Le disequazioni

I simboli > e < esprimono delle disuguaglianze.

Disuguaglianze numeriche

ESEMPI

• a < b Il numero a è minore del numero b

• a > b Il numero a è maggiore del numero b

• a ≤ b Il numero a è minore di b o uguale a b

• a ≥ b Il numero a è maggiore di b o uguale a b

4 < 12 5 > −3

1

• a < b equivale a b > a

• a ≤ b equivale a b ≥ a

Le disequazioni Proprietà delle disuguaglianze

ESEMPI

• a < b a + c < b + c con a, b, c R

4 < 7 4 + 3 < 7 + 3 infatti 7 < 10

9 > 3 9 − 4 > 3 − 4 infatti 5 > −1

• a < b a e b concordi >1a

1b

ESEMPI

−3 < −2 − > − 13

12

2

−3 < 5 − < 13

15

infatti

Le disequazioni Proprietà delle disuguaglianze

ESEMPIO

• a < b ac < bc con c positivo

2 > −3 2.6 > −3.6 infatti 12 > −18

ESEMPI

• a < b ac > bc con c negativo

8 > −3 8 (−2) < −3 (−2) infatti −16 < 6

-12 < 3 12 > −3

Caso particolare: Se c = − 1 a < b −a > −b

3

Le disequazioni Definizioni e caratteristiche

• Risolvere una disequazione significa determinare i valori di x per i quali l’espressione A(x) assume valori maggiori (o minori) dell’espressione B(x).

• Dominio: insieme dei valori che può assumere la variabile x

• Disequazioni equivalenti: disequazioni con lo stesso insieme di soluzioni

• Insieme delle soluzioni: tutti i valori della variabile x che rendono vera la disequazione

• Una disequazione è in forma normale se è scritta nel seguente modo: E(x) > 0 oppure E(x) < 0.

• Grado di una disequazione intera in forma normale: grado di E(x)

4

Una disequazione è una relazione della forma

A(x) > B(x) oppure A(x) < B(x)

Nella quale si chiede per quali valori della variabile x l’espressione A(x) assume valori maggiori oppure minori dell’espressione B(x).

Le disequazioni Definizioni e caratteristiche

• Disequazione intera: disequazione in cui A(x) e B(x) sono polinomi.

• Disequazione frazionaria: disequazione in cui le frazioni algebriche contengono l’incognita al denominatore.

ESEMPIO

x + 3 > 2x – 4 13

x4

x + > 1

ESEMPI

1x

> 3x + 1 È frazionaria

È interax3

> x + 14

5

Le disequazioni Definizioni e caratteristiche

• L’insieme delle soluzioni può essere rappresentato graficamente sulla retta reale.

• Le soluzioni di una disequazione sono quei numeri che rendono vera la disuguaglianza.

ESEMPIO

x = 3 È soluzione della disequazione x − 2 > 0 perché 3 − 2 = 1 > 0

x = 1 Non è soluzione della disequazione x − 2 perché 1 – 2 = −1 < 0

ESEMPIO

La disequazione x ≥ 2 ha come insieme delle soluzioni tutti i numeri reali maggiori o uguali a 2.

2

• Tutti gli insiemi rappresentati sulla retta reale da semirette o da segmenti vengono detti intervalli.

6

Le disequazioni Rappresentazione delle soluzioni

7

Intervallo Scrittura algebricaRappresentazione

sulla retta reale

ILLIMITATO APERTO

ILLIMITATO CHIUSO

ILLIMITATO APERTO

ILLIMITATO CHIUSO

LIMITATO APERTO

LIMITATO CHIUSO

LIMITATO APERTO A SX E CHIUSO A DX

LIMITATO CHIUSO A SX E APERTO A DX

x > a

x ≥ a

x < a

x ≤ a

a < x < b

a ≤ x ≤ b

a < x ≤ b

a ≤ x < b

a

a

a

a

a b

a

a b

a b

b

Le disequazioni

ESEMPIO

Principi di equivalenza

8

Primo principio. Se ai due membri di una disequazione si aggiunge una stessa espressione C(x) avente lo stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso:

A(x) > B(x) è equivalente a A(x) + C(x) > B(x) + C(x)

Conseguenza. Si possono spostare termini da un membro all’altro cambiando loro il segno:

5x – 4 > 2x + 7 è equivalente a 5x – 2x > 7 + 4

Le disequazioni

ESEMPI

Principi di equivalenza

9

Secondo principio. Se si moltiplicano i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo k, si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso:

A(x) > B(x) e k > 0 è equivalente a k A(x) > k B(x)

Se si moltiplicano i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo k, la disequazione che si ottiene è equivalente a quella data solo se si cambia anche il verso:

A(x) > B(x) e k < 0 è equivalente a k A(x) < k B(x)

Conseguenza. Si possono dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero rispettando il secondo principio.

3x + 3 > 6 dividendo per 3 è equivalente a x + 1 > 2

−10x + 5 > −15 dividendo per −5 è equivalente a 2x − 1 < 3

Le disequazioni

ESEMPIO

Principi di equivalenza

10

Conseguenza. Si possono cambiare i segni ai termini dei due membri di una disequazione ma bisogna cambiare anche il verso perché questa operazione equivale a moltiplicare per −1.

−6x + 3 < 4 −5x diventa 6x − 3 > 5x − 4

Conseguenza. Se nella disequazione ci sono denominatori numerici, si può trasformare la disequazione in modo da avere coefficienti interi moltiplicando per il m.c.m. fra i denominatori.

ESEMPIO

+x − 1

2

3x − 4

3>

1

6x diventa

3(x − 1) + 2(3x − 4)

66

x

6> 6

3(x – 1) + 2(3x – 4) > x continua

Le disequazioni

ESEMPIO

Principi di equivalenza

11

ATTENZIONE! L’ultima conseguenza non può essere applicata alle disequazioni frazionarie per eliminare i denominatori.

−x + 1

x

x

x − 1> 0Non è equivalente a (x + 1)(x – 1) – x2 > 0

Le disequazioni Disequazioni lineari intere

12

Disequazione lineare intera: disequazione intera di primo grado.

Procedura risolutiva

• Si eseguono le operazioni indicate e si eliminano gli eventuali denominatori.

• Si trasportano tutti i termini contenenti la x a primo membro e gli altri a secondo e si riducono gli eventuali termini simili.

• Si ottiene una disequazione ridotta in forma normale del tipo ax > b.

• Se a ≠ 0 si dividono entrambi i membri per a ricordando di cambiare il senso della disuguaglianza se a < 0.

• Se a = 0 la disequazione si riduce a una disguaglianza che può essere vera o falsa, determinando così un insieme di soluzioni uguale a R o all’insieme vuoto.

Se a < 0 conviene prima cambiare segno e verso alla disequazione.

Le disequazioni Disequazioni lineari

13

Schema riassuntivo – Risoluzione ax > b

ax > b

a > 0 x >ba

b/a

a < 0 x <ba

b/a

a = 0 0 > bb < 0 S = R

b ≥ 0 S =

Le disequazioni

ESEMPIO

Disequazioni lineari

14

2(x − 1) + 3x > 7(2x – 1)

2x − 2 + 3x > 14x – 7

5x − 2 > 14x – 7

• Svolgiamo i calcoli:

• Separiamo i termini con l’incognita dai termini noti:

5x − 14x > –7 + 2

−9x > –5

9x < 5• Cambiamo segno e verso:

• Dividiamo per il coefficiente di x: x <59

5/9• Rappresentiamo la soluzione sulla retta dei numeri:

Le disequazioni Disequazioni frazionarie

15

• Dopo aver posto le condizioni di esistenza si portano tutti i termini della disequazione al primo membro

• Si riducono tutte le frazioni allo stesso denominatore e si svolgono i calcoli in modo da arrivare alla forma

• Si studiano separatamente i segni di A(x) e di B(x)

• Si riporta la variazione dei segni di ciascun polinomio in una tabella

• Si costruisce il segno della frazione

• Si scelgono gli intervalli delle soluzioni in base al verso

Procedura risolutiva

A(x)

B(x)> 0 o

A(x)

B(x)< 0

Le disequazioni Disequazioni frazionarie

16

ESEMPIO

2x

x + 3> 1 −

x + 2

x + 3x ≠ −3

• Trasportiamo tutti i termini al primo membro:2x

x + 3− 1 +

x + 2

x + 3> 0

• Riduciamo tutto allo stesso denominatore:2x – (x + 3) + x + 2

x + 3> 0

• Svolgiamo i calcoli al numeratore2x – 1

x + 3> 0

continua

Le disequazioni Disequazioni frazionarie

17

ESEMPIO

• Costruiamo la tabella dei segni:

• Segno del numeratore: 2x – 1 > 0 se x >12 1

2

+− R

• Segno del denominatore: x + 3 > 0 se x > − 3−3

+− R

−3

1

2

• Calcoliamo il segno della frazione:

− − +

− + +

+ − +

• Scriviamo le soluzioni: x < − 3 ∨ x > 1

2

Le disequazioni Disequazioni non lineari

18

Disequazione non lineare: disequazione del tipo A(x) > 0 o A(x) < 0 con grado di A(x) > 1

Procedura risolutiva (nel caso A(x) scomponibile in fattori di 1° grado):

• Si scompone il polinomio A(x) in fattori di primo grado

• Si studia il segno di ogni fattore

• Si costruisce la tabella dei segni

• Si determina il segno del polinomio in ogni intervallo individuato

• Si individua l’insieme delle soluzioni

Le disequazioni Disequazioni non lineari

19

ESEMPIO

• Studiamo il segno di ogni fattore:

x2 – 4x + 3 < 0

• Scomponiamo il trinomio con la regola del trinomio caratteristico: (x − 1) (x – 3) < 0

1

• Calcoliamo il segno del polinomio:

− + +

− − +

+ − +

• Scriviamo le soluzioni: 1 < x < 3

(x – 1) > 0 se x > 1

(x – 3) > 0 se x > 3

3

Le disequazioni

ESEMPIO

Sistemi

20

Sistema di disequazioni in una incognita: insieme di due o più disequazioni nella stessa incognita che devono essere verificate contemporaneamente.

Insieme delle soluzioni: Intersezione degli insiemi soluzioni delle disequazioni che viene trovata con la tabella delle soluzioni.

x − 1 > 012

3x – 1 > 0

• Risolvendo le due disequazioni si ottiene il sistema:

x > 2

x >13

S1

S2

• Rappresentiamo gli insiemi S1 e S2 nella tabella delle soluzioni:

2

1

3

S1

S2

S