La Probabilità Dalle Lezioni Di Statistica Del Professore Carmelo Ferrauto Alla Facoltà Di Scienze...

7/24/2019 La Probabilit Dalle Lezioni Di Statistica Del Professore Carmelo Ferrauto Alla Facolt Di Scienze Politiche Dell'Univ

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La Probabilit

Dalle Lezioni di Statistica del Professore Carmelo Ferrautoalla Facolt di Scienze Politiche dellUniversit di Catania


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La probabilit e la probabilit di un evento

Concezioni della probabilit

La probabilit e la statistica come discipline nascono in momenti diversi ma oggi siamo propensi ad accettare unacerta concezione della probabilit a seconda del processo inferenziale che ne costituisce il suo ambito.

Processo inferenziale e probabilit si intersecano, dobbiamo chiederci il perch della probabilit.

Luomo utilizza da sempre anche inconsciamente lo strumento della probabilit.

Pur non utilizzando metodi scientifici spesso nelle scelte decisionali la logica di base la logica probabilistica.

Dopo la statistica descrittiva la probabilit descrive gli aspetti e le propriet numeriche dei fenomeni di massa.

Se lindagine effettuata si svolge su tutto luniverso dindagine si lavora su tutto il collettivo della popolazione

statistica ma potremmo effettuare unindagine parziale su una parte di essa attraverso unanalisi campionaria chesi basi su campioni rappresentativi del fenomeno.

Qui diventano necessari gli strumenti che permettono un processo inferenziale(che analizzi da un segmento a tuttala popolazione).

Accanto a questi strumenti diventa fondamentale luso di una logica induttiva che si basi non sulla certezza masullincertezza aprendo la strada al calcolo delle probabilit.

Le relazioni tra la logica formale matematica e la logica probabilistica

Per il De Finetti (uno dei maggiori teorici della probabilit cui ha contribuito sia sotto laspetto epistemologico

con linterpretazione soggettiva della probabilit, sia sotto laspetto matematico -formale insegnando matematicafinanziaria e statistica nelluniversit di Roma e Trieste le cui opere: Probabilismo(1931);La previsione:le suelogiche le sue fonti soggettive (1937); Matematica logico-intuitiva( 1944); Probabilit, induzione estatistica(1972); la logica probabilistica dellincerto la logica conseguenza del certo: le proposizioni possonoessere sia Vere che False.

Negli enunciati si cerca di assegnare un certo grado di certezza.

Il concetto di probabilit lo troviamo tra i Pirroniani (scuola di probabilisti di Pirrone ,allievo di Cicerone).Per questi il fulcro, il punto di partenza dellanalisi probabilistica il concetto di caso cos come era previsto nellaconcezione di Democrito.

Orazio dir: da cui ne derivava la teoria in cui gli atomi casualmente si univanoformando le sostanze animali e le cose.

Del resto la teoria di Democrito si protrae fino alla teoria atomica. Heisemberg affermava:.Quindi se la teoria di Democrito e di Lucreziosono il concetto antico di probabilit,questa non ha la stessa denominazione per di quello moderno.


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Lo scetticismo: Pirrone e la scepsi morale

Prima ancora che Epicureo e Zenone fondassero le loro scuole,Pirrone, dalla nativa citt di Elide, a partire dal 323. C. (o dopo Cristo), diffondeva il suo nuovo verbo scettico e dava cos inizio ad un movimento di pensierodestinato ad avere notevoli sviluppi nel mondo antico, e anzi destinato, cos come il Giardino e la Sto, a creareun nuovo modo di pensare ad un nuovo atteggiamento spirituale che nella storia delle idee delloccidente

resteranno dei punti fissi di riferimento.

Pirrone era noto a Elide fra il 365-360 a.C. insieme ad Anassarco di Abdera,un filosofo seguace dellatomismo,prese parte alla spedizioni di Alessandro in Oriente nel 334-323 a. C., un avvenimento, questo, che dovette inciderea fondo sul suo spirito, dimostrandogli,come potesse essere improvvisamente distrutto tutto ci che fino ad alloraera ritenuto indistruttibile e come inveterate convinzioni dei Greci fossero infondate.

In Oriente Pirrone si incontr con i Giamnosofisti, dei saggi dellindia, dai quali dovette apprendere il senso dellavanit di tutte le cose, uno di questi Giamnosofisti di nome Calano, si diede volontariamente la morte gettandosifra le fiamme e sopportando impassibile gli spasmi delle ustioni.

Intorno al 324-323 a.C. Pirrone torn a Elide, dove visse ed ebbe per un insegnamento orale. Chi raccolse e mise

per iscritto il suo insegnamento fu Timone aprendo la Media Accademia.

Pirrone mor fra il 275-270 a.C. Pirrone non fond una scuola vera e propria e i discepoli si legarono a lui al difuori degli schemi tradizionali.

Pi che di veri e propri discepoli, si tratt di estimatori, di ammiratori ed imitatori : si tratt di uomini che nelmaestro cercavano un nuovo modello di vita, un paradigma esistenziale cui fare costante riferimento, una provasicura che, malgrado i tragici eventi che sconvolgevano i tempi, malgrado il crollo dellantica tavola dei valorietico-politici, la felicit e la pace dello spirito erano tuttavia raggiungibili, perfino se si riteneva impossibilecostruirne e proporne una nuova.

Proprio in questo sta la novit che contraddistingue il messaggio di Pirrone non solo, ovviamente, da quello dei

filosofi precedenti, i quali miravano alla soluzione di altri problemi, ma altres da quello dei filosofi della suaepoca, dai fondatori della sua epoca, dai fondatori del Giardino e del Portico, i quali miravano alla soluzione delproblema di fondo, ossia del problema della vita : sta, precisamente, nella convinzione che sia possibile vivere conarte una vita felice, anche senza la verit e senza i valori, almeno cos come erano stati concepiti e venerati inpassato.

Come giunto Pirrone a questa convinzione cos atipica rispetto al generale razionalismo dei Greci? E come hapotuto condurre una regola di vitae costruire una saggezza, rinunciando allessere e alla verit e dichiarandoogni cosa vana apparenza?

La risposta di Pirrone contenuta in una testimonianza preziosa del peripatetico Aristocle, che la tingedirettamente dalle opere di Timone, immediato discepolo di Pirrone :Pirrone di Elidenon lasci nulla di

scrittoma il suo discepolo Timone colui che suole essere felice deve guardare a queste tre cose: in primo luogo, comesono per natura le cose, in secondo luogo,quale deve essere la nostra disposizione verso di esse, infine che cosa ce neverr, comportandoci cos..

Egli dice che Pirrone mostra che le cose sono egualmente senza differenze, senza stabilit, indiscriminate; percin le nostre affermazioni, n le nostre opinioni sono vere o false.

Non bisogna quindi dar loro fiducia, ma essere senza opinioni, senza inclinazioni, senza scosse, su ogni cosadicendo non pi che non , oppure e non , oppure n , n non .


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A coloro che si troveranno in queste disposizioni, Timone dice che deriver per prima cosa lapatia poilimpertubabilit.

Pirrone sembra ci dica non che le cose per noi risultano indifferenziate,immisurate e indiscriminate ma alloppostoche le cose stesse sono indifferenziate, immisurate e indiscriminate e che proprio in conseguenza di questoe chesensi e opinioni non possono n dire il vero, n dire il falso, insomma, sono le cose che, essendo come s detto,

rendono sensi e ragione incapaci di verit e di falsit e non viceversa.

Pirrone ha dunque negato lessere e i principi dellessere e ha risolto tutto nellapparenza, come ci dice un altrotestimonianza importante di Timone: ma lapparenza totalmente domina, l dove giunge.

Questo fenomeno dellapparenza degli Scettici posteriori stato trasformato nel fenomeno inteso come apparenzadi un qualcosa che al di l dellapparire, ossia di una cosa in s.

La posizione di Pirrone pi complessa come risulta da un altro frammento di Timone, in cui a Pirrone sono statemesse in bocca queste parole:

.

Le cose, secondo il filosofo, risultano mere apparenze non gi in funzione del presupposto dualistico dellesistenzadi cose in s e a noi come tali inaccessibili, bens in funzione della contrapposizione appunto a quella natura deldivino e del bene tutto appare a Pirrone come irreale e come tale da lui vissuto anche praticamente.

Ci ci spiega Cicerone non lo ha mai considerato uno Scettico bens un moralista che professava una dottrinaestremistica, secondo la quale la virt era il solo ed unico bene.

Se le cose sono indifferenti, immisurabili e indiscernibili e se, per conseguenza, senso e ragione non possono dire n

vero n falso, lunico atteggiamento corretto che luomo pu tenere quello di non dare alcuna fiducia ai sensi, nalla ragione ma rester senza opinione, cio astenendosi dal giudizio,lopinare sempre un giudicare, e, perconseguenza, restare senza agitazione, ossia non lasciarsi scuotere da alcuna cosa, ossia restare indifferenti.

Questa astensione del giudizio venne successivamente espressa con il termine epoche che di derivazionestoica. Zenone affermava la necessit per il saggio di non dare lassenso, ossia di sospendere il giudizio di frontea ci che incomprensibile e di dare l assenso solo a ci che evidente.

Arcesilao e Carneade, sostengono che il saggio deve sospendere il giudizio, su ogni cosa perch nulla evidente;ilsuccesso delle nostre azioni non in alcun modo garantito,noi possiamo raggiungere tutto al pi un alto grado diprobabilit(probabilismo).

Il termine epoche fu quindi ripreso anche dal neopirroniano Enesidemo per esprimere il concetto dell astensionedal giudizio, divenne un termine tecnico e venne quindi riferito anche a Pirrone.

Sembra corretto dunque che Pirrone parlasse di assenza del giudizio o mancanza di giudizio che portaallafasa e che il termine epoche posteriore, ma esprime lo stesso concetto. Pi volte, nellaMetafisica,Aristotele ribadisce il concetto che chi nega il supremo principio dellessere, per essere coerente conquesta negazione, dovrebbe tacere e non esprimere assolutamente nulla.

E tale la conclusione che trae Pirrone proclamando lafasa .

E lafasia comporta latarassia ossia la mancanza di turbamento, la quiete interiore, la vita pi eguale.


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Pirrone fu famoso per aver dato prova in molti casi di tale mancanza di turbamento e di tale differenza.

Si narra che due volte venne meno alla imperturbabilit .

In uno di questi, fu messo in agitazione dallassalto di un cane arrabbiato e a chi lo rimprover per non aversaputo mostrare e mantenere limpertubabilit, rispose che era difficile spogliare completamente luomo non ha

come fine lannullamento delluomo, ossia il non essere assoluto ma al contrario coincide con la realizzazione diquella natura del divino e del bene da cui deriva alluomo la vita pi eguale di cui parla il frammento di Timone,ossia la realizzazione di quella vita che non sente il peso delle cose, le quali rispetto a quella natura, non sono cheindifferenti, immisurate e indiscriminate apparenze.

Lo spogliare completamente luomo la realizzazione dellimpassibilit del saggio, il vivere quella vitaegualissima che scaturisce dalla natura del divino e del bene che eterna, nella misura in cui superamento dellelabili apparenze e annullamento di tutti i loro fuggevoli e contraddittori effetti su di noi.

LAccademia Scettica di Arcesilao

Naturalmente gli stoici dovettero vivacemente reagire e controbattere la sospensione radicale che lassenso

implicava limpossibilit di risolvere il problema della vita, lunico problema che come ben sappiamo,interessavaalla filosofia del tempo e rendeva impossibile qualsiasi azione.

E Arcesilao a rispondere con largomento dellElogono del ragionevole: non vero che sospendendo ilgiudizio, lazione morale resta impassibile.

Infatti gli stoici, per spiegare le comuni azioni morali avevano introdotto i doveri, considerandoli azioni chehanno una loro plausibile e ragionevole giustificazione.

E mentre solo il saggio era capace di azioni morali perfette, tutti erano invece capaci di compiere doveri..

Ma allora, ecco dimostrato che lazione morale possibile anche senza ritrovamento della verit e senza la certezza

assoluta, dato che i doveri sono possibili anche senza la verit e la certezza assoluta.

Chi compie azioni ragionevoli felice, ma la felicit implica saggezza, la phrnesise dunque le azioni rette.

E con questo si dimostra, con le armi stesse degli stoici essere sufficiente il ragionevole e assurde le pretese delsaggio stoico e della sua morale superiore.

Ad Arcesilao, infine viene attribuito un dogmatismo esoterico, accanto allo scetticismo esoterico.

Egli in altre parole, avrebbe fatto professione di scetticismo allesterno e di dogmatismo platonico allinternodellAccademia con i discepoli pi intimi.

Ma si tratta, probabilmente, di una invenzione,dato che le fonti non sono in grado di dirci nulla in merito.

Gli sviluppi dello scetticismo accademico con Carneade e le origini della teoria della probabilit

Per circa mezzo secolo lAccademia si mosse pigramente lungo la via aperta da Arcesilao.

A darle nuovo impulso fu Carneade, nato a Cirene intorno al 219 a.C., uomo dotato di notevole impegno e fornitodi una eccezionale capacit dialettica unita ad una abilit retorica straordinaria.

Anche Carneade non scrisse nulla e affid il suo magistero integralmente alla parola.


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Secondo Carneade non esiste alcun criterio di verit in generale, come riferisce unantica fonte:Carneade,perquanto concerne il criterio di verit, si oppose non solo agli stoici, ma a tutti i filosofi a lui precedenti. Infatti ilsuo primo argomento diretto ad un tempo contro tutti i filosofi quello in base al quale stabilisce che non esiste inassoluto alcun criterio di verit: non il pensiero, non la sensazione, non la rappresentazione , n alcun altra dellecose che sono, infatti tutte queste cose in complesso ci ingannano.

Mancando un criterio assoluto e generale della verit, scompare ogni possibilit di ritrovare qualsiasi particolareverit.

Ma non per questo scompare anche la necessit dellazione.

E appunto per risolvere il problema della vita che Carneade la sua celebre dottrina del probabile,che pu esserecos riassunta: la rappresentazione, rispetto alloggetto, o vera o falsa; invece rispetto al soggetto, apparevera oppure falsa.

Poich il vero oggettivo sfugge alluomo, non resta che attenersi al criterio di ci che appare vero e questo ilprobabile,pithann.

Poich le rappresentazioni sono sempre fra loro congiunte e collegate, un pi elevato grado di credibilit offrequella rappresentazione che saccompagna alle altre che le sono connesse in maniera tale da non essere contraddettada nessuna di questa.

Allora si ha la rappresentazione persuasiva e non contraddetta, che possiede ovviamente un grado maggiore diprobabilit. Infine, si ha la rappresentazione persuasiva non contraddetta ed esaminata da ogni parte quandoalle caratteristiche delle due precedenti, si aggiunge altres la garanzia di un metodico esame completo di tutte lerappresentazioni connesse.

E qui abbiamo un grado ancora maggiore di probabilit.

Nelle circostanze in cui occorrer decidere con urgenza, ci dovremmo accontentare della prima rappresentazione, seavremo pi tempo, cercheremo di avere la seconda; e se avremmo a disposizione tutto il tempo per procedereallesame completo,la terza.

Sulla base di questa dottrina si parlato di probabilismo carnadeoe si considerato questo probabilismo comeuna via di mezzo fra scetticismo e dogmatismo.

Se nonch di recente, la critica ha mostrato che la dottrina del probabile di Carneade, pi che come professione didogmatismo mitigato, va inteso come argomentazione dialettica volta a rovesciare il dogmatismo degli stoici, coscome avviene nella dottrina del ragionevole o del plausibile di Arcesilao.

Carneade, in altri termini, avrebbe inteso mostrare che il saggio stoico, dal momento che non esisteva il criterio diassoluta verit come tutti gli uomini si regolava secondo il criterio del probabile.

Ecco il suo ragionamento.

Se non esiste rappresentazione comprensiva, tutto incomprensibile, acatalettico, e la conseguente posizione daassumere : o lepoch, cio la sospensione dellassenso e del giudizio, oppure lassenso dato a ci che tuttaviaoggettivamente incomprensibile.

Se teoricamente la prima posizione quella corretta, invece la seconda che, praticamente, noi, come uomini siamocostretti ad abbracciare, per vivere.


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N gli stoici possono fare eccezione: pertanto il loro agire sar fondato non sul fantomatico criterio dellaprobabilit, che un criterio non oggettivo, ma soggettivo, e, in ogni caso, lunico di cui luomo disponga.

LHazard

Dal 1654 al 64, in questo decennio sono molti quelli che sostengono la nascita della probabilit con il gioco

dazzardo in voga allepoca e basato sul caso (dal franc.:hasard significa so).

Ma potremmo obiettare a ci ricordando che il gioco dazzardo vecchio quanto il mondo: gi Egiziani, Assiri,Babilonesi, conoscevano il gioco dazzardo vantando validissime interpretazioni del caso, della fatalit.

In quel decennio, il cavaliere De Mr buon giocatore dazzardo si era accorto che il calcolo delle probabilitsembrava contraddire lempiria(ci che per loro doveva essere deduttivismo) e viceversa.

Sar il Pascal , suo amico, che dimostrer invece che lempiria non contraddice affatto la probabilit o viceversa.

Ma facciamo un passo indietro..durante la met del 1500 Gerolamo Cardano medico, alchimista, esoterico echimico, oggi rivalutato alle scienze moderne, scrive il De ludo alee(del gioco del dado) ma questo viene

pubblicato postumo, dopo la sua morte, e comunque dopo il decennio.

Perch ?

Forse il Pascal giansenista della congrega di Port - Royal ( inizialmente di stampo cartesiano) conosceva gi ilcontenuto del De ludo alee?!?

Del resto il IV libro di Aristotele, diversamente dai primi 3 era dedicato alla probabilit ma ancora oggi non stato mai tradotto dal latino.

Ed allora come mai a dei contemplativi puritani interessava il gioco dazzardo? Era forse questo funzionale allaesplicazione o dimostrazione di qualche teoria?!?

Pascal spinger il suo acume nel dimostrare che se Dio esiste o non esiste la stessa cosa 50% e 50%.

Per lui Dio una scommessa.

Ed ancora volendo ritornare indietro prima dellUmanesimo con la Scolastica che prendendo le mosse da TommasoDAquino interpretando Aristotele, si parlava gi di probabilit e ci succedeva anche nella scuola Araba, tralaltro pi corretta che quella patristica, del resto qualche sofista potrebbe dire che la probabilit serve al sofismoquanto questo allesistenza.

Dopo il 200 - 300 circa, sboccia in Italia lUmanesimo le cui speculazioni metafisiche metteranno in crisilimpalcatura concettuale della Scolastica, ancora dopo tra il Rinascimento e prima del Barocco nascono alcuni

filosofi tra cui Cartesio che tratteranno di ci che trattarono gli scolastici ma non in termini metafisici, macercando di dimostrare razionalmente partendo dal dubbio, a questo si contrappone Pascal anche se non cisembra proprio una contrapposizione .

Il sorgere dellapproccio probabilistico alla luce di ci era forse il riproporre le tematiche della Scolastica chelUmanesimo e il Rinascimento avevano oscurato?

Mentre il gioco dazzardo, bench molto in voga allora, era uno strumento per perfezionare il campo delleprobabilit poich si basava sulla casualit?!?


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Sembra proprio che la conoscenza non parta da qullempiria intesa come la intendeva il cavaliere De Mr e ci sievince anche da altre opere come nell Esprit de geometrie et de finisse.

Cosa successo prima del 600,e perch Pascal vuol dimostrare lesistenza di Dio con il gioco dazzardo?

La probabilit ci sembra correlata pi a qualcosa che v al di la di un giuoco.

La probabilit e le sue teorie

Quando non si ha la certezza che un evento possibile si realizzer oppure, se levento si riferisce ad un momentopassato, che si sia effettivamente verificato,si dice che levento probabile ed opinione comune che vi sianodiversi livelli di probabilit e diverse concettualizzazioni.

Infatti ,si dice spesso ad es. che un evento poco probabile,nel senso che, in base alle informazioni che si hanno visono molte ragioni a favore e poche contro o viceversa per ritenere che levento accadr o, nel caso di un eventoimpossibile del passato che sia veramente accaduto.

Due tendenze concettuali :

1 Il concetto di probabilit intesa come grado di fiducia dato al verificarsi di un evento, qui la probabilit intesa in termini soggettivi..

2 La probabilit intesa in termini oggettivi con il concetto di chance come la frequenza del verificarsi di unevento nel tempo,nel lungo andare, quindi di una probabilit a posteriori..

Le due tendenze non delimitano necessariamente modalit pratiche o concettuali diverse sono infatti spessopresenti entrambe, funzionali o interconnesse di fronte allaspettativa del verificarsi di un evento bench ladottrina li consideri due paradigmi distinti e unitari da cui discendono ulteriori corollari che dovrebberodistinguerle.

(A noi sembrano pi di due facce di una stessa moneta che distinguendosi sono complementari nellanalisi dellaprobabilit.)

Vediamo dunque come quella che potremmo definire (con beneficio dinventario rispetto a ci che nel passato stata lorigine della probabilit) lanalisi moderna della probabilit inizia con il Pascal e il Fermat e la logica diPort R oyal, con la famiglia dei matematici e il Bernulli che imposteranno matematicamente il calcolo elleprobabilit: nel campo scientifico, linteresse verso i metodi quantitativi ha portato a definire una scala numericadella probabilit e si convenuto che la probabilit di un evento sia compresa da un rapporto compreso tra 0 e 1.trasformabile anche in una percentuale, o pi in generale, da un numero reale p nellintervallo (0-1) i cui estremi,cio le probabilit p=0 e p=1 corrispondono, rispettivamente ad un evento impossibile e ad un eventoassolutamente certo.

Certo le difficolt sorgono quando si deve effettivamente assegnare un valore numerico alla probabilit di undeterminato evento e le opinioni al riguardo possono essere molto diverse.

Abbiamo visto come in passato il senso quantitativo del concetto di probabilit venne introdotto con riferimentoagli eventi che si considerano nei giuochi dazzardo rendendo possibili talune elaborazioni matematiche dalle qualisi svilupp la disciplina oggi nota come calcolo dell probabilit.

Diversi furono i matematici che contribuirono alla nascita della disciplina, ma il primo trattato, che porta il titoloArs conjectandi sive stochastice si deve a Giacomo Bernulli e fu pubblicato postumo a Basilea nel 1713.


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I giuochi dazzardo si basano su lanci, sorteggi ecc. di oggetti le cui caratteristiche geometriche e fisiche sonodefinite in modo tale che ci si trovi sempre nelle stesse condizioni di incertezzarispetto ad ogni esitopossibile.

Perci i casi che si possono verificare sono da ritenersi ugualmente possibili, il problema quello di contarlicorrettamente e, preso in considerazione un determinato evento, stabilire quanti sono i casi favorevoli allevento

nel senso che se uno si verifica, si verifica anche laltro evento.

Da un ragionamento di questo tipo derivata la definizione oggi detta matematica di probabilit di un evento chesi affianca alle due tendenze soggettiva e oggettiva,diventando una terza concettualizzazione della probabilit:a priori teorizzata da Simone La PLace, dal circolo di Vienna, quella di un evento come rapporto tra il numerodei casi favorevoli dellevento e il numero dei casi possibili,giudicati ugualmente possibili.

Ad esempio, la probabilit che, estraendo a caso una carta da un mazzo di 40 carte, si abbia un asso,si calcolanotando che i casi possibili sono 40,perch pu essere indifferentemente estratta una qualsiasi delle 40 carte, e casifavorevoli allevento considerato sono 4 date le 4 carte che raffigurano un asso.

Perci la probabilit richiesta p=4/40 ossia 1/10.

Non vi dubbio che, in origine, con la suddetta definizione si pensasse di ottenere rapporti a cui tendanoeffettivamente ad avvicinarsi le frequenze con le quali si osservano gli eventi quando i giuochi vengono ripetuti pivolte(ci avvicina la concezione matematica o a priori della probabilit a quella espressa in termini oggettivi con iltermine chance.Del resto questa opinione avvalorata dallesperienza.

Giova avvertire, al riguardo che nel calcolo delle probabilit, si suole dire che si effettua una prova ogni volta chesi realizzano condizioni, sempre, identiche, in cui un evento di un dato tipo pu verificarsi e per frequenzadellevento in una serie di prove si intende il numero delle prove in cui levento si verificato( talvolta dettonumero dei successi)e il numero delle prove eseguite.

Ad Es., se si lancia una moneta 5 volte e si ottiene 3 volte testa e 2 volte croce, la frequenza dellevento nelle 5

prove e 3/5 e quella dellevento croce 2/5.Dunque la frequenza di un evento un dato empirico variabile da una serie di prove effettivamente eseguite adunaltra, ma come sopra si detto, nei giochi dazzardo si constata che quando si eseguono numerose prove lafrequenza di un evento si approssima alla probabilit dellevento stesso, calcolata secondo la definizione gi data.

Ma cos il numero delle prove se non la scelta arbitraria che risponde ai dettami soggettivi di chi decide da cuidipender il numero dei successi?

(Ed in ci vediamo linterconnessione della definizione matematica della probabilit a priori con quella espressa intermini soggettivi con il termine di Probabilit).

La probabilit in senso oggettivoLe applicazioni del calcolo delle probabilit si estesero dai giuochi dazzardo (cos ci dicono) ad altri campi quandosi ravvisarono delle analogie tra il modo in cui si manifestavano molti fenomeni che si verificano nella realt e irisultati che si potrebbero ottenere eseguendo estrazioni da urne secondo determinai schemi teorici.

Coerentemente con questa premessa, si continu a ritenere che dovesse sempre esservi corrispondenza tra laprobabilit e la frequenza di un evento, cio a concepire la probabilit in senso oggettivo,ma si comprese che ladefinizione originariamente data non aveva un tale carattere di generalit da potersi applicare a qualsiasi evento.


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Si diffuse pertanto, soprattutto tra gli statistici, lopinione che la probabilit di un evento spesso non pu essereesattamente calcolata, ma si pu sempre stimare per mezzo delle frequenza con cui si osserva levento in un numeroelevato di prove, attribuendo al termine prova il significato gi precisato.

Da questo punto di vista ad Es., la probabilit che un nascituro sia di sesso maschile non nota, ma si pu stimareche si aggiri intorno al 51%,perch estese rivelazioni statistiche sulle nascite mostrano che vi sempre una leggera

prevalenza numerica dei maschi sulle femmine.

Allo scopo di chiarire, nellambito della concezione oggettiva, la distinzione teorica tra probabilit e frequenza stata proposta una definizione detta frequentistica, secondo la quale la probabilit di un evento il limite dellafrequenza dellevento al crescere del numero di prove.

Si afferma, in altri termini, che quanto maggiore il numero di prove, tanto minore tende ad essere la differenzatra la frequenza e la probabilit, ma non nel senso rigorosamente matematico. Perci questo concetto di tendenza,solo in parte empiricamente verificabile (dato che non si pu eseguire un numero infinitamente grande di prove),resta piuttosto generico e sminuisce il pregio della definizione.

(Ma forse pi giusto sarebbe dire che il concetto di tendenza cos inteso sembra essere quello di congiunzione o

quanto meno uno degli innumerevoli aspetti di correlazione tra la concezione oggettivistica e quella soggettivisticadella probabilit).

La Probabilit in senso soggettivo

La probabilit di un evento irripetibile, come ad Es., la scoperta di un farmaco contro una malattia attualmenteincurabile, e in generale la probabilit che una ipotesi come una teoria scientifica,sia vera non pu essereconcepita in senso oggettivo, perch non ha pi significato parlare di frequenza!

In questi casi si possono fare solo valutazioni soggettive di probabilit sulla base delle informazioni che sihanno.

Al riguardo, per, alcuni pensano che nel campo scientifico non siano ammesse valutazioni soggettive e ritengonoche la probabilit di una ipotesi non si possa conoscere altri , invece, sono convinti del contrario sostenendo anziche la probabilit deve essere sempre concepita in senso soggettivo, opponendo un netto rifiuto a qualsiasiconcezione oggettiva della probabilit.

La controversia di natura epistemologica e ha dato origine ad una vasta letteratura.

Ma non vi dubbio che la concezione soggettiva appare la pi plausibile, se si ammette che la probabilit siriferisce piuttosto che allestrinseco evento si verificato o si verificher e che ha sempre la natura di una ipotesi, laquale soltanto vera o falsa.

In senso soggettivo, si definisce la probabilit di un evento come il grado di fiducia che un individuo ripone nel

verificarsi delleventoE per da notare che in questa ed altre analoghe definizioni, si fa riferimento ad unindividuo che, nel tenere conto di tutte le informazioni di cui dispone, si comporta in modo coerente o razionale equindi tendenzialmente obiettivo.

Giova anche sottolineare che le dispute sul concetto di probabilit attengono allavalutazione delle probabilitdegli eventi e non al trattamento matematico delle probabilit stesse,vale a dire al calcolo delle probabilit,disciplina che pu essere sviluppata, in forma assiomatica,come la geometria, e la cui validit sostanzialmentecondivisa da tutti.


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Per quanto riguarda le applicazioni alla statistica la concezione soggettiva della probabilit consente di dareallinferenzastatistica (Circolo di Vienna) cio al complesso dei metodi per lo studio delle popolazionistatisticheper mezzo di campioni casuali da esse estratti, una impostazione diversa da quella classica, che fondata invece, sulla concezione frequentistica della probabilit.

Infatti se si ammette che siano valutabili, sulla base di informazioni preliminari,le probabilit delle possibili

ipotesi intorno alle caratteristiche di una popolazione diviene lecito utilizzare,successivamente, le informazionifornite da un campione casuale,estratto dalla popolazione, per modificare le probabilit assegnate inizialmente alleipotesi, secondo un teorema del calcolo delle probabilit noto come teorema di Bayesper tanto questaimpostazione dellInferenza statistica verr detta Bayesiana o neobayesiana.

Tuttavia, nelle pi comuni applicazioni, nonostante limpostazione teorica sia molto diversa, i metodidellInferenza statistica classica e bayesiana conducono praticamente agli stessi risultati.

La logica formale delle proposizioni

Spesso un evento viene definito per mezzo di altri eventi e in tal caso, la sua probabilit dipende e pu essere

quindi ottenuta,dalla probabilit di questi eventi elementari, secondo precise relazioni matematiche,che stanno allabase del calcolo delle probabilit.

Per stabilire quali relazioni sono applicabili nei singoli casi, utile per analizzare la proposizione che descrive inche cosa consiste il verificarsi dell evento , cercando di porla in una forma tale da far apparire che essa costituitada pi proposizioni, affermative o negative riguardanti singoli eventi,legati fra di loro con le particelle e ed oAd es., dati 2 mazzi di 40 carte ciascuno e supponendo di scegliere a caso una carta per mazzo, si voglia calcolarela probabilit di estrarre due assi o due carte di oro.

E evidente che la proposizione messa tra virgolette implicitamente formata da 4 proposizioni che rappresentanoaltrettanti eventi elementari,legate come segue:

estrarre un asso dal primo mazzo ed estrarre un asso al secondo mazzo.

Le particelle e ed o vanno usate con lo stesso significato che hanno nella logica formale,dove servono aformare rispettivamente la congiunzione e la disgiunzionedi pi proposizioni.

Invero secondo gli studi logica ,una proposizione presente rispetto alle altre forme del linguaggio, la caratteristicapeculiare di poter essere affermata o negata in modo significante quindi di essere suscettibile di verit o falsit.La negazionedi una proposizione che si forma, di solito,mettendo la particella non davanti al verbo principale, unaltra proposizione data vera in tutti i casi in cui la proposizione data falsa.

Perci ad Es., negare la proposizione si estrae un asso vale a dire affermare che non si estrae un asso, significache si estrae qualsiasi altra carta che non un asso.

Con riferimento ad un evento, la negazione viene generalmente detta evento contrario e se si indica levento conuna lettera ad es. e si usa porre il segno - sopra di essa cio levento contrario si scrive .

La congiunzione si forma legando pi proposizioni con la particella e ed una proposizione vera se tutte leproposizioni date sono vere e false se esse non sono tutte vere.

La congiunzione associativa e commutativa, come laddizione e la moltiplicazione, ma a differenza di questeultime, idempotente nel senso che la congiunzione di una proposizione con s stessa la proposizione data.


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La disgiunzione si forma legando pi proposizioni con la particella o ed una proposizione vera se almenouna delle proposizioni date vera ed altrimenti falsa.

E da notare, che al riguardo, la particella o pu essere usata in senso elusivo corrispondendo alla parola latinaaut sia in senso non esclusivo con la parola latina vel.

Nel primo caso la proposizione vera se esattamente una delle componenti vera ed , quindi,falsa se tutte lecomponenti sono vere; nel secondo vera anche se tutte le componenti sono vere.

Nella disgiunzione, come appare dalla definizione data dalla particella o ha sempre il senso non - esclusivoCos ad es., la disgiunzione si estraggono due assi o due carte di oro va intesa nel senso che levento si verificaanche se si estraggono due assi di oro.

Anche la disgiunzione associativa, commutativa,e idempotente, nel senso che la congiunzione di unaproposizione data,come abbiamo visto.

Nella logica formale, come si gi avvertito, una proposizione suscettibile soltanto di verit o falsit , che sidicono valore di verit, e la negazione, la congiunzione e la disgiunzione sono considerate funzioni di verit

perch la loro verit o falsit si desume dalla verit e falsit delle proposizione date.Nel calcolo delle probabilit invece, la verit e la falsit sono i valori estremi di una scala numerica dellaprobabilit che corrispondono,rispettivamente, allevento certo e allevento impossibile e la probabilit daattribuire ad una negazione, congiunzione o disgiunzione si determina sulla base delle probabilit attribuite aglieventi elementari considerati.

Concezioni delle probabilit

1 Concezione classica o di La Place

Dato levento E, se con X indichiamo i casi favorevoli al verificarsi dellevento prefissato, e con N il numero deicasi possibili favorevoli e sfavorevoli (i possibili casi a priori con N>X) e con P (E) la probabilit delleventopurch gli N casi possibili siamo egualmente possibili

P(E)= /N = (E)/(E)+()

Dunque la concezione classica o di La Place enuncia che la probabilit un rapporto tra il numero dei casifavorevoli al verificarsi di un evento diviso il numero dei casi possibili :

P(E)=/N

Per tanto una concezione vicina al giuoco dazzardo.

Un probabilista francese Renoir in Inghilterra invece di frequentare laccademia frequentava le taverne forse peraffinare i suoi studi sulla probabilit o per allontanarsi dai suoi colleghi del resto uno dei giuochi pi diffusi nelletaverne era la Zecchinetta.

A tale definizione vengono fatte accuse di circolarit in quanto lequipossibilit uguale allequiprobabilit, e dilimitata applicabilit visto che presuppone la conoscenza a priori di. tutti i casi possibili e di tutti i casisfavorevoli.

Tale concezione della probabilit a priori ed matematica.


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Vediamo di formalizzare:

se con indichiamo il numero dei casi favorevoli allevento,e con N il numero dei casi possibili.e con P il numero dei casi favorevoli e possibili .

Avremo quindi:; N= + ; P= /+.

Cos per i classici la probabilit il rapporto tra la concezione a priori dellevento e matematica

P=/+

Quando La Place riprende la concezione dir: .

Questa una tautologia in quanto nel definire cosa significa equiprobabile abbiamo il definendum =il definienscos la possibilit = equipossibilit: se nellultimo ce il primo termine tautologico;

cos::la probabilit definita dalla probabilit .

Es., nel lancio del dado, la probabilit che esca P(4) di. tutti i casi possibili e di tutti i casi sfavorevoli uguale a1/6 se le facce sono equiprobabili,ma se il dado truccato avremo una diversa probabilit..

Questa cos una concezione a priori perch presuppone che si conoscono gi a priori i casi favorevoli e i casipossibili ,in mancanza di tali conoscenze inutilizzabile..

A cavalo tra 8000 e 700 col sorgere delle compagnie di assicurazione non saranno pi sufficiente conoscere solo icasi favorevoli o possibili, infatti la probabilit di morte di un collettivo il rapporto tra il numero dei mortiannuali e quello degli esposti da cui::

N morti annuali/N esposti=fi

Non emerge una probabilit a priori ma una frequenza relativa.

2 Concezione frequentista di Von Mises

Dato levento E, se con indichiamo il numero dei casi in cui si verificato levento ,con N il numero delle proveeffettuate sotto le medesime condizioni e con f= /N la frequenza relativa dellevento, avremo

P(E)= lim fn

se aumenta il numero delle prove la frequenza dellevento converge al valore della probabilit dellevento stesso, laprobabilit dellevento che tende allinfinito tende a verificarsi.

Tale definizione viene giustificata dalla legge empirica del caso.

La sua applicabilit presuppone la ripetibilit delle prove e degli eventi .questa concezione della probabilit aposteriori.

La probabilit di un evento essendo spesso difficilmente calcolabile la si pu stimare per mezzo della frequenza concui si osserva in un numero elevato di prove.


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Il principale esponente di tale concezione il Circolo di Vienna nella persona del Von Mises, questa concezionenasce dalla critica mossa alla concezione classica che continuava a ritenere che dovesse sempre esservicorrispondenza tra la probabilit e la frequenza intesa come il rapporto tra il numero delle prove in cui levento si verificato e il numero delle prove eseguite dove per prove si intende ogni volta che si realizzano condizioni sempreidentiche tra loro entro le quali un evento di un tipo pu verificarsi.

Ma si comprese che la definizione classica non possedeva un tale carattere di generalit da potersi applicare aqualsiasi evento, infatti per potere parlare di diverse prove di uno stesso evento e quindi di frequenza di esso,bisogna intendere il concetto di evento in modo generico e astratto. Non invece possibile parlare di frequenza diun evento se si d alla parola evento un significato specifico, concreto, riferito in sostanza ad una sola esperienzalevento pu allora soltanto verificarsi o non verificarsi .

Dunque se si fanno effettivamente delle prove con una osservazione sistematica, si pu calcolare un altrorapporto,che ha una certa analogia con la probabilit e che si chiama frequenza o meglio frequenza relativa:

f=R/N

Se si fanno N prove e in esse levento si realizza R volte, cio si hanno R successi, la frequenza il rapporto fra il

numero dei successi cio il numero dei successi cio il numero delle prove riuscite ed il numero delle prove fatte.Es.: per levento la cui probabilit di 1/6, possiamo calcolare lafrequenza facendo 15 lanci.

Se la faccia 3 uscirebbe 4 volte, 4 sarebbe il numero dei successi e la frequenza sarebbe di 4/15.

Pertanto frequenza e probabilit sono due concetti diversi che non vanno confusi: la probabilit si calcola a prioriin base alle nostre conoscenze sui numeri dei casi possibili e favorevoli se si in grado di contarli mentre lafrequenza si calcola a posteriori dopo unesperienza determinata da pi prove o da un complesso di osservazionisistematiche e in generale,la frequenza si calcola a posteriori dopo unesperienza determinata da pi prove o da uncomplesso di osservazioni sistematiche e in generale, la frequenza cambia ripetendo lesperimento o losservazione,

se la probabilit dellevento sempre di mentre se la lanciamo 30 voltepotremo avere un risultato di 13 volte testa e la frequenza sar allora di 13/30 ma lanciando nuovamente 30 voltela moneta possiamo trovar un risultato ancora diverso e cos via,bench i casi sono tutti egualmente tutti possibilie tutti equibrobabili .

la frequenza naturalmente compresa fra 0 e 1 come la probabilit; pi precisamente si ha la frequenza 0 selevento non si mai verificato ma non detto che sia impossibile;si ha frequenza 1 se levento si sempreverificato ma non detto che sia certo.

Intuitivamente si immagina che esista una relazione fra frequenza e probabilit ; si ha precisamente che : su ungrande numero di prove, fatte tutte nelle stesse condizioni, la frequenza di un evento assume valori molto vicinialla probabilit.

Questa legge che esprime una relazione fra frequenza e probabilit non dimostrabile ma si accetta come validaperch confermata dallesperienza.

Cos dato che la probabilit che esca testa nel lancio di una moneta di si pensa che la frequenza su un grandenumero di prove sia circa e quindi che ad esempio su 1000 prove esca testa circa 500 volte.

La legge empirica del caso della massima importanza in pratica essa permette:

di assumere la probabilit di un evento come previsione approssimata della frequenza con cui esso si realizzerin un grande numero di prove.


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Cos su 1000 lanci di moneta si prevede che uscir testa circa 500 volte, la frequenza effettiva potr per esserediversa da 500/1000 ma la differenza, lo scarto relativo, sar presumibilmente molto piccola/o.

E anzi questa la interpretazione consueta della probabilit cio quando si dice che un evento ha probabilit diverificarsi , si pensa subito che quellevento si presenter circa una volta su quattro,naturalmente quando facciamomolte prove.

permette altres di:

assumere la frequenza, calcolata in un grande numero di prove, come misura approssimata della probabilit,quando non si sappia contarla secondo la definizione.

Cos facendo 1000 prove di un evento esso realizza 400 volte, la frequenza 400/1000=0,4 e dato che il numeroche il numero delle prove grande, si pu ammettere che la probabilit dellevento sia 0, 4.

Occorre ricordare in proposito che capita spesso di considerare eventi per i quali non si sa calcolare direttamente laprobabilit in base alla definizione allora se possibile fare numerose prove,nelle stesse condizioni o delleosservazioni ripetute, si pu calcolarne la frequenza e assumere questa come stima approssimata della

probabilit.Si perviene in definitiva alla definizione:

Secondo la teoria frequentista la probabilit il valore al quale tende la frequenza quando il numero delle proveeseguite cresce indefinitivamente:

P= lim /N

Quindi questa non ha una giustificazione logica accettandola valida perch confermata dallesperienza unicoprincipio la legge empirica del caso e la legge dei grandi numeri :

man mano che il numero delle prove cresce, nel rapporto al numero delle prove cresce, nel rapporto al numero dei

casi , convergendo verso la probabilit o meglio al limite della probabilit.Ma questo non un limite matematico.

Dimostriamo:

se lanciamo una moneta dove levento favorevole il verificarsi di testa avremo su un lancio una probabilit cheesca testa:

testa= 1/1 = P1

man mano che lanceremo la moneta, sistematicamente i risultati si stabilizzeranno lungo un limite di probabilitstatistica che secondo i matematici frequentisti dato dal rapporto tra il numero dei risultati aspettati e quellodelle prove effettuate che tende al limite, secondo la legge dei grandi numeri e quella empirica del caso

M=10;T7=0,7m=50;t30=0,6

1/2


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Se lanciamo la moneta 10 volte ottenendo 7 volte testa e 3 volte croce e ancora 50 volte ottenendo 30 volte testa e20 volte croce cos se la lanciamo 3000 volte avremo:

testa 53825-46175croce= 7650 se rapportato avremo: 0,53825.

Questo risultato possibile dunque in base alla legge dei grandi numeri che si fonda sulla legge empirica del

caso;ma i matematici non credono alla legge del caso ed utilizzano il =3,14

Dunque si afferma quindi che quanto maggiore il numero delle prove,tanto minore tende ad essere la differenzatra la frequenza e la probabilit. Tale definizione viene cos giustificata dalla legge empirica del caso e la suaapplicabilit presuppone la ripetibilit sistematica delle prove e degli eventi ne consegue pertanto il concetto ditendenza e solo in parte verificabile, visto proprio lesperienza che dovrebbe dimostrarlo,dato che non si possonosempre effettuare un numero di prove infinitamente grande e sistematicamente.

Tale concezione della probabilit detta a posteriori e statistica. Ma siamo sicuri delloggettivit deglienunciati?quella originaria col grado di fiducia diverr la nuova tendenza, ma sorge in contrapposizione alla teoriafrequentista.

Nella concezione della Probabilit si afferma la concezione soggettivistica che ha nel De Fintti il maggioreesponente, questi insiste sul concetto di grado di fiducia individuale:

ogni individuo assegna al verificarsi di un evento un certo grado di fiducia a condizioni per che questi sileghino al principio di coerenza e di razionalit.

3 Concezione soggettivistica del De Finetti, Ramsey e Savage:

Dato levento E o la proposizione o ancor meglio lipotesi H , la P(E) o P (H) il grado di fiducia che un individuopone al verificarsi dellevento o nella validit della proposizione o ipotesi enunciata.

Alla componente soggettiva viene assegnato un ruolo preminente, condizionato per, dal rispetto del principio di

coerenza e di razionalit.Vediamo il fondamento concettuale soggettivistico:

Salvo casi eccezionali, la conoscenza di un determinato evento varia da individuo a individuo, essa dipende dalgrado di informazione che si ha e quindi soggettiva.

Alla luce di tale premessa si d la seguente definizione:

Secondo la teoria soggettiva la probabilit la misura del grado di fiducia che un individuo coerente assegna, inbase alle sue conoscenze, al verificarsi di un certo evento.

In pratica la determinazione della probabilit di un evento E deve essere pensata come segue: se C e la somma cheun individuo disposto a pagare per incassare la somma C al verificarsi di E, la probabilit data da

P=C/C

Evidentemente:

1)se quellindividuo ritiene che levento E sia impossibile alloran disposto a pagare C=0 e si ha P=02)se invece ritiene che levento E sia certo disposto a pagare al massimo C=C e si ha P=13)in ogni altro caso egli stimer la probabilit dellevento 0>E


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In quanto detto sta la coerenza dellindividuo, coerenza alla quale abbiamo accennato nel dare la definizione.

E quindi,evidente che la soggettivit dellimpostazione non pu dare origine ad alcuna valutazione arbitraria diprobabilit, cio ad alcuna valutazione che non rispetti la logica del calcolo delle probabilit.

Per chiarire come avvenga in concreto la determinazione della probabilit in base alla teoria soggettiva

consideriamo il seguente esempio:

Supponiamo che una persona sia disposta a puntare su un cavallo, pagando a fondo perduto 1000 per ottenere4000 in caso di vittoria. Ci vuol dire che per quellindividuo levento :

E:vince il cavallo su cui puntaEd ha probabilit di verificarsi:P=1000/4000=0,25

Osservazioni:

La teoria classica permette il calcolo della probabilit di un evento quando si sappia dire quanti sono i casi

favorevoli sui casi possibili dunque equiprobabili.Ci non sempre possibile o comunque agevole;

La teoria frequentista permette il calcolo delle probabilit di un evento quando si pensa che tale evento possaessere ripetuto in qualsiasi numero di volte in modo sistematico. In caso contrario non si pu parlare di probabilitdellevento considerato in senso frequentista;

La teoria soggettivistica permette di formulare una stima della probabilit di un evento in qualsiasi caso.

Deriva da ci che essa stessa ha u un campo illimitato di applicazione permettendo di parlare di probabilit di unevento anche nel caso in cui non sarebbe possibile in base alle precedenti teorie, e questo il caso di tipici eventi di

natura politica, sociale, economica, ecc..Tralasciando la concezione classica le due scuole che oggi si contendono il campo sono la concezione frequentista ela concezione soggettivistica.

La concezione frequentista di impostazione oggettiva e utilizza unapproccio di tipo inferenziale ,di tipofisceriano nei metodi.

La concezione soggettivisti utilizza il teorema delle cause di stampo Bayesiano.

Ma se possiamo considerare le due concezioni quella classica e frequentista anche soggettive considerando il DeFinetti che contrapponendosi a La Place diceva: la concezione soggettivistica non una definizione di probabilit il calcolo delle probabilit.

Vediamo come possiamo trattare le concezioni oggettive come soggettive:

se la probabilit del verificarsi di un evento data dal rapporto dei casi possibili, in quale caso si verificher?Il concetto di probabilit abbastanza intuitivo. E intanto evidente che ci sono degli avvenimenti o eventi certi edegli eventi impossibili.

Cos certo che in una estrazione, il primo estratto del lotto sulla ruota di Milano sar un numero minore di 100ed altres certo che possiede tutti i biglietti di una lotteria vincer il primo premio di questa.


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E invece impossibile che lanciando un dado, esca il numero 7 ed impossibile che estraendo 5 carte da un mazzo di40 risultino tutti re, ecc..

Ma vi sono moltissimi eventi di cui non sappiamo dire con sicurezza se si realizzeranno oppure no: sono eventipossibili ma incerti. Tra gli incerti assumono un particolare significato gli eventi che chiamiamo aleatori o casualiquelli cio il cui verificarsi dipende da una moltitudine di cause incontrollabili ognuna di per s trascurabili.

Per esempio nel lancio del dado, apparentemente un lancio non differisce da un altro, ma nella realt variazioniimpercettibili della forza con cui si lancia il dado stesso, o, nelle resistenze incontrate dallo stesso nella traiettoria,fanno in modo che esca una volta faccia, unaltra volta unaltra faccia e cos via, o, che esca sempre la stessa Oraconsiderando pi eventi, che non siamo n certi n impossibili si ha intuitivamente lidea che essi possano avere undiverso grado di possibilit di verificarsi.

Cos sono gli eventi possibili aleatori la vincita di un ambo e quella di un terno al lotto, tutti sono daccordo che siapi facile che una carta estratta da un mazzo sia una figura piuttosto che un asso, dato che un mazzo di cartecontiene 12 figure e solo 4 assi, e cos via.

Dire che un evento si verifica pi facilmente di un altro come dire che pi probabile che si verifichi, dellaltro. Si

pu rappresentare solo levento pi probabile o quello meno probabile.Se pensiamo al lancio dei dati, supponiamo che ogni lancio sia uguale ad un altro in termini di possibilit che siverifichi levento atteso ,eppure ogni lancio diverso da un altro, anche quando il dado non sia truccato maperfettamente equilibrato e tante possono essere le variabili cause o modalit delle diversit della posizione deldado alla forza impiegato per lanciarlo al modo in cui durante il lancio si muove il dado finanche al modo in cui siferma, ma comunque sempre latto di un uomo che d la forma ad un lancio e questo basta per definizione pernon considerare il lancio perfetto anche se il dado equilibrato visto che la perfezione non degli uomini.

Dunque come vediamo attribuiamo la equiprobabilit e consideriamo equiprobabili i casi possibili in termini difiducia determinati sulla base delle conoscenze acquisite attribuiamo la probabilit del verificarsi levento atteso osperato.

Cos questo se non un atteggiamento soggettivo?

Gli eventi sono dovuti al caso

Sostenere che molte volte gli eventi sono dovuti al caso pu essere fuorviante e generare qualche disinterpretazionecome se il caso causasse levento per cui sarebbe causa, ma cos non .

Ma occorre precisare e dire che levento casuale quando accade sotto la legge del caso, quando nessun fattoreesterno ne possa influenzare o mutare i risultati o semplicemente tende a influenzare levento o il suo verificarsi.

Adesso riprendiamo Alee iacta estle due concezioni oggettive e le riportiamo a soggettive:

La Place: P=x/n

Il dado stato fatto dagli uomini non sar dunque perfetto ed avr un qualche seppur piccolo difetto che lo rendenon equilibrato mentre al contempo il lancio fatto in un certo modo.

P(4/H1 H2) 1/6 (posto le ipotesi H1 E H2)


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Si rivolge allevento o allipotesi che formuliamo e assegniamo, dunque affinch esista 1/6 devono verificarsi le dueipotesi.

P=lim fn n

Se lanciamo infinite volte una moneta, le prove devono esser fatte sotto le medesime condizioni ma ci pu nonessere fatte sotto le medesime condizioni ma ci pu non essere realizzato per cui ogni lancio avr peculiaritproprie che lo differenziano dagli altri lanci impedendo univoca osservazione sistematica solo soggettivamenteconsideriamo ogni lancio un caso possibile di equiprobabilit di verificarsi levento atteso o sperato.

Il soggettivista calcola la probabilit del verificarsi di un evento come il frequentista e viceversa.

Consideriamo due enunciati:

qual la probabilit che si verifichino le facce 2-4-6 sul lancio di 3 dadi?

Qual la probabilit che lavversario bari?

Risposte:

E una delle 216 probabilit di eventi che si possono rificare: P(2,4,6)=3/216.

E una probabilit di ipotesi che bari: P(baro)=0,1

Principi del calcolo delle probabilit

Considerazioni generaliIl calcolo delle probabilit come si dice anche senza, per, lonor del vero stato inizialmente studiato ed applicatorelativamente ai giuochi di pura sorte o dazzardo , da qui laggettivo francese Hasard che significa caso applicatoad essi, giochi di pura sorte o dazzardo di cui si conosce il meccanismo da come fatto il dado a come compostalurna e cos via.

Per essi il calcolo dei numeri dei casi possibili e favorevoli e in linea di massima ovvio ed pure agevole fare moltiesperimenti costituiti da numerose prove in modo sistematico e quindi controllare la validit della legge empiricadel caso. Ma passando ad eventi di tuttaltra natura, come quelli delle pi importanti applicazioni del calcolo delleprobabilit di cui si possono determinare le probabilit in base alla definizione.

Generalmente si ricorre alla stima della probabilit in base alla frequenza, utilizzando la legge empirica del caso.Infine vi sono gli eventi per i quali la probabilit non neppure calcolabile in base alla frequenza perch non possibile fare numerose prove o perch si tratta di eventi unici, tali sono per esempio gli eventi connessi ai giuochiin cui interviene labilit dei giocatori, ai risultati elettorali , ecc.

In questi casi si pu parlare di probabilit solamente in senso soggettivo.


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Primo Principio

Sia A un evento o una proposizione o ipotesi e P (A) la sua Probabilit compresa tra o e 1:

0P(A)1

Se P(A)=0 A impossibile che si verifichi o falsa.

Se P(A)=1 A un evento certo o vero.

Questo principio identico per tutte le altre tre correnti:

per i frequentasti la Probabilit il limite del rapporto tra il numero dei casi in cui levento si verifica diviso ilnumero delle prove che tende allinfinito.

Se lanciamo infinite volte un dado ma non esce mai il numero 4 allora questa una impossibilit fattuale nonlogica forse perch il dado non perfettamente equilibrato:

P(4)=0/NOppure lanciando infinite volte il dado qual la probabilit che esca il numero 7? Nessuna ,ma questa unacertezza logica.

P(7)=0/N

Se p=0 un evento impossibile

Se p=1 un evento certo

A tutti gli eventi vengono attribuiti in base alle conoscenze dei gradi probabilit di verificarsi; pi levento tende a

zero e meno probabile che si verifichi pi levento tende a uno e pi probabile che si verifichiSi pu rappresentare solo levento meno probabile o quello pi probabile..

E ci non ci conduce ad una valutazione deterministica di tipo soggettivo?

Il soggettivista calcola la Probabilit come il frequentista e il frequentista la calcola come il soggettivista.

Secondo principio

Dati due eventi la cui probabilit che se ne verifichi almeno uno si ottiene sommando la probabilit che si verifichiil primo e la probabilit che si verifichi il secondo e sottraendo poi la probabilit che si verifichino entrambi glieventi, cio:

P(A o B)= P(A)+ P(B)- P(Ae B)

Dove Ao B indica lunione dei due eventi e A eB la loro intersezione.Dunque :dati due eventi A e B con probabilit rispettivamente P(A) e P (B) la probabilit che uno dei due eventi siverifichi minore o uguale alla somma delle singole probabilit:

P(A o B)p(a) +P (B)

questa detta disuguaglianza di Bool,computiamo due volte lintersezione di A e B


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Traduciamo con O questi connettivi :

vel..vel inclusivo: o 1 o altro o entrambiutaut esclusivo: o luno o laltro

SE GLI EVENTI SONO COMPATIBILI

Se gli eventi sono tali da escludersi a vicenda, cio sono fra di loro compatibili e quindi il verificarsi delluno nonesclude il verificarsi dellaltro, il connettivo o ( vel) inclusivo:

P(AoB)= P (A)+ P (B)- P(AB)

In cui P(AoB) cio la probabilit congiunta viene sottratta in quanto come si evince da diagramma di Eulero Vennessa viene computata due volte in P (A) e una volta in P (B)

Esempi:Se levento A lestrazione di una donna da un mazzo di carte e levento B lestrazione di una donna da unmazzo di carte e levento B lestrazione dallo stesso mazzo di carte di picche, gli eventi A e B non si escludono avicenda, perch possono verificarsi contemporaneamente.

Si ha quindi che:

P (donna o Picche)= P (donna)*+ P(picche)- P (donna e picche)= 4/52 + 13/52- 1/52 =16/52=4/13

in tutti i casi in cui vi sono eventi che non si escludono a vicenda, bisogna ricorrere alla formula generale del

Principio delle probabilit totali:P(Ao B)= P(A)+ P (B)= P (A eB)

Dove Ao B indica lunione dei due eventi e A e B la loro intersezione.

Si voglia calcolare, la probabilit che estraendo a caso una carta da un mazzo di 40 carte si abbia una carta dassoo di oro.

Se si indica con A levento asso e con B levento carta doro e si considera che nel mazzo si trovano 4 assi, 10carte di oro e che uno degli assi anche una carta doro si ha:

P(A)= 4/40 =1/10

P(B)=10/40=1/4

P(A e B)=1/40

E la probabilit richiesta risulta:

P(A o B)= (1/10)+(1/4)-(1/40)= 13/40

P(B)P(A)


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Se A indica lunione di N eventi E1, E2.E3 e B indica un evento En+1

Lintersezione di A e B si Pu considerare come lunione delle intersezioni degli eventi E1, E2 , En conEn+1

E applicando la formula generale si ha:

P(E1 o E2 o E n+1 ) = P ( E1 o E2 o ..En )+P(En+1)+-P(E1 e En+1 o E2 e En+1 oo En eEn+1).

Con questa formula si pu calcolare la probabilit dellunione di n+1 eventi, partendo dalla probabilitdellunione di N eventi .

Ad es. nel caso di tre eventi si ha:

P(E1 o E2 o E3)= P(E1 o E2) + P(E3) P(E1 e E3 o E2 e E3)

E poich:

P(E1 o E2)= P(E1) + P (E2) P (E1 e E2) P(E1 e E3 o E2 e E3) =P(E1 e E3) + P(E2 e E3) +- P( E1 e E2 e E3).

Sostituendo nella prima si ha:

P(E1 o E2 o E3 )= P(E1) + P(E2)+ P(E3)+-P(E1 e E2) P(E1 e E3) P(E2 e E3)+ P (E1 e E2 e E3).

Si ricorre dunque, per calcolare la probabilit del verificarsi di eventi compatibili che non escludono a vicenda allaformula generale del principio delle probabilit totali, altrimenti alcuni eventi verrebbero calcolati due volte.

Se dato un mazzo di 52 carte si estrae una carta e ci si chiede qual la probabilit che essa sia una figura (f) o una

carta di quadri (q) per il principio delle probabilit totali avremo:P( f o q ) P (f) + P (q)

Posto che:

P(f)= 12/52 e P(q)= 13/52

P(f o q) 12/52 +13/52

Poich f e q sono compatibili, in quanto in f sono comprese tre figure che sono di quadri e in q tre carte che sonofigure. P(f q), che uguale a 3/52 viene computata due volte quindi

P(f o q)= P (f)+ P (q)- P (f q)Cio:

P( f o q)= 12/52 + 13/52 3/52=22/52=0,423


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In caso di pi di due eventi E1, E2, E3,..,En

Avremo:P(E1 o E2 o E3 o.En)=P(E1) + P(E2) + P(E3)++P(En)+ [P(E1 E2)+P(E1 En)++P(En-1 En)]+[P(E1 E2 E3)++P(E1 En-1En)+_[P(E1E2E3E4)++P(E1 En-2 En-1 En)+.P(En-3 En-2 En-1 En]+....+-*P(E1 E2....En)

*+ se n dispari se n pari: i segni si mettono alternati le probabilit dispari si sommano,quelle pari sisottraggono.

Se gli eventi sono incompatibili

Se gli eventi sono tali da escludersi a vicenda, cio sono fra di loro incompatibili e quindi il verificarsi dellunoesclude il verificarsi delluno esclude il verificarsi dellaltro, il Connettivo o (aut) esclusivo come il diagram ma diVen ci mostra.

Qui il verificarsi delluno che esclude ilo verificarsi dellaltro, fa s che la probabilit che entrambi si verifichino nulla:

P(AB)=0Se quindi la probabilit che gli eventi incompatibili si verifichino insieme nulla perch luno esclude laltro,allorala probabilit che si verifichi uno dei due eventi semplicemente la somma delle probabilit degli eventi stessi:

P(a oB)=P(A)+ P (B)

Esempi:

La probabilit che lanciando un dado si presenti la faccia 3 o la faccia 5 :

P=2/6=1/3

Perch la probabilit che si presenti la faccia 1/6 mentre la probabilit che si presenti la faccia 5 pure di 1/6 e idue eventi sono incompatibili.

Dalla formula delle somme delle probabilit degli eventi si desume una relazione analogica alla classificazionedoppia dei casi possibili in una prova

P(A)+ P()=1

Ossia che la somma delle probabilit di un evento E e dellevento contrario uguale ad uno.

P(A) P(B)


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Infatti gli eventi A=E e B= sono incompatibili e poich uno di essi necessariamente si verifica, la loro unione levento certo cio:

P(E o )=1

E ritornando alla formula delle somme delle probabilit si ha:

P(E)+ P()=1

In generale, dati n eventi E1, E2,..En, fra di loro incompatibili, la probabilit che uno di essi si verifichi ugualealla somma delle probabilit dei singoli eventi, qui la particella o ha carattere esclusivo di aut:

P(E1 o E2.. o En)= P (E1)+ P(E2)++P(En)

Questa relazione nota come principio delle probabilit totali.

Esempio:

Dato un mazzo di 52 carte, se si estrae una carta e ci si chiede qual la probabilit che essa sia o un asso (A) o unre (K), poich i due eventi sono incompatibili e quindi P(AK)=0 avremo:

P(A o K)0 P (A)+ P(K)Sapendo che P (A)= 4/52 e P(k)= 4/52

P(A o K)=4/52+4/52=8/52= 0,1538

Per di pi di due eventi avremo: P(E1 o E2 oEn)=P(E1)+P(E2)++P(En)Ci perch le probabilit congiunteP(E1E2)P(E1 E2 E3)..P (E1 E2 En) sono nulle.Anche in caso di pi eventi se tra loro incompatibili la probabilit totale sar uguale alla somma delle singoleprobabilit di verificarsi di ognuno degli eventi.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEGLI INSIEMI

aAA

Se sono insieme non disgiunti hanno una intersezione quale insieme A e in B uguale a tutti gli elementi esistenti inA e quelli esistenti in B a cui sottraiamo gli elementi comuni dellintersezione.

Se lintersezione un insieme nullo in quanto non esiste nessun elemento in comune viene detto insieme vuoto.

A B

A B


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Cos la probabilit che si verifichi levento A e levento B uguale alla probabilit dei singoli eventi:A B

P(A) P(B)

DISUGUAGLIANZA DI BOOL

Se gli eventi sono compatibili avremo: P(A)+P(B)-P(AB)

Se gli eventi sono incompatibili avremo:P(A)+P(B)


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c)per levento E sono casi favorevoli tutte le palline bianche e quelle rosse il cui numero b+r, e la probabilit :

p=b+r/n= b/n+ r/n

ovvero il numero delle palline estratte/il numero delle palline nellurna.

Il teorema applicabile solo nel caso di due eventi parziali incompatibili.; pi precisamente gli eventi, se sono pidi due, devono essere incompatibili a due a due.

Cos gli eventi ad esempio allestrazione di una carta da un mazzo saranno:

E: che la cara sia una figura

E :che la carta sia un asso

E :che la carta sia di cuori

Non possono verificarsi insieme; per non sono incompatibili a due a due, perch E ed E sono compatibili e cos

pure E e E.Terzo principio:

Dati due eventi, A e B per definizione compatibili con probabilit rispettivamente, P(A) e P (B), la probabilit chei due eventi si verificano congiuntamente uguale al prodotto della probabilit dellevento A per la probabilitcondizionata dellevento B posto che si sia verificato levento A, o al prodotto della probabilit dellevento B perla probabilit condizionata dellevento A posto che si sia verificato B.

Questo il principio moltiplicativo o delle probabilit composte che si esprime con la relazione:

P(A e B)=P(A)P(B7A)=P(B)P(A/B)

Dunque la relazione nel calcolo delle probabilit si pu anche enunciare:

dati due eventi A e B, la probabilit che entrambi si verifichino uguale al prodotto della probabilit P(A) che siverifichi A per la probabilit di P(B/A) che si attribuisce a B,quando si sappia che A si verificato, ed uguale alprodotto della probabilit P(B) che si verifichi (B) per la probabilit P(A/B) che si attribuisce ad A,, quando sisappia che B si verificato.

Le probabilit P(A/B) e P (B/A)sono dette condizionate o subordinate.

In generale dati n eventi E1, ,E2En,compatibili e dipendenti,la probabilita che si verificano congiuntamente uguale P(E1 e E2 e .En)= P(E1) P (E2/E1)P(En/E1E2.En_-1)

Se P(B/A) = P (B) e quindi, P /A/B)= P (A) cio se il verificarsi di B non modifica la probabilit di verificarsi A,gli eventi sono detti stocasticamente indipendenti.

Sostituendo queste uguaglianze in P ( AeB)= P(A) P (B/A) = P(B) P (A/B) si avr P(AeB)= P(A)P(B)

Dunque nel caso in cui i due eventi sono stocasticamente indipendenti la probabilit che essi si verificanocongiuntamente data dal prodotto delle due probabilit.

Sempre in generale si pu affermare che dati N eventi compatibili e indipendenti, la probabilit che si verificanocongiuntamente uguale al prodotto delle rispettive probabilit


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P(E1 e E2 e ..e En)=P(E1)P(En)

ESEMPIO

Dato un mazzo di 52 carte,se si estraggono due carte consecutivamente la probabilit che la prima estratta sia un

asso (A) e la seconda sia un re (K) per il principio delle probabilit composte avremo:

P (AeK) = P (A) P (K/A)

Avendo tolto una carta. abbiamo modificato il mazzo per cui avremo:

P ( A K) = 4/52 . 4/51 = 16/2 . 652 = O,OO6O

In cui 4/52 la probabilit che esca la prima carta e 4/51 la probabilit che esca la seconda posto che la prima sisia verificata.

Queste sono dette probabilit condizionate,lestrazione dellaso modifica la struttura del mazzo e quindi la

probabilit di verificarsi il secondo evento.In questo caso si dice pertanto che i due eventi sono dipendentistocostaicamente perch il modificare il verificarsi di un evento modifica la probabilit del verificarsi dellaltro.

Come vediamo lindipendenza un concetto simmetrico.

Se dopo lestrazione della prima carta,questa viene riposta nel mazzo la struttura del mazzo rimane nonmodificata e cos rimane immodificata la probabilit e quindi:

P (K/A) = P (K) dunque P ( A e K) = P (A) P (K) avremo: P(A e K) = 4/52 x 4/52 =16/2.704=0,0059

In q1uesto caso gli eventi sono detti stocosticamentche indipendenti cio se si tratta di eventi indipendenti:

P (AB)Se la p( B/A ) = alla p(A) e pertanto la p( A/B )= alla p(B) sono eventi incondizionati

Il modificare le condizioni non modifica le probabilit.

Le probabilit sono la somma delle singole probabilit degli eventi dati.

Si voglia ad esempio calcolare la probabilit scegliendo a caso due carte da un mazzo di 40 carte si abbiano dueassi. Immaginando di estrarre prima una carta e dopo averla messa da parte,di estrarre una seconda carta.

Si indichi con A levento che la prima carta sia un asso e con B levento che la seconda carta sia pure un asso.

La probabilit di A : P(A) = 4/40 =1/10 e se A si verifica nel mazzo rimangono 3 assi su 39 carte cio: P(B/A) =3/39 = 1/13 pertanto la probabilit richiesta : P(A e B) = (1/10) (1/13) = 1/130

La relazione si estende facilmente a pi di due eventi immaginiamo con 3 eventi:

Se sono incompatibili in base al teorema delle probabilit totali gli eventi incondizionati,la probabilit sar ugualealla somma delle singole probabilit e si avr

P (A U B U C ) = P (A) + P (B) + P (C)


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Cos se si volesse conoscere la

P ( K U Q U J ) = P (K) + P ( Q ) + P ( J ) ==4/52 + 4/52 + 4/52

Se gli eventi invece non si escludono a vicenda dovremo computare gli eventi e la probabilit sar unentitadditiva, cos sommiamo le probabilit di A ,B, C

sottraendole_[ P (A B ) + P ( A C ) + P ( B C ) } +

poich nel sottrarre le probabilit a due a due, dobbiamo aggiungere lintersezione:

.+ P ( A B C ) =

Seguendo la regola del calcolo matriciale:si sommano le probabilit una ad una,si sottraggono due a due,sisommano tre a tre ecc.

Se dispari: lultima probabilit una somma, se pari una sottrazione,dunque dati N eventi,per calcolare laprobabilit che tutti insieme si verifichino, basta considerare gli n eventi in un ordine qualsiasi ed eseguire ilprodotto delle probabilit,posto che il primo evento si verifichi per la probabilit che si attribuisce al secondoevento,quando si sappia che il primo si sia verificato,per la probabilit che si attribuisce al terzo evento,quando sisappia che i primi due si siano verificati e cos via.

Cos riprendendo lesempio del mazzo di 40 carte prima considerato,se si, cerca la probabilit che estraendo a casotre carte,si abbiano tre assi applicando la formula della relazione si ha:

P ( A e B e C ) = ( 1/10 ) ( 1/13 ) ( 1/19 ) = 1/ 2:470

Poich:se le prime due carte estratte sono assi,alla terza estrazione rimangono nel mazzo due assi su 38 carte e la P(C/A e B ) sar uguale a 2/38 = 1/19

Come anche prima abbiamo visto un importante caso particolare della relazione si ha quando linformazione chelevento A o q2uello B si verificato non modifica la probabilit dellevento B o dellevento A dunque:

P ( B / A ) = P ( B ) e la P (A/B ) = P ( A )

In tale caso, gli eventi A e B si dicono stocasticamente indipendenti.

Ad esempio,la probabilit che estraendo a caso una carta da un mazzo di 40 carte si abbia un asso, evento A P ( A ) = 4/40 = 1/10,mentre la probabilit che si abbia una carta di oro,evento B, P =( B ) = 10/ 40 = Ma se si sa che la carta estratta un asso,la probabilit che sia anche una carta di oro ancora P ( B/ A )=1/14perch uno solo dei 4 assi una carta doro.

Considerato che P (B/A ) = P (B) = 1/4, gli eventi A e B sono indipendenti e la probabilit che entrambi sivirifichino,vale a dire,che si estragga lasso doro P ( A e B ) = (1/01) (1/4) = 1/40 come per altro evidente.

In generale, N eventi si considerano stocasticamente indipendenti se,comunque si scelgano M degli N eventi equalunque sia il numero M,minore di N,il verificarsi di questi eventi non altera le probabilit di verificarsi deglialtri eventi.


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La probabilit che N eventi compatibili e indipendenti E1 , E2En, si verifichino tutti insieme uguale alprodotto delle probabilit dei singoli eventi.

P ( E1 e E2 e En) = P (E1 ) P( E2)..P (En)

Questa relazione nota anche come principio delle probabilit composte. Ad esempio, estraendo da due mazzi di 40carte ciascuno,una carta per mazzo, si, eseguono due prove indipendenti perci ne consegue che:

La probabilit di avere due assi :((1/10) (1/10) =1/100

La probabilit di avere due carte doro :(1/4) (1/4)=1/16

La probabilit di avere due assi doro : (1/40)(1/40)=1/1600

La probabilit che si abbiano due assi o due carte di oro : (1/100)+(1/16)- (1/1600)=115/1600=23/320dato che gli eventi sono compatibili.

Teorema della probabilit composta dal principio moltiplicativo

Se un evento E composto di due o pi eventi E, EEn la sua probabilit il prodotto delle probabilit deglieventi componenti; ovvero la probabilit che si verifichino e luno e laltro degli eventi il prodotto delle loroprobabilit.

Il teorema si dice perci anche teorema del prodotto. Esso richiede per una precisazione, distinguendo il caso incui gli eventi sono indipendenti dal caso in cui non lo sono.

Lenunciazione gi fatta sufficiente nel caso degli eventi indipendenti. Se invece gli eventi componenti sonodipendenti occorre precisare come si deve calcolare la probabilit del secondo evento, dato che essa dipendedallesito del primo.

Ora il teorema aggiunge:

Se gli eventi componenti sono dipendenti nel prodotto si deve considerare, come probabilit del secondoevento,quella calcolata nellipotesi che il primo si sia verificato come si dice, la probabilit del secondo evento subordinata al verificarsi del primo.

Anche qui ci limitiamo a fare una verifica del teorema in due esempi tipici.

Esempio nel caso di indipendenza

Dalla solita urna si estraggono Successivamente due palline, rimettendo la prima nellurna, si considerano i treeventi possibili:

E : che la prima pallina sia biancaE : che la seconda pallina sia rossaE : che la prima pallina sia bianca e la seconda sia rossa.

Gli eventi E e E sono indipendenti, perch la pallina si rimette nellurna, mentre levento E composto daglialtri due.

Indicando con p, p, p, rispettivamente le probabilit dei tre eventi vogliamo dimostrare che:


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p=p . p

ora:per levento E si hanno 6 casi favorevoli su n casi possibili:

p=b/n

per levento E, si hanno r casi favorevoli su n possibili, quindi:

p=r/n

per levento E, i casi possibili sono dati dalle disposizioni con ripetizione di n palline di classe 2, e i casi favorevolisi ottengono associando ognuna delle palline bianche con tutte le palline rosse, una per volta, si hanno cos b . rcasi favorevoli e la probabilit richiesta :

p=b.r/Dn,2=b.r/n2= b/n . r/n

e si verifica subito che coincide con p . p

Il teorema cos verificato nel caso di eventi componenti indipendenti.

Ora si ha che:

per levento E i casi possibili sono (n-1), perch in ogni caso nellurna sono rimaste (n-1) palline i casi favorevoli,le palline bianche, sono b, se la prima pallina estratta non bianca, cio se E non si verificato;sono invece (b-1) seinvece la prima pallina estratta bianca, cio si verificato E; quindi le due probabilit E sono:

p=b-1/n-1 e p=b/n-1

per levento E i casi possibili sono le disposizioni semplici delle n palline di classe due, ei casi favorevoli sono pure

le disposizioni di classe due delle b palline bianche;quindi la probabilit :

p=Db,2/Dn,2= b(b-1)/n(n-1)=b/n. b-1/n-1

e cos si vede subito che coincide con il prodotto p . p e non con il prodotto p . p

Cos il teorema stato verificato. Si pu giungere allo stesso significato rilevando che:

P=(E+ E)= P(E)+P(E)- P(E E)


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Frequenza e teoria frequentista

Definizione di frequenza

Per calcolare la probabilit di un evento, occorre determinare il numero dei casi possibili e il numero dei casifavorevoli, il che risultato abbastanza agevole nei semplici casi esaminati, non occorre materialmente unesperienza di estrazioni, lanci, etc.

Se invece si hanno effettivamente delle prove, si pu calcolare un altro rapporto delle prove, si pu calcolare unaltro rapporto, che ha una certa analogia con la probabilit e che si chiama frequenza o meglio frequenzarelativaSe si fanno n prove e in esse levento si realizza r volte, cio si hanno r successi, si dice, che la frequenza relativa :

f=r/n

La frequenza relativa il rapporto fra il numero dei successi, prove riuscite ed il numero delle prove fatte.

Cos per levento la cui probabilit di !/6, ne possiamo calcolare lafrequenza facendo, per es. 15 lanci.

Se la faccia 3 esce 4 volte, 4 il numero dei successi e la frequenza 4/15.

Osservazioni:

1)Per poter parlare di diverse prove di uno stesso evento, e quindi di frequenza di esso, bisogna intendere il concettodi evento in modo astratto e generico. Cos con riferimento delles. precedente, si parla delluscita del numero 3, inun generico lancio di dadi .

I 15 lanci costituiscono 15 prove dello stesso evento, e in, alcune di esse levento si realizza, cio esce la faccia 3, in

altre non si realizza, cio esce un altro numero. Non invece possibile parlare di frequenza di un evento se si dalla parola evento un significato specifico, concreto, riferito in sostanza ad una sola esperienza: levento pu allorasoltanto verificarsi o non verificarsi.

Cos levento unevento specifico, che a posteriori risulter vero o falso, ma non se ne possono fare diverse prove; quellestrazione invece una fra le moltissime prove dellevento generico


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Differenze fra frequenza e probabilit

Frequenza e probabilit sono due concetti diversi e non vanno confusi: la probabilit si calcola a priori in base allenostre conoscenze sui numeri dei casi possibili e favorevoli, se sappiamo contarli, la frequenza si calcola aposteriori dopo unesperienza determinata da pi prove, o da un complesso di osservazioni e, in generale, lafrequenza cambia ripetendo lesperimento o losservazione.

Cos, la probabilit dellevento che nel lancio di una moneta esca testa, sempre mentre se lancio 30 volte unamoneta possa, per esempio, avere 13 volte testa e la frequenza allora di 13/30; ma, lanciando nuovamente 30volte una moneta, posso trovare un risultato diverso.

La frequenza naturalmente compresa fra 0 e 1, come la probabilit; pi precisamente si ha frequenza se leventonon si mai verificato, ma non detto che sia impossibile, si ha la frequenza 1 se levento si sempre verificato, manon detto che sia certo.

E poi importante notare che si pu determinare la frequenza anche di molti eventi, dei quali non si saprebbecalcolare la probabilit in base alla definizione, perch non abbiamo conoscenza sufficienti per individuare econtare i casi ugualmente possibili.

Eanche importante notare che si pu determinare la frequenza anche di molti eventi, dei quali non si saprebbecalcolare la probabilit in base alla definizione, perch non abbiamo conoscenze sufficienti per individuare econtare i casi ugualmente possibili.

Cos, si pu calcolare la frequenza degli eventi:

una partita di calcio si conclude a favore della squadra ospite, considerando i risultati di tutte le partite di uno opi campionati.

Un candidato agli esami di matematica che risulta promosso, considerando gli esiti di una o pi sessioni in uno opi istituti.;ecc. mentre non sapremmo valutarne la probabilit secondo la definizione data.

Relazioni fra frequenza e probabilit

Intuitivamente si immagina che esista una relazione fra frequenza che esista una relazione fra frequenza eprobabilit, si ha precisamente che: su un grande numero di prove, fatte tutte nelle stesse condizioni, la frequenzadi un evento assume valori molto vicini alla probabilit.

Questa legge (che esprime una relazione fra frequenza e probabilit) non dimostrabile, ma si accetta come validaperch confermata dallesperienza.

Essa prende il nome di legge empirica, o postulato, del caso o anche legge dei grandi numeri.

Cos dato che la probabilit che esca testa nel lancio di una moneta , si pensa che la frequenza su un grandenumero di prove sia circa e quindi che per esempio su 100 prove, esca testa circa 500 volte.

La legge empirica del caso della massima importanza, in pratica essa permette:

di assumere la probabilit di un evento come previsione approssimata della frequenza con cui esso si realizzer.>Cos su 1000 lanci di moneta si prevede che uscir testa circa 500 volte; la frequenza effettiva potr esserediversa da 500/1000; ma la differenza lo scarto relativo, sar presumibilmente molto piccola.


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E anzi questa linterpretazione consueta della probabilit quando si dice che un evento ha probabilit , si pensasubito che quellevento si presenter circa una volta su quattro, naturalmente quando si facciano molte prove.

2]di assumere la frequenza,calcolata in un gran numero di prove,come misura approssimata dellaprobabilita,quando si sappia calcolarla secondo la definizione.

Cosi se facendo 1000 prove di un evento,esso si realizza 400 volte,la frequenza e400 : 1.000 =0,4 e dato che ilnumero delle prove grande,si pu ammettere che la probabilit dellevento sia circa 0,4 e quindi anche in un altroesperimento costituito da numerose prove la frequenza sar circa 0,4.

Ricordiamo in proposito che capita spesso di considerare eventi eventi per i quali non si sa calcolare direttamente laprobabilit in base alla definizione;allora se possibile fare numerose prove,nelle stesse condizioni,o delleosservazioni ripetute,si pu calcolare la frequenza e assumere questa come stima,approssimata,della probabilit.

Si perviene in definitiva alle seguente definizione:

Secondo la teoria freguentista la probabilit il valore al quale tende la frequenza quando il numero delle prove

eseguite cresce indefinitivamente.TEOREMA DI BAYES

Il reverendo Bayes ha scritto un articolo alla fine del settecento in cui diceva che se conosciamo le due probabilitdegli eventi ed una probabilit condizionata detta verosimiglianza,possiamo,attraverso un semplice passaggioalgebrico conoscere lentit dellaltro evento.

P(A/B)= P(A)P(B/A)__________________

P(B)

Qui il numeratore uguale alla intersezione,mentre la probabilit condizionata uguale al rapporto tralintersezione e linsieme condizionate.

(A).(B)

Questo algoritmo che troviamo viene chiamato teorema di Bayes o delle cause.

Se osserviamo empiricamente gli eventi questi provengono da certe cause ma guarderanno agli effetti,mentre ilteorema risale alla probabilit delle cause

CAUSA - FENOMENO - EFFETTO

Analisi della connessione

Analisi della connessione:

Avendo osservato leffetto si cerca di risalire alla causa pi probabile escludendo le altre ipotesi perch menoprobabili,non perch non possono sussistere.


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Non ci sono diagnosi di certezza,non certo che ci sia certezza,vedi gli intervelli,gli scarti da un minimo ad unmassimo.

Ad esempio in campo elettorale:

1x1000 di scarto,viene stimato un valore a cui si attribuisce un intervallo di rischio,fiduciario che varia da un

punto ad un altro,avvalendosi della probabilit di verificarsi.

Dunque il reverendo Tomas Bayes,1702-1761 pastore presbiteriano e matematico inglese sviluppa questo teoremache stabilisce semplicemente una regola per calcolare le probabilit condizionate e su questo punto non statasollevata alcuna obiezione,la controversia sorta,invece,per il modo in cui il teorema stato usato.Dati due eventi A e B,per definizione fra di loro comp

La Probabilità Dalle Lezioni Di Statistica Del Professore Carmelo Ferrauto Alla Facoltà Di Scienze...

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