La metrica di Schwarzschild 1L’applicazione piu’ ovvia della relativita’ generale e’ quella ad una metrica

sfericamente simmetrica che descrive il caso, fisicamente molto rilevante, del campo gravitazionale creato da un pianeta o da una stella. Ci interessano le soluzioni esterne al corpo, ovvero nel vuoto. In questo caso la soluzione esiste, e’ unica ed e’ costituita dalla metrica di Schwarzschild. La sua espressione in coordinate polari [t,r,q,f] e’:

Notiamo che il termine dW2 rappresenta l’elemento di metrica nella 2-sfera e che Mrappresenta una costante il cui significato fisico risulta essere quello di massa a

riposo del corpo gravitante. Una scrittura alternativa della metrica e’

Rs e’ detto Raggio di Schwarzschild del corpo di massa M

La metrica di Schwarzschild 2La procedura per ottenere la metrica di S. puo’ essere cosi’ schematizzata:

1.Si scrivono le equazioni di Einstein nel vuoto (ext. al corpo) :2.Si impone la condizione di staticita’. Ovvero che (a) i coefficienti della metrica non dipendano dal tempo e (b) che i termini misti del tipo dxidt siano nulli.3.Si impone la condizione di sfericita’. Ovvero si richiede che il termine dW2

mantenga la sua forma (una sfera rimane una sfera), che termini misti dfdr e dqdr siano nulli e che i coefficienti 00 e 11 del tensore metrico non dipendano dagli angoli (e dal tempo).4.Si risolvono le equazioni di Einstein per trovare i coefficienti della metrica.

Il risultato e’ la metrica di S. nella forma mostrata precedentemente. Il valore delRaggio di S. viene ottenuto considerando il limite Newtoniano di campo debole in

cui la costante M viene interpretata come la massa dell’oggetto centrale chedetermina le orbite a grande distanza dal corpo. A piccoli raggi essa non e’ la

semplice somma delle masse dei costituenti del corpoperche’ bisogna considerare l’energia di legame gravitazionale.

Si noti che per r>>Rs la metrica di S. si riduce a quella di Minkowski (piattezzaasintotica). Ugualmente, otteniamo una metrica di Minkowski se M tende a zero.

Il Teorema di BirkhoffIl Teorema di Birkhoff puo’ essere enunciato come segue:

La metrica di S e’ l’unica soluzione nel vuoto dotata di simmetria sferica.La dimostrazione si articola in 3 punti:1.Si dimostra che uno spazio tempo sfericamente simmetrico puo’ essere foliato da 2-sfere. Ovvero (quasi) ogni punto giace su una 2-sfera.2.La metrica di uno spazio siffatto ha (almeno localmente) la forma

dove (a,b) sono coordinate ortogonali alle sfere ed r e t sono funzione di (a,b)3.Si inserisce questa metrica nelle Equazioni di Einstein e si dimostra che quella di S. e’ l’unica soluzione al problema.

Nel corso della dimostrazione si prova il seguente corollario: ogni metricasfericamente simmetrica nel vuoto possiede un vettore di Killing di tipo tempo.Una metrica che possiede un vettore di Killing di tipo tempo e’ detta stazionaria epuo’ essere scritta nella forma

Mentre per una metrica statica

Coordinate in una metrica di S.Il significato fisico delle coordinate in una metrica non e’ sempre immediato,

soprattutto quando la scelta del sistema di coordinate induce termini misti spazio-temporali nel tensore metrico. In una metrica di S. le coordinate radiale e temporale hanno l’usuale significato solo per r>Rs. Nella regione interna r<Rs la coordinata rnon e’ piu’ di tipo spazio ne’ la coordinata t di tipo tempo. Per vederlo consideriamo

le separazioni radiali e temporali avendo fissato tutte le altre coordinateLa separazione misurata a q,t e j costanti, ovvero la distanza propria, e’ data da

La separazione dipende da r. Per r>Rs la separazione e’ di tipo spazio mentre per r<Rs e’ di tipo tempo !

Analogamente la separazione misurata a q,r e j costanti, ovvero il tempo proprio, e’

Di nuovo, la separazione dipende da r; per r>Rs e’ di tipo tempo mentre per r<Rs e’ di tipo spazio

Singolarita’ in una metrica di S.

Il problema di stabilire la natura delle singolarita’ e’ spinoso. Nasce dal fatto che i coefficienti della metrica dipendono, in generale, dalle coordinate.

I coefficienti della metrica divergono per r=0 ed r=Rs. Siamo quindi in presenza di potenziali singolarita’ nella metrica.

Puo’ infatti accadere che cio’ che appare come una singolarita’ (divergenza) in un particolare sistema di coordinate sparisca per un’altra scelta di coordinate. In questo

caso saremmo in presenza di una singolarita’ apparente (che spesso, comunque, segnala la presenza di proprieta’ fisiche interessanti per il sistema).

La natura di una singolarita’ potrebbe essere rivelata misurando la curvatura. Che pero’ e’ data da un tensore (di Riemann) le cui componenti dipendono dalle coordinate. La

soluzione e’ quella di costruire quantita’ scalari (e percio’ indipendenti dalle coordinate) partendo dal tensore di Riemann (es. lo scalare di Ricci). Se uno di questi scalari

diverge allora siamo in presenza di una singolarita’. E’ una condizione sufficiente ma non necessaria. Mostrare che un punto non e’ una singolarita’ e’ assai piu’ complicato.

Nel caso della metrica di S. il punto r=0 rappresenta una singolarita’ vera.Viceversa, la superficie r=Rs rappresenta una singolarita’ apparente.

Geodetiche di Schwarzschild 1Data la metrica di S. vogliamo risolvere l’equazione delle geodetiche e trovare le

traiettorie descritte da particelle (massive o meno) in caduta libera.

Il primo passo e’ quello di calcolare i simboli di Christoffel derivandoli dagli elementi del tensore metrico. Si ottengono 9 simboli diversi da zero, due uguali tra loro

(Gqrq=Gfrf=1/r) e due col segno opposto (-Gttt=Gttr=GM/[r(r-2GM)]).Con questa procedura l’equazione delle geodetiche si riduce a 4 equazioni

differenziali (tante quante sono le dimensioni dello spazio-tempo) accoppiate nelle variabili r,t,q,j in funzione del parametro affine l.

Geodetiche di Schwarzschild 2Per risolverle si sfrutta la presenza di simmetrie nella metrica. In particolare sappiamo

che ci sono 4 vettori di Killing (tre per la simmetria sferica e uno per la traslazione temporale). E sappiamo anche che ognuno di questi individua una costante del moto

per una particella libera.

Oltre a cio’ sappiamo che c’e’ sempre un’ulteriore costante del moto per le geodetiche. L’equazione delle geodetiche e la compatibilita’ della metrica implicano infatti che

si conservi lungo la traiettoria

Geodetiche di Schwarzschild 2La conservazione di conservazioe di e era gia’ nota. E’ quella che in una varieta’

dotata di metrica garantisce che le geodetiche rimangano di tipo tempo/spazio/luce a seconda del valore del paramerto e.

Si prenda per esempio una particella massiva. In questo caso l=t e l’equazione diventa

Per geodetiche tipo luce e=0 e questa equazione non puo’ essere usata per determinare il parametro l . Che invece si ottinene richiedendo che quadrimomento sia uguale alla

quadrivelocita’ pµ=dxµ/dl. Per le traiettorie tipo spazio scegliamo e=-1.Prima di discutere su quakli siano le quantita’ conservate associate a Kµ chiediamoci:

Quale e’ il significato fisico delle quantita’ conservate ?

1.In uno spazio piatto l’invarianza per traslazione temporale genera una conservazione dell’energia. La stessa cosa accade in una metrica di S.2.All’invarianza per rotazione corrispondera’ una conservazione del momento angolare, sia in magnitudine che in direzione.

Geodetiche di Schwarzschild 3Il momento angolare e’ un 3-vettore caratterizzato da un modulo (una componente) ed

una direzione (due componenti). La conservazione della direzione implica che le particelle si muovono su un piano. Scegliamolo in modo che coincida con il piano

equatoriale del nostro sistema di coordinate. Quindi 2 vettori di Killing ci dicono che le particelle si muovono sul piano q=p/2.

I rimanenti 2 vettori di Killing corrispondono alla conservazione dell’energia e del modulo del momento angolare. E sono:

Energia Momento Angolare

abbassando gli indici:

Dove l’ultima relazione utilizza la condizione q=p/2 . Le quantita’ conservate si ottengono applicando l’equazione di Killing

Geodetiche di Schwarzschild 4Cominciamo con il considerare la conservazione dell’energia

E ed E’ non coincidono. Ne’ sono proporzionali. Neppure per un osservatore stazionarioMatematicamente cio’ accade poiche’ Uµ e’ normalizzato a -1, al contrario di Kµ .

Da un punto di vista piu’ fisico E’ rappresenta l’energia cinetica della particella mentre pµKµ rappresenta la conservazione dell’energia totale, inclusa quella potenziale.

Per un fotone interpreteremo E’ come la frequenza osservata.

Mentre per il modulo del momento angolare

Per una particella priva di massa queste quantita’ rappresentano l’energia e il momento angolare. Per una particella massiva rappresentano le medesime quantita’ per unita’ di

massa. E’ interessante confrontare E con l’altra quantita’ che avevamo gia’ definito e che rappresenta l’energia di una particella con quadrimomento pµ misurata da un osservatore con quadrivelocita’ Uµ

Geodetiche di Schwarzschild 5Per trovare le orbite delle particelle esplicitiamo la condizione di conservazione

Moltiplicando per (1-2GM/r) e imponendo la conservazione di E ed L otteniamo:

Da un sistema di 4 equazioni differenziali accoppiate siamo giunti, grazie alle simmetrie del sistema, a scrivere un’equazione per r(l). Il significato fisico di

questa equazione risulta piu’ chiaro se la riscriviamo come segue:

dove

Geodetiche di Schwarzschild 6

Questa e’ l’equazione classica per il moto di una paritcella di massa unitaria ed energia E che si muove in un potenziale efficace monodimensionale V(r).

Ovviamente per descrivere il moto completo di una particella nello spazio oltre ad r(l) dobbiamo specificare anche t(l) e j(l). Ma gia’ dalla relazione precedente si

possono trarre importanti indicazioni sulle orbite permesse. La stessa analisi in ambito Newtoniano avrebbe prodotto un risultato simile: l’equazione precedente

sarebbe risultata uguale ma il potenziale efficace differente:

Moltiplicando per

CostantePotenziale Newtoniano Contributo L Classico

Contributo GR

Il primo termine e’ una costante. Il secondo e’ il potenziale Gravitazionale Newtoniano generato dalla massa M. Il terzo e’il contributo del momento angolare, anch’esso

Newtoniano. L’ultimo e’ di natura general-relativistica e non ha un analogo classico.

Geodetiche di Schwarzschild 7

Le orbite circolari sono stabili se si trovano in corrispondenza dei minimi delpotenziale e instabili se poste in corrispondenza dei massimi. Orbite legate che

non siano circolari oscillano attorno al raggio delle orbite circolari stabili

La natura dell’orbita di una particella puo’ essere determinata dal confronto tra E e V(r). Una particella si muove nel potenziale fino a quando raggiunge il punto di ritorno in cui E =V(r). In mancanza di punti di svolta la particella continuera’ a

procedere lungo la stessa direzione. La particella si puo’ stabilizzare su un’orbita circolare di raggio rc se in quel punto il potenziale soddisfa dV/dr=0. Differenziando dunque l’equazione precedente e imponendo il risultato uguale a zero otteniamo il

valore dei raggi delle orbite circolari permesse

Per e =0 (fotoni) non ci sono orbite circolari (stabili o instabili)

Dove g=0 nel caso Newtoniano e g=1 nel caso RG di una metrica di S.

Nel caso Newtoniano:

Orbita circolare stabile

Orbita legata stabile (ellissi)

Orbita non legata (iperbolica o parabolica)

Geodetiche di Schwarzschild 8Il caso General Relativistico deve ridursi a quello Newtoniano a grandi raggi

(piattezza asintotica).

Per i fotoni esiste una sola orbita circolare. La condizione dV/dr=0 e’ soddisfatta perrc=3GM. Questo punto risulta pero’ essere un massimo del potenziale, non un minimo.

Non esistono quindi orbite circolari stabili per i fotoni in una metrica di S

In corrispondenza al raggio di S. il potenziale e’ sempre nullo.

A piccoli raggi iltermine relativistico diventa dominante ed potenziale diviene significativamente diverso da quello Newtoniano.

Per particelle senza massa esiste sempre un massimo locale del potenziale (barriera)di altezza finita (tranne che per L=0). Un fotone sufficientemente energetico (rispetto al

momento angolare, senza alcun riferimento alla sua frequenza) e’ quindi in grado di Superare la barriera di potenziale per poi essere attratto inesorabilmente verso il corpo

Orbite non legate.

Orbite circolari instabili

Orbite di caduta non legate

Geodetiche di Schwarzschild 9Anche per le particelle massive esistono 2 regimi a seconda del valore del momento

angolare. Le orbite circolari si trovano in corrispondenza dei raggi

Per L grande si hanno 2 orbite circolari, una stabile ed una instabile. Per

quella stabile si allontana all’aumentare di L. Quella instabile rimane a 3GM

Al diminuire di L le 2 orbite si avvicinano e coincidono quandoIl raggio dell’orbita corrispondente e’ dato da

Per valori piu’ piccoli di L non ci sono soluzioni. Quindi quella indicata sopra rappresenta l’ultima orbita circolare stabile in una merica di S.

Ci sono poi orbite non legate. Ed orbite legate e non circolari. Queste, al contrario del caso Newtoniano, non sono delle coniche (ellissi chiuse).

Infine ci sono orbite che dall’infinito vanno direttamente ad r=0.

Orbite circolari stabili

Orbite legate.

Orbite non legate.

Orbite circolari instabili

Orbite di caduta non legate

Precessione del perielio di Mercurio (1)In RG le orbite legate non sono ellissi chiuse, al contrario del caso Newtoniano. La posizione del perielio dell’orbita di un pianeta cambia nel tempo (precede). A questo effetto contribuiscono la precessione degli Equinozi nel sistema e le perturbazioni gravitazionali degli altri pianeti.Al netto di questi effetti, la precessione di Mercurioe’ di 43”/secolo. Negli anni ’20 questo effetto non aveva una spiegazione. La RG da’ una spiegazione?

Risolviamo esplicitamente l’equazione delle geodetiche: oltre a r(l) cerchiamo le soluzione t(l) e j(l). Per farlo si trasforma l’equazione per dr/dl in una per dj/dl

Precessione del perielio di Mercurio (2)Per risolvere questa equazione sono utili due trucchi:

(1) si definisce una nuova variabile x=L2/GMr

Nel caso Newtoniano l’ultimo termine sarebbe nullo e potremmo ottenere una soluzione esatta. Qui si adotta un approccio perturbativo considerando una piccola

perturbazione in x=x0+x1

(2) si differenzia rispetto a f ottenendo un’equazione al secondo ordine per x(f)

Precessione del perielio di Mercurio (3)Per la parte Newtoniana l’equazione

ammette come soluzione x0=1+e cos f che descrive l’equazione di un’ellisse con eccentricita’ e=1-b2/a2 (Legge di Kepler).

Inserendo la soluzione Newtoniana nell’equazione al primo ordine

otteniamo la soluzione per x(f)

ad ogni orbita il perielio avanza di un angolo Dj=6p(GM/L)2

Nel caso di Mercurio otteniamo Dj=0.103”/orbita. Poiche’ il periodo dell’orbita di Mercurio e’ 88 giorni l’angolo di precessione e’ proprio 43”/secolo

Redshift Gravitazionale

Consideriamo un osservatore stazionario in una metrica di S, ovvero con quadrivelocita’ Uµ ed Ui=0. Un eventuale moto dell’osservatore contribuirebbe solo

all’usuale effetto Doppler. A causa della normalizzazione UµUµ =-1 otteniamo:

Cerchiamo ora di spiegare nell’ambito della RG il fenomeno del redshift gravitazionale gia’ incontrato inprecedenza. L’idea e’ quella diconsiderare la geodetica di un fotone in una metrica di S.

Per questo osservatore la frequenza di un fotone che si muove su una geodetica xµ(l) e’

Poiche’ E si conserva w avra’ diversi valori a vari raggi. Per un fotone emesso ad r1 ed osservato ad r2 avremo quindi

Orbite radiali per particelle massivePrendiamo una particella si massa m0 in orbita radiale (L=0). Il suo quadrimomento e’

Un osservatore stazionario Uµ=(dt/dt,0,0,0)=((1-2GM/r)-1/2,0,0,0) misura un’energia della particella in caduta pari a

in cui il termine sotto radice rappresenta l’effetto del redshift gravitazionale.

Si consideri infatti una particella all’infinito (energia m0E) che venga fermata da unosservatore stazionario. La sua energia (m0E/(1-2GM/r)1/2 ) venga interamenteconvertita in radiazione e diretta nuovamente all’infinito. Se l’energia di questa

radiazione non venisse ridotta di un fattore (1-2GM/r)1/2 allora l’osservatore all’infinitoriceverebbe una quantita’ di energia maggiore di quella iniziale.

Esplicitando le componenti rispetto ai coefficienti della metrica

Dove nella prima relazione abbiamo sfruttato la conservazione dell’energia e nella seconda la normalizzazione del quadrimomento

Energia dell’ultima orbita stabileConsideriamo una particella in un’orbita circolare. Concentriamoci sull’ultima orbita stabile (r=6GM). Dalla condizione di circolarita’ dr/dt=d2r/dt2=0 ricaviamo che il

momento per unita’ di massa della particella (costante del moto) e’ L2=12G2M2.La sua energia per unita’ di massa E (costante del moto) e’ pari a

Questa energia e’ ~ 8 volte superiore a quella rilasciata attraverso reazioni nucleari.il processo di accrescimento gravitazionale e’ di gran lunga il modo piu’ efficiente di

produrre energia.

Per confronto una particella all’infinito ha un’energia orbitale pari a E2=1

La differenza rappresenta l’energia di legame orbitale per unita’ di massa della particella

pari al 5.72 % dell’energia di massa della particella

Un oggetto che dall’infinto, spiraleggiando, raggiunga l’ultima orbita stabile e’ in grado di rilasciare una quantita’ di energia pari al 5.72 % della sua enegia di massa.

Fotoni in una metrica di S. 1

In una metrica di S. un fotone puo’ raggiungere l’oggetto centrale anche se si trova su un orbita non radiale a patto che la sua energia sia maggiore della barriera di

potenziale che ha il suo massimo in corrispondenza di r=3GM, ovvero se:Emin>(VMAX)1/2=V1/2(r=3GM)=L/[GM(27)1/2]

Fotoni con energia maggiore di questa sono quindi catturati dall’oggetto centrale mentre fotoni con energia minore vengono semplicemente scatterati.

Se definiamo b il parametro di impatto per un fotone meno energetico che puo’ essere catturato, allora la sezione d’urto per la cattura e’ s=pb2. Per legare queste

quantita’ ai parametri dell’orbita (L,E) notiamo che all’infinito il momento angolare del fotone e’ semplicemente L=bp. Per un fotone vale che p=E.

La condizione di cattura e’ che il fotone abbia parametro di impatto pari ab=L/Emin=GM[27]1/2 e s=27p(GM)2

Questo calcolo ci permette di cominciare a studiare la fisica in prossimita’ del raggiodi S. In particolare ci poniamo la seguente domanda:

Quale porzione di cielo vede un osservatore vicino ad r=2GM ?

Fotoni in una metrica di S. 2

r

yf

rdf

dr/(1-2GM/r)1/2

Consideriamo un fotone nel piano q=p/2 incidente con un angolo y su un osservatorestazionario posto in r. Lo spostamento dl si divide in uno spostamento tangenziale rdj ed in uno radiale dr/(1-GM/r)1/2. L’angolo y sotto cui l’osservatore vedearrivare il fotone e’

Per r che tende a rs=2GM

Ovvero un osservatore riceve fotoni solo da un disco il cui raggio tende a zero per r=Rs

dl