La trasformata di Laplace

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Definizione della trasformata di Laplace

L’analisi della risposta di un circuito nel dominio del tempo richiede la soluzione di equazioni differenziali. In alcuni casi, come nei circuiti di primo ordine (es. circuito RC o RL con una sola capacità o induttanza), la soluzione risulta abbastanza semplice, mentre nei casi più complessi, cioè nei circuiti di ordine superiore al primo, si dovrà ricorrere a metodi particolari.

Un metodo valido ed efficiente che permette di semplificare il problema consiste nell’utilizzo della trasformata di Laplace, in grado di trasformare l’equazione di grado superiore al primo in semplici equazioni algebriche.

La trasformata di Laplace è un operatore che fa corrispondere al segnale f(t) (ossia una funzione complessa di variabile reale), una funzione complessa nella variabile complessa s.

Osservando che le condizioni sotto le quali una funzione f(t) è trasformabile secondo Laplace sono abbastanza estese, per cui risultano soddisfatte da qualunque funzione del tempo che rivesta interesse nell’ambito dell’analisi dei sistemi. La condizione più importante è che f(t) sia nulla per t<0 e può essere in genere soddisfatta mediante una scelta opportuna dell’origine dei tempi.

In realtà la condizione f(t)=0 per t<0 non è strettamente necessaria per la trasformabilità della funzione (i cui valori per t<0 vengono comunque ignorati nell’operazione di integrazione), quanto per la biunivocità della trasformazione, dato che, eseguita l’antitrasformazione otteniamo una funzione nulla per t<0

Trasformazione e antitrasformazioneCome citato in precedenza l’utilizzo della trasformata di Laplace è dovuto al fatto che nel dominio

del tempo, l’integrazione dell’equazione differenziale per risalire alla risposta del circuito, è abbastanza complesso. Se invece operiamo nel dominio della variabile complessa s, dopo aver trasformato la variabile di ingresso e dopo aver sostituito l’equazione differenziale con la trasformata, potremo risolvere semplicemente l’equazione che fornisce la risposta. Per trovare la risposta nel dominio del tempo si dovrà procedere in modo inverso (antitrasformazione). I passaggi sono matematicamente impegnativi, ma per evitare l’operazione di trasformazione numerose volte, sono state messe a disposizione delle tabelle che presentano la codifica delle trasformazioni e delle antitrasformazioni se la usiamo in modo inverso.

Trasformazione: L[f(t)]=F(s) dove f(t) è una funzione reale o complessa

Antitrasformazione: L-1[F(s)]=f(t)

Proprietà della trasformata di Laplace

Per applicare questo metodo è di fondamentale importanza conoscere le proprietà delle L- trasformate:

-La trasformata di Laplace di un segnale (regolare di ordine esponenziale) è un operatore lineare, verificando sempre le seguenti condizioni:

L[f(t) + g(t)](s) = L[f(t)](s) + L[g(t)](s) dove f e g sono segnali di ordine esponenziale.

-La trasformata del prodotto di una costante K per una funzione f(t) è pari al prodotto di K per la L- trasformata F(s) della f(t):

L [Kf(t)] = KL[f(t)] = KF(s)

-La trasformata della somma o della differenza è uguale alla somma o differenza delle trasformate:

L[f(t) ± g(t)] = L[f(t)] ± L[g(t)] = F(s) ± G(s)

Studio di un circuito tramite la trasformata di Laplace

Prima di parlare di studio del circuito, è di relativa importanza introdurre il concetto di funzione di trasferimento. Grazie a questa funzione è possibile ricavare la risposta del circuito note l’eccezione.

O(s)=G(s)I(s) dove G(s) è la funzione di trasferimento del circuito.Una volta spiegato questo concetto potremo procedere con l’analisi del funzionamento del circuito

tramite l’uso della trasformata di Laplace, operazione che possiamo dividere in quattro fasi distinte:

1) Utilizzando la tabella di trasformazione, ricaviamo le trasformate di ogni eccitazione.2) Si trasformano i componenti passivi.3) Tramite le conoscenze delle regole usate per le reti elettriche lineari, risolviamo il circuito

ponendo i generatori in continua e mutando i vari componenti passivi in resistenze.4) Utilizzando la tabella di trasformazione in modo inverso, antitrasformiamo i risultati

tornando quindi nel dominio del tempo.