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La struttura stellare ( III )

A. Marconi Introduzione all’Astrofisica 2013/2014

Relazioni di scala dal diagramma HRSiamo ora in grado di spiegare le relazioni di scala per le stelle che sono state trovate osservativamente

2

L ⇠ M3

L ⇠ T 8e

(per stelle con M >M⊙)

(con Te temperatura superficiale)

Determiniamo la quantità di energia immagazzinata nella stella sotto forma di radiazione. La pressione di radiazione è

Prad ⇠ T 4 è dimensionalmente (ma anche realmente Prad = 1/3 u) una densità di energia per cui

E ⇠ T 4R3

Il tempo impiegato a far “uscire” questa energia dalla stella è il tempo che i fotoni impiegano ad andare dal centro alla superficie della stella ovvero

⇤ =R2

lc=

R2⇥T �

mHc⇤ ⇠ ⇥�R2


P ⇠ M2

R4P̄ ⇠ GM2

4�R4

Relazioni di scala dal diagramma HRovvero

3

L ⇠ E

⇤⇠ T 4R3

⇥�R2⇠ T 4R

⇥�

T̄ ⇠ GMmH

6kBRT ⇠ M

R

una relazione analoga si sarebbe scritta partendo dall’equazione del trasporto radiativo:!!!σ è stato lasciato per far vedere il suo effetto. Considerandolo costante si ricava la relazione L-M per stelle tipo Sole o più massicce; considerando altri processi σ non è costante e si ricava la relazione per stelle meno massicce del Sole. Consideriamo il caso in cui sia costante.Applicando il teorema del viriale abbiamo trovato

dT (r)

dr= � 3L(r)k(r)⇢(r)

4⇡r2 4acT 3(r)


Relazioni di scala dal diagramma HRCombinando le relazioni per L, P e T otteniamo

4

L ⇠ R

�T 4 ⇠ R

�

✓M

R

◆4

⇠ M4

�R3⇠ M3 �R3 ⇠ Mdato che

cioè la relazione osservata. La diversa pendenza per le stelle di bassa massa ( L~M5 ) deriva da una dipendenza dell’opacità da T, ovvero da un diverso processo di scattering che domina in quelle stelle.Vediamo adesso di capire perché L~Te8

L ⇠ M3per stelle con M > M�

L ⇠ M5per stelle con M < M�

L ⇠ T 8e si riferisce a tutta la sequenza principale, per cui consideriamo

una relazione L-M intermedia ovvero

L ⇠ M4 per tutte le stelle


T 4e ⇠ L

R2⇠ M4

R2⇠ M4T 2

M2⇠ M2T 2 ⇠ L1/2T 2

Relazioni di scala dal diagramma HR

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ricordiamo che

L = 4�R2⇥T 4e T ⇠ M

RTe superficiale, T media della stella

come vedremo più avanti l’equilibrio delle stelle sulla sequenza principale è mantenuto dal bruciamento dell’H nel nucleo che avviene a temperature ben definite. In pratica T~costante per tutte le stelle di sequenza principale, allora

T 4e ⇠ L1/2 L ⇠ T 8

eovvero


La produzione di energia nelle stelleLa cosa che resta per finire di vedere la struttura stellare è capire il meccanismo di produzione dell’energia all’interno del Sole ovvero

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⇥ = ⇥[�(r), T (r), (X,Y, Z)]

Supponiamo che la fonte di energia del Sole sia gravitazionale, ovvero che il Sole abbia irraggiato fino ad ora l’energia liberata dalla sua contrazione.All’inizio della contrazione del Sole (ovvero all’infinito)

E(R�) = Egrav(R�) + Eth(R�)

E(1) = Egrav(1) + Eth(1) = 0

adesso

dal teorema del Viriale Egrav = �2Eth

ovvero E(R�) = Egrav(R�) + Eth(R�) = �Eth(R�) < E(1)


La produzione di energia nelle stelleLa diminuzione di energia è dovuta all’energia irraggiata che è pertanto

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�E = E(1)� E(R�) = Eth(R�) = �1

2Egrav(R�) =

1

2

GM2�

R�

Per quanto tempo il Sole avrebbe potuto irraggiare energia gravitazionale mantenendo una luminosità L⊙?Questo tempo scala è il cosiddetto tempo di Kelvin-Helmholtz dato da

�KH =�E

L�=

1

2

GM2�

L�R�= 5⇥ 1014 s = 1.6⇥ 107 yr

Ma dalla geologia sappiamo che la Terra è esistita da almeno 4 miliardi di anni e che durante questo tempo non ci sono stati variazioni significative di L⊙.Evidentemente l’energia irraggiata dal Sole non è di natura gravitazionale.Similmente si può dimostrare che l’energia prodotta da reazioni chimiche (es. H+O → H2O) non è sufficiente.

Le reazioni di fusione nucleareUna possibile fonte di energia per il Sole e le altre stelle sulla sequenza principale è la fusione di H in He.Questo processo è esoenergetico poiché l’energia di legame di atomo di He è inferiore (più negativa) dell’energia di legame totale dei singoli nuclei di H.La diminuzione dell’energia di legame all’aumento della massa nucleare avviene fino al 56Fe, dopo l’energia di legame cresce nuovamente.

Menostrettamente

legato

Ener

gia

di le

gam

e pe

r p

artic

ella

nuc

lear

e (1

0-13 J

)

Numero di massa

56FeC

O

U

FissioneHeN

Li

Fusione

HEnergia di legame dovuta

alla forza nucleare forte.

Piùstrettamente

legato


La catena p-pLa maggior parte dell’energia prodotta dal Sole proviene da una catena di reazioni detta catena p-p. Il primo passo è

p+ p ! d+ e+ + �ed nucleo di Deuterio, isotopo di H con p e n nel nucleo..Il tempo scala perché questo processo avvenga è τ ~ 1010 yr ovvero se ho 2 protoni devo farli scontrare per ~1010 anni prima che quella reazione avvenga.τ è così lungo perché è reazione che coinvolge le interazioni deboli come si vede dalla presenza del neutrino.L’energia totale prodotta e distribuita tra le particelle risultanti è 0.425 MeV.Appena la reazione avviene e+ si annichila con e- rilasciando 0.511 MeV in fotoni γ.Il neutrino invece ha una debolissima interazione con la materia (cammino libero medio ≫ R⊙) per cui scappa dal Sole portandosi via E~0.26 MeV.Entro ~1 s dalla reazione p+p un deuterone (nucleo deuterio) si fonde con un protone e

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p+ d ! 3He+ �con rilascio totale di energia E = 5.40 MeV (γ ed en. cinetica).


La catena p-pInfine dopo un tempo scala di circa ~300000 anni si ha

10

3He+ 3He ! 4He+ p+ p

con un rilascio di energia cinetica pari a 12.86 MeV.Ricapitolando, ogni volta che la reazione p+p avviene per due volte, 4 protoni sono convertiti in 4He + 2 neutrini + fotoni + energia cinetica delle particelle.

p+ p ! d+ e+ + ⇥e E = 0.425MeV

e+ + e� ! 2� E = 2⇥mec2 = 2⇥ 0.511MeV

p+ d ! 3He+ � E = 5.49MeV

3He+3 He ! 4He+ p+ p E = 12.86MeV

}⇥2

⌧ ⇠ 1010 yr

⌧ ⇠ 1 s

⌧ ⇠ 3⇥ 105 yr


La catena p-pIl risultato finale è!L’energia prodotta è

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E = 26.76MeV � 2⇥ 0.511MeV = 25.71MeV = [m(4p)�m(4He)]c2

a cui dobbiamo sottrarre 2 x 0.511 MeV che vengono dall’annichilazione di 2 elettroni pre-esistenti ovvero

4p ! 4He+ 2⇥e + �

E = (2⇥ 0.425 + 2⇥ 2⇥ 0.511 + 2⇥ 5.49 + 12.86) MeV

ovvero E è proprio pari alla differenza di energia di legame tra 4He ed i 4 protoni liberi.Risulta anche E = 0.007m(4p)c2

ovvero ò’efficienza di produzione di energia (conversione materia in energia) è pari allo 0.7% della materia/energia a disposizione (massa dei 4 protoni)

Catena p-p

Protone

Neutrone

Positroneν Neutrino

Raggio γ

Deuterio


La catena p-p nel SoleSupponiamo adesso che il Sole effettui la reazione 4p → 4He riprocessando il 10% della sua massa. Per quanto tempo è in grado di sostenere un’emissione con luminosità L⊙?

Enuc = 0.007⇥ 0.1⇥M�c2

ovvero

�nuc =Enuc

L�=

0.007⇥ 0.1⇥M�c2

L�= 3.3⇥ 1017 s ' 1010 yr

cioè il Sole riprocessando appena il 10% della sua massa è in grado di emettere L⊙ per 10 miliardi di anni ovvero la catena pp è in grado di alimentare l’emissione del Sole e delle stelle.

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Le reazioni di fusione nucleareQuali sono le condizioni perché avvengano le reazioni di fusione nucleare?Consideriamo due nuclei di numero atomico ZA e ZB (numero di protoni).I due nuclei si respingono a causa dell’interazione Coulombiana con una energia di “barriera”

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ECoul

=ZA

ZB

e2

r

ovvero per portare i due nuclei a distanza r devo avere un’energia cinetica Ekin > ECoul.Perché la reazione nucleare avvenga i due protoni devono giungere a distanze dell’ordine di

r0 ⇡ 1.4⇥ 10�13 cm

r0 è il raggio d’azione della forza nucleare forte (quella che tiene insieme protoni e neutroni nei nuclei atomici) e che per r > r0 è praticamente nulla;

Ekin

> ECoul

(r0) ⇡ ZA

ZB

MeV


Le reazioni di fusione nucleareL’energia tipica dei protoni nei nuclei delle stelle è

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con T ~ 107 keV dalla stima effettuata col teorema del viriale.!!Apparentemente questa è troppo piccola in quanto la distanza minima a cui i protoni potrebbero giungere è dell’ordine di

r1 ⇠ ZAZBe2

Eth⇠ ZAZBe2

1 keV=

ZAZBe2

10�3(1MeV)= 103

ZAZBe2

Er0⇠ 103r0

Eth ⇠ 3

2

kT ⇠ 1 keV con T ⇠ 10

7K

interazione Coulombiana

interazione nucleare forte

Se l’interazione fosse governata solo dalla meccanica classica i protoni al centro delle stelle non potrebbero “fondere”.

“tunnel”


Le reazioni di fusione nucleareIn realtà avviene un fenomeno prettamente quantistico noto come “effetto tunnel” (vedi corso di Meccanica Quantistica). In pratica, grazie al principio di indeterminazione di Heisemberg è possibile violare la conservazione di energia di ΔE per un tempo Δt a patto che

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�E�t � ~2

pertanto esiste una probabilità non nulla che i protoni giungendo ad una distanza r~r1 possano superare la barriera Coulombiana e passare a r~r0.Dalla meccanica quantistica si trova che questa probabilità è

g(E) ⇠ e�p

EG/E

E energia cinetica del protone, EG energia di Gamow, g(E) fattore di Gamow con

EG ⇡ 500 keV

per cui con E~1 keV si ha g(E) ⇠ e�22 ⇠ 10�10

piccolissima, ma NON zero, per cui le reazioni possono avvenire dato anche il grande numero di protoni e collisioni che avvengono nel nucleo delle stelle.


Le reazioni di fusione nucleareLa probabilità di avere un processo di fusione si può ottenere moltiplicando la probabilità di avere effetto tunnel per energia E ( g(E) ) per la probabilità di avere energia E (distribuzione di Maxwell-Boltzmann dei protoni a temperatura T).

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basicastro4 October 26, 2006

STELLAR PHYSICS 55

Figure 3.9 The Boltzmann probability distribution, P (E), the Gamow factor, g(E), andtheir product, f(E). P (E) is shown for kT = 1 keV, g(E) is for the case oftwo protons, with EG = 500 keV, and both g(E) and f(E) have been scaledup by large factors for display purposes. The rarity of protons with large kineticenergies, as described by P (E), combined with the Coulomb barrier, embodiedby g(E), limit the protons taking part in nuclear reactions to those with energiesnear E

0

, where f(E) peaks. f(E) can be approximated as a Gaussian centeredat E

0

(E0

≈ 5 keV for the case shown), with width parameter ∆.

Inserting 3.120 and 3.129 into 3.128, and changing the integration variable fromvelocity to kinetic energy using E = 1

2µv2, dE = µvdv, we obtain

�σv� =µ

8πµ

∂1/2S0

(kT )3/2

Z ∞

0

e−E/kT e−√

EG/EdE. (3.130)

The integrand in this expression,

f(E) = e−E/kT e−√

EG/E , (3.131)

is composed of the product of two exponential functions, one (from the Boltz-mann distribution) falling with energy, and the other (due to the Gamow factorembodying the Coulomb repulsion) rising with energy. Obviously, f(E) will havea narrow maximum at some energy E0, at which most of the reactions take place(see Fig. 3.10). The maximum of f(E) is easily found by taking its derivative andequating to zero. It is at

E0 =µ

kT

2

∂2/3

E1/3G . (3.132)


T ⇠ 1.5⇥ 107 K

Reazioni di fusione: termostatiTenendo conto delle sezioni d’urto (probabilità) delle varie reazioni nucleari nella catena p-p e della distribuzione di energia dei protoni si può ricavare l’emissività ε (energia prodotta per unità di volume e di tempo).Si trova che le reazioni nucleari avvengono principalmente nel nucleo delle stelle (core) dove le temperature sono

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a quelle temperature �(T ) ⇠ T 4

cioè dipende fortemente da T. Per reazioni nucleari con elementi più pesanti la dipendenza da T è ancora maggiore.Questo comporta che la produzione di energia per fusione nucleare agisce come termostato per tutta la struttura stellare.Supponiamo che T cresca → aumenta produzione energia; dato il tempo necessario ai fotoni per “uscire”, inizialmente ETOT aumenta;!!!quindi per mantenere l’equilibrio della struttura, Egrav deve aumentare ovvero la stella si deve espandere.

ETOT =1

2Egrav = �Eth


Reazioni di fusione: termostatiMa se la stella si espande, Eth deve diminuire, ovvero la stella si raffredda.Se la stella si raffredda a seguito dell’espansione, T diminuisce nuovamente, Eth diminuisce e la stella deve contrarsi, aumentando nuovamente la sua temperatura.Analogamente accadrebbe se si partisse da una diminuzione di T.In ogni caso la produzione di energia dalla relazioni nucleari tende a mantenere costante la temperatura della struttura stellare.!

In seguito a questo effetto di “termostato” le stelle sulla MS che bruciano H devono avere temperature simili, ovvero!

!

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T ⇠ M

R

; T ⇠ cost. ! M ⇠ R


Il problema dei neutrini solariUna predizione chiave del modello riguarda i neutrini.Per ogni ciclo 4p → 4He si ha la produzione di 26.2 MeV di energia e l’emissione di 2 neutrini (elettronici νe) che escono senza interazioni dal Sole.Il flusso di neutrini atteso a Terra è pertanto

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f⌫e = 2⇥ f�26.2MeV

= 2⇥L�/4�d2�26.2MeV

= 6.7⇥ 1010 s�1 cm�2

questi attraversano la Terra senza alcuna interazione.Esperimenti sui neutrini solari sono stati condotti fin dagli anni ’60 ma i neutrini rivelati erano circa ~1/3 di quelli predetti dal modello.Oltre ai neutrini elettronici esistono anche i neutrini muonici (νµ ) e tauonici (ντ), non rivelati negli esperimenti di ricerca.Con l’esperimento di Superkamiokande in Giappone (2001), si sono cercati i neutrini elettronici prodotti dalle centrali nucleari giapponesi (numero ben noto perchè sono noti i processi che li producono) e se ne sono trovati numero inferiore alle attese:i neutrini oscillano tra i vari “stati” νe νµ ντ e questo spiega perfettamente il problema dei neutrini solari mancanti. Questa è la prova che il Sole è alimentato dalla catena p-p.


Il ciclo CNONelle stelle più massicce del Sole (M > 1.2 M⊙) la produzione di energia segue una sequenza di reazioni diversa detta “ciclo CNO” che ha sempre come risultato 4p → 4He.In questo ciclo, C, N ed O presenti in tracce fungono da catalizzatori del processo di bruciamento H→He, senza che ulteriori C, N e O vengano sintetizzati.La reazione più lenta è la prima (p+12C) che ha bisogno di T~107 K ma la sua velocità è fortemente dipendente da T tanto che

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�CNO(T ) ⇠ T 20

�pp(T ) ⇠ T 4

ricordiamo che

log "

log T1.5⇥ 107 K

⇠ T 4

⇠ T 20

"pp

"CNO

anche se T~cost., l’aumento di M determina piccoli aumenti di T da ~107 a oltre 1.5 107 K con conseguente dominio il ciclo CNO oltre 1.2 M⊙.

Isotopi di N e O instabili, decadono in pochi minuti.

Il ciclo CNO


Il trasporto dell’energiaLa produzione di energia nucleare avviene nel nucleo della stella e l’energia prodotta deve essere “trasportata” verso l’esterno.In genere il trasporto dell’energia avviene attraverso i fotoni (vedi lezione su opacità) ovvero si ha un trasporto radiativo.In certe condizioni si instaura la convezione e si passa al trasporto convettivo, ovvero il plasma caldo fluisce dalle regioni interne alle regioni esterne, e quello “freddo” viceversa (vedi corso Termodinamica).Si può facilmente dimostrare (vedi libro) che questo avviene quando

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��dT (r)

dr

�� >� � 1

�

T

P

��dP (r)

dr

��

in tal caso, questa diventa proprio l’equazione del trasporto radiativoPer M > 1.2 M⊙ la produzione di energia è col ciclo CNO, il nucleo è convettivo ed il mantello radiativo.Per M < 1.2 M⊙ la produzione di energia è col ciclo pp, il nucleo è radiativo ed il mantello convettivo.Al diminuire della massa il mantello convettivo cresce in dimensioni fino ad interessare tutta la stella per M < 0.5 M⊙


Il trasporto dell’energia

Zona interna radiativa, zona

esterna convettiva

Zon interna convettiva, zona esterna radiativa

Interamente convettiva

Dominate dal ciclo CNO Dominate dalla catena p-p

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