La probabilit a · I Esperimento casuale (o aleatorio).Seppur ripetuto nelle medesime condizioni...

La probabilita

Monia Ranalli

Ranalli M. Probabilita Settimana # 5 1 / 20

Sommario

I Concetti baseI Evento elementare, spazio campionario ed evento

complementare

I Rappresentazioni dello spazio campionarioI Intersezione di eventiI Unione di eventi

I Definizioni di probabilitaI Postulati e conseguenze

I Probabilita condizionata

I Indipendenza

I Regola della probabilita composta


Concetti base I

Definizioni base

I Esperimento casuale (o aleatorio). Seppur ripetuto nellemedesime condizioni non necessariamente fornisce sempre lostesso risultato.

I Evento elementare. Un possibile risultato di un esperimentoaleatorio.

I Spazio campionario. Insieme degli eventi elementari (S).

Esempi

Esperimento Spazio Campionariom1 Lancio di una moneta T,Cda Lancio di un dado 1,2,3,4,5,6ca Estrarre una carta 1♣, 2♠, 10♥,K♦,. . . (52)ro Partita dellA.S.Roma vince, pareggia, perdem2 Lancio di due monete (T,T),(T,C),(C,T),(C,C)


Concetti base IIDefinizioni base

I Evento. E un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario,si verifica quando si verifica uno degli eventi elementari che locompongono.

I Evento complementare di A. E l’evento “non si verifica A”,e formato da tutti gli eventi elementari che non sono in A main S. Si indica con A oppure Ac .

Esempi

Esperimento Evento Evento complementarem1 Testa Croceda Pari Dispari

(2,4,6) (1,3,5)ca Cuori Quadri, Fiori, Picche

1♥, 2♥, . . . ,K♥ 1♦, . . . ,K♦, 1♣, . . . ,K♣, 1♠, . . . ,K♠ro Vince Pareggia o Perdem2 Testa al primo lancio Croce al primo lancio

(T,T), (T,C) (C,T), (C,C)


Rappresentazioni dello spazio campionarioDiagrammi di Venn


Intersezione di eventi

I Intersezione. Dati due eventi A e B, l’evento intersezione equello formato dagli eventi elementari contenuti sia in A, siain B.

I Quindi A ∩ B accade se A e B accadono simultaneamente.

I Due eventi si dicono incompatibili se non possono accaderesimultaneamente. Ovviamente A e B sono incompatibili se esolo se A ∩ B = ∅.


Unione di eventi

I Intersezione. Dati due eventi A e B, l’evento unione eformato dagli eventi elementari contenuti in A e/o B. QuindiA ∪ B si verifica se accade A oppure B.

I Un insieme di eventi e detto colletivamente esaustivo sealmeno uno si verifica sicuramente.

I Ovviamente, l’insieme di eventi A1,A2, . . . ,An ecollettivamente esaustivo se e solo se

A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = S


Esempi

Esperimento Evento Intersezione/Unionem1 A = Testa, B= Croce A ∩ B = ∅

A ∪ B = Sda A = Pari,B = 1, C = 2 A ∩ B = ∅

A ∩ C = CA ∪ B = 1, 2, 4, 6

A ∪ C = Aca A = Asso, B = Cuori A ∩ B = 1♥

A ∪ B = 1♥, 2♥, . . . ,K♥, 1♦, 1♣, 1♠ro A = Vince, B = Perde A ∩ B = ∅

C = Pareggia A ∪ B = Cm2 A = Testa al primo lancio A ∩ B = (T ,T )

B = Testa al secondo lancio A ∪ B = (T ,T ), (T ,C), (C ,T )


Definizioni di probabilita

I Classica a priori. La probabilita di un evento e il rapporto tracasi favorevoli e casi possibili (purche ugualmente possibili).

I Classica empirica (Frequentista). La probabilita di unevento e la frequenza di accadimento dell’evento su unnumero infinito di prove.

I Soggettiva. La probabilita di un evento e quanto siamodisposti a scommetere sull’accadimento dell’evento perricevere 1 se accade.

La comunita scientifica non ha trovato accordo su nessuna delletre.


Probabilita - Postulati

Definizione. La probabilita e una funzione di insieme definita nellospazio campionario S che gode delle seguenti proprieta

I P(S) = 1

I P(A) ≥ 0

I Se A e B sono incompatibili allora: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Osservazione. A∩B 6= 0⇒ P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∩B)

Le tre definizioni precedenti definiscono una probabilita chepossiede queste proprieta.

Prima conseguenza della definizioneSe gli eventi elementari sono equiprobabili, allora

P(A) =numero casi favorevoli ad A

numero casi possibili


Esempi I

Assumendo per tutti gli esperimenti l’equiprobabilita degli eventielementari, otteniamo

Esperimento Evento Probabilitam1 A = Testa, B = Croce P(A) = P(B) = 1/2

da A = Pari, B = 1, C = 2 P(A) = 1/2,P(B) = 1/6P(C) = 1/6,P(A ∪ B) = 4/6

ca A = Asso, B = Cuori P(A) = 4/52,P(B) = 13/52

Ro A = Vince, B = PerdeC = Pareggia P(A ∪ B) = 2/3

m2 A = Testa al primo lancio P(A) = 2/4,P(B) = 2/4B = Testa al secondo lancio P(A ∪ B) = 3/4


Esempi II


Esempi III


Altre conseguenze della definizione

I P(Ac) = 1− P(A)

I P(∅) = 1− P(S) = 0

I P(A) + P(Ac) = 1 ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1

Esempio


Probabilita dell’unione

I P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Esempio


Probabilita condizionata

I Probabilita condizionata. La probabilita di A condizionata aB e la probabilita di A sapendo che B si e verificato.

I Probabilita condizionata di A dato B ⇒ P(A | B) =P(A ∩ B)

P(B)

I Probabilita condizionata di B dato A ⇒ P(B | A) =P(A ∩ B)

P(A)


EsempioIn un lotto di auto usate, il 70% ha l’aria condizionata (AC) ed il40% ha un lettore CD (CD). Il 20% delle auto ha entrambi. Qual ela probabilita che un’auto abbia CD dato che ha AC, i.e.,P(CD | AC )?Soluzione

⇓

P(CD | AC ) =P(CD ∩ AC )

P(AC )=

.2

.7= .2857


Indipendenza

I Indipendenza. Due eventi A e B sono detti indipendenti se ilverificarsi dell’uno non modifica la probabilit di verificarsidell’altro.

In formule, A e B sono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A)P(B).

La definizione di indipendenza e cosı formulata perche implica

I P(A | B) = P(A)

I P(B | A) = P(B)


Esempio


Regola della probabilita composta

I Dati due eventi A e B abbiamo: P(A ∩ B) = P(A | B)P(B).

Molto utile quando il calcolo della condizionata e semplice.EsempioEstraendo casualmente due carte in sequenza da un mazzo, qual ela probabilit di ottenere:1) (1♥, 3♦); 2) prima 4♠; 3) seconda 4♠; 4) P(seconda4♠ |prima 3♦).Soluzioni

1. P(1♥, 3♦) = P(seconda3♦ | prima1♥)P(prima1♥) =1

51

1

52

2. P(4♠) =1

52

3. P(seconda4♠) =51

51× 52=

1

52

4. P(seconda4♠ | prima3♦) =1

51


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