Laboratorio: le coniche e le loro applicazioni

Tirocinanti:

L. AragosaS. Ruzzante A. Antonelli E. Pascale

Referente:

dott.ssa F. Tovena

Corso di Perfezionamento in: “Nuove tendenze della didattica della Matematica e della Fisica”

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Università di Roma – Tor Vergata

Rivolto a studenti delle classi 4ªe 5ª

liceo classico e scientifico

Presentazione

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Le coniche e le loro applicazioni

Dare una visione “GESTALTICA” dell’oggetto nello spazio

Trattare parallelamente sia il punto di vista sintetico, riferendosi cioe’ al cono e al piano con il quale il cono e’ tagliato, sia quello analitico, determinando l’equazione del luogo.

Da”Le geometrie della visione”di L.Catastini F.Ghione

Obiettivi disciplinari e formativi

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Obiettivi Disciplinari e Formativi:

Presentare il periodo storico in cui si sviluppa la teoria delle coniche.

Capire quale è stata la necessità di sviluppare una teoria sulle coniche.

Mettere in luce le proprietà di rette, piani, coni, sfere e cilindri, normalmente esclusi nei programmi tradizionali, introducendo proprietà focali in modalità applicativo-pratico.

Legare ad esso lo studio di problemi non banali frequentemente ritrovati nei programmi accademici come le orbite planetarie, fenomeni ottici e risoluzione geometrica di equazioni algebriche, esaltando il ruolo della metodologia didattica applicabile ad altri contenuti.

Perchè un laboratorio sulle coniche

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Affrontare il progetto di laboratorio con un “ordine di apprendimento”,

seguendo il percorso scientifico compiuto dai matematici

Stimolare il loro interesse attraverso “software di geometria dinamica”

che rappresentano gli oggetti in questione dinamicamente

Coinvolgerli personalmente nell’utilizzo di oggetti pratici costruiti appositamente: “farli alzare dal banco”.

Strategie didattiche per gli obiettivi disciplinari e formativi:

Perchè un laboratorio sulle coniche

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Strumenti “dalla storia”:testi classici, compasso di Leonardo, compassi per specchi parabolici, tavole prospettiche

Strumenti moderni:computer collegato ad un proiettore tavole di lavoro,oggetti d’uso quotidiano (torce) software geometria dinamica (Cabri,Cinderella), animazioni Java, materiale fruibile in rete.

Strumenti Utilizzati

Perchè un laboratorio sulle coniche

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Risultati finali attesi:

e perchè no …

future iscrizioni alle facoltà scientifiche

Perchè un laboratorio sulle coniche

coinvolgimento attivo e propositivo nello studio della matematica e stimolo ad un atteggiamento di ricerca;

•

diminuzione dell’atteggiamento “non mi è venuto l’esercizio”•

conoscenza approfondita dell’argomento “coniche”•

dimestichezza riguardo le applicazioni attraverso gli strumenti forniti•

capacità di riprendere un “percorso logico-matematico”•

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Obiettivi Prefissati

Produrre materiale didattico - laboratoriale ripartito in:

• concreto (oggetti realizzati nei laboratori)

• multimediale (materiale in rete)

• cartaceo (dispense e tavole di lavoro)

Perchè un laboratorio sulle coniche

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Percorso storico sul concetto di cono: come viene studiato nel passato.Introduzione pittorica del De Pictura (Alberti): come nasce nella storia la necessità di rappresentare e descrivere una conica: rappresentazione prospettica di una circonferenza.Applicazioni suggerite dal trattato sulle coniche di Pascal: teorema dell’esagono mistico proiezione di circonferenza su un quadro.

Impostazione teorica di Apollonio: introduzione sintetica del concetto di conica vista come risultato della sezione di un cono con un piano.Deduzione dell'espressione analitica nei casi generali e particolari attraverso semplici passaggi algebrici.

Suddivisione delle lezioni:

Parallelo tra gli strumenti antichi e moderni per la rappresentazione grafica di una conica.Presentazione e utilizzo del compasso di Leonardo Da Vinci Applicazioni mediante programmi di geometria dinamica nel piano e nello spazio(Cabri, Cinderella).Esercitazioni al computer.

Luoghi geometrici, equazione analitica delle coniche.Conica e carta:come costrire una conica con mezzi di uso quotidiano.Esercitazioni pratiche che esaltano l’aspetto ludico dell’argomento.

Le coniche e le loro applicazioni

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Le coniche viste come ombra di una sfera: descrizione sintetica di fuochi e direttrici di una conica (sfere di Dandelin).

Descrizione analitica di fuochi e direttrici.Proprietà focali di una conica: fuochi rispetto alle leggi di riflessione.Applicazioni tecniche: specchi ustori e antenne paraboliche.

Applicazioni fisiche del concetto di conica: orbite kepleriane (studi sull'orbita di Marte) e costanza della velocità aereolare. Eccentricita’

Risoluzione geometrica di equazioni algebriche di terzo e quarto grado secondo la tradizione araba intersecando cerchi, parabole o iperboli equilatere.

Tutte le lezioni sono corredate di tavole di lavoro

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Le coniche e le loro applicazioni

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Introduzione sintetica del concetto di conica vista come risultato della sezione di un cono con un piano.

Oggi presenteremo due delle otto lezioni:

Partiamo con la lezione 1

Deduzione dell'espressione analitica nei casi generale e particolare attraverso semplici passaggi algebrici.

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Le coniche e le loro applicazioni

Descrizione sintetica: data una retta a e una retta r che si intersecano in un punto detto V, chiamiamo θ l’angolo tra r ed a. La superficie che si ottiene dalla rotazione completa di r attorno a , lasciando fisso l’angolo, e’ detta cono (a due falde).

Lezione 1

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V

r

a

θ

a) Collocare il cono nello spazio ;

b) Scegliere un sistema di riferimento “arbitrario e comodo”;

c) Intersecare il cono con piani di diversa inclinazione, studiare i risultati delle intersezioni ripercorrendo lo studio di Apollonio di Perga (III sec. a.C.)

Approccio geometrico-visivo

V

rz

y

x

a

Lezione 1

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ParabolaEllisseCirconferenzaIperbole

Parabola Ellisse

Circonferenza Iperbole

Lezione 1

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a

Equazione Cono con V=(0,0) e asse z

Equazione piano parallelo al piano OXYz k

2 2 2 2tan ( ) 0x y z 2 2 2 2tan ( )x y k

Approccio geometrico-analitico

Dedurre l’equazione analitica di un cono e di un piano attraverso semplici passaggi algebrici

Idea più semplice e intuitiva: intersecare il cono con un piano perpendicolare all’asse a

Lezione 1

2 2 2 2tan ( ) 0x y z

z k

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Sul piano z=k considero la circonferenza di centro (0,0,k) e raggio R, qual è il luogo formato dall’unione delle circonferenze al variare del parametro reale k ?

k

(0,0,k)R

k

Tavola 1.1

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Esercizio

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Cosa ci aspettiamo se il nostro approccio funziona….

Con il tentativo di “attivare una visione gestaltica” vorremmo che la risposta fosse: “CONO”

r

V

Esercizio

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Tavola 1.2

Esercizio

Cosa succede se puntiamo la luce di una torcia contro il muro ?

Risposta: si forma un cono di luce

Che “forma” ha il fascio di luce se punto una torcia con il braccio perpendicolare al muro?

Risposta: si forma una circonferenza

Che “forma” ha il fascio di luce se punto una torcia con il braccio inclinato rispetto al muro?

Risposta: si forma un’ellisseo un iperbole

Cono

Circonferenza

EllisseIperbole

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Applicazioni

Le coniche nella realtà “concreta”

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Lezione 6

Passiamo ora alla lezione 6

Le coniche viste come ombra di una sfera: descrizione sintetica di fuochi e direttrici di una conica.Sfere di Dandelin.

Equivalenza tra la definizione di conica data da Apollonio e la definizione di conica come luogo geometrico soddisfacente proprietà di carattere metrico.

G.P. Dandelin

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Una sezione conica possiede una o due sfere di Dandelin caratterizzate dalla proprietà:

Una sfera di Dandelin e’ tangente sia al piano che al cono.

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Lezione 6

Proprietà:

“Il punto nel quale una sfera tocca il piano è un fuoco

della sezione conica”

Ellisse o circonferenza due sfere di Dandelin

Parabola una sfera di Dandelin

Iperbole due sfere di Dandelin

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Lezione 6

Teoremi di Dandelin:“I fuochi dell’ellisse ottenuta intersecando un cono con un piano sono i punti di contatto delle due sfere tangenti (internamente) alla superficie conica”

•

“I fuochi dell’iperbole ottenuta intersecando un cono con un piano sono i punti di contatto delle due sfere tangenti al piano e tangenti (internamente) alla superficie conica”.

•

“Il fuoco della parabola ottenuta intersecando un cono con un piano è il punto di contatto della sfera tangente (internamente) alla superficie conica.

La direttrice della parabola risulta l’intersezione del suddetto piano con quello in cui giace la circonferenza di contatto tra cono e sfera”.

•

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Lezione 6

L'ombra proiettata da una sorgente luminosaposta sopra una sfera è un'ellisse.

Sfere di Dandelin (meta’ ottocento )

Se la sorgente di luce è in un piano parallelo al tavolo che passa al di sopra della sfera, si formerà una parabola.

Abbassando ulteriormente la fonte luminosa si otterrà un ramo di iperbole.

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Lezione 6

Tavola 6.2

Determinare il luogo di tangenza tra la sfera e la “conica ombra” generata.

Disegnare l’ombra di una sfera generata da un fascio di luce perpendicolare al tavolo sul quale poggia.

Esercizio

Soluzione

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Conclusioni

Livello didattico:

riscontro positivo da parte degli studenti

•

la produzione di materiale ha il fine di rendere facilmente comprensibile un argomento matematico, che può essere approfondito in qualunque momento al di fuori del laboratorio stesso.

•

lasciare una buona impressione della matematica.•

Livello personale:ci si aspetta un importante affinamento delle proprie competenze come didatta e come comunicatore multimediale;

•

questo laboratorio permetterà di applicare quanto appreso negli anni di laurea, e di imparare, concretamente, da insegnanti esperti

•

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