LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀIl dominio naturale di tale funzione è l’intervallo x $ 2, con x...

IL PREZZO GIUSTOOgni volta che acquistiamo un prodotto o un servizio, paghiamo in cambio una certa cifra di denaro.

Chi stabilisce qual è il prezzo giusto?

La risposta a pag. 366

LE FUNZIONIE LE LORO PROPRIETÀ

7CAPITO

LO

[numerazione cinese][numerazione devanagari][numerazione araba]

CAPITOLO 7. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀTEORIA

334

1. LE FUNZIONI DI VARIABILE REALE

Che cosa sono le funzioniDEFINIZIONE

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemen-to di A associa uno e un solo ele-mento di B.

Poiché una funzione fa corrispondere a ogni elemento di A un unico elemento di B, essa viene anche chiamata corrispondenza univoca.Per indicare una funzione si usa una lettera minuscola (spesso la lettera f ) nel seguente modo:

:f A B" , oppure A Bf ,

che si legge: «f è una funzione da A a B».

Si dice che A è l’insieme di partenza della funzione e B l’insieme di arrivo.

Si può utilizzare una notazione simile anche per indicare che a un elemento x di A corrisponde un elemento y di B:

:f x y7 ;

y è detta l’immagine di x mediante la funzione f.

L’insieme di partenza A è detto domi-nio della funzione; il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio. Indichiamo il codominio con la lettera C. Vale la relazione C B3 .

Per indicare una funzione si utilizza anche la scrittura: y = f(x).

Le funzioni numericheQuando i due insiemi A e B sono numerici, le funzioni vengono dette funzioni numeriche.

In seguito, quando parleremo di funzioni numeriche, sarà sottinteso che esse sono definite per valori reali, cioè il loro dominio sarà R o un sottoinsieme di R e l’insieme di arrivo sarà R stesso. Tali funzioni si chiamano funzioni di variabile

x

y

A B

codominiodominio

C

f

b Figura 1

● L’insieme B può coinci-dere con A.

● Spesso il dominio di una funzione viene indicato con la lettera D.

● Analogamente, x è detta controimmagine di y.

● Si legge: «y uguale a f di x».

A B

A Bf

"

TEORIA

335

reale. Inoltre esse saranno in genere descrivibili mediante un’espressione analiti-ca, ossia mediante una formula matematica.

ESEMPIO

Consideriamo la funzione f� R " R descritta dalla legge matematica

y = 2x + 5.

A ogni valore di x la legge fa corrispondere uno e un solo valore di y. Per esempio, per x = 3 il valore di y è y = 2 $ 3 + 5 = 11. Possiamo anche dire che 11 è l’immagine di 3, cioè f(3) = 11.

Il valore che assume y dipende da quello attribuito a x. Per questo motivo y prende il nome di variabile dipendente e x di variabile indipendente.

I valori della x sono quindi gli elementi del dominio, mentre quelli assunti dalla y sono gli elementi del codominio.Di una funzione numerica possiamo disegnare il grafico, ossia l’insieme dei punti P(x; y) del piano cartesiano tali che x è un numero reale nel dominio di f e y è l’immagine di x, ossia y = f(x).

Se la funzione f è definita da un’equazione y = f(x), il suo grafico è una curva, luogo di tutti i punti del piano che soddisfano l’equazione.

ESEMPIO

Nella figura 2 abbiamo rappresentato il grafico della funzione y = 2x + 5.

Le funzioni definite per casiEsistono funzioni definite da espressioni analitiche diverse a seconda del valore attribuito alla variabile indipendente. Tali funzioni sono dette funzioni definite per casi.

ESEMPIO

La funzione

yxx x2 6

2 12=+

- +( 1

1xx

sese 2

#-

-

è una funzione definita per casi.Il suo grafico è rappresentato nella figura 3.

● Il grafico viene anche detto diagramma carte-siano.

PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI DI VARIABILE REALE

5y

O x

y = 2x + 5

−—52

� Figura 2 Il grafico della funzione y = 2x + 5 è una retta che interseca gli assi nei punti

; 025

-b l e (0; 5).

y

O x−1

y = 2x + 6

y = x2 − 2x + 1

2x + 6 se x ≤ −1x2 − 2x + 1 se x > −1

y =� Figura 3 Un esempio di grafico di una fun-zione definita per casi.

● Il grafico di una funzione del tipo

y = ax2 + bx + c

(con a ! 0) è una parabola con asse parallelo all’asse y.

● Si chiamano anche fun-zioni definite a tratti.

● Il grafico di una fun-zione del tipo y = mx + q è una retta. Per rappresen-tarla è sufficiente determi-nare due suoi punti, per esempio le intersezioni con gli assi x e y che si otten-gono ponendo, rispettiva-mente, y = 0 e x = 0 nell’equazione.


336

La classificazione delle funzioniL’espressione analitica che descrive una funzione può avere due forme:• forma esplicita, del tipo y = f(x); per esempio, y = 2x 2 - 1;• forma implicita, del tipo F(x; y) = 0; per esempio, 2x 2 - y - 1 = 0. Se l’espressione y = f(x) contiene soltanto operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice, la funzio-ne è algebrica. Una funzione algebrica può essere:• razionale intera (o polinomiale) se è espressa mediante un polinomio; in par-ticolare, se il polinomio è di primo grado rispetto alla variabile x, la funzione si dice lineare, se il polinomio in x è di secondo grado, la funzione è detta quadra-tica;

• razionale fratta se è espressa mediante quozienti di polinomi;• irrazionale se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice.

ESEMPIO

1. Le funzioni y = 5x - 7 e y = - x2 + 3x - 8 sono razionali intere. La pri-ma è lineare, la seconda è quadratica.

2. y xx5 1

2=- è una funzione razionale fratta.

3. 9y x34= - è una funzione irrazionale.

Se una funzione non è algebrica, si dice trascendente.Studieremo in seguito le funzioni esponenziali, logaritmiche e goniometriche, che sono funzioni trascendenti.

Anche la funzione valore assoluto può essere definita per casi:

y x xx= =

-' 0

0xx

sese 1

$

Il suo grafico è rappresentato nella figura 4.

c Figura 4 Il grafico della funzione y = uxu.y = x è la funzione rappre-sentata dalla bisettrice del primo e terzo quadrante; y = - x è rappresentata dalla bisettrice del secondo e quarto quadrante.

y

O x

y = xy = −x

x se x ≥ 0−x se x < 0

y =

● Il grafico di una funzione lineare è una retta, quello di una funzione quadratica è una parabola.

y = 5x − 7

algebriche

y = √⎯⎯⎯⎯ x + 1

FUNZIONI

trascendenti

irrazionalirazionali

fratteintere2x − 1y = ———3x + 2

goniometriche

logaritmiche

esponenziali

y = cos (3x + 1)

y = log (x + 3)2

y = 42x + 3

c Figura 5 La classificazione delle funzioni reali di varia-bile reale della forma y = f(x) e alcuni esempi.

TEORIA

337

● Il dominio naturale viene anche chiamato campo di esistenza.

● Per brevità, chiamiamo il dominio naturale anche soltanto dominio e lo indichiamo con D.

PARAGRAFO 2. IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE

2. IL DOMINIO DI UNA FUNZIONEDEFINIZIONE

Dominio naturaleIl dominio naturale della funzione y = f(x) è l’insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y.

Normalmente il dominio naturale non viene assegnato esplicitamente, perché può essere ricavato dall’espressione analitica della funzione.

Per esempio, consideriamo la funzione:

2y x= - .

Se sostituiamo a x un valore minore di 2, la radice perde significato.

Il dominio naturale di tale funzione è l’intervallo x $ 2, con x ! R. In forma abbreviata scriviamo:

D: x $ 2.

Perciò, quando viene assegnata una funzione senza dominio, si sottointende che esso sia il dominio naturale.La determinazione del dominio di una funzione è la condizione preliminare per tracciare il grafico della funzione stessa.Vediamo come si determina il dominio per i diversi tipi di funzioni algebriche.

Dominio delle funzioni algebrichePer la funzione razionale intera, o funzione polinomiale, il dominio è R, che si può anche scrivere come D: ,] [3 3- + .Nel caso della funzione razionale fratta il dominio è R privato dei valori che annullano il denominatore.

Nel caso della funzione irrazionale intera è necessario distinguere il caso di radi-cale con indice pari e di radicale con indice dispari.

• Nel caso di indice pari il radicale negativo non ha significato, perciò il dominio è dato dall’insieme dei valori che rendono non negativo il radicando.

• Nel caso di indice dispari è sempre definita per tutti i valori per i quali il radican-do ha significato.

ESEMPIO

Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni algebriche.

1. y x x x7 5 93 2= + - +

È una funzione razionale intera, perciò il suo dominio è R.


338

2. y x xx

2 3 58

2

3=

+ -

+

È una funzione razionale fratta, quindi è definita per i valori di R che non annullano il denominatore. Dobbiamo perciò porre il denominatore diver-so da zero.

x x2 3 5 02 !+ - .

Risolvendo si ottiene: x 25

1 !- ; x 12 ! .

Il dominio della funzione è perciò: ;D 25 1R= - -& 0.

3. y x x2 722= +

La radice ha indice pari, perciò la funzione è definita solo se x x2 072 $+ .

Risolvendo si ottiene:

x 01 = ; x 27

2 =- .

Il dominio della funzione perciò è :D x x0 27

0# $- .

4. y x x5 7 155 33= + +

La radice ha indice dispari, il radicando è un polinomio perciò è sempre definito, il dominio della funzione irrazionale è R.

5. y xx3 3

72

23=

-

+

La radice ha indice dispari, il radicando è frazionario, quindi si deve porre la condizione per cui il radicando sia definito, perciò il denominatore deve essere diverso da 0: x3 3 02 !- .

Risolvendo si ottiene: x x1 1/! !- .

Il dominio della funzione è perciò: { };D 1 1R= - - + .

3. GLI ZERI DI UNA FUNZIONEE IL SUO SEGNO

La ricerca di eventuali punti di intersezione di una funzione con gli assi cartesiani e lo studio del segno che la funzione assume nel suo dominio sono informazioni utili per ricavare informazioni sul suo grafico.

Un numero reale a è uno zero della funzione y = f(x) se f(a) = 0.

Gli zeri di una funzione sono le ascisse dei punti di intersezione del grafico della funzione con l’asse x, quindi si determinano risolvendo il sistema:

( )( )

y f xy f x0 0"=

==) .

Gli eventuali punti di intersezione del grafico con l’asse delle ordinate hanno ascissa nulla, ossia x = 0. Esistono solo se la funzione è definita per x = 0 e si determinano calcolando y = f(0).

TEORIA

339

Per determinare il segno della funzione si devono ricercare i valori di x per cui la funzione risulta positiva, cioè f(x) si trova nel semipiano delle ordinate positive, e quelli per cui è negativa, cioè f(x) si trova nel semipiano delle ordinate negative.A questo scopo si risolve la disequazione ( )f x 02 .

ESEMPIO

Consideriamo la funzione ( )f x x x x2 5 63 2= + - - e determiniamo:a) il dominio;b) gli eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani;c) il segno della funzione.

a) La funzione è razionale intera, perciò è definita in R .

b) Per trovare i punti di intersezione con l’asse x si deve porre f(x) = 0, ossia

x x x2 5 6 03 2+ - - = .

Scomponendo il polinomio con la regola di Ruffini, otteniamo:

( )( )( )x x x3 1 2 0+ + - =

da cui ricaviamo: x 3=- ; x 1=- ; x 2= .

La funzione ha quindi tre punti di intersezione con l’asse delle ascisse, di coordinate:

( );3 0- ; ( );1 0- ; (2; 0).

Per trovare i punti di intersezione con l’asse y poniamo x = 0 nell’espres-sione x x x2 5 63 2+ - - .

Per x = 0: 0 2 0 5 0 6 63 2$ $+ - - =- .

La funzione ha quindi un punto di intersezione con l’asse delle ordinate, di coordinate (0; 6- ).

c) Per determinare il segno della funzione dobbiamo risolvere la disequazio-ne:

x x x2 5 6 03 2 2+ - - .

Scomponiamo il polinomio, otteniamo:

( )( )( )x x x3 1 2 02+ + - .

Compiliamo il quadro dei segni dal quale ricaviamo che:

( ) 0 3 1 2;( ) 0 3 1 2;( ) 0 3 1 2.

f x x xf x x x xf x x x

sesese

0

0 0

0

2 1 1 2

1 1 1 1

- -

= =- =- =

- -

PARAGRAFO 3. GLI ZERI DI UNA FUNZIONE E IL SUO SEGNO

x+3

–3

0

0

x+1

x–2

(x+3)(x+1)(x–2)

–1 2

0 0

0

0

b Figura 6


340

Possiamo utilizzare le informazioni ricavate per determinare la regione del piano cartesiano in cui si trova il grafico della funzione (figura 7). I punti segnati con un pallino rosso indicano i punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi.

Se la funzione è positiva si trova sopra l’asse delle ascisse, se è negati-va si trova al di sotto dell’asse delle ascisse.

Le parti tratteggiate sono quelle dove non si può trovare il grafico della funzione.Possiamo verificare questi risultati, osservando il grafico in figura 8.

4. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive

DEFINIZIONE

Funzione iniettivaUna funzione da A a B si dice iniet-tiva se ogni elemento di B è imma-gine di al più un elemento di A.

Se una funzione è iniettiva, a due elementi distinti del dominio non corrisponde mai lo stesso elemento del codominio, cioè:

x1 ! x2 & f(x1) ! f(x2).

ESEMPIO

1. La funzione

y = 3x + 1

è iniettiva perché ogni valore assunto da y è immagine di un solo valore di x.

2. La funzione y = x2 - 2x + 2 non è iniettiva.

y

O x–3 –1 2

f(x) > 0

f(x) < 0

m Figura 8 Il grafico della funzionef(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6.

a ogni elemento di Barriva al più una freccia

A B

● Dicendo al più inten-diamo che ci possono essere elementi di B che non sono immagini di elementi di A, ma non possono esserci ele-menti di B che sono imma-gini di più di un elemento di A.

● Se una funzione è iniet-tiva, non è detto che l’in-sieme B di arrivo coincida con il codominio.

x

y

–3

–6

–1 2

m Figura 7

y

O x

y = 3x + 1

1—3

2

c Figura 9 Il grafico della funzione y = 3x + 1 è una retta. La funzione è iniettiva: a ogni valore scelto sull’asse y corrisponde un solo valore sull’asse x.

TEORIA

341

Scegliamo, per esempio, y = 5. Sostituendo, otteniamo:

x x x x x2 2 5 2 3 02 2" "- + = - - = =

122 4

22 4 3

-=-

+=

Il valore 5 della y è immagine di due diversi valori della x,

x = - 1 e x = 3.

DEFINIZIONE

Funzione suriettivaUna funzione da A a B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un ele-mento di A.

Il fatto che una funzione sia o non sia suriettiva dipende da come si sceglie l’in-sieme di arrivo. Se lo si sceglie coincidente con il codominio, la funzione è certa-mente suriettiva.

ESEMPIO

La funzione rappresentata nella figura 11 è suriettiva se l’insieme d’arrivo è costituito dagli y tali che 1 # y # 5.

PARAGRAFO 4. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI

b Figura 10 Il grafico della funzione y = x2 - 2x + 2 è una parabola. Se si esclude l’ordinata del vertice, ogni valore y diverso da 1 scelto nel codominio è il corrispondente di due valori sull’asse x, quindi la funzione non è iniettiva.

y

O x3−1

y = x2 − 2x + 25

● Se una funzione non è iniettiva, esiste almeno una retta parallela all’asse x che interseca il grafico della funzione in più di un punto.

a ogni elemento di B arrivaalmeno una freccia

A B

● Dicendo almeno inten-diamo che un elemento di B può essere l’immagine di più elementi di A.

● Se una funzione è suriet-tiva, l’insieme di arrivo B coincide con il codominio.

y

O x2 8

1

5

y = f(x)

b Figura 11 Se per la fun-zione y = f(x) consideriamo come insieme di arrivo il suo codominio (l’insieme dei reali y tali che 1 # y # 5), la fun-zione è suriettiva.


342

DEFINIZIONE

Funzione biiettiva (o biunivoca)Una funzione da A a B è biiettiva quando è sia iniettiva sia suriettiva.

Una funzione biiettiva viene anche chiamata biiezione o corrispondenza biuni-voca fra A e B. In simboli: f� A ) B.In una funzione biiettiva c’è una corrispondenza «uno a uno» fra gli elementi di A e quelli di B. Ogni elemento di A è l’immagine di uno e un solo elemento di B e viceversa.

ESEMPIO

1. La funzione f� [a; b] " [c; d] rappresentata nella figura 12a è biiettiva. Ogni valore di y è il corrispondente di uno e un solo valore di x.

2. La funzione g� [a; b] " [c; d] della figura 12b non è biiettiva. Ci sono valori di y che sono corrispondenti di più valori di x.

Le funzioni crescenti, le funzioni decrescenti, le funzioni monotòne

DEFINIZIONE

Funzione crescentein senso strettoUna funzione y = f (x) di dominio D 3 R si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsie-me di D, se comunque scelti x1 e x2appartenenti a I, con x1 1 x2, allora f (x1) 1 f (x2).

a ogni elemento di B arrivauna e una sola freccia

A B

� Figura 12

x

y

Ox

y

O

y = g(x)y = f(x)

b. La funzione y = g(x) non è biiettivaperché non è iniettiva.

a. La funzione y = f(x) è biiettiva.

d

c

a b a b

d

c

y

xDx1 x2

f(x2)f(x1)

I

f(x1) < f(x2)

f: D → � D ⊆ �

⇒I ⊆ D

x1 < x2∀ x1, x2 ∈ I,

TEORIA

343

ESEMPIO

La funzione y = x 2 - 4 è crescente nell’intervallo I = [0; + 3[ .

Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f (x 1) 1 f (x 2) con f (x 1) # f (x 2) otteniamo la definizione di funzione crescente in senso lato o anche non decrescente.

ESEMPIO

La funzione

( )y f xx x

xx x

11 1 3

2 3

sesese

1 1

#

$

= =

-

Z

[

\

]]

]]

è crescente in senso lato in R (figura 13).

DEFINIZIONE

Funzione decrescentein senso strettoUna funzione y = f (x) di dominio D 3 R si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsie-me di D, se comunque scelti x1 e x2appartenenti a I, con x1 1 x2, allora f (x1) 2 f (x2).

ESEMPIO

y = - x 2 + 8 nell’intervallo I = [0; + 3[ è una funzione decrescente.

Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f (x 1) 2 f (x 2) con f (x 1) $ f (x 2) otteniamo la definizione di funzione decrescente in senso lato o anche non crescente.

ESEMPIO

La funzione

( )2 3 1

2 1y f x

x x xx

sese

2

2

#= =

+ + -

-)

è decrescente in senso lato in R (figura 14).

In seguito, se diremo che una funzione è crescente (o decrescente), senza aggiun-gere altro, sarà sottinteso che lo è in senso stretto.

y

O x

−4

2−2

y = x2 − 4

y

xy = x

31

1y = 1

I = ] −�; +� [ = R

y = x − 2

b Figura 13 Un esempio di funzione crescente in senso lato in R.

y

xDx1 x2

f(x2)

f(x1)

I

f(x1) > f(x2)

f : D → R D ⊆ R

⇒I ⊆ D

x1 < x2∀ x1, x2 ∈ I,

y

x

y = −x2 + 8

y

x

y = x2 + 2x + 3

O

2

y = 2

−1

m Figura 14 Un esempio di funzione decrescente in senso lato in R.



344

DEFINIZIONE

Funzione monotònaUna funzione di dominio D 3 R si dice monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se in quell’intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto.

Le funzioni pari e le funzioni dispariDEFINIZIONE

Funzione pariIndichiamo con D un sottoinsie-me di R tale che se x ! D allora - x ! D. Una funzione y = f (x) si dice pari in D se f (- x) = f (x) per qualunque x appartenente a D.

ESEMPIO

1. La funzione y = f (x ) = 2x 4 - 1 è pari in R perché, sostituendo a x il suo opposto - x, si ottiene ancora f (x ):

f (- x ) = 2(- x )4 - 1 = 2x 4 - 1 = f (x ).

2. La funzione y = f (x ) = 2x 4 - x non è pari perché sostituendo a x il suo opposto - x non si ottiene f (x ):

f (- x ) = 2(- x )4 - (- x ) = 2x 4 + x ! f (x ).

Se una funzione polinomiale ha espressione analitica contenente soltanto potenze della x con esponente pari, allora è pari.

ESEMPIO

y = 5x 6 - 3 può essere scritta y = 5x 6 - 3x 0. La funzione contiene soltanto potenze pari di x, quindi è una funzione pari.

Se una funzione è pari, il suo grafico è sim-metrico rispetto all’asse y . Infatti, se il pun-to P (x ; y) appartiene al grafico, vi appar-tiene anche il punto P l(- x ; y).

FUNZIONECRESCENTE

FUNZIONE MONOTÒNA

FUNZIONEDECRESCENTE

● Analoga definizione può essere data per una fun-zione monotòna in senso lato.

● Se non diamo indica-zioni particolari, conside-riamo come dominio l’in-sieme R.

f(−x) = f(x)

f: D → R D ⊆ R

∀ x, −x ∈ D ⇒

x

y

O a− a

f(a)f(− a)

∀a ∈D f(a) = f(−a)

y = f(x)

c Figura 15 Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse y.

● Il termine noto può essere considerato un monomio di grado zero.

TEORIA

345

DEFINIZIONE

Funzione dispariConsideriamo D un sottoinsieme di R tale che se x ! D anche - x ! D. Una funzione y = f (x) si dice dispari in D se f (- x) = - f (x) per qualunque x appartenente a D .

ESEMPIO

1. La funzione y = f (x ) = x 3 + x è dispari perché sostituendo a x il suo opposto - x si ottiene - f (x ):

f (- x ) = (- x )3 + (- x ) = - x 3 - x = - (x 3 + x ) = - f (x ).

2. La funzione y = f (x ) = x 3 + 1 non è dispari perché sostituendo a x il suo opposto - x non si ottiene - f (x ):

f (- x ) = (- x )3 + 1 = - x 3 + 1 ! - f (x ).

Una funzione polinomiale con espressione analitica contenente solo potenze della x con esponente dispari è una funzione dispari.

Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine degli assi. Infatti, se il punto P (x ; y) appartiene al grafico, vi appartiene anche il punto P l(- x ; - y). ESEMPIO

Una funzione che non è pari non è necessariamente dispari (e viceversa).Per esempio, la funzione y = f (x ) = x 2 + x non è né pari né dispari. Infatti:

f (- x ) = (- x )2 + (- x ) = x 2 - x ! - f (x ) / ! f (x ).

Le funzioni periodiche

DEFINIZIONE

Funzione periodica Una funzione y = f (x) si dice perio-dica di periodo T, con T 2 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha:

f (x) = f (x + kT).

f(−x) = −f(x)

f : D → R D ⊆ R

∀ x, −x ∈ D ⇒

y

O xa−a f(a)

f(−a)

∀a ∈D f(a) = −f(−a)

b Figura 16 Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine.

f(x)x

y

xT

x + Tf(x + T)



346

In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo.

Se una funzione è periodica di periodo T, essa lo è anche di periodo 2T, 3T, 4T… Per esempio, la funzione della figura 17 ha periodo 3, ma anche 6, 9, …

Il periodo più piccolo è anche detto periodo principale ed è quello che di solito è considerato come periodo della funzione.

5. PRIMO STUDIO DI UNA FUNZIONE

Per ottenere informazioni sul grafico di una funzione y = f (x) utilizziamo le caratteristiche esaminate finora:1. determiniamo il dominio della funzione ed eventualmente il codominio;2. troviamo gli eventuali punti di intersezione del grafico con gli assi cartesiani;3. determiniamo il segno della funzione;4. stabiliamo se la funzione è pari o dispari: se è pari è simmetrica;5. verifichiamo se è periodica, nel qual caso ci si limita a studiarla in un solo inter-

vallo.

Dalle caratteristiche di una funzione al suo grafico

Vediamo in che modo è possibile farsi un’idea dell’andamento del grafico di una funzione partendo dalle sue caratteristiche.

ESEMPIO

Consideriamo una funzione f(x) che ha le seguenti caratteristiche:1. il dominio è R - {- 1};2. l’intersezione con gli assi è in O(0; 0);3. f(x) 2 0 per x 1 -1 0 x 2 0, f(x) 1 0 per - 1 1 x 1 0.Esaminiamo quali indicazioni ci danno sul possibile andamento del grafico.1. Tracciamo il riferimento cartesiano xOy evidenziando il dominio.

. Figura 17

x

y

x

y

x

y

− 9 − 6 − 3 0 3 6 9 12 − 9 − 6 − 3 0 3 6 9 12 − 9 − 6 − 3 0 3 6 9 12

a b cT 2T 3T

y

O x−1

b Figura 18

TEORIA

347

2. 3. Segniamo l’intersezione con gli assi e gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa. Tratteggiamo le zone del piano cartesiano in cui non ci sono punti del grafico della funzione.

Dal grafico di una funzione alle sue caratteristiche

Vediamo in che modo è possibile, partendo dal grafico, ricavare le caratteristiche di una funzione.

ESEMPIO

Sia f(x) la funzione rappresentata nel grafico.

Dalla figura deduciamo:1. il dominio;2. le intersezioni con gli assi;3. gli intervalli in cui la funzione è positiva e negativa;4. gli intervalli in cui è crescente o decrescente.

1. Il dominio è R - {! 1}, perché f (x) non è definita in x = ! 1.2. L’intersezione con gli assi si ha in O(0; 0).3. f (x) 2 0 per x 1 - 1 0 (x 2 0, x ! 1),

f (x) 1 0 per - 1 1 x 1 0.4. La funzione è crescente per -2 1 x 1 -1 e x1 11 1- . La funzione è

decrescente per x 1 -2 e x 12 .

PARAGRAFO 5. PRIMO STUDIO DI UNA FUNZIONE

y

x−1 O

b Figura 19

y

x−1

2

1−2

4y = − x

O

b Figura 20


348

6. LE FUNZIONI ALGEBRICHE

Le funzioni razionali intereLa funzione razionale intera di primo gradoUna funzione intera di primo grado è del tipo

y ax b= + .Il suo grafico è una retta. Se il grafico non è una retta parallela agli assi cartesiani, la funzione:• ha dominio e codominio uguali a R;• se a 02 , è strettamente crescente; se a 01 , è strettamente decrescente.

Il grafico interseca:• l’asse y nel punto (0; b);

• l’asse x nel punto ;ab 0-b l.

Il grafico è rappresentato in figura.

x

y

b

– –ba

O

La funzione razionale intera di secondo gradoUna funzione razionale intera di secondo grado è del tipo:

y ax bx c2= + +

con queste caratteristiche:• ha dominio e codominio uguali a R;• se a 2 0, è strettamente crescente per x a

b22- e strettamente decrescente per

x ab21- ;

• se a 1 0, è strettamente decrescente per x ab22- e strettamente crescente per

x ab21- .

Il grafico:• ha sempre un solo punto di intersezione con l’asse delle ordinate di coordinate (0; c);

• interseca l’asse delle ascisse in: – due punti distinti se l’equazione ax2 + bx + c = 0 ammette due soluzioni reali

e distinte; – un solo punto se l’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti; – nessun punto se l’equazione non ammette soluzioni reali.

b Figura 21 Il grafico di y = ax + b.

TEORIA

349

a b

c

a > 0 y

x– ––b2a

c

a < 0 y

x

– ––b2a

La funzione razionale intera polinomialeLa funzione polinomiale è del tipo:

y a x a x a x a x ann

nn

11

22

1 0f= + + + + +-- .

Per questo tipo di funzioni in generale si può solo affermare che:• il dominio è uguale a R;• il grafico interseca l’asse y nel punto di coordinate (0; a0).

ESEMPIO

Cerchiamo informazioni sul grafico della funzione:

y = x4 - 3x2 + 2.

1. Determiniamo il dominio della funzione. Poiché non esistono limitazioni per x, si ha D: 6 x ! R.

2. Controlliamo se il grafico della funzione presenta delle simmetrie. Essendo f (- x) = (- x)4 - 3(- x)2 + 2 = x 4 - 3x 2 + 2 = f (x), la fun-

zione è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y.

3. Intersezioni con gli assi. Asse y :

( ; ) .•y x xx

yx

y A3 2

020

0 2il punto di intersezione con l'asse4 2

" "= - +

=

=

=) (

Asse x :

3 20

y x xy

x x3 2 04 2

4 2"= - +

=- + =) .

L’equazione ha per soluzioni:

, , 2 2,x x x x1 11 2 3 4=- = =- =+ .

I punti di intersezione con l’asse x sono:

( ; ), ( ; )B C1 0 1 0- ,

( ; 0), ( ; 0)D E2 2- .

Tracciamo gli assi cartesiani per rappresentare le informazioni ottenute finora (figura 23).

PARAGRAFO 6. LE FUNZIONI ALGEBRICHE

b Figura 22 Grafici diy = ax2 + bx + cnei casi di a 2 0 e a 1 0.


350

22

y

xO

2

1

A

C E

−1

D

−

B

a

4. Studiamo il segno della funzione.

x 4 - 3x 2 + 2 2 0

x 4 - 3x 2 + 2 = (x 2 - 2)(x 2 - 1) 2 0.

Primo fattore:

2 0 2 2x x xper2 02 1 2- - .

Secondo fattore:

x 2 - 1 2 0 per x 1 - 1 0 x 2 1.

Compiliamo il quadro dei segni (figura 24).

x2 – 2

– 2

0

–1 1 2

0

x2 – 1 0 0

y 0 00 0

( )f x 02 1 1x x x2 2per 0 01 1 1 2- - .

Rappresentiamo questi risultati nel riferimento cartesiano, tratteggian- do le zone in cui non ci sono punti del grafico della funzione (figu-

ra 25).

2 2

y

xO

2

1

A

−1

D B C E

−

Possiamo verificare questi risultati osservando il grafico in figura 26.

b Figura 23

b Figura 24

b Figura 252 2

y

xO

2

1−1−

m Figura 26 Il grafico della funzione f(x) = x4 - 3x2 + 2.

TEORIA

351

Le funzioni razionali fratteLe funzioni razionali fratte sono del tipo:

( )( )y b x b x b

a x a x aB xA x

mm

mm

nn

nn

11

0

11

0

f

f=

+ + +

+ + +=

--

--

.

• Hanno come dominio R con esclusione dei valori che annullano B(x);• intersecano l’asse x nei punti in cui A(x) = 0.

ESEMPIO


( )(2 )x

xy 3 43

=-

- .

1. Determiniamo il dominio della funzione. Il suo denominatore deve essere non nullo. Quindi:

D: x ! 4.

2. Cerchiamo eventuali simmetrie:

( ) ( )[ ( )]

( )( )f x x

xxx

3 42

3 423 3

- =- -

- -=

- +

+ .

Poiché f (- x) ! - f (x) e f (- x) ! f (x), la funzione non è né dispari né pari.

3. Determiniamo le intersezioni con gli assi. Asse y :

3( 4)(2 )

0128

032

0

y xx

x

y

x

y

x

3

" "=

-

-

=

=-

=

=-

=

* * * Il punto di intersezione con l’asse y è 0; 3

2A -b l. Asse x :

( )( )

( )( ) ( )y x

x

yx

x

y

xy

3 42

03 42 0

0

2 00

3 33

" " "=

-

-

=

-

-=

=

- =

=* * *

xy

xy

2 00

20

" "- =

=

=

=* *

Il punto di intersezione con l’asse x è B (2; 0). Nel piano cartesiano rappresentiamo le informazioni ottenute (figura 27).

x

y

O 4223

Ð –A

B C


b Figura 27


352

4. Studiamo il segno della funzione:

( )( )x

x3 42 0

32

-

- N 2 0 per x 1 2;

D 2 0 per x 2 4. Compiliamo il quadro dei segni (figura 28).

0

2 4

0

0

(2– x)3

3(x–4)

y

f (x) 2 0 per 2 1 x 1 4. Rappresentiamo questi risultati nel piano cartesiano (figura 29), trat-

teggiando le zone del piano in cui non ci sono punti del grafico della funzione.

x

y

O 4223

– Ð

Possiamo verificare questi risultati osservando il grafico della funzione (figura 30).

Le funzioni irrazionaliLe funzioni irrazionali intereLe funzioni razionali intere sono del tipo:

( )y A xn= .

Hanno come dominio:• R, se n è dispari;• i valori di x che rendono A(x) $ 0, se n è pari.

Studiamo il grafico della funzione irrazionale nella forma più semplice:y ax= con a 0$ .

1. Il dominio della funzione si determina ponendo ax 0$ , da cui x 0$ . Il domi-nio della funzione è :D x 0$ .

2. Nel dominio in cui è definita la funzione la x è sempre positiva, quindi non ha significato determinare ( )f x- .

3. La funzione interseca gli assi nel punto (0; 0).

b Figura 28

b Figura 29

x

y

2O

– –2

3

m Figura 30 Il grafico della

funzione ( ) ( )( )f x x

x3 42 3

=-

- .

TEORIA

353

4. Il segno della funzione è sempre positivo, in quanto un radicale è sempre posi-tivo o nullo.

Possiamo osservare queste caratteristiche nel grafico della funzione (figura 31).

x

ya ≥ 0

Le funzioni irrazionali fratteLe funzioni irrazionali fratte sono del tipo:

( )( )y B x

A xn= .

Hanno come dominio:• R esclusi i valori di x che rendono B(x) = 0, se n è dispari;

• i valori di x che rendono ( )( )

B xA x 0$ e ( )B x 0! , se n è pari.

ESEMPIO


y xx

11

=-

+ .

1. Determiniamo il dominio della funzione ponendo il radicando $ 0:

xx x x1

1 0 1 1per 0 2$ #-

+- .

Il dominio della funzione è D: x # - 1 0 x 2 1. Rappresentiamo i risultati ottenuti (figura 32).

y

xO 1−1


b Figura 31

b Figura 32

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀIl dominio naturale di tale funzione è l’intervallo x $ 2, con x...

Documents

Transcript of LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀIl dominio naturale di tale funzione è l’intervallo x $ 2, con x...