La Sapienza · 2020-04-08 · Il modello AR(1): AutoRegressivo di primo ordine (i) I Nel modello...

Universita di Roma “La Sapienza”

C.d.L. Magistrale in

Finanza e Assicurazioni

Analisi delle Serie Storiche -Unita 4

Vincenzo Candila [email protected]

mailto:[email protected]

Programma dell’Unita 4

Riferimenti bibliografici

Il modello AR(1)

Il modello AR(2)

Il modello AR(p)

Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 2

Riferimenti bibliografici

Nota:Gli argomenti trattati nell’Unita 4 possono essere approfonditiutilizzando le stesse fonti dell’Unita 3.

Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Riferimenti bibliografici 3

Il modello AR(1): AutoRegressivo di primo ordine (i)

I Nel modello AR(1) si suppone che il valore corrente dellavariabile aleatoria Xt dipenda dal passato recente di Xt,ovvero Xt−1, e da una componente accidentale.

I La miglior interpretabilita di tali processi deriva dall’analogiacon i modelli di regressione lineare che ne ha consentito unaloro maggiore diffusione rispetto ai modelli a media mobile.

I Formalmente:

Xt = ϕXt−1 + εt;

εt ∼ WN(0, σ2);

(Xt = δ + ϕXt−1 + εt).

I Per definizione, il modello AR(1) e sempre invertibile.

Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(1) 4

Il modello AR(1): AutoRegressivo di primo ordine (ii)

I Intuitivamente, se |ϕ| ≥ 1, allora il processo esploderebbe.

I Ovvero, si accumulerebbero gli effetti di εt, che nonsvanirebbero nel corso del tempo.

I Quindi, |ϕ| ≥ 1, il processo AR(1) non e stazionario.


Il modello AR(1): AutoRegressivo di primo ordine (iii)

0 50 100 150 200

−4

02

46

AR(1), ϕ=0.9X

(t)

0 50 100 150 200

040

000

1000

00

AR(1), ϕ=1.05

X(t)

Figura: Andamento di due serie storiche AR(1) con ϕ = 0.9 (toppanel), ϕ = 1.05 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).


Il modello AR(1): stazionarieta - Dimostrazione 1

I In maniera piu rigorosa, si puo valutare la stazionarieta dell’AR(1)procedendo con sostituzioni ricorsive:


= ϕ (ϕXt−2 + εt−1) + εt = ϕ2Xt−2 + ϕεt−1 + εt;

ϕ2 (ϕXt−3 + εt−2) + ϕεt−1 + εt =

ϕ3Xt−3 + ϕ2εt−2 + ϕεt−1 + εt;

...

= ϕkXt−k +

k−1∑i=0

ϕiεt−i,

con ϕ0 = 1.



I Vediamo cosa succede quando k →∞.

I Se e solo se |ϕ| < 1, allora quando k →∞, ϕk dell’ultimaequazione va a zero.

I Quindi:

Xt =∞∑i=0

ϕiεt−i = εt + ϕεt−1 + ϕ2εt−2 + · · ·

= MA(∞).

I Assumendo sempre che |ϕ| < 1, MA(∞) e stazionario.

I Quindi, se e solo se |ϕ| < 1, l’AR(1) e stazionario.



I Utilizzando l’operatore B, si arriva alla stessarappresentazione MA(∞):


Xt − ϕXt−1 = εt;

Xt − ϕBXt = εt;

(1− ϕB)Xt = εt;

Xt = (1− ϕB)−1εt.



I Ricordando sempre che 11−a rappresenta la convergenza della

serie geometrica∑∞

j=0 aj se e solo se |a| < 1, assumendo che

|ϕ| < 1 comporta che:

Xt =

∞∑j=0

ϕjBj

εt;

Xt =

∞∑j=0

ϕjεt−j ,

ovvero, un MA(∞).


Il modello AR(1): momenti (i)

I Dato che Xt =∑∞

j=0 ϕjεt−j , assumendo che |ϕ| < 1, si ha:

1. Per quanto riguarda la media:

E(Xt) = E

∞∑j=0

ϕjεt−j

=

∞∑j=0

ϕj

E(εt−j) = 0.

2. Per quanto riguarda la varianza:

V ar(Xt) = γ(0) = E

∞∑

j=0

ϕjεt−j

2 ;

=

∞∑j=0

ϕ2jE[ε2t−j

];

=σ2

1− ϕ2.


Il modello AR(1): momenti (ii)

I Sia sempre Xt =∑∞

j=0 ϕjεt−j e |ϕ| < 1.

I Si noti che (1− ϕ2)−1 rappresenta la convergenza dellasomma

∑∞j=0 ϕ

2j . La somma si puo esplicitare come:

1 per j = 0;

1 + ϕ2 per j = 1;

1 + ϕ2 + ϕ4 per j = 2;

...


Il modello AR(1): momenti (iii)

I Per quanto riguarda le autocovarianze al lag h, cioe Cov(Xt, Xt−h) = γ(h):

γ(h) = E [(Xt ·Xt−h)] ;

= E[(εt + ϕεt−1 + ϕ2εt−2 + · · ·+ ϕhεt−h + ϕh+1εt−h−1 + ϕh+2εt−h−2 + · · ·

)·(

εt−h + ϕεt−h−1 + ϕ2εt−h−2 + · · ·)]

;




γ(h) = E [(Xt ·Xt−h)]


)·(

εt−h + ϕεt−h−1 + ϕ2εt−h−2 + · · ·)]

;




γ(h) = E [(Xt ·Xt−h)]


)·(

εt−h + ϕεt−h−1 + ϕ2εt−h−2 + · · ·)]

;

=(ϕh + ϕh+2 + ϕh+4 + · · ·

)σ2;

= ϕh(1 + ϕ2 + ϕ4 + · · ·

)σ2;

= ϕh 1

1− ϕ2σ2;

= ϕhγ(0).


Il modello AR(1): autocorrelazioni

I Si e visto che Cov(Xt, Xt−h) = γ(h) = ϕhγ(0).

I Le autocorrelazioni quindi:

Corr(Xt, Xt−h) = ρ(h) =ϕhγ(0)

γ(0)= ϕh.

I Se ϕ > 0, le autocorrelazioni decadono a zeroesponenzialmente.

I Se ϕ < 0, le autocorrelazioni decadono a zeroesponenzialmente, ma con oscillazioni negative e positive.


Il modello AR(1): γ(h) e ρ(h) ricorsive

I Dato che γ(h) = ϕhγ(0), allora:

γ(1) = ϕγ(0);

γ(2) = ϕ2γ(0) = ϕ [ϕγ(0)] = ϕγ(1);

γ(3) = ϕ3γ(0) = ϕ[ϕ2γ(0)

]= ϕγ(2);

...

γ(h) = ϕγ(h− 1).

I In maniera analoga, si ha che

ρ(h) = ϕρ(h− 1).


Il modello AR(1): funzione risposta ad impulso

I La funzione risposta ad impulso e pari a

∂Xt+j

∂εt= ϕj .

I Ovvero, la funzione di autocorrelazione al tempo t+ j rappresentala risposta allo shock avuto j periodi fa.

I Assumendo |ϕ| < 1, maggiore sara la distanza temporale tra iltempo di valutazione dello shock (ad esempio, t+ j) e il tempodello shock (t), minore sara l’effetto dello stesso.

I L’effetto dello shock sara dipendente anche da ϕ: maggiore e ϕ,maggiore e il livello di correlazione con il passato e maggiore el’effetto dello shock nel tempo.


Il modello AR(1): ACF

0 5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

Lag

AC

FAR(1), ϕ=0.9

0 5 10 15 20

−0.

50.

5

Lag

AC

F

AR(1), ϕ=−0.9

Figura: ACF di due serie storiche AR(1) con ϕ = 0.9 (top panel),ϕ = −0.9 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).



0 5 10 15 20−0.

20.

20.

61.

0

Lag

AC

FAR(1), ϕ=0.6

0 5 10 15 20

−0.

50.

51.

0

Lag

AC

F

AR(1), ϕ=−0.6




0 5 10 15 20−0.

20.

20.

61.

0

Lag

AC

FAR(1), ϕ=0.3

0 5 10 15 20

−0.

20.

40.

8

Lag

AC

F

AR(1), ϕ=−0.3



Il modello AR(1): PACF (i)

I Per quanto riguarda le PACF per h = 1, si ha che, perdefinizione:

φ11 = ρ(1) = ϕ.

I Per h = 2, dato che ρ(2) = ϕρ(1), si ha:

φ22 =

∣∣∣∣∣∣∣1 ρ(1)

ρ(1) ρ(2)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 ρ(1)

ρ(1) 1

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣1 ϕ

ρ(1) ϕρ(1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 ρ(1)

ρ(1) 1

∣∣∣∣∣∣∣= 0.

I E cosı, per ogni h ≥ 2, φhh = 0.


Il modello AR(1): PACF (ii)

I D’altronde, dato Xt ∼ AR(1), se si volesse calcolare φ22, adesempio, si dovrebbe poter scrivere la regressione:

Xt = φ21Xt−1 + φ22Xt−2.

I Tuttavia, essendo il processo un AR(1) (solo del primoordine), non puo che essere φ22 = 0.


Il modello AR(1): PACF (iii)

5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

Lag

Par

tial A

CF

AR(1), ϕ=0.9

5 10 15 20

−0.

8−

0.4

0.0

Lag

Par

tial A

CF

AR(1), ϕ=−0.9

Figura: PACF di due serie storiche AR(1) con ϕ = 0.9 (top panel),ϕ = −0.9 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).



5 10 15 20

0.0

0.4

Lag

Par

tial A

CF

AR(1), ϕ=0.6

5 10 15 20−0.

6−

0.2

Lag

Par

tial A

CF

AR(1), ϕ=−0.6




5 10 15 20

−0.

10.

10.

3

Lag

Par

tial A

CF

AR(1), ϕ=0.3

5 10 15 20−0.

200.

000.

15

Lag

Par

tial A

CF

AR(1), ϕ=−0.3



Il modello AR(1) con radice unitaria (i)

I Se ϕ = 1, allora il modello AR(1) presenta una radice unitaria.

I Il modello quindi diventa:

Xt = Xt−1 + εt, con εt ∼WN(0, σ2),

ovvero un Random Walk.

I Effettuando una differenza prima, si otterrebbe:

∇Xt = εt,

cioe un processo stazionario.


Il modello AR(1) con radice unitaria (ii)

I In questo caso si dice che il processo Xt e integrato del primoordine e si indica con Xt ∼ I(1).

I Vale a dire che il processo Xt deve essere differenziato unavolta per essere reso stazionario.

I Nel Random Walk, contrariamente all’AR(1) stazionario, unoshock ha effetto permanente:

∂Xt+h

∂εt= 1, ∀h > 0.


Il modello AR(1): Ricapitolazione

I Il processo AR(1) e invertibile per definizione.

I E’ stazionario se e solo se |ϕ| < 1.

I Le autocorrelazioni globali al lag h sono pari a ϕh.Assumendo che |ϕ| < 1, le ACF decadono esponenzialmente azero, tanto piu lentamente quanto piu grande e ϕ.

I Le autocorrelazioni parziali sono uguali a zero per h ≥ 2,diverse da zero per h = 1.


Il modello AR(2)

I Nel modello AR(2) si suppone che il valore corrente dellavariabile aleatoria Xt dipenda non solo da Xt−1, ma anche daXt−2, e da una componente accidentale.

I Formalmente:

Xt = ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + εt;

εt ∼ WN(0, σ2);

(Xt = δ + ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + εt).

I Per definizione, il modello AR(2) e sempre invertibile.


Il modello AR(2): rappresentazioni grafiche

0 50 100 150 200

−6

−2

24

AR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=0.3X

(t)

0 50 100 150 200

−4

02

4

AR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=0.3

X(t)

Figura: Andamento di due serie storiche AR(2) con ϕ1 = 0.6 eϕ2 = 0.3 (top panel), ϕ1 = −0.6 e ϕ2 = 0.3 (bottom panel) eεt ∼WN(0, 1).


Il modello AR(2): rappresentazioni grafiche

0 50 100 150 200

−2

01

23

AR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=−0.3X

(t)

0 50 100 150 200

−3

−1

13

AR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=−0.3

X(t)

Figura: Andamento di due serie storiche AR(2) con ϕ1 = −0.6 eϕ2 = −0.3 (top panel), ϕ1 = 0.6 e ϕ2 = −0.3 (bottom panel) eεt ∼WN(0, 1).


Il modello AR(2): stazionarieta

I Il modello AR(2) puo anche essere scritto come:(1− ϕ1B − ϕ2B

2)Xt = εt.

I La condizione di stazionarieta equivale a richiedere che le (2)radici in B dell’equazione

(1− ϕ1B − ϕ2B

2)

= Φ(B) = 0siano fuori dal cerchio di raggio unitario.

I Questo implica che ϕ1 e ϕ2 devono giacere all’interno dellaregione triangolare:

ϕ1 + ϕ2 < 1;

ϕ2 − ϕ1 < 1;

−1 < ϕ2 < 1.


Il modello AR(2): Regione triangolare


Il modello AR(2): Momenti (i)

I Si assuma che le due radici dell’equazione caratteristica sianofuori dal cerchio unitario.

I Si puo dimostrare che il modello AR(2) ammette unarappresentazione MA(∞) del tipo:

Xt =

∞∑i=1

∞∑j=1

ψi1ψj2εt−i−j ,

dove ψ−11 e ψ−12 sono le soluzioni dell’equazione caratteristicaΦ(B) = 0.

I Quindi la media e:E(Xt) = 0.


Il modello AR(2): Momenti (ii)

I Per quanto riguarda la varianza:

V ar(Xt) = γ(0) = E [XtXt] ;

= E [(ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + εt)Xt] ;

= ϕ1E [Xt−1Xt] + ϕ2E [Xt−2Xt] + E [εtXt] ;

= ϕ1γ(1) + ϕ2γ(2) + σ2.


Il modello AR(2): Momenti (iii)

I Per quanto riguarda l’autocovarianza Cov(Xt, Xt−h):

γ(h) = E [XtXt−h] ;

= E [(ϕ1Xt−1 + ϕ2Xt−2 + εt)Xt−h] ;

= ϕ1E [Xt−1Xt−h] + ϕ2E [Xt−2Xt−h] + E [εtXt−h] ;

= ϕ1γ(h− 1) + ϕ2γ(h− 2).

I Per quanto riguarda l’autocorrelazione Corr(Xt, Xt−h):

ρ(h) = ϕ1ρ(h− 1) + ϕ2ρ(h− 2),

che al variare di h determinano un sistema di equazioni linearidi Yule-Walker.


Il modello AR(2): Momenti (iv)

I In particolare, si ha:

γ(0) =σ2(1− ϕ2)[

(1− ϕ2)2 − ϕ21

](1 + ϕ2)

.

I Per h = 1 e h = 2, si ha:

ρ(1) =ϕ1

1− ϕ2;

ρ(2) =ϕ21 + ϕ2 − ϕ2

2

1− ϕ2.



I Si puo dimostrare che la funzione di autocorrelazione decadein modo esponenziale se le radici del polinomio caratteristicosono reali e decade a zero in modo sinusoidale se le radicisono complesse.

I Contrariamente al modello MA, l’ACF di un AR(2) non ha unchiaro punto di troncamento.


Il modello AR(2): PACF

I Per quanto riguarda la funzione di autocorrelazione parziale apartire dall’equazione di autocorrelazione globale si puodimostrare che:

φ11 = ρ(1);

φ22 = ϕ2;

φhh = 0 per h ≥ 3.

I Quindi, la PACF di un processo AR(2) si annulla dopo ilsecondo lag.

I In altre parole, si ha un punto di troncamento per k = 2.


Il modello AR(2): ACF e PACF

0 5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

Lag

AC

FAR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=0.3

0 5 10 15 20

−0.

50.

5

Lag

AC

F

AR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=0.3

Figura: ACF di un modello AR(2) con ϕ1 = 0.6 e ϕ2 = 0.3 (toppanel), ϕ1 = −0.6 e ϕ2 = 0.3 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).



0 5 10 15 20−0.

40.

20.

8

Lag

AC

FAR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=−0.3

0 5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

Lag

AC

F

AR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=−0.3

Figura: ACF di un modello AR(2) con ϕ1 = −0.6 e ϕ2 = −0.3 (toppanel), ϕ1 = 0.6 e ϕ2 = −0.3 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).



5 10 15 20

0.0

0.4

0.8

Lag

Par

tial A

CF

AR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=0.3

5 10 15 20

−0.

8−

0.4

0.0

Lag

Par

tial A

CF

AR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=0.3

Figura: PACF di un modello AR(2) con ϕ1 = 0.6 e ϕ2 = 0.3 (toppanel), ϕ1 = −0.6 e ϕ2 = 0.3 (bottom panel) e εt ∼WN(0, 1).



5 10 15 20

−0.

4−

0.1

0.1

Lag

Par

tial A

CF

AR(2), ϕ1=−0.6, ϕ2=−0.3

5 10 15 20−0.

40.

00.

4

Lag

Par

tial A

CF

AR(2), ϕ1=0.6, ϕ2=−0.3

Figura: PACF di un modello AR(2) con ϕ1 = −0.6 e ϕ2 = −0.3(top panel), ϕ1 = 0.6 e ϕ2 = −0.3 (bottom panel) eεt ∼WN(0, 1).


Il modello AR(2): Ricapitolazione

I Il processo AR(2) e invertibile per definizione.

I E’ stazionario se e solo se le due radici in B dell’equazionecaratteristica sono fuori dal cerchio unitario.

I Le autocorrelazioni globali decadono in maniera esponenzialeo sinusoidale a zero.

I Le autocorrelazioni parziali sono uguali a zero per h ≥ 3.


Il modello AR(p)

I Nel modello AR(p) si suppone che il valore corrente dellavariabile aleatoria Xt dipenda da fino a p lag di Xt, e da unacomponente accidentale.

I Formalmente:

Xt = ϕ1Xt−1 + · · ·+ ϕpXt−p + εt;

εt ∼ WN(0, σ2);

(Xt = δ + ϕ1Xt−1 + · · ·+ ϕpXt−p + εt).

I Per definizione, il modello AR(p) e sempre invertibile.

Analisi delle Serie Storiche - Unita 4 Il modello AR(p) 34

Il modello AR(p): stazionarieta

I Il modello AR(p) puo anche essere scritto come:

(1− ϕ1B − ϕ2B2 − · · · − ϕpBp)Xt = εt.

I La condizione di stazionarieta richiede che le p radici in Bdell’equazione (1− ϕ1B − ϕ2B

2 − · · · − ϕpBp) = Φ(B) = 0siano fuori dal cerchio unitario.


Il modello AR(p): momenti

I Similarmente a quanto visto con l’AR(2), si ha che:

1. E(Xt) = 0.2. Le autocovarianze sono pari a:

γ(h) = ϕ1γ(h− 1) + ϕ2γ(h− 2) + · · ·+ ϕpγ(h− p).

Per cui le autocorrelazioni sono:

ρ(h) = ϕ1ρ(h− 1) + ϕ2ρ(h− 2) + · · ·+ ϕpρ(h− p).

3. Le PACF sono uguali a zero per h > p.


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