Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti ALGEBRA BOOLEANA Generalità Il sistema...

Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti

ALGEBRA BOOLEANA

• Generalità• Il sistema Binario• Le operazioni con i numeri Binari• Le porte logiche• Proprietà, Assiomi e Teoremi• Mappe di Karnaugh• Problema di logica (1)• Problema di logica (2)• Esercizi


ALGEBRA BOOLEANA

• Un po’ di storia• George Boole (Lincoln 1815 - Cork

1864), logico e matematico britannico. Formatosi principalmente come autodidatta con l’aiuto del padre, coltivò dapprima l’interesse per le lingue, e in particolare del latino, e solo a partire dal 1935 quello per la matematica. Pubblicò diversi studi sul Cambridge Mathematical Journal e, in particolare, uno sulle applicazioni dei metodi algebrici alla risoluzione delle equazioni differenziali, che gli valse un riconoscimento della Royal Society. Nel 1849 venne nominato professore di matematica al Queen's College (l’attuale University College) di Cork, in Irlanda, incarico che conservò per tutta la vita, guadagnandosi fama di insegnante appassionato e capace.

• La teoria dei circuiti logici considera come modello matematico di supporto l’Algebra Booleana.


ALGEBRA BOOLEANA

L’algebra di Boole è un tipo di algebra completamente diversa da quella numerica con cui abitualmente si lavora. Essa è definita come un insieme di definizioni, postulati e teoremi relative a grandezze che possono assumere soltanto due stati logici distinti.

Questi due stati o valori, si rappresentano con coppie di simboli quali, per esempio, V (vero) e F (falso); H (high) e L (low) o ancora 0 (zero) e 1 (uno).

Si precisa che 0 e 1 sono considerati solo simboli e non cifre numeriche.

Nell’ambito elettrico ed elettronico si è solito abbinare lo zero ad un interruttore aperto e l’ 1 ad un interruttore chiuso.


Proprietà, Assiomi e Teoremi dell’algebra di Boole

N° Nome Proprietà

1 Proprietà associativa a + ( b + c) = ( a + b ) + c; a · ( b · c) = ( a · b ) · c

2 Proprietà commutativa a + b = b + a; a · b = b · a

3 Proprietà distributiva a + ( b · c ) = ( a + b ) · ( a + c )

a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c )

4 Assioma dell’annullamento a · 0 = 0; a + 1 = 1

5 Assioma del Complemento ( a + ā ) = 1; ( a · ā ) = 0

6 Assioma dell’idempotenza a · a = a; a + a = a

7 Assioma doppia negazione a = a

8Teorema di DeMorgan a + b = ā · b ; a · b= ā + b

9 Teorema dell’assorbimento Se Y = a + ab allora Y = a

10 Teorema del consenso Se Y = ab + āc + bc allora Y = ab + āc

=


Le Porte LogicheLe Porte LogicheLe Porte LogicheLe Porte Logiche• Not • Or• And• Xor• Nor• Nand• Xnor


Problema di logica• Nell’ovile che può essere chiuso con un cancello, c’è una capra; a volte

l’agricoltore apre il cancello dell’ovile per permettere alla capra di pascolare nel prato. Altre volte apre la porta del granaio, nel quale vi è grano di cui la capra è ghiotta. Infine può anche accadere che la porta del recinto resti aperta, al di fuori del quale vi è un lupo che vorrebbe mangiare la capra.

L’agricoltore intende costruire un sistema d’allarme che si attivi solo allorché la situazione (intesa con porte aperte o chiuse) è di reale pericolo.

Dispone pertanto tre interruttori, uno per ciascuna delle porte.

• X1 = Interruttore porta granaio: 0 se aperta; 1 se chiusa;

• X2 = Interruttore porta ovile: 0 se aperta; 1 se chiusa;

• X3 = Interruttore porta recinto: 0 se aperta; 1 se chiusa.

Si definisce Y il segnale d’allarme:0 se spento 1 se acceso.


Tabella di Verità:n° riga X1 granaio X2 ovile X3 recinto Y allarme

1 0 0 0 1

2 0 0 1 1

3 0 1 0 0

4 0 1 1 0

5 1 0 0 1

6 1 0 1 0

7 1 1 0 0

8 1 1 1 0


Riga 1: Allarme: tutte le porte sono aperte:massimo pericolo poichè la capra può mangiare il grano e il lupo può mangiare la capra;

Riga 2: Allarme:la capra può mangiare il grano;

Riga 3: Nessun allarme: sono aperti il granaio e recinto ma l’ovile è chiuso;

Riga 4 :Nessun allarme: solo il granaio è aperto ma recinto e ovile sono chiusi;

Riga 5: Allarme: il granaio è chiuso ma il recinto e l’ovile sono aperti, il lupo mangia la capra;

Riga 6 :Nessun allarme: l’ovile è aperto ma granaio e recinto sono chiusi;

Riga 7 :Nessun allarme: il recinto è aperto ma granaio e ovile sono chiusi;

Riga 8 :Nessun allarme: tutte le porte sono chiuse

Spiegazione Tabella di Verità


Problema di logica 2Progettare ,realizzare collaudare la logica di un antifurto d’appartamento che corrisponda alla seguente

condizione: Un sensore di movimento ha un’uscita, normalmente bassa, che va alta quando individua un movimento; Un sensore collegato ad un monitor, ha un’uscita normalmente bassa, che va alta quando il radar individua

un movimento; Un interruttore abilita o interdice il segnale di allarme. Nella posizione ON lo attiva fornendo al sistema un

livello alto, nella posizione OFF lo disattiva fornendo un livello basso; Il comando di una sirena di allarme agisce quando almeno un sensore fornisce un’uscita alta.

Sensore

Porta

Sensore

Movimento

OFF

ON

P

M

A

CentralinaS

Sirena

A P M S

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

simulazione

Schema a blocchiTabella della verità


Ispeziona l’immagine con il mouse


Problema di logica 2


La funzione logica S è data da: S = A*P*M + A*P*M + A*P*M

mettendo in evidenzia A si ha: S = A (PM + PM +PM)

mettendo in evidenza M: S = A [M (P+P) + (PM)]

ma per la proprietà della negazione: P + P = 1 e quindi S = A [(M * 1 + PM)]

ma per la proprietà del prodotto logico: M * 1 = M e quindi: S = A [(M + PM)]

applicando la proprietà distributiva al termine (M + PM) si ha:

S = A [(M + P) * (M + M)]

ma M + M = 1 , quindi: S = A (M + P) * 1

ponendo A (M + P) = = X si ha:

S = X * 1; per il prodotto logico si ha : S = X

sostituendo a X il suo valore si ha

S = A (M + P) essa è la funzione minima.


Il Circuito Logico è il seguente:

(M + P)S = A (M + P)

M

P

A




Il circuito elettronico che lo realizza è il seguente:

MP

A

1 1

2 2

33 S

7 7

1414

SN

7432

SN

7408

+ Vcc = 5 V

massa

Realizzazione Pratica



MM AAPP

S

CLICCA SU “A”

L’ interruttore “A” è OFF; l’allarme, indipendentemente dallo stato di “M” e “P”, non si attiva.



MM AAPP

S

CLICCA SU “P”

L’ interruttore “A” è ON; “M” è ON, l’allarme, si attiva.



MM AAPP

S

CLICCA SU “M”

L’ interruttore “A” è ON; “P” è ON, l’allarme, si attiva.



MM AAPP

S

L’ interruttore “A” è ON; “M” e “P” sono ON, l’allarme, si attiva.


Porta Logica “Not” Porta Logica “Not” La porta logica Not è costituita da un ingresso e da una uscita; effettua operazione di negazione.

Ipotizzando “Y” l’ uscita e “A” l’ ingresso , l’ equazione algebrica è la successiva :

Y = Ā

La tabella della verità e il simbolo grafico sono i seguenti :

A Y

0

01

1

Questa porta può essere simulata mediante interruttori elettrici collegati come in figura:

E

Si deduce che la lampada è accesa (Y=1) se l’interruttore è

aperto (A=0); viceversa se l’interruttore è chiuso (A=1) la

lampada è spenta.

A Y = A

Si legge: Y uguale A negato

R

+Y

A


Porta Logica “Or”Porta Logica “Or”

A B Y

0 0

0 1

1 0

1 1

0

1

1

1

A

BY = A+B

Lampada (Y)

Generatore

A

B

Interruttori

La porta logica OR effettua la somma logica su due o più variabili di ingresso.

Nel caso di due variabili “A” e “B”, detta “ Y “ l’ uscita, l’ equazione algebrica è la seguente: Y = A + B

La tabella della verità e il suo simbolo grafico sono:


Agli interruttori “A” e ”B”si assegnano i valori 1 e 0 ossia chiuso o aperto.

Di conseguenza la lampada risulta accesa quando almeno uno dei due interruttori è 1 ossia chiuso.

Si legge: Y uguale A OR B


Porta Logica “Nand” Porta Logica “Nand”

A B Y

0 0

0 1

1 0

1 1

1

1

1

0

L’operatore NAND è derivato da un operatore AND seguito da un NOT. In questo caso l’ uscita Y è 0 quando le variabili d’ ingresso sono tutte a 1, l’ equazione algebrica e la seguente:

Y = A * B

La tabella della verità e il simbolo grafico sono:


Agli interruttori A e B si assegnano i valori 1 e 0 ossia chiuso e aperto.

Di conseguenza la lampada risulta spenta quando tutti e due gli interruttori sono chiusi.

B

A Y = A * B

Si legge: Y uguale A AND B negato

A

B


Porta Logica “Xor”Porta Logica “Xor”L’operatore XOR è derivato dall’operatore OR. Si tratta di un circuito capace di

riconoscere se due ingressi sono diversi (uscita = 1) o sono uguali (uscita = 0).

Si può verificare che un operazione di OR esclusivo fornisce l’uscita a 1 se è dispari il numero di 1 degli ingressi, fornisce invece 0 in uscita se i numero di 1 sono pari.

A B Y

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

Il simbolo grafico e la tabella della verità sono:

A

B Y = A B+

Si legge: Y uguale A OR ESCLUSIVO B


Porta Logica “Nor”Porta Logica “Nor”L’operatore NOR è derivato da un operatore OR seguito da un NOT. L’uscita Y di una porta NOR

vale 1 solo se tutte le entrate sono nello stato logico 0. Nel caso di due variabili (A e B) la funzione digitale si scrive:

Y = A + B

La tabella della verità e il simbolo grafico sono i seguenti:

A B Y

0 0

0 1

1 0

1 1

0

1

0

0


B

A

A

B

Y = A + B

Si legge: Y uguale A OR B negato


Porta Logica “Xnor”Porta Logica “Xnor”L’operatore NOR esclusivo, indicato con XNOR, è derivato dallo XOR mediante

complementazione della variabile d’uscita. Si noti come il cerchietto nel simbolo elettrico indica una complementazione.

A B Y

0 0

0 1

1 0

1 1

0

1

0

1

Il nome di coincidenza logica deriva dal fatto che l’uscita si porta a 1 solo se le entrate coincidono nello stesso stato logico

A

B

Y = A B+

Si legge: Y uguale A NOR ESCLUSIVO B oppure A COINCIDENZA B


Porta Logica “And”

A B Y

0 0

0 1

1 0

1 1

0

0

0

1

A B

Interruttori

L’operatore AND agisce su due o più variabili di ingresso. L’ uscita Y è 1 quando le variabili d’ ingresso sono tutte a 1. Nel caso di due variabili di ingresso,

l’ equazione algebrica di uscita è la seguente:

Y = A * B

La tabella della verità e il simbolo grafico sono:


Agli interruttori A e B si assegnano i valori 1 e 0 ossia chiuso e aperto.

Di conseguenza la lampada risulta accesa solo quando tutti e due gli interruttori sono chiusi.

B

A Y = A * B

Si legge: Y uguale A AND B o anche A per B

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