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LA QUARTA DIMENSIONE da vedere e toccareDomenico INAUDIMercoled 21 ottobre 2015

la linea ha una dimensione, il piano due, il solido tre, oltre a queste non c altra dimensione poich sono soltanto tre (Aristotele)PARTE 1Breve storia del concetto di spazio

Facciamo iniziare questa breve storia della Geometria dello spazio con EUCLIDE (Alessandria 367 a.C. ca. 283 a.C.)

Nei 13 libri degli Elementi vengono esaminate soltanto le tre dimensioni: lunghezza, larghezza e profonditNessuno, prima del XIX secolo, riconoscer lesistenza di altre dimensioni

Anche Aristotele (Stagira, 384 a.C. Calcide 322 a.C.) ne era convinto

Infatti nellopera De caelo scrive:

...la linea ha una dimensione, il piano due, il solido tre, oltre a queste non c altra dimensione poich sono soltanto tre ...

Tolomeo ( Alessandria dEgitto 100 175) talmente convinto da dimostrarlo!

Nellallegoria della grotta (Libro VII della Repubblica, 370 a.C.) , utilizza lanalogia tra lombra proiettata su un muro (2D) e gli oggetti esterni (3D) per descrivere la relazione tra verit e percezione

PLATONE (Atene circa 427-347 a.C.)Questa idea di genio verr utilizzata soltanto dopo duemila anni!

Inoltre PLATONE elenca per primo i 5 poliedri regolari che per questo motivo vengono chiamati Platonici

Nel dialogo Timeo (360 a.C.) associa i 4 elementi ai 5 poliedri regolari: Al tetraedroassocia il fuocoallottaedro lariaallicosaedro lacquaal cubo la terra ma gli manca un elemento allora:al dodecaedro associa luniverso intero

Questa citt diventa un centro di eccellenza per le conoscenze . I saperi del tempo provenienti dai paesi vicini vengono ricercati, collezionati e tradotti in arabo; si originano nuove conoscenze in tutti in settori della scienza: medicina, chimica, ottica, astronomia e matematica. Seguendo il nostro percorso dobbiamo fare una tappa a Bagdad per visitare la casa della saggezza (813833)Al-Khwarizmi uno dei grandi matematici di questo periodo da cui abbiamo derivato il termine algoritmo per indicare una successione di calcoli

Piero della Francesca (1416-1492) scrive il De prospectiva pingendi(1475) che contiene le regole matematiche per rappresentare in modo corretto limmagine su una tela; detto in altre parole: come togliere una dimensione

La tappa successiva la Firenze rinascimentale dove, agli inizi del quattrocento, gli ultimi uomini universali (F. Brunelleschi, L. B. Alberti, Masaccio, P. della Francesca), formulano le regole della prospettiva

La prima parte del nostro percorso finisce idealmente a Gottinga dove opera il principe dei matematici Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e, pi in generale, in Europa dove fioriscono le idee che portano alla nascita delle geometrie non euclideeNonostante le strida dei Beoti (*), la geometria di Euclide cessa di essere lunico riferimento, nascono le geometrie iperboliche (Bolyai-Lobachevskij) ed ellittiche (Riemann 1826-1866), quindi lo spazio si allarga ad infinite dimensioni.

(*) I Beoti (cio gli sciocchi) di cui parla Gauss sono quasi sicuramente i seguaci di Kant, i quali ritengono che la geometria sia una forma di conoscenza sintetica a priori.

PARTE 2Lanalogia e la proiezioneI matematici sono capaci di creare un insieme infinito di universi, ciascuno con regole note e comprensibili, sebbene non potranno mai mettervi piede (Fejes Toth)

Ora, seguendo il suggerimento di Platone, ragioniamo per ANALOGIA: Immaginiamo di essere un abitante di un mondo a due dimensioni che si sforza di visualizzare un mondo a tre dimensioni Lidea stata utilizzata da E. A. Abbot nel suo classico Flatlandia del 1885 dove un quadrato, che vive su un piano, racconta il suo incontro con una sfera

Facciamo un esercizio: immaginiamo di vivere in un mondo piatto che viene attraversato da una sfera proveniente dallo spazio tridimensionale, che cosa vedremo? Vivendo su un piano vedremo solo delle sezioni di sfera, cio dei cerchi, con un raggio che cresce progressivamente, fino a raggiungere lequatore, quindi decrescere fino a sparire.

Ora immaginiamo che il nostro mondo venga attraversato da una ipersfera (lanalogo 4D della sfera) che cosa vedremo, se mai succedesse.Ragionando per analogia: vedremo una sfera che cresce progressivamente quindi, raggiunta la dimensione massima, decresce fino a sparire.FANTASTICO!

Alla fine dellottocento la quarta dimensione diventa il luogo dove vivono gli spiritiDove vivono i fantasmi?Come fanno ad entrare ed uscire dalle stanze chiuse?Il paradiso e linferno stanno in uno spazio diverso dal nostro?

In effetti se noi 3D osserviamo la planimetria 2D di una casa vediamo tutto linterno Un essere 4D guardando una casa 3D vedr linterno di tutte le stanze, anche se ci sono i muri!

In 4D succedono cose bizzarre!

Tipica casa di Flatlandia

punto segmento quadrato cubo Torniamo a cose pi serie: scegliamo un poliedro platonico, il cubo, e lo generiamo a partire da un puntoCoordinate: (x) (x,y) (x,y,z)

Ci spostiamo in direzioni perpendicolariAd ogni passo aggiungiamo una dimensione una coordinata un elemento

I quadrato un poligono fatto di vertici e lati

Il cubo un poliedro fatto di vertici, lati e facce

Coordinate: (x) (x,y) (x,y,z) (x,y,z,w)punto -> segmento-> quadrato -> cubo -> iper-cubo

Se accettiamo, con un po di immaginazione, che una retta sia perpendicolare ad altre tre gi perpendicolari tra di loro il gioco fatto! POLIGONO POLIEDRO POLYCHORA

Ora sappiamo come fatto un cubo nella quarta dimensione, anche se non lo abbiamo ancora visto, inoltre abbiamo un metodo di lavoro

Ma quanti sono i POLYCHORA regolari nella quarta dimensione? La risposta ha pi di 100 anni e ci aspetta una sorpresa: sono 6 ! uno in pi dei poliedri platoniciDalla quinta dimensione in poi sono sempre e soltanto 3.

Fig. 8. Drawings on sections of the 600-cell

Alcuni, pochissimi per la verit, riescono a vedere la quarta dimensione: Alicia Boole Stott (Ireland, 1860 - 1940) era una di queste persone, disegnava i polychora utilizzando matita e pastelli al posto del computer.

Era la terza figlia del logico George Boole

Dopo anni di dispute sul primato della scoperta viene trovata una pubblicazione, vecchia di oltre 50 anni, con solo formule e senza disegni, che tratta in modo completo i polychora. E al silenzioso matematico svizzero Ludwig Schlfli (18141895) che va pertanto attribuita la scoperta.

PARTE 3Grafica al computer e stampa 3Dle nuove tecnologie ci permettono di aprire uno spiraglio nel passaggio segretotra la terza e la quarta dimensione

Dalla fine dellottocento (Schlfli) sappiamo come sono fatti i POLYCHORA ma continuiamo a non vederli, soltanto da pochi anni abbiamo fatto passi avanti

con elaboratori, algoritmi di proiezione, software di grafica interattiva siamo in grado di rappresentare gli oggetti 4D in 2D

con la stampa tridimensionale possiamo eseguire anche il passaggio intermedio 3D

Visualizziamo liper-cubo

Iper-cubo(x,y,z,w) Siamo nella quarta dimensione siamo nella terza dimensione siamo nella seconda dimensione

Nota: Il risultato dipende, come nella fotografia, dalle posizioni relative della sorgente luminosa e delloggetto inquadrato, per cui potremo avere molte forme diverse dello stesso oggetto

Iper-cubo cfr. stampa 3D da toccareIper-cubo da vedereMacchina fotografica 4D

Ma questo oggetto labbiamo gi visto!Parigi, Arco della Defence:Architetti: Otto Von Spreckelsen, Paul Andreu

Ora visualizziamo il mio preferito: il 120 Celle, un parente del dodecaedro

Macchina fotografica 4D120 Celle(x,y,z,w) Siamo nella quarta dimensione siamo nella terza dimensione siamo nella seconda dimensione

120 Celle (cfr. stampa 3D da toccare)

POLYHEDRA: TETRAEDRO CUBO OTTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

3D->2D

I 5 POLIEDRI REGOLARI STAMPATI IN 3D IN BRONZO

I poliedri sono stati stampati secondo la tecnica utilizzata da Leonardo da Vinci nei disegni riprodotti nelDe Divina Proportione di Luca Pacioli 1498.

POLYHEDRA: TETRAEDRO CUBO OTTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

3D->2D

4D-> 3D>2D

POLYCHORA: 5 CELLE 8 CELLE 16 CELLE 24 CELLE 120 CELLE 600 CELLE IPERCUBO TESSERATTO

ELENCO COMPLETO DEI POLITOPI REGOLARI NELLA TERZA E QUARTA DIMENSIONE CON STAMPE 3D

Cinepresa4dIpercubo(x,y,z,w) che ruota Siamo nella quarta dimensione siamo nella seconda dimensione Ora invece di fare delle fotografie usiamo la cinepresa

Cinepresa4dIpercubo(x,y,z,w) che ruota Siamo nella quarta dimensione siamo nella seconda dimensione Ora evidenziamo uno degli 8 cubi delliper-cubo

Il cubo si rivolta come un guanto e la destra diventa sinistra...!

Cinepresa4d5 celle - tetraedreo(x,y,z,w) che ruota Siamo nella quarta dimensione siamo nella seconda dimensione 5 celle

Cinepresa4d16 Celle-Ottaedro(x,y,z,w) che ruota Siamo nella quarta dimensione siamo nella seconda dimensione 16 celle

120 celle che ruota

Finiamo in bellezza: uno sguardo allintrigante, al curioso, allo speciale ma soprattutto al bello da vedere e toccare

120 dodecaedri si addensano in uno spazio iper-sferico organizzandosi in eleganti elicoidi che ricordano le galassie o in forme toroidali interconnesse

La lumaca che abita nella quarta dimensione Questa lumaca in realt una particolare struttura topologica denominata Sudanese Mobius ed stata generata nella quarta dimensione quindi proiettata e stampata nella terza

FINE Grazie per la pazienza!Strumenti utilizzati: linguaggio di programmazione: PYTHON applicativo grafico: RHINO stampe 3D: SHAPEWAYS