La probabilità frequentista e la legge dei grandinumeri

La definizione di probabilità che abbiamo finora considerato è anche nota come probabili-tà a priori poiché permette di prevedere l'esito di un evento sulla base della sola formula-zione, cioè conoscendo a priori il numero dei casi possibili e il numero dei casi favorevoli,sempre supponendo che i casi possibili siano equiprobabili. La definizione classica di Lapla-ce è stata accettata e fatta propria da molti studiosi per oltre un secolo, e ha valore ancoraoggi; infatti, la probabilità dei vari risultati nei giochi d'azzardo si calcola facendo riferimen-to a questa definizione. D'altra parte, esistono molti eventi aleatori per cui è molto diffìcile,se non addirittura impossibile, conoscere il numero dei casi possibili e quello dei casi favo-revoli o, potendo calcolarli, non si riesce a stabilire se i casi possibili siano tutti equiprobabi-li. L'utilizzo del concetto di probabilità classica in campi diversi dai giochi d'azzardo, comead esempio le scienze sociali, le scienze economiche, o le scienze fìsiche, risulta impossibile.Per meglio chiarire questo concetto, analizziamo i seguenti eventi aleatori:

El = Francesco sarà qualificato con una votazione di 72/100.E2 = Nel prossimo decennio in Europa si venderanno 10 milioni di televisori.E^ — Nel prossimo trimestre il prezzo del greggio crescerà di 10 dollari.£4 = II prossimo anno in Italia nasceranno più maschi che femmine.E5 = Maria, oggi diciottenne, raggiungerà i novant'anni.E6 — Martedì prossimo ci sarà il sole.

Calcolare la probabilità di questi eventi con le conoscenze fino ad ora acquisite risulta im-possibile, cioè non siamo in grado, mediante la teoria classica della probabilità, di conoscerea priori i casi possibili e i casi favorevoli. Inoltre, riuscire a stabilire oggettivamente se i casipossibili siano equiprobabili è un altro problema di non facile soluzione. Se per esempio de-cidiamo di fare un picnic domani, dobbiamo essere certi che non piova. La probabilità che

domani piova è, secondo la teoria classica, ~r~ (piove, non piove, CP— 2, CF= 1); ma se

guardando le previsioni vediamo che c'è una perturbazione in arrivo, pensiamo ragionevol-mente che sia molto probabile che domani piova; quindi soggettivamente, in base alle cono-scenze a nostra disposizione, stabiliamo che la probabilità che domani piova è maggiore

1di -—, cioè stabiliamo che i casi «piove», «non piove» non sono equiprobabili. Quindi, la

teoria classica della probabilità non permette di calcolare la probabilità di eventi aleatori chedescrivono la realtà nel suo insieme; per questo è stato necessario introdurre nuove teorie perdeterminare la probabilità di un insieme più grande di eventi aleatori. Una delle teorie chesono nate in seguito alla constatazione della limitatezza della probabilità classica è stata lateoria frequentista. Prima di esporre la teoria frequentista analizziamo il seguente esempio.

ESEMPIOVeronica esegue una serie di esperimenti in cui lancia in aria una moneta varie volte econta quante volte esce croce. La probabilità dell'evento;

E = nel lancio di una moneta esce croce

secondo la teoria classica della probabilità, cioè a priori, è:

i f(E) = l

Vediamo, invece, i risultati ottenuti da Veronica nei suoi esperimenti.

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Indicando con n il numero di lanci effettuati e con v il numero di volte in cui escecroce, cioè il numero dei successi riportati nelle prove eseguite, si hanno i risultati ri-portati nella seguente tabella.

fl

50

100

1000

5000

10000

V

23

52

499

2497

5005

Dall'esempio considerato si deduce che il numero dei successi non è sufficiente per dareuna valutazione all'esperimento se non viene considerato in relazione al numero delle pro-ve eseguite, pertanto si deve introdurre un nuovo concetto: la frequenza relativa.

Si dice frequenza relativa di un evento E, riferita a n prove effettuate nelle stesse condizioni, il rap-porto fra il numero v delle prove nelle quali l'evento si è verificato (successi) e il numero n delleprove effettuate:

Ritornando all'esempio precedente, si ha che:

n

50

100

1000

5000

10000

V

23

52

499

2497

5005

m0,4600

0,5200

0,4990

0,4994

0,5005

Osservando i valori della frequenza relativa ottenuti nei vari esperimenti si nota che si av-vicinano tutti al valore 0,5 e che vi si avvicinano sempre più all'aumentare del numero del-le prove eseguite; ricordiamo, però, che 0,5 è la probabilità teorica dell'evento E.Da queste considerazioni deduciamo che la frequenza dipende dal numero delle prove ese-guite e tende a stabilizzarsi verso un unico valore se il numero di prove è sufficientementeelevato, pertanto possiamo scrivere la seguente legge.

Legge empirica del caso o legge dei grandi numeri

La frequenza relativa di un evento in un gran numero di prove, ripetute tutte nelle stessecondizioni, da un valore approssimato della probabilità dell'evento, che è tanto più approssi-mato quanto più è grande il numero delle prove.

La legge empirica del caso non può essere dimostrata, ma solo verificata mediante le innume-revoli osservazioni dei fenomeni reali nel loro complesso; questa legge permette di formulareuna nuova definizione della probabilità per eventi ripetibili, detta probabilità frequentista.

La probabilità di un evento Fé il valore intorno al quale tende a stabilizzarsi la frequenza relativa,al crescere del numero delle prove.

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Concludendo si ha che, per la teoria frequentista della probabilità, ripetendo più volte lastessa prova, nelle stesse condizioni, sì assume come valore approssimato della probabili-tà (p (E)) la frequenza relativa (f(E)) dell'evento considerato:

p(E)

Dalla definizione risulta evidente che:

<f(E) =

il numero dei successi è sempre minore o uguale al numero delle prove effettuate:O =£ v a£ n, pertanto O ̂ p (E ) =s 1 ; inoltre:

• se v = n l'evento sì è sempre verificato in quelle n prove, quindi l'evento è certo e si ha

• se v = O l'evento non si è mai verificato in quelle n prove, quindi l'evento è impossibile esi ha p (E} = 0.

Rimangono quindi valide le proprietà della probabilità viste nella teoria classica.La probabilità frequentista è molto usata nel campo della fìsica, della medicina, della chimica, della biologia, cioè in tutte quelle discipline in cui è opportuno e risulta possibile ripetere gli esperimenti nelle stesse condizioni.OSSERVAZIONE

La probabilità secondo la teoria classica è una probabilità calcolata a priori, mentrela probabilità secondo la teoria frequentista è una probabilità calcolata a posteriori.

La probabilità soggettiva

La concezione classica e la concezione frequentista della probabilità portano a definizioni «og-gettive», ossia a definizioni indipendenti dalle opinioni di chi valuta numericamente la «possi-bilità» che un evento si verifìchi. A queste concezioni si oppone la concezione detta soggetti-va, che ha in Italia il suo massimo esponente in De Finetti, e che può essere così espressa:

-dato un evento E, la probabilità p (E) di verificarsi dell'evento è la misura del grado di fiducia cheun individuo attribuisce, secondo le sue informazioni e opinioni, all'avverarsi di E.

La probabilità diventa una misura della fiducia che noi riponiamo sull'esito dell'evento;tale fiducia si può misurare come la somma di denaro che si è disposti a pagare per poterricevere in cambio una somma maggiore qualora l'evento si verifìchi. Per meglio chiarire ilpunto di vista della concezione soggettiva, analizziamo il seguente esempio.

Vogliamo calcolare la probabilità che si verifìchi il seguente evento:

E— nel prossimo Moto GP «un campione» vincerà"

La probabilità teorica è •==&•- (vince, non vince), ma tale probabilità può non essere at-

tendibile perché non è detto che i due casi possìbili siano equiprobabili.Riferiamoci, allora, alla storia precedente del «campione» e calcoliamo la probabilità se-condo la concezione frequentista. Sappiamo che su 11 Moto GP finora disputati, il «cam-pione» considerato ne ha vinti 9; quindi la frequenza relativa dell'evento considerato è:

9f(E) = -jj = 0,81

'

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E attendibile assumere questa frequenza relativa come stima della probabilità dell'e-vento £?In generale la risposta a questo quesito è negativa, in quanto le condizioni fìsiche, me-teorologiche, psicologiche sono diverse da quelle con cui il «campione» ha disputatogli altri Moto GP; cade quindi l'ipotesi che le prove siano ripetute nelle stesse condi-zioni. Pertanto, non si può applicare la definizione frequentista di probabilità.L'evento in esame è un evento unico nel suo genere e la sua probabilità non può esse-re calcolata in modo oggettivo, quindi bisogna considerare delle ipotesi aggiuntive ditipo soggettivo. Supponiamo di attribuire all'evento E la seguente probabilità:

1

70p (E) = 0,70=-—

100

Attribuire tale valore alla probabilità significa che il grado dì fiducia che riponiamonel verifìcarsi dell'evento è del 70%, cioè giudichiamo equo pagare 70 euro per averediritto a riceverne 100 nel caso in cui l'evento si verifichi, cioè scommettiamo 70 europer averne in cambio 100.E evidente che individui diversi possono formulare valutazioni diverse sulla probabili-tà dello stesso evento; infatti Luigi, che non ha letto Ì quotidiani della settimana enon sa che il motociclista ha avuto l'influenza, potrebbe pensare che la probabilità siadell'80%, mentre Antonio, che è sempre informatìssimo sul suo campione, stima unaprobabilità del 40%.Quando però si fa una scommessa bisogna rispettare il principio di coerenza, cioè sideve essere disponibili a invertire i ruoli: l'individuo che accetta di pagare la somma sper ricevere ìn cambio la somma 5 deve essere disposto a ricevere s da un altro indivi-duo pagandone 5 se l'evento si verifica; nell'esempio considerato bisogna essere, quin-di, disponibili a pagare 100 euro per riceverne in cambio 70 se l'evento £ si verificherà.

Quindi, secondo la teoria della probabilità soggettiva:

la probabilità di un evento E è uguale al rapporto tra la somma s che un individuo coerente è dispo-sto a pagare e la somma S che riceve in compenso se l'evento E si verifica:

A conclusione delle diverse concezioni di probabilità ricordiamo che i teoremi che esporre-mo nel corso dell'unità, e che per semplicità applicheremo solo alla teoria classica, valgonoper qualunque definizione di probabilità.

NOTIZIE ,,_STOR1CHE'

Concludiamo la trattazione delle diverse concezioni di probabilità con una frase scrìtta da De Finettì.

«La differenza tra tali concezioni, fattasi netta sia per l'approfondimento critico che per l'estendersi dei campi diapplicazione da un secolo a questa parte, tocca però solo il modo di concepire e interpretare le applicazioni.Matematicamente non c'è alcuna divergenza, tanto che, esponendolo in forma astratta o assiomatica, il calcolodelle probabilità è uno solo».

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T V E R I F I C AAnalizza i seguenti eventi e stabilisci se sono certi, impossibili o aleatori.

Evento

Quest'anno sarò promosso.

La Juventus vincerà la Champions League.

Da un'urna contenente 10 palline rosse e 4 palline nereviene estratta una pallina bianca.

Da un mazzo di 52 carte viene estratta una cartao rossa o nera.

Lanciando due dadi esce Ìl numero 14.

Da un'urna contenente 21 palline biancheviene estratta una pallina bianca.

Certo Impossibile Aleatorio

Completa le seguenti frasi.

Se l'evento E è certo, allora la sua probabilità/ (£) —

Se l'evento E è aleatorio, allora

Se l'evento ̂ è impossibile, allora

Definisci l'evento contrario dell'evento A e completa in modo opportuno.

Collega in modo opportuno.

probabilità classica

probabilità ftequentìsta

probabilità soggettiva

Completa le seguenti frasi.

Dato un evento E si ha che:

teoria classica: in cui CP =

teoriav

p (E] ~f(E] - — in cui e

teoria soggettivista: p (E) — ..

Due eventi sono equiprobabili se

in cui

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