Università degli Studi di Roma

“La Sapienza”

Facoltà di Economia

Corso di Laurea Specialistica in Economia Politica

Roma, aprile 2008

Agente Rappresentativo ed Agenti Eterogenei. Un Approccio Computazionale

Candidato

Jakob Grazzini

Relatore Correlatore

Prof. Enrico Marchetti Prof. Nicola Acocella

ANNO ACCADEMICO 2006/2007

2

Indice

Introduzione ...................................................................................... 6

Capitolo I. L’agente rappresentativo .................................................... 8

1. La nascita dell’agente rappresentativo...................................................... 8

2. L’agente rappresentativo moderno ......................................................... 11

2.1 La critica di Lucas .......................................................................... 12

2.2 La tradizione Walrasiana ................................................................ 15

2.3 La microfondazione ......................................................................... 18

3. Agente rappresentativo: ipotesi necessarie ............................................. 19

3.1 Il problema dell’aggregazione .......................................................... 20

Capitolo II. Critiche all’agente rappresentativo .................................. 25

1.Critica all’agente rappresentativo marshalliano ....................................... 25

2.Superamento della Critica di Lucas e la Tradizione Walrasiana............... 28

3.Una critica formale all’agente rappresentativo ......................................... 31

3.1 Agenti versus Agente: il problema dell’aggregazione ........................ 33

3.2 Incoerenza dell’agente rappresentativo in presenza di politiche economiche ..................................................................................... 37

3.3 Inconsistenza Paretiana .................................................................. 40

3.4 Difficoltà nell’analisi empirica ........................................................ 42

Capitolo III. L’interazione tra gli agenti ............................................. 46

1. Interazione ............................................................................................. 46

2. Membership Theory ............................................................................... 49

3. La teoria ................................................................................................ 54

3.1 Un modello ..................................................................................... 57

4. Reti: come si formano i gruppi sociali..................................................... 59

4.1 Il mondo piccolo .............................................................................. 61

5. La segregazione: come si formano i gruppi sociali .................................. 65

6. Stima dei parametri di interazione: problema di identificazione e autoselezione. ................................................................................. 71

6.1 Il problema di identificazione .......................................................... 71

6.2 Autoselezione .................................................................................. 73

7. Le indagini empiriche ............................................................................. 75

3

Capitolo IV. Un approccio computazionale all’economia .................... 83

1.La simulazione ad agenti ........................................................................ 83

2. Simulazione e metodologia tradizionale .................................................. 84

2.1 Generalizzazione e stima ................................................................. 86

2.2 Linguaggio condiviso ....................................................................... 89

3. Le caratteristiche dei modelli di simulazione ad agenti ........................... 91

4. Gli agenti ............................................................................................... 91

4.1 L’apprendimento, gli agenti “intelligenti” ......................................... 96

4.2 Le Reti Neurali Artificiali ................................................................. 97

4.3 Algoritmi Genetici ......................................................................... 103

4.4 La selezione .................................................................................. 109

4.5 Il cross-over e la mutazione .......................................................... 110

4.6 Risultati della simulazione ............................................................ 112

4.7 L’importanza di cross-over e mutazione ........................................ 113

4.8 Teorema fondamentale degli algoritmi genetici .............................. 118

4.9 Modelli con algoritmi genetici ........................................................ 123

5. Complessità ed Emergenza .................................................................. 127

Capitolo V. Alcune applicazioni di economia computazionali ........... 131

1.Modello con agenti non intelligenti ........................................................ 131

2. Modello di fragilità finanziaria .............................................................. 137

3. Conclusione ......................................................................................... 145

Appendice A. Codice NetLogo .......................................................... 146

A1 – Il codice NetLogo per la rappresentazione del mondo piccolo ............ 146

A2 – Il codice NetLogo del modello di segregazione ................................... 147

A3 – Il codice NetLogo di una Rete Neurale Artificiale ............................... 149

A4 – Il codice NetLogo del modello economico con algoritmi genetici ........ 154

A5 – Il codice NetLogo del modello di borsa simulato ................................ 157

A6 – Il codice NetLogo del modello di fragilità finanziaria ........................ 161

Appendice B. Differenze di reddito tra i quartieri romani. ................ 164

Bibliografia ..................................................................................... 169

4

Si ringraziano per la disponibilità ed il preziosissimo aiuto:

Prof. Enrico Marchetti, Università degli Studi di Napoli "Parthenope",

Dipartimento di Studi Economici

Prof. Pietro Terna, Università degli Studi di Torino, Dipartimento di Scienze

Economiche e Finanziarie

Prof. Nigel Gilbert, University of Surrey, CRESS – Centre for Research in Social

Simulation

5

“In many systems, the situation is such that under some conditions chaotic

events take place. That means that given a particular starting point it is

impossible to predict outcomes. This is true even in some quite simple

systems, but the more complex a system, the more likely it is to become

chaotic. It has always been assumed that anything as complicated as

human society would quickly become chaotic and, therefore,

unpredictable. What I have done, however, is to show that, in studying

human society, it is possible to choose a starting point and to make

appropriate assumption that will suppress the chaos, and will make it

possible to predict the future, not in full detail, of course, but in broad

sweeps; not with certainty, but with calculable probabilities.”

(Hari Seldon)1

1 Isaac Asimov, 1988 (edizione 1996), Prelude to Foundation, HarperCollinsPublishers, London, p.23

6

Introduzione Il sistema economico è un aggregato di miriadi di agenti eterogenei che

interagiscono tra loro. L’idea espressa nella proposizione precedente è stata il

fondamento su cui si è sviluppato il presente lavoro. Affermare che il sistema

economico è un sistema complesso non è una definizione vuota, bensì ha

grandi conseguenze sui metodi utilizzati per l’analisi economica. Il

comportamento aggregato in un sistema complesso infatti ha proprietà spesso

non deducibili dalle proprietà degli elementi che compongono il sistema.

Ignorando interazione ed emergenza l’analisi economica, tramite l’ipotesi

dell’agente rappresentativo, può commettere ciò che in filosofia è chiamato

fallacy of composition (Delli Gatti et al. 2006). Ipotizzare la possibilità di

rappresentare il sistema economico tramite l’agente rappresentativo significa

attribuire al sistema economico nel suo complesso le stesse proprietà che

caratterizzano gli agenti che lo compongono. Tale metodologia di studio può

avere successo solo se la relazione funzionale tra le variabili è lineare e se non

esiste alcuna interazione diretta tra gli elementi che compongono il sistema.

Rifiutare le precedenti ipotesi implica riconoscere che i sistemi economici sono

appunto dei sistemi complessi, nei quali il fenomeno dell’ emergenza impedisce

l’impiego di un approccio puramente “riduzionistico”. Nel primo capitolo

cerchiamo di comprendere quali motivi hanno portato alla nascita dell’agente

rappresentativo. In particolare si evidenzia la necessità di una

microfondazione della macroeconomia, in base alla quale sono i singoli agenti

che tramite le loro azioni determinano le regolarità macroeconomiche, sono le

proprietà micro degli agenti a determinare le proprietà macro del sistema. Ciò

che si critica dunque non è la necessità della microfondazione dell’analisi,

bensì il modo in cui tale microfondazione è stata proposta. L’agente

rappresentativo si rivela come una pseudo-microfondazione (Kirman 1992) e la

critica a questo concetto viene dettagliata nel secondo capitolo. Una

caratteristica importante che impedisce l’utilizzo dell’agente rappresentativo è

la presenza di interazione tra gli agenti. L’interazione viene studiata nel terzo

capitolo in cui si valuterà anche l’effettiva importanza dell’interazione nei fatti

economici. La soluzione proposta al problema nel quarto capitolo sono i

modelli basati su agenti (ABM – Agent Based Models). Tramite i modelli

7

computazionali si riesce a ricreare la complessità propria dei sistemi

economici, e a studiare come le proprietà aggregate emergano dalle proprietà

degli agenti. Il ricercatore ha il compito di costruire il modello e di osservarne i

risultati, ma l’analisi complessiva dei vari problemi economici in oggetto può

essere condotta in due diverse direzioni. Da una parte è possibile osservare il

risultato delle ipotesi imposte sugli agenti eseguendo le simulazioni; dall’altra

è possibile partire dalle regolarità macroeconomiche per cercare di

comprendere quali ipotesi riescono a riprodurre tali regolarità. Una

caratteristica importante dei modelli ad agenti è la possibilità di implementare

algoritmi di apprendimento che simulano la razionalità limitata degli agenti, in

particolare verranno discusse le Reti Neurali Artificiali e gli Algoritmi Genetici,

presentando inoltre due semplici modelli che ne illustrano le caratteristiche.

Nel quinto capitolo vengono forniti due ulteriori esempi di modelli basati su

agenti, in particolare una simulazione del mercato azionario con agenti Zero

Intelligence, ed un modello in cui il ciclo economico è provocato dall’interazione

tra le imprese ed il sistema finanziario.

8

Capitolo I L’agente rappresentativo

1. La nascita dell’agente rappresentativo La nascita del concetto di agente rappresentativo avviene nei Principles of

Economics di Alfred Marshall. Quando Marshall per la prima volta espose la

sua idea di agente rappresentativo limitò il concetto alla sola impresa

rappresentativa. L’obiettivo era quello di studiare le condizioni di offerta dei

sistemi economici, ed in particolare di costruire una curva che mettesse in

relazione prezzi del bene e quantità offerta del bene. In sintesi, il desiderio di

Marshall era quello di costruire una curva di offerta. Marshall pensò anche di

estendere il concetto di agente rappresentativo alla teoria del consumo,

creando un moderno consumatore rappresentativo (Hartley 1997), ma decise

di accantonare il progetto:

I think the notion of representative firm is capable of extension to labour; and I

have had some idea of introducing that in to my discussion of standard rates of

wages. But I don’t feel sure I shall: and I almost think I can say what I want to

more simply in another way

(Marshall in Pigou 1956, p.437)

La definizione di impresa rappresentativa data da Marshall è la seguente:

We shall have to analyse carefully the normal cost of producing a commodity,

relatively to a given aggregate volume of production; and for this purpose we

shall have to study the expenses of a representative producer for that aggregate

volume. On the one hand we shall not want to select some new producer just

struggling into business, who works under many disadvantages, and has to be

content for a time with little or no profits, but who is satisfied with the fact that

he is establishing a connection and taking the first steps towards building up a

successful business; nor on the other hand shall we want to take a firm which

by especially long sustained ability and good fortune has got together a vast

business, and huge well ordered workshops that give it a superiority over

almost all its rivals. But our representative firm must be one which had a fairly

9

long life, and fair success, which is managed with normal ability, and which

has normal access to the economies, external and internal, which belong to that

aggregate volume of production; account being taken of the class of goods

produced, the conditions of marketing them and the economic environment

generally.

(Marshall, 1920 [1961], vol. 1, p. 317)

L’impresa rappresentativa entra nel ragionamento durante l’analisi dei

costi di produzione. Marshall era infatti convinto che l’offerta di un dato bene

dipendesse dal costo di produzione di tale bene. Il sistema economico è

costituito da una grande varietà di imprese, sia dal punto di vista

dell’esperienza che dal punto di vista della dimensione. Data l’esistenza di

economie di scala, le diverse imprese possono portare al mercato lo stesso

bene a costi largamente diseguali. Il problema fondamentale divenne perciò la

scelta del costo di riferimento, ossia quale, tra la grande varietà di costi,

dovesse essere quello preso in considerazione per la costruzione della curva di

offerta. Marshall si rese conto che in un sistema economico esistono diversi

tipi di impresa; le imprese giovani che tentano di entrare nel mercato si

possono accontentare di profitti negativi (o nulli) con la speranza di

conquistare quote di mercato e di ottenere profitti positivi nel futuro. Il prezzo

di offerta perciò non potrà essere quello di queste imprese. D’altro canto

esistono anche imprese che grazie all’esperienza acquisita nel tempo riescono

ad ottenere profitti positivi. Il prezzo di offerta dovrà perciò essere inferiore al

prezzo delle imprese giovani e superiore ai prezzi delle imprese più anziane.

Avendo solo queste informazioni è impossibile definire esattamente una curva

di offerta. L’impresa rappresentativa di Marshall serviva esattamente a tale

scopo. La definizione di impresa rappresentativa si concretizza nell’impresa il

cui costo di produzione è esattamente uguale al prezzo dell’industria, ossia è

l’impresa che ottiene profitti nulli. L’impresa rappresentativa marshalliana è

molto simile alla definizione di impresa di equilibrio in un mercato competitivo.

Infatti Pigou utilizzò una costruzione molto simile chiamandola “impresa di

equilibrio” (Pigou, 1928). Ecco cosa scrive Pigou a proposito dell’impresa

rappresentativa marshalliana:

10

Marshall's statements about his "representative firm" show that this is conceived

as an "equilibrium firm" but it is also something more. It is a firm of, in some

sense, average size. Marshall pictures it as a "typical" firm, built on a scale to

which actual firms tend to approximate; for some purposes he suggests that it

might be well to picture to ourselves several different typical firms, one, for

example, in the company form, another, probably smaller, in the private

business form.

(Pigou 1928, nota 1)

Similitudine che può essere resa ancora più chiara dal seguente passo dello

stesso Marshall:

Let us call to mind the “representative firm”, whose economies of production,

internal and external, are dependent on the aggregate volume of production of

the commodity that it makes; and, postponing all further study of the nature of

this dependence, let us assume that the normal supply price of any amount of

that commodity may be taken to be its normal expenses of production (including

gross earnings of management) by that firm. That is, let us assume that this is

the price the expectation of which will just suffice to maintain the existing

aggregate amount of production; some firms meanwhile rising and increasing

their output, and others falling and diminishing theirs; but the aggregate

production remaining unchanged. A price higher than this would increase the

growth of the rising firms, and slacken, though it may not arrest, the decay of

falling firms; with the net result of an increase in the aggregate production.

(Marshall, 1920 [1961], vol. 1, p. 342)

L’impresa rappresentativa immaginata da Marshall aveva una

connotazione piuttosto differente dall’impresa rappresentativa moderna. Lo

scopo è naturalmente quello di rappresentare una categoria di agenti, ma

piuttosto che una rappresentatività statistica è una rappresentatività

economica. L’impresa rappresentativa Marshalliana non è l’impresa costruita

dividendo il prodotto totale per il numero delle imprese; non è una “super”

impresa che produce l’intero reddito (Hartley 1997). Lo scopo, nell’idea di

Marshall, era quello di riuscire ad astrarsi dalle diversità delle imprese

11

presenti nell’economia, senza dover assumere una totale omogeneità delle

imprese stesse; grazie ad essa riesce a studiare le condizioni di equilibrio della

produzione totale in un settore industriale, senza richiedere

contemporaneamente che le imprese che fanno parte di tale settore debbano

essere tutte in equilibrio. È importante sottolineare come la costruzione

dell’impresa rappresentativa aveva uno scopo ben preciso, e che mai si è

andati oltre tale scopo. Marshall utilizza l’impresa rappresentativa solamente

come una nozione astratta in grado di superare le asperità del reale, non ha

mai visto ne utilizzato l’impresa rappresentativa come una entità con vita

propria. La nozione di rappresentatività di Marshall è piuttosto limitata dal

punto di vista del concetto moderno di agente rappresentativo; nonostante

questo ha ricevuto pesanti critiche dagli autori contemporanei (in particolare

Robbins 1928).

2. L’agente rappresentativo moderno Le critiche piovute sull’impresa rappresentativa marshalliana furono

talmente feroci da decretarne la scomparsa. Il concetto di agente

rappresentativo “moderno” venne reintrodotto negli anni ’70 con la Nuova

Macroeconomia Classica. Hoover (1988) individua tre basi, considerate la

chiave per comprendere la nuova macroeconomia classica: le decisioni degli

agenti sono basate su grandezze reali; gli agenti sono sempre in equilibrio; gli

agenti possiedono aspettative razionali. In realtà, nessuna delle precedenti

chiavi di lettura implica necessariamente l’introduzione dell’agente

rappresentativo (Hartley 1997), ed in effetti la stessa discussione che Hoover

dedica all’agente rappresentativo occupa solo una parte molto ridotta.

La difficoltà a trovare letteratura che giustifichi in modo compiuto e

rigoroso l’utilizzo dell’agente rappresentativo, obbliga a tracciarne le

caratteristiche principali prendendo spunto da autori critici, gli unici, sembra,

ad essere interessati alle basi e ai ragionamenti che sostengono a livello teorico

l’agente rappresentativo. In particolare prenderemo le mosse da Hartley (1997)

e da Grabner (2002)2 i quali criticano l’utilizzo dell’agente rappresentativo, non

senza però aver cercato di capire le motivazioni che hanno spinto la scienza

economica ad usare in modo così massiccio i modelli con agente 2 Grabner 2002 è in effetti una rielaborazione del libro di Hartley.

12

rappresentativo. In particolare si possono trovare due ordini di ragionamento.

Il primo è la critica di Lucas. Il secondo si ricollega alla tradizione Walrasiana,

ed alla ricerca di modelli di equilibrio generale per studiare i fenomeni

economici. Data la scarsità di letteratura al riguardo, Hartley (1997) procede

collezionando lavori ed articoli adatti a giustificare l’agente rappresentativo.

Normalmente i modelli ad agente rappresentativo presuppongono

semplicemente che il lettore sappia perché l’agente rappresentativo sia

utilizzato ed utilizzabile, senza scendere in dettagli teorici che lo giustifichino.

2.1 La critica di Lucas Una parte importante della letteratura macroeconomica si è sviluppata

basandosi su modelli puramente macroeconomici. Per capire come nasca

l’esigenza di introdurre l’agente rappresentativo sembra naturale andare a

cercare nel lavoro che spiega come risolvere un tale modello. Hansen e Sargent

(1980) descrivono i metodi di soluzione per modelli relativamente complicati

che utilizzano l’agente rappresentativo. L’introduzione dell’articolo citato lascia

pochi dubbi sulle motivazioni che spingono gli autori allo studio di tali modelli:

This paper describes research which aims to provide tractable procedures for

combining econometric methods with dynamic economic theory for the purpose

of modeling and interpreting economic time series. That we are short of such

methods was a message of Lucas’s (1976) criticism of procedures for

econometric policy evaluation. Lucas pointed out that agents’ decision rules, e.g.

dynamic demand and supply schedules, are predicted by economic theory to

vary systematically with change in the stochastic process facing agents. This is

true according to virtually any dynamic theory that attributes some degree of

rationality to economic agents, e.g. various version of rational expectation and

Bayesian learning hypothesis. The implication of Lucas’s observation is that

instead of estimating the parameters of decision rules, what should be

estimated are the parameters of agents’ objective functions and of the random

processes they faced historically”.

(Hansen and Sargent, 1980, p. 7)

13

La critica di Lucas (Lucas 1976) si incentra sull’osservazione che i

comportamenti e le decisioni degli agenti economici non possono rimanere

invariati al variare delle politiche adottate. Un sistema economico al tempo t

può essere definito in modo molto semplice tramite una variabile endogena , un vettore di variabili esogene , ed un vettore di shock casuali indipendenti

identicamente distribuiti . Il moto di tale economia può essere descritto con:

1 = , , ,

Dove è la variabile endogena nel periodo + 1. La funzione e il vettore di

parametri derivano dalle regole decisionali degli agenti nell’economia, e

queste decisioni sono, teoricamente, ottimali data la situazione affrontata da

ogni agente. Come afferma lo stesso Lucas, non è assolutamente detto che le

informazioni su e siano facili da ottenere, ma è ipotesi centrale nella teoria

economica (precedente a Lucas) che una volta che essi sono conosciuti (anche

approssimativamente), essi rimarranno stabili sotto ogni variazione del

comportamento della serie . Ad esempio, supponiamo di disporre di un

modello , affidabile, e di volerlo utilizzare per accertare le conseguenze di

diverse regole di politica economica e fiscale, ossia diverse scelte di

comportamento da parte delle autorità economiche per i periodi futuri. Se si

ipotizzasse che la struttura dell’economia sia indipendente dalle diverse scelte

di politica economica, o in altre parole che la struttura dell’economia non vari

sistematicamente con le diverse scelte, il confronto tra le politiche potrebbe

essere effettuato semplicemente simulando le politiche economiche e

comparando i risultati ottenuti. Il problema è secondo Lucas che “everything

we know about dynamic economic theory indicates that this presumption is

unjustified” (Lucas 1976, p. 25). In un contesto in cui gli agenti massimizzano

la propria utilità, trovare una regola decisionale ottimale costante al variare

dei parametri è impossibile. Solo problemi triviali in cui gli agenti possono

ignorare il futuro possono essere formulati in questo modo. Lo stesso

ottenimento del modello , , presuppone che gli agenti abbiano delle

opinioni sul comportamento futuro delle variabili che li interessano. Supporre

la costanza di , con politiche economiche alternative significa supporre

che le opinioni degli agenti rispetto al comportamento degli shock economici

14

sono invarianti quando il comportamento degli shock è effettivamente

cambiato. Senza questa ipotesi estrema le simulazioni di politica economica

effettuate con modelli economici invarianti sono inutili (Lucas 1976 p.25).

Per riformulare in modo corretto il sistema economico dobbiamo imporre

la dipendenza di dalle scelte di politica economica. Supponendo che

2 = , ,

Dove G è una funzione nota, è un vettore di parametri dato, e è il vettore

dei disturbi casuali. Allora la struttura dell’economia può essere scritta come

segue:

3 = , , ,

Dove il parametro decisionale è funzione del parametro che governa le

politiche. Il problema econometrico in questo contesto diventa la stima di . In questo tipo di modello le variazioni di politica economica vanno ad

influenzare sia il comportamento della serie che le decisioni degli agenti.

Se la critica di Lucas sottolinea un aspetto teorico molto interessante,

non indica la soluzione. Essa afferma che si deve stimare la funzione ma

non dice come farlo. La risposta venne dal tentativo di andare oltre le curve

macroeconomiche, o come scrisse Sargent “Beyond Demand and Supply

Curves in Macroeconomics”:

…the private decision rules change systematically with descriptions of the

dynamic environment and of government rules, a successful theoretical analysis

requires understanding the way in which optimizing agents make their decision

rules depend on the dynamic environment in general. The econometric ideal of

discovering objects that are structural, in the sense that they are invariant with

respect to the class of policy interventions to be analyzed, imposes that criterion

for success. The upshot is that the analysts attention is directed beyond

decision rules to the objective functions that agents are maximizing and the

constraints that they are facing, and which lead them to choose the decision

rules that they do.

(Sargent 1982, p. 383)

15

L’analisi da parte della nuova macroeconomia classica tenta di superare la

critica di Lucas andando a studiare le funzioni obiettivo degli agenti. Se

inseriamo nel modello la funzione di utilità degli agenti, possiamo predire la

risposta ad eventuali variazioni di politica economica. In altre parole,

conoscendo le reazioni di ogni individuo ed ogni impresa alla politica

economica possiamo dedurne il risultato aggregato. Il risultato è l’agente

rappresentativo. Data l’impossibilità analitica di trattare ogni agente in modo

indipendente, si studia un agente rappresentativo, e come Marshall con la sua

impresa rappresentativa, si cerca di dare risposte a quesiti che rimarrebbero

nascosti nei meandri matematici di un modello con agenti eterogenei. Come

scrive Hartley:

Representative agent models are thus an attempt to model rigorously the

structural relationships in an economy. If we cannot simply start with

macroeconomic equations, then we need to start with microeconomic agents. The

first step is to write down the problem faced by the microeconomic agent in

terms of fundamental parameters. This agent is assumed to be representative,

and the solution to this problem is assumed to hold for the macroeconomy.

(Hartley 1997 p.26)

Il problema è capire se effettivamente la soluzione di un modello ad agente

rappresentativo è valido anche per l’aggregato, ossia se il passaggio da

“microfondare” ad “agente rappresentativo” è consentito e corretto.

2.2 La tradizione Walrasiana Una seconda ragione che sembra aver portato all’utilizzo dell’agente

rappresentativo è il desiderio di costruire modelli di equilibrio generale

walrasiano. Come scrivono Kydland e Prescott:

By general equilibrium we mean a framework in which there is an explicit and

consistent account of the household sector as well as the business sector. To

answer some research questions, one must also include a sector for the

government, which is subject to its own budget constraint. A model within this

framework is specified in terms of the parameters that characterise preferences,

16

technology, information structure, and institutional arrangements. It is these

parameters that must be measured, and not some set of equations. The general

equilibrium language has come to dominate in business cycle theory, as it did

earlier in public finance, international trade, and growth. This framework is

well-designed for providing quantitative answers to questions of interest to the

business cycle student.

(Kydland and Prescott 1991, p. 168)

La meta dell’economia politica è perciò di sviluppare un modello completo

dell’economia, ed è proprio questa concentrazione sul modello a creare il

legame con Walras, il quale sostiene la creazione di modelli “puri”, privi delle

complicazioni del mondo reale 3 . Sviluppare modelli puri significa basare

l’intera costruzione sulla logica. Dato che il mondo reale rimane sullo sfondo, è

impossibile dare prove e controprove di tipo empirico, la logica deve essere la

struttura che tiene in piedi i modelli. Data una certa condizione, lo scienziato

economista deve chiedersi la conseguenza necessaria della data condizione. Il

fatto che l’economia è una scienza sociale rafforza la necessità di basare

modelli e conclusioni sulla logica e sul pensiero piuttosto che sull’evidenza

empirica:

Being denied a sufficiently secure experimental base, economic theory has to

adhere to the rules of logical discourse and must renounce the facility of internal

inconsistency. A deductive structure that tolerates a contradiction does so under

the penalty of being useless, since any statement can be derived flawlessly and

immediately from that contradiction. 4

(Debreu 1991, pp. 2-3)

Gli economisti devono partire da basi che sappiamo essere vere per poi

costruire rigorosamente e logicamente il modello economico. Elementi di

economia politica pura (1874 [1974]) di Walras ed i lavori di Arrow e Debreu

3 Il concetto richiama la metodologia di Galileo Galilei del “difalcare gli impedimenti”: “…quando il

filosofo geometra vuol riconoscere in concreto gli effetti dimostrati in astratto, bisogna che difalchi gli

impedimenti della materia” (Galilei, 1632 [1970], p.266) 4 Vale infatti la legge logica del “ex falso quodlibet”. ex falso quodlibet (ossia: "dal falso (segue una)

qualsiasi cosa (scelta) a piacere") indica nella logica classica un principio logico che stabilisce come da un enunciato contraddittorio consegue logicamente qualsiasi altro enunciato. (da Wikipedia)

17

sono esempi di questo approccio. I modelli sviluppati non hanno nessuna

intenzione di permettere prove empiriche, lo scopo è di spiegare le vere

relazioni che intercorrono tra le variabili economiche, depurandole dai disturbi

del reale grazie alla rigorosa dimostrazione logica di premesse e conclusioni5.

L’economia diventa perciò una scienza teorica nella definizione aristotelica,

che prescinde dagli aspetti particolari, andando alla ricerca delle cause

necessarie. Naturalmente l’economia non è riducibile ad una scienza

puramente logica, tuttavia la parte empirica rimane in secondo piano, come

rappresentazione inesatta dell’esatta teoria economica. Il problema di questo

approccio è la sua difficoltà. La ricchezza di un modello walrasiano completo è

immensa. Il numero di agenti e di beni presenti nell’economia rende quasi

impossibile una analisi efficiente degli effetti di politica economica e delle

imperfezioni dei mercati. È richiesta una semplificazione, e la semplificazione è

l’agente rappresentativo:

Rather than carrying along the number of firms and the number of households

as additional parameters, which is a nuisance, we use the standard device of

“representative” agents. The substantive aspect of this device is to build in the

assumption that all firms are alike and all households are alike, while

technically it serves to eliminate the need to carry along the numbers of each

kind of unit.

(Sargent 1979, nota 4, p. 371)

Con l’agente rappresentativo si riacquista il controllo dei metodi matematici

inutilizzabili nei modelli ad agenti eterogenei e la possibilità di sfruttare il

teorema fondamentale dell’ economia del benessere (Hartley 1997). In una

economia con agente rappresentativo diventa relativamente semplice risolvere

il problema affrontato dal pianificatore sociale. Per trovare l’ottimo paretiano si

5Ossia per sillogismi: “Sillogismo è propriamente un discorso (lógos) in cui, posti alcuni elementi, risulta

per necessità, a causa degli elementi stabiliti, qualcosa di differente da essi. Si ha così anzitutto dimostrazione, quando il sillogismo è costituito e deriva da elementi veri e primi. ... Dialettico è poi il sillogismo che conclude da elementi plausibili (éndoxa). ... Eristico è infine il sillogismo costituito da elementi che sembrano plausibili, pur non essendolo, e anche quello che all'apparenza deriva da elementi plausibili o presentatisi come tali “ (Aristotele, Topici I, 100 a18-b25).

18

ha bisogno semplicemente della massimizzazione dell’utilità dell’agente

rappresentativo. In conclusione, l’agente rappresentativo sembra essere lo

strumento che permette lo sviluppo dei modelli economici di tipo walrasiano.

La rigorosità logica è ridotta allo studio del singolo agente rappresentante la

categoria di interesse, per lo studio degli aspetti ritenuti importanti per la

comprensione del sistema economico. Grazie ad esso si possono costruire una

grande varietà di modelli economici con cui studiare le scelte della totalità

degli agenti. Il problema rimane quello di capire se è possibile considerare

l’insieme delle scelte degli agenti operanti in un sistema economico come la

scelta di un singolo agente massimizzante, se la ricchezza del modello

walrasiano è mantenuta dall’agente rappresentativo. Dobbiamo comprendere

se studiare la scelta dell’agente rappresentativo è sufficiente per capire ed

analizzare la scelta dell’aggregato di agenti.

2.3 La microfondazione La microfondazione è la risposta alle esigenze esposte. Il bisogno di

coerenza tra i modelli macroeconomici e le teorie microeconomiche è

soddisfatto grazie alla microfondazione dei modelli macroeconomici: basare le

regolarità macroeconomiche sulle scelte degli agenti che compongono

l’aggregato. Oltre ad avere una teoria economica coerente, è però necessario

poter trarre benefici dall’analisi economica. Un modello eccessivamente

complesso, soprattutto in un’epoca in cui il computer non era a disposizione di

ogni ricercatore, significava un modello difficile da risolvere e difficile da

interpretare. A risolvere la situazione è l’agente rappresentativo, un agente che

abbia caratteristiche tali da operare scelte equivalenti alla massa di agenti che

si vuole rappresentare:

It is tedious and difficult to try to understand the motivations of millions of

diverse individuals. It is here that the representative agent comes to the rescue.

By rigorously modeling the decision-making process of a single agent and

assuming these rules hold in the aggregate, we simultaneously bypass the need

to model millions of different agents while still grounding our macroeconomic

model in microeconomics

(Hartley, 1997, p.29)

19

L’agente rappresentativo diviene il modo di uscire dal dilemma coerenza-rigore

(per cui è necessaria la microfondazione) vs utilità-trattabilità (che richiede la

riduzione del sistema economico). La necessità di avere una teoria economica

corretta deve essere coniugata con l’esigenza della trattabilità, in modo che la

teoria economica possa essere utile, oltre che rigorosa. Il problema centrale

diviene, come è già stato detto, capire se l’agente rappresentativo è soluzione al

dilemma sopra affermato, in particolare se la trattabilità dei modelli economici

non sia raggiunta a scapito del rigore teorico.

Le ipotesi necessarie affinché l’aggregato di agenti si comporti come un

singolo agente massimizzante sarà l’argomento del prossimo paragrafo.

3. Agente rappresentativo: ipotesi necessarie Il passaggio dall’idea della microfondazione all’agente rappresentativo

non è assolutamente banale. La correttezza di un tale passaggio dipende dalla

capacità di aggregare la miriade di agenti facenti parte di un sistema

economico, nel singolo agente che deve rappresentare le scelte della collettività

come aggregato. La questione, come si è detto, non è banale e richiede la

specificazione di particolari ipotesi sul comportamento degli agenti. In primo

luogo non devono esistere interazioni dirette tra gli agenti6. Tutto ciò che si

trova al di fuori della funzione obiettivo viene annullato dall’aggregazione delle

preferenze. L’agente rappresentativo cattura il comportamento tipico in un

dato momento e ne congela le caratteristiche; i parametri delle funzioni

obiettivo sono costanti e non esiste alcun rapporto tra le variazioni

dell’ambiente7 in cui operano gli agenti e le preferenze8 dell’agente. Dal punto

di vita matematico, il comportamento aggregato dei singoli agenti deve essere

equivalente al comportamento di un singolo agente massimizzante, agente che

verrà scelto al fine di rappresentare la collettività. Un primo modo per ottenere

una simile relazione tra le proprietà degli individui e il comportamento

aggregato è ipotizzare che tutti gli agenti siano identici. Tale ipotesi

semplificatrice, anche se spesso usata nei modelli macroeconomici, è

chiaramente irreale. Una strada alternativa e più rigorosa è quella di imporre

6 “…there is no direct interaction among economic units” (Delli Gatti et al. 2006, p.5)

7 Con ambiente si intende l’insieme degli agenti e delle istituzioni che compongono il sistema

economico. 8 Con preferenze si intende in generale la funzione obiettivo che determina le scelte dell’agente.

20

particolari ipotesi sulle funzioni obiettivo degli agenti. Dal famoso articolo di

Gorman (1953) si sono susseguiti diversi lavori contenenti condizioni

aggiuntive per la consistenza dell’aggregazione. L’aspetto fondamentale non è

quale ipotesi si impone per rendere coerenti le scelte della collettività con le

scelte dell’agente rappresentativo, bensì è affrontare il problema

dell’aggregazione. Ipotizzare agenti identici o ipotizzare agenti con specifiche

caratteristiche è invariante dal punto di vista del modello, ma è importante dal

punto di vista teorico.

3.1 Il problema dell’aggregazione Seguendo Lewbel (1989) supponiamo di avere una economia in cui tutti

gli individui possiedono funzioni di domanda 9 (derivate dalla funzione di

utilità) della forma:

4 = + + , ,

Dove è la domanda individuale per il bene , è il vettore dei prezzi, è il

reddito dell’individuo, è il parametro delle preferenze che può variare tra gli

individui, è una funzione qualsiasi di , , e , e , e sono funzioni che

dipendono dai prezzi. L’equazione (4) è la forma più generale di domanda

avente curva di Engel lineare nel reddito ed una funzione del reddito. Tale

forma è utile per l’aggregazione, dato che tutti gli effetti non lineari sono

incorporati nel termine . La domanda aggregata, o pro-capite, ossia la

domanda dell’agente rappresentativo, è ottenuta prendendo la media

dell’equazione (4). Per studiare come la domanda aggregata differisca dalla

domanda del consumatore rappresentativo, possiamo definire una funzione !

come la soluzione dell’equazione:

9 Lewbel prende in considerazione il problema dell’aggregazione delle funzioni di domanda. Come

afferma Grabner (2002), non riferendosi direttamente al lavoro di Lewbel: “To a large part this is due to the fact that aggregation is much less problematic for firms since they are not subject to budget constraints (only technological ones) and thus no wealth effects exist. Only substitution effects along the production frontier occur when prices change. This allows for exact aggregation of production sets and the formulation of a joint profit maximization problem, the solution of which perfectly corresponds to decentralized actions”. È da notare che non essendo le imprese individui, ma gruppi di individui, si può sollevare il problema dell’aggregazione anche all’interno delle imprese stesse (Hartley 1997).

21

5 #, , ! = $%, , &

Dove $∙ denota l’operatore valore atteso sulla distribuzione delle variabili tra

tutti gli individui dell’economia, e # = $# è il reddito medio. La

differenziabilità e la monotonocità locale della funzione rispetto a è

sufficiente a garantire l’esistenza di !. È da notare che ! dipende da e dalla

distribuzione di e tra gli individui dell’economia. Sia ( = $%&, ossia la

domanda media pro capite del bene . Utilizzando l’operatore di valore atteso

sull’equazione (4) ed utilizzando la (5) otteniamo:

6 ( = + # + #, , !

La quale assomiglia molto alla (4). Infatti, se *+, … , - è la funzione di utilità

di un individuo (con preferenze ) che porta all’equazione (4), allora la

domanda pro capite nell’economia sarà uguale alla domanda che deriva dalla

massimizzazione di *.(, … , (- soggetta al vincolo ∑ ( = #. In altre parole,

la domanda aggregata dell’economia dovrà essere pari alla domanda del

consumatore rappresentativo avente preferenze ! . Il problema che sorge

nell’interpretazione della (5) come la domanda del consumatore

rappresentativo, deriva dal fatto che ! dipende in generale da e #, rendendo

non legittima la sua inclusione in una funzione di utilità. Sono necessarie due

ipotesi per rendere ! indipendente da prezzi e reddito medio: la prima riguarda

la forma delle funzioni di domanda e di utilità degli individui, la seconda

riguarda la distribuzione del reddito tra gli individui. Le funzioni che

permettono di rendere le preferenze del consumatore rappresentativo

indipendenti dai prezzi sono elencate dal Teorema 1 in Lewbel (1989)10. Per

quanto riguarda la dipendenza dal reddito medio, definiamo 0 la proporzione

di individui della popolazione aventi reddito pari a = 1#; sia 2 l’insieme di

tutti i valori di 1 = /# presenti nella popolazione (tutti i valori di s per cui

0 ≠ 0; e sia l’insieme di tutti i 0 con 1 ∈ 2. Ogni distribuzione discreta può

essere parametrizzata in questo modo. Si dice che la distribuzione è “mean

scaled” se non dipende da # . Intuitivamente, supponendo costante nel

10

Le funzioni sono: Hometetiche, Quasi-Homotetiche, PIGL, PIGLOG, Quadratic, extendend PIGL, extended PIGLOG, LINLOG

22

tempo, se dovesse variare il reddito medio # di una certa percentuale 7, allora

il reddito di ogni individuo deve variare della stessa percentuale 7. Questo è un

caso particolare. Più in generale le variazioni della distribuzione devono essere

proporzionali, ossia la distribuzione relativa deve rimanere costante. L’ipotesi

di “mean scaling” perciò non impone restrizioni alla distribuzione ma ai

cambiamenti della distribuzione. Lewbel (1989) dimostra che l’ipotesi di “mean

scaling” rende le preferenze dell’agente rappresentativo indipendenti dalla

distribuzione del reddito permettendo l’aggregazione, naturalmente rimanendo

nei confini delle forme funzionali elencate nel teorema 1 dello stesso articolo di

Lewbel.

I diversi approcci adottati per lo studio del problema di aggregazione

hanno condotto sempre a risultati simili: senza ipotesi piuttosto restrittive

sulle funzioni che delineano il comportamento degli agenti e sulla

distribuzione delle caratteristiche tra gli agenti, la funzione aggregata contiene

un errore sistematico. Può essere interessante seguire il lavoro di Keller

(1980), nel quale tale errore viene individuato grazie all’approssimazione di

Taylor. Supponiamo che tutti gli individui abbiano una funzione di

comportamento della forma:

7 = % , … , 9 & ≡ %;&

Dove è la quantità di interesse, ; = , … , 9′ è il vettore delle caratteristiche

individuali che determinano il comportamento dell’agente. Tali caratteristiche

possono essere individuate come il reddito, la ricchezza e le preferenze. Per

ipotesi ; è continua e derivabile fino all’ordine <. Le caratteristiche degli

individui sono distribuite tra gli individui = 1, … , = secondo la funzione di

densità congiunta >, … , 9 . Supponiamo che la distribuzione abbia i

momenti centrali esistenti almeno fino al terzo. Il momento primo è definito

come:

8 ;@ = A ;>;B;

Ricordando che ; è un vettore. La matrice delle varianze e covarianze C è:

23

9 D = A; − ;@; − ;@′>;B;

Dove l’integrale della matrice è definito come matrice di integrali. La matrice D è di ordine F × F. Noi siamo interessati al comportamento aggregato

10 H = I = = ∙ J = = A ;>;B;9K

O, in termini pro capite,

11 J ≡ H= = A ;>;B;

Si può dimostrare che il comportamento aggregato pro capite, J, definito nella

(11) può essere approssimato nel modo seguente11:

12 J ≈ ;@ + 12 7M@ D Dove ;@ è il comportamento individuale (7) calcolato nel punto ;@ , come

definito nella (8), M@ è l’hessiano della funzione ; , e D è la matrice delle

varianze e covarianze come definita nella (9); 7 è l’operatore traccia. Inoltre si

può dimostrare che l’approssimazione è esatta se vengono rispettate alcune

condizioni sulla funzione di comportamento individuale ; o sulla funzione

di distribuzione >12. A prescindere dalle dimostrazioni che possono essere

trovate in Keller (1980), è interessante notare come la (12) mostra l’errore

commesso quando si aggrega. Se la funzione di comportamento ; non è

lineare (ossia se l’hessiano è diverso da zero) e se le caratteristiche degli agenti

11

Intuitivamente la (12) si ottiene calcolando il comportamento individuale definito nella (6) attorno alla media ;@ utilizzando l’approssimazione di Taylor del secondo ordine. In parole povere l’approssimazione di Taylor del secondo ordine di attorno al vettore ;@. La sostituzione di tale approssimazione di Taylor nella (11) permette di ottenere la (12). Per approfondire Lewbel (1989, p. 560) 12

Le condizioni di approssimazione esatta sono: a)la funzione ; è quadratica (le derivate terza e superiori si annullano) b) la distribuzione congiunta >; è simmetrica attorno alla media e la funzione ; è di terzo grado. La dimostrazione intuitiva è che rispettando le condizioni a) o b) si annullano i termini successivi al secondo dell’approssimazione di Taylor, rendendo l’approssimazione esatta.

24

non sono identiche tra loro (la matrice D è diversa da zero) si commette sempre

un errore quando si aggregano le funzioni di comportamento semplicemente

prendendo in considerazione le caratteristiche medie degli agenti (utilizzando

;@ come funzione dell’agente rappresentativo) . Il secondo termine della (12)

“…can be used as a first-order approximation of the aggregation error made

when aggregate behavior per capita is approximated by the behavior of the

average individual (with characteristics x), as is often done.”

(Keller, 1980, p.561)

Nel caso non valgano le condizione di approssimazione esatta date da Keller,

all’errore sottolineato deve essere aggiunto l’errore insito nell’approssimazione

di Taylor, errore che spesso è significativo.

25

Capitolo II Critiche all’agente rappresentativo

1.Critica all’agente rappresentativo marshalliano Nel primo paragrafo del capitolo precedente è stata descritta la nascita

dell’impresa rappresentativa. Marshall, nel tentativo di costruire una curva di

offerta ebbe il problema di decidere quale impresa dovesse essere il riferimento

per costruire tale curva. Il problema nasce dalla consapevolezza di trovarsi in

un mondo che presenta eterogeneità. Le imprese di una stessa industria

possono differire in diversi aspetti, ed offrire uno stesso bene a prezzi diversi.

L’impresa rappresentativa è l’impresa che ha una vita abbastanza lunga, un

successo non eccessivo e diretta con abilità normale (Marshall 1920 [1961])13.

Il principale critico nei confronti dell’impresa rappresentativa marshalliana fu

Robbins:

The Marshallian conception of a Representative Firm has always been a

somewhat unsubstantial notion. Conceived as an afterthought […] it lurks in the

obscurer corners of Book V [of Principles] like some pale visitant from the world

of the unborn waiting in vain for the comforts of complete tangibility. Mr. Keynes

has remarked that, “this is the quarter in which in my opinion the Marshall

analysis is least complete and satisfactory and where there remains most to

do.”14

(Robbins 1928, p. 387)

Il primo punto della critica di Robbins, e altri contemporanei di Marshall,

riguardava l’utilità dell’impresa rappresentativa. Dato lo scopo dell’impresa

rappresentativa, di superare le difficoltà nell’analisi dell’offerta quando i

produttori sono eterogenei (Robins 1928, p.391), la questione di interesse è

comprendere se effettivamente l’impresa rappresentativa risponde alle esigenze

13

In Marshall, deve essere una impresa “which had a fairly long life, and fair success, which is managed

with normal ability..”. Vedere citazione a pagina 2 14

J. M. Keynes, Alfred Marshall, 1842-1924 , The Economic Journal, Vol. 34, No. 135. (Sep., 1924), pp. 311-372. Citato in Robbins 1928.

26

che ne richiedono la nascita. La risposta di Robbins a tale questione è

inequivocabile:

There is no more need for us to assume a representative firm or representative

producer, than there is for us to assume a representative piece of land, a

representative machine, or a representative worker

Robbins (1928,p.393)

Robbins non è il solo a criticare Marshall; Sraffa, introducendo il concetto di

concorrenza monopolistica (Wolfe 1954), afferma che l’equilibrio è in generale

determinato anche in assenza di una impresa rappresentativa, e che tale

equilibrio normalmente non avrà un unico prezzo; produttori diversi

chiederanno per beni simili prezzi differenti. Il ragionamento di Sraffa porta

all’inutilità dell’impresa rappresentativa: l’esigenza di stabilire un’unica curva

di offerta per una data industria è semplicemente sbagliata (Hartley 1997).

La critica non si limita a contestare l’utilità dell’impresa rappresentativa

nell’analisi economica, bensì vuole dimostrare anche la sua incapacità di

rappresentare vari fatti economici. Un problema piuttosto importante si

manifesta quando si tenta di rappresentare la crescita economica. Marshall

(1920 [1961]) afferma che la crescita dell’industria poteva essere rappresentata

da una crescita proporzionale dell’impresa rappresentativa, tale crescita però

riesce a tenere conto solo dell’aumento di dimensione media delle imprese già

esistenti nel sistema economico. L’impresa rappresentativa nasconde il

progresso causato dal fenomeno della divisione del lavoro, riconosciuta come

forza fondamentale di progresso economico da Adam Smith. Come gli spilli

venivano prima prodotti da un solo artigiano e poi da più individui, così i beni

che prima venivano prodotti da una sola impresa saranno successivamente

prodotti da più imprese, ognuna delle quali produce solo una parte del

prodotto complessivo. La divisione del lavoro è un concetto problematico per

l’impresa rappresentativa:

With the extension of the division of labor among industries the representative

firm, like the industry of which it is a part, loses its identity. Its internal

economies dissolve into the internal and external economies of the more highly

27

specialized undertakings which are its successors, and are supplemented by

new economies.

(Young 1928, p. 538)

L’impresa rappresentativa è perciò inadatta a tenere conto di una qualsiasi

crescita produttiva che non sia semplicemente un allargamento del processo

produttivo già esistente. Il problema non si presenta solo in caso della

continua riorganizzazione del processo produttivo. La crescita può essere

infatti causata da un aumento della produzione delle imprese esistenti, ovvero

da un aumento del numero delle imprese esistenti. Se ad accadere è

quest’ultimo evento, il quale è sicuramente non meno probabile del primo,

l’impresa rappresentativa smette di essere significativa. Il prodotto

dell’economia cresce mentre l’impresa rappresentativa rimane immutata,

celando di nuovo un evento economico fondamentale. Sotto tali condizioni

l’impresa rappresentativa non solo è non necessaria ma diviene anche

fuorviante (Robbins 1928, p.398).

La critica che Robbins ritiene fondamentale riguarda però la capacità

dell’impresa rappresentativa di nascondere l’eterogeneità dei fattori produttivi,

in particolare dell’abilità manageriale. L’ipotesi implicita che tutti gli

imprenditori abbiano una abilità media conduce ai limiti più gravi della teoria

di Marshall. Se il prezzo di mercato di una certa industria è pari al prezzo

dell’impresa rappresentativa, e si ammette la presenza di una sorta di

arbitraggio, si deve imporre implicitamente che gli imprenditori abbiano tutti

l’abilità (o minimo l’abilità ) pari all’abilità dell’imprenditore rappresentativo. Il

prezzo di mercato non tende a soddisfare l’imprenditore marginale, bensì

l’imprenditore medio, rendendo impossibile la vita economica dell’imprenditore

marginale. Se si analizza il settore produttivo nel suo complesso sembra ovvio

che in ogni data situazione la posizione dell’abilità manageriale è esattamente

identica alla posizione degli altri fattori produttivi: le terre migliori sono

limitate quanto gli uomini migliori (Robbins 1928)15. L’ipotesi che il prezzo di

mercato si adegui al prezzo dell’imprenditore medio è impossibile. Non può

accadere semplicemente perché in tal caso gli imprenditori meno abili

dell’imprenditore medio uscirebbero dal mercato, rendendo impossibile

15

O come afferma Robbins: The best land and the best men are limited (Robbins, 1928, p.401)

28

all’imprenditore medio essere medio. Il concetto è espresso in una forma

migliore da Robbins (1928, p.402):

Mr. Henderson16 should reflect that if all entrepreneurs were at least of average

managerial ability, they would at once cease to be average.

Robbins (1928, p.402)

L’insieme di tali critiche, con in testa il famoso (e qui più volte citato)

lavoro di Robbins è fatale all’impresa rappresentativa di Marshall. Nonostante

non mancassero i difensori, l’impresa rappresentativa vide la sua fine.

Nell’analisi di Wolfe (1954) uno dei motivi fondamentali nel distrarre la scienza

economica dall’impresa rappresentativa fu lo sviluppo delle teorie della

concorrenza imperfetta e della concorrenza monopolistica (Wolfe 1954, p.339).

2. Superamento della Critica di Lucas e la Tradizione Walrasiana

Seguendo la strada indicata da Robbins nella sua critica all’impresa

rappresentativa marshalliana, possiamo iniziare la critica all’agente

rappresentativo “moderno” cercando di comprendere se il suo utilizzo abbia

effettivamente dato una risposta alle esigenze che ne hanno indotto la nascita.

L’esigenza di microfondare i modelli macroeconomici deriva originariamente

dal tentativo di superare la Critica di Lucas e di costruire modelli che fossero

coerenti con la tradizione Walrasiana.

La critica di Lucas, come è stato notato nel capitolo precedente, presenta

una interessante questione teorica senza indicarne la soluzione. La scienza

economica ha tentato di superare la critica di Lucas andando a studiare quella

parte del sistema economico che sembrava invariante ai cambiamenti di

politica economica. Sono state così definite delle equazioni strutturali, ossia

equazioni che non variano con le decisioni delle autorità politiche ma sono

formate dai parametri “profondi”: tecnologie e preferenze. Riuscire ad

16

La critica di Robbins è indirizzata a Mr. Henderson “as the product of Marshallian influence”. In particolare critica “Supply and Demand” di Henderson.

29

identificare tali parametri profondi e a separarli da quelli variabili può essere

una impresa molto difficile. Il primo problema da affrontare è comprendere se

effettivamente esistano parametri economici invarianti. Lucas, in particolare,

considera appropriato tenere costanti i parametri di preferenza e le tecnologie

nella speranza, vana secondo Hartley (1997), che tali parametri siano

effettivamente costanti. Anche supponendo l’esistenza di parametri invariabili

rimane il problema fondamentale di come riconoscerli e di come stimarli:

we need to recognize explicitly that what we call an agent’s deep taste or

technology parameters are actually merely approximations of the truly deep

parameters and, thus, can vary with regime.

(Hartley 1997,p.36)

I parametri economici non sono delle costanti che possono essere fissate, la

loro esistenza sembra effimera in quanto non è possibile stimarli e non è

possibile identificarli. I modelli con agente rappresentativo tengono costanti

parametri che non possono essere immaginati costanti in quanto ogni

comportamento economico si forma attraverso l’interazione tra agente e

ambiente circostante. L’agente rappresentativo nel tentativo, probabilmente

riuscito, di semplificazione dell’economia tralascia aspetti fondamentali

dell’economia. In Hartley (1997) si trova una lunga dissertazione riguardo alla

costanza di parametri che effettivamente non possono essere ritenuti costanti.

Se Lucas critica la teoria economica in quanto non prende in considerazione

fattori che vengono influenzati dalle politiche economiche, allora lo stesso

approccio dell’agente rappresentativo può essere criticato in quanto nella sua

semplificazione tende a mantenere invarianti parametri che difficilmente

possono essere ritenuti tali. Il punto non è che sia impossibile concepire questi

parametri; bensì che i parametri utilizzati in molti modelli ad agente

rappresentativo non possono ragionevolmente essere supposti costanti

(Hartley 1997). Sembra centrale anche la dimensione temporale considerata,

richiedendo in tal caso una attenta qualificazione temporale dell’analisi. È

importante sottolineare però che l’ambiente in cui operano gli agenti dipende

fortemente dalle azioni degli agenti stessi. Imponendo l’ipotesi dell’agente

rappresentativo si elimina un fattore essenziale nella determinazione

30

dell’ambiente economico: l’interazione tra gli agenti. Pur supponendo

l’invarianza dei coefficienti relativamente ad un dato arco temporale non è

possibile prescindere dall’effetto che l’ambiente economico ha sulla lunghezza

di tale arco temporale. La reazione che gli agenti hanno nei confronti delle

politiche economiche non riguarda solamente la variazione del proprio

comportamento, ma può comprendere anche le determinanti di tale

comportamento. Tali reazioni divengono allora non lineari e non comprensibili

attraverso la finzione dell’agente rappresentativo.

Il tratto distintivo dell’approccio Walrasiano alla teoria economica è, come

abbiamo visto, quello di una scienza teorica nel senso aristotelico. Data la

scarsa possibilità di sperimentare empiricamente le vere relazioni che formano

la struttura base dell’economia, si deve indagare l’economia attraverso la

logica. Si pongono ipotesi essenziali che riteniamo vere e partendo da esse si

costruisce la teoria economica tramite sillogismi. Se le ipotesi sono false, falsa

è la conclusione che costruiamo a partire da tali ipotesi. Eliminando le

asperità del reale si arriva alla struttura vera dell’economia. La questione che

si pone è comprendere quali complicazioni siano eliminabili e quali no. Se un

ricercatore vuole studiare il sistema economico è costretto a porre alcune

ipotesi che permettano di analizzare l’oggetto di studio. Le ipotesi imposte però

hanno una influenza significativa sui risultati per le motivazioni esposte sopra.

Ipotesi errate portano a risultati sbagliati. È di vitale importanza allora la

distinzione tra le ipotesi che sono irrilevanti dal punto di vista del risultato e

quelle ipotesi che invece hanno influenza sulla struttura fondamentale del

sistema economico. Se è possibile imporre le ipotesi irrilevanti è assolutamente

sbagliato imporre ipotesi che modificano il sistema economico nei suoi

fondamenti (Hartley 1997). E’ evidente che nella realtà esiste eterogeneità sia

tra le persone che tra le imprese. Seguendo il ragionamento precedente,

utilizzare l’ipotesi di agente rappresentativo nell’approccio walrasiano implica

imporre l’ ipotesi che le caratteristiche fondamentali dell’economia non siano

influenzate dal fatto che gli agenti economici differiscono uno dall’altro. Se tale

ipotesi è vera, allora l’utilizzo dell’agente rappresentativo è legittimo. Se tale

ipotesi è falsa, allora l’utilizzo dell’agente rappresentativo in un modello di tipo

walrasiano è ingiustificato:

31

Now, we know that in the actual world people are different. If we believe that

the representative agent assumption is useful in a Walrasian model, we must

also believe that our actual economy would not look very different than a world

composed of clones or identical robots.

(Hartley 1997, p.66)

Come si diceva in precedenza l’agente rappresentativo semplifica di molto

l’analisi; la domanda allora è se ha valore un’analisi semplice ma sbagliata,

rispetto ad una analisi complicata e meno limpida nelle conclusioni ma che

cerca di avvicinarsi maggiormente alla realtà delle relazioni economiche.

3. Una critica formale all’agente rappresentativo “A modern economy presents a picture of millions of people, either as

individuals or organized into groups and firms, each pursuing their own

disparate interests in a rather limited part of the environment.” (Kirman 1992, p.117)

Il lavoro fondamentale di Kirman (1992) per la critica all’agente

rappresentativo inizia con una constatazione ovvia, ma non per questo meno

importante. Un sistema economico è formato da milioni di decisori individuali,

ognuno dei quali persegue il proprio fine interagendo direttamente con le altre

entità, creando l’emergenza17 di un comportamento collettivo. La possibilità di

rappresentare tale comportamento collettivo con un singolo agente

massimizzante è il problema fondamentale affrontato. Certamente l’agente

rappresentativo semplifica di molto l’analisi, certamente rende comprensibili i

risultati. La domanda è se ha effettivamente valore un risultato semplice e

comprensibile nel momento in cui esso è sbagliato. Capire se il risultato è

sbagliato è la meta.

L’ordine apparente derivante dall’interazione degli agenti economici è

solitamente spiegato con la “mano invisibile” di Adam Smith. Nonostante gli

interessi conflittuali degli individui, il risultato del perseguimento dei propri

17

Emergenza è la traduzione del termine inglese “emergence”. Da Wikipedia: “…emergence refers to the way complex systems and patterns arise out of a multiplicity of relatively simple interactions”. (http://en.wikipedia.org/wiki/Emergence)

32

fini egoistici è socialmente soddisfacente. Il mercato è il meccanismo che

provvede alla coordinazione delle azioni individuali. Il paradosso è che i

modelli macroeconomici che tentano di dare una rappresentazione della realtà

economica (anche semplificata) non possiedono nessuna attività che necessiti

di una tale coordinazione. Questo perché normalmente assumono che le scelte

di tutti gli agenti di un dato settore possono essere considerati come la scelte

di un solo agente massimizzante il cui comportamento coincide con le scelte

eterogenee degli individui (Kirman 1992). Ciò che si vuole tentare di mostrare

nel presente capitolo, seguendo l’articolo di Kirman (1992), è che

this reduction of the behavior of a group of heterogeneous agents even if they

are all themselves utility maximizers, is not simply an analytical convenience as

often explained, but is both unjustified and leads to conclusions which are

usually misleading and often wrong.

(Kirman 1992, p.117)

La critica all’agente rappresentativo prenderà spunto dalle questioni

poste nell’articolo di Kirman. In primo luogo non esistono giustificazioni

formali plausibili per l’ipotesi che la collettività si comporti come un agente

massimizzante. La massimizzazione individuale non implica razionalità

collettiva, non esiste una relazione diretta tra il comportamento individuale ed

il comportamento aggregato. Secondo, anche se accettassimo che le scelte

aggregate possano essere rappresentate dalla scelta di un singolo agente, la

reazione dell’agente rappresentativo ad una variazione dei parametri del

modello originario può non essere la stessa della reazione della collettività che

esso rappresenta. In terzo luogo, anche se fossimo nella situazione in cui le

prime due critiche fossero inapplicabili, può accadere che dati due stati del

mondo, l’agente rappresentativo ne preferisca uno quando tutti gli agenti

rappresentati preferiscono l’altra. Non si può perciò utilizzare l’agente

rappresentativo per le analisi di economia del benessere. Infine, i modelli ad

agente rappresentativo hanno particolari svantaggi quando sono impiegati in

analisi empiriche. La somma di comportamenti semplici di tanti individui

eterogenei può creare dinamiche complesse, mentre la costruzione di un

singolo individuo per rappresentare tali dinamiche complesse, può portare a

33

dover ipotizzare per l’individuo comportamenti “particolari”. Inoltre, dato che

l’agente rappresentativo è frutto di una particolare ipotesi sui comportamenti

individuali, il test empirico di un modello ad agente rappresentativo prova le

due ipotesi congiunte: la particolare ipotesi che si sta tentando di verificare e

l’ipotesi di agente rappresentativo.

3.1Agenti versus Agente: il problema dell’aggregazione Il problema fondamentale che si presenta con l’utilizzo dell’agente

rappresentativo è il “problema dell’aggregazione”. Come è stato visto nel

capitolo precedente, per ottenere una aggregazione rigorosa delle preferenze

degli agenti, devono essere imposte ipotesi molto restrittive sulle funzioni che

rappresentano il comportamento degli agenti e sulla distribuzione del reddito.

Il metodo di aggregazione delle preferenze influisce sia sulle reazioni

dell’agente rappresentativo, le quali possono contenere errori rispetto alla

somma delle reazioni degli agenti (Keller 1980), sia sul comportamento

aggregato dell’economia: l’esistenza, o l’assenza, di equilibri unici e stabili. La

questione non è di poco conto. I modelli con agente rappresentativo spesso

richiedono che l’equilibrio economico sia unico e stabile. La stabilità assicura

una giustificazione all’ipotesi di equilibrio; se l’equilibrio è stabile infatti,

l’ipotesi che l’economia si trovi effettivamente in un punto così particolare è

plausibile. L’equilibrio, a sua volta, è fondamentale per assicurare legittimità

all’analisi di statica comparata, cioè per valutare gli effetti di eventuali

variazioni di parametri e/o di variabili esogene. Queste proprietà dipendono

dalle caratteristiche della funzione di eccesso di domanda aggregata. Se le

ipotesi normalmente imposte sulle funzioni di eccesso di domanda individuale

assicurano tali proprietà, non è affatto detto che tali proprietà si conservino

nel passaggio alla funzione aggregata. Nell’assenza di risultati precisi sulla

relazione tra comportamento individuale e comportamento aggregato, il modo

più semplice di procedere è di assumere che l’intera economia si comporti

come un singolo individuo. Un modo per giustificare tale ipotesi è assumere

che, se gli individui godono di certe proprietà, allora anche l’aggregato deve

34

godere delle stesse proprietà. L’errore di composizione (fallacy of composition18)

è evidente. Affinché sia possibile utilizzare un agente rappresentativo, senza

commettere errori, è necessario imporre le ipotesi ben precise a cui si è

accennato prima, e di cui si è trattato nel capitolo precedente. Come afferma

Lewbel, al termine del suo lavoro sull’aggregazione delle preferenze:

“It is a fact that the use of a representative consumer assumption in most macro

work is an illegitimate method of ignoring valid aggregation concerns.”

(Lewbel 1989, p.631)

Supponendo soddisfatte le condizioni formali richieste per l’esistenza

dell’agente rappresentativo, rimane il problema accennato in precedenza

riguardo alla mancanza di interazione diretta tra gli agenti. Per superare il

problema normalmente si suppone che l’economia si trovi costantemente in

equilibrio. In questo modo tutte le attività individuali, l’arbitraggio coinvolto

nella ricerca di opportunità profittevoli, riflettono i movimenti attorno

all’equilibrio. Di conseguenza il singolo individuo rappresentativo sarebbe

solamente una finzione che descrive in modo soddisfacente l’evoluzione

fondamentale dell’economia (Kirman 1992).

Affinché si possa analizzare l’economia come un sistema che si trova

sempre nell’intorno dell’equilibrio, si deve ipotizzare e dimostrare che

l’economia è un sistema stabile e con un unico equilibrio. Se il sistema

economico non godesse di tali proprietà, l’agente rappresentativo sarebbe solo

un modo per garantire stabilità e unicità dell’equilibrio, non garantite dal

sistema sottostante. In altre parole, l’agente rappresentativo piuttosto che

rappresentare gli agenti economici diviene un vincolo agli agenti economici.

Entrambe le proprietà di stabilità ed unicità dell’equilibrio rivestono un

ruolo fondamentale. Senza la stabilità, lo stesso concetto di equilibrio perde

notevolmente importanza:

If economists successfully devise a correct general equilibrium model, even if it

can be proved to possess an equilibrium solution, should it lack the institutional 18

Definizione di Wikipedia: “A fallacy of composition arises when one infers that something is true of the whole from the fact that it is true of some part of the whole.” (http://en.wikipedia.org/wiki/Fallacy_of_composition)

35

backing to realize an equilibrium solution, then that equilibrium solution will

amount to no more than a utopian state of affairs which bears no relation

whatsoever to the real economy.

(Morishima 1984, citato in Kirman 1989, p. 127)

Senza un equilibrio unico sarebbe impossibile utilizzare l’analisi di statica

comparata. Il modo più diretto per trovare le condizioni necessarie affinché il

sistema goda di stabilità ed unicità dell’equilibrio è di imporre ipotesi a livello

di comportamento individuale.

Supponiamo di avere una economia di puro scambio, e supponiamo di

imporre le ipotesi normalmente adottate per il consumatore individuale. Ogni

agente avrà curve di indifferenza “well behaved” e una dotazione iniziale

positiva di tutti i beni. Da questa combinazione di preferenze e dotazioni è

derivata la funzione di domanda individuale, e di conseguenza, sottraendo le

dotazioni iniziali, la funzione di eccesso di domanda individuale. Sommando

su tutti gli individui otteniamo la funzione di eccesso di domanda per l’intera

economia. Sotto alcune condizioni19, tre proprietà saranno trasmesse dalla

funzione di eccesso di domanda individuale alla funzione di eccesso di

domanda aggregata: continuità; il valore dell’eccesso di domanda deve essere

zero per tutti i valori positivi dei prezzi, ossia che il vincolo di bilancio per

l’economia deve essere soddisfatto (Legge di Walras); e che la funzione di

eccesso di domanda è omogenea di grado zero (contano solo i prezzi relativi).

Purtroppo queste sono anche le uniche proprietà che si trasmettono dalle

funzioni individuali alla funzione aggregata (Kirman 1992). In particolare a

livello aggregato può non essere soddisfatto l’assioma debole delle preferenze

rivelate, ossia può avvenire che la collettività sceglie x quando è disponibile y

in una data situazione e sceglie y quando è disponibile x in un’altra situazione

19

Agenti con curve di indifferenza “well behaved”, dotazione iniziale positiva di tutti i beni. Da queste deriva una funzione di domanda “well-behaved” ed una funzione di eccesso di domanda. Sommando tutti gli individui otteniamo l’eccesso di domanda aggregato. Se vengono considerati solo i prezzi maggiori di N, con N > 0 allora tre proprietà si trasmettono dalla funzione di eccesso di domanda individuale alla funzione di eccesso di domanda aggregata: continuità, legge di Walras, omogeneità di grado zero. (Kirman 1992) La continuità della funzione di eccesso di domanda aggregato potrebbe essere ottenuta anche in caso di non continuità delle funzioni individuali se gli agenti sono molti e se le loro preferenze sono disperse. (Varian 1992)

36

(Varian 1992). Questo non può avvenire per individui che soddisfano le ipotesi

standard:

Aggregate community demand might violate revealed preference axioms that

would be satisfied if there were just one consumer. As a result, representative

consumer models could misrepresent the effects of changes in endowments,

technology or policy on prices and aggregate consumption.

(Jerison 2006, p.1)

Inoltre, affinché l’equilibrio sia unico devono essere soddisfatte una delle due

seguenti condizioni: tutti i beni presenti nell’economia sono sostituti lordi per

ogni vettore di prezzo; vale il teorema dell’unicità dell’equilibrio. La seconda

condizione permette un risultato più generale, ma è difficilmente giustificabile

economicamente (Varian 1992) 20. Le condizioni descritte valgono però solo per

le funzioni di eccesso di domanda aggregate. I risultati di Sonnenschein,

Debreu e Mantel mostrano che è impossibile ipotizzare caratteristiche degli

agenti (quali preferenze, dotazioni etc.) tali da garantire l’unicità e la stabilità

dell’equilibrio a livello aggregato (Fagiolo e Roventini 2008). Kirman e Koch

(1986) mostrano che anche se gli agenti fossero quasi identici21 (preferenze

uguali e dotazioni quasi uguali), l’unicità e la stabilità non possono essere

recuperate. Hildenbrand e Kirman esprimono chiaramente il concetto nel

passo seguente:

“… There are no assumptions on the isolated individuals which will give us the

properties of aggregate behavior which we need to obtain uniqueness and

stability. Thus we are reduced to making assumptions at the aggregate level,

which cannot be justified, by the usual individualistic assumptions. This

problem is usually avoided in the macroeconomic literature by assuming that the

20

Formalmente le due condizioni sono: Beni sostituti lordi implicano unicità dell’equilibrio: Se tutti i beni sono sostituti lordi per tutti i prezzi, allora se P∗ è il vettore di prezzi di equilibrio, P∗ è l’unico vettore di prezzi di equilibrio. Unicità dell’equilibrio. Supponiamo R sia una funzione di eccesso di domanda continuamente

differenziabile sul simplesso dei prezzi con RS>0 quando P = 0 . Se la matrice – URP∗ ha determinanti positivi per tutti gli equilibri, allora esiste un solo equilibrio. −URP∗ è il negativo della matrice jacobiana degli eccessi di offerta, tolte l’ultima riga e l’ultima colonna; se esistono k beni, la matrice sarà di ordine V − 1 × V − 1. 21

Nel caso fossero identici si comporterebbero come un singolo individuo

37

economy behaves like an individual. Such an assumption cannot be justified in

the context of the standard economic model and the way to solve the problem

may involve rethinking the very basis on which this model is founded

(Hildenbrand e Kirman 1988, p. 239)

Trovare le ipotesi che permettono l’unicità dell’equilibrio e la stabilità globale

di tale equilibrio è perciò molto difficile. L’ipotesi che il sistema economico

possa essere rappresentato dalle decisioni di un singolo agente massimizzante,

sembra essere un modo per evitare le complessità dell’economia22. Piuttosto

che una innocente ipotesi semplificatrice, esso è il meccanismo che permette

di aggirare difficoltà altrimenti insormontabili. E’ tuttavia vero che, date le

ipotesi normali sulle funzioni degli individui, l’equilibrio generale di Debreu

possiede equilibri unici locali e stabilità locale (Debreu 1970)23. Se l’economia

partisse da un equilibrio stabile e avvenisse un cambiamento piccolo, potrebbe

verificarsi uno spostamento ad un equilibrio vicino all’equilibrio iniziale, ovvero

l’economia potrebbe tornare all’equilibrio iniziale, riducendo l’importanza del

problema di unicità. Purtroppo tale argomento è pieno di trappole ed in ogni

caso non viene normalmente utilizzato dai macroeconomisti (Kirman 1992,

p.123).

3.2 Incoerenza dell’agente rappresentativo in presenza di politiche economiche

Supponiamo che le condizioni adatte alla costruzione dell’agente

rappresentativo siano soddisfatte, ossia che le scelte della comunità di agenti

che formano il sistema economico equivalgano effettivamente alla scelta di un

agente massimizzante. Anche nel presente caso l’agente rappresentativo può 22

Concetto affermato nel passo citato di Hildenbrand e Kirman e confermato in Kirman (1992): “By

making such an assumption directly, macroeconomists conveniently circumvent these difficulties”

(Kirman 1992, p.122) 23

“A mathematical model which attempts to explain economic equilibrium must have a nonempty set of

solutions. One would also wish the solution to be unique. This uniqueness property, however, has been

obtained only under strong assumptions, and, as we will emphasize below, economies with multiple

equilibria must be allowed for. Such economies still seem to provide a satisfactory explanation of

equilibrium as well as a satisfactory foundation for the study of stability provided that all the equilibria of

the economy are locally unique. But if the set of equilibria is compact (a common situation), local

uniqueness is equivalent to finiteness. One is thus led to investigate conditions under which an economy

has a finite set of equilibria.” (Debreu 1970,p. 387)

38

portare ad errori nell’analisi economica. Nei modelli con agente

rappresentativo, l’analisi di scelte di politica economica vengono effettuate

inserendo le variazioni dei parametri economici nel modello, e valutando il

nuovo equilibrio. La procedura descritta implica però una nuova ipotesi: la

politica economica adottata non influisce sulla rappresentatività dell’agente

rappresentativo. L’agente rappresentativo non rappresenta solo l’economia in

un dato istante, ma rappresenta anche la reazione degli agenti economici a

variazioni di politica economica. Il riconoscimento di tale ipotesi avviene

normalmente tramite la locuzione “ignorando le conseguenze distributive”

(Kirman 1992). La questione è che normalmente le politiche economiche

influenzano in modo diverso agenti diversi, e spesso è proprio la variazione

della distribuzione ad essere l’obiettivo delle politiche. Nel caso in cui la

politica economica influenza diversamente gli agenti economici, può accadere

che l’agente rappresentativo costruito prima della variazione non rappresenti

più il sistema economico dopo la variazione. Il problema deve essere affrontato:

“As a modeling strategy, ignoring the sensitivity of aggregators to policy changes

seems no more compelling than ignoring the dependence of expectations on the

policy regime. “

(Geweke 1985,p.206)

Geweke (1985) mostra come il modo con cui si aggregano le entità

microeconomiche influisce fortemente sui risultati macroeconomici. Egli

analizza il processo di aggregazione del comportamento di una singola impresa

per ottenere la relazione macroeconomica. Il modello è disegnato in modo da

avere aggregazione esatta, ogni impresa decide la produzione con tre diverse

regole decisionali: con la funzione di offerta; con la funzione di domanda dei

fattori produttivi; o tramite la funzione di produzione. Geweke studia la

reazione del modello e degli agenti in caso di variazione della politica

economica. Il risultato è molto diverso rispetto a come le imprese sono

disegnate; la stessa politica economica produce risultati diversi per le stesse

imprese se viene adottato un diverso modo di descrivere la regola decisionale.

Riprendiamo un esempio molto semplice da Hartley (1997), per visualizzare il

39

problema. Supponiamo di studiare un mondo con due agenti, i quali hanno le

seguenti funzioni di consumo:

W = 0,8 H

WX = 0,4HX

Lo scopo è di definire un agente rappresentativo con una funzione W = YH che

sia in grado di mostrare la relazione tra consumo aggregato e reddito

aggregato. Inizialmente entrambi i consumatori hanno lo stesso reddito di 100,

perciò il reddito aggregato è di 200 e il consumo aggregato è di 120. L’agente

rappresentativo (come agente medio) di conseguenza ha un reddito di 100 e

un consumo di 60 ed Y = 0.6 . Supponiamo ora di effettuare una politica

redistributiva, togliendo 50 al consumatore 1 per aggiungerli al reddito del

consumatore 2. Dato che il reddito aggregato è rimasto invariato, il nostro

modello dovrà predire un consumo invariato di 120. In realtà, andando ad

analizzare il comportamento individuale si scopre che il consumo aggregato è

sceso a 100. Lo stesso accade se avvenisse un aumento di reddito aggregato di

100. Il modello ad agente rappresentativo predice un consumo aggregato di

180, quando in realtà si pone il problema di come è stato distribuito il reddito

aggiuntivo. Se l’aumento di reddito fosse ripartito equamente tra i due agenti,

il nostro modello riuscirebbe a prevedere il consumo aggregato corretto.

Dipendendo dalla distribuzione del reddito aggiuntivo il consumo aggregato

effettivo può variare tra 160, (se l’intero reddito aggiuntivo è del consumatore

2) a 200 (se il reddito aggiuntivo è interamente del consumatore 1). Nel

sistema economico modificato è naturalmente possibile costruire un nuovo

agente rappresentativo, il quale però sarà differente da quello originale dato

che le scelte di quest’ultimo, dopo la variazione intervenuta, non coincidono

più con la scelta aggregata (Kirman 1992). Tale possibilità richiede però che

l’agente rappresentativo sia effettivamente costruito partendo dagli agenti,

come deve essere affrontato il problema dell’aggregazione esplicitando le

ipotesi sui comportamenti individuali, così per riuscire a costruire agenti

rappresentativi coerenti anche in caso di variazioni dei parametri

dell’economia si devono considerare gli agenti rappresentati. Il modello

precedente è semplicissimo e, conoscendo gli agenti, semplice da correggere; la

40

questione che si pone è se effettivamente sia utile utilizzare l’agente

rappresentativo se si devono in ogni caso prendere in considerazione le

reazioni dei singoli agenti. Usare l’agente rappresentativo può essere

problematico, se si prescinde dagli agenti rappresentati può diventare erroneo.

In particolare nell’ultimo esempio proposto, l’errore derivante dall’uso

dell’agente rappresentativo è quantitativo, mentre le relazioni qualitative

rimangono invariate (all’aumentare del reddito aggregato aumenta il consumo

aggregato). Lo scopo del precedente esempio non è dimostrare che l’agente

rappresentativo sia sempre fonte di errore, bensì è insinuare il dubbio che lo

studio del sistema economico (decisamente più complesso dell’esempio

proposto) non possa essere effettuato con strumenti che non solo possono

portare all’errore, ma che neppure sono in grado di segnalare tale errore.

3.3 Inconsistenza Paretiana L’approccio dell’agente rappresentativo può contenere un errore fatale

anche nel caso in cui si vogliano utilizzare modelli con agente rappresentativo

per una valutazione di economia del benessere. È possibile che dati due stati

del mondo a e b, l’individuo rappresentativo preferisca strettamente lo stato a

allo stato b, mentre tutti gli agenti “rappresentati” preferiscono strettamente lo

stato b allo stato a:

“Even when aggregate community demand satisfies the strong axiom and

therefore is indistinguishable from the demand of a single competitive consumer,

the single-consumer model might not be adequate for evaluating efficiency. The

representative consumer can be Pareto inconsistent, preferring an aggregate

situation A to B even though all the actual consumers in the community prefer B

to A.”

(Jerison 2006, p.2)

La capacità rappresentativa di un singolo agente dipende da quali comunità e

da quali politiche o eventi vengono analizzati. Se tutti gli agenti sono

competitivi e identici allora esiste un modello ad agente rappresentativo

“positivo” che riesce a descrivere la comunità ed è pareto consistente,

rendendo possibili giudizi di benessere per tutte le politiche e gli eventi

41

possibili. Questo è certamente un caso limitato, considerata la diversità di

comportamento presente nella realtà. Al fine di applicare le conclusioni di un

modello con consumatore rappresentativo ad una classe più ampia di

comunità, è necessario restringere le politiche e gli eventi considerati. Esempi

numerici possono essere trovati in Jerison (2006) e in Dow e Werlang (1988).

Kirman (1992) riporta una esemplificazione utile del modello di Jerison.

Figura 1. Due individui, a e b, e due stati del mondo rappresentati dai vincoli di bilancio BD e AE. I vincoli di bilancio dell’agente rappresentativo nelle due situazioni sono rispettivamente CE e BF. Si può notare come le curve di indifferenza dei singoli individui sia più alta nella situazione x in cui vale il vincolo di bilancio BD. La curva di indifferenza dell’agente rappresentativo è invece più alta nella situazione y in cui vale il vincolo di bilancio BF.

Esistono due stati del mondo 1 e 2 caratterizzati dalla coppia reddito prezzi

[, P e [X, PX . L’agente rappresentativo preferisce la situazione 1 alla

situazione 2, mentre entrambi gli individui preferiscono la situazione 2 alla

situazione 1 . Per comprendere il risultato guardiamo alla figura 1. Due

individui, il primo (a) ha la curva di indifferenza continua mentre il secondo (b)

ha la curva di indifferenza tratteggiata, entrambi hanno lo stesso vincolo di

42

bilancio AE, ed effettuano la scelta \ e ]. Quando il vincolo di bilancio è dato

da ^U le loro scelte sono \ e ] . La loro scelta aggregata nella prima

situazione è data da che si trova sul vincolo di bilancio aggregato ^, e nel

secondo caso è data da , che si trova sul vincolo di bilancio aggregato W$. Ora

è facile vedere che l’individuo rappresentativo, le cui curve di indifferenza sono

date dalle curve indicate nella figura 1, fa effettivamente la scelta che

corrisponde alla somma delle scelte di e . Nonostante ciò, l’individuo

rappresentativo preferisce lo stato allo stato , mentre l’individuo preferisce

lo stato \ allo stato \, e l’individuo preferisce lo stato ] allo stato ]. Perciò

inferire le preferenze sociali dalle preferenze dell’individuo rappresentativo, ed

utilizzarle per effettuare scelte di politica economica, è illegittimo. (Kirman

1992, p.124). Jerison così conclude il suo lavoro sul “consumatore non

rappresentativo”:

The Pareto inconsistencies of positive representative consumers in

macroeconomics may be small, but this does not extend the applicability of such

models very far. A typical community does not have a positive representative

consumer at all. Furthermore, even if there is a Pareto consistent representative

consumer, its preferences need not be useful for policy evaluation. The

representative consumer's preferences are a special form of compensation

criterion. They attach greater weight to richer consumers who consume more. It

is possible that the representative consumer agrees with only a tiny minority of

the community in its evaluation of the relevant policy alternatives. For these

reasons, it may not be appropriate to identify a representative consumer's

preferences with social welfare even if doing so entails no logical inconsistency.

(Jerison 2006, p.19)

3.4 Difficoltà nell’analisi empirica I problemi di aggregazione descritti precedentemente non possono non

creare problemi all’analisi empirica dei modelli economici, la quale è

notoriamente irta di specifiche difficoltà. La natura dei fenomeni studiati è tale

da rendere l’economia una scienza non sperimentale: non è possibile

invalidare (o validare) una teoria sulla base di “esperimenti”. In primo luogo

perché la nozione stessa di esperimento è estranea all’economia: non è infatti

43

possibile creare (o ricreare) condizioni ambientali controllate per studiare

fenomeni economici in modo che le condizioni sperimentali stesse abbiano

validità con riferimento al mondo reale24. In secondo luogo è spesso difficile

isolare il fenomeno stesso di interesse. Questo implica che la teoria economica

ha un ruolo fondamentale. Se gli agenti economici sono eterogenei; se le

interazioni tra agenti hanno un effetto sui risultati economici; se i

comportamenti degli agenti non sono formalizzabili con una funzione del tipo

richiesto dalle condizioni di Lewbel (1989) in altre parole se la comunità di

agenti non si comporta come un unico agente massimizzante allora è evidente

che le prove empiriche di modelli con agente divengono problematiche.

Quando si verifica empiricamente un modello con agente rappresentativo si

stanno effettivamente verificando due ipotesi congiunte: la particolare

relazione economica che il modello intende verificare e l’ipotesi che le scelte

dell’aggregato possano essere descritte dal singolo agente massimizzante

(Kirman 1992). Summers (1991), ad esempio, discute il lavoro di Hansen e

Singleton (1982, 1983) nel quale risulta il rifiuto di una particolare relazione

tra consumo e “asset pricing”. Date le ipotesi con cui è stato costruito il

modello (agente rappresentativo, funzioni di utilità separabile additiva e

avversione relativa al rischio costante CRRA), ciò che viene rifiutato potrebbe

essere il modo stesso in cui il modello è costruito:

“…they provide little insight into whether the reason for the theory's failure is

central to its logical structure or is instead a consequence of auxiliary

assumptions made in testing it. […] Any test of the representative consumer

model involves a test of whatever assumption is made about these issues and a

dozen similar ones. ”

(Summers 1991,p.135)

Altro esempio interessante si trova in Kirman (1992) e riguarda

l’apparentemente strana reazione del consumo ai cambiamenti del reddito

(excess smoothing del consumo). Se il settore del consumo è visto come un

singolo individuo, la reazione di tale individuo a variazioni del reddito corrente 24

Naturalmente esiste l’economia sperimentale. In questo caso si intende la ricreazione di ambienti controllati complessi nei quali studiare i fenomeni economici di interesse esattamente come avvengono nella realtà.

44

sembra essere minore di quanto predetto dall’ipotesi di reddito permanente.

Quando avviene uno shock imprevisto sul reddito corrente, l’agente modifica la

sua stima del reddito permanente, modificando di conseguenza anche i suoi

consumi. L’entità della variazione dipende dalla percezione che l’agente ha

dello shock: quale parte della variazione del reddito corrente è permanente e

quale transitoria. Quah (1990) dimostra che è sempre possibile costruire un

agente rappresentativo che decomponga gli shock in modo da rendere le

osservazioni empiriche consistenti con l’ipotesi di reddito permanente.

Naturalmente tale decomposizione è completamente arbitraria. Un modo per

risolvere il problema è la variazione dell’approccio utilizzato. I modelli ad

agente rappresentativo devono ipotizzare comportamenti dell’agente

rappresentativo stesso che potrebbero sembrare strani. Diebold e Rudebusch

(1991) ad esempio tenta di risolvere il problema costruendo un agente

rappresentativo che prende in considerazione possibili variazioni del reddito

nel lungo periodo. Ai comportamenti complessi dell’agente rappresentativo si

contrappongono i modelli che tentano l’approccio al problema con agenti

eterogenei. Se si aggregano agenti eterogenei e miopi, che analizzano il loro

processo di reddito in un modo molto più semplice, si riesce ad ottenere il

risultato desiderato di excess smoothing del consumo. Clarida (1991)

costruisce un modello con agenti eterogenei, ognuno dei quali soddisfa l’ipotesi

di reddito permanente, di consumption smoothing e di risparmio per la

vecchiaia. In particolare l’eterogeneità inserita nel modello riguarda l’età degli

agenti, con l’ipotesi che dati < periodi di vita, solo per i primi _ < < l’agente

ottiene reddito da lavoro. Egli ottiene a livello aggregato il tipo di reazione a

variazioni di reddito effettivamente osservata e conclude:

…the representative agent PIH [permanent income hypothesis] may be

misleading because it does not account for the demographic consideration that

makes permanent per capita shocks transitory from the point of view of any

individual, and it does not incorporate the empirically relevant implication of this

fact.

(Clarida 1991, p.865-866)

45

Lippi (1988) analizza il modello di Davidson et al. (1978), il quale stima

l’equazione consumo-reddito per il Regno Unito e utilizza una equazione a

ritardi infiniti. Lippi mostra che il comportamento aggregato può non derivare

da una complicata massimizzazione dell’agente rappresentativo, bensì può

essere riprodotto grazie all’aggregazione di agenti eterogenei, i cui

comportamenti dipendono da variabili con un solo ritardo, o dalle sole variabili

correnti. Invece di proporre agenti rappresentativi con programmi di

massimizzazione dinamica sempre più complicati, si possono sviluppare

modelli con agenti eterogenei, rendendo le ipotesi più semplici e i risultati

ancora coerenti. Le parole di Lippi (1988):

“Independently of the dynamic shape of the corresponding microequation, we

have shown that the dependent lagged variable, as well as the independent

lagged variable, are likely to occur in the macroequations. Therefore the usual

interpretation of the macroequations, being based on the representative agent,

may be responsible for an overstating of the importance of dynamic

microbehaviors. In fact, simple static or almost static microbehavior have been

seen to be a possible microbackground for dynamically complex macroequation.”

(Lippi 1988,p.585)

Attestato che le condizioni per l’esatta aggregazione sono molto

stringenti, e che i modelli ad agente rappresentativo commettono un errore, la

letteratura si è occupata di tentare la “misura” 25 di tale errore. L’entità

dell’errore provocato dall’aggregazione errata delle preferenze dipende dalla

situazione e dal metodo di analisi; in alcuni casi è rilevante, in altri meno.

Gupta (1969), ad esempio, studiando il mercato del lavoro, trova che “[the]

empirical exercise demonstrated that the problem of aggregation bias can be

serious and lead to some disturbing results” (Gupta 1969, p.72)

25

Effettivamente “The largest problem in assessing the size of aggregation error is the inability to measure it” (Hartley 1997, p. 135). Per questo motivo sono state poste le virgolette.

46

Capitolo III L’interazione tra gli agenti

1. Interazione L’approccio dell’agente rappresentativo è segnato da diversi limiti.

Riferendoci ai capitoli precedenti possiamo giudicare tali limiti come una

semplificazione, le cui ipotesi fortemente limitanti possono essere viste come il

prezzo per ottenere (e sottolineare) relazioni economiche effettivamente

significative. Oppure possiamo ritenere le ipotesi riguardo alle forme funzionali

e alla distribuzione del reddito (Capitolo I) talmente stringenti, da limitare la

capacità di comprensione del sistema economico analizzato. Esiste una

questione a cui si deve rispondere in ogni caso: le interazioni tra gli agenti26

sono significative per la spiegazione del sistema economico?

Se si ammettono interazioni significative tra gli agenti è ovvio che diviene

impossibile rappresentare un sistema economico con un agente

rappresentativo. L’agente rappresentativo nasconde ed elimina le interazioni

dirette tra gli agenti (Delli Gatti et al. 2006) e diviene completamente inutile

quando tali interazioni divengono importanti. Si deve però notare che

l’economia politica, dalla prospettiva dell’equilibrio generale, ha sempre

considerato le interazioni non di mercato come prive di interesse economico;

ciò che si trova fuori dal mercato è un ostacolo al corretto funzionamento dei

mercati (non completezza dei mercati), e al raggiungimento dell’ottimo sociale

(Manski 2000). Le interazioni significative sono solo le interazioni economiche,

che passano esclusivamente attraverso il meccanismo indiretto di mercato e

dei prezzi:

Mainstream economics has always been fundamentally concerned with a

particular endogenous effect: how an individual's demand for a product varies

26

Con interazioni tra gli agenti si intende il concetto economico di esternalità. La diversa denominazione è stata adottata solamente per porre maggiore enfasi sull’importanza che ricopre la presenza di più agenti eterogenei che si influenzano a vicenda, ma rimane possibile leggere la presenza di interazione tra gli agenti come la presenza di esternalità tra gli agenti.

47

with price, which is partly determined by aggregate demand in the relevant

market

(Manski 1993, p.531)

Il problema delle interazioni tra gli agenti è relativamente recente. Negli

anni ’70 la teoria economica allarga le proprie competenze non abbandonando

il rigore che la rende particolare tra le scienze sociali. Sviluppi della

microeconomia27, dell’economia del lavoro28 e della macroeconomia29 danno

slancio alla nuova fase (Manski 2000). Le interazioni sociali, da eliminare

piuttosto che da studiare, sono secondo Kirman la fonte dei problemi della

macroeconomia:

“The problem30 seems to be embodied in what is an essential feature of a

centuries long tradition in economics, that of treating individual as acting

independently of each other.”

(Kirman 1989,p.137)

Che le interazioni tra gli agenti esistano è un dato di fatto, riscontrabile

quotidianamente. L’aspetto interessante è capire se tali interazioni siano

significative economicamente. Uno studio coerente delle interazioni sociali

richiede una chiara concettualizzazione del processo di interazione. Il sistema

economico è formato da agenti, i quali prendono decisioni. Lo studio

dell’economia può allora essere concettualizzato come lo studio delle decisioni

di agenti economici dotati di preferenze, che formano aspettative e sono

sottoposti a vincoli. Le preferenze sono formalizzate in una funzione di utilità,

le aspettative da una distribuzione soggettiva di probabilità, e i vincoli da un

insieme di scelte possibili. Il processo di interazione interessante in termini

27

In particolare lo sviluppo della teoria dei giochi non cooperativi nello studio dei mercati e di altre interazioni 28

Lo sviluppo di una economia del lavoro che prende in considerazione anche problemi di carattere sociale 29

Sviluppo della teoria della crescita endogena, del concetto di esternalità dinamica del capitale sociale 30

Il problema a cui si riferisce Kirman è: “…if one examines carefully the terminology employed in the

macroeconomic literature one constantly finds reference to 'the equilibrium' or 'the natural rate' and

moreover a discussion as to how long the economy wiIl take to return to the equilibrium. The underlying

assumptions of uniqueness and stability are clear, yet as should be clear by now such assumptions have

no theoretical justification.” (Kirman 1989,p.137)

48

economici riguarda perciò gli agenti, definiti come unità elementari di scelta

(ossia scelgono, compiono azioni), e le influenze che le scelte di ogni agente

hanno sulle scelte degli altri agenti. In particolare tale influenza dovrà

concretizzarsi su uno dei tre fattori che permette la scelta: i vincoli, le

aspettative e le preferenze (Manski 2000).

Le interazioni che influenzano i vincoli degli agenti sono normalmente

interazioni indirette. L’esempio classico è un’economia in cui esistono

consumatori ed imprese price-taking. Le decisioni degli agenti nel loro

aggregato determinano domanda e offerta aggregata e di conseguenza i prezzi,

influenzando a loro volta l’insieme di scelta degli agenti. Altra forma di

interazione nei vincoli è la congestione. Immaginando agenti con vicoli

temporali, la scelta degli agenti di usufruire di un certo servizio influenza la

possibilità di altri agenti di utilizzare lo stesso servizio. Mercato e congestione

sono esempi di interazioni “negative”, più agenti scelgono un certo bene, meno

è disponibile tale bene per gli altri agenti, influenzando perciò l’insieme delle

scelte. È possibile però immaginare anche esempi di interazione “positiva” sui

vincoli. Se gli agenti intraprendono ricerca e sviluppo, possono generare

interazioni positive. Nuove tecnologie possono aumentare l’insieme di scelta

dell’agente, e nel caso in cui la nuova tecnologia divenga di dominio pubblico

si allarga l’insieme di scelta di tutti gli agenti.

L’analisi economica suppone che gli agenti, affrontando problemi

decisionali, si formino delle aspettative sui risultati possibili derivanti da ogni

scelta. Le aspettative di ogni agente dipendono dal suo personale bagaglio di

informazioni e credenze che gli permetterà di effettuare previsioni più o meno

precise. Ogni agente nelle sue previsioni prende in considerazione tutte le

informazioni disponibili, e cercherà di trarre vantaggio dall’osservazione delle

azioni e dei relativi risultati di altri agenti. Le azioni degli agenti in questo

modo assumono importanza non solo per gli agenti che compiono l’azione, ma

anche per gli agenti che osservano tale azione, si crea in questo modo una

interazione tra le aspettative.

L’interazione sulle preferenze avviene quando la preferenza rispetto a

situazioni alternative di un agente dipende dalle azioni di altri agenti.

L’economia neoclassica del consumo ha sempre considerato gli agenti come

interessati esclusivamente al proprio consumo.

49

It is a commonplace that preferences are influenced by other people's

consumption, but this insight has never been incorporated into demand analysis

in a satisfactory way.

(Pollak 1976)

Semplici esempi di interazione sulle preferenze sono il modello di Pollak

(1976), in cui il consumo degli agenti dipende dal consumo (corrente o del

periodo precedente) degli altri agenti, oppure lo schema di creazione delle

convenzioni sociali sviluppato da Young (1996). Le convenzioni sociali sono il

frutto dell’azione e dell’interazione di miriadi di agenti e difficilmente non

influenzano le relazioni economiche:

“conventions regulate much of economic and social life, yet they have received

surprisingly little attention from economists. By a convention, we mean a pattern

of behavior that is customary, expected and self-enforcing”

(Young 1996,p.105)

Le convenzioni infatti influenzano le variabili economiche direttamente (“The

economic significance of conventions is that they reduce transaction cost.”

Young 1996, p.105), ed indirettamente attraverso l’effetto che esse hanno sulle

scelte degli agenti. Riprendendo l’esempio di Young sulle convenzioni di guida,

l’utilità di guidare a destra o a sinistra è evidentemente influenzata dalle scelte

del resto della popolazione.

Le interazioni tra gli agenti influenzano direttamente i parametri di scelta

degli agenti, influenzando, come si è detto, vincoli, attese e preferenze. È

importante sottolineare che in presenza di interazioni sociali le scelte degli

agenti sono ancora scelte razionali (Durlauf 2003, p.5).

2. Membership Theory Tema centrale nello studio delle interazioni sociali è capire tra quali

agenti avvengono le interazioni. È plausibile supporre che l’interazione non

avvenga globalmente, è difficile infatti immaginare agenti che interagiscano

con tutti gli agenti dell’economia. La forza dell’interazione tra l’azione di un

50

dato agente e le preferenze di un altro agente dipende dalla “distanza”31 tra i

due agenti coinvolti (Pollak 1976, p.312). Rispetto al fenomeno che si vuole

studiare, può allora essere utile introdurre il concetto di gruppo sociale, ed

analizzare il rapporto che si instaura tra gruppo ed agente. La teoria

dell’appartenenza, o “Membership Theory”, studia gli effetti dell’interazione

all’interno dei gruppi e sottolinea l’influenza diversa che gruppi diversi hanno

sui propri membri (Durlauf 2002)32. Il meccanismo di interazione in presenza

di gruppi non differisce dai meccanismi di interazione sociale più generali. Nei

modelli di appartenenza ogni agente effettua delle scelte basandosi sulle

proprie preferenze, sulle previsioni degli effetti delle sue azioni e nel rispetto

dei suoi vincoli; la novità si trova nell’analisi di come i gruppi influenzano tali

parametri di scelta (Durlauf 2002). I comportamenti possono essere influenzati

dalle caratteristiche e dai comportanti dei membri veterani dello stesso gruppo

(“role model effects”), oppure dai comportamenti di altri appartenenti

(contemporanei) allo stesso gruppo (“peer group effects”)(Durlauf 2002). Il

comportamento imitativo alla base dei “peer effects” e “role model effects”

dipende perciò da fattori psicologici ed economici: interdipendenza nei vincoli

tra gli individui (il costo, sia economico che psicologico, di un certo

comportamento dipende dal comportamento adottato dagli altri);

interdipendenza nella trasmissione delle informazioni (il comportamento di

altri altera l’informazione sugli effetti del proprio comportamento);

interdipendenza delle preferenze. L’interazione agisce perciò esattamente nello

modo indicato nel paragrafo precedente, l’aspetto interessante diviene la

caratterizzazione dei gruppi e lo studio delle influenze diverse che ogni gruppo

ha sui propri membri. Le società umane possono essere divise in miriadi di

gruppi diversi, e uno dei temi fondamentali nello studio dei modelli con

interazione sociale è scegliere quali tra questi gruppi hanno rilevanza

economica, ossia quali gruppi hanno la capacità di influire sui parametri

31

La variabile che determina l’interazione può essere la distanza geografica, culturale etc. Maggiori sono le possibilità di contatto tra i due agenti maggiore è la forza dell’influenza tra i due agenti. 32

La definizione di Durlauf: “The memberships theory of inequality is nothing more than an approach to

understanding socioeconomic outcomes that focuses on the way in which various socioeconomic

groupings affect individuals. Individuals, of course, can be categorized by any number of groupings. The

basis of the memberships theory is that at least some of these memberships have powerful influences on

individual outcomes.” (Durlauf 2002, p.3)

51

decisionali dell’agente. Il gruppo deve essere inteso in senso lato, si può

immaginare una vicinanza geografica degli agenti, e probabilmente è il

concetto più immediato33, ma il gruppo può essere inteso anche come classe

sociale, etnica, censuaria e culturale. Nel trattare con i diversi tipi di

classificazione, è importante distinguere per quali gruppi l’appartenenza è

esogena, quali sesso ed etnia, e per quali è endogena, come il quartiere nel

quale si vive, la scuola che si frequenta, i colleghi di lavoro; in ognuno di

questi casi l’appartenenza al gruppo è determinata come parte del più generale

sviluppo economico e sociale (Durlauf 2002). La distinzione tra i gruppi

endogeni ed esogeni è importante perché per una teoria dell’appartenenza

completa si deve conoscere sia l’influenza che i gruppi hanno sugli individui,

sia il modo in cui si formano tali gruppi; in particolare i gruppi endogeni

generano ineguaglianza persistente nel momento in cui si formano a causa di

un qualche tipo di segregazione, gruppi differenti influenzano infatti in modo

diverso i propri membri. I modelli con interazione sociale hanno prestato

particolare attenzione alla segregazione economica e razziale. La segregazione

razziale è stata modellizzata da Schelling nel 1978, egli analizza come la

segregazione possa emergere in contesti in cui gli agenti abbiano una

preferenza ad avere propri simili nella zona in cui abitano. La segregazione

economica è causata, secondo Durlauf (1996), dalla finanza pubblica locale e

dalle interazioni sociali. In questi modelli le famiglie preferiscono avere dei

vicini ricchi per l’effetto che ciò ha sulla fiscalità locale e per la loro influenza

sul quartiere. In termini economici i quartieri ricchi hanno esternalità positive

verso i propri membri mentre i quartieri poveri hanno esternalità negative sui

propri membri.

Quando gli agenti sono parte di gruppi sociali e quando il comportamento

di un membro di un gruppo è dipendente dal comportamento di altri, si viene

a creare un grado di libertà nel comportamento del gruppo come aggregato.

Dipendenze contemporanee nel comportamento implicano che i membri di un

gruppo si comporteranno in modo simile. Questo significa che esistono

equilibri multipli, e il raggiungimento di un equilibrio particolare dipende da

quale comportamento collettivo si è sviluppato all’interno del gruppo. Il 33

In effetti “social interaction effect” e “neighborhood effect” sono in questa letteratura sinonimi, proprio a causa dell’importanza che assume il concetto di interazione geografica per la sua influenza, ad esempio, sulla trasmissione delle informazioni.

52

discorso è molto simile alle convenzioni studiate da Young (1996), nel periodo

iniziale, quando non esisteva una convenzione, era ugualmente possibile si

stabilisse di guidare a destra o a sinistra. Il fatto che si sia scelto un lato della

strada è dovuto ad una serie di comportamenti che si sono auto-rinforzati e

propagati nella società creando la convenzione. Le interazioni sociali

incorporate nei “peer effects” e nei “role model effects”, se abbastanza forti

possono, in alcuni contesti particolari, produrre trappole della povertà. Le

trappole della povertà sono definite da un insieme di comportamenti

socialmente indesiderabili, i quali si auto rinforzano all’interno del gruppo

sociale. La trappola della povertà può essere intesa come una situazione in cui

una comunità povera rimane povera per molti periodi o generazioni. Le

interazioni sociali intertemporali forniscono esattamente questo tipo di

dipendenza. Affinché i meccanismi di interazione producano trappole della

povertà deve accadere che ad un dato livello di interazione sociale, gli incentivi

privati allo sforzo per evitare la povertà siano sufficientemente deboli (Durlauf

2002). Gli equilibri socialmente indesiderabili possono esistere solo quando le

opportunità economiche sono basse. Il problema dell’abbandono scolastico,

basso nei quartieri ricchi, alto in quelli poveri, non può essere spiegato solo

con il dato che nei quartieri ricchi il numero di laureati è (fortuitamente) alto, e

che di conseguenza l’interazione sociale porta a replicare il risultato nelle

generazioni. Il problema è che nei quartieri ricchi il numero di laureati è alto

perché le prospettive economiche derivanti da una laurea sono molto migliori

delle prospettive affrontate da uno studente di un quartiere povero (Durlauf

2002). La novità e la forza della “Membership Theory” non sta nella sua abilità

nel creare modelli con trappole della povertà, bensì nella spiegazione che

riesce a fornire sulle cause delle trappole della povertà, ossia come è possibile

che le situazioni di degrado siano perpetuate per lunghi periodi di tempo

(Durlauf 2002). Come scrive Akerlof, parlando delle interazioni sociali che

avvengono nei sistemi economici:

“…social decisions to include dependence of individuals' utility on the utility or

the actions of others. Except under rare circumstances, such interactions

produce externalities. These externalities typically slow down movements

53

toward socially beneficial equilibria but in the most extreme cases they will

create long-run low-level equilibrium traps that are far from socially optimal.”

(Akerlof 1997, p.1005)

Simile può essere la spiegazione delle divergenze di crescita che si registrano

tra i diversi paesi (Durlauf 2003a). Il disaccordo tra la teoria della crescita di

Solow, che prevede la convergenza delle economie nel lungo periodo, e le

osservazioni empiriche, dove è evidente la divergenza tra paesi ricchi e paesi

poveri (Milanovic 2006), hanno dato un forte impulso alla letteratura sulle

interazioni tra gli agenti. Le trappole della povertà, spiegate grazie alla

“Membership Theory” (Durlauf 2002), possono facilmente essere estese da

parti della società di un dato paese, alla situazione di gruppi di paesi che non

riescono a svilupparsi.

Il limite fondamentale della letteratura sulle interazioni sociali è che non

prende in considerazione gli effetti che possono avere sui comportamenti del

gruppo gli atteggiamenti di agenti esterni al gruppo (Durlauf 2002). L’effetto è

stato studiato in particolare per la situazione degli Afro Americani negli USA.

Se da una parte la “Memebership Theory” ha aiutato a capire le persistenti

differenze che esistono nel livello di reddito e di posizione sociale, andando al

di là della sola discriminazione razziale, dall’altra il cosiddetto “stigma razziale”

non è stato minimamente preso in considerazione dalla teoria (Durlauf 2002).

Sull’agente, oltre alle influenze del gruppo di appartenenza, agiscono effetti

che possono derivare dall’esterno: il giudizio che il resto del mondo ha

sull’agente influenza il giudizio che l’agente stesso ha di sé stesso. Una

importante prova su come la comunità afro americana è influenzata dagli

atteggiamenti degli altri può essere rintracciata nel lavoro di Steele (1997). Egli

ha selezionato un campione casuale di studenti neri e bianchi e li ha

sottoposti ad una serie di test. In alcuni casi ha detto agli studenti che si

trattava di test di intelligenza, in altri che si trattava semplicemente di

risolvere problemi. L’esperimento ha evidenziato un notevole calo di

prestazioni da parte degli studenti neri quando messi di fronte al test di

intelligenza. La differenza di prestazioni è, nell’interpretazione di Steele, un

effetto dell’ansia causata dalla discriminazione razziale sulle vittime di tale

discriminazione: lo stigma razziale.

54

3. La teoria I modelli teorici che incorporano interazioni sociali devono spiegare due

questioni fondamentali:

i) come i comportamenti individuali vengono influenzati dal comportamento

del gruppo di appartenenza;

ii) come si formano i gruppi.

Naturalmente lo studio delle influenze all’interno dei gruppi può essere

generalizzata al caso in cui la società venga considerata come un gruppo

unico, o nel caso vengano studiati fenomeni di interazione che non abbiano

bisogno della definizione di gruppi sociali. Per analizzare le caratteristiche dei

modelli con interazioni sociali utilizziamo un formalizzazione presente in

Durlauf (2003). Modelli di questo tipo possono essere trovati anche in Manski

(1993), Brock e Durlauf (2001), Blume e Durlauf (2005).

Consideriamo = agenti membri di uno stesso gruppo sociale denotato con

< . Ogni individuo effettua una scelta a , con a ∈ Ωc , dove Ωc rappresenta

l’insieme di scelte possibili dell’individuo . Si suppone che il gruppo di

appartenenza sia noto34. Questa ipotesi rappresenta una limitazione, dato che

la formazione dei gruppi dovrebbe essere endogena al modello. La limitazione è

dovuta all’esigenza di ottenere un modello con trattabilità analitica, e potrà

essere superato con l’introduzione di metodi di analisi che coinvolgano

simulazioni computazionali 35 . L’obiettivo dell’analisi è la descrizione della

decisione individuale in funzione delle caratteristiche individuali e del gruppo

di appartenenza. In particolare è interessante comprendere come le

caratteristiche del gruppo di appartenenza influenzino la decisione. Definiamo

a-,d come il vettore delle scelte degli individui diversi da appartenenti al

gruppo. Dalla prospettiva della decisione individuale possiamo distinguere

quattro fattori che influenzano la scelta: definiamo # il vettore delle

caratteristiche note dell’individuo ; N il vettore di caratteristiche casuali

dell’individuo , possono essere considerate come le caratteristiche non note

dell’individuo; H- il vettore delle caratteristiche del gruppo <; !ea-,d l’attesa 34

Durlauf (2003) chiama il gruppo di appartenenza “neighborhood”. L’espressione più generale “gruppo sociale” sta a sottolineare che le interazioni non avvengono solo tra agenti in prossimità geografica, ma come si è affermato, l’interazione può avvenire tra agenti che, in generale, abbiano contatti tra loro. 35

Tratteremo di questo tipo di approccio nel prossimo capitolo.

55

soggettiva dell’individuo rispetto al comportamento degli altri appartenenti al

gruppo, e può essere descritta come una funzione di probabilità su tali

comportamenti. I fattori descritti faranno parte della funzione che determina le

scelte individuali. Seguendo Manski (1993) possiamo definire !ea-,d come

l’effetto endogeno del gruppo: “endogenous effects, wherein the propensity of an

individual to behave in some way varies with the behaviour of the group.”

(Manski 1993, p. 532); H- come l’effetto contestuale (o esogeno): exogenous

(contextual) effects, wherein the propensity of an individual to behave in some

way varies with the exogenous characteristics of the group. (Manski 1993, p.

532) e N l’effetto di correlazione: “correlated effects, wherein individuals in the

same group tend to behave similarly because they have similar individual

characteristics or face similar institutional environments.” (Manski 1993, p.533).

Normalmente, nello studio delle interazioni sociali, l’effetto di correlazione

viene supposto pari a zero (viene trattato come un fattore casuale con media

zero). Quando l’effetto di correlazione è diverso da zero significa che gli

individui si comportano in modo simile, non solo a causa degli effetti endogeno

e contestuale, ma a causa della somiglianza delle loro caratteristiche non

osservabili (incluse in N). Il problema verrà analizzato nel paragrafo 6.2, dato

che ha conseguenze importanti sulla stima econometrica degli effetti di

interazione sociale. L’effetto endogeno e l’effetto contestuale sono gli elementi

che definiscono gli effetti dell’interazione sociale sul comportamento

dell’individuo. Un esempio di Manski (1993) chiarisce il significato ed il ruolo

dell’effetto contestuale e dell’effetto endogeno. Consideriamo i risultati

scolastici di uno studente. Esiste un effetto endogeno se i risultati individuali

tendono a variare al variare del risultato medio degli studenti della scuola, del

gruppo etnico o del gruppo di amici dello studente preso in considerazione.

Esiste un effetto esogeno se i risultati scolastici variano ad esempio con la

composizione socio-economica del gruppo di amici dello studente36.

Dati gli elementi che incidono sull’utilità dell’individuo, possiamo

determinarne la scelta tramite la massimizzazione dell’utilità:

36

L’effetto di correlazione viene spiegato nel modo seguente: “There are correlated effects if youths in

the same school tend to achieve similarly because they have similar family backgrounds or because they

are taught by the same teachers.” (Manski 1993, p.533). L’effetto correlazione è un effetto che implica comportamenti simili a prescindere dall’appartenenza del gruppo sociale, o, in altre parole, può essere l’effetto non osservato che spiega l’appartenenza ad un dato gruppo sociale.

56

1 a = arg Yi∈Ωj k la, #, N , H-, !e%a-,d&m

Per chiudere il modello occorre descrivere come sono determinate le attese

dell’individuo rispetto al comportamento degli altri. In Durlauf (2003) si

ipotizza che l’attesa sia razionale, nel senso che utilizza tutte le informazioni a

sua disposizione:

2 !e%a-,d& = !%adnN , H-, #o , !oe%a-,do& ∀q&

È da notare che nella formalizzazione adottata, l’incertezza sul

comportamento medio del gruppo si trova nell’impossibilità dell’agente di

osservare la componente casuale No per agenti diversi da se stesso. L’ipotesi

che i comportamenti individuali siano influenzati dall’attesa di comportamento

degli altri membri del gruppo è solo una convenienza analitica adottata in

Durlauf (2003). Lo stesso termine può essere formalizzato diversamente

rispetto alle ipotesi sul grado di conoscenza che ogni agente ha dell’ambiente

circostante. Inoltre può essere sostituito dal comportamento effettivo (non

quello atteso) dei membri del gruppo osservabili dall’individuo 37. Ad esempio

in Pollak (1976) l’effetto endogeno è rappresentato dal comportamento di

consumo corrente o passato degli altri agenti.

Affinché le implicazioni delle interazioni sociali siano interessanti deve

poter avvenire un processo auto-rinforzante nelle scelte dei membri di un dato

gruppo. Questo significa che ipotizzando una funzione di utilità differenziabile

due volte, le derivate parziali seconde di k rispetto al comportamento

dell’agente e rispetto al comportamento atteso degli altri agenti devono essere

positive. 38 Se vale (ed è sufficientemente forte) la condizione di auto

rinforzamento delle decisioni, si crea un grado di libertà nella determinazione

dei risultati individuali e aggregati; l’auto rinforzamento implica infatti che gli

individui si comportano in modo simile senza specificarne il comportamento

37

Si veda ad esempio la definizione di effetto endogeno data da Manski riportata nella pagina precedente. 38

La condizione può essere generalizzata richiedendo la proprietà di complementarietà delle decisioni individuali e delle decisioni attese degli altri membri del gruppo. Vedi Durlauf (2003).

57

effettivo (Durlauf 2003). In questo caso le interazioni sociali rendono possibile

la presenza di equilibri multipli, importanti per spiegare le trappole della

povertà (paragrafo 2) e per spiegare la possibilità di osservare comportamenti

aggregati diversi in presenza di condizioni iniziali simili.

Un modo interessante per visualizzare l’effetto delle interazioni sociali è

formalizzare la scelta dell’individuo come una funzione lineare:

3 a = V + # + BH- + r!e%a-,d& + N

Dove V e r sono scalari e e B sono vettori. In particolare se r e B sono

diversi da zero otteniamo una scelta individuale dipendente dalle interazioni

sociali:

The statement that social interactions matter is equivalent to the statement that

at least some element of the union of the parameters in d and J is nonzero. The

statement that contextual social interactions are present means that at least one

element of d is nonzero. The statement that endogenous social interactions

matter requires that J is nonzero.

(Blume e Durlauf 2005,p.7)

Questo tipo di formalizzazione è utilizzata in Blume e Durlauf (2005) e in

Manski (1993) per studiare il problema dell’identificazione delle interazioni

sociali, problema che verrà affrontato nel paragrafo 6.1. Per il momento

l’utilità della funzione lineare è limitata alla facile visualizzazione degli effetti

dell’interazione sociale.

3.1 Un modello

Glaeser, Sacerdote, Scheikman (1996) analizzano la varianza del tasso di

criminalità tra diverse zone degli Stati Uniti. Ciò che colpisce gli autori è che

l’alta differenza del tasso di criminalità tra le diverse zone non sembra legato ai

fattori socioeconomici che caratterizzano tali zone. Essi ipotizzano che il

comportamento individuale dipenda fortemente dal comportamento degli altri

membri del gruppo sociale, in questo caso dagli abitanti dello stesso quartiere.

58

I risultati empirici di Glaeser et al. (1996) sono consistenti con l’esistenza di

una tale interazione tra gli agenti (Glaeser et al. 1996, p.508).

Consideriamo un mondo in cui esistono 2< + 1 agenti, i quali devono

effettuare una scelta binaria che corrisponde a “essere criminale” o “essere

onesto” (nel modello rispettivamente -1 e 1). Gli agenti sono per ipotesi di tre

tipi indicizzati da s ∈ 0,1,2 . L’eterogeneità degli agenti è imposta da una

distribuzione dei tre tipi di agente nella popolazione. Tenendo la

formalizzazione di Durlauf (2003), la funzione di utilità degli agenti può essere

formalizzata come:

4 k = Vta + rtaad

Gli agenti sono disposti in uno spazio unidimensionale circolare39. Dalla

(5) è evidente che la loro utilità dipende dai parametri che caratterizzano il tipo

di agente, dalla propria scelta e dalla scelta dell’agente alla sinistra.

L’interazione è perciò univoca, ad ogni agente interessa solo la scelta

dell’agente che lo “precede”. L’agente influenza l’agente + 1 ed è influenzato

dall’agente − 1 . L’agente di tipo 0 massimizza l’utilità scegliendo sempre

a = −140; questo equivale ad affermare che il tipo 0 ha una funzione di utilità

con V < 0 e r = 0 ; esso non è influenzato dalla scelta dell’agente vicino.

Simmetricamente l’agente di tipo 1, sceglie sempre a = 141; questo equivale ad

imporre V > 0 e r = 0 nella funzione di utilità. Anche in questo caso r = 0 rende

evidente l’indipendenza dell’azione dell’agente del tipo 1 dalla scelta dell’agente

a lui prossimo. L’agente di tipo 2 invece sceglie sempre l’azione scelta dal

proprio vicino, il ché equivale a dire che nella sua funzione di utilità V = 0 e

r > 0 . Il risultato del modello dipende naturalmente dalla distribuzione dei

diversi tipi di agenti nella popolazione. L’obiettivo del modello è di mostrare

come la volatilità del tasso di criminalità sia alto in presenza di interazione

sociale, ed in particolare in presenza dell’effetto endogeno nella definizione di

Manski (1993). Supponiamo allora che ogni agente ha una probabilità

positiva Pu di essere del tipo 0 ed una probabilità positiva P di essere del tipo

39

In questo modo ogni agente ha affianco a sé due agenti 40

“diehard lawbreakers” in Glaeser, Sacerdote, Scheikman 1996 41

“diehard law-abiders” in Glaeser, Sacerdote, Scheikman 1996

59

1. La probabilità di essere di tipo 0, 1, o 2 è indipendente tra gli agenti.

Poniamo che v = Pu + P e che P = P Pu +⁄ P . Glaeser, Sacerdote e

Scheikman (1996) dimostrano che al limite (per < che tende a infinito), la

varianza del comportamento medio nella popolazione è:

5 xX = P1 − P2 − vv

Date le quote di popolazione il comportamento medio è definito, ma

l’interazione sociale influenza la dispersione del comportamento medio nella

popolazione. Osserviamo ad esempio che se non c’è interazione sociale, ossia

tutti gli agenti sono del tipo 0 o 1, la varianza si ridurrebbe a P1 − P42 .

Aumentando la quota di popolazione del tipo 2, ossia aumentando l’interazione

tra i comportamenti degli agenti, la varianza aumenta fino a tendere ad infinito

quando v tende a 0. La presenza di interazione sociale moltiplica l’effetto di

shock idiosincratici e causa un aumento della varianza del comportamento

medio osservato. Il risultato aggregato del quartiere preso in considerazione

dipende dal numero di agenti di tipo 2 e dal loro posizionamento. Le stesse

condizioni iniziali (la stessa quota di agenti 0 e 1) possono far emergere, grazie

alle interazioni tra agenti, un quartiere in maggioranza criminali o un

quartiere in maggioranza lavoratori.

4. Reti: come si formano i gruppi sociali È difficile trovare una definizione univoca di gruppo sociale, e ciò rende il

loro studio complicato. D’altra parte la definizione delle reti di interazione tra

gli agenti è necessaria, in quanto le strutture di interazione possono essere

fondamentali per comprendere il comportamento aggregato del sistema 43 .

Nonostante si trovino spesso modelli in cui si suppone noto il gruppo sociale di

appartenenza, per uno studio approfondito delle interazioni sociali è

necessario definire una teoria della formazione dei gruppi sociali. In poche

parole è necessario che in un modello di interazione sociale, la dimensione e la

42

In questo caso infatti v = 1 43

“I modelli ad agenti interagenti fanno sì che le componenti microscopiche di un sistema, gli agenti, si incontrino formando delle strutture di interazione che possono anche essere molto rilevanti per il comportamento macroscopico del sistema” (Fioretti 2006, p.137)

60

composizione dei gruppi sociali sia endogena. Il problema, facile da spiegare, è

naturalmente di difficile soluzione. Supponendo di poter definire un gruppo

sociale come un insieme di agenti connessi direttamente ed indirettamente tra

loro, possiamo utilizzare la teoria dei grafi. Gli agenti e V sono detti

direttamente connessi se essi possono comunicare direttamente tra loro, ossia

se esiste un collegamento diretto. Due agenti e V sono detti indirettamente

connessi se esiste un percorso che connette l’agente con l’agente V (passando

eventualmente per connessioni dirette con altri agenti). Seguendo Durlauf

(2003) analizziamo i risultati della teoria dei grafi stocastici, “random graph

theory”. Il teorema di Erdos Renyi, ripreso in Palmer (1985), in Durlauf (2003)

e in Fioretti (2006) ci permette di ottenere la dimensione dei gruppi sociali in

relazione con la probabilità che si creino connessioni tra gli agenti.

Supponiamo di avere < agenti (nodi), supponiamo inoltre che la probabilità che

due agenti qualsiasi e q siano connessi direttamente è pari a P< e che le

connessioni dirette siano distribuite in modo indipendente. Se valgono le

ipotesi descritte e poniamo P< = <⁄ , con ∈ ℛ , allora valgono le seguenti

proposizioni (la dimostrazione si trova in Palmer 1985):

i. Se < 1, allora al crescere di <, il gruppo sociale più ampio (perciò l’insieme

più ampio di agenti connessi tra loro) avrà una dimensione di ordine log <.

Dato che log < < <, all’aumentare della dimensione del grafo, diminuisce la

dimensione relativa della componente più ampia

ii. Se = 1 , allora al crescere di < , il gruppo sociale più ampio avrà

dimensione di ordine <X | . Dato che log < < <X | < < , all’aumentare della

dimensione del grafo, diminuisce la dimensione relativa del gruppo sociale

più ampio.

iii. Se > 1 , allora al crescere di < , il gruppo sociale più ampio avrà

dimensione di ordine < . La componente più grande cresce come la

popolazione.

L’aspetto interessante è la transizione di fase che avviene quando P< supera un certo limite. In particolare quando < 1 la popolazione è divisa in

gruppi sociali relativamente piccoli, quando invece > 1 emerge un gruppo

sociale grande, ciò che nella letteratura dei grafi è noto come “la componente

gigante” (Palmer 1985, Durlauf 2003, Fioretti 2006). Bollobas e Thomason

61

(1987) mostrano come la transizione di fase evidenziata sia un risultato di

portata generale; l’improvvisa emersione di una componente gigante è una

caratteristica comune a tutti i grafi stocastici (Fioretti 2006,p.138).

Purtroppo le ipotesi necessarie per la proposizione precedente, in

particolare omogeneità delle probabilità di connessione tra gli agenti, limitano

l’applicabilità dei grafi stocastici alle interazioni sociali ed alle analisi

economiche (Durlauf 2003).

4.1 Il mondo piccolo Una struttura di grafo particolare, studiata in Watts e Strogatz (1998), è

la cosiddetta struttura a “mondo piccolo” (“small world”). La caratteristica

fondamentale di tale struttura è il basso numero di passaggi necessari per la

comunicazione tra due nodi casuali del grafo. La struttura a mondo piccolo

venne scoperta per la prima volta in un esperimento di Stanley Milgram nel

1967, descritto in Fioretti (2006). Milgram consegnò ai partecipanti

dell’esperimento una busta indirizzata ad uno sconosciuto. Tale busta doveva

essere consegnata ad un conoscente, e di conoscente in conoscente. Ogni

passaggio doveva essere documentato con una apposita annotazione

all’interno della busta. L’esperimento sarebbe finito quando le buste sarebbero

arrivate al destinatario (ricordiamo che tale destinatario era sconosciuto al

primo partecipante). Solo la metà delle buste arrivò a destinazione, il fatto

sorprendente fu però che le buste che arrivarono impiegarono solo pochi

passaggi (quasi sempre meno di sei passaggi). Il risultato è interessante perché

implica che il grafo rappresentante le relazioni umane ha una forma

particolare. Le conoscenze di ogni individuo sono normalmente locali, un grafo

corrispondente a conoscenze esclusivamente locali però non riuscirebbe a

spiegare il basso numero di passaggi riscontrati nell’esperimento di Milgram.

Un grafo casuale potrebbe invece spiegare il fenomeno, ma richiederebbe che

le conoscenze di ogni individuo siano uniformemente distribuite su tutto il

globo terrestre, il ché è naturalmente impossibile. L’unico modo per spiegare il

risultato dell’esperimento è ipotizzare un grafo con una prevalenza di

connessioni locali (accettando il fatto che normalmente le conoscenze siano

locali), con qualche nodo con connessioni lontane. La struttura a mondo

piccolo nasce quindi dalla presenza contemporanea di agglomerati di nodi con

62

molte relazioni locali, e connessioni sparse a lunga distanza (Fioretti 2006).

Per caratterizzare quantitativamente il grafo con struttura mondo piccolo

seguiamo Fioretti (2006). Prendiamo in considerazione un grafo = F, ~, con

F l’insieme dei nodi e ~ l’insieme degli archi. Sia < il numero di nodi del grafo

. Per misurare l’agglomerazione dei nodi con connessioni locali utilizziamo il

coefficiente di agglomerazione (“clustering coefficient” in Watts e Strogatz

1998). Per ∀ sia ⊆ l’insieme di nodi direttamente connessi con il nodo . Sia ℎ il numero di archi presenti in e V il numero di nodi presenti in . Il numero di archi necessari affinché ogni nodo di sia collegato con tutti gli

altri nodi di è VV − 1 2⁄ . Definiamo allora coefficiente di agglomerazione

del nodo :

W = ℎVV − 1 2⁄ 1 V ≥ 2 0 7 Y<

Definiamo il coefficiente di agglomerazione del grafo come la media dei

coefficienti di agglomerazione dei suoi nodi:

W = 1< I W-

K

Per misurare le relazioni a lunga distanza del grafo utilizziamo la

lunghezza del cammino caratteristico (path lenght in Watts e Strogatz 1998).

Per ogni coppia di nodi , q ∈ , sia Bo il numero di connessioni minimo

necessarie per collegare i due nodi (path lenght):

= 1<< − 1 I I Bo-

oK-

K

Dove nella seconda sommatoria q ≠ . Date le due misure possiamo distinguere

le diverse strutture di grafi:

63

a) i grafi con connessioni esclusivamente locali sono caratterizzate da W e

grandi;

b) i grafi con struttura mondo piccolo sono caratterizzati da W grande e piccolo;

c) i grafi stocastici sono caratterizzati da W piccolo e piccolo.

La struttura a mondo piccolo è definita in Watts e Strogatz (1998) come

una combinazione tra le reti con collegamenti esclusivamente locali, che loro

chiamano “regular lattices”, e i grafi stocastici:

We find that these systems can be highly clustered, like regular lattices, yet

have small characteristic path lengths, like random graphs. We call them ‘small-

world’ networks, by analogy with the small-world phenomenon44

(Watts e Strogatz 1998, p.440)

Supponiamo di avere un grafo di < nodi, ognuno connesso ad un numero di

nodi più vicini. Supponiamo inoltre che ogni connessione di ogni nodo abbia

una probabilità P di riconnettersi con un nodo casuale, e una probabilità

1 − P di rimanere invariato. Quando P = 0 il grafo è regolare ed è un grafo con

connessioni esclusivamente locali, quando P = 1, il grafo è stocastico. Il mondo

piccolo emerge quando 0 < P < 145. Watts e Strogatz (1998) mostrano che la

struttura a mondo piccolo emerge grazie al diverso comportamento del

coefficiente di agglomerazione e del cammino caratteristico al variare di P .

Dato il grafo = F, ~ e variando solamente la probabilità di riconnessione

degli archi, Watts e Strogatz mostrano che P/0 diminuisce più in fretta di

WP/W0, dove 0 e W0 sono rispettivamente i valori di e W nel grafo con

P = 0, creando la caratteristica alta agglomerazione e bassa distanza media tra

i nodi. La struttura a mondo piccolo riguarda diverse reti reali, in particolare le

connessioni tra gli attori sul sito internet imdb (www.imdb.com), importante

44

Dove con small-world phenomenon si riferiscono ad esempio all’esperimento di Milgram descritto in precedenza 45

Non esiste una soglia critica come nel teorema di Erdos-Renyi: “the transition to a small world is

almost undetectable” (Watts e Strogatz 1998, p. 441)

64

per l’analogia esistente con la società umana46; la rete elettrica degli Stati Uniti

occidentali, la rete neurale del verme Caenorhabditis elegans (Watts e Strogatz

1998), e la rete internet considerando i siti nodi e i link connessioni (Fioretti

2006). La configurazione delle reti a mondo piccolo non è solo una curiosità né

un modello meramente ideale, essa descrive al contrario molte reti osservabili

in natura47 (Watts e Strogatz 1998, p. 441). Nella figura 2 è rappresentato un

grafo con 20 nodi e 40 archi. Il grafo è costruito in modo che ogni nodo sia

direttamente connesso con i quattro nodi più vicini (due alla sua destra e due

alla sua sinistra). Da sinistra verso destra sono rappresentate le tre situazioni

P = 0, P = 0.2, P = 1.

Figura 2. La struttura a mondo piccolo creata con NetLogo. A sinistra una struttura con connessioni esclusivamente locali, a destra una struttura con connessioni completamente casuali ed al centro la struttura a mondo piccolo visualizzata come una sorta di intersezione tra le caratteristiche della struttura a connessioni locali e della struttura a connessioni casuali.

È possibile notare come nel primo caso le connessioni siano solo locali (per

costruzione), nel secondo caso le connessioni siano locali, con alcuni agenti

con connessioni lontane (mondo piccolo) e nel terzo caso le connessioni siano

completamente casuali. Il processo è stato programmato con NetLogo 48

seguendo le istruzioni di Watts e Strogatz (1998).

46

The graph of film actors is a surrogate for a social network, with the advantage of being much more

easily specified (Watts e Strogatz 1998, p. 441). 47

A conferma di ciò è interessante anche vedere che lo schema delle connessioni di Facebook è molto simile ad una struttura a mondo piccolo (vedere il sito http://nexus.ludios.net/). I Social Network su internet (Facebook, Flickr etc.) sono molto interessanti in quanto sono la riproduzione più fedele delle connessioni nelle società umane. Un progetto di ricerca sullo studio delle reti sociali tramite i siti come Facebook e Flickr è in corso al CRESS (Centre for Reasearch in Social Simulation, http://cress.soc.surrey.ac.uk/). 48

Appendice A1 per il codice.

65

5. La segregazione: come si formano i gruppi sociali Uno studio interessante che riguarda la formazione endogena dei gruppi

sociali è il famoso modello di segregazione di Schelling (1978). Lo studio di

Schelling è stimolato da un problema che 26 anni più tardi è ancora di grande

attualità negli Stati Uniti49:

“residential segregation remains a striking feature of the urban landscape in

many large metropolitan areas with significant black populations.”

(Sethi e Somanathan 2004,p.1297)

Nel modello di segregazione si studia, grazie ad un modello ad automi

cellulari50, come evolve la segregazione territoriale dati due tipi di agenti che

preferiscono vivere in zone in cui non siano minoranza. In primo luogo dunque

è da sottolineare che nel modello di segregazione si analizza la formazione di

quartieri segregati, dando una nozione territoriale al concetto di gruppo

sociale. In particolare Schelling considera una popolazione di agenti bianchi e

neri distribuiti casualmente su un piano. La caratterizzazione degli agenti è

generale, l’analisi può riguardare una qualsiasi distinzione dicotomica della

popolazione: maschi e femmine, professori e studenti in un bar universitario,

bianchi e neri (Schelling 1978). Gli agenti vogliono occupare una zona in cui

almeno il 50% dei vicini è del suo stesso colore.

Figura 3. Il vicinato dell'agente che si trova nella zona nera è l'insieme di agenti residenti nelle zone rosse.

49

Un lavoro empirico che si occupa (anche) di verificare la segregazione etnica negli Stati Uniti è Borjas (1995). 50

Per una introduzione agli automi cellulari nello studio delle scienze sociali vedere Gilbert e Troitzsch (2005)

66

Per vicini si intende agenti che occupano i quadrati adiacenti alla zona

dell’agente preso in considerazione. Nella figura 3, se l’agente preso in

considerazione si trova nella zona nera, i suoi vicini sono gli agenti che si

trovano nelle zone rosse. Ogni zona può essere occupata da un solo agente. La

funzione di utilità dell’agente può perciò essere formalizzata come:

= 0 1 < 0.51 1 ≥ 0.5

Dove ∈ 0,1 è la quota di agenti simili all’agente tra i suoi vicini. Gli agenti

hanno la possibilità di muoversi di zona in zona. Questo accade se valgono

entrambe le seguenti condizioni: la zona corrente è abitata in prevalenza da

agenti di etnia diversa < 0.5; esiste una zona adiacente libera. Può essere

aggiunta una terza condizione: esiste una zona adiacente libera che sia più

soddisfacente. Questa condizione potrebbe rappresentare l’ipotesi che lo

spostamento sia costoso, e lo si effettua solo se apporta un miglioramento. La

terza condizione, limitando gli spostamenti riduce la segregazione, senza però

eliminarla. Il risultato di Schelling è che la popolazione si segrega in zone di

colore omogeneo, nonostante la preferenza non richieda segregazione, ossia gli

agenti sono contenti di vivere in zone in cui la popolazione è divisa

esattamente a metà tra i due tipi (o in generale in zone in cui non siano

minoranza). Il risultato dipende dall’interazione tra le scelte degli agenti:

“What is instructive about the experiment is the “unraveling” process. Everybody

who selects a new environment affects the environment of those he leaves and

those he moves among. There is a chain reaction.”

(Schelling 1978,p.151)

Ogni agente che si sposta influenza l’utilità degli agenti che lascia e degli

agenti che incontra, creando la reazione a catena. Il modello è stato simulato

con NetLogo, programma sviluppato appositamente per la simulazione

sociale51. La figura 4 mostra lo stato iniziale. Gli agenti occupano il 70% delle

51

Il programma è scaricabile gratuitamente sul sito: http://ccl.northwestern.edu/netlogo/ . Il codice per permettere la riproduzione del modello di trova nell’appendice A2.

67

zone disponibili, in modo da dare loro la possibilità di muoversi, inoltre essi

sono divisi al 50% tra agenti di colore celeste e agenti di colore blu. Nello stato

iniziale il grado di omogeneità medio delle zone è intorno al 50%52.

Figura 4. Situazione iniziale.

Iniziando la simulazione, già dopo 24 periodi otteniamo l’equilibrio, inteso

come lo stato in cui gli agenti non hanno più la possibilità (o la volontà) di

muoversi. Questo avviene quando ogni agente si trova in un vicinato di suo

gradimento e/o non ha la possibilità di muoversi. Come è evidente dalla figura

5, la popolazione si è divisa in diversi cluster di colore omogeneo. La

percentuale media di omogeneità sale velocemente fino ad arrivare vicina

all’80% (Figura 6). Omogeneità che è ben al di sopra della soglia richiesta dagli

agenti per essere soddisfatti.

52

La distribuzione degli agenti di colori diversi tra le zone è casuale, perciò il gradi di omogeneità può variare intorno al 50%.

68

Figura 5. Situazione al periodo 24. Si nota come si siano formate isole di agenti di colore omogeneo

Figura 6. Il grafico rappresenta la percentuale media di omogeneità per ogni agente. In equilibrio il modello ha una omogeneità dell’80%.

Per rendere visivamente ancora più chiaro il modello supponiamo che gli

agenti occupino solo il 50% delle zone (per renderli ancor più liberi di

muoversi) e che preferiscano vivere non isolati, ossia non solo non vogliono

69

essere minoranza, ma preferiscono vivere in una zona che comprenda almeno

qualche agente53 (Figura 7).

Figura 7. Nella figura a sinistra lo stato iniziale, nella figura a destra una configurazione di equilibrio del modello. Qui sono perfettamente visibili le isole si agenti omogenei.

Il risultato del modello di Schelling mostra in modo chiaro che fenomeni

aggregati possono derivare, in presenza di interazioni sociali, da agenti le cui

caratteristiche sono diverse dalle caratteristiche risultanti dall’aggregazione54.

Interessante è la generalizzazione di Granovetter e Soong (1988), in cui si

inseriscono funzioni che descrivono le preferenze degli agenti e funzioni

dinamiche che descrivono la variazione della composizione del vicinato preso

in considerazione. Mentre nel modello di Schelling (1978) tutti gli agenti hanno

la stessa tolleranza nei confronti della quota di agenti diversi nel vicinato, in

Granovetter e Soong (1988) tale tolleranza varia nella popolazione, riuscendo a

costruire una funzione del tipo ]0.25 = 0.65. In questo caso si afferma che il

65% degli agenti bianchi è disposto ad abitare in un quartiere con una quota

di bianchi pari o superiore al 25%. Essi riescono così a trovare una

formalizzazione analitica della segregazione:

53

La nuova condizione implica che l’agente vuole avere almeno una certa quota di vicini. In particolare, se il numero di zone vicine abitate è inferiore al 50% l’agente si sposta, alla ricerca di una zona in cui almeno il 50% delle zone è abitata, e gli abitanti di tali zone sono almeno per il 50% simili a lui. Questa opzione viene considerata dopo la prima solo perché richiede una ipotesi in più rendendo più opaco un procedimento molto semplice e potente. 54

“We can at least persuade ourselves that certain mechanism could work, and that observable

aggregate phenomena could be compatible with types of “molecular movement” that could not closely

resemble aggregate outcomes that they determine”.(Schelling 1978,p.152)

70

“We showed that Thomas Schelling's models can be expressed in terms of our

system of two coupled difference equations, permitting an exact mathematical

account of his results and such important generalizations as the incorporation of

preferences for integration and the extension to more than two groups.”

(Granovetter e Soong 1988,p.103)

Esistono tuttavia delle limitazioni a questo tipo di modello 55 . In

particolare, è importante riuscire ad inserire una fondazione microeconomica

più rigorosa, in modo da incorporare altri fattori che possano influenzare la

scelta della zona dove vivere, fattori che sono esattamente ciò che viene

studiato dalla teoria dei “Neighborhoods Effect” (Durlauf 2003). Sethi e

Somanathan (2004), partendo dalla constatazione che la differenza di reddito

dei gruppi etnici è diminuita e che la segregazione è rimasta alta, costruiscono

un modello di segregazione che si sviluppa lungo due variabili: appartenenza

etnica e reddito. Essi trovano che anche quando la differenza di reddito è

piccola esistono equilibri multipli, alcuni dei quali sono di alta segregazione.

La segregazione non è limitata a fattori etnici, ma si sviluppa spesso

anche per fattori puramente economici. Il modello in Durlauf (1996) ne è un

esempio interessante. Importanti ai fini delle interazioni sociali, sono le

differenze tra le esternalità che possono esistere tra quartieri ad alto reddito e

quartieri a basso reddito. L’esistenza di effetti di “role model” positivi dati dagli

individui anziani del quartiere che hanno avuto successo, possono rendere

grande la differenza tra i diversi quartieri (Durlauf 1996). Nel modello di

Durlauf, le famiglie più ricche hanno l’incentivo ad isolarsi per garantire un

più alto livello di educazione per i figli (sia per finanziamento locale, sia per

l’effetto positivo supposto di una comunità ad alto reddito). Quando le forze

che creano omogeneità dei quartieri emergono, le famiglie povere verranno

isolate nei quartieri più poveri56. Tale isolamento può indurre persistente (o

permanente) povertà tra quelle famiglie che non riescono a generare un

55

Oltre a quella ovvia riconosciuta dallo stesso Schelling: “The results of course are only suggestive,

because few of us live in square cells on a checkerboard”

(Schelling 1971,p.151) 56

Nell’appendice B si trova un confronto tra i redditi medi nei quartieri romani.

71

investimento in educazione tale da permettere ai figli di evadere da lavori che

producono bassi redditi (Durlauf 1996).

6. Stima dei parametri di interazione: problema di

identificazione e autoselezione.

Studiare e stimare i parametri che caratterizzano l’interazione sociale è

un compito difficile. In particolare esistono due problemi importanti

nell’analisi dell’interazione sociale: il problema di identificazione ed il problema

dell’autoselezione.

6.1 Il problema di identificazione Il problema dell’identificazione è stato studiato per la prima volta da

Manski (1993), definendolo come il problema di “riflessione”57. Il problema

dell’identificazione (o “riflessione”) tenta di comprendere sotto quali condizioni

è possibile identificare econometricamente le interazioni sociali. Il tema è stato

affrontato da Manski (1993), Durlauf (2003), Blume e Durlauf (2005).

Seguendo Blume e Durlauf (2005) e Manski (1993) studiamo il problema di

identificazione nell’ambito di un modello lineare:

6 a = V + # + BH- + r!e%a-,d& + N

La (6) è la stessa funzione del paragrafo 3. L’obiettivo è stimare i

parametri V, , B e r . Riprendendo la terminologia di Manski (1993), H-

rappresenta l’effetto contestuale, !e%a-,d& rappresenta l’effetto endogeno e N rappresenta l’effetto di correlazione. Il problema di identificazione si verifica a

causa della difficoltà a separare l’effetto endogeno e l’effetto contestuale, dato

che i due tipi di effetto si muovono insieme. Per chiudere il modello (6) è

necessario specificare delle ipotesi sulle aspettative dell’individuo rispetto al

comportamento atteso degli altri membri del gruppo. Supponiamo valgano

attese razionali. L’agente conosce la forma lineare del modello, il valore di # di

57

La metafora dello specchio: “The term reflection is appropriate because the problem is similar to that

of interpreting the almost simultaneous movements of a person and his reflection in a mirror. Does the

mirror image cause the person's movements or reflect them? An observer who does not understand

something of optics and human behaviour would not be able to tell.” (Manski 1993,p.532)

72

tutti gli agenti, il valore di H-, e l’attesa di comportamento di equilibrio del

gruppo. Gli agenti non possono osservare la scelta degli altri agenti ed il

termine casuale N . Allora l’attesa dell’individuo sul comportamento degli

agenti nel suo gruppo sociale, supponendo che il valore atteso di N = 0, sarà:

7 !e%a-,d& = !- = V + #- + BH-1 − r = V + BH-1 − r + #-1 − r

Dove #- è la media delle caratteristiche individuali nel gruppo sociale <, e

H- è l’effetto contestuale, ossia l’effetto delle caratteristiche del gruppo sociale

sul comportamento degli individui che ne fanno parte. Dato che le aspettative

sono razionali e tutti gli agenti hanno a disposizione le stesse informazioni,

l’attesa della (7) vale per tutti i membri del gruppo sociale <, possiamo perciò

scrivere !- . Dalla (7) si nota come l’attesa del comportamento medio dei

membri del gruppo sociale dipenda linearmente dalla media delle

caratteristiche individuali, #-, e dall’effetto contestuale H-. In questo contesto,

se il ricercatore non dispone delle informazioni sulle caratteristiche specifiche

degli agenti membri del gruppo sociale, #, e delle caratteristiche contestuali, il

modello lineare di interazione sociale non è identificato, si verifica il problema

di “riflessione” (Manski 1993). Per vedere meglio il problema supponiamo che

l’effetto contestuale sia determinato dalle caratteristiche medie dei membri del

gruppo sociale, H- = #-. La (7) si riduce in questo caso a:

8 !- = V + + BH-1 − q

Da cui è evidente che il regressore !- è linearmente dipendente dagli altri

regressori, ed in questo caso particolare da H- . Perciò se si osserva che la

scelta dell’individuo è correlata con l’attesa del comportamento medio nel

gruppo sociale, la (8) indica che tale correlazione può essere dovuta al fatto

che !- semplicemente “rifletta” il ruolo dell’effetto contestuale nell’influenzare

le decisioni individuali. La conclusione di Manski (1993):

Inference on endogenous effects is not possible unless the researcher has prior

information specifying the composition of reference groups. If this information is

73

available, the prospects for inference depend critically on the population

relationship between the variables defining reference groups and those directly

affecting outcomes. Inference is difficult to impossible if these variables are

functionally dependent or statistically independent. The prospects are better if

the variables defining reference groups and those directly affecting outcomes are

"moderately" related in the population.”

(Manski 1993,p.532)

Il problema si pone con gravità minore se l’attesa del comportamento

medio (fattore endogeno) non è linearmente dipendente dal fattore contestuale.

Condizione necessaria affinché questo avvenga è che il termine #- 1 − r sia

non linearmente dipendente da H-, ossia se esiste almeno un regressore in # il cui valore medio di gruppo non appare in H- (Blume e Durlauf 2005). Inoltre,

mentre il problema di identificazione è naturale nei modelli lineari, il risultato

non è necessariamente generalizzabile ad altre strutture quali ad esempio il

modello di scelta binaria di Brock e Durlauf (2001). (Blume e Durlauf 2005,

Durlauf 2003)

6.2 Autoselezione Dato che l’appartenenza ad un dato gruppo sociale non è stocastica,

nasce il problema dell’autoselezione. Infatti in molti contesti l’appartenenza ad

una dato gruppo sociale è essa stessa una variabile di scelta. La decisione di

una famiglia di abitare in una data zona non è casuale, bensì dipende dalle

caratteristiche della zona presa in considerazione, dal reddito, e dal tipo di

residenti della zona. La scelta del gruppo sociale di appartenenza è, nella

maggior parte dei casi, endogena, ossia dipende dalle caratteristiche

individuali degli agenti. I gruppi sociali perciò non sono campioni casuali della

popolazione e nello studio empirico dei comportamenti individuali e dei gruppi

sociali è necessario prendere in considerazione il problema dell’autoselezione.

Uno studio empirico che non prenda in considerazione la possibilità

dell’autoselezione, troverà risultati che sovrastimano la presenza di effetti di

interazione sociale (Evans Oates and Schwab 1992, Durlauf 2003, Blume e

Durlauf 2005). Intuitivamente, la presenza di effetti di interazione sociale viene

74

sovrastimata perché si considerano parte dell’influenza delle interazioni

sociali, comportamenti che derivano in realtà dalle caratteristiche non

osservabili degli agenti. Per fare un esempio prendiamo in considerazione un

gruppo di giovani studenti poco studiosi. Se il gruppo di amici si è formato a

causa della comune tendenza a studiare poco, e non si prende in

considerazione tale fattore, il loro basso rendimento verrà imputato agli effetti

del gruppo. In realtà tali studenti non sono poco studiosi perché gruppo, bensì

sono gruppo perché poco studiosi. Riferendoci ancora al modello descritto

dalla (6), l’autoselezione perciò implica che il valore atteso della componente

casuale di scelta (che comprende tutte le componenti non osservabili), N ,

possa essere diverso da zero (ricordiamo che in Manski (1993), la componente

N è la componente di correlazione). Formalizzando il comportamento degli

individui nei termini dell’equazione (6) in presenza di auto selezione, il termine

N deve essere diviso tra una componente sistematica ed una componente

casuale. Il termine N dipende anche dal gruppo sociale di cui fa parte

l’individuo :

8 a = V + # + BH- + rY- + $ lN# , H-, ∈ < m +

Dove < , è il gruppo di appartenenza dell’individuo . Una soluzione a

tale problema è possibile trovarla in Heckman (1979), in Durlauf (2003), e in

Blume e Durlauf (2005) (i quali riprendono le argomentazioni di Heckman) e in

Evans, Oates, and Schwab (1992). Heckman studia l’errore che deriva da una

specificazione errata del campione. Se i gruppi sociali sono formati a seguito di

processi endogeni, il gruppo sociale non può essere considerato come un

campione casuale della società58. Per risolvere il problema, Heckman propone

l’introduzione di un nuovo regressore che sia capace di stimare le variabili che,

quando omesse dalla regressione, danno luogo all’errore di specificazione59.

Seguendo l’approccio di Heckman una stima consistente della (8) richiede una

58

Sample selection bias may arise in practice for two reasons. First, there may be self selection by the

individuals or data units being investigated. Second, sample selection decisions by analysts or data

processors operate in much the same fashion as self selection. (Heckman 1979,p.154) 59

…it is sometimes possible to estimate the variables which when omitted from a regression analysis

give rise to the specification error. The estimated values of the omitted variables can be used as

regressors so that it is possible to estimate the behavioral functions of interest by simple methods. (Heckman 1979,p. 154)

75

stima consistente del termine $ lN# , H-, ∈ < m, il quale verrà poi incluso

come regressore aggiuntivo nella (8) (Durlauf 2003). È interessante l’indagine

proposta da Evans, Oates, and Schwab (1992). Essi studiano l’influenza delle

interazioni sociali sulla probabilità di gravidanze adolescenziali. In particolare

stimano tali influenze in due modelli distinti (naturalmente con gli stessi dati),

il primo è un modello in cui il gruppo sociale è esogeno. Nel secondo modello

considerano il gruppo sociale endogeno, stimando anche il gruppo di

appartenenza e costruendo un modello ad equazioni simultanee. Il risultato è

eclatante: nel primo modello esiste un’influenza significativa delle interazioni

sociali, influenze che spariscono60 nel secondo modello. Nel campione preso in

esame, l’effetto che nel primo modello viene attribuito al gruppo di

appartenenza, può, nel secondo modello, essere attribuito alle scelte della

famiglia. Questo non significa che le influenze delle interazioni sociali non

esistano, bensì indica l’importanza che l’autoselezione ha sui risultati empirici

(Evans, Oates, and Schwab 1992,p.969).

7. Le indagini empiriche Esiste un’ampia letteratura che studia empiricamente l’esistenza degli

effetti di interazione sociale, e tale letteratura tende a dimostrare che gli effetti

delle interazioni sociali sono statisticamente significativi ed importanti (Akerlof

1997, p. 1007). È importante però leggere ogni indagine empirica con le

avvertenze indicate nei paragrafi precedenti. Data l’estensione della letteratura

illustreremo solo una rassegna dei risultati principali61

Esperimenti

È interessante l’esperimento di Sherif et al (1961) conosciuto come il

Robber Cave Experiment e descritto in Durlauf (2003). Sherif e collaboratori

hanno portato un gruppo di ragazzi di classe sociale media ad un campo a

Robbers Cave Oklahoma. Per le prime due settimane di campo, le interazioni

tra i ragazzi non sono state controllate dagli sperimentatori. Dopo le due

60

In the standard model presented in Section III, we find a moderate and statistically significant peer

group effect on teenage pregnancy. In the expanded model presented in Section IV, this effect disappears

completely! (Evans, Oates, and Schwab 1992,p.969) 61

Cfr. Durlauf (2003),

76

settimane il gruppo è stato diviso in modo casuale in due gruppi (casualità

parziale: sono stati attenti a dividere le amicizie nate prima della divisione). I

due gruppi sono stati impegnati in gare e giochi competitivi; Sherif et al. (1961)

documenta come questi gruppi siano diventati presto fonte di forte senso di

identità. I membri di ogni gruppo hanno sviluppato stereotipi negativi, in

termini di intelligenza e onestà, sui membri del gruppo concorrente. Questo

esperimento rende evidente come l’appartenenza ad una comunità, anche

assegnata casualmente, può influenzare la cognizione e il comportamento nei

confronti degli altri.

Un altro esperimento interessante è stato condotto da Falk e Ichino

(2003). Falk e Ichino assumono un gruppo casuale di individui. Organizzano le

persone assunte in modo casuale in gruppi di dimensione diverse (da soli o in

coppia) ed affidano loro il compito di riempire buste, con un compenso

indipendente dal lavoro effettivamente svolto. Vengono studiate due situazioni.

Nella prima due lavoratori lavorano insieme nella stessa stanza. In questa

situazione è possibile che i componenti della coppia siano influenzati dal

comportamento del proprio compagno, ossia è possibile che vi siano influenze

di “peer group”. Falk ed Ichino parlano di influenze positive tra lavoratori se il

prodotto di influenza sistematicamente il prodotto di q e viceversa, portando i

membri della coppia a livelli di produzione simili. Nella seconda situazione i

lavoratori vengono fatti lavorare da soli. Questa seconda parte dell’esperimento

serve da controllo, gli effetti di interazione sono esclusi per costruzione dato

che i lavoratori lavorano da soli nelle stanze. Il prodotto in questo caso rivela la

produttività in caso di assenza di influenze derivanti dall’interazione. Il

confronto tra i livelli di produttività emergenti dalle due situazioni permette a

Falk ed Ichino di affermare o meno l’esistenza di effetti di interazione tra il

lavoratori. I loro risultati confermano che tali interazioni esistono. In primo

luogo si riscontra una forte omogeneità della produttività nelle coppie, a fronte

di una forte eterogeneità della produttività tra le coppie. Confrontando lo

scarto quadratico medio della produttività nelle coppie e nelle coppie simulate

formate dai lavoratori singoli “We show that peer effects are large and highly

significant” (Falk e Ichino 2003,p.5). Inoltre anche se gli incentivi economici

sono identici, il prodotto medio dei lavoratori è superiore quando lavorano in

coppia rispetto a quando lavorano singolarmente. Infine emerge che le

77

interazioni influenzano gli agenti in modo diverso, in particolare aumenta la

produttività dei lavoratori meno produttivi. Anche se è difficile trasportare

questi risultati nei modelli di interazione sociale studiati convenzionalmente,

sicuramente rafforza l’idea generale che le influenze sociali hanno un ruolo

importante nella determinazione dei comportamenti (Durlauf 2003).

Studi econometrici

Dal lavoro pionieristico di Datcher (1982) si è sviluppata una ricca

letteratura empirica diretta all’affermazione degli effetti delle interazioni

sociali. La gran parte della letteratura sembra trovare conferme all’esistenza di

effetti delle interazioni sociali, anche se molti lavori subiscono l’influenza dei

pregiudizi degli autori (Durlauf 2003). Esistono tuttavia diverse problematiche

riguardanti la sistematicità dei lavori econometrici, le variabili misurate e il

metodo stesso di misura cambiano rendendo difficile il confronto tra i risultati

(Mayer e Jencks 1989; Ginther, Havemann, Wolfe 2000). Questo implica anche

la difficoltà di trasferire i risultati in modelli teorici microfondati. Inoltre sono

stati spesso sottovalutati i problemi di identificazione e autoselezione e non è

stata controllata sistematicamente la robustezza dei risultati (Durlauf 2003).

In poche parole, nonostante la grande mole di lavoro econometrico, le prove

sugli effetti delle interazioni sociali ottenute non sempre possono essere

ritenute decisive.

Datcher (1982) studia le differenze di reddito tra neri e bianchi, ed

ipotizza che tali differenze possano derivare da differenze nei quartieri e nelle

attitudini dei genitori. Il modello statistico di Datcher può essere rappresentato

con il seguente sistema ricorsivo:

2 = u + + XX +

H = u + # + X#X + |2 + X

Dove Y è il logaritmo del reddito, S è il numero di anni di scolarizzazione,

# e sono, rispettivamente, le variabili esplicative del reddito e della

scolarizzazione. Supponendo $X|# , 2 = 0, $| = 0 e la covarianza tra X e

nulla, Datcher utilizza il metodo dei minimi quadrati. I tentativi precedenti

di esaminare l’effetto del background individuale sui risultati erano limitati a

78

stimare l’impatto della famiglia. Modelli che utilizzano solo queste variabili non

riescono però ad avere una accurata visione delle differenze etniche negli

effetti di interazione sociale, dato che trascurano importanti caratteristiche dei

quartieri nei quali abitano gli agenti (Datcher 1982). Per ottenere una stima

accurata degli effetti delle diverse comunità e famiglie sui risultati dei membri,

si dovrebbero possedere misure effettive dei beni che la famiglia e la comunità

usano per produrre il capitale umano dei giovani. Purtroppo tali misure non

esistono, perciò Datcher inserisce nella regressione le seguenti variabili proxy:

educazione del padre, educazione della madre, reddito della famiglia,

dimensione della zona di origine, regione di origine, numero di fratelli, reddito

medio del quartiere e percentuale di abitanti bianchi nel quartiere. I risultati

dell’analisi di Datcher confermano l’importanza della qualità del quartiere di

residenza nella generazione di differenze nella scolarizzazione e nel reddito sia

all’interno dei gruppi etnici, sia tra gruppi etnici. Sia il reddito medio che la

composizione etnica dei quartieri contribuisce alla differenza tra i gruppi

etnici. Come è stato detto, questo è il primo di una lunga serie di lavori che

hanno tentato di accertare gli effetti che i gruppi sociali hanno sugli individui

tramite studi econometrici. In Durlauf (2003) è possibile trovare un lungo

elenco di lavori e risultati, risultati generalmente a favore dell’esistenza delle

interazioni sociali, ma risultati che come si è detto mancano in qualche caso di

una base solida. Drewianka (2003) è interessante in quanto prende

direttamente in considerazione il problema di riflessione di Manski (1993).

Drewianka (2003) scopre che vi sono effetti di interazione sociale nella ricerca

del partner. Nonostante i problemi di identificazione e autoselezione, sotto

alcune condizioni gli effetti di interazione sociale “can be both quantifiable and

consequential” (Drewianka 2003,p.422). Borjas (1995) oltre a confermare

l’esistenza di effetti dovuti al quartiere dove si abita, è interessante in quanto

dimostra empiricamente l’esistenza di segregazione etnica62. Borjas esamina la

percentuale di popolazione proveniente da una data etnia sull’intera

popolazione statunitense, e la confronta con la percentuale media di vicini

simili delle stessa etnia scoprendo che la seconda è molto più ampia (Borjas

1995,p.368). Ad esempio, la popolazione di origine italiana negli Stati Uniti era 62

“I conclude the descriptive analysis of the Census data by documenting that ethnic residential

segregation exists across a number of demographic and skill groups” (Borjas 1995, p.370)

79

nel 1970 il 2,8% sul totale della popolazione. L’immigrato italiano “tipico”

abitava nello stesso anno in quartieri in cui la percentuale di italiani arrivava

al 12,1%.

Quasi esperimenti

Una alternativa importante all’utilizzo di dati osservati può essere l’uso

dei dati in cui il governo interviene sulle scelte degli individui per valutare gli

effetti delle interazioni sociali. Questo tipo di interventi vengono chiamati

“quasi esperimenti” (Durlauf 2003). L’idea è che l’intervento definisce gruppi di

individui che ricevono o non ricevono un trattamento. Un esempio di questo

tipo di intervento è il programma Gautreaux. Nel 1967 Dororthy Gautreaux ha

fatto causa alla Chicago Housing Autorithy, affermando che il collocamento

delle famiglie povere in quartieri poveri era una forma di discriminazione. Una

sentenza consensuale tra le parti in causa ha portato ad un programma

abitativo che sostanzialmente assegnava un gruppo di famiglie ad altre parti

della città e un altro gruppo alle zone residenziali appena fuori Chicago. Il

sociologo James Rosebaum ha organizzato e condotto interviste con le famiglie

coinvolte nel programma per determinare gli effetti di abitare nelle zone

residenziali sulle famiglie povere. Egli mostra come le famiglie trasferite nelle

zone più ricche della città abbiano subìto un miglioramento delle condizioni di

vita. Descriviamo caratteristiche e risultati seguendo Rosebaum (1995). Il

programma Gautreaux permette ai partecipanti di evitare le normali barriere

che impediscono alle famiglie dei quartieri poveri di abitare in quartieri a

medio reddito, fornendo sussidi che permettono di vivere in appartamenti in

zone residenziali a medio reddito allo stesso costo delle case popolari (“public

housing”). Le zone residenziali con una quota di bianchi inferiore al 70% sono

escluse dalla sentenza, mentre zone ad altissimo costo sono escluse dai fondi

limitati del programma. Inoltre la tipologia delle famiglie partecipanti avevano

tre limiti: dovevano avere meno di quattro figli, non avere debiti eccessivi e

tenere la casa in modo soddisfacente. Questi tre limiti tuttavia hanno ristretto

l’insieme delle famiglie eleggibili solo del 30%. Tutte le famiglie partecipanti

erano a basso reddito, ed avevano vissuto buona parte delle loro vite in

quartieri cittadini poveri. La procedura di selezione ha creato le condizioni per

un quasi esperimento. Tutte le famiglie provenivano da quartieri poveri a

80

maggioranza nera (normalmente da progetti abitativi pubblici), alcuni spostati

in quartieri residenziali a medio reddito e maggioranza bianca altri in altri

quartieri neri a basso reddito. In linea di principio i partecipanti hanno la

possibilità di scegliere dove traslocare, ma in pratica essi sono assegnati alle

diverse zone in modo quasi-casuale. Questo perché le offerte di alloggio

alternativo erano rifiutabili, ma non venivano mai rifiutate data la bassa

probabilità di ottenere nuove offerte. Di conseguenza le preferenze delle

famiglie, di traslocare in quartieri residenziali o in altri quartieri urbani, non

aveva influenza su dove le famiglie sono effettivamente andate a vivere. Le

famiglie sono state perciò divise in due gruppi: un gruppo viene traslocato in

zone residenziali a medio reddito (gruppo sperimentale), un altro gruppo viene

traslocato in altri quartieri cittadini a basso reddito (gruppo di controllo). La

procedura di selezione evita l’autoselezione (iniziale), e permette ai due gruppi

di avere caratteristiche molto simili. Lo studio degli effetti del cambiamento

delle condizioni di vita ha avuto luogo tramite una indagine su 332 adulti, di

cui 95 intervistati in modo dettagliato. Il primo studio sui bambini ha avuto

luogo su un campione casuale di bambini in età scolare (da 8 a 18 anni) da

ognuna delle 114 famiglie nel 1982, ed un secondo studio sugli stessi bambini

nel 1989, quando erano ormai adolescenti o adulti, esaminando i loro risultati

scolastici e lavorativi.

I risultati

In primo luogo in Rosebaum (1995) vengono analizzati gli effetti del

trasloco sugli adulti. È da premettere che data la provenienza da ambienti a

basso reddito, gli adulti potevano avere problemi di tipo motivazionale, che

avrebbero potuto incidere negativamente sui loro risultati. La discriminazione

da parte dei datori di lavoro, le poche abilità acquisite a causa di lunghi

periodi di disoccupazione, e la frequentazione di scuole di bassa qualità inoltre

potevano impedire l’inserimento nel mercato del lavoro delle zone residenziali a

medio reddito. Nonostante queste difficoltà Rosebaum (1995) trova

miglioramenti nelle condizioni lavorative degli adulti traslocati nelle zone

suburbane rispetto agli adulti traslocati in zone a basso reddito. Durante le

interviste coloro che avevano traslocato in zone a medio reddito hanno

evidenziato come le maggiori opportunità lavorative, la maggiore percezione di

81

sicurezza e la presenza di una comunità in gran parte lavorativa avevano

aiutato ad ottenere un lavoro. In particolare, la presenza di “role model” e

norme sociali “positive” avevano spinto gli intervistati alla ricerca di un lavoro,

confermando le teorie che affermano l’importanza delle interazioni sociali sulla

vita degli individui (Durlauf 2003).

I risultati ottenuti sui giovani in età scolare sono stati più chiari. In

primo luogo deve essere sottolineato come le difficoltà delle condizioni iniziali

siano importanti anche per i giovani in età scolare. La bassa preparazione

delle scuole di bassa qualità dei quartieri poveri ha reso effettivamente difficile

l’adattamento alle aspettative più alte da parte dei docenti e ai programmi più

avanzati delle scuole nei quartieri residenziali (riscontrati in voti più bassi per

gli studenti traslocati nelle zone residenziali). Nel 1982, dopo sei anni nelle

zone residenziali, le loro condizioni erano però già migliorate. Inoltre genitori e

alunni hanno espresso un alto apprezzamento per la qualità educativa, come è

possibile evincere anche dalle interviste di Rosebaum ai genitori coinvolti63.

Nel 1989 venne fatta una nuova indagine sugli stessi soggetti, e risultò

un notevole miglioramento dei risultati scolastici e lavorativi rispetto al

campione di controllo dei residenti nelle zone povere della città. Il tasso di

abbandono scolastico era stato del 5% nelle zone residenziali ed il 20% nelle

zone cittadine. I voti, nonostante la maggiore difficoltà delle scuole residenziali,

erano uguali tra i due campioni. Il 54% dei ragazzi delle zone residenziali era

iscritto al college contro il 21% dei ragazzi delle zone cittadine. Inoltre tra

coloro che non frequentavano il college, il 75% dei giovani delle zone

residenziali aveva un lavoro a tempo pieno contro il 41% dei giovani delle zone

cittadine. I risultati erano stati talmente promettenti che ci fu un aumento

nello sforzo sperimentale attraverso il programma “Moving to Opportunity”

(MTO), il quale venne intrapreso dal 1994 in cinque città: Baltimora, Boston,

Chicago, Los Angeles e New York (Rosebaum e Harris 2001, Durlauf 2003). Il

programma prevedeva la distribuzione di buoni per la casa ad un campione

63

Un esempio riportato in Rosebaum: “The move affected my child’s education for the better. I even

tested it out… [I] let her go to summer school by my mother’s house [in Chicago] for about a month…She

was in fourth grade at that time…Over in the city, they were doing third grade work; what they were

supposed to be doing was fourth grade. The city curriculum seemed to be one to three years behind the

suburban schools”

(citato in Rosebaum 1995,p.241)

82

casuale di famiglie; il gruppo di famiglie sussidiate è stato ulteriormente diviso

casualmente in famiglie con buoni non vincolati (conosciuti come gruppo

Sezione 8) e buoni che potevano essere usati solo in zone con tassi di povertà

inferiori al 10% (conosciuto come il gruppo Sperimentale). I risultati sono stati

interessanti; si è infatti riscontrata una forte riduzione tra i giovani di queste

famiglie dell’incidenza di problemi comportamentali e di problemi di salute (sia

per la Sezione 8 che per il gruppo Sperimentale). I risultati per gli adulti sono

stati meno significativi. Si è rilevato un aumento delle ore lavorate, aumento

che è stato del 35% più forte nelle famiglie della Sezione 8; è stato trovato una

sostanziale diminuzione dei problemi legati alla depressione per le famiglie del

gruppo Sperimentale, mentre da questo punto di vista non c’è stato

miglioramento nelle condizioni della Sezione 8.

È importante sottolineare le limitazioni dei “quasi-esperimenti” dell’MTO.

Il più importante, sottolineato anche da Rosebaum (1995), è la mancanza di

dati su coloro che hanno abbandonato il programma. Esistono due motivazioni

per le quali il programma veniva abbandonato. In primo luogo il miglioramento

delle condizioni poteva portare a redditi che superavano il limite necessario a

far parte dei programmi abitativi pubblici. In questo caso gli effetti riscontrati

nell’MTO sarebbero sottostimati. In secondo luogo è possibile che le famiglie si

siano trovate a disagio nelle nuove residenze ed abbiano deciso di tornare nei

quartieri di origine. In questo caso ci troveremmo di nuovo di fronte ad

autoselezione: solo i migliori sono rimasi nel programma, sovrastimando gli

effetti del miglioramento delle condizioni del quartiere. Inoltre deve essere

riconosciuto che parte dei miglioramenti possa essere dovuto all’aumento di

reddito associato con i sussidi (Durlauf 2003). Infine esiste una questione di

generalizzazione. Non è possibile applicare il programma Gauetraux su larga

scala. Traslocare un grande numero di famiglie povere in quartieri ad alto

reddito, farebbe probabilmente traslocare i residenti del quartiere, abbassando

la qualità del quartiere (può essere visto come un effetto simile all’effetto a

catena del modello di Schelling) e rendendo inutile il trasloco (Durlauf 2003).

83

Capitolo IV Un approccio computazionale all’economia

1.La simulazione ad agenti L’esigenza di microfondare i modelli macroeconomici, pur essenziale per

produrre una teoria macro coerente e significativa, si è scontrata con le

difficoltà di formalizzazione matematica dell’economia. Il sistema economico è

infatti un sistema complesso (Tesfatsion 2005) in cui le scelte degli agenti

hanno influenze dirette sulle scelte degli altri agenti e sull’ambiente in cui

operano gli agenti; se la matematica ha i pregi dell’eleganza e della facile

comprensione delle relazioni descritte, essa ha i difetti della difficoltà di analisi

e della scarsa flessibilità. Riuscire a formalizzare matematicamente un sistema

economico, completo delle sue interrelazioni, è pressoché impossibile; da

questa impossibilità nasce l’agente rappresentativo. Come è stato argomentato

nel capitolo II, l’agente rappresentativo non è però una semplice convenienza

analitica, ma è il modo di rendere trattabile un sistema che trattabile non è,

rendendo lineare un sistema non lineare, e supponendo isolati agenti che non

sono isolati. Queste semplificazioni e modificazioni del quadro d’analisi

portano a risultati spesso fuorvianti ed errati (Kirman 1992). Pertanto la

convinzione che per lo studio dell’economia sia fondamentale basarsi sullo

studio degli agenti microeconomici, rende necessario superare la “pseudo-

microfoundations”64 ricercando una microfondazione appropriata. È necessaria

una costruzione dei modelli economici partendo da una prospettiva “bottom-

up”, incentrando l’analisi sulle caratteristiche micro dei sistemi economici, in

contrasto con la natura “top-down” della macroeconomia tradizionale (Fagiolo

e Roventini 2008). Abbandonare l’ipotesi dell’agente rappresentativo porta a

dover considerare la complessità dell’economia. La complessità dei sistemi

economici è enorme, e tale complessità è dovuta al fatto che i sistemi

64

“It should be clear by now that the assumption of a representative individual is far from innocent; it is

the fiction by which macroeconomists can justify equilibrium analysis and provide pseudo-

microfoundations. I refer to these as pseudo-foundations, since the very restrictions placed on the

behavior of the aggregate system are those which are obtained in the individual case and, as we have

seen, there is no formal justification for this.” (Kirman 1992, p.125)

84

economici sono formati da miriadi di individui, ognuno con uno scopo ed una

volontà autonoma, il cui comportamento si traduce in un comportamento

aggregato che spesso può essere completamente diverso da quello deducibile

dalle caratteristiche delle singole componenti (Terna 2006). L’esempio più

utilizzato per visualizzare il problema è il formicaio. Il comportamento semplice

delle singole formiche si aggrega in un comportamento complesso del

formicaio. Nessuna formica (probabilmente) si rende conto dell’effetto del

proprio comportamento sul comportamento aggregato, così come nessun

agente economico si rende conto della propria influenza sui risultati

aggregati65. La “mano invisibile” di Adam Smith può allora essere considerata

come una proprietà emergente del sistema economico e come tale deve essere

studiata: quando un equilibrio esiste esso è raggiunto grazie alle scelte

individuali degli agenti economici (Testfatsion 2005, Axtell 2005). Le proprietà

aggregate del sistema economico non sono deducibili dalla semplice

osservazione degli elementi che lo compongono, le interazioni interne svolgono

un ruolo determinante, esse infatti rendono differente il sistema dalla somma

degli elementi: avviene il fenomeno dell’emergenza. L’esigenza di una

microfondazione appropriata, lo sviluppo dei computer e di nuovi linguaggi di

programmazione, hanno permesso di sviluppare un approccio computazionale

all’economia, aprendo la strada allo studio dell’economia concepita come

sistema complesso (Gilbert 2004). Grazie agli strumenti informatici è infatti

possibile superare i problemi di trattabilità analitica di modelli che

incorporano la complessità, basare i modelli sugli agenti e sulle loro

interrelazioni. La simulazione ad agenti permette la creazione di società

“artificiali” in cui possono essere rappresentati direttamente individui ed

organizzazioni, ed in cui può essere osservato l’effetto delle loro interazioni

(Gilbert 2004).

2. Simulazione e metodologia tradizionale Il riferimento costante all’informatica è prova dell’importanza che ha lo

sviluppo del software nella simulazione ad agenti. Lo strumento della

simulazione sembra indispensabile per inserire interazioni ed eterogeneità nei

modelli economici (Leombruni e Richiardi 2005, p.104). Nel dibattito sulla 65

“L’economia è il risultato dell’azione umana, ma non è un progetto degli uomini” (Terna 2006, p. 23)

85

validità scientifica della simulazione come strumento di indagine e di

rappresentazione della teoria, si arrivò alla definizione della simulazione come

strumento diverso ed autonomo dalla matematica e dalla descrizione

puramente verbale con Ostrom (1988). Ostrom (1988) descrive la simulazione

come il terzo sistema simbolico diverso dal sistema matematico e dal sistema

verbale66. La simulazione non deve sostituire la matematica e la descrizione

verbale dei modelli, bensì li deve integrare con la sua nuova e diversa capacità

descrittiva (Holand e Miller 1991, p.366). Alcuni tipi di simulazione

permettono di superare i limiti della descrizione matematica e verbale

aumentando enormemente le potenzialità esplicative (Fontana 2006). I modelli

matematici hanno il grande pregio della calcolabilità67, le regole di analisi

proprie della matematica permettono infatti di trarre informazioni dal modello,

fornendo inoltre un linguaggio universale grazie al quale ogni risultato può

essere confermato o contestato. D’altra parte la matematica appare troppo

rigida, soprattutto quando l’oggetto dell’analisi è il comportamento umano. La

descrizione verbale, a sua volta, permette la flessibilità e il dettaglio precluse

alla matematica, perdendone però quasi sempre il rigore. Date le

caratteristiche della simulazione, Ostrom (1988) ne afferma la superiorità

rispetto agli altri due sistemi simbolici, in quanto riesce ad essere intersezione

dell’espressione verbale e della matematica. Ogni teoria esprimibile con i primi

due sistemi simbolici può essere espressa anche con il terzo sistema

simbolico. La simulazione computazionale può essere usata per rappresentare

sia il linguaggio naturale che le costruzioni matematiche 68 (Ostrom 1988,

p.383).

Dal punto di vista strettamente economico, la perdita della rigidità della

matematica, se da una parte permette lo studio di fenomeni innegabilmente

interessanti come l’eterogeneità e le interazioni, dall’altra mette in discussione

una metodologia di studio affermata da tempo. La matematica permette di

66

Vedi anche Holand e Miller (1991), Axelrod (1997), Gilbert e Terna (2000), Fontana (2006). 67

La calcolabilità dei modelli economici è in realtà non sempre garantita (vedere ad esempio Rustem e Velupillai (1990)). Nel testo ci riferiamo ai modelli calcolabili, che abbiano perciò imposto le ipotesi necessarie a rendere l'analisi matematica completa 68

Naturalmente poi è compito del ricercatore capire quale sia il sistema simbolico più efficiente per esporre la propria teoria (Ostrom 1988). La “superiorità” del terzo sistema simbolico si trova nella capacità di esprimere teorie esprimibili negli altri due sistemi simbolici. La scelta della simulazione deve avvenire quando si trattano sistemi complessi, caso in cui i sistemi simbolici tradizionali sono inadatti (Ostrom 1988).

86

dimostrare proposizioni valide per intere classi di funzioni ed ipotesi, mentre la

simulazione manca decisamente di questa possibilità. Riferendoci però alle

discussioni dei capitoli precedenti, la trattabilità matematica è garantita da

ipotesi molto restrittive, che restringono di conseguenza anche la portata dei

risultati. Spesso inoltre i modelli economici differiscono tra loro per le ipotesi

adottate, ipotesi che naturalmente influiscono sui risultati, rendendo valide le

conclusioni solo per le corrispondenti ipotesi. In ogni caso, anche se si ripone

cieca fiducia nell’eleganza matematica, vale sicuramente la pena dare la

possibilità ai modelli di simulazione ad agenti di esprimere i propri pregi per

essere poi valutati. Secondo Leombruni e Richiardi (2005) il “mainstream” è

ancora scettico nei confronti della simulazione69. In particolare le critiche si

rivolgono alla difficoltà di interpretazione e generalizzazione dei modelli; e la

difficoltà di stima. Seguendo Leombruni e Richiardi (2005) discutiamo tali

critiche.

2.1 Generalizzazione e stima Un fraintendimento frequente riguardo le simulazioni è che esse non

offrono un insieme di equazioni che possano facilmente essere interpretate e

generalizzate. In effetti la simulazione consiste di equazioni definite,

stocastiche o deterministiche, che definiscono la dinamica aggregata del

sistema (Holland e Miller 1991) 70 . Inoltre l’eventuale equilibrio unico del

sistema è una funzione nota dei parametri strutturali e delle condizioni

iniziali. Leombruni e Richiardi (2005) dimostrano che l’unica differenza tra un

modello “tradizionale” ed un modello con simulazione ad agenti è il grado di

conoscenza che si ha rispetto alle funzioni che costituiscono il modello. La

costruzione di un modello di simulazione implica infatti l’individuazione di un

obiettivo di studio; si costruisce il modello di interesse attraverso un processo

di astrazione motivato teoricamente, e si osserva il comportamento del modello

confrontandolo con i fatti stilizzati (Gilbert e Terna 2000). La differenza tra

modello tradizionale e modello di simulazione si trova solamente nell’ultima

69

“despite the upsurge in ABM research witnessed in the past 15 years the methodology is still left aside

in a standard economist’s toolbox” (Richiardi e Leombruni 2005, p. 104) 70

“The precision of the definitions also opens AAA [Artificial Adaptive Agents] models to mathematical

analysis” (Holland e Miller 1991, p.366).

87

fase, dove si sostituisce all’analisi matematica la simulazione informatica. I

modelli tradizionali ed i modelli con simulazione ad agenti sono perciò

sostanzialmente simili. La diversa tecnica di analisi delle implicazioni teoriche

del modello richiede una maggiore attenzione nei modelli di simulazione, dove

essendo il computer ad effettuare i calcoli sono possibili errori nel codice di

programmazione non riconoscibili dai risultati della simulazione71. Seguendo

Leombruni e Richiardi (2005), supponiamo che in ogni periodo , un individuo

, ∈ 1, … < , possa essere descritto da una variabile di stato , ∈ ℛ .

Supponiamo inoltre che l’evoluzione della variabile di stato possa essere

descritta dall’equazione alle differenze

1 , = >%, , d,; &

Possono variare tra i diversi individui sia la forma funzionale > che i parametri

, inoltre può esistere una dipendenza con la variabile di stato degli individui

diversi da . Specificato il comportamento di ogni individuo, formalizzato da

, , è possibile definire le caratteristiche aggregate del sistema, le quali

dipenderanno naturalmente dalle variabili di stato di tutti gli individui facenti

parte del sistema:

2 H = 1%,, X,, … , -,&

La questione diviene perciò capire se è possibile risolvere la (2) per ogni ,

indipendentemente da quale forma funzionale > si adotti, e la risposta è che

una soluzione può sempre essere trovata iterativamente risolvendo ogni

termine , nella (2) usando la (1):

Hu = 1%,u, X,u, … , -,u& H = 1%,, X,, … , -,& = 1 l >%,u, d,u; &, … , >-%-,u, d-,u; -&m 71

Con l’analisi matematica si scoprono necessariamente eventuali incoerenze del modello. Con i modelli di simulazione è possibile ottenere risultati plausibili con modelli incoerenti teoricamente. Questo naturalmente invalida i risultati, è perciò necessaria un’attenzione particolare nella fase di costruzione e codificazione del modello.

88

≡ %,u, … , -,u; , … , -&

Perciò possiamo scrivere:

3 H = %,u, … , -,u; , … , -&

La legge di moto (3) permette di ottenere H in ogni periodo unicamente

conoscendo le condizioni iniziali ed il valore dei parametri, ed in alcuni casi

potrebbe convergere ad una funzione indipendente da o perfino indipendente

dalle condizioni iniziali. La formalizzazione adottata è adatta a descrivere sia

un modello “tradizionale” che un modello di simulazione. La differenza

sostanziale si trova nelle forme funzionali. Se il modello è tradizionale, si

semplifica molto l’analisi grazie all’ipotesi dell’agente rappresentativo,

eliminando l’eterogeneità e l’interazione tra gli agenti (i pedici e d,). La legge

di moto aggregata si riduce al moto della variabile di stato di un solo individuo

(l’individuo rappresentativo) rendendo analiticamente trattabile il modello. Nel

caso di un modello di simulazione ad agenti, le relazioni del modello non

vengono semplificate e l’analisi diviene analiticamente complessa. Al crescere

di ed < l’espressione per può facilmente ostacolare la trattabilità analitica,

ed impedire la risoluzione algebrica. La simulazione si presenta perciò come lo

strumento che permette di superare le difficoltà analitiche del modello 72

(Fagiolo e Roventini 2008). È importante sottolineare che i modelli ad agenti

sono solo un mezzo per lo studio dell’economia in assenza delle ipotesi

semplificatrici tradizionali. In ogni caso la (3) esiste ed è possibile

approssimarla utilizzando i dati artificiali prodotti dalla simulazione. Per

ottenere l’approssimazione di ∙ si può specificare una forma funzionale

H = %,u, … , -,u; , … , -, & da approssimare ai dati prodotti dalla

simulazione, dove rappresenta i coefficienti di ∙ . Ad esempio se si

suppone che ∙ sia lineare, esisteranno due coefficienti, l’intercetta ed il

coefficiente angolare, che possono essere stimati con i dati artificiali. Stimando

è possibile arrivare ad una conoscenza degli effetti delle variabili e parametri

72

Strumento non è inteso come mero metodo di calcolo. Il termine strumento è utilizzato in modo più ampio che comprende anche l’esposizione della teoria, ed in particolare l’esposizione dei risultati (vedi Ostrom 1988).

89

su H molto simile a quella a cui si giunge interpretando le derivate di un

modello tradizionale (Leombruni e Richiardi 2006). Due sono le critiche

principali, in primo luogo ∙ è una funzione arbitraria, ed in secondo luogo

la stima di dipende dai risultati specifici della simulazione. È possibile che al

variare dei parametri la simulazione dia risultati completamente diversi. Il

metamodello ∙ fornirebbe allora una descrizione povera del sistema. Per

quanto riguarda il primo punto, si hanno a disposizione tutti i metodi statistici

che si usano quando si analizzano dati reali, con la differenza che in questo

caso si conosce perfettamente la struttura fondamentale del modello. Per

quanto riguarda il secondo punto invece è possibile obiettare che quello che

vale per il modello simulato, vale anche per la realtà. Il processo di

generazione dei dati reali è infatti sconosciuto, ed i fatti stilizzati possono

essere un risultato particolare di tale processo di generazione, rivelandosi

fallace da un momento all’altro (Leombruni e Richiardi 2006). Il metamodello

intende dare la possibilità di analizzare gli effetti dei parametri sui risultati. È

possibile effettuare tale analisi globalmente o localmente, in uno spazio dei

parametri conosciuto a priori come lo spazio di interesse. In conclusione il

problema di conoscere il comportamento del mondo simulato, di cui il

ricercatore è l’unico dio, e di trarne conseguentemente implicazioni di validità

generale risulta sostanzialmente risolvibile. (Leombruni e Richiardi 2006,

p.57).

L’approssimazione ∙ del modello di simulazione può essere utilizzata

per conoscere la differenza tra i risultati del modello simulato e la realtà.

Applicando la stessa approssimazione del modello simulato ai dati reali, e

stimando il coefficiente utilizzando i dati reali è possibile confrontare i

coefficienti stimati con i dati reali con i coefficienti stimati con i dati artificiali

(Leombruni e Richiardi 2006). In questo modo è possibile verificare la validità

della simulazione.

2.2 Linguaggio condiviso Lo studio dei modelli di simulazione ad agenti è relativamente recente. Il

primo esempio, presentato nel capitolo precedente, è il modello di segregazione

90

di Schelling (Schelling 1978)73 nel quale, come è stato mostrato, l’interazione

tra gli agenti da vita a proprietà emergenti non direttamente deducibili

dall’osservazione delle caratteristiche degli agenti stessi. Un problema esposto

in diversi lavori (Axelrod 1997, Gilbert e Troitzsch 2005, Goldstone e Janssen

2005, Leombruni e Richiardi 2006, Fontana 2006), forse causato anche dalla

relativa novità delle simulazioni nelle scienze sociali, è l’esigenza di adottare

un sistema di comunicazione condiviso su metodi e risultati ottenuti nei

modelli di simulazione. Mentre nella modellistica “tradizionale” esiste un

protocollo metodologico, comunemente accettato ed utilizzato dalle riviste

scientifiche come metro di valutazione, un’idea condivisa sulle caratteristiche

che dovrebbe avere un buon modello di simulazione non è ancora emersa

(Leombruni e Richiardi 2006). Per Goldstone e Janssen (2005) i lavori di

simulazione ad agenti hanno sofferto di poca sistematicità nella ricerca.

Questo problema sembra collegato in parte alla difficoltà di inserire spiegazioni

esaurienti, riguardo al modello teorico e all’algoritmo di simulazione, negli

spazi tradizionalmente utilizzati per la diffusione degli articoli: conferenze,

riviste specializzate e libri (Axelrod 1997). I risultati dei modelli di simulazione

dipendono fortemente dai dettagli del modello, rendendo poco agevole la

spiegazione e la replicabilità dello stesso, a cui si aggiunge la mancanza di un

linguaggio comune che sia in grado di facilitare l’esposizione dei risultati

(Fontana 2006). La modellistica tradizionale può basare le proprie premesse e

confrontare i propri risultati affidandosi ad una letteratura precedente molto

estesa, creando le basi per una discussione teorica più proficua. E’ necessario

perciò sviluppare metodologie e classificazioni condivise74 75, e possibilmente

rendere disponibile il codice del modello in modo da permettere la replicazione

dei risultati. L’analisi del modello dovrebbe collegarsi alla letteratura

tradizionale e della simulazione, mentre l’algoritmo dovrebbe essere

implementato su piattaforme condivise (freeware o open source, come Repast,

73

Schelling in realtà non usa il computer ma carta e penna (e una scacchiera). In Schelling è però sottolineata la caratteristica fondamentale dei modelli ad agenti, ossia la costruzione completamente basata sugli agenti. 74

Con le parole di Goldstone e Janssen (2005) è necessaria la creazione di una “Lingua Franca” per la simulazione ad agenti. 75

Un passo avanti importante è stato fatto con la nascita del JASSS, Journal of artifical societies and

social simulation, edito dal dipartimento di sociologia dell’Università del Surrey, e specializzato nella simulazione sociale.

91

Swarm o NetLogo)76 che gestendo parte delle funzionalità tecniche rende più

intellegibile il codice e più confrontabili i modelli (Leombruni e Richiardi 2006).

L’implementazione della teoria nell’algoritmo è infatti un passaggio

fondamentale per controllare la validità dei risultati e per avviare discussioni

sulla teoria stessa, nello stesso modo in cui le equazioni matematiche e le

dimostrazioni dei teoremi mettono in luce limiti e pregi dei modelli a cui si

riferiscono. Uno dei principi della simulazione ad agenti viene chiamata KISS

(Keep It Simple, Stupid!); il principio implica che la costruzione deve essere il

più semplice possibile, lasciando che siano i risultati ad essere complessi

(Axelrod 1997)77, “However, there must be a compromise between simplification

and expressiveness, determined by the results produced by the model” (Hassan,

Antunes e Arroyo 2008, p.1). Risultati significativi e realistici devono essere

ottenuti cercando di mantenere semplice il modello; il principio KISS è vitale

sia per il ricercatore che deve comprendere cosa accade effettivamente nel

modello (specialmente in presenza di risultati sorprendenti), sia per una facile

comprensione da parte del resto della comunità scientifica.

3. Le caratteristiche dei modelli di simulazione ad agenti Come emerso dai primi paragrafi, la simulazione ha tre caratteristiche

fondamentali che ricorrono nella discussione: gli agenti, la complessità e

l’emergenza (Page 2005).

4. Gli agenti Il sostantivo “agente”, deriva dal verbo latino “agere”, che significa agire,

fare, operare 78 . La caratteristica fondamentale dell’agente è esattamente

questa, è l’elemento che all’interno dei modelli di simulazione agisce

influenzando se stesso, gli altri agenti, e l’ambiente in cui si trova. Per la

76

I siti di riferimento sono rispettivamente: http://repast.sourceforge.net/ ; http://www.swarm.org ; http://ccl.northwestern.edu/netlogo/ . 77

“The complexity of agent-based modeling should be in the simulated results, not in the assumption of

the model” (Axelrod 1997, p. 6) 78

www.etimo.it

92

definizione di agente riprendiamo Woldridge e Jennings (1995)79 . Il modo più

generale in cui il termine agente viene utilizzato è per denotare un programma

informatico (e più di rado un hardware) che ha le seguenti proprietà:

autonomia, gli agenti operano senza l’intervento diretto del ricercatore ed

hanno una sorta di controllo sulle proprie azioni e sul proprio stato interno;

abilità sociale, gli agenti interagiscono con altri agenti (e talvolta con umani)

tramite una qualche forma di linguaggio di comunicazione; reattività, gli agenti

percepiscono l’ambiente circostante (che può comprendere il mondo fisico, un

utente tramite un’interfaccia grafica, un insieme di altri agenti, internet, o la

combinazione di esse) e ad esso reagiscono; attività, gli agenti non agiscono

semplicemente in risposta all’ambiente, essi sono in grado di esibire

comportamenti diretti ad un obiettivo prendendo l’iniziativa. (Wooldridge e

Jennings 1995, p.3)

L’agente, nell’ambito della simulazione sociale, è dunque un oggetto

software80 in un ambiente virtuale, con regole che permettono l’interazione con

gli altri agenti e con l’ambiente. L’autonomia degli agenti implica che qualsiasi

situazione affrontata nel modello deve essere risolta grazie alle regole

implementate nella fase di costruzione del modello. L’intervento umano è di

creazione ed osservazione, non di guida; l’agente reagisce a stimoli esterni

provenienti da altri agenti (simulando le interazioni sociali) e provenienti

dall’ambiente. Inoltre gli agenti hanno (o possono avere) un comportamento

finalistico, cioè volto ad un obiettivo da raggiungere. L’aspetto primario è

dunque l’autonomia con cui gli agenti agiscono e reagiscono; la costruzione

degli agenti è la parte fondamentale della simulazione sociale, in quanto sono

gli agenti e il loro comportamento aggregato l’oggetto di studio. La definizione

di regole e l’autonomia degli agenti garantiscono che gli effetti osservati a

livello aggregato siano effettivamente prodotti dalle regole del singolo agente.

Wooldridge e Jennings (1995) offre anche una “Stronger Notion of Agency”81: ne

fanno parte gli agenti che in aggiunta alle proprietà precedentemente elencate,

79

Una definizione più compatta si trova in Jennings (2000): “ An agent is an encapsulated computer

system that is situated in some environment and that is capable of flexible, autonomous action in that

environment in order to meet its design objectives.” 80

Per questo sono preferiti normalmente linguaggi di programmazione Object Oriented, in particolare Java (ad esempio in Repast e Swarm) e Objective C (in Swarm). NetLogo, programma costruito su java, ha un linguaggio anch’esso orientato agli oggetti. 81

La definizione precedente è infatti “A Weak Notion of Agency” (Wooldridge e Jennings 1995)

93

sono costruiti utilizzando concetti che normalmente sono applicati alla

descrizione di esseri umani, quali l’intelligenza o addirittura le emozioni

(Wooldridge e Jennings 1995). La definizione forte di agente permette perciò di

parlare di cooperazione tra gli agenti e di apprendimento (Remondino 2006),

concetti importanti nella simulazione delle scienze sociali, dato che lo scopo

della simulazione è di simulare, anche se in modo semplificato, il

comportamento umano. Comportamento che è decisamente arduo da decifrare

e formalizzare:

“Imagine how hard physics would be if electrons could think”

(Murray Gell-Mann, in Page 1999, p.2)

La frase citata, attribuita al premio Nobel per la fisica Murray Gell-Mann, dà

l’idea delle sfide che affrontano le simulazioni ad agenti nelle scienze sociali. Il

comportamento degli agenti, ossia le regole da dare agli agenti, non sono

oggettive. Il comportamento umano nella società può essere formalizzato nei

modi più diversi, rispetto alle convinzioni del ricercatore e rispetto all’obiettivo

della ricerca. Gli agenti possono rappresentare imprese, lavoratori,

consumatori, agenti economici in generale, i quali hanno uno scopo economico

e delle variabili interne che possono essere opinioni, aspettative ed intenzioni.

Il principio fondante dei modelli basati su agenti, abbiamo visto, è il KISS.

Mantenere semplice il modello permette di ottenere risultati facilmente

comprensibili, e spesso significativamente aderenti alla realtà. Comportamenti

semplici a livello micro producono comportamenti complessi a livello macro,

non c’è perciò bisogno di approfondire ulteriormente il processo di

formulazione della decisione. Un esempio è il modello di Schelling, in cui le

regole di comportamento sono semplicissime, gli agenti sono miopi, non hanno

aspettative di nessun genere, e reagiscono solo alla variabile ambientale

“percentuale di agenti simili nel vicinato”. Vale il criterio di sufficienza

generativa di Epstein (Boero et al. 2006) per cui il compito dei modelli di

simulazione ad agenti è di trovare le regole micro sufficienti a generare il

fenomeno macro di interesse. Il comportamento di un agente sociale può in

questo caso essere approssimato a quello di unità più elementari di materia, i

cui obiettivi possono essere rappresentati da un ridotto numero di regole e da

94

una funzione di fitness, arrivando fino ad agenti adattivi, in cui gli agenti

tendono ad aumentare il valore della propria funzione di fitness. I modelli che

seguono il principio di semplicità sono chiamati da Boero et al. (2006) modelli

“emergentisti”. Sono i modelli che studiano le proprietà emergenti di primo

ordine, l’effetto del comportamento dei singoli agenti sul comportamento

aggregato. Una delle conseguenze della diversa struttura mentale tra particelle

di materia inanimata e umani è l’eventuale reazione all’emergenza:

While emergent phenomena can also be found in physical systems, a feature of

human societies which makes then unique is that people can recognise (and

therefore respond to) the emergent features. For example, households not only

often cluster in segregated neighbourhoods, but these neighbourhoods are

named and can acquire reputations that further affect the behaviour of those

living there and others such as employers who may stereotype the inhabitants.

(Gilbert 2004, p.3)82

Confermando il grande interesse che hanno i modelli con agenti semplici, può

accadere che sia necessario, e utile, programmare agenti più complessi, che

riescano ad essere descrittivi del comportamento economico o sociale. Se il

precedente tipo di simulazione ad agenti segue il principio KISS, i modelli con

agenti più complessi seguono il principio KIDS (“Keep It Descriptive, Stupid”).

Questo tipo di modelli consente di studiare il legame tra proprietà emergenti

dalle interazioni fra agenti e meccanismi cognitivo-simbolici di

contestualizzazione sociale dell’azione, ovvero “l’immergenza” (Boero et al.

2006, p. 91). In tali sistemi, i cui agenti sono detti “deliberativi” (Remondino

2006), esiste una doppia influenza tra agenti e proprietà emergenti, e tra

proprietà emergenti ed agenti. Essi hanno perciò la capacità di “ragionare” e di

apprendere. La complessità degli agenti può allora arrivare a risolvere

problemi, non rispondono a regole fisse bensì a regole di apprendimento,

riuscendo in questo modo ad adottare scelte diverse di fronte a problemi

differenti. Si possono inoltre descrivere opinioni, aspettative, intenzioni degli

agenti. La complessità degli agenti può allora arrivare alla descrizione quasi

realistica delle scelte umane, seguendo i risultati dell’economia

82

Si veda anche Gilbert (2002)

95

comportamentale (Camerer e Loewenstein 2004), o introducendo una nuova

classe di agenti che fonde in sé le conoscenze delle scienze sociali, delle

scienze cognitive, e dell’informatica: gli agenti BDI (Beliefs, Desires,

Intentions). Tali agenti sviluppano le scelte basandosi sulla logica modale e sui

mondi possibili, ma hanno avuto fino ad ora uno sviluppo principalmente

teorico, a causa della loro difficile applicazione software (Remondino 2006).

Buona parte dei modelli economici sono “emergentisti”. La finalità degli

economisti computazionali è infatti principalmente quella di dimostrare come

non sia necessario presupporre agenti dotati di razionalità perfetta, agenti

rappresentativi e un sistema di informazioni complete per generare e

comprendere dinamiche economiche interessanti (Boero et al. 2006). Su tali

agenti semplici è possibile inoltre implementare algoritmi di apprendimento

che simulino la razionalità limitata degli agenti. È possibile grazie a tali

algoritmi, eliminare l’ipotesi irrealistica di razionalità perfetta, e l’ipotesi

altrettanto irrealistica di completa irrazionalità, e basare la razionalità limitata

degli agenti economici su fenomeni di adattamento ed imitazione. Gli agenti

possono perciò imparare dalle proprie azioni, e in alcuni casi dalle azioni degli

altri agenti presenti nel sistema simulato; possono essere definiti agenti

“adattivi”, i quali non hanno la capacità di “ragionamento”, o di formazione di

reputazione, ma riescono ad imparare dai propri errori, seguendo l’evoluzione

dell’ambiente. Gli agenti adattivi sono definiti in Holland e Miller (1991) come

agenti alle cui azioni può essere assegnato un valore (utilità, fitness o simili) e

che si comportano in modo da aumentare tale valore nel tempo83. I modelli

“immergentisti” sono più completi, ma di più difficile codificazione e

comprensione. Questo tipo di modelli vengono per lo più utilizzati nello studio

delle interazioni di agenti sociali, in cui diviene ad esempio fondamentale,

l’effetto che la proprietà emergente ha sui singoli agenti.

83

Holland e Miller (1991) sostengono che i sistemi economici siano sistemi complessi adattivi. In particolare, nei sistemi complessi : “An agent in such a system is adaptive if it satisfies an additional pair

of criteria: the actions of the agent in its environment can be assigned a value (performance, utility,

payoff, fitness, or the like); and the agent behaves so as to increase this value over time.” (Holland e Miller 1991, p. 365)

96

4.1 L’apprendimento, gli agenti “intelligenti” Una delle ipotesi fondamentali dell’analisi economica è la razionalità degli

agenti. L’essenza dell’Homo economicus è definita dal metodo razionale che

esso usa per le sue scelte (Persky 1995) 84 . Allo scopo di semplificare la

trattazione analitica dei modelli macroeconomici, gli economisti spesso

ipotizzano che gli agenti siano perfettamente razionali, ossia che riescano a

prevedere esattamente l’evolversi del sistema di cui fanno parte 85 . Come

affermano Fagiolo e Roventini (2008, p. 12), gli agenti devono avere una sorta

di razionalità “olimpica” ed avere libero accesso all’intero insieme di

informazioni. Il paradosso è evidente, dato che un agente perfettamente

razionale deve conoscere il modello dell’economia meglio di quanto lo conosca

un econometrico (Sargent 1993) 86 . Accettando l’ipotesi di razionalità

dell’agente economico, ma rifiutando l’ipotesi di onniscienza, è possibile

sostituire l’ipotesi di razionalità perfetta, con l’ipotesi di razionalità limitata.

L’obiettivo dell’agente economico è effettuare la migliore scelta possibile e

spesso ciò gli viene impedito dalle scarse informazioni che ha sul sistema nel

quale si trova. La razionalità dell’agente economico allora si limita alla

capacità di imparare dalle esperienze, evitando di commettere gli stessi errori,

e continuando imperterrito nella ricerca della soluzione migliore. Tentativi ed

errori è il paradigma dell’agente adattivo, il quale trae informazioni sul proprio

ambiente e si adatta ad esso. L’apprendimento degli agenti può essere diviso in

due macrocategorie, rispetto al livello a cui avviene l’apprendimento:

l’apprendimento individuale e l’apprendimento sociale (Vriend 2000). Con

l’apprendimento individuale gli agenti apprendono esclusivamente dalla

propria esperienza, l’apprendimento sociale invece comprende l’apprendimento

per imitazione, ossia anche grazie alle esperienze degli altri membri del

sistema economico. Vriend (2000) dimostra come i due tipi di apprendimento

abbiano dinamiche molto diverse. La scelta del livello di apprendimento non è 84

Persky 1995 confronta l’homo economicus moderno, identificato esclusivamente dalla razionalità, con il concetto più ampio dato da J. S. Mill in “On the Definition of Political Economy and on the Method of Investigation Proper to It”: Mill's economic man has four distinct interests: accumulation, leisure, luxury

and procreation (Persky 1995, p. 223) 85

Devono perciò (i) conoscere il modello dell’economia, (ii)devono riuscire a risolvere qualunque tipo di problema affrontino senza commettere errori, e (iii) devono conoscere gli altri agenti e sapere che si comportano anch’essi seguendo i primi due punti. (Fagiolo e Roventini 2008) 86

“When implemented numerically, or econometrically, rational expectations models impute much more

knowledge to the agents within the model than is possessed by an econometrician” (Sargent 1993, p. 3)

97

ininfluente al livello dei risultati del modello, e dipende naturalmente da cosa

debbano imparare gli agenti. Esistono scelte che possono essere imitate e

scelte che non possono essere imitate; se gli agenti sono eterogenei le scelte

migliori per ogni agente potrebbero essere diverse rendendo impossibile un

apprendimento sociale.

Un vantaggio dell’economia computazionale è di poter attingere alle

scienze informatiche, in particolare dall’intelligenza artificiale, per

implementare nei modelli l’apprendimento. Gli algoritmi di apprendimento più

conosciuti ed utilizzati nelle scienze sociali sono le Reti Neurali Artificiali

(“Artificial Neural Net”), gli Algoritmi Genetici (“Genetic Algorithm”)87 (Ferraris

2006). Entrambi gli algoritmi si basano, come è evidente dai nomi, su analogie

con i sistemi di apprendimento naturali. Nei prossimi paragrafi saranno

esposte le principali caratteristiche delle Reti Neurali Artificiali e degli

Algoritmi Genetici. L’esposizione degli Algoritmi Genetici sarà più approfondita

per la grande importanza che tali metodi di apprendimento hanno iniziato ad

assumere nella letteratura economica. Le Reti Neurali sono un metodo di

apprendimento molto potente che permette anche un certo grado di

generalizzazione dell’apprendimento stesso. Il difetto delle Reti Neurali risiede

nel complicato processo di apprendimento, decisamente meno intuitivo

rispetto al processo degli algoritmi genetici.

4.2 Le Reti Neurali Artificiali Le reti neurali umane sono composte da circa 100 miliardi di neuroni. I

neuroni comunicano tramite una densa rete di connessioni che trasporta

impulsi elettrochimici. Ogni neurone ottiene un impulso da un certo numero

di altri neuroni, e se il segnale è sufficientemente forte a sua volta spedirà un

impulso ai neuroni ad esso collegati. L’apprendimento ha luogo quando

particolari connessioni tra neuroni si rafforzano, facilitando la trasmissione tra

tali neuroni. Le reti neurali artificiali si basano sullo stesso principio,

naturalmente molto semplificato (Gilbert e Troitzsch 2005). Le reti neurali

artificiali sono composte da tre o più strati (“layer”) di neuroni, disposte in

87

Per chi fosse interessato Wikipedia possiede voci incredibilmente estese, complete di bibliografia, per le voci “Artificial intelligence”, “Artificial Neural Network”, “Genetic Algorithm”.

98

modo tale che ogni strato sia connesso con lo strato successivo. Ogni

connessione ha associato un peso, le connessioni simboleggiano le dendriti

umane ed il peso ne simula l’efficienza. Il primo strato di neuroni è chiamato

“input layer”, è lo strato per cui passano gli stimoli provenienti dall’esterno

(per convenzione tale strato viene disegnato sulla sinistra, vedere figura 8).

L’ultimo strato di neuroni è chiamato “output layer”, il quale emette la riposta

della rete agli stimoli. Nel mezzo sono situati uno o più strati di “hidden layer”.

Figura 8. Una rete neurale artificiale

Gli stimoli in uscita dai neuroni vengono detti “attivazioni”. L’attivazione dei

neuroni input è direttamente lo stimolo esterno. Tale stimolo viene trasmesso

tramite le connessioni al primo (spesso unico) strato di neuroni nascosti. Tali

neuroni sommano gli stimoli derivanti da tutte le sue connessioni in entrata,

ponderandole per il peso della connessione. L’impulso risultante viene

trasformato in modo non lineare per ottenere un valore tra 0 e 1. Normalmente

per tale operazione si fa uso della funzione sigmoide, dove è l’attivazione ed

99

è il risultato della somma ponderata dei segnali pervenuti al neurone (Figura

9):

= 11 + d

Figura 9. Sigmoide

Disegnando una rete neurale dunque si costruiscono gli strati necessari di

neuroni, si creano i collegamenti e si assegna un peso casuale a tutte le

connessioni. Ogni attivazione o inibizione, trasmessa tra i nodi dalle

connessioni, dipende dal peso che assume la connessione su cui il segnale

viene trasmesso. La rete neurale per funzionare correttamente ha bisogno di

un “training”, è la fase in cui avviene l’apprendimento. Sostanzialmente si

sottopongono alla rete esempi di input controllati, di cui si conoscono gli

output, e si corregge la rete in modo da assegnare ad ogni connessione il peso

adatto a collegare dati input con gli output corretti. La rete neurale apprende

tramite il meccanismo di prova ed errore tipico dei sistemi adattivi. Attraverso

la “backpropagation”, o retro propagazione, la rete controlla l’errore che si

verifica, confrontando l’output previsto (o target, conosciuto nella fase di

100

training) con l’output effettivo. L’eventuale errore viene propagato dai neuroni

di output verso gli strati precedenti, correggendo i pesi delle connessioni.

La costruzione di una rete neurale

In Gilbert e Troitzsch (2005) sono presentate alcune regole per la

costruzione delle reti neurali. Dopo il lavoro di codificazione di input ed output

è necessario decidere il numero di neuroni in ciascuno strato e la legge di

misurazione dell’errore. Il numero di neuroni di input ed output dipende da

come sono stati codificati i dati. Ad esempio gli input sono codificati in quattro

categorie saranno necessari quattro neuroni di input. Il numero di neuroni

nascosti dipende dalla complessità del problema affrontato. Esiste una regola

generale per cui il numero di neuroni nascosti non deve mai eccedere il doppio

del numero di neuroni di input (Gilbert e Troitzsch 2005). La misurazione

dell’errore, fondamentale per l’apprendimento della rete neurale, avviene

normalmente misurando la semplice differenza tra l’output effettivo e l’output

target, misurata per ogni unità di output. L’errore misurato viene poi utilizzato

per correggere i pesi delle connessioni, la correzione del singolo peso avviene

sulla base di una quota denominata “learning rate”. Inoltre può spesso essere

utile misurare l’errore totale della rete neurale; normalmente si usa la radice

quadrata della somma degli errori al quadrato di ogni neurone di output.

Grazie alla misura dell’errore totale è possibile visualizzare l’apprendimento

della rete. Può accadere che gli errori non scompaiano completamente, in

questo caso è possibile che la rete si trovi in una situazione in cui la

minimizzazione dell’errore è solamente locale. Nonostante siano state proposte

diverse soluzioni al problema del minimo locale, l’unica procedura affidabile è

di ripetere la fase di training diverse volte, utilizzando la stessa rete con

condizioni iniziali casuali. Se l’insieme di pesi rimane lo stesso è possibile

trarre la conclusione che il minimo in cui la rete si trova è un minimo globale

(Gilbert e Troitzsch 2005).

Per una spiegazione più chiara presentiamo una rete neurale artificiale

molto semplice, costruita con NetLogo88.

88

Vedere l’appendice A3 per il codice.

101

Figura 10. Rete Neurale con NetLogo.

Nella figura 10 è rappresentata la rete neurale costruita, in cui, seguendo la

convenzione, a sinistra sono i nodi di input, a destra i nodi di output e al

centro i nodi nascosti. Supponiamo di voler insegnare ad una rete neurale a

riconoscere il numero decimale corrispondente ad un dato numero binario. In

primo luogo è necessario codificare il problema in termini adeguati all’utilizzo

dello schema di rete neurale. Nel caso in esame, l’input è binario, perciò

direttamente integrabile nella rete neurale tramite segnali 1, 0 da trasmettere

ai neuroni di input. L’output è un numero decimale; nel modello che

presentiamo la codificazione del numero decimale avviene in relazione a quali

e a quanti neuroni output ricevono il segnale con una certa intensità.

L’algoritmo costruito ha lo scopo di convertire tutti i numeri binari di quattro

cifre in numeri decimali. I nodi di input sono perciò quattro ed hanno il

seguente ordine nel numero binario: (nodo3, nodo 2, nodo 1, nodo 0).

L’insieme dei numeri decimali possibili è F = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15, e sono rappresentati dai nodi di output colorando di blu i nodi di output che

hanno un numero inferiore o uguale al numero binario di input (vedere la

102

figura 12). Se ad esempio l’input è 0011, ossia attivazione 0 ai nodi 3 e 2, e

attivazione 1 ai nodi 1 e 0, l’output dovrebbe mostrare i neuroni di output 1, 2

e 3 di colore blu, ed i restanti nodi di colore bianco. Il colore dei nodi dipende

dal valore dell’attivazione ricevuto, se essa è maggiore di 0.5 il neurone diviene

blu, se è minore il neurone diventa bianco.

Figura 11. Sulle ordinate si trova la percentuale di errori della rete per periodo, sulle ascisse ci sono i periodi

Il training è effettuato dando 300 input di insegnamento ogni periodo. Per ogni

input di esempio la rete calcola l’output e retro-propaga l’errore. In ogni

periodo viene contato il numero di volte in cui la rete neurale produce un

risultato errato, numero che diviso per il numero di input in ogni periodo ci

permette di visualizzare l’apprendimento della rete neurale, come percentuale

di errori per periodo. La “curva di apprendimento” della rete è rappresentata

nella figura 11. Essendo costruita casualmente, la rete nel primo periodo

sbaglia quasi tutti gli output (il picco è 0.94), la percentuale di errori scende

poi velocemente fino ad arrivare (e rimanere) a zero nel periodo 6589. Quando il

training è terminato la rete neurale darà le risposte esatte. È da sottolineare

che il modello descritto è particolarmente semplice, in quanto il training

fornisce tutti i possibili input, e la rete può imparare perfettamente la risposta

che deve dare in ogni caso. Quando si usano le reti neurali nelle scienze sociali 89

In 65 periodi sono state effettuate 19500 prove. Non è detto che i periodi per l’apprendimento siano sempre uguali, dipende anche dalle condizioni iniziali casuali.

103

è possibile che si debba effettuare il training con un sottoinsieme dei possibili

input. Il rendimento della rete in questo caso dipenderà dal grado di generalità

e completezza del training iniziale (Ferraris 2006) e normalmente riuscirà a

riconoscere input che non siano identici agli input di insegnamento. Per

questo motivo le reti neurali sono state usate per il riconoscimento della

scrittura manuale. Nonostante il training preveda il riconoscimento solo di

una parte delle possibili calligrafie, la rete neurale è in grado di riconoscere

anche nuove calligrafie. Questo perché le reti neurali possiedono una capacità

di generalizzazione (Gilbert e Troitzsch 2005). Nella figura 12 è rappresentata

la schermata di NetLogo, in cui è stato effettuato un test dopo aver concluso il

training.

Figura 12. Schermata di NetLogo. Il training è finito ed è stato inserito il numero binario 1 0 1 1, convertito in modo esatto dalla rete neurale nel numero decimale 11

4.3 Algoritmi Genetici Gli algoritmi genetici sono basati sull’analogia con l’evoluzione delle

specie di Darwin90. In natura gli esseri viventi competono per le risorse scarse,

e per la riproduzione. Saranno gli individui migliori a tramandare le proprie

caratteristiche alle generazioni future, e saranno gli individui meno adatti

all’ambiente a sparire. Data una popolazione di DNA differenti, la selezione

naturale opera per selezionare i DNA migliori, questi DNA si accoppiano

90

Per una introduzione agli algoritmi genetici vedere anche Goldberg (1989)

104

subendo cross-over e mutazione, dando vita alla generazione successiva di

DNA. Grazie alla ricombinazione dei DNA (cross-over) e alla mutazione, ogni

generazione ha elementi di diversità che permettono la continuazione della

ricerca del DNA migliore. I nuovi DNA possono perciò rappresentare

caratteristiche completamente nuove, le quali possono sopravvivere alla

selezione, operando un progresso della specie, oppure possono sparire in

favore di DNA migliori. L’algoritmo genetico è un algoritmo euristico adattivo di

ricerca che imita le caratteristiche essenziali della selezione naturale (Gilbert e

Troitzsch 2005):

Simply stated, genetic algorithms are probabilistic search procedures designed

to work on large spaces involving states that can be represented by strings

(Holland e Goldberg 1988, p.95)

Venne sviluppato da Holland (1975) come metodo di studio dell’adattamento,

l’ottimizzazione e l’apprendimento (Holland e Miller 1991). Gli algoritmi

genetici operano su una popolazione di agenti, le cui caratteristiche sono

codificate in una stringa (normalmente binaria). Ogni elemento della stringa

rappresenta un gene, il genoma (l’insieme dei geni) caratterizza un genotipo (la

composizione genetica individuale), il quale si esprime nel fenotipo (in natura

le caratteristiche dell’individuo, nelle scienze informatiche un numero o una

strategia). Nelle scienze sociali, ed in particolare nei modelli economici, gli

algoritmi genetici sono utilizzati per riprodurre la razionalità limitata degli

agenti.

Le caratteristiche fondamentali dell’algoritmo genetico sono la misura di

fitness, la quale misura quanto una data strategia è adatta all’ambiente in cui

si trovano gli agenti, e gli operatori genetici, che comprendono selezione, cross-

over e mutazione. Per chiarire le caratteristiche degli algoritmi genetici

presentiamo un semplicissimo modello economico, descritto in Dawid e Kopel

(1998), in cui le imprese scelgono la produzione grazie ad un algoritmo

genetico.

Il modello “cobweb” descrive un equilibrio temporaneo dei prezzi di

mercato in un mercato singolo con un ritardo nell’offerta; dato che la

produzione richiede tempo, la decisione rispetto alla quantità da produrre deve

105

essere presa prima dell’osservazione dei prezzi di mercato. Nello stesso modello

verranno ipotizzati prima agenti perfettamente razionali e poi agenti con

razionalità limitata le cui decisioni verranno simulate con gli algoritmi genetici.

Supponiamo che l’economia in esame sia composta da < imprese price-taker in

un mercato competitivo che producono un bene omogeneo. Denotiamo la

quantità prodotta dall’impresa nel periodo con , . Ogni impresa ha la

stessa funzione di costo

%,& = + ,X , > 0 , > 0 0 , = 0

Dove rappresenta i costi fissi di breve periodo. Gli imprenditori non

conoscono il prezzo di mercato del prossimo periodo quando devono decidere

la quantità prodotta, ma hanno un prezzo atteso pari a P,e . Basandosi su tale

attesa, l’impresa sceglie un livello di produzione che massimizzi i suoi

profitti. Ossia massimizza la seguente funzione di profitto:

1 Π%P,e , ,& = P,e , − − ,X , > 00 , = 0

La condizione del primo ordine della funzione di profitto per un produzione

non nulla è

2 BΠB = P,e − 2 = 0

Da cui

3 = P,e2

Sostituendo la (3) nella (1) otteniamo:

4 P,e = 2

106

Se il prezzo atteso è maggiore della (4) i profitti attesi sono positivi, e la

produzione è pari alla (3). Se il prezzo atteso è uguale alla (4) il profitto atteso

massimo è zero ed il prodotto ottimo è = ⁄ , o = 0 (si ricordi che sono

costi fissi di breve periodo e che il costo di non produrre è zero). Se il prezzo

atteso è inferiore alla (4) il profitto atteso è negativo e le imprese rinunciano

alla produzione. Formalizzando, la scelta ottimale dell’impresa è data da

5 ∗%P,e & = P,e

2 P,e > 2 0, ⁄ P,e = 2 0 P,e < 2

Il prezzo che si verificherà effettivamente nel periodo , è il prezzo di equilibrio

tra domanda e offerta, e sarà determinato dalla funzione di domanda inversa

6 P = − I ,-

K

Con , > 0 . Affinché il profitto atteso sia positivo per almeno qualche

combinazione di prezzo e produzione deve essere rispettata la condizione

7 < X4

Altrimenti non esisterebbe nessun incentivo per le imprese ad entrare nel

mercato 91 . Supponiamo che la (7) sia soddisfatta. In un equilibrio con

aspettative perfettamente razionali, l’attesa di prezzo delle imprese sarà uguale

al prezzo che effettivamente verrà osservato, ossia P = P,e per ogni , e tutte

le imprese prendono la stessa decisione ottimale ∗%P,e & = ∗ per ogni , con

∗ ∈ ∗P. Seguendo la (5) dobbiamo distinguere due casi. Supponiamo in

91

La condizione (7) implica che quando la produzione nel mercato è zero il prezzo è maggiore di 2

rendendo la produzione conveniente. Elimina perciò la possibilità di un equilibrio in cui tutte le imprese producono zero. Si ottiene ponendo pari a zero la produzione di tutte le imprese nella (6) ed imponendo

che P = > 2.

107

primo luogo che il prezzo atteso sia maggiore di 2 . Allora dalla (5)

otteniamo che P,e = 2∗%P,e & , sapendo che P,e = P possiamo scrivere che

P = 2∗P. Inserendo questo risultato nella funzione di domanda inversa (6)

otteniamo, sapendo che tutte le imprese prendono la stessa decisione ottimale

∗P, la seguente relazione:

8 − < ∗P = 2∗P

Da cui troviamo la produzione di equilibrio

9 ∗ = ∗P = 2 + <

E dalla (3) il prezzo di equilibrio

10 P∗ = 22 + <

La (10) è maggiore di 2 se

11 < X2 + <X

D’altra parte se assumiamo che il prezzo sia inferiore a 2 otteniamo P∗ = ,

il quale è minore di 2 se

> X4

Che contraddice la condizione (7). Nel modello possono accadere due

situazioni diverse, dipendendo dal livello dei costi fissi: se la (11) è soddisfatta

esiste un unico equilibrio con aspettative razionali con prezzo di equilibrio

dato dalla (10) e produzione di equilibrio data dalla (9). Se la condizione (11)

non è soddisfatta (ma vale la (7)) non esiste nessun equilibrio nel modello.

108

Quando le imprese producono ∗ sono incentivate ad uscire dal mercato.

Quando la produzione diminuisce però il prezzo sale sopra la soglia di

profittabilità e le imprese sono incentivate ad entrare nel mercato (per una

trattazione dello stato senza equilibrio vedere Dawid e Kopel (1998)).

Supponiamo che i parametri assumano i seguenti valori:

= 5, = 0.25, = 1, = 5

Dove = <. È facile verificare che le condizioni (7) e (11) sono soddisfatte,

perciò esiste un equilibrio unico in cui la produzione è

∗ = ∗P∗ = 2 + = 57 = 0,714

Supponiamo di eliminare l’ipotesi di aspettative razionali e sostituiamo la

scelta degli agenti con una strategia determinata dagli algoritmi genetici. Ogni

impresa deve decidere di produrre una quantità di prodotto compresa tra

[0, \]92. La strategia delle imprese sarà codificata in una stringa binaria di DNA.

In particolare, data una stringa V , il prodotto è dato da V = \ dove

= ∑ 2doVq oK Vq ∈ 0,1 è il valore del j-esimo bit nella stringa k ed è la

lunghezza totale della stringa di DNA, che nel nostro caso è 10. sarà perciò

compreso tra

V = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 → = 0

V = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 → = 0,99902343893

Ogni stringa di DNA rappresenta una strategia produttiva, il risultato di ogni

strategia produttiva dipende dalla strategia adottata dalle altre imprese. Esiste

perciò una interazione indiretta tra le imprese. All’aumentare della produzione 92

è la produzione che condurrebbe il prezzo a 0 (vedi funzione di domanda inversa), può perciò

essere utilizzata come produzione massima. 93

Il valore di quando la stringa è formata da solo 1 è pari alla serie geometrica ∑ -K¢ = £d¤¥¦d .

Nel caso in esame la serie geometrica ha la seguente forma:

I 2 = 2du − 2u−1 = 0,999023438d

Kdu

109

totale si riduce il prezzo cambiando la strategia ottima delle imprese.

L’algoritmo genetico opera sulle imprese cercando la strategia migliore.

Riprendendo le argomentazioni di Vriend (2000), l’algoritmo genetico è una

forma di apprendimento sociale, è il sistema di imprese, oltre all’impresa

singola ad apprendere la strategia migliore. Il numero di geni in ogni stringa

non è decisivo per il successo dell’algoritmo genetico, determina invece lo

spazio in cui l’algoritmo genetico cerca il massimo (Arifovic et al. 1997).

4.4 La selezione Fondamentale nella codificazione delle strategie in stringhe genetiche è la

creazione di una misura di fitness. Sarà infatti la fitness a permettere la

selezione delle strategie migliori. La selezione opera in modo da dare una

probabilità maggiore di passare alla nuova generazione alle stringhe con

risultati migliori (Holland e Miller 1991). La misura più semplice di probabilità

proporzionale all’efficienza della stringa è

12 P7 = > <11∑ > <11oo

La probabilità di ogni impresa di essere selezionata è pari al rapporto tra la

fitness dell’impresa e la somma delle fitness di tutte le imprese presenti nel

sistema (“roulette wheel selection”94, Golberg 1989). Un altro meccanismo di

selezione è il “tournament selection”95. In questo tipo di selezione, ogni stringa

si confronta con un’altra stringa casuale nella popolazione, la stringa vincitrice

viene selezionata (Gilbert e Troitzsch 2005). Nel semplice modello economico

la misura di fitness più naturale è il profitto. È il profitto a misurare la

capacità di una impresa di adattarsi all’ambiente e di sopravvivere. Nel caso in

cui la strategia fosse errata le imprese potrebbero però incorrere in profitti

negativi. Perciò per poter utilizzare la formula (12) è necessario traslare la

funzione dei profitti in modo che sia sempre maggiore o uguale a zero. La

funzione di fitness sarà perciò:

94

“[Selection] operates like a biased roulette wheel. Each string is allocated a slot sized in proportion to

its fitness” (Arifovic 1995, p.226) 95

Utilizzato ad esempio in Arifovic (1997)

110

13 >§ = Π%P§, V& + + l\mX

Dove > indica la funzione di fitness per la stringa V, e § indica lo stato della

popolazione, ossia le stringhe presenti nelle altre imprese del sistema

economico. Il profitto dipende dal prezzo, il quale a sua volta dipende dalla

produzione totale (caratterizzata da § ), e dalla produzione dell’impresa, la

quale dipende direttamente dalla stringa V. Per traslare la funzione di fitness

si è aggiunto il massimo costo possibile per l’impresa, in questo modo se

l’impresa producesse il massimo quando il prezzo è zero, ossia se avesse il

profitto minimo ottenibile nel sistema descritto, la sua fitness sarebbe zero.96 È

da notare che sia la selezione probabilistica che la “tournament selection” non

scelgono la stringa migliore in assoluto ma le stringhe migliori nella

popolazione. Questo perché durante l’evoluzione del sistema è possibile che la

stringa migliore del periodo sia un massimo locale piuttosto che globale. Il

sistema scarterebbe perciò stringhe forse destinate a diventare le migliori,

riducendo l’efficienza dell’algoritmo genetico (Gilbert e Troitzsch 2005). Dal

punto di vista economico, la selezione può essere visto come l’imitazione da

parte delle imprese con risultati peggiori delle strategie delle imprese con

risultati migliori.

4.5 Il cross-over e la mutazione L’operatore genetico più importante è il cross-over (Gilbert e Troitzsch

2005). Il processo di cross-over viene eseguito in tre passi. In primo luogo

viene selezionata casualmente una coppia dalle stringhe derivanti dalla

selezione. Viene poi selezionato casualmente un punto di cross-over per ogni

coppia, ed infine con una probabilità P¨, vengono scambiate tra le due stringhe

originali i due segmenti alla destra del punto di cross-over creando due nuove

stringhe frutto della combinazione delle stringhe originali (Holland e Miller

1991).

96

In realtà il fitness sarebbe ≅ 0 dato che come è stato notato sopra le stringhe non possono ottenere il valore 1, ma solo un valore approssimato di 1

111

Figura 13. Cross-over singolo. Le stringhe risultato del cross-over saranno uguali alle stringhe originali con le parti a destra del punto di cross-over scambiate.

Si ritiene che per una maggiore efficienza dell’algoritmo genetico la probabilità

di cross-over debba essere maggiore di 0,5 (Bullard e Duffy 1998)97. Il processo

descritto è il cross-over singolo, è possibile immaginare anche un cross-over

che taglia le stringhe in due punti distinti, creando due segmenti e

scambiando questi due segmenti tra le stringhe. Esperimenti sui diversi tipi di

cross-over dimostrano che il tipo di cross-over scelto non è critico per i

risultati, importante è solo che l’operatore di cross-over mantenga un certo

numero di geni adiacenti per la generazione successiva (Gilbert e Troitzsch

2005). L’importanza di questi segmenti di geni è che essi rappresentano valori

di parametri che l’algoritmo genetico ha scoperto e selezionato, perciò parti di

codice di successo che vengono tramandati alla generazione successiva. Il

cross-over perciò riesce a creare diversità nella popolazione, mantenendo i

segmenti di geni selezionati.

L’ultimo operatore genetico è la mutazione. La mutazione cambia con

una certa probabilità ogni gene di ogni stringa risultante dal cross-over.

Quando la popolazione si evolve, vi sarà la tendenza di alcune stringhe di

diventare predominanti nella popolazione grazie alla selezione. Senza la

mutazione tali geni rimarrebbero immutati, e se tali geni fossero un massimo

locale, l’algoritmo genetico non riuscirebbe a svolgere propriamente

97

Non è raro trovare corss-over certi, ossia con una probabilità di cross-over pari ad 1, è il caso anche del modello costruito da Bullard e Duffy (1998)

112

l’ottimizzazione. Se l’ambiente è in evoluzione, un algoritmo genetico senza

mutazione e senza cross-over potrebbe trovare un massimo in un certo

periodo della simulazione, e a causa dell’omogeneità delle stringhe rimarrebbe

intrappolato in tale massimo impendendo l’adattamento delle strategie

all’evoluzione dell’ambiente. Dal punto di vista economico il cross-over può

essere interpretato come l’imitazione di parte delle strategie delle altre

imprese, mentre la mutazione può essere vista come la sperimentazione di

nuove strategie. I valori da dare alla probabilità di cross-over e mutazione non

sono univocamente determinati. In Goldberg (1989) viene dato il valore di 0,6

alla probabilità di cross-over e 0,0333 alla probabilità di mutazione, ma più in

generale si suggerisce:

“…that good GA [Genetic Algorithm] performance requires the choice of a high

cross-over probability, a low mutation probability (inversely proportional to the

population size), and a moderate population size”

(Goldberg 1989, p.71)

4.6 Risultati della simulazione Utilizziamo nel modello descritto nei paragrafi precedenti gli algoritmi

genetici98. Eliminiamo perciò l’ipotesi di razionalità perfetta e forniamo ad ogni

impresa una stringa di DNA che evolverà grazie agli algoritmi genetici.

Supponiamo di avere 1000 imprese ognuna con una stringa iniziale casuale. I

parametri della funzione di costo e della funzione di domanda sono = 5, = 0.25, = 1, = 5

Essendo = < = 5, = 0.005.Gli algoritmi genetici operano con la selezione

probabilistica descritta precedentemente, con una probabilità di cross-over di

0.6 ed una probabilità di mutazione di 0.002. Nel modello la tecnologia di

produzione delle imprese è la stessa. Ciò che rende diverse le imprese sono le

aspettative. Esse infatti formulano diverse aspettative di prezzo, differenti dalle

aspettative razionali, e su queste basano le loro strategie di produzione. Le

regole di selezione, cross-over e mutazione cercano di cogliere i meccanismi di

apprendimento degli agenti.

98

Il modello è stato scritto con NetLogo. Il codice si trova nell’appendice A4

113

Figura 14. Produzione media delle imprese.

Nella figura 14 è disegnata la produzione media delle imprese (linea blu). La

retta nera rappresenta la produzione dell’agente con aspettative razionali.

Come è evidente dalla figura, le imprese producono quantità molto vicine

all’ottimo. Come afferma Arifovic, le regole decisionali degli agenti che usano

gli algoritmi genetici per aggiornare le proprie aspettative, non provengono

dalla condizione del primo ordine della loro funzione di fitness. Nonostante

questo esiste una convergenza molto veloce all’equilibrio con aspettative

razionali (Arifovic 1995, p. 221). La simulazione in questo caso termina al

periodo 300. Esiste una regola generale che afferma che per ottenere una

massimizzazione corretta è necessario che il prodotto tra il numero di stringhe

di DNA e i periodi sia almeno 100.000. Nel nostro caso le stringhe sono 1000 e

i periodi 300.

4.7 L’importanza di cross-over e mutazione La selezione è un operatore molto potente, riesce in un tempo

relativamente breve a selezionare le stringhe migliori e a diffonderle nella

popolazione. In assenza degli altri operatori genetici esiste però il rischio di

rimanere impigliati in massimi locali, e di rendere perciò inutili gli algoritmi

genetici. Nel caso del modello in esame la funzione di fitness è una funzione

semplice, per ogni data produzione totale, ossia per ogni prezzo, esiste un solo

114

massimo. Supponiamo invece di trovarci di fronte ad una funzione con due

massimi, un massimo locale ed un massimo globale. Nella figura 15 è

disegnata la curva corrispondente alla funzione:

14 = ª + | + X + B +

Con :

a : -0.0000125955131995

b : 0.0029498280944370

c : -0.2081434949337664

d : 4.6372247874227325

e : 0.2191678649508393

Figura 15.La funzione (14) nell’intervallo [0,31]. Esempio di funzione di fitness con un massimo locale ed un massimo globale. Supponendo di partire dal punto P una algoritmo genetico senza operatori genetici si ferma al punto A.

La curva è positiva nell’intervallo [0,127] e possiede due massimi, un massimo

locale, il punto A, ed un massimo globale, il punto B. Supponiamo di voler

utilizzare gli algoritmi genetici per la ricerca del massimo globale.

115

Costruiamo un algoritmo genetico con 1000 stringhe99, formate ognuna

da sette geni. L’algoritmo genetico è perciò codificato in modo da estendere la

ricerca a tutto l’intervallo [0, 127] 100, lo stesso intervallo in cui la curva è

maggiore di zero. Normalmente nello stato iniziale le stringhe sono

completamente casuali. In questo caso riduciamo l’ampiezza della casualità

delle stringhe imponendo a tutte le stringhe di iniziare nell’intervallo [0,15].

Questo significa che i primi tre bit (geni) saranno zero, mentre i restanti

saranno casuali. Nella simulazione seguente prenderemo in considerazione

due casi: uno con operatori genetici ed uno senza. Quando presente la

probabilità di cross-over è 0.6, la probabilità di mutazione è 0.002; entrambe

le simulazioni terminano nel periodo 200.

Figura 16. Sopra gli algoritmi genetici con cross-over e mutazione, sotto gli algoritmi genetici senza cross-over e mutazione. La linea nera rappresenta la fitness dell'algoritmo con fitness massimo nella popolazione. Entrambe le simulazioni partono da una fitness pari alla fitness massima presente nello spazio iniziale. Nella figura a destra è evidente come l’algoritmo scopra la presenza di un massimo globale diverso da quello in cui si trova.

99

Per costruire il codice di questo algoritmo genetico è sufficiente riferirsi al codice del modello economico e cambiare le parti necessarie. L’unica variazione fondamentale è la funzione di fitness che deve essere sostituita con la curva (14). 100

Ogni DNA codifica un numero binario di 7 cifre. L’intervallo di ricerca in binario è tra 0000000 e 1111111

116

Nella figura 16 è disegnata l’evoluzione del fitness nel caso in cui siano

operativi cross-over e mutazione e nel caso in cui siano esclusi. È’ evidente

come nel primo caso, l’algoritmo si sposta dal massimo in A al massimo in B.

La condizione iniziale è costruita in modo che l’algoritmo genetico trovi subito

il massimo locale in A. Dopo un certo numero di periodi (che varia ad ogni

simulazione) l’algoritmo genetico riesce sempre a trovare il massimo globale.

Nel secondo caso, quando vengono esclusi il cross-over e la mutazione,

l’algoritmo rimane (rimarrà per sempre) nel minimo locale in A. Questo perché

senza cross-over e mutazione (in particolare senza mutazione) l’algoritmo

genetico non riesce ad effettuare la ricerca in tutto lo spazio, ma solo nello

spazio già selezionato (in questo caso artificialmente, ma è ovvia l’estensione al

caso in cui è l’algoritmo genetico stesso a selezionare le stringhe

corrispondenti ad un massimo, per poi scoprire che tale massimo è locale).

L’algoritmo genetico nel secondo caso non funziona.

Sperimentiamo ora l’assenza degli operatori genetici nel modello

economico presentato in precedenza, nel caso in cui avvenga una variazione

dei parametri economici. Supponiamo ad esempio che nel periodo 250 vi sia

un aumento (imprevisto) dei costi variabili da 1 ad 1.5. Dato che gli altri

parametri rimangono invariati, la produzione ottima dell’agente razionale si

sposta da «¬ = 0,714 a

∗ = ∗P∗ = 2 + = 58 = 0,625

Dato che nello stato iniziale le stringhe sono completamente casuali, nella

popolazione è rappresentato tutto lo spazio di strategie possibili. La selezione

opera selezionando le stringhe migliori e conduce la produzione media delle

imprese attorno all’ottimo dell’agente con aspettative razionali. Quando

avviene la variazione del parametro la produzione ottima si sposta in basso.

In presenza di cross-over e selezione l’algoritmo genetico riesce a spostare la

produzione media raggiungendo l’ottimo in un numero di periodi relativamente

basso (figura 17). Quando gli operatori genetici sono esclusi invece l’algoritmo

genetico non riesce ad ottimizzare la produzione (figura 18).

117

Figura 17. Variazione dei costi variabili nel periodo 250. la linea blu rappresenta il prodotto medio delle imprese, la retta nera rappresenta la produzione dell'impresa perfettamente razionale. Sono attivi tutti gli operatori genetici

Figura 18. Stessa situazione della figura precedente. In questo caso però sono stati esclusi il cross-over e la mutazione.

Come è stato affermato in precedenza, la selezione probabilistica adottata

riesce a mantenere un certo grado di diversità nella popolazione. La selezione

opera in modo da selezionare le stringhe più vicine al nuovo ottimo

abbassando la produzione media, ma non riesce a raggiungere il nuovo ottimo.

118

La selezione può solo scegliere le stringhe già esistenti; sono il cross-over e la

mutazione a permettere la creazione di diversità tra le stringhe, e perciò il

successo dell’ottimizzazione. L’argomento può essere ribadito guardando alla

varianza delle strategie nei due casi. Gli operatori genetici riescono a

contrastare la tendenza della selezione ad annullare la varianza tra le strategie

(figura 19 e figura 20).

Figura 19. Varianza delle strategie senza mutazione e cross-over

Figura 20. Varianza delle strategie con cross-over e mutazione

4.8 Teorema fondamentale degli algoritmi genetici Gli algoritmi genetici sono un metodo di ottimizzazione molto potente. La

selezione, il cross-over e la mutazione coinvolgono la sparizione e la nascita di

stringhe in modo tale da ottenere la massimizzazione della funzione di fitness.

La potenza e l’efficacia degli algoritmi genetici hanno bisogno di una

esposizione più rigorosa, che attraverso la matematica mostri i meccanismi

fondamentali alla base del funzionamento degli algoritmi genetici. A questo

scopo esiste il Teorema Fondamentale degli Algoritmi Genetici o “Schema

Theorem”. Seguendo Goldberg (1989) definiamo in primo luogo gli schemi. Uno

schema è una stringa formata da 0, 1 e *, dove * è un “don’t care symbol”. Al

posto di * possono esserci sia 1 che 0. In altre parole lo schema definisce un

insieme di stringhe. Ad esempio lo schema 0 ∗ 1 1 ∗ ∗ ∗ rappresenta tutte le

stringhe che al primo posto hanno uno 0, al terzo e al quarto un 1, ed

indifferentemente 0 o 1 negli spazi contrassegnati con *. Goldberg (1989)

definisce due misure per distinguere gli schemi tra loro: l’ordine dello schema

e la lunghezza significativa dello schema. L’ordine misura il numero di

posizioni fisse. I due schemi ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ e ∗ 0 0 1 ∗ 1 ∗ ∗ sono perciò

rispettivamente di ordine 1 e di ordine 4. L’ordine degli schemi viene indicato

119

con ­®, dove H rappresenta lo schema. La seconda misura è la lunghezza

significativa (“defining lenght”) dello schema H, denotata con ¯®. La misura

prende in considerazione la distanza tra la prima e l’ultima posizione fissa. Lo

schema ∗ 0 0 1 ∗ 1 ∗ ∗ ad esempio avrà lunghezza significativa ¯ = 4, dato che

la prima posizione fissa si trova in 2 e l’ultima in 6, e ¯ = 6 − 2; la lunghezza

significativa di ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ è invece ¯ = 0 . Le misure definite sono importanti

per distinguere i diversi tipi di schema e per misurare l’effetto che selezione,

cross-over e mutazione hanno sui diversi tipi di schemi.

L’effetto della selezione è relativamente semplice da determinare.

Supponiamo di essere nel periodo , e che nella popolazione vi siano Y

stringhe di un particolare schema H, possiamo scrivere Y = Y ®, .

Supponiamo che la selezione avvenga in modo probabilistico, perciò la

probabilità che una particolare stringa nella popolazione sia selezionata è

pari a P = > ∑ >o⁄ , dove > rappresenta il valore del fitness della generica stringa

. Allora il numero atteso di stringhe appartenenti allo schema ® , se la

popolazione totale di stringhe è <, possiamo scriverla come:

Y®, + 1 = Y®, ∙ < ∙ >®∑ >o

Dove >®è la fitness media delle stringhe appartenenti allo schema H nel

periodo . Dato che la fitness media dell’intera popolazione può essere scritta

come >° = ∑ >o <⁄ , possiamo riscrivere il numero atteso di stringhe appartenenti

allo schema H nel periodo + 1 come:

Y®, + 1 = Y®, ∙ >®>°

In altre parole lo schema cresce se la sua fitness media è maggiore della

fitness media della popolazione, e decresce se la sua fitness media è minore

della fitness media della popolazione.

Per comprendere come un dato schema sia influenzato dal cross-over

consideriamo una particolare stringa e due schemi di una popolazione di

stringhe con 7 geni:

120

~ = 0 1 1 1 0 0 0

® = ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 0

®X = ∗ ∗ ∗ 1 0 ∗ ∗

Evidentemente la stringa ~ fa parte sia dello schema ® che dello schema ®X.

Supponiamo che la stringa ~ sia stata scelta come compagno di cross-over per

un’altra stringa della popolazione, e supponiamo che il punto di cross-over,

casuale sia 3, ossia le stringhe si scambieranno i geni alla destra del terzo

gene:

~ = 0 1 1 | 1 0 0 0

® = ∗ 1 ∗ | ∗ ∗ ∗ 0

®X = ∗ ∗ ∗ | 1 0 ∗ ∗

Se l’altra stringa con cui viene effettuato il cross-over è diversa da ~ , lo

schema ® viene distrutto dato che le posizioni fisse verranno posizionate in

stringhe diverse. Essendo su parti opposte del punto di cross-over, lo schema

viene diviso in due e distrutto. Lo schema ®X invece sopravvivrà, dato che le

posizioni fisse si trovano dalla stessa parte del punto di cross-over. Qualsiasi

sia la stringa partner del cross-over, darà sicuramente vita ad una stringa

appartenente allo schema ®X , dato che una delle parti del cross-over è

completamente libera di assumere qualsiasi valore. Se il punto di cross-over

viene scelto come una variabile casuale uniforme tra tutte le posizioni possibili

nella stringa, è evidente che lo schema ® ha una probabilità di essere

distrutto pari al rapporto tra la lunghezza significativa e la lunghezza totale

dello schema. Lo schema viene infatti distrutto se il punto di cross-over si

trova tra due posizioni fisse, la probabilità che questo avvenga aumenta

all’aumentare della lunghezza significativa:

P± =¯(®)

( − 1)=

5

6

La probabilità di distruzione dello schema ®X è invece:

121

P± = ¯®X − 1 = 16

La probabilità che il punto di cross-over si trovi esattamente tra il gene 4 e il

gene 5 è 1 rispetto alla numerosità dell’insieme di tutti i possibili punti di

cross-over pari a 6. Più in generale possiamo costruire una probabilità minima

di sopravvivenza P0 per ogni schema. Dato che uno schema qualsiasi

sopravvive se il punto di cross-over si trova al di fuori della lunghezza

significativa, la probabilità di sopravvivenza sarà pari a

P0 = 1 − ¯® − 1

Dove naturalmente P0 = 1 − P± . Se il cross-over viene esso stesso eseguito

casualmente, la probabilità di sopravvivenza è data da:

P0 = 1 − P¨ ∙ ¯® − 1

Dove P¨ è la probabilità che il cross-over avvenga. Consideriamo ora l’effetto di

selezione e cross-over e scriviamo l’espressione che denota il numero atteso di

stringhe appartenenti ad un dato schema nel periodo + 1. Supponendo che le

operazioni di cross-over e di selezione siano indipendenti otteniamo:

Y®, + 1 ≥ Y®, ∙ >®>° ²1 − P¨ ∙ ¯® − 1³

Il numero di stringhe dello schema H nel periodo + 1 sarà pari al numero

atteso di stringhe selezionate moltiplicato per la probabilità di sopravvivenza di

tali stringhe al cross-over.

L’ultimo operatore da prendere in considerazione è la mutazione. La

mutazione è una alterazione casuale di un gene con probabilità P¢ . La

probabilità di sopravvivere per uno schema è equivalente alla probabilità che

le sue posizioni fisse non subiscano la mutazione. Moltiplicando la probabilità

che la mutazione non avvenga 1 − P¢ per se stesso, per un numero di volte

122

pari all’ordine dello schema ­®, otteniamo la probabilità che lo schema non

venga distrutto dalla mutazione, 1 − P¢´µ . Per valori molto piccoli di

P¢ P¢ << 1 , la probabilità di sopravvivenza dello schema può essere

approssimata dall’espressione 1 − ­®P¢. Il teorema fondamentale degli

algoritmi genetici afferma perciò che il numero atteso di stringhe appartenenti

ad uno schema H, con selezione, cross-over e mutazione è dato dalla seguente

equazione101:

Y®, + 1 ≥ Y®, ∙ >®>° ²1 − P¨ ∙ ¯® − 1 − ­®P¢³ Gli schemi corti, con basso ordine e alta fitness ricevono una proporzione di

“rappresentanti” nella generazione successiva crescente (Goldberg 1989). Lo

Schema Theorem rende analiticamente evidente ciò che avviene nel computer

quando si esegue un algoritmo genetico. La selezione è l’operatore

fondamentale per l’aumento delle stringhe con fitness alta nella popolazione.

Tale aumento può essere visualizzato con un esempio in Goldberg (1989).

Supponiamo di avere uno schema H con una fitness >® = 1 + >°°102 .

Possiamo riscrivere l’equazione alle differenze, con la sola selezione, come

segue:

Y®, + 1 = Y®, >° + >°>° = 1 + ∙ Y®,

Iniziando nel periodo = 0, e supponendo che il valore di rimanga invariato,

otteniamo l’equazione:

Y®, = Y®, 0 ∙ 1 +

L’effetto della riproduzione è ora quantitativamente chiaro; la riproduzione

permette un aumento (diminuzione) esponenziale del numero di

rappresentanti degli Schemi con una fitness maggiore (minore) della media

(Goldberg 1989, p.30). Naturalmente, nell’esecuzione effettiva di un algoritmo

101

Si ignora il termine Y®, ∙ ¶µ¶° ∙ P¨ ∙ ·µ d ∙ ­®P¢. In Goldeberg (1989): “Ignoring small cross-

product terms”. 102

Dato che la fitness non può essere negativa deve valere > −1

123

genetico il valore di non sarà mai costante, proprio a causa dell’operare

dell’algoritmo genetico. Le stringhe presenti nella popolazione cambiano,

aumentando la fitness media, variando per ogni schema in ogni periodo.

L’esempio di Goldberg è utile per mostrare la forza della selezione nello

scartare stringhe inefficienti e nel moltiplicare le stringhe efficienti. Cross-over

e mutazione operano distruggendo gli schemi che provengono dalla selezione,

permettendo però la ricerca del massimo su tutto lo spazio codificato dalle

stringhe (si veda più avanti il trade-off definito da Axelrod (1987)).

4.9 Modelli con algoritmi genetici Esistono nella letteratura economica diversi lavori interessanti che

utilizzano algoritmi genetici. Ad esempio, Axelrod (1987) applica gli algoritmi

genetici al dilemma del prigioniero ripetuto scoprendo che l’evoluzione delle

strategie conduce a strategie con le stesse caratteristiche della famosa

strategia TIT-FOR-TAT. Una tipica esecuzione dell’algoritmo genetico di

Axelrod (1987) mostra una tendenza iniziale delle strategie migliori di

defezionare, per poi invertire la tendenza ed iniziare a cooperare103. Dato che

nel periodo iniziale le strategie sono casuali e i giocatori reattivi sono pochi la

strategia migliore è la defezione.

Figura 21. Curva di fitness in una esecuzione del modello di Axelrod (1987) in NetLogo scritto da Nigel Gilbert (Gilbert e Troitzsch 2005).

103

http://cress.soc.surrey.ac.uk/s4ss/code/NetLogo/axelrod-ipd-ga.html per l’implementazione del modello di Axelrod (1987), creata da Gilbert per Gilbert e Troitzsch (2005)

124

Quando si iniziano a sviluppare strategie che rispondono alla

cooperazione quando trovano cooperazione, iniziano a nascere strategie

reattive che guadagnano dalla mutua cooperazione ma non si fanno ingannare

da un giocatore che defeziona. La curva di utilità dei giocatori perciò

inizialmente decresce (defezione), per poi invertire la tendenza ed iniziare a

crescere (inizia la cooperazione) (Axelrod 1987 p. 11, Gilbert e Troitzsch 2005

p.248).

Un modello interessante che utilizza gli algoritmi genetici è possibile

trovarlo in Arifovic (1995). Il modello rappresenta una economia in cui vi sono

due generazioni sovrapposte, e studia il comportamento degli algoritmi genetici

in economie con moneta del tipo “fiat money”, confrontando i risultati con

altri algoritmi di apprendimento. Le stringhe codificano il consumo degli agenti

nel primo periodo, determinando il risparmio. Le dotazioni di ogni periodo

sono date ed i prezzi dipendono dall’offerta di moneta e dal risparmio

complessivo nel periodo. Vengono considerate due regole di politica

economica, una in cui l’offerta di moneta è costante, l’altra con un deficit

costante dell’autorità di politica economica finanziato con il signoraggio. Nel

primo scenario, con offerta di moneta costante, la simulazione converge ad un

unico equilibrio stazionario con livello dei prezzi costanti. Il risultato è

consistente con i modelli che utilizzano l’insieme dei prezzi dei periodi

precedenti per la previsione e con gli esperimenti con soggetti umani. Nel

secondo scenario, con deficit costante finanziato con signoraggio, gli algoritmi

genetici convergono ad un equilibrio con bassa inflazione, equilibrio che

risulta instabile nei modelli con perfetta razionalità, e localmente stabile con

l’apprendimento dei minimi quadrati con bassi deficit. Il tasso di inflazione

registrato negli esperimenti con soggetti umani converge anch’esso al un tasso

di equilibrio con bassa inflazione. Gli algoritmi genetici riescono a catturare

meglio le fluttuazioni del tasso di inflazione registrate nelle economie

sperimentali (Arifovic 1995). Un modello simile a quello di Arifovic (1995) è

Bullard e Duffy (1998), i quali estendono lo studio ad una economia con <

generazioni sovrapposte. In questo caso la stringa genetica rappresenta la

strategia utilizzata per prevedere il prezzo nei periodi futuri, e quindi

impostare il consumo ottimo rispetto a tale attesa (non direttamente il

consumo del primo periodo, la diversità è dovuta anche all’esigenza di

125

modellare agenti che vivono < periodi). La stringa genetica utilizzata, formata

da 21 geni, indica quali periodi devono essere presi in considerazione nella

regola di previsione. Sono possibili tre risultati: una convergenza delle

aspettative e del sistema verso una situazione di bassa inflazione, una

convergenza verso una situazione di alta inflazione, nessuna convergenza. A

differenza del modello di Arifovic (1995) in cui ogni agente sceglieva la propria

strategia solo alla nascita (“nonoverlapping information”, ossia coloro che

tramandano la propria strategia muoiono subito dopo averla tramandata), in

Bullard e Duffy (1998) la strategia di previsione del prezzo viene aggiornata ad

ogni periodo della simulazione; gli agenti perciò hanno la possibilità di

emulare gli altri agenti presenti (vivi) nell’economia. Un aspetto molto

interessante dal punto di vista dell’algoritmo genetico utilizzato è l’aggiunta di

un passaggio ai tre studiati nei paragrafi precedenti. Oltre a selezione, cross-

over e mutazione, Arifovic (1995) introduce l’elezione (confermata in Bullard e

Duffy (1998)). L’elezione è un particolare operatore genetico che opera dopo

selezione, cross-over e mutazione, e che, confrontando le stringhe originali con

le stringhe derivanti da cross-over e mutazione, sceglie la stringa con una

fitness migliore. Nelle parole di Arifovic che ha sviluppato l’elezione:

It is a form of an elitist selection procedure which reduces the effects of the

mutation operator over the course of a simulation

(Arifovic 1995, nota 5, p. 227)

Per chiarire come funziona l’elezione ne descriviamo l’uso fatto in Arifovic

(1995). Supponiamo che su una popolazione di stringhe sia stata effettuata la

selezione delle stringhe migliori. Le stringhe vengono accoppiate casualmente,

viene effettuato il cross-over e la mutazione creando due nuove stringhe.

L’elezione confronta la fitness effettiva delle stringhe originali e la fitness

potenziale delle stringhe nuove (ossia misura la fitness prodotta dalla strategia

nella situazione ambientale in cui hanno operato le stringhe originali). Le due

stringhe migliori (entrambe le originali, scartando le due stringhe nuove,

oppure entrambe le nuove, o, ancora una delle nuove ed una delle originali)

saranno le stringhe tramandate alla nuova generazione. L’elezione è un

passaggio interessante in quanto, mantenendo l’elemento innovatore della

126

mutazione, evita che stringhe inefficienti vengano inserite nella popolazione. In

qualche modo si supera il trade-off intrinseco agli algoritmi genetici,

sottolineato da Axelrod (1987). All’aumentare della probabilità di mutazione

migliora l’esplorazione dello spazio in cui si massimizza, ma peggiora la

possibilità di sfruttare le strategie già presenti nella popolazione (Axelrod

1987, p.15) 104 . È da verificare però che non vi siano effetti perversi

sull’evoluzione della popolazione influenzando l’ambiente dove vive l’agente. Il

fatto che alcune stringhe inferiori non vedono la luce può avere effetti

sull’evoluzione dell’ambiente e perciò sul processo di massimizzazione

dell’utilità. Se ad esempio utilizzassimo l’elezione nel modello di Axelrod

(1987), potrebbe accadere che la massimizzazione divenga inefficiente. Come

abbiamo visto nel modello di Axelrod nei periodi iniziali la strategia migliore è

la defezione. Il fatto che nella popolazione nascano stringhe, non ancora

ottime, che comprendano un certo grado di cooperazione, rende le strategie di

cooperazione vantaggiose. Se tali stringhe non vedessero la luce potremmo

rimanere in una situazione di perenne defezione, proprio a causa dell’elezione.

Quando le strategie degli altri agenti influiscono direttamente sulla funzione di

fitness è possibile che l’elezione abbia effetti perversi.

Un modello interessante, sia per le implicazioni economiche che per

l’implementazione degli algoritmi genetici, è illustrato in Arifovic et al. (1997).

È noto che tutte le economie attualmente industrializzate sono partite da

situazioni di stagnazione e bassa crescita (Maddison 1982). Inoltre

considerando i dati recenti, è evidente un’ampia e persistente differenza di

reddito tra paesi poveri e paesi ricchi (Milanovic 2006). Il limite dei modelli di

crescita endogena, che tentano di spiegare la non convergenza dei sistemi

economici, è che non riescono a comprendere come un dato sistema

economico possa passare da uno stato di stagnazione e bassa crescita, ad uno

stato di alta crescita. Arifovic et al. (1997) tenta di dare una risposta al

problema costruendo un modello economico con esternalità del capitale

sociale, in cui le scelte degli agenti sono codificate da un algoritmo genetico.

Gli agenti sono eterogenei e vivono per due periodi. In ogni periodo esistono

perciò F agenti “giovani” ed F agenti “anziani”. Gli agenti possono decidere 104

“there is an inherent tradeoff for a gene pool between exploration of possibilities (best done with a

high mutation rate), and exploitation of the possibilities already contained in the current gene pool (best

done with a low mutation rate)” (Axelrod 1987, p.15)

127

quanto tempo dedicare alla formazione da giovani e quanto risparmiare.

L’utilità dipende dal consumo. L’esternalità si riflette sul capitale umano

tramite una funzione di produzione di capitale umano che include il livello

medio di capitale umano nell’economia. All’aumentare del capitale umano già

presente nell’economia, aumenta la produttività di ogni unità di tempo

dedicata alla formazione. Nel modello sono possibili due equilibri, un equilibrio

con bassa crescita caratterizzato da una scelta di investimento in formazione

nullo, ed un equilibrio con alta crescita in cui gli agenti scelgono di investire

una parte positiva della propria dotazione di tempo in formazione. Il risultato

mostra come economie che partono da situazioni iniziali identiche (a parte il

random seed che caratterizza le stringhe iniziali), sperimentano la transizione

in periodi molto diversi della simulazione. Nel momento in cui gli agenti

iniziano ad investire in formazione si avvia un circolo virtuoso che porta

l’economia ad ottenere alti livelli di crescita. Uno degli aspetti interessanti del

modello è come Arifovic implementa nell’algoritmo genetico la doppia scelta a

disposizione degli agenti. Ogni agente possiede una stringa unica di 30 geni.

La scelta di formazione e risparmio deve essere tramandata alle generazioni

future congiuntamente, è perciò appropriata la scelta della stringa unica. Tale

stringa rappresenta nei primi 15 geni la scelta della quantità di tempo da

dedicare alla formazione, e negli ultimi 15 geni la scelta di risparmio. La

selezione avviene con la “tournament selection” confrontando le prestazioni

delle strategie codificate nella stringa unica. Il cross-over avviene considerando

le due sottostringhe da 15 geni separate. Gli agenti avranno perciò due punti

di cross-over casuali, il primo tra i primi 15 geni ed il secondo tra gli ultimi 15,

e si scambieranno i geni come il cross-over tradizionale, considerando le

sottostringhe come stringhe separate. La mutazione avviene, come di

consueto, dando una data probabilità ad ogni gene di mutare.

5. Complessità ed Emergenza Una definizione precisa di complessità non è immediata. Autorevoli

scienziati, come ad esempio Gell–Mann (1995), hanno messo in luce la

difficoltà di una definizione chiara, quantitativa e generale del concetto di

complessità – e paradossalmente, anche il concetto di semplicità sembra

piuttosto difficile da definire accuratamente. La complessità è un concetto che

128

appare in diverse discipline, dalla fisica alla biologia, dalla sociologia

all’economia; tale estensione del concetto crea ulteriori difficoltà 105 . Nella

definizione di complessità data in questo capitolo (vedere in particolare

Testfatsion 2005, p.4 e Terna 2006, p.20) si pone particolare risalto alla

composizione di un sistema complesso, formato da una miriade di elementi

che interagendo creano regolarità aggregate che non sono direttamente

deducibili dalle proprietà delle unità elementari del sistema. Diverse definizioni

di complessità possono essere trovate in Fromm (2004), ed un lavoro

interessante sul dibattito è Rosser (1999)106. Senza entrare in un dibattito

ampio e… complesso, si vuole sottolineare un elemento centrale dei sistemi

complessi e di grande importanza per lo studio dell’economia come sistema

complesso: l’emergenza.

Nella definizione data da Gilbert (2004) un fenomeno aggregato è

emergente quando può essere descritto e caratterizzato usando termini e

misure che sono inappropriate o impossibili da applicare sulle singole

componenti (Gilbert 2004, p. 3). L’emergenza è perciò quel fenomeno che

caratterizzando i sistemi complessi ne impedisce uno studio riduzionistico. A

causa delle dinamiche interne al sistema, le proprietà del sistema a diversi

livelli di aggregazione sono diverse, impedendo lo studio isolato delle unità

elementari. Se si accetta la definizione del sistema economico come un sistema

complesso, è necessario adottare strumenti adatti allo studio dei sistemi

complessi: la simulazione ad agenti (Fromm 2004107, Terna 2006). Dato che le

proprietà del sistema economico variano al variare del livello di osservazione,

non è possibile indurre dalle proprietà degli elementi le proprietà

dell’aggregato, e non è possibile dedurre dalle proprietà aggregate le proprietà

degli elementi. L’unico modo per ottenere una descrizione della realtà è tentare

di riprodurre i fenomeni complessi reali attraverso la simulazione ad agenti,

osservando come le proprietà emergenti si formano a partire dalle proprietà

105

Ulteriori rispetto alle normali difficoltà di definizione dei concetti. Come afferma Murray Gell-Mann, esiste diffidenza tra i ricercatori ad utilizzare nomenclature create da altri ricercatori: It is worth

remarking for readers of this journal that John Holland, for example, uses a different set of terms to

describe some of the same ideas. […] Both of us are conforming to the old saying that a scientist would

rather use someone else's toothbrush than another scientist's nomenclature. 106

Un riferimento ormai fondamentale per lo studio della complessità come ricerca interdisciplinare è il Santa Fe Insitute. http://www.santafe.edu/ 107

“The right kind of tools to model and simulate complex system are Multi Agent Systems and Cellular Automata” (Fromm 2004, p.16). Gli automi cellulari sono un particolare tipo di Multi Agent System.

129

elementari delle unità che formano il sistema. Tramite la costruzione di

modelli ad agenti è possibile disegnare un mondo microeconomico che faccia

emergere le variabili macroeconomiche (o meglio le relazioni tra le variabili

macroeconomiche) osservate.

Il concetto di emergenza non è esente da dibattito. La definizione data da

Gilbert (2004) è una definizione che può comprendere due concetti distinti di

emergenza: l’emergenza forte e l’emergenza debole. Definizioni di questi due

concetti di emergenza sono date in Chalmers (2006):

We can say that a high-level phenomenon is strongly emergent with respect to a

low-level domain when the high-level phenomenon arises from the low-level

domain, but truths concerning that phenomenon are not deducible even in

principle from truths in the low-level domain […] We can say that a high-level

phenomenon is weakly emergent with respect to a low-level domain when the

high-level phenomenon arises from the low-level domain, but truths concerning

that phenomenon are unexpected given the principles governing the low-level

domain.

(Chalmers 2006, p. 1)

Chalmers (2006) sostiene che esiste solamente un tipo di emergenza forte: la

consapevolezza di sé (“consciousness”); il sistema cervello, formato da

meccanismi ed unità elementari riconosce se stesso e riesce a creare una

rappresentazione di se stesso. Tale emergenza è completamente inspiegabile

guardando agli elementi costitutivi del cervello. Come afferma in modo critico

Bedau (1997):

Although strong emergence is logically possible, it is uncomfortably like magic.

How does an irreducible but supervenient downward causal power arise, since

by definition it cannot be due to the aggregation of the micro-level potentialities?

Such causal powers would be quite unlike anything within our scientific ken.

(Bedau 1997, p. 4)

L’emergenza debole è il concetto fondamentale per lo studio dei sistemi

complessi normalmente studiati (economia, sociologia, fisica etc.). La

130

differenza fondamentale è la rilevanza scientifica dei due concetti di

emergenza. L’emergenza debole infatti è riconducibile alle parti che

compongono il sistema, ed è per questo analizzabile. Le proprietà tra i diversi

livelli del sistema sono diverse (vale perciò la definizione di Gilbert), ma tali

proprietà aggregate (emergenti) non sono altro che il risultato delle proprietà

micro del sistema. Le proprietà aggregate, emergenti semplici, possono essere

ricondotte al livello di unità elementari e possono essere riprodotte tramite la

simulazione108. La distinzione non ha interesse meramente filosofico. Il fatto

che i sistemi economici facciano parte dei sistemi caratterizzati da emergenza

debole permette di comprendere tali proprietà emergenti. Se il fine ultimo

dell’economia è comprendere i fatti economici, per controllarli e prevederli, la

caratteristica dell’emergenza debole permette di sperare in un futuro in cui gli

eventi aggregati possano essere compresi grazie alla comprensione dei

fenomeni micro.

Although perhaps unfamiliar, the idea of a macrostate being derived "by

simulation" is straightforward and natural. Given a system's initial condition

and the sequence of all other external conditions, the system's microdynamic

completely determines each successive microstate of the system.

(Badau 1997, p. 6)

La discussione è importante inoltre perché richiama le affermazioni di

Lembruni e Richiardi (2005), riportate nel paragrafo 2.1. La simulazione non è

magia, i risultati sono diretta e necessaria conseguenza della costruzione del

modello di simulazione, e per questo è possibile verificare quali siano le leggi

che provocano un dato risultato. La simulazione, se utilizzata in modo

scientifico e rigoroso, è uno strumento che apre orizzonti completamente nuovi

alla ricerca economica e non solo.

108

La definizione di emergenza semplice di Bedau: “Macrostate P of S with microdynamic D is weakly

emergent iff P can be derived from D and S 's external conditions but only by simulation” (Bedau 1997, p. 6)

131

Capitolo V Alcune applicazioni di economia computazionale

1.Modello con agenti non intelligenti

I modelli ad agenti sono producono risultati rilevanti sia nelle loro

versioni più complesse, in cui si utilizzano specifici algoritmi di intelligenza

artificiale per implementare la razionalità limitata109, sia nelle versioni più

semplici in cui gli agenti seguono regole estremamente semplificate per

decidere la propria strategia. Uno dei primi lavori che studiano il

comportamento di agenti non intelligenti in un mercato è Gode e Sunder

(1993). Gli agenti vengono chiamati “Zero-Intelligence” (ZI) perché le loro azioni

sono puramente casuali. Quando si trovano però davanti al vincolo imposto

dal mercato (che il prezzo di offerta sia superiore o uguale al costo ed il prezzo

di domanda inferiore o uguale al valore) il comportamento di questi agenti

casuali assomiglia sorprendentemente al comportamento di veri agenti umani.

L’efficienza dei mercati con agenti non intelligenti si avvicina molto

all’efficienza 110 massima dimostrando che la razionalità degli agenti gioca

spesso un ruolo di secondo piano rispetto al funzionamento delle istituzioni

del mercato (Gode e Sunder 1993), o come scrive Testfatsion (2005):

Gode and Sunder concluded that the high market efficiency they observed in

their experiments derived from the structural and institutional aspects of the

auction and not from the learning capabilities of the auction traders per se.

(Testfatsion 2005, p.24)

Sono le regole che governano gli scambi a rendere efficiente il mercato. Il

risultato è interessante, ed è stato analizzato anche nell’ambito delle

simulazioni di borsa (Terna 2000a, Farmer et al. 2005) dove l’inserimento di

109

Come afferma Sargent (1993): “Ironically, when we economists make people in our models more

bounded in their rationality and more diverse in their understanding of the environment, we must be

smarter, because our models become larger and more demanding econometrically and mathematically” (Sargent 1993, p. 2) 110

L’efficienza del mercato viene calcolata sommando il profitto totale di tutti gli agenti diviso il profitto massimo ottenibile (ossia la somma del surplus dei consumatori e dei produttori).

132

regole che governano gli scambi permette l’emergenza di andamenti

interessanti dei prezzi. Ispirandoci a Terna (2000a) svilupperemo un mercato

azionario simulato con agenti ZI. Si vedrà come, nonostante gli agenti agiscano

in modo casuale, emergano bolle e crash tipiche del mercato di borsa. In Terna

(2000a) si distinguono quattro macro categorie per i modelli ad agenti: i) agenti

“senza mente” operanti in un ambiente non strutturato; ii) agenti “senza

mente” operanti in un ambiente strutturato, iii) agenti “con mente” operanti in

un ambiente non strutturato; iv) agenti “con mente” operanti in un ambiente

strutturato. Applicando questa categorizzazione al mercato di borsa è possibile

verificare come nel primo caso il comportamento emergente sia completamente

caotico (Terna 2000b). La nostra intenzione è costruire un modello di borsa in

cui gli agenti siano “senza mente” ma il mercato sia strutturato. La struttura

del mercato consiste in un meccanismo (“book”) che registra gli ordini di

offerta e di vendita degli agenti, con relativi prezzi, ed esegue gli ordini se trova

un controparte compatibile. Gli agenti in questo modello sono completamente

miopi (o meglio Zero Intelligence): conoscono solamente l’ultimo prezzo di

transazione, scelgono casualmente se comprare o vendere, fissano il loro

prezzo moltiplicando il prezzo vigente per un coefficiente casuale. La struttura

del mercato permette l’emergenza di un andamento del prezzo con bolle e

crash senza la necessità di spiegazioni esogene. Il modello consiste di

i) 100 agenti che scelgono con probabilità P = 0,5 di comprare o

vendere una azione;

ii) un registro che esegue le transazioni se esistono domande o offerte

compatibili, e le registra in caso contrario;

iii) una variabile casuale uniforme tra 0,9 e 1,1 che gli agenti usano per

decidere il prezzo di acquisto o di vendita (se V è il coefficiente, il

prezzo sarà V ∗ * Y­ P7RR­);

iv) un prezzo base al di sotto del quale gli agenti tendono a comprare

più che vendere (al di sotto di 0.3 la percentuale di agenti che

compra supera quella di agenti che vendono).

Il prezzo iniziale è pari ad 1 (prezzi iniziali diversi danno risultati qualitativi

identici). Il codice NetLogo del modello si trova nell’appendice A5. Nelle figure

22 e 23 sono rappresentati i prezzi ad ogni transazione ed il prezzo a fine

giornata.

133

Figura 22. Prezzo ad ogni transazione. Agenti con comportamento casuale. L’andamento interessante è dato dalla presenze del mercato strutturato, ossia di un meccanismo di mercato che effettua le transazioni tra le offerte e le domande compatibili. La simulazione termina nel periodo 100000

Figura 23. Prezzo alla fine di ogni giornata. Ogni 100 periodi, ossia quando gli tutti gli agenti hanno effettuato un’offerta o una domanda, viene segnalato il prezzo di fine giornata, l’ultimo prezzo che ha dato luogo ad una transazione. Gli andamenti sono naturalmente quasi identici agli andamenti rappresentati nella figura precedente. La simulazione termina alla giornata 1000

Quando il “book” trova due prezzi compatibili avviene la transazione al prezzo

immesso per primo nel registro. Tale prezzo diviene il prezzo di mercato. Ogni

134

agente, con ordine casuale, agisce una volta ogni giornata. Dato che gli agenti

sono 100, nel modello 100 periodi (in ogni periodo agisce un agente) equivale

ad una giornata. Gli andamenti naturalmente sono uguali, perciò inseriamo

entrambi i grafici nel primo esempio, e ci limiteremo al solo prezzo a fine

giornata negli esempi successivi. La simulazione è stata eseguita per 100000

periodi, equivalenti a 1000 giornate. Sono chiaramente visibili i picchi e i

successivi “crash”. Il modello è stato successivamente implementato con una

ulteriore variabile di scelta. Supponiamo che con una probabilità pari a 0.05

gli agenti imitino il mercato. Viene perciò abbandonata l’ipotesi di completa

miopia, e viene sostituita con la capacità degli agenti di ricordarsi nella

giornata t i prezzi della giornata t-1 e t-2. Gli altri parametri rimangono tutti

invariati. Se il prezzo tra le due giornate è aumentato gli agenti comprano, se il

prezzo tra le due giornate è diminuito gli agenti vendono. Il risultato è una

notevole amplificazione delle bolle e dei crash. È possibile infatti notare come

attorno alla giornata 400 il prezzo sia arrivato a 290 (figura 24), quando nella

simulazione precedente il massimo era stato di 8.5 (figura 23).

Figura 24. Prezzo ad ogni giornata quando parte degli agenti "imita il mercato". Come è possibile verificare dal codice in appendice, nella simulazione con imitazione è impostata una probabilità pari a 0.05 che gli agenti scelgano di imitare il mercato piutosto che scegliere se comprare o vendere nel modo casuale descritto prima. Se un agente sceglie di imitare il mercato, controlla i prezzi delle due giornate precedenti e compra o vende se, rispettivamente, il prezzo è aumentato o diminuito. È possibile notare come la bolla sia molto accentuata.

135

Altra possibilità esplorata è l’imitazione tra gli agenti. Tenendo i parametri

della prima simulazione invariati viene ammessa la possibilità che gli agenti

imitino le azioni degli agenti che hanno agito in precedenza. In particolare

esiste una probabilità pari a 0.03 che gli agenti facciano la stessa cosa che ha

fatto la maggioranza dei 20 agenti che hanno agito in precedenza. La dinamica

di prezzo che emerge è molto disturbata, l’imitazione tra gli agenti rende più

volatile il prezzo, come è possibile vedere dalla figura 25.

L’ultimo esperimento mette assieme le due variazioni precedenti. Gli

agenti hanno perciò una probabilità di 0.05 di imitare il mercato ed una

probabilità di 0.03 di imitare gli agenti che hanno agito prima. Il

comportamento del prezzo è una sorta di intersezione tra i prezzi emergenti nei

precedenti due esempi, con ampia volatilità e bolle molto accentuate (figura

26).

Figura 25. Prezzo ad ogni giornata quando esiste una probabilità che parte degli agenti imitano gli altri agenti. In questa simulazione esiste una probabilità pari a 0.03 che gli agenti imitino gli altri agenti. Ogni agente sa cosa hanno fatto (comprato o venduto) i 20 agenti che hanno agito nei periodi precedenti. Se l’agente sceglie “l’imitazione locale” calcola cosa ha fatto la maggioranza degli agenti nei periodi precedenti ed effettua la stessa scelta. Il risultato è notevolmente più disturbato, il prezzo ha una grande volatilità

136

Figura 26. Prezzo ad ogni giornata con probabilità di imitazione del mercato pari a 0.05 e di imitazione degli altri agenti pari a 0.03. Valgono perciò entrambe le condizioni inserite nelle due simulazioni precedenti. Il risultato effettivamente mostra una sorta di intersezione tra gli andamenti delle simulazioni con le condizioni imposte separatamente. Le bolle ed i crash sono accentuati, e la volatilità del prezzo è grande.

Il risultato naturalmente non intende essere descrittivo dell’andamento di un

mercato azionario. È piuttosto interessante l’emergenza di una fenomeno

relativamente complesso, come le bolle speculative ed i crash di borsa, da

condizioni semplicissime. Quello che in assenza di un mercato strutturato

sarebbe una sorta di random walk, grazie all’introduzione di un semplice

meccanismo di mercato assume invece caratteristiche che imitano gli

andamenti reali.

Figura 27. Da sinistra a destra il titolo ALITALIA, il titolo TELECOM ITALIA e l'indice MIBTEL negli ultimi 3 anni (marzo 2005 – marzo 2008)

137

Per un confronto con la realtà proponiamo l’andamento del titolo ALITALIA, del

titolo TELECOM ITALIA e dell’indice MIBTEL degli ultimi tre anni (figura 27).

Ribadendo che il modello non può essere descrittivo della realtà, è possibile

notare come l’andamento irregolare e la presenza di picchi sia abbastanza

simile alle simulazioni effettuate. Gli andamenti di borsa sono sicuramente

influenzati da tante variabili. È possibile però intravedere, a prescindere

dall’andamento generale, piccole bolle e crash riconducibili più che altro ad

atteggiamenti speculativi, i quali sono sorprendentemente ben imitati dal

comportamento degli agenti ZI in un mercato strutturato.

Per ottenere descrizioni più appropriate del mercato di borsa è necessaria

una descrizione più fedele del comportamento degli agenti. In Terna (2000c) ad

esempio si sviluppa un modello di simulazione di borsa con reti neurali. Le reti

neurali, come mostrato nei paragrafi precedenti, hanno la capacità di imparare

quali azioni siano le azioni corrette da intraprendere dati gli input. In questo

caso gli input possono riguardare il comportamento del prezzo e degli altri

agenti (Terna 2000b, Terna 2000c). Un lavoro famoso che tenta di riprodurre

un mercato di borsa con agenti adattivi, sviluppato nell’ambito del progetto del

Santa Fe Institute, si può trovare in Palmer et al. (1994), in Arthur et al.

(1997) e in LeBaron (2002). Gli articoli citati riprendono lo stesso modello in

diverse fasi di sviluppo. Gli agenti nel mercato azionario simulato del Santa Fe

Institute scelgono le proprie strategie grazie ad un sistema a classificatori. Il

sistema a classificatori è una particolare forma di apprendimento individuale

derivante dagli algoritmi genetici (Arthur et al. 1997). Senza dilungarsi nella

spiegazione dei sistemi a classificatori possiamo affermare che tale metodo di

apprendimento prevede una stringa condizione, la quale attiva una stringa

azione. Gli input del mercato codificati nella stringa condizione determinano

l’azione effettiva dell’agente. L’apprendimento avviene con un algoritmo

genetico che agisce sulle stringhe azione. Grazie alle tecniche di intelligenza

artificiale è possibile riprodurre alcuni andamenti dei mercati azionari e i

comportamenti umani.

2. Modello di fragilità finanziaria In Delli Gatti et al. (2005, 2006) si trova un modello basato su agenti in

cui si studiano le fluttuazioni macroeconomiche. Il modello originale è stato

138

costruito nell’ambiente software Swarm, mentre nel presente lavoro ne

proponiamo una versione riscritta in NetLogo il cui codice si trova in

appendice A6 (nel codice possono essere trovati anche i valori assegnati ai

parametri del modello). In ogni periodo operano due mercati: il mercato per il

bene omogeneo prodotto dalle imprese ed il mercato del credito con cui le

imprese finanziano i propri investimenti. Si suppone che la domanda sia

sempre pari all’offerta, le imprese riescono perciò sempre a vendere tutto il

prodotto. Si suppone inoltre che le imprese possano finanziarsi solo tramite il

credito bancario e l’autofinanziamento. La domanda di credito dipende dalla

spesa in investimenti, la quale dipende dal tasso di interesse bancario. Il

credito totale è un multiplo del capitale proprio della banca, il quale è

negativamente influenzato dall’eventuale fallimento delle imprese con la

conseguente insolvenza. L’interazione tra le imprese attraverso il mercato

finanziario permette agli shock casuali che colpiscono le singole imprese di

propagarsi ed amplificarsi. Se avvengono fallimenti di imprese importanti, le

risorse del sistema bancario si riducono propagando l’effetto nell’intera

economia; la diminuzione dell’offerta di credito causa condizioni più gravose

sulle imprese rimaste in vita, mettendo in pericolo le imprese non sane.

Le imprese

In ogni periodo esiste un numero finito di imprese indicate con =1, … , F, ognuna collocata su un’ “isola”. Il numero totale delle imprese (quindi

delle isole) dipende dal periodo a causa del processo endogeno di entrata ed

uscita delle imprese dal mercato. Ogni impresa produce H grazie all’unico

fattore di produzione, il capitale , con la funzione di produzione lineare

H = ¹ . La produttività del capitale (¹) è costante ed uniforme tra tutte le

imprese, inoltre il capitale non si deprezza. La domanda di bene in ogni isola è

influenzata da shock reali idiosincratici B. Dato che l’arbitraggio tra le isole è

imperfetto, gli shock di domanda nel mercato di ogni impresa si riflettono

direttamente sul prezzo, il quale è casuale attorno al prezzo medio con

distribuzione = * , in cui $* = 1 e la varianza è finita. L’ipotesi di

arbitraggio imperfetto implica che uno shock di domanda positivo per una

data impresa faccia aumentare il suo prezzo di vendita. Lo stock di capitale di

ogni impresa = ~ + , è pari alla somma tra il capitale proprio

139

dell’impresa al tempo , ~, e del prestito ricevuto dalle banche nel periodo , . . Gli obblighi di pagamento delle imprese sul prestito nel periodo sono

7, dove 7 è il tasso di interesse reale. Supponendo per semplicità che 7 sia anche il profitto reale sul capitale proprio ~ , abbiamo che per ogni

impresa il costo del finanziamento è pari a 7 + ~ = 7 . Se i costi

variabili sono proporzionali ai costi di finanziamento per un fattore > 0 ,

allora avremo che il profitto in termini reali è dato da:

1 v = *H − 7 = *¹ − 7

e il profitto atteso è pari a $v = ¹ − 7 . Nel modello il fallimento di una impresa avviene se il valore netto

dell’impresa diventa negativo. La legge dinamica del valore netto è

2 ~ = ~d + v

Usando la (1) e la (2) otteniamo che il fallimento avviene se

3 * < 1¹ º7 − ~d » ≡ *J

La probabilità di fallimento 7¶ viene incorporata direttamente nella funzione

di costo dell’impresa dato che il fallimento rappresenta un costo (crescente

all’aumentare della dimensione dell’impresa). Supponiamo che * sia

distribuita uniformemente in (0,2) e che il costo del fallimento sia quadratico,

W¶ = HX con > 0, la funzione obiettivo dell’impresa diventa

4 Γ = ¹ − 7 − ¹2 %7 X − ~d &

Dalla condizione del primo ordine111, lo stock di capitale ottimale è

5 ± = ¹ − 7¹7 + ~d27 111

Dato che > 0 ed 7 > 0 la condizione del secondo ordine per un massimo è rispettata.

140

Perciò lo stock di capitale desiderato in è decrescente (non linearmente) nel

tasso di interesse, e crescente rispetto alla robustezza finanziaria indicata dal

capitale proprio dell’impresa nel periodo precedente ~d. L’investimento nel

periodo è la differenza tra lo stock di capitale desiderato e lo stock di capitale

ereditato dal periodo precedente = = ± − d . Il finanziamento di tale

investimento avviene tramite i profitti trattenuti del periodo precedente e, se

necessario, aumentando il debito con le banche = = vd + ∆L , dove ∆L =L − Ld. La domanda di credito è perciò

6 ± = ¹ − 7¹7 − vd + º1 − 2727 » Ad

Il numero di imprese presenti nel modello è endogeno; infatti l’uscita

delle imprese dal sistema produttivo è determinato dal fallimento, mentre

l’entrata avviene in ogni periodo, dipendendo dal tasso di interesse medio in

vigore nel periodo precedente, in base alla regola:

7 Fe-¾¿ = F Pr<7 = F1 + exp%B7°d − &

Figura 28. La (7) con N = 30, d = 100, e = 0.1, sull’asse delle x il tasso di interesse nell’intervallo [0,0.2] .

In cui B ed sono costanti, F > 1 ed 7°d è il tasso di interesse del periodo

precedente. Al crescere del tasso di interesse aumentano i costi variabili

riducendo il profitto atteso e scoraggiando l’apertura di nuove imprese. La

141

dimensione delle imprese nascenti sarà pari alla media delle imprese già

presenti nel mercato e la quota di capitale proprio sarà pari alla quota di

capitale proprio media delle imprese nel mercato.112

Il settore bancario

Il bilancio del settore bancario è 0 = $ + U, dove 0 è l’offerta totale di

credito, $ è il capitale proprio della banca e U i depositi, che nel modello sono

determinati come residuo. Per determinare il livello aggregato dell’offerta di

credito, imponiamo una regola prudenziale alle banche per cui 0 = $d Ä⁄ ,

dove Ä è il coefficiente di rischio ed è costante. Quindi maggiore è la salute

finanziaria delle banche maggiore sarà l’offerta di credito. I finanziamenti sono

stanziati ad ogni impresa in base all’ipoteca che esse offrono, la quale è

proporzionale alla dimensione e al capitale proprio, seguendo la regola:

8 0 = 0 dd + 1 − 0 ~d~d

Con d = ∑ d9ÅƦK , ~d = ∑ ~d9ÅƦK e 0 < < 1 . Il tasso di interesse di

equilibrio per l’impresa è determinato dall’equilibrio tra la domanda di credito

(6) e l’offerta di credito (7)

9 7 = 2 + ~d2 l 1¹ + vd + ~dm + 20Vd + 1 − d

Dove Vd e d sono rispettivamente pari a ÇÈÅƦÇÅƦ e

ÉÈÅƦÉÅƦ . Sotto l’ipotesi che il

capitale proprio sia remunerato ad un tasso pari al tasso di interesse medio

sui prestiti 7°, e che i depositi vengano remunerati con un tasso di interesse

pari a 7°1 − a il profitto delle banche è

10 vÊ = I 70 −∈9Å

7°%1 − aUd + $d& 112

In questo caso ci siamo leggermente discostati dal modello originale in cui le due grandezze appena elencate venivano poste grazie ad una variabile casuale uniforme attorno alla moda delle imprese nel mercato

142

La differenza tra il tasso di interesse medio ed il tasso di interesse a cui

vengono remunerati i depositi dipende da a, il quale può essere interpretato

come il coefficiente che denota il grado di concorrenza nel settore bancario,

maggiore è a maggiore è la differenza tra i tassi di interesse e minore è la

concorrenza nel settore bancario. All’aumentare del parametro a aumentano i

profitti del settore bancario.

Quando un’impresa fallisce, il capitale proprio diviene negativo e l’intero

settore bancario subisce una perdita pari alla differenza tra il debito totale

accumulato fino al periodo e il capitale accumulato, = − = −~ (~ < 0 se l’impresa è fallita). Perciò è il debito non restituito da parte

dell’impresa . Il capitale proprio della banca evolve secondo la legge

11 $ = vÊ + $d − I ,d∈ΩËƦ

Dove l’ultimo termine rappresenta la somma dei debiti non restituiti alla banca

(ΩÌd è l’insieme delle imprese fallite in − 1). Attraverso il settore bancario,

shock endogeni che portano al fallimento delle imprese influenzano l’intero

sistema. Un aumento del debito non restituito provoca una diminuzione

dell’offerta di credito, aumentando i costi finanziari delle imprese (aumenta il

tasso di interesse). Inoltre la distribuzione del capitale proprio delle imprese

influenza il valore medio del tasso di interesse che a sua volta influenza i

profitti delle banche e potenzialmente l’offerta di credito. Perciò le imprese si

influenzano a vicenda tramite il settore bancario. In particolare l’interazione è

globale e avviene attraverso una variabile di settore, che nel nostro caso è il

bilancio del settore bancario

La simulazione

La simulazione è stata fatta per 1000 periodi. Il capitale iniziale delle

imprese è 100, il capitale proprio è 20 ed il capitale di debito è 80. Il prezzo

varia attorno al prezzo medio grazie ad una variabile casuale uniforme

143

nell’intervallo 0,2 . Le imprese sono 2000 113 . Nelle prossime figure sono

rappresentati i grafici ottenuti dalla simulazione. Il primo grafico (figura 29)

mostra il logaritmo del prodotto totale. È evidente come esista un ciclo

economico che provoca le “increspature” nell’andamento del prodotto totale.

Intorno ai periodi 600 e 800 sono visibili depressioni più ampie provocate dal

fallimento di imprese di grandi dimensioni. Per completare la visione del

sistema economico durante la simulazione inseriamo quattro ulteriori grafici

che rappresentano il tasso di crescita del prodotto, la somma dei debiti non

ripagati dalle imprese fallite in ogni periodo (figura 30), il tasso di interesse e

l’ammontare totale di prestiti erogati dal sistema bancario (figura 31).

Figura 29. Il logaritmo del prodotto totale durante la simulazione. Intorno ai periodi 600 e 800 sono visibili forti riduzioni del prodotto totale dovute al fallimento di grandi imprese.

113

Nel modello originale il numero di imprese era pari a 10000, ma per problemi computazionali sono state ridotte a 2000.

144

Figura 30. A sinistra il tasso di crescita del prodotto e a destra il debito non restituito. I picchi di debito non restituito corrispondono alle depressioni delle figura precedente.

Figura 31. L'andamento del tasso di interesse (a sinistra) e dei prestiti totali erogati ed il capitale proprio totale del sistema bancario (a destra).

All’unico scopo di mostrare un ulteriore esempio, la simulazione è stata

riavviata ed ha mostrato un andamento qualitativamente simile, ma con una

fortissima depressione nei periodi iniziali.

Figura 32. L’andamento del prodotto e del debito non restituito nella seconda simulazione. Parametri sono identici alla prima simulazione ed i risultati qualitativi sono gli stessi.

145

Della seconda simulazione si riportano solamente l’andamento del prodotto

totale e il grafico che mostra il quantitativo di risorse non restituite al sistema

bancario in ogni periodo (figura 32).

3. Conclusione L’analisi svolta nei precedenti capitoli ha mostrato come l’alternativa

all’agente rappresentativo sia realistica e realizzabile. Le interessanti

possibilità che si aprono grazie all’uso della computazione in economia

richiedono ulteriori sforzi di ricerca al fine di comprendere a fondo il sistema

economico in quanto sistema complesso. Lo sviluppo di metodologie comuni e

di linguaggi di comunicazione comprensibili è tuttavia fondamentale per

rendere l’approccio basato su agenti un complemento dell’approccio

puramente matematico. Si richiede perciò ai ricercatori uno sforzo ulteriore

per la creazione della lingua franca che permetta la comunicazione e la

comprensione dei risultati anche a coloro che non hanno esperienze di

programmazione. Sono inoltre cruciali per la diffusione dell’approccio ABM lo

sviluppo di linguaggi di programmazione semplici ed indirizzati alle scienze

sociali, la creazione di centri di ricerca multidisciplinare sulla complessità

(come ad esempio il Santa Fe Institute), e l’edizione di riviste dedicate

specificatamente alla simulazione nelle scienze sociali (come ad esempio

JASSS, Journal of Artificial Societies and Social Simulation). Questi sforzi

hanno dato un forte impulso alla ricerca nel settore. Il mio progetto di ricerca

inizia con questa Tesi di laurea e guarda alla prospettiva di un

approfondimento post-laurea, che riveli l’efficacia (o meno) dell’approccio

computazione alle scienze economiche

146

Appendice A

Codice NetLogo È possibile richiedere i file delle simulazioni seguenti all’indirizzo: jakobgrazzini@gmail.com

A1-Codice NetLogo per la rappresentazione del mondo

piccolo di Watts e Strogatz 1998. globals [n] to setup ca set-default-shape turtles "circle" create-turtles 20 ask turtles [set size 0.5] layout-circle (sort turtles) max-pxcor - 1 ask turtles [set color white] set n 0 while [n < count turtles - 2] [ask turtle n [create-link-with turtle (n + 1) create-link-with turtle (n + 2)] set n n + 1] ask turtle 18 [create-link-with turtle 19 create-link-with turtle 0] ask turtle 19 [create-link-with turtle 0 create-link-with turtle 1] ask links [set color red] end to rewire ask links [if random-float 1 < p [let nodo1 end1 let nodo2 one-of turtles with [ (self != nodo1) and (not link-neighbor? nodo1)] ask nodo1 [create-link-with nodo2] die]] end Per utilizzare il programma scaricare NetLogo dal sito http://ccl.northwestern.edu/netlogo/, copiare il codice nella sezione “Procedures”. Andare alla sezione “Interface” creare due bottoni e chiamarli “setup” e “rewire”. Creare uno Slider, imporre 1 come valore massimo, 0.01 con increment e 0 in value. Editare il grafico con gli agenti e deselezionare “Word wraps horizontally” e “Word wraps vertically”.

147

A2 – Il codice NetLogo del modello di segregazione breed [a ] breed [b ] a-own [u mine-rate neigh-rate] b-own [u mine-rate neigh-rate] patches-own [a-rate b-rate] to setup ca ask n-of (%-occupati * count patches) patches [sprout 1] ask turtles [set color white] ask n-of (0.5 * count turtles) turtles [set breed a set color blue] ask turtles with [color = white] [set breed b] ask a [set color blue] ask b [set color cyan + 2] ask patches [if any? turtles-on neighbors [set a-rate count a-on neighbors / count turtles-on neighbors]] ask patches [if any? turtles-on neighbors [set b-rate count b-on neighbors / count turtles-on neighbors]] do-plot end to go utility move do-plot tick end to utility ask a [ifelse count a-on neighbors >= similar-wanted * count turtles-on neighbors [set u 1][set u 0]] ask b [ifelse count b-on neighbors >= similar-wanted * count turtles-on neighbors [set u 1][set u 0]] end to move ask patches [if any? turtles-on neighbors [set a-rate count a-on neighbors / count turtles-on neighbors]]

ask patches [if any? turtles-on neighbors [set b-rate count b-on neighbors / count turtles-on neighbors]]

148

ask a [set mine-rate [a-rate] of patch-here] ask b [set mine-rate [b-rate] of patch-here]

ask a [if any? neighbors with [a-rate > similar-wanted and not any? turtles-on

self] and mine-rate < similar-wanted [move-to one-of neighbors with [a-rate > 0.5 and not any? turtles-on self]]]

ask b [if any? neighbors with [b-rate > similar-wanted and not any? turtles-on self] and mine-rate < similar-wanted [move-to one-of neighbors with [b-rate > 0.5 and not any? turtles-on self]]]

;; le istruzioni sopra e sotto sono due alternative per supporre il movimento

degli agenti. Le istruzioni ;sopra suppongono che l’agente si muova solo se esiste una locazione migliore nel suo vicinato e non è ;soddisfatto con il suo vicinato. L’agente si muoverà in una di queste locazioni migliori. Le istruzioni sotto ;invece implicano che l’agente, se non soddisfatto con il vicinato corrente, si muova in ogni caso.

ask a [if mine-rate < similar-wanted and any? neighbors with [not any?

turtles-on self][move-to one-of neighbors with [not any? turtles-on self]]] ask b [if mine-rate < similar-wanted and any? neighbors with [not any?

turtles-on self][move-to one-of neighbors with [not any? turtles-on self]]] ; quest’ultima parte di codice serve ad ottenere la visualizzazione più chiara

descritta nel testo. È possibile ;rimuoverla senza conseguenze sul funzionamento del modello.

ask turtles [if count turtles-on neighbors / count neighbors < 0.5 [move-to one-of neighbors with [not any? turtles-on self]]] end to do-plot set-current-plot "%-similar" set-current-plot-pen "mine rate" plot mean [mine-rate] of turtles end Per la riproduzione del modello scaricare NetLogo dal sito http://ccl.northwestern.edu/netlogo/ Copiare il codice nella sezione “Procedures”. Andare nella sezione “Interface” ed eseguire le seguenti azioni:

- Creare un bottone e nominarlo “setup”. Quando il bottone sarà cliccato richiamerà la procedura di setup del codice

- Creare un bottone e nominarlo “go”. Quando il bottone sarà cliccato richiamerà la procedura go del codice

149

- Nel codice il numero di zone occupate dagli agenti è scritto come %-occupati. Lo scopo è rendere l’utilizzatore capace di variare tale variabile senza dover cambiare il codice. Creare uno “Slider”, nominarlo %-occupati, scrivere 1 nello spazio “maximum”, 0.01 nello spazio “increment”, e 0.7 nello spazio “value”. Quest’ultimo è il valore di default che prenderà la variabile %-occupati.

- Nel codice la preferenza di abitanti simili minima degli agenti è indicata da “similar-wanted”. Lo scopo è lo stesso del precedente punto. Creare uno slider nominato “similar-wanted”, scrivere 1 nello spazio “maximum”, 0.01 nello spazio “increment”, e 0.5 nello spazio “value”. Quest’ultimo è il valore di default che prenderà la variabile similar-wanted.

- Il codice prevede un grafico che descriva la variabile “mine-rate”. È la percentuale di agenti simili nel vicinato per ogni agente. Il plot descrive il valore medio di questa variabile. Creare un plot, nominare il plot “%-similar”, inserire il valore 1 nello spazio Ymax, cliccare su Rename e scrivere “mine rate”.

- Se si desidera la percentuale media di vicini omogenei esatta è possibile creare un Monitor, e scrivere: mean [mine-rate] of turtles. Autore: Jakob Grazzini, 2007.

A3. Il codice NetLogo di una Rete Neurale Artificiale breed [input-nodes input-node] ;;tre tipi di neuroni, input, nascosti e output breed [hidden-nodes hidden-node] breed [output-nodes output-node] links-own [weight] ;i link possiedono un'unica variabile, il peso del collegamento globals [errore target-answer] ; errore servirà a calcolare gli errori della rete per sapere quando il training è ;finito, target answer serve nella retro propagazione del segnale. input-nodes-own [activation error] output-nodes-own [activation error] hidden-nodes-own [activation error] ; i neuroni hanno due variabili, l'attivazione, che rappresenta il messagio che ;devono spedire tramite i loro link, e l'errore che servirà durante la retro ;propagazione. to setup

ca

150

set-default-shape turtles "circle" setup-input-nodes setup-output-nodes setup-hidden-nodes setup-links do-plot

end to setup-input-nodes create-input-nodes 1 [setxy -14 9 set label who]

create-input-nodes 1 [setxy -14 3 set label who] create-input-nodes 1 [setxy -14 -3 set label who] create-input-nodes 1 [setxy -14 -9 set label who] ask input-nodes [set size 2] ask input-nodes [set color blue]

end to setup-output-nodes

create-output-nodes 1 [setxy 12 9 set label "1"] create-output-nodes 1 [setxy 12 6 set label "2"] create-output-nodes 1 [setxy 12 3 set label "3"] create-output-nodes 1 [setxy 12 0 set label "4"] create-output-nodes 1 [setxy 12 -3 set label "5"] create-output-nodes 1 [setxy 12 -6 set label "6"] create-output-nodes 1 [setxy 12 -9 set label "7"] create-output-nodes 1 [setxy 14 9 set label "8"] create-output-nodes 1 [setxy 14 6 set label "9"] create-output-nodes 1 [setxy 14 3 set label "10"] create-output-nodes 1 [setxy 14 0 set label "11"] create-output-nodes 1 [setxy 14 -3 set label "12"] create-output-nodes 1 [setxy 14 -6 set label "13"] create-output-nodes 1 [setxy 14 -9 set label "14"] create-output-nodes 1 [setxy 13 -11 set label "15"] ask output-nodes [set color red]

end to setup-hidden-nodes

create-hidden-nodes 1 [setxy -1 10] create-hidden-nodes 1 [setxy -1 6] create-hidden-nodes 1 [setxy -1 2] create-hidden-nodes 1 [setxy -1 -2] create-hidden-nodes 1 [setxy -1 -6] create-hidden-nodes 1 [setxy -1 -10] ask hidden-nodes [set color green]

151

end to setup-links

connect-all input-nodes hidden-nodes connect-all hidden-nodes output-nodes

end ; colleghiamo i neuroni input con i neuroni nascosti ed i neuroni nascosti con i neuroni ;output grazie a link direzionati. to connect-all [nodes1 nodes2]

ask nodes1 [ create-links-to nodes2 [ set weight random-float 0.2 - 0.1 ] ]

end ;;iniziamo il training della rete. al solo scopo di avere una misura dell'apprendimento della ;rete. Ripetiamo in ogni periodo un numero "esempi-periodo" di esperimenti to train

set errore 0 repeat esempi-periodo [ask input-nodes [set activation random 2] propagate back-propagate ] set errore errore / esempi-periodo

;; ogni periodo conta la percentuale di esempi andati male tick do-plot

end to propagate

ask hidden-nodes [set activation new-activation] ask output-nodes [set activation new-activation] ask output-nodes [ifelse activation > 0.5 [set color blue][set color white]]

end to-report new-activation

report sigmoid sum [[activation] of end1 * weight] of my-in-links end

152

;; l'attivazione dei nodi input dipende dall'input, l'attivazione degli altri nodi è la somma ;delle attivazioni che viaggiano sui collegamenti in entrata (my-in links), pesato con la ;forza dei collegamenti ed inserito nella funzione sigmoide. to-report sigmoid [input]

report 1 / (1 + e ^ (- input)) end to back-propagate

let target [activation] of input-node 0 * 2 ^ 0 + [activation] of input-node 1 * 2 ^ 1 + [activation] of input-node 2 * 2 ^ 2 + [activation] of input-node 3 * 2 ^ 3 ; per la retro propagazione definisco il risultato target show target

if target = 0 [set target-answer [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]] if target = 1 [set target-answer [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]] if target = 2 [set target-answer [1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]] if target = 3 [set target-answer [1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]] if target = 4 [set target-answer [1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]] if target = 5 [set target-answer [1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]] if target = 6 [set target-answer [1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]] if target = 7 [set target-answer [1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0]] if target = 8 [set target-answer [1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0]] if target = 9 [set target-answer [1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0]] if target = 10 [set target-answer [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0]] if target = 11 [set target-answer [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0]] if target = 12 [set target-answer [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0]] if target = 13 [set target-answer [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0]] if target = 14 [set target-answer [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0]] if target = 15 [set target-answer [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]]

(foreach target-answer (sort output-nodes)[

ask ?2 [set error activation * (1 - activation) * (?1 - activation) ] ]) ;; date le due liste target answer ed i nodi output messi in ordine, ho bisogno che il primo ;elemento della lista target sia uguale all'attivazione. ?1 - activation è la differenza tra il ;target e l'attivazione del nodo corrispondente ?2 ask hidden-nodes [

153

set error activation * (1 - activation) * sum [weight * [error] of end2] of my-out-links ] ;; l'errore si propaga indietro verso i neuroni nascosti ask links [ set weight weight + learning-rate * [error] of end2 * [activation] of end1 ] ; e va a modificare il peso dei collegamenti. if target != count output-nodes with [color = blue] [set errore errore + 1] end to test ;; il TEST, l'utente può inserire un numero binario e provare la rete. clear-output ask input-node 0 [set activation input-0] ask input-node 1 [set activation input-1] ask input-node 2 [set activation input-2] ask input-node 3 [set activation input-3] propagate output-print "il valore dovrebbe essere" output-print [activation] of input-node 0 * 2 ^ 0 + [activation] of input-node 1 * 2 ^ 1 + [activation] of input-node 2 * 2 ^ 2 + [activation] of input-node 3 * 2 ^ 3 output-print "il risultato della rete neurale è" output-print count output-nodes with [color = blue] ifelse ([activation] of input-node 0 * 2 ^ 0 + [activation] of input-node 1 * 2 ^ 1 + [activation] of input-node 2 * 2 ^ 2 + [activation] of input-node 3 * 2 ^ 3) = count output-nodes with [color = blue] [output-print "CORRETTO :-)"] [output-print "SBAGLIATO :-("] end to do-plot set-current-plot "errori" set-current-plot-pen "errore" if ticks > 0 [plot errore] end Autore: Jakob Grazzini 2008.

154

Si ringrazia il professor Uri Wilensky per aver messo il suo modello di rete neurale a disposizione su internet sul sito http://ccl.northwestern.edu/netlogo/models/ArtificialNeuralNet

Per riprodurre la simulazione creare i bottoni go e setup come sopra. Creare un grafico con il titolo “errori” ed il nome della penna “errore”. Creare uno slider con il nome esempi-periodo, impostare il valore iniziale a 300, creare uno slider con il nome learning-rate ed impostare il valore iniziale a 0.03, e creare 4 chooser con i nomi input-0; input-1; input-2; input-3, ed impostare i valori a 0 e 1, saranno questi che ci permetteranno di fare il test inserendo un numero bianrio. Riferirsi anche alla figura 12 a pagina 104.

A4-Codice NetLogo del modello economico con algoritmi genetici TURTLES-OWN [dna x y pex fitness pr n new couple couplen whocouple m cross-point altro-dna] globals [p c d alfa; costi fissi beta; costi variabili a ; intercetta domanda-inversa b ; slope domanda-inversa ] to setup ca create-turtles 1000 ask turtles [setxy random-xcor random-ycor] ask turtles [set color white] ask turtles [set dna (list random 2 random 2 random 2 random 2 random 2 random 2 random 2 random 2 random 2 random 2)] ask turtles [set x item 0 dna * 2 ^ -1 + item 1 dna * 2 ^ -2 + item 2 dna * 2 ^ -3 + item 3 dna * 2 ^ -4 + item 4 dna * 2 ^ -5 + item 5 dna * 2 ^ -6 + item 6 dna * 2 ^ -7 + item 7 dna * 2 ^ -8 + item 8 dna * 2 ^ -9 + item 9 dna * 2 ^ -10 ] set alfa 0.25 set beta 1 set a 5 set b 0.005 ask turtles [set y a / (1000 * b) * x] ;a / gamma * x set p a - b * sum [y] of turtles

155

ask turtles [set pex a - b * count turtles * y] ask turtles [set fitness pex * y - alfa - y ^ 2 + alfa + beta * ( a / (b * 1000))^ 2 ] end to go if ticks = 500 [stop] if ticks = 250 [set beta 1.5] ;set b var-p-y ;set beta variable-cost selection cross-over mutation ;; upgrade parameters ask turtles [set x item 0 dna * 2 ^ -1 + item 1 dna * 2 ^ -2 + item 2 dna * 2 ^ -3 + item 3 dna * 2 ^ -4 + item 4 dna * 2 ^ -5 + item 5 dna * 2 ^ -6 + item 6 dna * 2 ^ -7 + item 7 dna * 2 ^ -8 + item 8 dna * 2 ^ -9 + item 9 dna * 2 ^ -10 ] ask turtles [set y a / (1000 * b) * x] set p a - b * sum [y] of turtles ask turtles [set pex a - b * count turtles * y] ask turtles [set fitness p * y - alfa - beta * y ^ 2 + alfa + beta * (a / (1000 * b))^ 2] do-plot tick end to selection ask turtles [set n 0] ask turtles [set pr fitness / sum [fitness] of turtles] while [sum [n] of turtles < 1000] [ask turtles [if random-float 1 < pr [set n n + 1]]] ask turtles [if sum [n] of turtles > 1000 [ask n-of (sum [n] of turtles - 1000) turtles with [n > 0][set n n - 1]]] ask turtles [hatch n[set new true]]; setxy random-xcor random-ycor]] ask turtles [if count turtles with [new = true] > 500[set d count turtles with [new = true] - 1000 ask n-of d turtles [die]]] ask turtles with [new != true][die]

156

ask turtles [set new false] end to cross-over ;prima di tutto formo le coppie. sono casuali e danno il valore ad una ;variabile in modo da essere riconoscibili. gli agenti con lo stesso valore di ;couplen sono una coppia set c 1 while [count turtles with [couple != true] > 2][ask n-of 2 turtles with [couple != true][set couple true set couplen c] set c c + 1] ;dico agli agenti il nome del loro partner ask turtles [set whocouple [who] of one-of other turtles with [couplen = [couplen] of myself]] ;le coppie devono stabilire un cross point. Tutti estraggono un numero a ;caso da 0 a 9, uno dei due si adegua all'altro. set c 1 while [c < max [couplen] of turtles][ask turtles with [couplen = c][set cross-point random 10] ask one-of turtles with [couplen = c] [set cross-point [cross-point] of turtle whocouple set c c + 1]] ;show [cross-point] of turtles with [couplen = 10] ;show [dna] of turtles with [couplen = 10] ;show [whocouple] of turtles with [couplen = 10] ;dico agli agenti il dna del partner. se facessi girare direttamente l'istruzione ;successiva, il corss over averrebbe effetivamente solo per ;uno dei due agenti, in quanto quando tocca all'altro il primo ha il suo ;stesso codice genetico dal punto di cross verso destra. ;quindi "salvo" il codice del partner in una variabile in modo che ognuno ;possa fare il suo cross-over. ask turtles [set altro-dna [dna] of turtle whocouple] ;finalmente il cross-over vero e proprio, ogni agente rispetto al cross-point ;scambia gli ultimi n geni. set c 1 ask turtles [if random-float 1 < 0.6 [if cross-point = 9 [set dna replace-item 0 dna (item 0 altro-dna)] if cross-point >= 8 [set dna replace-item 1 dna (item 1 altro-dna)] if cross-point >= 7 [set dna replace-item 2 dna (item 2 altro-dna)] if cross-point >= 6 [set dna replace-item 3 dna (item 3 altro-dna)] if cross-point >= 5 [set dna replace-item 4 dna (item 4 altro-dna)] if cross-point >= 4 [set dna replace-item 5 dna (item 5 altro-dna)] if cross-point >= 3 [set dna replace-item 6 dna (item 6 altro-dna)] if cross-point >= 2 [set dna replace-item 7 dna (item 7

157

altro-dna)] if cross-point >= 1 [set dna replace-item 8 dna (item 8 altro-dna)] if cross-point >= 0 [set dna replace-item 9 dna (item 9 altro-dna)]]] ask turtles [set couplen 0] ask turtles [set couple false] end to mutation ask turtles [while [m <= 9][if random-float 1 < 0.002 [set dna replace-item m dna (1 - item m dna) ]set m m + 1]] ask turtles [set m 0] end to do-plot set-current-plot "Mean output" set-current-plot-pen "y" plot mean [y] of turtles set-current-plot-pen "exy" plot a / (2 * beta + 1000 * b) set-current-plot "variance" set-current-plot-pen "variance" plot variance [x] of turtles end Autore: Jakob Grazzini, 2007 Per eseguire la simulazione creare i bottoni setup e go come sopra, creare un plot con il titolo "Mean output" ed il nome della penna “y”. Creare un altro plot con titolo “variance” e nome della penna “variance”

A5- Codice NETLOGO del modello di borsa simulato ;Terna (2000a). Our (un)realistic market emerges from the behavior of myopic

agents that: (i) know only

;the last executed price, (ii) choose randomly, in a balanced way, the buy or

sell side and (iii) fix

;their limit price by multiplying the previously executed price times a random coefficient ;supponiamo ora che gli agenti conoscano i prezzi dei periodi t-1 e t-2 (giorni, non transazioni) e che si comportino

158

;imitando il mercato. Se il prezzo nelle ultime due giornate è aumentato ;comprano di più, se il prezzo nelle ultime due giornate e diminuito vendono di ;più ;ora mettiamo la probabilità di imitare il mercato pari a zero, ed inseriamo la probabilità positiva di imitare gli altri agenti nel mercato. globals [price ;prezzo a cui avviene lo scambio agente-azione buyer seller b trade ;variabili globali con scopo semplicemente funzionale al codice book-p-buyer book-p-seller ;registro (book) di prezzi proposti per la vendita e l'acquisto record-price ;registro dei prezzi delle giornate precedenti per l'imitazione di mercato. Da ricordare che una giornata è pari a 100 periodi record-azione ;registro azione agenti codificate con 1 = acquisto 0 = vendita. Se la media è maggiore di 0.5 la maggioranza degli agenti ha scelto di acquistare! ] turtles-own [p fatto] to setup ca set-default-shape turtles "person" create-turtles 100 ask turtles [setxy random-xcor random-ycor] ask turtles [if xcor = 0 and ycor = 0 [setxy random-xcor random-ycor]] ask turtles [set color white] ask patch 0 0 [set pcolor red set plabel "book"] ask turtles [set fatto false] set book-p-buyer [] set book-p-seller [] set record-price [1 1] set record-azione [1 0] set price 1 do-plot end to go if ticks = 100000 [stop] if ticks mod 100 != 0 [ set agente-azione one-of turtles with [fatto = false] ;; per inserire l'imitazione ;del mercato, inseriamo una nuova probabilità. se il prezzo è superiorie a 0 ask agente-azione [ifelse price > 0.30 [ ifelse random-float 1 < probabilita-imitazione-mercato [imita-mercato] ;;la probabilità di imitare il mercato. [ifelse random-float 1 < probabilita-imitazione-locale [local-imitation] [ifelse random-float 1 < 0.5 [buy][sell]]]

159

] [ifelse random-float 1 < 0.8 [buy][sell]]]] if ticks mod 100 = 0 [set record-price (lput price record-price) if length record-price > 2 [set record-price remove-item 0 record-price] show record-price set book-p-buyer [] set book-p-seller [] ask turtles [set fatto false]] ;show book-p-buyer show book-p-seller if length record-azione > 20 [set record-azione remove-item 0 record-azione]

tick

do-plot

end

to buy

set buyer agente-azione

set record-azione (lput 1 record-azione)

ask buyer [set trade false]

ask buyer [let k random-float 0.2 + 0.9 set p price * k]

set b 0

ask buyer [while [b < length book-p-seller][if item b book-p-seller < p [set price item b book-p-seller set book-p-seller remove-item b book-p-seller set fatto true set b length book-p-seller set trade true]

set b b + 1]]

ask buyer [if trade = false [set book-p-buyer (lput p book-p-buyer) set book-p-buyer sort-by [?1 > ?2] book-p-buyer]] ;sort al contrario

ask buyer [set fatto true]

end to sell set seller agente-azione set record-azione (lput 0 record-azione) ask seller [set trade false] ask seller [let k random-float 0.2 + 0.9 set p price * k] set b 0 ask seller [while [b < length book-p-buyer][if item b book-p-buyer > p [set price item b book-p-buyer set book-p-buyer remove-item b book-p-buyer set fatto true

160

set b length book-p-buyer set trade true] set b b + 1]] ask seller [if trade = false [set book-p-seller (lput p book-p-seller) set book-p-seller sort book-p-seller]] ask seller [set fatto true] end to imita-mercato ask agente-azione [let variazione-prezzo (item 1 record-price - item 0 record-price) ifelse variazione-prezzo >= 0 [buy] [sell]] end to local-imitation ask agente-azione [if mean record-azione > 0.5 [buy ]] ;se la maggioranza degli ultimi 20 agenti ha comprato, l'agente compra ask agente-azione [if mean record-azione < 0.5 [sell]] ;se la maggioranza degli ultimi 20 agenti ha venduto, l'agente vende ask agente-azione [if mean record-azione = 0.5 [ifelse random-float 1 < 0.5 [buy] [sell] ] ; se esattamente la metà degli agenti ha scelto di vendere e l'altra metà di comprare l'agente scegli casualmente se vendere o comprare ] end to do-plot set-current-plot "prezzo per transazione" set-current-plot-pen "price" plot price set-current-plot "prezzo per giornata" set-current-plot-pen "price" if ticks mod 100 = 0 [plot price] set-current-plot "proposte di acquisto-proposte di vendita" set-current-plot-pen "differenza" plot (length book-p-buyer - length book-p-seller) set-current-plot-pen "0" plot 0 end Autore: Jakob Grazzini, 2008

161

Per eseguire la simulazione, creare i bottoni setup e go come sopra. Creare 3 grafici, il primo con titolo “prezzo per transazione” e penna “price”; il secondo con il titolo “prezzo per giornata” e penna “price”; il terzo “proposte di acquisto-proposte di vendita” e penna “price”.

A6 - Codice NetLogo del modello di fragilità

finanziaria. Il modello originale si trova in Delli Gatti et al. (2005, 2006). globals [bad-deb Lb Eq v lambda c g phi profitb omega D da entry N et at prodotto prodotto-1 t falliti averager] turtles-own [ profit A b L K-1 K u r y ] to setup ca create-turtles 2000 ask turtles [ setxy random-xcor random-ycor set color white set A 20 set L 80 set K 100] set Eq 12800 set v 0.08 set lambda 0.3 set phi 0.1 set g 1.1 set c 1 set omega 0.004 set N 30 set da 100 set et 0.1 do-plot end to go if ticks = 1000 [stop] set prodotto-1 prodotto ask turtles [if A + profit < 0 [set b -1 * (A + profit)]] set falliti count turtles with [A + profit < 0] set bad-deb sum [b] of turtles

162

ask turtles [if A + profit < 0 [die]] new-entry set Lb Eq / v set D Lb - Eq ;; Le imprese ask turtles [ set u random-float 2 set L (lambda * K / sum [K] of turtles + (1 - lambda)* A / sum [A] of turtles)* Lb set r (2 + A) / (2 * c * g * (1 / (phi * c) + profit + A) + 2 * c * g * L) set K-1 K set K (phi - g * r)/(c * phi * g * r)+ A / (2 * g * r) set A K - L set y phi * k set profit u * y - g * r * K ] set prodotto sum [y] of turtles if ticks > 0 [set t (prodotto - prodotto-1) / prodotto-1] ;; Settore bancario set averager sum [r * L] of turtles / lb set profitb (sum [r * L] of turtles) - averager * ((1 - omega) * D + Eq) set Eq Eq + profitb - bad-deb tick do-plot end to new-entry set entry floor (N * (1 + e ^ (da *(averager - et)))^ (-1)) ask n-of entry patches [sprout 1 [set k random-normal mean [k] of turtles 1 set at mean [ A / K] of turtles set A at * k set phi 0.1]] end to do-plot set-current-plot "Prodotto" set-current-plot-pen "prodotto" if ticks > 0 [plot ln prodotto] set-current-plot "banca" set-current-plot-pen "Lb" plot lb set-current-plot-pen "Eq" plot Eq

163

set-current-plot "bad-deb" set-current-plot-pen "D" plot bad-deb set-current-plot "Crescita" set-current-plot-pen "C" plot t set-current-plot-pen "0" plot 0 set-current-plot "tasso d'interesse" set-current-plot-pen "i" if ticks > 0 [plot averager] end Autore: Jakob Grazzini, 2008

Per eseguire la simulazione, creare i bottoni setup e go, e creare 5 plot con le seguenti caratteristiche: titolo “prodotto” e penna ”prodotto”; titolo banca e penna “Lb” seconda penna “Eq”: titolo “bad-deb” e penna “D”; titolo “Crescita” e penna “C” seconda penna “0”;titolo “tasso d’interesse”, penna “i”

164

Appendice B

Differenze di reddito tra i quartieri romani.

Uno studio approfondito della configurazione per reddito delle zone di Roma

può essere fatto solo dopo una lunga e dispendiosa raccolta di dati. Ciò che mi

propongo di fare è mostrare, con un semplice intento esemplificativo, come le

differenze tra i redditi medi registrati nei quartieri di Roma siano imputabili a

segregazione economica all’interno della città. I dati in mio possesso

provengono da uno studio della Regione Lazio e descrivono il reddito medio nei

quartieri romani. Le zone sono divise con criterio amministrativo piuttosto che

rispetto alle comunità che vi abitano, ma dal punto di vista della segregazione

è possibile ottenere qualche risultato.

Utilizzando il teorema del limite centrale, la distribuzione delle medie

campionarie è approssimabile ad una normale standardizzata. Siano i

quartieri i campioni di popolazione che vogliamo studiare. Se la popolazione

romana fosse distribuita casualmente dovremmo trovare che l’intervallo di

confidenza costruito attorno alla media campionaria (alla media di una

quartiere) contiene la media effettiva della popolazione. In altre parole, se il

quartiere Parioli non fosse abitato prevalentemente da famiglie ricche,

dovremmo trovare che facendo inferenza sulla media del reddito dei Parioli, il

parametro reale “media di reddito della popolazione” si dovrebbe trovare

nell’intervallo di confidenza costruito attorno alla media campionaria dei

Parioli. Si può vedere la questione anche dal punto di vista del test di ipotesi:

poniamo di avere la media del campione Parioli e la media della popolazione

Roma, voglio verificare che Parioli fa effettivamente parte della popolazione

Roma; dato che io so che Parioli è parte di Roma, se la verifica rifiuta l’ipotesi

nulla posso affermare che esiste segregazione economica a Roma. Purtroppo

per costruire l’intervallo di confidenza necessario avrei bisogno della varianza

dei redditi a Roma, dato che non ho a disposizione. Il ragionamento che verrà

fatto sarà inverso: quale dovrebbe essere la varianza dei redditi a Roma

affinché l’intervallo di confidenza attorno alla media campionaria contenga il

parametro della popolazione?

165

Costruiamo l’intervallo di confidenza al 95%

#∗ − 1,96 ∙ x √< , #∗ + 1,96 ∙ x √<

Dove #∗ è la media campionaria, 1,96 è il valore critico sulla tavola della

normale standardizzata, x è lo scarto quadratico medio, < è la popolazione

campionaria. I dati sono

#∗ = 28.641 € (media reddito del quartiere Parioli)

< = 14000 (popolazione parioli)

! = 19615 € (è il reddito medio di Roma, Fonte Regione Lazio)

da ciò segue che

#∗ − 1,96 ∙ x √< = !

x = #∗ − ! ∙ √< 1,96

x = 28.641 − 19615 ∙ √14000 1,96

x = 9026 ∙ 118,32 1,96 = 544875,67

Lo scarto quadratico medio nella distribuzione del reddito a Roma dovrebbe

essere di 544875,67 € un valore evidentemente troppo alto per essere

verosimile. La conclusione dell’analisi è che è plausibile che l’alto reddito

medio ai Parioli sia frutto di una segregazione economica. Non è possibile

estendere la conclusione all’intera città di Roma; esistono quartieri ricchi

(come i Parioli) e quartieri poveri (la Borghesiana ha un reddito che non

raggiunge la metà del reddito dei Parioli), ed esistono molti quartieri intermedi

dove popolazioni di fasce di reddito diverse coesistono.

166

Classifica dei quartieri di Roma in base al reddito disponibile pro capite

al 2003. Fonte Regione Lazio, Istituto Guglielmo Tagliacarne.

1 RM Pinciano, Parioli

28.641

2 RM Salario Trieste

27.615

3 RM Centro Storico (rioni)

25.067

4 RM Della Vittoria (quartiere), Flaminio

24.895

5 RM Tor di Valle, Torrino, Eur

24.861

6 Tor di Quinto (sub.), Tor di Quinto (quartiere)

24.655

7 RM Monte Sacro (quartiere)

23.728

8 RM Casal Boccone, Monte Sacro Alto

23.396

9 RM Torricola, Appio Pignatelli, Ardeatino

23.263

10 RM Gianicolense (quartiere)

22.786

11 RM Trionfale (sub.), Ottavia, Della Vittoria (sub.), Tomba di Nerone, Grottarossa

21.831

12 RM Isola Farnese, La Storta, La Giustiniana

21.726

13 RM Primavalle, Aurelio (quartiere), Trionfale

21.463

14 RM Appio Latino

20.817

15 RM Cecchignola, Giuliano Dalmata, Fonte Ostiense

20.747

16 RM Lido di Ostia

19.269

17 RM Collatino, Tiburtino, Nomentano

19.193

18 RM Ostia Antica, Casal Palocco, Acilia N, Acilia S, Castel Fusano, Mezzocammino

19.120

19 RM Portuense (quartiere), Ostiense

18.516

20 RM Marcigliana, Val Melaina, Tor San Giovanni, Castel Giubileo

18.454

21 RM Capannelle, Appio Claudio

17.991

167

22 RM Castel Porziano, Castel di Decima, Tor de' Cenci, Vallerano, Castel di Leva

17.938

23 RM Torre Maura, Don Bosco, Tuscolano

17.353

24 RM Magliana Vecchia, Portuense (sub.), La Pisana, Gianicolense sub.

16.936

25 RM San Basilio, Ponte Mammolo

16.748

26 RM Prima Porta, Labaro

16.732

27 RM Pietralata

16.694

28 RM Prenestino Centocelle, Prenestino Labicano

15.880

29 RM Tor Cervara, Tor Sapienza, Torre Spaccata, Alessandrino

15.798

30 RM Santa Maria di Galeria, Cesano

15.383

31 RM Casalotti, Aurelio (sub.)

15.276

32 RM Castel di Guido, Ponte Galeria

14.913

33 RM Lunghezza, Acqua Vergine, San Vittorino

14.293

34 RM Settecamini

13.985

35 RM Torre Angela, Torrenova, Torre Gaia, Casal Morena, Aeroporto di Ciampino

13.950

36 RM Borghesiana 13.949

168

Figura 33. La città di Roma. Nella tabella sottostante sono indicate i nomi delle zone. Il verde scuro indica le prime 12 zone per reddito. Il verde chiaro indica le successive 12 zone (dalla 13 alla 24 posizione) per reddito. Il bianco

indica le 12 zone più povere.

169

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