LA TEORIA DEGLI ERRORI

Definiamo grandezza fisica l’entità alla quale sia possibile associare un numero mediante un processo che chiameremo “operazione di misura”. L’operazione di misura consiste nel confrontare una grandezza fisica con un’altra dello stesso tipo che abbiamo scelto come unità di misura. Misurare è un’operazione molto ricorrente nella vita di ogni giorno. Una misurazione permette di associare ad una grandezza fisica un numero che ne valuta la consistenza in modo matematico e quindi oggettivo. Tipi di misure Anche la pratica topografica richiede molto frequentemente la misurazione di grandezze fisiche specie angoli e distanze. In base alle modalità operative con le quali vengono eseguite, le misure possono essere distinte in misure dirette e misure indirette. Misure dirette. La grandezza oggetto di osservazione viene confrontata direttamente con la grandezza campione della stessa natura presa come unità di misura. Il risultato del confronto è un numero che esprime il rapporto esatto tra la grandezza e l’unità campione. La misura quindi ci dice quante volte la grandezza in esame è più grande (o più piccola) del campione. Misure indirette. Qualsiasi grandezza fisica è legata ad altre grandezze mediante relazioni matematiche. In linea di principio si può quindi procedere alla misura di una grandezza misurando direttamente altre grandezze e risalendo al valore cercato mediante relazioni matematiche. Ad esempio la misura del volume V di un cubo può essere fatta in modo diretto stabilendo l’unità di volume ed osservando in che rapporto essa sta con il volume da misurare. La stessa misura può essere fatta in maniera indiretta, molto più usuale, misurando lo spigolo l del cubo e utilizzando la relazione: V = l3. Stessa cosa per la misura dell’ipotenusa di triangolo rettangolo. Si vedrà in seguito come anche in Topografia si faccia largo uso di questo tipo di misure per la determinazione di distanze, angoli, dislivelli, ecc.

Classificazione degli errori nella misura diretta di grandezze fisiche Se eseguiamo ripetutamente la misurazione di una grandezza otteniamo valori numerici sicuramente non univoci e che differiscono tra loro (anche di poco). L’esperienza ci insegna che attribuire ad una grandezza un valore che ne esprime la misura rispetto ad una grandezza campione è un’operazione sicuramente non semplice e che presenta elementi di dubbio e di incertezza. Possiamo ragionevolmente chiederci quale tra i valori che riscontriamo in una serie di osservazioni sulla stessa grandezza fisica ne esprime la misura. Nell’eseguire la misurazione di una grandezza fisica possiamo incorrere in quattro tipi di errore: 1) Errori grossolani 2) Errori sistematici 3) Periodici 4) Errori accidentali Errori grossolani o materiali: Sono errori dovuti a negligenza, inesperienza o distrazione dell’operatore. Essi sono in genere grandi e si presentano con il segno positivo e negativo cioè si può ottenere sia un valore più grande che un valore più piccolo della grandezza misurata . Un errore grossolano, ad esempio, si può commettere trascrivendo la misura in modo non corretto, oppure nel contare una volta in più o in meno il riporto dell’unità campione sulla grandezza da misurare nell’operazione di confronto. Ci si accorge dell’errore eseguendo una seconda volta la misurazione e riscontrando la notevole diversità con l’osservazione eseguita in precedenza.

Errori sistematici: Sono dovuti a cattiva taratura dello strumento usato e si presentano normalmente con lo stesso segno che è o solo positivo o solo negativo. Sono così definiti perché si presentano con sistematicità ogniqualvolta si esegue una osservazione. Essi sono molto pericolosi perché l'operatore non riesce a vederli anche ripetendo varie volte le misure. Immaginiamo ad esempio di avere un’asta graduata della lunghezza effettiva di 98 cm mentre la lunghezza nominale è di 100 cm. Le osservazioni eseguite con questo strumento mal tarato saranno affette da un errore che porta a valutare le distanze sempre superiori a quelle effettive. Per coprire la stessa distanza dovremo riportare l’asta graduata un numero superiore di volte e conseguentemente valuteremo una lunghezza maggiore di quella reale. A volte sono dovuti al non corretto modo di operare, come ad esempio misurare una distanza con una rotella metrica senza tendere perfettamente il nastro (vedi figura). Una volta riscontrato questo errore può essere eliminato procedendo alla rettifica dello strumento oppure utilizzando uno strumento più preciso.

Errori periodici: Sono particolari errori di carattere sistematico che sono dovuti quindi da una non perfetta taratura dello strumento usato ma, a differenza degli errori sistematici, si presentano con segno alterno. Se ad esempio abbiamo un goniometro mal tarato, un goniometro cioè nel quale le tacche della graduazione non mantengono la stessa distanza possiamo ipotizzare che in alcune zone del contorno le tacche siano più fitte e in altre le tacche siano più rade. È chiaro che si misura un angolo (per differenza di letture) in una zona del cerchio in cui le tacche sono più fitte otterremo una misura maggiore di quella reale; viceversa se misuriamo l’angolo in una zona del cerchio in cui le tacche sono più rade. In questo caso, pur trattandosi di un errore sistematico, in considerazione dell’alternanza del segno con cui si presenta, potremo considerarlo come accidentale e effettuate più volte la misura dell’angolo in diverse posizioni del cerchio prendere come valore più probabile o attendibile la media delle osservazioni.

Errori accidentali: Sono errori di piccola entità che non hanno un’unica causa, ma sono il risultato di più cause concomitanti ciascuna delle quali da un contributo, positivo o negativo, alla formazione dell’errore. Essi sono causati ad esempio da variazioni di temperatura , di umidità ,dallo spostamento dello strumento dovuto al vento , affaticamento della vista dell'operatore …. E’ per questo motivo che tali errori sono di piccola entità e si presentano con segno alterno. Contrariamente agli errori grossolani o sistematici, che si possono eliminare con particolari accorgimenti, questi errori non si possono eliminare, ma è stata elaborata la teoria degli errori che ci consente di trattare una serie di misure e di pervenire al valore che ha la più alta probabilità di coincidere con la misura della grandezza misurata. Scopo della teoria degli errori Disponendo di una serie di misure di una grandezza, tutte della stessa attendibilità, non si riesce a conoscere il valore vero della grandezza perché molte sono gli elementi che ne rendono incerta l’individuazione. La teoria degli errori ci consente di: • determinare il valore che ha la più alta probabilità di coincidere con il valore vero; • valutare l’entità dell’errore medio commesso nelle singole osservazioni, di individuare cioè

l’attendibilità di ciascuna misura; • individuare il limite oltre il quale un errore non può essere accettato, cioè il limite di

separazione tra un errore che si può considerare accidentale (e quindi accettabile) e un errore grossolano;

• individuare l’errore di cui è affetto il valore più probabile della grandezza.

IL GRAFICO DELLE MISURE

125,000

125,200

125,400

125,600

125,800

126,000

126,200

126,400

126,600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

N MISURE

m

1 125,611

2 125,608

3 125,595

4 125,603

5 125,598

6 125,616

7 125,618

8 125,631

9 125,640

10 125,650

11 125,658

12 125,665

13 126,500

14 125,564

15 125,560

16 125,685

17 125,690

18 125,715

19 125,520

20 125,500

Per prima cosa va disegnato il grafico delle misure. Si riportano sull’asse delle ascisse il numero delle misurazioni e su quello delle ordinate il loro valore (prendendo un valore di riferimento più piccolo di tutte le misure eseguite). Eventuali misure che presentano un errore grossolano vanno eliminate.

La misura n.13 va scartata e le misure diventano 19

LA MEDIA ARITMETICA N MISURE

m

1 125,611

2 125,608

3 125,595

4 125,603

5 125,598

6 125,616

7 125,618

8 125,631

9 125,640

10 125,650

11 125,658

12 125,665

13 126,500

14 125,564

15 125,560

16 125,685

17 125,690

18 125,715

19 125,520

20 125,500

Il valore vero di una grandezza non può essere conosciuto però la teoria del calcolo probabilistico ci dice che il valore che più si avvicina ad esso ( il valore più probabile) è dato dalla media aritmetica delle misure eseguite ( stessa precisione ). Pertanto se la grandezza x viene misurata ad esempio N volte ottenendo i valori x1, x2 , x3 , x4 , x5 ,…… il suo valore più probabile è

N

x

x

N

i

i

M

1

N

xxxx N

M

.....21Che si può scrivere anche:

GLI SCARTI

Si definisce scarto la differenza tra i valori delle singole misure ed il valore della media aritmetica

Mii xxs

PROPRIETA’ DELLA MEDIA ARITMETICA

La media aritmetica gode di due importanti proprietà: 1. La somma algebrica degli scarti è uguale a zero

che si può scrivere anche:

N

i

is1

0 0.......321 Nssss

2. La somma dei quadrati degli scarti è un valore minimo

N

i

is1

2 minimo (per questo motivo è anche detta teoria dei minimi quadrati)

questa seconda proprietà dice che se gli scarti vengono calcolati considerando un valore diverso dalla media aritmetica si avrebbe un valore maggiore della somma dei quadrati degli scarti

LO SCARTO QUADRATICO MEDIO (s.q.m.)

Lo s.q.m. di una misurazione è un indice della precisione delle misure eseguite

1

1

2

N

sN

i

i

Lo s.q.m. si presenta sempre con i segni positivo e negativo . Tanto più piccolo è e tanto più precise sono le misure (errore piccolo), viceversa tanto più grande è tanto meno precise sono le misure (errore grande). Se una grandezza viene misurata con due o più serie di misure , la serie più precisa sarà quella che mi da il più piccolo scarto quadratico medio.

ERRORE MEDIO DELLA MEDIA

L’errore medio della media è un indice di precisione del valore medio

NM

VALORE FINALE Il valore finale della misura viene espresso nel seguente modo:

MMxx

LA TOLLERANZA

La tolleranza rappresenta il valore massimo che lo scarto di una misura può avere . Se lo scarto di una misura supera la tolleranza ciò sta ad indicare che si è commesso un errore di tipo grossolano. La tolleranza è data dalla relazione

3T

ISTOGRAMMA DELLE FREQUENZE

È un diagramma che serve per vedere la distribuzione degli errori rispetto al volere medio. Si costruisce assegnando un intervallo di errore e riportando il numero degli scarti contenuti in quell’intervallo. Congiungendo i punti ottenuti si approssima la curva di Gauss.

x

y

0

x

1

2

3

4

5

6

x x x x xxxxx

ESERCIZIO

1) DISEGNA IL GRAFICO CON LA DISTRIBUZIONE DELLE MISURE

Applica la teoria degli errori alla seguente serie di misure determinando:

2) il valore medio XM

3) lo scarto quadratico medio s

4) l'errore medio della media sM

5) scrivi il valore medio con la relativa precisione

6) disegna la curva di distribuzione degli errori con un intervallo x = 3 cm

7) trova la tolleranza e commenta i risultati ottenuti

N MISURE SCARTI SCARTI QUADR. m m m2

1 120,565 2 120,595 3 120,620 4 120,665 5 120,695 6 120,565 7 120,595 8 120,620 9 120,565

10 120,595 11 120,620 12 120,435 13 120,565 14 120,545 15 120,485 16 120,565 17 120,545 18 120,485 19 120,665 20 120,545 21 120,595 22 120,565 23 120,485 24 120,545 25 120,595

120,565

120,595

120,620

120,665

120,695

120,565

120,595

120,620

120,565

120,595

120,620

120,435

120,565

120,545

120,485

120,565

120,545

120,485

120,665

120,545

120,595

120,565

120,485

120,545

120,595

120,300

120,350

120,400

120,450

120,500

120,550

120,600

120,650

120,700

120,750

Grafico delle misure (tutti i valori saranno considerati)

N MISURE SCARTI SCARTI QUADR. m m m2

1 120,565 -0,007800 0,00006084

2 120,595 0,022200 0,00049284

3 120,620 0,047200 0,00222784

4 120,665 0,092200 0,00850084

5 120,695 0,122200 0,01493284

6 120,565 -0,007800 0,00006084

7 120,595 0,022200 0,00049284

8 120,620 0,047200 0,00222784

9 120,565 -0,007800 0,00006084

10 120,595 0,022200 0,00049284

11 120,620 0,047200 0,00222784

12 120,435 -0,137800 0,01898884

13 120,565 -0,007800 0,00006084

14 120,545 -0,027800 0,00077284

15 120,485 -0,087800 0,00770884

16 120,565 -0,007800 0,00006084

17 120,545 -0,027800 0,00077284

18 120,485 -0,087800 0,00770884

19 120,665 0,092200 0,00850084

20 120,545 -0,027800 0,00077284

21 120,595 0,022200 0,00049284

22 120,565 -0,007800 0,00006084

23 120,485 -0,087800 0,00770884

24 120,545 -0,027800 0,00077284

25 120,595 0,022200 0,00049284

Valore medio: xM = 120,5728 m

0,00000 0,08665400

N

i

i ms1

22 08665400,0

Lo s.q.m.

mN

sN

i

i

0601,01

1

2

mN

M 0120,0

L’errore medio della media

mx 0120,05728,120 Valore finale

mT 1803,03 Tolleranza

0

1

2

3

4

5

6

7

Istogramma delle frequenze x=3 cm

120,565

120,595

120,620

120,665

120,695

120,565

120,595

120,620

120,565

120,595

120,620

120,435

120,565

120,545

120,485

120,565

120,545

120,485

120,665

120,545

120,595

120,565

120,485

120,545

120,595

120,200

120,300

120,400

120,500

120,600

120,700

120,800

xM

xM+T

xM-T

GRAFICO FINALE DELLE MISURE