La matematica indiana - Dipartimento di Matematica -...

09/03/2010

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Storia della MatematicaStoria della Matematica

3a settimana

La matematica

indiana

La matematica indianaLa matematica indiana

• La geometriageometria fu essenzialmente derivata dai greci

• Nel V sec. d. C. abbiamo tavoletavole trigonometrichetrigonometriche

• L’aritmeticaaritmetica, nata parecchi secoli prima di Cristo,assume la notazione posizionale decimale attornoal 600 d. C.

• Il primo simbolo indiano che individua lo zerozero

compare in un’iscrizione dell’876 per indicare unaposizione vuota nella scrittura posizionale


• Ricordiamo solo due nomi:

•• BrahmaguptaBrahmagupta (tra il IV e l’VIII secolo):regole pratiche di debiti e crediti, conintroduzione di numeri negativi

•• BaskaraBaskara (1114-1185) si occupò di numerirelativi, anche con radici di entrambi i segnicome soluzioni di equazioni; scrisseLilavati, una raccolta di problemi di algebraelementare

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• Nelle opere dei matematici indiani sitrovano anche calcoli con lo 0 come

a+0 = a, a-0 = a, a·0 = 0

• la divisione per 0 viene considerata come unrisultato immutabile, che non cambiaqualsiasi cosa le si aggiunga o tolga, cosìcome immutabile è la divinità, e vienechiamata quantità infinita

La matematica

araba

La matematica arabaLa matematica araba

• L’algebra ha avuto una nascita molto antica:già egiziani e babilonesi sapevano farecalcoli algebrici come li facciamo noiadesso, solo le regole e le notazioni eranoespresse in maniera diversa

• La notazione per lo zero (presa dagliindiani) era la seguente:

• “Şifr = vuoto”, parola che poi fu trascritta elatinizzata in zephirum (forse da Leonardo)


• Dalla parola Şifr deriva la parola cifracifra.

• Siccome lo zero era un segno mistico, inostri termini cifrario, forma cifrata

significano “cose nascoste”.

• Confrontare con l’inglese cipher (chesignifica zero e anche cifra).

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AlAl--KwarizmiKwarizmi

• Il califfo al Mamun, figlio di Al-Rashid,fondò a Bagdad una “città del sapere”, conuna ricca biblioteca e un osservatorioastronomico. Vi fu chiamato, tra gli altriscienziati, un matematico e astronomo la cuifamiglia proveniva da una regione, ilKwarizm, a sud del lago d’Aral: AbuAbu JafarJafar

MuhammadMuhammad ibnibn MousaMousa AlAl--KwarizmiKwarizmi





• Al-Kwarizmi (ca. 790 - ca. 840) scrissecinque trattati, su aritmetica, algebra,astronomia, calendario e geografia

• Il trattato di aritmetica (giuntoci soloattraverso le traduzioni latine) è il primotrattato arabo in cui viene esposto il sistemaposizionale decimale, che riporta le tecnicheindiane del sesto secolo e che diffonderàtale sistema nell’Europa occidentale



• Fondamentale per la diffusione dell’algebra e delle sue tecniche di calcolo è l’opera di Al-Kwarizmi:

Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala

(Il libro conciso sul calcolo con la restaurazione e

l’opposizione)

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Il testo di Il testo di AlAl--KwarizmiKwarizmi


AlAl--KwarizmiKwarizmi•• jabrjabr = restaurazione (il portare una quantità

da un membro all’altro di un’equazione,rendendolo positivo); deriva da un verboche significa “riparare qualcosa di rotto”

•• muqabalamuqabala = opposizione (sostituzioni didue termini dello stesso tipo in entrambi imembri di un’equazione); deriva da unverbo che significa “confrontare due cosecontrapponendole”


AlAl--KwarizmiKwarizmi• Il trattato di Al-Kwarizmi ci è giunto anche in

arabo: tratta di equazioni utili per eredità, lasciti,divisioni, cause legali riguardanti misurazione diterreni e scavi di canali. Non è usato nessunsimbolismo

• Le traduzioni latine cominciano ad indicarel’incognita (in arabo: jizr) con resres e il suoquadrato (in arabo: mal) con censuscensus

• Da traduzioni latine seguiranno poi traduzioni involgare



• La traduzione latina del trattato di Al-Kwarizmi immette nella lingua due parole:

•• AlgoarismusAlgoarismus come autore, da cui il terminealgoritmoalgoritmo

•• AlgiabraAlgiabra da cui algebraalgebra

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• Al-Kwarizmi tratta equazioni di 2° grado del tipo

x2+a=bx

il suo procedimento, scritto in simboli moderni,riporta alla formula risolutiva attuale quando ilprimo coefficiente è uguale a 1, con il segno ±davanti alla radice; vengono però escluse le radicinegative e vengono considerate impossibili quelleche adesso chiameremmo immaginarie

La matematica araba La matematica araba -- KayyamKayyam

•• Omar Omar KayyamKayyam (1048-1131), poeta, matematico ed astronomo (mausoleo di Neyshabur)

• Autore di Algebra, dove espone procedimenti risolutivi ed anche una soluzione grafica di un’equazione di terzo grado (considerando solo radici positive)


• Mausoleo di Omar Kayyam a Neyshabur


• Omar Kayyam divenne famoso inOccidente per le sue “quartine” (rubayat),ispirate al vino, alla gioia e alle donne. Nedivenne noto un rifacimento/traduzione ininglese fatto nell’Ottocento da EdwardFitzgerald (1859), che fu poi tradotto inaltre lingue occidentali. Direttamente dalpersiano uscì una traduzione in esperanto(Warighien, 1953), poi una traduzione initaliano (Bausani)

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O Hayyām, se sei ebbro di vino, sta' lieto,

se te la spassi con belle dal volto di luna, sta' lieto.

Poiché ogni cosa del mondo nel nulla finisce,

pensa che tu sei nulla, e già che sei, sta' lieto.


Alcuni matematici arabi si occuparonoanche di equazioni indeterminate; inparticolare tentarono di dimostrare chel’equazione

x3+ y3 = z3

non ha soluzioni intere (anticipando quindiil cosiddetto “ultimo teorema di Fermat”)


• La geometria fu essenzialmente derivata da quella greca. Si occuparono molto di piastrellatura e quindi di forme accostabili in modo da ricoprire intere superficie


Alhambra (Granada)

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La matematica nel

Medioevo

L’Italia del Medioevo L’Italia del Medioevo -- FibonacciFibonacci

•• Leonardo Leonardo BigolloBigollo

da Pisa, detto da Pisa, detto

FibonacciFibonacci (1170-1250)


• 1202: : LiberLiber abaciabaci

15 capitoli, nei quali viene presentata sistematicamente per la prima volta nel mondo occidentale la numerazione posizionale in base 10, con la trascrizione in questo sistema di numeri scritti in base sessagesimale e in maniera romana


• Il Liber abaci propone numerosi problemi;spesso tuttavia non vengono risolti tramiteequazioni di primo grado come sarebbeusuale oggi, ma tramite la falsa posizione,cioè “se la soluzione fosse…., alloradovrebbe essere……”

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• Dal Liber abaci

• Un lavoratore avrebbe dovuto prendere 7

bisanti al mese se avesse lavorato, mentre

avrebbe dovuto restituire 4 bisanti per un

mese di assenza. Il lavoratore lavorò

saltuariamente e alla fine del mese (30 gg.)

ricevette un solo bisante. Quanto lavorò?


• Attualmente si imposterebbe un’equazione di 1° grado:

7x/30 – 4(30-x)/30 =1

• che fornisce come soluzione x = 150/11, cioè13 gg. e 7/11

• Fibonacci invece fa il calcolo supponendo cheil lavoratore abbia lavorato 15 gg.: avrebbepercepito 1 bisante e ½; se ne avesse lavorati20 avrebbe percepito 3 bisanti e 1/3


• Fibonacci imposta poi la proporzione(20-15) :[3+1/3 –(1+1/2)] = (20 – x): (3+1/3 –1)

il che porta allo stesso risultato

• Nel Liber quadratorum Fibonacci presentavari artifici per risolvere equazioni, inparticolare come ridurre quadrati a sommedi quadrati


• Fibonacci imposta e risolve con artificidiversi varie equazioni di secondo grado;va tenuto presente che equazioni del tipo

ax2 +bx = c ax2 +c = bx bx +c = ax2

erano considerate sostanzialmente diverse,perché i coefficienti erano tutti positivi

• Dà anche la formula risolutiva generale per l’equazione x2 +bx = c

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• Un altro problema noto che si trova nelLiber abaci è quello che ha dato originealla cosiddetta successione di Fibonacci:Data una coppia iniziale di conigli fecondi dal

secondo mese in poi che genera una coppia di

conigli al mese, i quali a loro volta generano dal

secondo mese in poi una coppia di conigli, quanti

conigli ci saranno dopo x mesi, supponendo che

nessuno muoia?


• La soluzione produce una successione dinumeri

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …

nella quale, a partire da 2, ogni elemento èla somma dei due precedenti

• La successione di Fibonacci la si incontra innumerose situazioni

Il tardo Medioevo in ItaliaIl tardo Medioevo in Italia

• È attribuito al maestro Dardi di Pisa iltrattato Aliabraa Argibra (1344) in cui cisono formule risolutive di intere classi diequazioni di terzo e quarto grado del tipo

(h+x)n = k

con n = 3, 4, derivanti da calcoli di interessiper 3 o 4 anni

Il tardo Medioevo in ItaliaIl tardo Medioevo in Italia

• Vari matematici cercarono scritture piùsemplici dell’algebra retorica: Giovanni delSodo, Raffaello Canacci, Piero dellaFrancesca (che risolve equazioni del 5°grado)

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Il tardo Medioevo in EuropaIl tardo Medioevo in Europa

•• MosesMoses ibnibn TimmonTimmon, membro di unafamiglia ebrea emigrata dalla Spagna inProvenza, tradusse in ebraico gli Elementi

di Euclide (1270)


•• LeviLevi BenBen GersonGerson (1288-1344), un ebreofrancese, scrisse un commento ai primi 5libri di Euclide, si occupò di trigonometria edi astronomia

• Tentò di ridurre i postulati di Euclide,riprese la notazione tolemaica della misuradegli angoli in gradi e in frazionisessagesimali


• In particolare Levi Ben Gerson introdusse il teorema dei seni:

• i lati di un triangolo sono proporzionali ai

seni degli angoli opposti


•• Nicolas d’Nicolas d’OresmeOresme

(1323-1382) matematico, fisico, astronomo, economista e musicologo francese

• Fu amico e consiglieredel re di Francia CarloV, poi canonico dellacattedrale di Rouen

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• Oresme scrisse in latino e in francese,contribuendo a creare la terminologiafrancese in musica e in matematica

• Scrisse il Tractatus de configuratione

qualitatum et motuum; in questo si puòintravedere un sistema di coordinate,latitudo e longitudo, che precede lecoordinate cartesiane


• Oresme tentò di raffigurare un grafico dellavelocità ponendo in ascissa i tempi e inordinata la velocità di un corpo (Tractatus

de latitudinibus formarum)


• Oresme si occupò esplicitamente dell’areasottostante e scoprì che essa esprimeva laspazio percorso, ma non ne seppe spiegareil perché

• Si occupò anche di funzioni di più di duevariabili, intuendo che per esprimere quellesarebbero state necessarie coordinate inspazi di più di tre dimensioni


• Oresme si occupò anche di procedimentiinfiniti, in particolare di serie numeriche edette la dimostrazione (che si dà ancoraoggi) della divergenza della serie armonica;detta in termini moderni, dimostrò che sipossono raggruppare i termini in gruppiconsecutivi di 2n termini, ciascuno dei qualiè > 1/2, e quindi la somma risulta maggioredi un qualsiasi numero prefissato

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• Probabilmente ad Oresme o ad un suocopista si deve il primo uso del simbolo “+”per indicare l’addizione come abbreviazionedi “et” (la “e” diventa un ricciolo alla basedella “t” il cui taglio è evidenziato,dapprima un po’ obliquo, poi orizzontale)

• Il segno “-” è di origine più incerta (forseuna semplificazione rapida della m di“minus”); certi segni diventano stabilisoltanto con la stampa


• Oresme ideò una forma primitiva dellascrittura degli esponenti e sviluppò il primometodo di calcolo degli esponentifrazionari; usò nel suo Algorismus

proportionum regole che oggi siscriverebbero così:

xa xb = xa+b (xa)b = xab

Altre figure del MedioevoAltre figure del Medioevo

• Abū l-Walīd Muhammad ibn Ahmad

Muhammad ibn Rushd, diventato nelMedioevo Aven Roshd e infine Averroes

(AverroèAverroè) (1126 – 1198) è stato un filosofo,medico, matematico e giurisperito spagnolo


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• Averroè tradusse inarabo e commentòopere di Aristotele(citato da Dante); sueopere furono poitradotte in latino eportarono in occidentela cultura filosoficagreca


• Un altro filosofo arabo sosteneva che ilpensiero di Aristotele, e la filosofia ingenerale, fossero in contraddizione conl'Islam. La tesi fondamentale di Averroè eraesattamente opposta: egli sosteneva che laverità può essere raggiunta sia attraverso lareligione rivelata sia attraverso la filosofiaspeculativa. Tesi opposte ebbe Tommasod’Aquino

Il primo libro a

stampa

La stampaLa stampa

Torchio da stampa(Leonardo, CodiceAtlantico, foglio995 recto, 1497)

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Il primo libro a stampaIl primo libro a stampa

• 10 dicembre 1478: esce a Treviso Larte de

labbacho, un manuale anonimo, noto anchecome Aritmetica di Treviso

• È un manualetto di 62 pagine, e insegna afare di conto per chi “vuole usare larte de lamerchadantia”


• Nel libretto è fatta netta distinzione tranumero e “figura” cioè il simbolo con cui siesprimono le cifre


L’abaco era usato come strumento di calcolo già al tempo degli egiziani (αβαξin greco significava “tavoletta”)


• Non sono ancora usati i segni di addizione, sottrazione ecc., ma le operazioni sono indicate con:

• Iungere, indicato con et

• Levare o cavare, indicato con de

• Moltiplicare, indicato con fia

• Partire, indicato con in

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• La addizione è insegnata col riporto, come adesso

• Della sottrazione si dice che “mazor damenore non può fir cavato” e vieneinsegnato il metodo col prestito, ma anchequello di incrementare di una unità la cifrasuccessiva del sottraendo piuttosto chericordare il prestito


• La moltiplicazione viene insegnata comeadesso, ma quando si tratta di fattori di duecifre, viene insegnato il metodo a crocetta

4 3

×2 5

1075


• Probabilmente da questo metodo è nato ilsimbolo × per indicare il prodotto, checomunque appare soltanto nella prima metàdel ‘600 (oramai i libri sono tutti a stampa)

Segni di addizione e sottrazioneSegni di addizione e sottrazione

• Questa è un’edizionedel 1526 di un libro diaritmetica di JohannesWidman, matematicotedesco; sembra essereil primo a stampa incui sono usati i segni“+” e “–” come segnidi operazioni

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Segni di addizione e sottrazioneSegni di addizione e sottrazione

• Semplici problemialgebrici:

• cambio di segnoportando un valore al dilà del simbolo diuguaglianza

• quadrato di un binomio

La matematica a La matematica a

PadovaPadova

La matematica a PadovaLa matematica a Padova

• L’università di

Padova viene

fondata nel 12221222

• Padova era allora unlibero comune retto daun podestà

•• Pietro d'AbanoPietro d'Abano

(Abano, c. 1257 –Padova, 1315) fu filosofo e medico


• Pietro d’Abano insegnò astrologia a Parigi equindi a Padova; viaggiò, fu aCostantinopoli, fu amico di Marco Polo

• Scrisse il Conciliator Differentiarum, quœ

inter Philosophos et Medicos Versantur,trattato in cui conciliava le tesi di medici efilosofi

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• Non esisteva una cattedra di matematicaautonoma, la matematica era insegnatanell’ambito dell’astrologia, che raccoglievaanche la medicina e le scienze. Pietrod’Abano, che insegnò astrologia, puòdunque considerarsi il primo docente dimatematica dell’università di Padova


• Pietro d’Abano fu accusato di eresia echiuso in carcere, dove morì in attesa delprocesso. Poiché fu condannato dopo morto,il suo cadavere fu poi riesumato e bruciato


• Pietro d’Abano ispirò a Giotto gli affreschidi soggetto astrologico della Sala dellaRagione (distrutti da un incendio nel 1420 epoi ricostruiti dai disegni originari).

• Questi affreschi sono divisi in tre zoneorizzontali e in dodici verticali, ripartiti inoltre trecento riquadri che raffigurano ilsapere astrologico del tempo, cioè l'influssodegli astri e dei cieli sulle attività umane


• Nella seconda metà del XIV secolo insegnòastronomia, e quindi matematica, a PadovaGiovanni Dondi, che nel 1364 pubblicòl’Astrario, un testo in cui spiega il moto degliastri e il meccanismo dell’orologio da luicostruito nel 1344. L’esemplare che sta nellatorre che mette in comunicazione Piazza deiSignori con Piazza Capitaniato è un rifacimentoquattrocentesco e funziona ancora adesso. Perquest’opera egli prese il nome di Dondidell’Orologio, nome che restò all’intera famiglia

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• Il rifacimento èquattrocentesco; sinota il leone di SanMarco (Padova sidiede a Venezia nel1405)

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