f(x) si dice periodica di periodo T, con T>0, se, per qualsiasi numero k Intero, si ha f(x)=f(x+kT)

La funzione pari Una funzione y=f(x) si dice pari in D se Il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle y

La funzione dispari Una funzione y=f(x) si dice dispari in D se Il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine degli assi

)()(, xfxfDxx

)()(, xfxfDxx

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

La funzione pari y= 2x4-1

-15

-10

-5

0

5

10

15

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

La funzione dispari y=x3+x

LA FUNZIONE INVERSA Sia f:A→B una funzione biiettiva tale che ogni x in A ha per immagine y=f(x) in B.

La funzione inversa di f è la funzione biiettiva f-1:B →A tale che ogni y in B ha per immagine x=f-1(y) in A

Esempi di funzioni inverse Le funzioni y=2x-1 e y=(x+1)/2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y=2x-1

y=(x+1)/2

Le funzioni y=e x e y=lnx

I grafici di f e f - 1 sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante

Le funzioni goniometriche e le loro inverse y=cosx

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

y=cosx

y=cosx

/2

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

y=arccosx

y=arccosx

y=cosx

y=arccosx

1

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

Y=SENX

y=arcsenx

y=tgx

y=tgx

y=arctgx

y=cotgx

y=cotgx

y=arccotgx

LA FUNZIONE COMPOSTA Date due funzioni: f:A → B e g:B → C comporre le due funzioni significa considerare una terza funzione, detta funzione composta mediante f e g, che associa ad ogni elemento di A un elemento di C nel seguente modo: -all’elemento x ϵ A corrisponde mediante f, l’elemento f(x) ϵ B; -all’elemento f(x) ϵ B corrisponde mediante g, l’elemento g(f(x)) ϵ C. Si indica con g◦f:A → C oppure y=g(f(x)

BBBB

g◦f

f g x f(x) g(f(x))

A B C