La progettazione dei sistemi meccanici

_____________________________________________________________________________________pag.G.Libertini–Laprogettazionedeisistemimeccanicivol.5

1

Prof. Ing.Guido Libertini

Parte 5 – Design Of Experiments

Cattedra di Progetto di Macchine

Rev 1.0 – A.A. 2019/2020

La progettazione dei sistemi meccanici


2

1 Introduzione L'uomo,findall'originedeitempi,haintuitol'esistenzadialcuniprincipinaturaliosservandoattentamentelanaturacircostante,equindiattraversolareplicazioneartificiale del fenomeno naturale in questione, li ha confermati, ampliati,generalizzati,confutati.Infattilatotalitàdeifenomenifisici,qualirelazionidicausaeffetto,relazionitragrandezzeeparametridiundatosistema,seguonodellelegginaturalichespessosfuggono all'intelletto umano, che nonostante sia in grado di intuirle in primaapprossimazione,nonèingradodifornirneunaformulazioneesatta.Loscopodellaricerca,oracomeallora,èquellodiscopriretalirelazionigeneralied applicarle nella vita quotidiana. In questo contesto si inserisce appunto lasperimentazione, la cui evoluzione metodica è andata di pari passo con lacomplessitàdeisistemidistudio.L'esperimentononèaltrochel'indaginedellarispostadiunsistemaquandoeccitatodaunoopiùparametridiingresso.L'ottimizzazione della sperimentazione ha un ruolo determinante in tutte leapplicazionidiricerca,amaggiorragioneneiprogettidiricercaesviluppodelleaziende industriali, dove l'attività sperimentale si traduce in un costo, sia intermini di risorse economico-finanziarie, che di tempo e/o personale. Questoperchéiprodottisviluppatidalleaziende,cosìcomeglistessiprocessiindustrialida ottimizzare, sono sistemi complessi dove i parametri che ne influenzano leprestazioni sono estremamente numerosi e correlati tra loro, e la risposta delsistemastessoèspessodeltuttoignota.Tecnichedisperimentazionesisonoevolutenelcorsodeisecoli,ancorpiùnegliultimidecenni,alfinediottenererisultatidiinteressepraticosemprepiùconcretiai quali corrispondere un costo sempre minore. Lo scoglio principale che lemetodicheditestdevonoaffrontareèilfattochelasperimentazionenonsempreforniscerisultaticongruentiallarealtà,perviadiunaseriedifattoridovutiallasua fallibilità intrinseca, errori che possono essere classificati in errori diprogettazione, errori di esecuzione, errori di misurazione ed errori diinterpretazione.Losviluppodimetodicheditestsemprepiùefficaci,atteallalimitazionedeifattoridierroreintrinseciallasperimentazione,haportatoalleattualitecnichediDesignofExperiments,chesfruttanometodistatisticicomplessinellaprogettazionedelleprovesperimentali.

1.1 Cenni storici Unaprima formadidesignofexperimentssi rintraccianel lavorocondottonel1747dalchirurgoscozzese JamesLind, ilquale tentòunapprocciosistematiconella sperimentazionediuna cura contro lo scorbuto,unamalattiadovuta allacarenzadi vitaminaC. SullaHMSSalisbury, comemedicodibordo,documentòscrupolosamenteisintomideimarinaiaffettidallamalattia,qualiperditadidenti,emorragieegengivesanguinanti.Lindselezionò12uominimalatielidiviseinseicoppie,prescrivendounacuradibasecomuneatuttigliindividuieinaggiuntaunalimentointegratonelladietadifferenteperciascunacoppia.Adalcunidiededelsidro,adaltriacquadimare,misturediaglio,sedanooancoradelrafano.Un'altracoppiaricevettecucchiaidiacetoeun'ultimaduearanceeunlimone.Queidueuomini che si nutrirono di agrumi guarirono e tornarono in sesto.Nonostantequestanoncostituisseunascopertaepocale-ibeneficidellimeedellimoneerano


3

già noti da secoli - Lind poté dichiarare definitivamente la supremazia degliagrumi nell'elenco di possibili rimedi al disturbo, pubblicando l'esperienza nellavorointitolato"TreatiseontheScurvy"(Trattatosulloscorbuto).Successivamente vennero teorizzati modelli di sperimentazione sempre piùelaborati,quali l'optimaldesign,unantenatodelpiùmodernoresponsesurfacedesign, introdotto dalmatematico francese Joseph Gergonne nel 1815 nel suo"Theapplicationofthemethodofleastsquarestotheinterpolationofsequences".Eglisostennelapossibilitàdiottenererisultatiestremamenteaccuratiutilizzandoilmetododeiminimiquadratinell'elaborazionestatisticadimisurazionidisistemilineari che rispettassero le condizionidel teoremadiGauss-Markov, secondo ilqualeperunsistemaconmodellolineareincuiidisturbihannovaloreattesonulloesononon[10][11]correlatieomoschedastici,glistimatori linearicorrettipiùefficienti sono gli stimatori ottenuti con il metodo dei minimi quadrati.Successivamente,nel1918,lastatisticadaneseKristineSmithesteselavaliditàdelmetodoasistemiconmodellopolinomialedelsestoordine.Ilprimoad introdurreconcetti fondamentalideldesignofexperimentsquali laripetizionedegliesperimenti, ilmetododelblindexperimentmasoprattutto larandomizzazionefuCharlesPierce,filosofoematematicostatunitense,cheesposelesueteorieneitrattati"IllustrationsoftheLogicofScience"(1877–1878)and"ATheory of Probable Inference" (1883). Egli sosteneva come potessero esseremolteplici i fattori che influenzano il sistema sfuggiti allo sperimentatore,proponendomodellialloscopodiridurneglieffetti.Tuttavia fu solo con Ronald Ficher, importante statistico inglese, che furonointrodottiesviluppatiiprincipideldesignofexperiments,nellesueopere"TheArrangement of Field Experiments" (1926) ma soprattutto "The Design ofExperiments" (1935). Nel suo lavoro egli formulò il concetto di ipotesi nulla,condizione che gli esperimenti avrebbero rispettato o meno, quindi stabilì lacorrettaesecuzionedegliesperimentistessiraccogliendoprincipigiàsviluppatiinprecedenza quali la randomizzazione e la ripetizione dell'esperimento, edarticolandoli con dei nuovi come l'ortogonalità o il blocking, sviluppando indefinitivailmetododelfactorialdesign.Dal suo lavoro trarranno spunto, nei decenni a venire, numerosi statistici,matematici e ingegneri come l'indiano Raj Bose, l'inglese Robin Packett, ilgiapponeseGenichiTaguchiemoltialtri.

2 I principi generali del Design of Experiments

2.1 Gli obiettivi e i criteri del Design of Experiments Lo scopo dei metodi di design of experiments è quello di definire ilcomportamentodelsistema inoggettonellamanierapiùprecisapossibile,cioèpiùprossimaallarealtà,conl'utilizzodelminornumerodirisorse,qualitempoe/odenaro.Talestudioèeffettuatomisurandolevariazionidellarispostadelsistema,tradottainunafunzioneobiettivoY,alvariaredeivariparametrivariabilidiingressoXisecondo livelli (valori) prestabiliti. La forma della funzione obiettivo varia asecondadelmetodoutilizzato.Non esiste unmetodo di design of experiments definitivo o globale che possaessereadattatoatuttiitipidisistemipossibili,piuttostolasceltadelmetododeve


4

esserefattatenendocontoinprimoluogodelsistemaoggettodistudio,maanchedegli obiettivi dello sperimentatore, dei vincoli cui è sottoposto, del grado diaccuratezzachesiricercaecosìvia.Tuttavia è possibile definire dei criteri generali che ogni metodo di design ofexperimentsdevepossedereperesseredefinitotale,quali[12]:

• Gli esperimenti effettuati devono avere uguale influenza sulla

determinazionedelcomportamentodelsistema,ovverodeicoefficientidi

regressionedellacurvadirispostastimata;

• Ilmetododeveessereingradodiindividuarecomportamentinonlineari;

• Ilmetododeveessererobustorispettoa fattoridi ingressononvalutati,

poichésitrattadiunaapprossimazionepiuttostochediunmodelloesatto;

• Metodiapplicatialprimostadiodellasperimentazionedevonoessereutili

afornireinformazioniperglistadisuccessivi.

Ognimetododidesignofexperimentsseguequindiunasequenzadiattivitàchepuòesseregeneralizzatanellaseguentelistadisettesteps[13]:

• Identificazionedellostatodelsistema;

• Sceltadeifattoridiingressoedeilorolivelli;

• Sceltadeifattoridirispostaedellaformadellafunzioneobiettivo;

• Sceltadelmetododidesignofexperimentspiùadeguato;

• Conduzionedegliesperimenti;

• Analisideidati;

• Conclusionieraccomandazioni.

Nelcapitolosuccessivoverrannomegliodefinitiiconcettiperorasolointrodotti.

2.2 I parametri di input del Design of Experiments

2.2.1 I parametri L'oggettodistudioèlarispostadelsistemaall'eccitazionediunoopiùparametridiingresso.Iparametridiingressosonoperdefinizionevariabili,lacuivariazioneèdefinitadalla sceltadei livelli e del loronumero. I parametri possono esserequantitativi o qualitativi, ed ancora i loro livelli possono variare su un rangecontinuo (poi discretizzato dal metodo) o discreto. Un esempio di parametroquantitativopuòesserelapressionediungasinesame,inquestocasovariabilein continuo; un esempio di parametro qualitativo può essere unmateriale dacostruzione, in questo caso variabile in discreto. Possono esistere parametriqualitativi con soli due livelli, ovvero di tipo ON/OFF oppure SI/NO, come adesempioilguastoomenodiuncomponente.Poichénonsiconoscelarispostadelsistemanétantomenoqualisianoiparametriche la provochino, altrimenti sarebbe inutile la sperimentazione, i parametriinteressantinellostudiodiprimolivellosonoquellichesicredonoimportantiperla determinazione della risposta stessa. L'insieme dei parametri può essereridottoneisuccessivistadi,diconseguenzaèmeglioiniziareconunampionumero


5

di parametri al fine di ridurre al minimo la probabilità di aver trascurato unparametroinvecedeterminante[10][14].Ovviamentequalorasiconoscessegiàqualisianoiparametripiùimportanti,ilnumerodeglistadidisperimentazionepuò essere drasticamente ridotto, anche se spesso si è sprovvisti di taleconoscenza;anzispessocapitadinonaccorgersidell'importanzadiunparametrosemplicemente perché questo non è variato durante la sperimentazione, noncomportandoquindialcunavariazionenellarisposta[15];adesempionellostudiodiunprocessodidepurazionediacquaperosmosi indotta, eseguendo tutti gliesperimentiallatemperaturaambiente,irisultatiditalesperimentazionesarannovalidiesclusivamentenellecondizioniditemperaturaambiente,mapotrebberoeventualmente variare sensibilmente a temperature diverse; in questo caso ilprocesso non risulterà ottimizzato poiché un parametro fondamentale è statoerroneamenteignorato.Per il successo di ognimetodo è necessario che i parametri di ingresso sianostrettamenteindipendentitraloro,inmodochelasceltadeilivellidiunparametrosiaampiaedindipendentedaquellaeffettuataperglialtriparametri[11].Incasocontrariosidevericorrereadunarestrizionedelcampodivaliditàdellarispostainsituazionidoveiparametridiingressosianoeffettivamenteindipendenti,eciònonèsemprepossibile;adesempionellacostruzionediunalineaelettricapuòessereeseguitaunasperimentazionechetengacontodeiparametri"materialedeicavi"(quindiresistivitàspecifica)"voltaggiodiingresso"e"temperaturadeicavi";la sceltadei livellidi resistivitàspecifica,ovverodeimaterialidi costruzione,èpurtroppolegataallasceltadeilivelliditemperaturadeicavi,poichélaresistivitàspecifica dei materiali è in prima approssimazione indipendente dallatemperaturasoloperalcunirangedellastessa,quindiunavoltadefinitiilivelliditemperatura,alcunimaterialinonpotrannoesseresceltipoichéintalerangelalororesistivitàspecificaneèdipendente.Quando è certa ed ineliminabile l'interazione tra i parametri di controllo,l'interazionestessadeveesseretrattatacomeunnuovoparametro,cheandràadaggiungersiaquelligiàindividuatiprecedentemente[11].Considerandolacomeun nuovo parametro, sarà possibile ricondurre tutti gli effetti dell'interazionecomeeffettodiunnuovoparametrofittizio, indipendentedaidue,chepossonoessereoraconsideratiindipendentialorovolta.Fondamentale è la distinzione tra parametri controllabili e parametriincontrollabili.Spessoèinteressantelarispostadiunsistemanonsoloalvariaredeiparametricontrollabili,mapiuttostoincondizioniimprevedibili[16].Sifaccial'esempiodel comportamentodiun cuscinettoadevolvente: le sueprestazionidipendonodaparametricontrollabiliqualiilcaricostaticoedilcaricodinamicoesercitatosullostesso,ilnumerodiciclicuièsottopostoelavelocitàdirotazione,ma si potrebbe essere interessati alle sue prestazioni in funzioni dell'umiditàdell'aria, ovvero di un parametro di processo incontrollabile. In questo caso sipossonooperareduesceltedistinte,infunzionedellacontrollabilitàomenodelparametroinsededilaboratorio:puòessereinseritotaleparametronellalistadiparametricontrollabilivariandoneillivelloconlenormalitecniche,oppuresipuòadottare tale parametro comeparametro esterno; nel primo caso ilmetodo didesign of experiments non cambia, nel secondo invece bisogna adottare unmetododirobustdesign[17].


6

2.2.2 I livelli Il numerodi livelli perogniparametroèuna scelta estremamente importante,perchéandràadinfluenzarefortementeilnumerodelleprovedaeseguireequindiilcostoaloroimputato.Tale scelta è un compromesso tra più problematiche di natura diversa.Innanzitutto, se nel processo definitivo verrà utilizzato un numero definito dilivellidiunparametro,adesempiodueotre, lasceltaè immediatasianel loronumero che nel loro valore: nello studio di un sistema di isolamento dellevibrazionidiunalavatricecheoperainregimidicentrifugadi600,800e1000rpm,sceltoinsiemeaglialtriilparametro"regimedicentrifuga",questovarieràsui3livellicorrispondentiall'utilizzofinale.Qualorainvecenonsiabbiaquestasemplificazione,lasceltadelnumerodeilivelliper un dato parametro è dovuta alla forma della risposta che ci si aspetta diottenere;dataunaformadigradopolinomialen,ilnumeroNdilivellièdatodallaN=n+1:infattisononecessariduepuntiperindividuareuncomportamentoattesolineare(n=1),trepuntiperuncomportamentoparabolico(n=2)ecosìvia[17].

Figura1Sceltadelnumerodilivelli

La sceltadel valoredi tali livelli dipendedal rangedi interessedelparametro,al'internodelqualeivaloridovrebberoesseresceltiinmanierarandomizzata.Nelprimocasoilparametrosaràclassificatocomeparametrofisso,nelsecondocomeparametrorandomizzato.Taledistinzioneèfondamentale,perchénelprimocaso l'analisi statistica dei risultati sarà interessata alla media delle risposte,mentre nel secondo si indagherà sulla varianza delle risposte nel rangeconsiderato[10].Unaulterioreproblematicainfluentenellasceltadelnumeroedelvaloredeilivellièlostadiodell'esperimento:nelcasodiesperimentodiprimolivello,èopportunoridurreadueilnumerodilivellidatoilgrandenumerodiparametri;l'obiettivodell'esperimento di primo livello infatti non è ancora quello di individuareesattamente la risposta, quanto piuttosto quello di identificare quali siano iparametrifondamentaliequaliquellitrascurabili.

2.3 La matrice degli esperimenti Definitiparametrielivelli,vienequindistesaunamatricedegliesperimenti,chepresenteràunnumerondirigheparialnumerodegliesperimentidacondurre,unnumerodicolonneparialnumerodiparametrichesièdecisodistudiarepiùunacolonna riservata al risultato dell'esperimento, ovvero il valore della funzione


7

obiettivo,mentre gli elementi dellamatrice consistono nel valore o livello cheassumeràilparametrorelativodurantel'esperimento.Numeroprova ParametroA ParametroB ParametroZ Risultato

1 1 1 1 -

2 1 2 1 -

3 2 1 2 -

n 2 1 1 -

2.4 La funzione obiettivo Lafunzioneobiettivoèlacurvadirispostadelsistemadefinitainmanieradiversaasecondadelmetododidesignofexperimentsadottato.Ingeneraleessatraducelarispostadelsistemainunafunzionedipiùvariabilidiuscitamisuratidurantel'esperimento:

𝑌 =#𝑎! ∙ 𝑦! I termini yi individuano i parametri di uscita chemisurano la prestazione delprocesso;iparametrivengononormalizzatinellorovaloreedomogeneizzatinellaloro misura secondo dei criteri di qualità, e quindi pre moltiplicati da unparametroadimensionaleaichenedefiniscel'importanza,lasommadeiqualiingenereèl'unità(mapossonoessereutilizzatealtreproporzioni)[10].I criteri di qualità sono il BiB (Big is Better), SiB (Small is Better) e lo STiB(STandard isBetter),e lanormalizzazioneèdatadalla formulaseguente,per ilcriterioMiB: criterioBiB𝑦! =

"!#""!#""$%#""!#

criterioSiB𝑦! =

""$%#"!""$%#""!#

criterioSTiB𝑦! = 1 − ) ""$%#"!

""$%#"&$')

dove gi è la grandezza in uscita misurata, mentre gmin e gmax e gtar sonorispettivamentelaloromisuraminima,massimaetargetchecisiaspetta[16].Siipotizzil'esistenzadiunasolavariabilediuscitay,condizionenellaqualesihaovviamente Y=y, ovvero il comportamento del sistema è descritto da una solavariabilediuscita:sipuòtentarediindividuareunafunzionecheleghiiparametridiingressoXkall'uscitay,dellaforma:

𝑦! = 𝑓!(𝑋1, 𝑋2,… , 𝑋𝑘)


8

EssendoYnelcasogeneraleunacombinazionelinearedelleyi,èpossibiledefinirelaseguentefunzione[17]:

𝑌 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2,… , 𝑋𝑘) =#𝑎! ∙ 𝑓!(𝑋1, 𝑋2,… , 𝑋𝑘)Laformulazioneditalefunzioneèpurtroppoincognita,perchésoggettaaderroreε,esenecercainveceunaapprossimazioneempirica,deltiposeguente:

𝑌 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2,… , 𝑋𝑘) + 𝜀che può avere una forma polinomiale di vario grado a seconda del grado diapprossimazioneprescelto.L'obiettivo dei vari metodi di Design of Experiment infatti non è quello diindividuare la funzione che lega in maniera esatta i parametri di ingresso alcomportamentodelsistema,piuttostoèquellodiindividuarelacombinazionediparametritalichelafunzioneobiettivopocanzidefinitaassumavaloreottimo.

2.5 Le basi del Design of Experiments

2.5.1 La Randomization Qualsiasi scelta ponderata che si esegue in ambito sperimentale, sia essa diparametri o livelli, loro numero o loro valore, è sempre conseguenzadell'assunzionedialcuneipotesisemplificativedelsistemadicuiilprogettistasifa carico: ladistinzione traparametri importanti e ininfluentinelprimo stadiodellasperimentazioneèdovutaall'ipotesicheessilosianoono,ilnumerodilivelliscelto per ogni parametro è conseguenza della forma della risposta attesa delsistema,ecc.Tali ipotesi, inquantotali,nonsonoesattemasonounaapprossimazionedellarealtà,elaloroprobabilitàdidiscostarvisipuòesserepiùomenoelevata,poichéifattoricheerroneamentenonsiprendonoinesame,chedivengonoquindifattoridi disturbo, possono essere molteplici. L'adozione di ipotesi semplificative èsempreconsigliataquandoilrischiodierroreèragionevolmentebasso,tuttaviaquandononsiconoscetalerischio,oquestoètroppoelevato,èmeglioprocedereadunasceltarandomizzata.La randomizzazione è un processo di scelta il cui scopo è la minimizzazionedell'influenzadeifattorididisturbosullasceltastessa, influenzaallaqualeessapuòesseresoggettaseeffettuatainmanieraponderata[18].Tuttaviaessanonèsemprepossibileoavoltepuòesseresoloparziale.Larandomizzazionepuòessereapplicatanelladecisionedidiversesituazioni:adesempionellasceltadelvaloredaassegnareailivellidiundatoparametro,comeprecedentemente indicato, allo scopo di studiarne la varianza nel rangeconsiderato.Unesempioneèlostudiodiunprocessodiraffreddamentodiunfluidoall'internodiunoscambiatoredicalorepostoinatmosfera:latemperaturaambiente,ovverolatemperaturafinaledelcorpo,puòvariareinunrangedefinitotra 30°C e 0°C (escursione termica estate-inverno), e si ipotizzi una rispostaquadratica,ovverosiscelgaunnumerodi livelliparia3;ognisceltaponderatapuòesseresoggettaainfluenzeesternenonnoteapriori:adesempiosipossonosceglieregliestremidelrangeedillorovalormedio,tuttaviailcomportamentoagliestremipotrebbenonesserequadraticocomesupposto,oppuresipotrebbe


9

direchetalivalorisonoimprobabili;alcontrarioscegliendotrevaloriintermedi(10,15,20°C)sipotrebbeobiettarecon lanoncoperturadell'intero intervallo;scegliendo tali valori inmaniera randomizzata si risolve il problemaperché lasceltanonterràcontodinessunoschemalogicochehaforteprobabilitàdiessereerrato.La randomizzazione può essere applicata all'ordine di conduzione degliesperimenti,alloscopodiminimizzare l'influenzadiparametrididisturbononconsiderati[19];infatti,definitalamatricedegliesperimenti,sieseguanoquestiultimiinsequenzacasualenell'esempiodiunostudiodelconsumodiunmotoreascoppio: si prenda come parametro in uscita il costo in € del carburanteconsumato,delqualesiipotizzaunarispostaquadratica(3livelli)periparametridiingressodi"velocitàdicrociera"(50,70,90km/h)edi"gradodiottanidellabenzina"(85,90,95%).Sidevonoquindieseguire32=9esperimentiesiipotizzidieseguirneunoognisettimana.

Numeroprova

Velocitàdicrocierakm/h

Gradodiottanidellabenzina(%) Risultato

1 50 90 -

2 90 90 -

3 70 90 -

4 90 95 -

5 90 85 -

6 70 95 -

7 50 95 -

8 50 85 -

9 70 85 -

Scegliendoponderatamentel'ordinedegliesperimenti,adesempiodandoprioritàagli esperimenti con velocità di crociera bassa, si ottengono risultati differentipiuttostochedandoprioritàagliesperimenticonvelocitàdicrocieraaltaomedia(analogamentecolgradodiottanidellabenzina),questoperché ilconsumodelmotoreèdiversoasecondadellavelocitàdicrociera,mailcostodelcarburantedipendeanchedalprezzodelpetroliofissatosulistinointernazionale,ovverodaunparametroassolutamentefuoricontrollo.Quindisupponendounconsumodicarburante crescente in funzione della velocità di crociera, ed un prezzo delpetrolio decrescente nel tempo, il costo del carburante nel caso di priorità adesperimenti con velocità di crociera bassa sembrerà costante al variare dellavelocità,alcontrarionelcasodiprioritàadesperimenticonvelocitàdicrocieraalta sembrerà aumentare notevolmente. Scegliendo invece una successionerandomizzatadellasequenzadiesperimentisiminimizza l'effettodivariazionedelprezzodelpetrolio.Lostessocasopuòfungeredacontroesempio:ilprototipodimotoreascoppiopotrebbeavereunaaffidabilità ignotaallealtevelocità;nel caso ilprototipodimotoresirompessealterzoesperimentoconvelocitàdicrocieraparia90km/h,


10

ovvero il quinto esperimentodellamatrice, dalla sola analisi degli esperimentieseguitifinoalquintononsihannorisultatisignificativi,conconseguentesprecodirisorse[12].Qualorasifosseoperataunasceltaponderata,dandolaprecedenzaagliesperimenticonvelocitàdicrocierapiùbassa,dovel'affidabilitàdelprototipoè nota, si sarebbero potuti eseguire più test prima della rottura del prototipoottenendorisultatisignificativi.Lapotenzaeidifettidellostrumentodellarandomizzazionesonobeneevidentinegli esempi ora esposti, la letteratura è ricca di argomentazioni a favore econtrariealsuoutilizzoovunqueeognivoltasiapossibile,tuttaviaènecessariovalutarecasopercasoquandoeinchegradoeffettuarla.

2.5.2 Il Blocking Nel corso dello studio dei parametri influenti per il processo in studio, se nepossono individuareal fiancodeiprincipali,altriparametriche,puravendouneffettonontrascurabilesulprocesso,nonneinteressalavalutazione,evengonodetti quindi parametri di disturbo. Nel caso in cui questi parametri sianocontrollabiliinsededisperimentazione,essipossonoesserebloccati[10].Ilbloccaggiodeiparametrididisturboèunprocessoparticolarmenteutileinsededipianificazionedellesperimentazioni,inquantoconsentediimpedirel'influenzadeiparametribloccatisullaprovachesivaacondurre,riducendoquindil'errorenell'approssimazione della funzione obiettivo, ma soprattutto riducendo ilnumerodeiparametrioggettodistudio,semplificandolasperimentazione.Ilbloccaggioconsistenellariduzionedeisuddettiparametriadunsololivello,ilvaloredelparametrorisultaquindibloccatopertutte leprove,edilsuoeffettosaràquindinullosulrisultatofinale,poichénullaneèlavariazione.Unparametrodidisturbopuòancheessereunparametrodelqualegiàsiconoscel'effettosulsistema,ebloccandolosiriesceasemplificarel'esperimento.Tuttaviain tal caso si perderanno tutte le informazioni relative ad una eventualeinterazionetraiparametriprincipalidistudioeiparametrididisturbo.Unesempiodiesperimentobloccatopuòessereilseguente:siesercitiunaprovadi flessione (statica)a trepuntiperuna travemetallica inambientecorrosivo;parametriprincipalipossonoessereilmaterialedellatrave, ledimensionidellatrave, il carico applicato, l'atmosfera circostante, e se ne misurino il carico dirottura e la freccia massima. E' possibile bloccare il parametro atmosfera, inquantoènotal'azionepeggiorativadell'ambientecorrosivosulcaricodirottura,siscelgaquindiunlivellodibloccodelparametrosufficientementealtoinmododaavereuncoefficientedisicurezzaidoneo,edeseguireleprovesenzavalutarel'incidenzadell'atmosferacorrosivasuicampioni.Nonèunesempiodibloccaggioilfissareledimensionidellatravesequestesonoobbligateadesempiodavincolidispazioodiprogetto,perchéappuntodovutaavincoliesterni,ononloèilfissareilmaterialeconlamotivazionechetuttigliacciaidacostruzionehannomedesimomodulo di young E, perché in questo caso il parametro è considerato nonsignificativo, mentre il parametro di disturbo rimane sempre un parametrosignificativo.

2.5.3 La replicazione dell'esperimento e le misure ripetute Il risultato della singola prova di sperimentazione, eseguita correttamente, èsoggettaaduetipidierrori:


11

1) Unerroreintrinsecodelfenomeno,èunerrorecasualedovutoalfattoche

lafunzioneobiettivoèunaapprossimazionedellacurvareale;taleerrore

può essere dovuto oltre al grado di approssimazione adottato, anche

all'influenza di parametri esterni, eventuali correlazioni minime tra

parametri non considerate in prima approssimazione ecc. Tale errore è

statogiàdefinitoconlaletteraε.

2) Unerroreintrinsecodellamisuradell'uscitadelsistema,dovutaappunto

allaprecisionedellostrumentodimisura,definibileconlaletteraµ.

Iduetipidierrorisonodeltuttoindipendenti,sianellemediechenelledispersioni,e vanno entrambi a sommarsi al risultato della prova effettuata. Data la loroindipendenza,diversiedindipendentisonoimetodivoltiallalorolimitazione:ilprimosiaffrontaconlareplicazionedell'esperimento,ilsecondoconlaripetizionedellemisure.Lareplicazionedell'esperimentoha loscopodi individuare ladispersioneσε alfinedivalutarnel'entità:unadispersionetroppoelevataindicalapresenzadiunoo più parametri importanti che sono stati trascurati nella progettazionedell'esperimento [10]. Tuttavia è impossibile effettuare una reale replicazionedell'esperimento, perché è impossibile replicare esattamente tutte le stessecondizionidellaprimaprovaeffettuata;mentreèammessa,anzinecessariaunavariazionedeiparametrinoncontrollati,unaminimavariazionedeiparametridicontrollo come ad esempio una piccola oscillazione del livello di uno di essi,oppureunaminimadifferenzanellamodalitàdiesecuzionedellaprova,comeadesempio il cambiodell'operatore, il cambiodi un componentedelmacchinariousato, o anche l'utilizzo di uno stesso componente ma ora più usurato, sonosituazionichedovrebberoinvalidarelaprova.Accettandoquestocompromessosipuòconsiderarel'esperimentocomereplicato.Bisognainoltrecapireilruolodellareplicazionenell'esperimento:seilparametrotempo risulta fondamentale nell'effettuazioni delle ripetizioni, o se ci si puòragionevolmenteaspettareuna rispostadiversaperogni replicazione, allora lareplicazionestesadeveessereconsiderataunodeiparametridicontrollo[10].La ripetizione delle misure su uno stesso esperimento è necessaria al fine dideterminareaposteriorilaprecisionedellamisurastessa.Ladispersioneσµdelvaloremisuratoèunindicatorefondamentaleditalecaratteristicadellamisura:ipotizzando una distribuzione gaussiana dellemisure attorno al valoremedio,assunzionevalida anche in casodi pochemisure ripetute, si può aumentare laprecisionedellamisura,ovverodiminuirneladispersione,utilizzandoilprincipiodipropagazionedeglierrori, secondo ilquale ladispersionedellemediedipiùseriedi


12

misuresipuòcalcolareapartiredaunasolaseriedinmisure,secondolalegge:

𝜎$" =𝜎$√𝑛

Taleassunzionepotrebbefarpensarecheconunnumeromoltoelevatodimisurel’erroredellamediapotrebbeannullarsi; inrealtànpuòessereelevatomanonelevatissimo,perchénonèpossibilerilevareindefinitamentelastessagrandezzaconlostessostrumentosemprenellestessecondizioni.

2.6 L'analisi dei risultati: il metodo ANOVA Il metodo di analisi dei risultati generalmente adottato dai vari modelli dipianificazione degli esperimenti consiste nell'analisi della varianza, riassuntonellasiglaANOVA.Loscopodelmetodoèquellodivalutareseall'internodell'insiemedidatiesistanogruppi più o meno isolati la cui esistenza, che risulta nascosta nella mediad'insieme,risultainveceevidentedall'analisidellavarianza.Il metodo parte dall'ipotesi che nell'insieme di dati vi siano G gruppi tra loroindipendenti,enestudialavarianzaintra-gruppononchélavarianzainter-gruppo,mettendoleinrelazione[20][21].Lavarianza(campionariacorretta)diuninsiemediNdatièdatadallaseguente:

𝜎% =1

𝑛 − 1 ∙#(𝑥! − 𝑋)%&

!'(

doveconXsiintendelamediadeivalorixi.Scomponendo lasommatoriasullenvalori inunasommatoriasuiGgruppi,edintroducendoilparametroXgcomemediadeivalorixiappartenentialgruppog-esimodinumerositàng(edaorarinominatixgi)siottienelaseguente:

𝜎% =1

𝑛 − 1# 8#(𝑥"! − 𝑋")%&(

!'(

+#(𝑋" − 𝑋)%&(

!'(

9)

"'(

moltiplicando e dividendo la prima sommatoria interna per il termine ng-1, esvolgendolasecondasommatoriainterna,siottiene:

𝜎% =1

𝑛 − 1#81

𝑛" − 1#(𝑥"! − 𝑋")% ∙ (𝑛" − 1)

&(

!'(

+ (𝑋" − 𝑋)% ∙ 𝑛"9)

"'(

dovesihailtermine

𝜎"% =1

𝑛" − 1#(𝑥"! − 𝑋")%&(

!'(


13

che corrisponde alla varianza interna al gruppo g-esimo. Separando lasommatoriaprincipalesiottieneinfine:

𝜎% =#𝜎"% ∙𝑛" − 1𝑛 − 1

)

"'(

+#(𝑋" − 𝑋)% ∙𝑛"𝑛 − 1

)

"'(

Le due sommatorie così ottenute corrispondono rispettivamente alla varianzaintra-gruppo(within)elavarianzainter-gruppo(between),ovvero:

𝜎% = 𝜎*% + 𝜎+%Al fine di verificare che l'ipotesi assunta sia probabilmente vera, ovverostatisticamente realistica, possono essere eseguiti dei test sulla varianza. Essiconsistono nell'assunzione dell'ipotesi "nulla", detta H0, ovvero dell'ipotesi dialcuna ripartizione in gruppi distinti, o dell'ipotesi contraria H1; la decisioneavvienetramiteilconfrontotraunavariabileditest,costituitadalladistribuzionedelle varianze di un campione in funzione di parametri quali numerosità delcampione totale n, numerosità dei gruppi G o altri, e la distribuzione di unafunzionenotadeglistessiparametri.Numerosiediversisonoitestesistenti,qualitraglialtriiltestdiBayesoiltestdiWaldes,tuttaviainquestasedecisilimitaallostudiodeltestpiùutilizzato,iltestdiFisher.LavariabileditestusataneltestdiFisherèdatadalrapportotralavarianzainter-gruppoelavarianzaintra-gruppo,dellaformaseguente:

𝑇 =𝜎+% (𝐺 − 1)⁄𝜎*% (𝑛 − 𝐺)⁄

IlvaloreassuntodatalevariabilevieneconfrontatoconquelloassuntodalladistribuzionediFisher-Snedecor,chehalaformaseguente[21]:

𝑓(𝑥, 𝐺, 𝑛) =1

𝑥 ∙ ∫ 𝑡)#,%

(1 + 𝑡)&#(%

-./

∙ ?(𝐺 − 1))#((𝑛 − 𝐺)&#)𝑥)#(

[(𝐺 − 1)𝑥 + 𝑛 − 𝐺]&#(

Dovexèilgradodicertezzarichiestoperl'ipotesieffettuata,ingenere95%.Tuttavianeèpiùspessoutilizzataunasuaformaparametricapiùadattaallatabellazione[21]:

𝛼 = 𝐺 − 1; 𝛽 = 𝑛 − 𝐺

𝑓(𝑥, 𝛼, 𝛽) =1

𝐵 G𝛼2 ,𝛽2H∙1𝑥?

𝛼0𝛽1𝑥0

(𝛼𝑥 + 𝛽)0-1


14

Figura2DistribuzionediFisherinfunzionedeiparametriaeb

IlcriteriodidecisionedeltestdiFisherèsintetizzatonellatabellaseguente:Caso 𝑓(𝑥, 𝛼, 𝛽) ≥ 𝑇(𝛼, 𝛽) 𝑓(𝑥, 𝛼, 𝛽) < 𝑇(𝛼, 𝛽)

Decisione H0 H1

Rischio errorediIIspecie errorediIspecie

2.7 Alcune metodiche di Design of Experiments Esistonomoltimetodididesignofexperiments,alcunideiqualiinusodaoltre70anni, il loro uso è diffuso in numerosi campi dalla produzione industriale allamedicina, dall'agricoltura allo sport. Nei successivi capitoli vengono presentatialcuni dei metodi principali, che si adattano a numerosissimi casi. Ne verràspecificato il campo d'azione, verrà illustrato il procedimento di scelta deiparametriedeilorolivellicomeladefinizionedellafunzioneobiettivo;verrannoevidenziatiiloropuntidiforzaedidebolezza,equindimessiaconfronto.

2.7.1 Il Full Factorial Design Il Full Factorial Design è il primo metodo rigoroso di Design of Experiments,introdottoall'iniziodelsecoloscorso[11].Ilmetodoconsistenelsondaretutteepossibilicombinazionitrailivellideivariparametridicontrollo;ilnumerodelleproveèdatodallalegge

𝑙2dovepèilnumerodeiparametriedlilnumerodeilivelli.


15

Ingenerale,datol'enormenumerodiprovesperimentaliindicatedalmetodo,lostessosiapplicaasistemiarispostalinearedinonpiùdicinqueparametri[17],ottenendounnumeromassimodiesperimentiparia

23 = 32Ilmetodoèutilizzatoperesperimentisiadiprimochedisecondotentativo,conloscopo di identificare quali parametri sono più significativi, sondare eventualidipendenze tra parametri e quindi procedere ad una sperimentazione piùimportante.Nelcasosemplicediduesoliparametriarticolatiinduesolilivelli,lamatricedegliesperimenti è ridotta a quattro prove sperimentali, e presenta oltre alle duecolonne relative ai dueparametri, una terza colonnaper la loro interazione. Ilvaloredellivelloèperfacilitàidentificatoconilfattore+1perquellopiùalto,econilfattore-1perquellopiùbasso,ebanalmentenellacolonnadelparametrofittiziod'interazionesihaesattamenteilprodottotrailivelliinteragenti[10]:

Numeroprova ParametroA ParametroB InterazioneAxB Risultato

1 +1 +1 +1 -

2 +1 -1 -1 -

3 -1 +1 -1 -

4 -1 -1 +1 -La funzionedel sistema è quindi di tipo lineare, e vengono considerate le soleinterazionidelsecondoordine,ovverotradueparametri;notarecomelamatricesitraducanellaformulaapprossimatadellafunzionedelsistema:questapresentanumerodimonomipariaquellodellecolonnedellamatrice

𝑌 = 𝑎𝑋( + 𝑏𝑋% + 𝑐𝑋( ∙ 𝑋% + 𝜀Nelcasoincuilarispostaattesasiaquadraticapiuttostochelineare,ilnumerodilivelli richiesto per i singoli parametri è ora 3; nel caso semplice di due soliparametri,lamatriceèlaseguente,dovesitengonocontodiinterazionidelterzoordine[10]:Numeroprova ParametroA ParametroB Interazione

AxBInterazione

AxB2 Risultato

1 0 0 0 0 -

2 1 0 1 1 -

3 2 0 2 2 -

4 0 1 1 2 -

5 1 1 2 0 -

6 2 1 0 1 -

7 0 2 2 1 -


16

8 1 2 0 2 -

9 2 2 1 0 -Dovesièadottatipersemplicitàgliindici0,1e2perqualificareilvaloredeilivelliassegnatiaiparametri.Nellecolonnedelle interazioni sièeseguita la seguentescomposizionedeiparametri:

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵; 𝐴 ∙ 𝐵% = 𝐴 + 2𝐵doveilrisultatoèespressoinbase3(ovvero2+2=1,1+2=0)Ancora la funzione del sistema è di tipo quadratico, dove si hanno le soleinterazionidelterzoordine:

𝑌 = 𝑎𝑋( + 𝑏𝑋% + 𝑐𝑋( ∙ 𝑋% + 𝑑𝑋( ∙ 𝑋%% + 𝑒𝑋(% ∙ 𝑋% + 𝜀Comesipuònotareilmetododifullfactorialdesignèunmodellomoltopotenteperquantoriguardalavalutazionedelleinterazionitraiparametri,tuttaviahaungrosso limite nel numero di esperimenti richiesti estremamente sensibileall'aumentoancheminimodelnumerodeiparametridicontrollocoinvoltie/odeilivellialoroassegnati.

1.1.1 Il Fractional Factorial Design

Il Fractional factorial design è definito comeun factorial designdove solo unaadeguata frazione delle prove viene selezionata per essere effettuata. Nascedall'esigenzadilimitareilnumerodiesperimentirichiestonelfullfactorialdesign.Ilnumerodelleproverichiesteèdatodallalegge[22][23]:

𝑙2#4 dovesihannoancorapnumerodeiparametriedlnumerodeilivelli,conkgradodiriduzione,divaloreingenere1o2[23].Taleriduzioneèpossibileperchélospaziodisoluzionecopertodagliesperimentidelfullfactorialdesignpuòessereugualmenterappresentatodaunsuoinsiemeordinatodipunti,comemostratoinfigura10,edaddiritturaesistononumerosisistemiadattialloscopo.


17

Figura3DistribuzionespazialedelleprovesperimentalenelFractionalDesign

Siconsideri ilcasosemplicedi3parametriarticolati in2livelli;nelcasodifullfactorialdesignsiavrebbeunnumerodiesperimentiparia8(iverticidelcubodifigura 10), mentre con un grado di riduzione pari a 1 è possibile ridurre gliesperimentia4,comeindicatonellamatriceseguente:Numeroprova ParametroA ParametroB ParametroC Risultato

1 +1 +1 +1 -

2 +1 -1 -1 -

3 -1 +1 -1 -

4 -1 -1 +1 -allaqualeèassociataunafunzionedisistemaditipolineare

𝑌 = 𝑎𝑋( + 𝑏𝑋% + 𝑐𝑋, + 𝜀Se si mettono a confronto la matrice ora ottenuta con quella del metodo fullfactorial,sinotacheessesonoidentiche.Infattisièsfruttatal'ortogonalitàdellaterza colonna, riservata nel full factorial all'interazione tra i parametri, perinserireilterzoparametrogarantendolasignificativitàdeirisultati.Percontrosiè persa la capacità di studiare l'interazione tra i parametri, e si ha la fortepossibilità di incappare nel fenomeno del confounding, scambiando l'effettodovutoadunfenomenointerattivoperquellodovutoadunparametroprincipaleoviceversa[10].Discorsoanalogosipuòfareperunsistemafractionalfactorialcon4parametricon3livelliassegnatiegradodiriduzione2:lamatricerisulteràidenticaaquelladelfullfactorialcorrispondente:Numeroprova ParametroA ParametroB ParametroC ParametroD Risultato

1 0 0 0 0 -

2 1 0 1 1 -


18

3 2 0 2 2 -

4 0 1 1 2 -

5 1 1 2 0 -

6 2 1 0 1 -

7 0 2 2 1 -

8 1 2 0 2 -

9 2 2 1 0 -

𝑌 = 𝑎𝑋( + 𝑏𝑋% + 𝑐𝑋, + 𝑑𝑋5 + 𝜀

2.7.2 Il Completely Randomized Design Uncompletelyrandomizeddesignèunmetododipianificazionedegliesperimenticheconsistenell'utilizzospintodellatecnicadellarandomizzazione.Conquestatecnica è possibile indagare un enorme numero di parametri (30+) al fine diindividuare facilmente quelli principali, a condizione che le interazioni sianodeboli[17].Larandomizzazionevieneeffettuatasutrepianidifferenti:

1) nellasceltadelvaloredaassegnareailivellideisingoliparametri;

2) nellasequenzadiesecuzionedelleprovesperimentali;

3) nellasceltadiqualiproveeffettuaretraquellepresentinellamatricedegli

esperimenti[17].

Della sceltadelvaloredaassegnareai livellideiparametridi controllo si ègiàdiscussonelcapitoloriguardantelarandomizzazione.Nellasequenzadelleprovesperimentalilarandomizzazionesiintendeeffettuatanon solo nella determinazione dell'ordine della tipologia di prova, ovverodell'ordine delle righe della matrice degli esperimenti, quanto piuttosto delladeterminazionedell'ordinedelleproveeffettivamenterealizzate,tenendocontodellaripetizionedellestesse.Lasceltavienequindieffettuatatraunnumerodipossibilitàparia:

𝑁 = 𝑝 ∙ 𝑙 ∙ 𝑛doveperpedlstannorispettivamentenumerodiparametriedilivelliinfasedistudio,mentrenèproprioilnumerodiripetizionirichiesto.Nel caso di fractional factorial design si è parlato di una possibile riduzioneponderatadelnumerodelleproveinquantolospaziodellasoluzionepuòesserebenrappresentatoanchesolodauninsiemeordinatodiprove.Tuttavianelcasoincuiilnumerodiprovesiadecisamentesuperiore,adesempioconunnumerodiparametridicontrolloelevatissimo,lospaziodellasoluzioneèbenrappresentatodauninsiemecasualediprove,comemostratoinfigura11.


19

Figura4distribuzionespazialedelleprovenelRandomizedDesign(sinistra)enelFractionalDesign(destra)

I vantaggi del completely randomized design sono nella possibilità di unrelativamenteridottonumerodiproveincasodiunnumeroelevatodiparametridicontrollo,oltreaunacertarobustezzaneiconfrontidiparametrifuoricontrollogarantita dalla completa randomizzazione. Per contro tale randomizzazionespessoèinattuabileacausadivincolitraparametridipendenti,erisultainefficacenelladeterminazionedellecorrelazionitraiparametridicontrollo.

2.7.3 Il Response Surface Method Design Il response surfacemethod design si distingue da tutti i precedenti in quanto,piuttosto che cercare la combinazione migliore dei livelli tra i parametri dicontrolloalfinedideterminarnelaconfigurazioneottimale,cercadiindividuareunafunzionecheapprossimiilsistemaalmeglio,equinditrattarelafunzionecosìottenutaconimetodianaliticiidoneiperindividuarneipunticritici.Sicercaunafunzioneditipo:

𝑓 ≔𝑹6 → 𝑹𝒏ovverounafunzionecheassociadmvariabilidiingressonvariabilidiuscita,doveRm è lo spazio di controllo, spazio nel quale è possibile scegliere i livelli deiparametridicontrollo,eRnèlospaziodimisurazione,dovealloggiailvaloredellafunzione.Cercandosiunafunzioneapprossimata,questasaràdellaforma[24]:

𝑌 =#𝑎! 𝑋! +#𝑏8𝑋89𝑋4:

Perunatrattazionegraficamentepossibilesiconsideriilsemplicecasodim=2en=1, e la scelta di una approssimazione di tipo quadratico con interazioni delsecondoordine.Lafunzionesaràdellaforma[17]

𝑌 = 𝑎; + 𝑎((𝑋(% + 𝑎%%𝑋%% + 𝑎(𝑋( + 𝑎%𝑋% + 𝑎(%𝑋( ∙ 𝑋% + 𝜀Ovverobisognaindividuaresolo6parametriperdefinirelacurva.Nel caso di un esperimento full factorial 22, dove si prendono i parametri dicontrollo temperatura (190-210°C) e pressione (50-100MPa) lo spazio dicontrollopuòessererappresentatodallafiguraseguente[25]:


20

Figura5DistribuzionespazialedelleprovenelFullFactorialDesign

taleconfigurazionespaziale tuttavianonpuòessererappresentativadell'interocampodi controllo, siaper l'esiguonumerodipunti individuati, siaper la lorodisposizione.Laseguenteinvece,arricchitadaaltripuntiintermedi,apparemoltopiùrappresentativa[25].

Figura6DistribuzionespazialedelleprovenelResponseSurfaceDesign

Ilvaloredellegrandezzedaassegnareailivelliintermediprimanonconsiderati,sonopresiapartiredalcentrodelcampodicontrollolungogliassidisimmetriadellostesso,lacuidistanzaèfunzionediunparametroαasuavoltafunzionedellatipologiadimetododifattorializzazioneiniziale,inquestocasodiunsistema22.Latabellaapaginaseguentedefiniscemeglioilvalorediα[25].


21

Individuato ilcampodicontrolloequindi ivaloridaassegnareaiparametri, siesegua la prova sperimentale, si misuri la funzione obiettivo e se ne faccia lamappadeipuntinellospaziodimisurazione.Maggioresaràilnumerodiproveeffettuate,maggioresaràilnumerodipuntidimappatura,quindimiglioreil fitdellacurvaapprossimata;nellefigureseguentidueesempidicurveinterpolate[17]:


22

Figura7EsempidisoluzionedelResponseSurfaceDesign

notalacurvaYgrazieall'interpolazionedeicoefficientiaij,sipuòprocederealladeterminazionedeipunticriticidellasuddetta;lacurvapuòessereriscrittanellagenericaformamatriciale:

𝑓(𝑥) =12 < 𝐴𝑥, 𝑥 > −< 𝑏, 𝑥 > +𝑐

dovesihannoitermini

𝑥 = 𝑋(𝑋%𝐴 = 2𝑎(( −𝑎(%

−𝑎(% 2𝑎%%𝑏 =

−𝑎(−𝑎%𝑐 = 𝑎;

Siindividuilasoluzioneparticolarex*perlaqualesiabbia

∇𝑓(𝑥∗) = 0edallaqualitàdellamatriceHessianacorrispondente,chenelcasodifunzioneellittica

𝐻!8(𝑥∗) =𝛿%𝑓

𝛿𝑥!%𝛿𝑥8%(𝑥∗) = 𝐴(𝑥∗) = 𝐴

nelcasoAsiadefinitapositiva,allorailpuntox*èdiminimo,sedefinitanegativadimassimo,ovverodiottimo.

2.8 Il metodo Taguchi Il metodo Taguchi è un modello di pianificazione di prove sperimentali cheprevede l'utilizzo di matrici di esperimenti ridotte secondo la condizione diortogonalitàdelle stesse. Ilmetodovenne introdottodall'ingegneree statisticogiapponeseGenichiTaguchigiànel1981,quandonelcorsodiunaconferenzaperla direzione della Ford, illustrò la sua teoria sulla "loss quality function" e sul"robustdesign",concettichetrovanolalorocompletezzanelmanuale"Taguchi'sQualityEngineeringHandbook"del2005.


23

2.8.1 Le matrici ortogonali LapeculiaritàdelmetododiTaguchiconsistenellariduzionedellamatricedegliesperimenti,ovveronelloronumero,adottandoneinveceunasuabaseortogonale,ovvero un suo sottoinsieme minimo di righe linearmente indipendenti [16]:ciascunadellerighedellamatricedegliesperimentidelfullfactorialdesign,comegià indicato, presenta una combinazione possibile tra livelli e parametri delprocesso in esame; tra queste è possibile isolarne alcune tra loro linearmenteindipendenti,chenecostituisconounabasecompleta,cheandrannoacostituirelamatriceortogonalediTaguchicorrispondente.Nell'esempioseguenteèindicatala matrice corrispondente ad un full factorial design con 3 parametri che siarticolanoin2livelli[11]:

Numeroprova ParametroA ParametroB ParametroC

1 0 0 0

2 0 0 1

3 0 1 0

4 0 1 1

5 1 0 0

6 1 0 1

7 1 1 0

8 1 1 1

Tenendo contodiunanumerazionedibase2, sinota adesempio come la rigacorrispondente all'esperimento numero 8 sia data dalla somma delle righecorrispondenti agli esperimenti numero 2 e 7, o ancora come la rigacorrispondente all'esperimento numero 5 sia data dalla somma delle righecorrispondentiagliesperimentinumero2e6.E'possibilequindiisolare4righedellamatricetraloroindipendenti,chenecostituisconounabase,enell'esempioindicatounadellesceltepossibilièlaseguente[16]:

Numeroprova ParametroA ParametroB ParametroC

1 0 0 0

2 0 1 1

3 1 0 1

4 1 1 0

La matrice così ottenuta è detta ortogonale, poiché le colonne sono tra loroortogonali, ovvero la somma dei rispettivi prodotti, espressa nella basecorrispondente,ènulla.Ciòsiriflette,inambitosperimentale,nellanecessitàdi


24

studiare parametri che siano tra loro indipendenti; in queste condizioni èpossibile valutare l'importanza Δ del singolo parametro sul risultato finaleutilizzando la sola matrice ridotta, infatti il risultato di ogni altra provasperimentalenonpresenteintalematriceèdatodaunacombinazionelinearediquellipresenti.Lapotenzadelmetodoperòèancorapiùevidentenelcasodiprovesperimentalicheprevedano il sondaggiodipiùparametri: infatti,adesempio,nelcasoche iparametri siano fino a 7, ammettendo l'ipotesi lineare (due livelli), la matricecompleta degli esperimenti prevede fino a 27=128 esperimenti, mentre quellaridottaneprevedesolo8,unnumeroinferiorediaddiritturaquattrovolterispettooquelloprevistonelfractionalfactorialdesigncorrispondenteconunariduzionedisecondogrado,comemostratonellamatriceapaginaseguente,dettamatriceL8[16]:


25

N°

ParametroA

ParametroB

ParametroC

ParametroD

ParametroE

ParametroF

ParametroG

1 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 1 1 1 1

3 0 1 1 0 0 1 1

4 0 1 1 1 1 0 0

5 1 0 1 0 1 0 1

6 1 0 1 1 0 1 0

7 1 1 0 0 1 1 0

8 1 1 0 1 0 0 1

Labasedellamatricedegliesperimenticompletahaunadimensioneparia8perunnumerodiparametrifinoa7,epoichélasceltadellabaseèliberapurchénevenga rispettata la condizionediortogonalità, èpossibile selezionareunabasecomunevalidaincasididiversacomplessità,dandolapossibilitàditabellaredellematrici universali, valide per un numero diverso di parametri: nel caso di 4parametri sarà sufficiente considerare leprime4colonnedellamatriceL8,nelcasodi5parametrileprime5colonneecosìvia.Lematricisonoclassificateinfunzionedelnumerodiparametriedilivellisecondola tabella di pagina seguente, dove il numerodegli esperimenti da effettuare èindicato nella nomenclatura stessa della matrice (p.e. alla matrice L8corrispondono8esperimenti):


26

LivelliParametri 2 3 4 5

2 L4 L9 L16 L2534

L85

L186

L327

L50

8

L129

L271011 12

L16

13 14

L36

15 16

L32

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

2.8.2 L'analisi dei risultati: il metodo ANOM Lariduzionedellematricicompleteèpossibilegrazieall'adozionediunsistemadi analisi statistica delle medie, detta ANOM, differente dalla comune ANOVA,l'analisidellevarianzepresentataprecedentemente.Nell'analisi delle medie, il risultato delle prove sperimentali viene analizzatosecondol'effettomediocolqualeilsingoloparametrovihacontribuito.SiprendainconsiderazioneunasuccessionediNvaloriyi;ilorovalorimedioYemassimoYmaxsonodatidalleseguenti:

𝑌 =1𝑁#𝑦!

=

!'(

𝑌6>$ = 𝑀𝐴𝑋[𝑦!]


27

SiintroducailconcettodimediadilavoroỸ,divalorearbitrario;ilvaloremediodella successione data sarà equivalente alla somma tra la media di lavorointrodottaelamediadegliscartidiciascunvalorerispettoatalemedia,mentreilvaloremassimosaràdatodallasommatralamediadilavoroeloscartomassimotra un valore e la media stessa. Di conseguenza le espressioni precedentidivengono[16][26]:

𝑌 = Ỹ +1𝑁#(𝑦! − Ỹ)

=

!'(

𝑌6>$ = Ỹ +𝑀𝐴𝑋[𝑦! − Ỹ]

Qualoralasuccessionedivaloricorrispondaairisultatidelleprovesperimentali,questi valori possono essere discriminati in funzione dei singoli parametri, inparticolare, la media complessiva dei risultati corrisponderà alla media dellemediedeirisultatiottenutiaseguitodel livelloscelto; fissato ilparametroP,siottieneinfattiche:

𝑌 = 𝑌?; + 𝑌?( +…+ 𝑌?(9#() =1𝑙 #𝑌?4

9#(

4';

Dovelèilnumerodilivelliselezionato.TalerisultatoèilmedesimoperqualsiasiparametroPscelto,inparticolaresiha,variandoilparametroselezionato:

𝑝 ∙ 𝑌 =1𝑙 #𝑌%4

9#(

4';

+1𝑙 #𝑌%4

9#(

4';

+…+1𝑙 #𝑌24

9#(

4';

ovvero:

𝑌 =1𝑝#]

1𝑙 #𝑌84

9#(

4';

^2

8'(

Dovepèilnumerodiparametriinesame.SireintroducailconcettodimediadilavoroỸ;larelazioneprecedentedivienequindi:

𝑌 = Ỹ +1𝑝#_

1𝑙 #`𝑌84 − Ỹa9#(

4';

b2

8'(

Dove il termine tra le parentesi quadre corrisponde allo scartomedio di ogniparametroconlamediadilavoroỸ,ovveroall'influenzaΔjdelparametroj-esimosulrisultato.L'equazionepuòessereripresentatanellaformaseguente:

𝑌 = Ỹ +1𝑝#𝛥8

2

8'(


28

Confrontandoilrisultatoottenutoconleconsiderazioniiniziali,ilvaloremassimodellasuccessioneèdatodallaseguente[16]:

𝑌6>$ = Ỹ +#𝑀𝐴𝑋[𝛥!]2

8'(

Ilvaloremassimoèquindidatodallasommatralamediadilavoroelasommatoriadegliscartideisingoliparametriconlamediadilavorostessa,ovverononsifaalcunriferimentonéallamediageneraleYneallasuccessionedivaloricompletayi.QuestorisultatofondamentalecipermettediutilizzarelamatriceortogonalediTaguchiinluogodellamatricecompleta:infattiilvaloremassimodellafunzionerisultato,corrispondenteall'esperimentoconlamigliorecombinazionedilivelliperiparametri,ècalcolabileapartiredalrisultatodiunnumerodiesperimentiminore,traiqualinonènecessarialapresenzaditaleesperimento.Lamediadilavoro corrisponderà alla media dei risultati della matrice ridotta, mentrel'importanza dei parametri è definita come il loro scartomedio dallamedia dilavoro:

𝛥8 =1𝑙 #`𝑌84 − Ỹa9#(

4';

valoreperilqualeverràaggiuntaunarigaallamatricedellapianificazione.

2.8.3 Il vettore di massimo Ilvettoredimassimo(odiottimo)nonèaltrochelarigadellamatricecompletaallaqualecorrispondeilvaloremassimoregistratonellacolonnadeirisultati,ècostituitoovverodallivellocorrispondenteadogniparametrotalecheilprocessoabbia la risposta migliore. L'esperimento relativo a tale vettore non deveforzatamenteessereunodiquelli indicatinellamatriceridottadiTaguchi,anzimoltospessoneèfuori.La determinazione di tale vettore è permessa dall'analisi delle medie dellarispostadelprocessodiscriminatainfunzionedelparametroedellivellosceltoperesso:definito ilparametropdelqualedeterminare il livellodimassimo,siconfrontino le medie della risposta discriminate in base ai livelli assegnati alparametroinesame,allivellodesideratocorrisponderàlamediapiùelevata.Alloscoposiaggiungaallamatriceunnumerodirigheparialnumerodilivelliincuisiarticolanoiparametri;adognicellacorrisponderàlamediadellarispostadiscriminata in funzionedel parametro e del livello a lui assegnato secondo laseguente[16]:

𝑌29 =1𝑛∗#𝑌!

&∗

!'!∗

doveconpeconlvengonofissatiilparametroedillivellodiriferimento,econYiirisultatidelleprovecorrispondentiataliriferimenti.


29

Si aggiungano inoltre una riga da assegnare all'importanza del parametro(paragrafoprecedente),edunadaassegnarealvettoredimassimo.SiriservinoduecellealcalcolodellamediadilavoroỸedelvaloredimassimoYmax.

Numeroprova

ParametroA

ParametroB

ParametroC Parametro

G Risultato

1 0 0 0 0 Y1

2 0 0 0 1 Y2

8 1 1 0 1 Y8

Yp0 YA0 YB0 YC0 YG0Ỹ

Yp1 YA1 YB1 YC1 YG1

Δ ΔA ΔB ΔC ΔGYmax

vmax lA lB lC lG

2.8.4 Le interazioni tra i parametri Comespecificatoprecedentemente,allecolonneortogonalidellamatriceridottadi Taguchi devono necessariamente corrispondere parametri tra loroindipendenti. Nella pratica questo non sempre succede, anzi spesso non ènemmeno nota l'esistenza di una eventuale interazione. Tuttavia il metodo diTaguchiforniscedeglistrumentipervalutarnel'esistenzacosìcomel'entità,perpoieventualmenteconsiderarequestoeffettoinunpianodisperimentazionedigradosuccessivo.E'possibilevalutarel'interazionetradueparametritramitelacostruzionediduevettori,oseriedivettorinelcasodinumerodilivellisuperiorea2,corrispondentiall'andamentodelrisultatoinfunzionedellavariazionemutuadeidueparametri:la figura seguente mostra le due curve in uno spazio di rappresentazionebidimensionalechepresentainascissalavariazionediunodeiparametrineisuoilivelli, mentre in ordinata le medie dei risultati dell'esperimento assunte allavariazionedell'altroparametroneisuoilivelli[16]:


30

Figura8GraficodelleinterazionitraparametrinelmetodoTaguchi

Qualorailgraficopresentidellecurveparallelealloraèverificatal'indipendenzatraidueparametriinesame;nelcasodicurvesimilparallelel'interazioneesistema è di debole entità, quindi trascurabile; mentre nel caso in cui le curve sipresentinoincidentiopersinointersecate,l'interazionenonètrascurabile.Quandovengaverificatal'esistenzadialmenounainterazionenontrascurabile,ènecessarioeseguiredinuovolasperimentazione,valutandol'interazionecomeunnumerodinuoviparametriparial-1,conlnumerodeilivellisucuisiarticolanoiparametri interagenti. Tuttavia la posizione delle nuove colonne relativeall'interazionenonpuòessereassegnatacasualmente:comenelcasodelmetodofull factorial design infatti, la colonna (o le colonne) dell'interazione tra dueparametri è la risultante del prodotto delle colonne relative ai due parametriinteragenti; quindi, selezionato il numero di livelli idoneo al piano disperimentazione, laposizionemutuadeidueparametri interagentiedella lorointerazione è legata alla dimensione della matrice corrispondente. Ad ogninumero di livelli l scelto corrisponde una matrice di forma triangolare, chepresenta come dati di ingresso la posizione delle colonne dei parametriinteragenti, e come dato di uscita la posizione che dovrà assumere la colonnarelativaall'interazione.Unesempiodimatricetriangolareèlaseguente,nelcasodi numero di livelli pari a 2 (ridotta, nel caso, all'utilizzo di matrici fino alladimensione16): PosizionePARAMETROA 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

Po siz io ne

PA RA M ET RO

B 1 14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 32 13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1


31

3 12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 4 11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 5 10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 6 9 8 11 10 13 12 15 14 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 7 6 5 4 3 2 1 9 6 7 4 5 2 3 10 5 4 7 6 1 11 4 5 6 7 12 3 2 1 13 2 3 14 1

2.8.5 Un esempio numerico Per meglio chiarire i concetti finora espressi, si consideri l'esempio numericoseguente.Si studi, per un processo, l'influenza di 7 parametri per i quali può essereipotizzatauna legge lineare,ovveroarticolati in2 livelli.LamatricediTaguchicorrispondenteallecondizioni indicateè lamatriceL8, chepresenta i seguentirisultati:

N°PARAMETRI

RisultatoA B C D E F G

1 0 0 0 0 0 0 0 98,94

2 0 0 0 1 1 1 1 65,70

3 0 1 1 0 0 1 1 49,41

4 0 1 1 1 1 0 0 95,89

5 1 0 1 0 1 0 1 75,68

6 1 0 1 1 0 1 0 97,38

7 1 1 0 0 1 1 0 90,93

8 1 1 0 1 0 0 1 84,15

Yp0 77,485 84,425 84,930 78,740 82,470 88,665 95,785 media82,260Yp1 87,035 80,095 79,590 85,780 82,050 75,855 68,735

Δ 4,775 2,165 2,670 3,520 0,210 6,405 13,525 ottimo115,53vmax 1 0 0 1 0 0 1

Ilvettoredimassimochesiottienedall'analisideirisultatièilseguente:

𝑣6>$ = {1001001}


32

ilquale,comegiàaccennatonellatrattazioneteoricaprecedente,nonètraquellisperimentatirealmente.Ilvaloredimassimoadessoassociatoèilseguente:

𝑌6>$ = 82,26 + (4,775 + 2,165 + 2,67 + 3,52 + 0,21 + 6,405 + 13,525= 𝟏𝟏𝟓, 𝟓𝟑

Inoltre,dairisultatidegliesperimenti,sinotacomeiparametrichemaggiormenteinfluisconosulprocessosonoiparametriFeG(rispettivamentediΔparia6,4e13,5), ilparametroEnonhapraticamentenessuneffettosulprocessomentre iparametriA,B,CeDloinfluenzanoinmanierarelativamenteminore.Siindaghiquindisull'eventualeinterazionetraiparametriFeG;sihache:

𝑌B;,); =𝑌( + 𝑌52 =

98,94 + 95,892 = 97,415

𝑌B;,)( =𝑌3 + 𝑌D2 =

75,68 + 84,152 = 79,915

𝑌B(,); =𝑌E + 𝑌F2 =

97,38 + 90,932 = 94,115

𝑌B(,)( =𝑌% + 𝑌,2 =

65,70 + 49,412 = 57,555

Figura9Graficointerazioneparametri

Dal grafico risulta evidente l'interazione tra i due parametri, e quindi si rendenecessaria la realizzazione di un piano sperimentale di secondo grado che netengaconto.Siprocedaatalepianificazionetenendocontodelleseguentiinformazioni:

• iparametriE,BeCpossonoesseretrascurati;

• èpresente una interazione tra i parametri F eG, e per tale interazione,

essendodiprimogrado(ipotesi lineare, l=2),ènecessarioriservareuna

colonnadellamatrice.

Lapianificazioneprevedequindilostudiodi4+1=5parametridiprocesso,ancorasottol'ipotesilineare,ovverol=2;lamatriceridottadiTaguchiè,ancheinquestocaso,lamatriceL8;assegnandoaiparametriFeGrispettivamentelaprimaelasecondacolonna,dallamatrice triangolaresi ricavache lacolonnachebisogna

50

60

70

80

90

100

0 1

Risultatoesperimento

livelliparametroF

parametroG,livello0

parametroG,livello1


33

riservareall'interazioneèlaterza*;l'assegnazionedelpostoperglialtriparametrirestalibera.Lamatriceortogonaleverràquindicostruitanellaseguentemaniera:

Numeroprova

ParametroF

ParametroG

InterazioneFxG

ParametroA

ParametroD

1 0 0 0 0 0

2 0 0 0 1 1

3 0 1 1 0 0

4 0 1 1 1 1

5 1 0 1 0 1

6 1 0 1 1 0

7 1 1 0 0 1

8 1 1 0 1 0

2.8.6 Il Robust design Precedentemente si è parlato di fattori esterni che potessero influenzare ilprocesso.IlmetododiTaguchiestesoataliparametrièdetto"robustdesign",inquantopiuttostocheregistrarecomeilprocessonerisultainfluenzato,valutalarobustezzacheilprocessostessopresentaaseguitodiloroeventualivariazioni.AlloscopovengonocorrelateduematriciortogonalidiTaguchi, corrispondentirispettivamenteallostudiodeiparametridiprocessoeallostudiodeiparametriesterni,larispostadellequaliverràvalutatarispettivamentetramitel'analisidellemedie ANOM e l'analisi delle varianze ANOVA. Per meglio chiarire quantoespressosiguardiall'esempioseguente.Si consideriunprocessosulquale intervengano treparametri sotto l'ipotesidilinearità(p=3,l=2),delqualesivuolestudiareanchelarobustezzarispettoatreparametriesternisottol'ipotesidilinearità(p=3,l=2);inentrambiicasilamatriceortogonalediTaguchicorrispondenteèlamatriceL4.Lacorrelazionedellestesseèpresentatanellamatricedellapaginaseguente,nellaqualeè indicatocome ilnumerodelleprovedaeseguiresia4x4=16:


34

N° 1 2 3 4 ỸE0 σE0 ỸE0 σE1 Δ

EG 0 1 1 0 ỸG0 σG0 ỸG1 σG1 ΔF

EF 0 1 0 1 ỸF0 σF0 ỸF1 σF1 ΔE

ED 0 0 1 1 ỸD0 σD0 ỸD1 σD1 ΔD

N° PA PB PC Y YE1 YE2 YE3 YE4

1 0 0 0 YP1 Y11 Y12 Y13 Y14

2 0 1 1 YP2 Y21 Y22 Y23 Y24

3 1 0 1 YP3 Y31 Y32 Y33 Y34

4 1 1 0 YP4 Y41 Y42 Y43 Y44

Yp0 YA0 YB0 YC0Ỹ

Yp1 YA0 YB0 YC0

Δ ΔA ΔB ΔCYmax

vmax lA lB lC

Dovesonoapplicateleseguenti[16]:

𝑌!" =1𝑛#/𝑌"$

%!

$&'

Ỹ =1𝑛!/𝑌!"

%"

"&'

𝑌!( =1𝑛∗/𝑌!"

%∗

"&"∗

𝛥" =1𝑙/𝑌"*

+,'

*&-

𝑌#$ =1𝑛!/𝑌"$

%"

"&'

Ỹ#( =1𝑛∗/ 𝑌#$

%∗

$&$∗

𝜎#( = 4∑ 6𝑌#$ − Ỹ#(8%∗$&$∗

𝑛∗ 𝛥" =

1𝑙/𝜎"*

+,'

*&-

Lamatricecorrelatapresenta treblocchiprincipali,dueblocchi corrispondentiallematriciortogonalirelativeaidueinsiemidiparametri,diprocessoedesterni,eunterzobloccocorrispondenteairisultatidelleprovesperimentalieseguite.Nel senso orizzontale si legge l'effetto dei parametri di processo sul processostesso, ne viene indicato il vettore dimassimo e il suo valore corrispondente.L'analisiANOMèeseguita,nellestessemodalitàgiàdescritte, sullamediadellerisposterelativaadunastessarigadellamatricedeiparametridiprocesso.Nel senso verticale si legge la robustezza del processo ai parametri esterni, larispostaaisingoliesperimentièfornitasottolaformadideviazionestandard,chevienediscriminatainfunzionedelsingoloparametro,nelsingololivello,inmododadefinirne l'importanza; adunamaggioredeviazione riscontrata corrispondeunaminorerobustezzadelprocessoneiconfrontidelparametroesternoinesame.


35

3 Conclusioni Neiprecedentiparagrafisonostatimostratialcunitraimetodidipianificazionedegli esperimenti più utilizzati, enunciandone caratteristiche, difetti e punti diforza.Lasceltadelmetododaapplicareinfattièstrettamentelegataallanaturadegli esperimenti da programmare, in particolare al numero di parametri daindagaree la loroimportanzapresunta, laquantitàedilgradodelleinterazioniattese, oltre allo scopo stesso della pianificazione, ovvero se uno screening diprimogrado,piuttostochel'individuazionedell'ottimodelprocesso(tipicodellaricercaindustriale)oancoraun'indaginesulcomportamentodelprocessosututtoil campo esaminato (tipico della ricerca accademica). Nella tabella di paginaseguentevengonomessiaconfrontoivarimetodi:


36

Metodo Obiettivo Numeroparametri

Importanzaparametri Interazioni

Fullfactorialdesign

Individual'ottimodelprocesso

2-4

Tuttiiparametrisono

importanti

Pochissimeinterazionimarilevanti,finoalIIordine

Fractionalfactorialdesign

4-6

Completelyrandomizeddesign

Screeningdiprimogrado 30+

Pochissimiparametrisono

importanti

Interazionidebolio

trascurabili

Responsesurfacedesign

Indaginesulcomportamentodelprocesso

2-9 Indifferente

MetodoTaguchi

Individual'ottimodelprocesso

4-32

Alcuniparametri(anchetutti)importanti

Pocheinterazionimaimportanti,

solodiIordine

La progettazione dei sistemi meccanici

Documents

Transcript of La progettazione dei sistemi meccanici