La percezione spaziale per la comprensione della geometria

Il rapporto tra Geometria , Scienze Motorie e Fisica

Prof. ssa Alessandra Rotunno

alessandra.rotunno@unina.it

Marina di Camerota, 11 Maggio 2019

«La Geometria […] è una delle migliori opportunità

per matematizzare la realtà»

(Freudenthal, Mathematics as an Educational Task)

Nell’insegnamento della matematica riveste un ruolo fondamentale il riconoscimento del valore della geometria, inteso come mezzo per l’equilibrato sviluppo delle capacità logiche ed intuitive dei ragazzi e come mezzo per la comprensione del mondo reale, per abituare i ragazzi cosi a porre e a risolvere in modo chiaro problemi reali.

Queste due esigenze didattiche, un maggiore rigore logico e formale, e un costante riferimento alla realtà nei processi della sua matematizzazione solo apparentemente sono contrapposte. (Aldo Morelli)

Innanzitutto c’è da fare una distinzione tra esercizio e problema geometrico, in quanto prevedono processi e competenze diverse

L’esercizio implica l’applicazione di una procedura. Sono necessarie delle conoscenze che vanno memorizzate. Nell’esecuzione dell’esercizio lo studente applica procedimenti che ha precedentemente appreso e poi memorizzato.

Il problema invece richiede un ragionamento di tipo produttivo e prevede diversi meccanismi cognitivi: la comprensione del testo e della domanda, identificare i dati necessari, pianificare i passi da eseguire, monitorare l’utilizzo delle informazioni, identificare e usare le operazioni e le strategie di calcolo in modo corretto.

Innanzitutto c’è da fare una distinzione tra esercizio e problema geometrico, in quanto prevedono processi e competenze diverse

L’esercizio implica l’applicazione di una procedura. Sono necessarie delle conoscenze che vanno memorizzate. Nell’esecuzione dell’esercizio lo studente applica procedimenti che ha precedentemente appreso e poi memorizzato.

Il problema invece richiede un ragionamento di tipo produttivo e prevede diversi meccanismi cognitivi: la comprensione del testo e della domanda, identificare i dati necessari, pianificare i passi da eseguire, monitorare l’utilizzo delle informazioni, identificare e usare le operazioni e le strategie di calcolo in modo corretto.

Innanzitutto c’è da fare una distinzione tra esercizio e problema geometrico, in quanto prevedono processi e competenze diverse

L’esercizio implica l’applicazione di una procedura. Sono necessarie delle conoscenze che vanno memorizzate. Nell’esecuzione dell’esercizio lo studente applica procedimenti che ha precedentemente appreso e poi memorizzato.

Il problema invece richiede un ragionamento di tipo produttivo e prevede diversi meccanismi cognitivi: la comprensione del testo e della domanda, identificare i dati necessari, pianificare i passi da eseguire, monitorare l’utilizzo delle informazioni, identificare e usare le operazioni e le strategie di calcolo in modo corretto.

RAPPORTO FISICA E SCIENZE MOTORIE

Atleti, dilettanti, bambini imparano “istintivamente” a utilizzare le leggi fisiche per

eseguire movimenti ed esercizi …

essi sanno che per andare in bicicletta senza mani bisogna essere veloci…

la Ginnasta alza le braccia prima del salto, che non è un gesto puramente estetico

LA FISICA RISPONDE ANCHE A DOMANDE DEL TIPO

- Perché si usano i blocchi di partenza?

- come fa un pattinatore a piroettare?

- Perché i salti mortali si fanno rannicchiati e non distesi

Chi ha esperienze in campo didattico sa che incontreranno meno difficoltà in geometria coloro che hanno meglio sperimentato attività connesse alla sfera delle scienze motorie.

Esaminiamo alcune di tali situazioni di condivisione

La geometria nel corpo liberoRiconoscere Oggetti e le più Semplici Figure Geometriche.

• Individuare Simmetrie, Realizzarle e Rappresentarle.

• Linee: Parallele; Perpendicolari; verticali e orizzontali

• Simmetria : dei movimenti e del corpo umano

• Angoli : retto , giro , Concavi e Convessi, al vertice e bisettrice

a) Seguire una successione di movimenti precisi può aiutare l’utilizzo di precise sequenze in algebra e geometria attraverso una rappresentazione mentale delle sequenze nello svolgimento delle diverse operazioni fisiche e mentali …

… Eseguire con ripetizione una serie di movimenti definiti con l’impiego di tutto il corpo, o settoriale, consente di coscientizzarli ed elaborare sempre nuove combinazioni dando luogo ad operazioni motorie e mentali.

…Tale processo allena mente ed in geometria aiuta ad utilizzare precise sequenze

b) Riconoscere la simmetria assiale e centrale può essere migliorata effettuando esercizi a corpo libero, osservando forme dei campi da gioco, forme degli attrezzi sportivi.

… La simmetria assiale e centrale può essere riconosciuta nel movimento umano (Cinematica), il movimento in relazione al tempo ed alla distanza.

… Nei movimenti sportivi si usa far riferimento a tre assi perpendicolari tra loro. L’origine viene stabilita di volta in volta a seconda dei casi; per un nuotatore l’ orlo della vasca, per un ginnasta alla sbarra, la sbarra…

c) ... Osservando le forme dei campi da gioco, le forme degli attrezzi sportivi riconosciamo le figure geometriche note

Campo da Basket

Campo da tennis

Campo da Calcio

Campo di atletica

• Riconoscere angoli fondamentali, parallelismo e perpendicolarità (corsie del campo di atletica ecc)

Attrezzi di atletica

d) Si usa la Simmetria Planare quando si lavora a specchio, interrelazioni tra piano e spazio: osserviamo che la simmetria assiale nel piano si ottiene solo portando la figura nello spazio a tre dimensioni

Le simmetrie

Le Simmetrie sono particolari isometrie di un piano e si dividono in:

• Isometrie dirette (traslazione e rotazione)

Le simmetrie

•Isometrie inverse

(simmetrie assiali e antitraslazione

o glissoriflessione)

• Quando due figure si corrispondono in una isometria diretta si possono sovrapporre con uno spostamento realizzato in modo che la figura resti sempre sul piano

• Ciò non è possibile se si corrispondono in una isometria inversa; in tal caso la sovrapposizione può avvenire con uno spostamento che esce dal piano muovendosi nello spazio.

• La scarpa destra e una scarpa sinistra poggiate sul pavimento, esse si corrispondono in una simmetria planare rispetto ad un piano perpendicolare al pavimento (si può pensare che una scarpa sia l’immagine dell’altra mediante uno specchio piano)

e) Passaggio dal bidimensionale al tridimensionale:

la rappresentazione dello spazio e dei movimenti dei corpi nello spazio (ortogonalità tra piani) esercizi a corpo libero.

Einstein e il tetraedro Come costruire 4 triangoli equilateri usando solo 6 bastoncini?

Sembra che sarebbero necessari molti più segmenti …

Possiamo fare i furbetti

Oppure ragionare in 3D

Passaggio del tridimensionale al bidimensionale: la proiezione

• Osserviamo che le trasformazioni euclidee, (quelle conservano gli angoli), in natura sono poche.

• Il primo approccio di un bambino con la geometria ha due caratteristiche:

• 1. la visualizzazione della forma (approccio euclideo);

• 2. la visualizzazione delle ombre (approccio proiettivo);

l’ombra di una figura non conserva gli angoli, dunque va oltre la geometria euclidea.

Proiezione della finestra sul piano orizzontale la mattina

A

B

S

D

C

T

Proiezione della finestra sul piano orizzontale alcune ore dopo

A

B

S

T

s

Q

P

Sovrapposizione delle proiezioni: la trasformazione sul piano orizzontale, che muta ABCD in ABPQ, è l’omologia

A

BS

T

D

C

Q

P

Questo discorso lo possiamo evidenziare ancora meglio utilizzando il quadro svedese che è formato 36 quadrati. Se illuminato da una sorgente, esso proietta la sua ombra sul pavimento. Tale ombra è a griglie parallelogrammi se illuminato dal sole, mentre è griglie da quadrilateri qualunque se illuminato da una sorgente puntiforme

• L’ombra proiettata dal sole ha una forma diversa da quella del quadrettato reale;

si dice che il quadrettato è stato trasformato per affinità, e anche, che il

quadrilatero e la sua ombra sono figure affini.

Nel caso dell’ombra prodotta da una luce puntiforme essa ha una

forma ancora più diversa da quella del quadrettato reale.

Si dice che il quadrettato è stato trasformato per proiettività e anche, che

il quadrilatero e la sua ombra sono figure proiettive.

Possiamo fare alcune osservazioni in merito a ciò che è invariante rispetto a questa trasformazione ad esempio a rette parallele del quadrettato corrispondono sempre nell’ombra delle rette ancora parallele;

così ai quadrati corrispondono sempre dei parallelogrammi, in particolare si possono avere dei rombi, o dei rettangoli o anche, dei quadrati.

In generale si osserverà:

• a rette parallele del quadrettato corrispondono rette parallele

• a rette corrispondono rette

• è costante il rapporto fra aree di figure corrispondenti

Nella proiettività invece:

•Non è vero che a rette parallele del quadrettato corrispondono rette parallele

•Non è vero che si mantiene il rapporto fra aree di figure corrispondenti

Mentre a rette corrispondono rette

Geometrie euclidee e non euclideeIn una educazione moderna di interrelazione di interrelazione tra la geometria che rappresenta

il nostro universo, la geometria dei movimenti per le scienze motorie bisogna andare oltre lo

studio del solo modello euclideo

La geometria delle piccole e delle grandi distanze

Se ci riferiamo al piano sappiamo che la linea più breve tra due punti è un segmento di retta.

Se ci riferiamo alla sfera, il tratto più breve è l’arco di cerchio massimo

Ginnastica con la geometria differenziale

Facciamo il seguente esercizio:

Disegniamo con le punte delle dita dei triangoli sferici eseguiti partendo con le braccia in avanti poi ruotandole di 90° verso l’alto , poi ancora di 90° verso i lati ed infine riposizionando le braccia in avanti con un ulteriore movimento rigido di 90°

da questa semplice esperienza si possono notare almeno due particolari caratteristiche :

1 ) la punta delle dita descrive un triangolo sferico avente 3 angoli retti

2) se si tengono le braccia avanti con i palmi rivolti verso terra. Alzando le braccia senza ruotare i palmi , questi saranno rivolti in avanti.

Abbassando, quindi, rigidamente le braccia sui lati del corpo i palmi delle mani risulteranno ancora rivolti in avanti.

Muovendo infine le braccia davanti i palmi si fronteggeranno. Anche se non hai storto le braccia in ogni passaggio, i palmi delle mani sono stati

ruotati di 90°.

Se si ripetono i passaggi, i palmi saranno nuovamente ruotati di 90° e infine rivolti verso il cielo.

Esercizi di realtà e compiti autenticiÈ condiviso che la competenza può essere accertata facendo ricorso ai cosiddetti compiti autentici, esercizi di realtà. Essi trasformano le conoscenze ed abilità in competenze.

In tale dinamica, gli alunni lavorano in gruppo, ricercano informazioni, le analizzano, le studiano, le valutano, risolvono problemi, utilizzano le conoscenze che possiedono e ne sviluppano di nuove e necessarie per svolgere il compito.

Le caratteristiche principali di un compito autentico sono:

- proporre “compiti” che ci si trova ad affrontare nella realtà,

quindi non è un esercizio scolastico.

- porre problemi aperti a molteplici interpretazioni e soluzioni

- offrire l’occasione di esaminare i problemi da diverse

prospettive tecniche e pratiche

- richiede tempo: giorni e settimane in quanto è complesso

- presenta l’occasione di collaborare

- può essere interdisciplinare

- termina con un prodotto che è completo, autosufficiente e ben

inserito nella realtà

Le scienze motorie sono quindi una ghiotta

occasione per proporre e realizzare

problemi di realtà (approccio fisico e

teorico)

Esaminiamo la Dinamica

di un tiro a canestro

Il problema di realtà potrebbe essere

Cosa cambia quando si effettua il tiro a canestro da posizioni diverse che si trovano alla stessa

distanza dal tabellone Ovvero

Quale proprietà consente l'analisi del movimento del tiro nel piano orizzontale e nella direzione verticale separatamente?

Come appare la traiettoria di un tiro di pallacanestro sul piano orizzontale?

Qual è l'angolo di incidenza e l'angolo di riflessione per una palla che colpisce il tabellone e come sono collegati, supponendo che la palla non abbia spin?

Tutte le condizioni che devono essere soddisfatte affinché un tiro a pallacanestro vada a canestro possono essere viste, infatti, come un compito di realtà, nel quale servono informazioni prelevate dalla geometria, dalla fisica e dalle scienze motorie.

Un tiro diretto al canestro è un esempio di moto parabolico. La fisica ci consente di prevedere la traiettoria della palla, o il percorso esatto che essa prenderà.

Esso è un esempio di moto composto , che combina un movimentoverticale e uno orizzontale. Entrambi questi movimenti sono indipendenti l' uno dall'altro e, quindi, possono essere studiati separatamente.

Parole chiave

• Moto palla

• Traiettoria

• Movimento composto

• Moti Indipendenti

• Angolo di incidenza

• Angolo di riflessione

• teorema di Pitagora

• Triangoli rettangoli

• Ipotenusa

• Triangolo 30-60-90

• Triangolo 45-45-90

• Triangoli simili

Prerequisiti

Moto composto: i movimenti verticali e orizzontali della palla avvengano in modo indipendente

L' angolo di incidenza è l'angolo tra la traiettoria della palla quando si avvicina a una superficie (qui il tabellone) e la linea perpendicolare alla superficie

L' angolo di riflessione rappresenta l'angolo tra la traiettoria della palla mentre rimbalza da una superficie e la linea perpendicolare alla superficie supponendo che la palla viene lanciata senza rotazione. In questo caso, il movimento della palla prevede che l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione.

Il teorema di Pitagora.

Il triangolo 30-60-90 è un triangolo in cui un lato di questo triangolo ha una lunghezza esattamentepari alla metà della lunghezza dell'ipotenusa.

Si può usare il teorema di Pitagora per verificare che la lunghezza dell'altro lato

3

2volte

Rappresentazione del triangolo 30°-60°-90°, per il quale la lunghezza di un lato è la metà della lunghezza dell'ipotenusa. In questa figura, le lunghezze a, b e c rappresentano la lunghezza di ciascun lato del triangolo, mentre le lettere greche α e β rappresentano gli angoli.

Triangoli simili• Triangoli simili sono triangoli con angoli congruenti, ma con

dimensioni diverse. La Figura 4 mostra due triangoli simili. Nota che i lati corrispondenti di triangoli simili hanno lunghezze nella stessa proporzione. In altre parole, se un triangolo con lati a, b e c è simile a un triangolo con lati A, B e C, quindi a / A = b / B = c / C

Traiettoria della palla

Tabellone e Canestro

Angolo

di tiro

• Se si immagina di osservare i lanci dall’alto potremmo notare che la traiettoria della palla che viene lanciata , rimbalzando dal tabellone e atterrando nel canestro avrà una traiettoria di questo tipo

• si nota il rapporto esistente tra l'angolo di incidenza e l'angolo di riflessione per un corpo che rimbalza su di una superfice

A seconda della posizione angolare del giocatore, il giocatore dovrà mirare la palla in una posizione diversa sul tabellone affinché la palla finisca nel canestro

Traiettoria della palla

Tabellone e Canestro

Il giocatore punta sempre a prendere la palla nel mezzo del canestro. c'è in realtà uno spazio di manovra. La palla può rimbalzare su un punto leggermente diverso sul tabellone e entrare nel canestro.

Traiettoria della palla

Tabellone e Canestro

Area di rimbalzo efficace

Tale area può essere utilizzata come indicatore di quanto sia difficile tirare da quella posizione

Bisognerà determinare la lunghezza di tutti i lati del triangolo rettangolo giallo. Osserviamo che conosciamo l'angolo β e la lunghezza dell'ipotenusa.

• È quindi possibile determinare la lunghezza di X tot (la distanza nella direzione X dalla posizione del giocatore al centro del canestro) e Y tot (la distanza nella direzione Y dalla posizione del giocatore al tabellone) indicata in nero

Da questo schema è possibile determinare quali sono le variabili in gioco

Angolo della posizione del giocatore

Traiettoria della palla

Le proprietà matematiche di triangoli simili (disegnati in verde e blu) servono per determinare il trovare X 1 , poiché questo indicherà la distanza dalla linea centrale dove la palla deve colpire il tabellone e poi entrare nel canestro

Angolo d’incidenza = Angolo di riflessione

Traiettoria della palla

Angolo d’incidenza = Angolo di riflessione

Traiettoria della palla 1 2

2 1

tot

tot

x x x

x x x

= +

= −

12

2 1 1

2

1 1

1

2

1

1

1

1

tot tot

tot

tot

x x xy

x x x

x y

x y

xx

y

y

−= = −

= +

=

+

Usando le proprietà dei triangoli simili per

scrivere un'equazione tra Y 1 , Y 2 , X 1 , X 2 .

Come vediamo Y 2 e Y tot sono identici.

Conosciamo anche Y 1, che è dato dalla

somma della distanza del canestro dal

tabellone, e dal raggio del canestro, e

dobbiamo calcolare X 1 . Poichéconosciamo X tot possiamo scrivere

l’espressione che lega che X 1 , X 2 e X tot .

Figura che mostra la situazione in cui la palla entra per poco nel canestro sfiorandolo a destra (blu chiaro) o a sinistra (giallo chiaro)

Traiettoria della palla

Tabellone e Canestro

Si possono

quindi ripetere i

vari passaggi

per le posizioni:

45 ° e 60 °

configurazione per la posizione di 90 °

Traiettoria della palla

Tabellone e Canestro

Questa posizione è

leggermente diversa ma il

tiro diretto nel centro del

canestro (arancione), ha

comunque una tolleranza a

destra (blu chiaro) o a sinistra

(rosa chiaro) rispetto alla

posizione centrale

Osserviamo il disegno del tiro a canestro dal punto di vista vettoriale: queste frecce identificano una rappresentazione vettoriale del moto che è uno dei primi argomenti che si studia al primo anno di scuola superiore

Il vettore velocità Vo è la somma

vettoriale del vettore velocità

orizzontale e velocità verticale.

Questo concetto può essere dato ai

ragazzi già dalla scuola media perché

ci permette di valutare in qualsiasi

movimento la componente direzionale

che contribuisce all’ottimizzazione

dello spostamento.

È opportuno che a livello teorico vada data la seguente informazione:

una grandezza fisica vettoriale gode delle seguenti due proprietà:

•Vale la legge del parallelogramma

•È invariante rispetto ai sistemi di riferimento per traslazione

Esempio tipico di scomposizione vettoriale delle forza peso nello sci

SCIENZE MOTORIE

GEOMETRIA FISICA

OTTENGONO IL MEGLIO SE SI RELAZIONANO TRA DI LORO