Storia della Matematica La...

30/03/2010

1

Storia della MatematicaStoria della Matematica

6a settimana

La derivazioneLa derivazione

Il rapporto incrementaleIl rapporto incrementale

• Tra i problemi posti da Cartesio nellaGéométrie c’era quello delle tangenti allecurve. Descartes e soprattutto Fermat loavevano risolto nel caso di esempi semplicie poi di curve algebriche, cioè esprimibilicome zeri di un polinomio. Fermatcalcolava il rapporto incrementale e poiponeva uguale a 0 l’incremento:


• In un caso semplice, chiamando El’incremento:

(x+ E)2 –x2 2Ex + E2

= = 2x + EE E

• e posto E = 0 si ha che la derivata è 2x. Come si vede, non è eseguito un limite.


• Il metodo di Fermat si applicava anche adalcune curve trascendenti e in linea diprincipio anche a curve la cui equazioneconteneva dei radicali, ma diventavapraticamente inservibile al crescere dellacomplessità dell’equazione

LeibnizLeibniz

30/03/2010

2

LeibnizLeibniz

•• Wilhelm Wilhelm GottfriedGottfried

LeibnizLeibniz (1646-1716)

• Nobile tedesco diorigine boema, storico,filosofo, diplomatico,matematico, linguista

LeibnizLeibniz

• Viaggia, promuove la fondazione delleaccademie di Vienna e S. Pietroburgo (cheperò iniziano la loro attività dopo la suamorte), è socio di altre. La sua residenzaabituale è Hannover, dove è lo storico, ilbibliotecario e il consigliere diplomatico delduca di Brunswick, il suo grande protettore.

LeibnizLeibniz

• Ha grande influenza sulla vita politica eculturale di gran parte dell’Europa; i suoiconsigli sono richiesti dallo zar Pietro ilGrande e dall’Imperatore. Con i suoicontatti diplomatici influisce sull’ascesa diGiorgio Luigi di Hannover al tronod’Inghilterra (1714) e aspira a seguirlo, maviene lasciato in Germania a scrivere lastoria della famiglia di Brunswick.

LeibnizLeibniz

• È per quasi un anno in Italia (1689-1690),visita varie università e contatta matematici,resta sei mesi a Roma, da dove fa unapuntata a Napoli. A Roma c’è l’ipotesi dinominarlo bibliotecario della bibliotecaVaticana, ma è protestante e la cosa sfuma.

LeibnizLeibniz

• Si ferma a Venezia sia all’andata che alritorno, sta una settimana a Padova perandare a Este, Monselice e all’eremo diSanta Maria delle Carceri.

LeibnizLeibniz

• Ha frequentissimi e buoni contatti epistolaricon i matematici padovani e quando lacattedra di matematica di Padova resteràvacante Leibniz userà la sua influenzaaffinché venga chiamato a ricoprirla ungiovane e valente svizzero, JacopoHermann, che gli dedicherà l’opera scritta aPadova

30/03/2010

3

LeibnizLeibniz

• Nell’ottobre del 1684 Gottfried WilhelmLeibniz pubblica sugli Acta eruditorum unbreve ma fondamentale scritto dal titoloNova methodus pro maximis et minimis,

itemque tangentibus, quae nec fractas nec

irrationales quantitates moratur, et

singulare pro illis calculi genus

LeibnizLeibniz

• (Nuovo metodo per i massimi e minimi e del

pari per le tangenti, che non utilizza

quantità fratte o irrazionali, e un tipo

specifico di calcolo per essi)

• Il punto centrale del metodo di Leibniz eraun’operazione, la differenziazione, chepermetteva di passare dall’equazionealgebrica di una curva ad un’equazione incui comparivano i differenziali, e, tramitequesta, di trovare la tangente alla curva

LeibnizLeibniz

• Leibniz introduce la notazione differenziale,usando per quantità “molto piccole” lenotazioni dx e dy (il segno d, già usato daCartesio, viene da “differentia”, che noioggi chiameremmo “incremento”);

• introduce quindi prima il differenziale diuna variabile (dipendente o indipendente) esoltanto dopo introdurrà il loro rapporto.

La derivataLa derivata


• Leibniz espone vari calcoli di differenzialidifferenziali:

d(2x) = 2dx

d(u+v) = du + dv

d(vu) = dv . u + v . du

• In particolare scrive:

se y = v, allora dy = dv

d(v/y) = (ydv - vdy)/y2

d(y/v) = 1/d(v/y)


• In scritti successivi ci sono quasi tutte leregole di derivazione che conosciamo,compresa quella di derivazione di unapotenza ad esponente frazionario (nonancora le derivate di funzioni trascendenti)

30/03/2010

4


• Leibniz dice che i differenziali possonoessere proporzionali alle diminuzioni“momentanee” delle variabili: c’è, anche senon ancora esplicitamente, il concetto diinfinitesimoinfinitesimo (del primo ordine…)

• Successivamente Leibniz divide per dx enasce la notazione di derivataderivata ancora comequoziente di quantità molto piccole


• Il problema inverso delle tangenti, cioè ilpassaggio dall’equazione scritta con idifferenziali all’equazione della curva,divenne immediatamente il problemaprincipale del calcolo, essendo legato dauna parte alla quadratura delle figure (cioèal calcolo della loro area) e dall’altra a unaserie di problemi sia geometrici chemeccanici.

Teorema fondamentaleTeorema fondamentale

del calcolo integraledel calcolo integrale

• Il problema inverso delle tangenti è risolto dal teorema di Torricelli-Barrow:

• Data una funzione (continua e positiva) f

definita su un intervallo [a,x], l’areacompresa tra il suo grafico e l’asse delleascisse è una funzione F di x, e la funzioneche esprime in ogni punto il coefficienteangolare della tangente al grafico di talefunzione F coincide con la f.

Teorema fondamentaleTeorema fondamentale

del calcolo integraledel calcolo integrale

• Oggi esprimiamo questo teorema dicendo che F è una primitiva di f.

SerieSerie

SerieSerie

• Vari matematici fin dall’antichità si sonointeressati di processi infiniti, in primoluogo dell’operazione di serie.

• Nei secoli XVII e XVIII c’è stato un grandeinteresse per le serie di potenze, delle qualialcune particolari furono studiatesingolarmente e fornirono risultatiinteressanti.

30/03/2010

5

MengoliMengoli

• Pietro Mengoli (1626-1686) fu allievo diCavalieri a Bologna e quindi lo sostituìnella cattedra. Si occupò di geometria, diastronomia, della rifrazione della lucenell’atmosfera, di musica.

MengoliMengoli

• I suoi lavori scritti in un latino piuttostooscuro, sono ispirati alla teoria degliindivisibili di Cavalieri e anticipano ilcalcolo differenziale: Leibniz ne era aconoscenza diretta, mentre Newton neseppe attraverso Wallis. Tuttavia le sueopere furono presto dimenticate e solorecentemente gli è stato dato merito.

MengoliMengoli

• In Novae quadraturae arithmeticae, seu de

additione fractionum, pubblicato a Bolognanel 1650, Mengoli tratta le serie,sviluppando idee che erano state materia distudio di matematici italiani.

• Il primo argomento fu lo studio della seriegeometrica, determinandone la somma

MengoliMengoli

• Dimostrò la non convergenza della seriearmonica, risultato peraltro già raggiunto daOresme, riconfermando quindi la possibilitàdi ottenere un numero infinito nella sommadi una serie i cui termini tendono adannullarsi. Studiò anche la serie armonicacon segni alternati che dimostrò convergerea log2. Questa serie era stata studiata inprecedenza anche da Nicolaus Mercator.

SerieSerie

• Esaminiamo la serie geometrica

1 + x + x2 + x3 + .... (x reale)

• Questa converge, come è noto, per |x|<1,mentre diverge a + ∞ per x ≥ 1 e diverge ad∞ per x < -1. Per gli x per i quali converge,la sua somma è 1/(1-x) (la somma ècalcolata come il limite della somma dellaprogressione geometrica).

SerieSerie

• Ponendo x = -1 la serie (se fosseconvergente!) sembrerebbe convergere a1/2 , il che sembrò a Leibniz un paradosso,in quanto la successione delle sommeparziali oscilla tra 1 e 0

30/03/2010

6

La nascita delle La nascita delle

macchine da calcolomacchine da calcolo

La calcolatrice di La calcolatrice di LeibnizLeibniz

• Nel 1673 Leibniz presenta alla RoyalSociety di Londra la prima calcolatricemeccanica in grado di moltiplicare edividere. Esistevano già dei progetti dimacchine per addizioni e sottrazioni: unaera stata effettivamente realizzata dalfrancese Blaise Pascal e di un’altra, diWilhelm Schickard, c’erano disegni (poiperduti in un incendio)


• L'invenzionefruttò a Leibnizl'ammissione allaRoyal Society,ma non ebbeapplicazioneimmediata per ledifficoltà tecnichedi realizzazione.

Calcolatrice di Leibniz (1673)Museo di Berlino


• La calcolatrice di Leibniz verrà ripresa nel1820 da Xavier Thomas de Colmar ecostituirà la base di quasi tutte le calcolatricimeccaniche a quattro operazioni realizzatesuccessivamente.

Il sistema binarioIl sistema binario

• Pur non avendo avuto una applicazione pratica al momento in una macchina da calcolo, il sistema binario divenne il fondamento di tutta l’informatica e fu ideato da Leibniz

Il sistema binarioIl sistema binario

• “L’unità ha fatto tutto dal nulla”

• “Immagine della creazione”

• “Addizione –Moltiplicazione-Numerazione”

• “L’unità è necessaria”

30/03/2010

7

La calcolatrice di La calcolatrice di SchickardSchickard

•• WilhelmWilhelm SchickardSchickard

(1592 –1635)

• Professore di ebraicoe di aramaico, quindidi astronomia.

• Inventò varie macchine, una anche per lo studio della struttura della lingua ebraica. Morì di peste


• Il suo funzionamento è descritto in un lettera di Schickard a Keplero

• La macchina poteva sommare e sottrarre numeri a sei cifre, e suonava una campanella quando veniva superata la sua capacità

Macchina calcolatrice di Schickard (1623)


(ricostruzione)

La calcolatrice di PascalLa calcolatrice di Pascal

• Macchina calcolatrice inventata a soli 19 anni da Pascal per aiutare il padre, intendente delle imposte a Rouen.

• In suo onore Wirth dette il nome di PASCAL al linguaggio di programmazione da lui ideato

PascalinaConservatorio Nazionale di

e Arti e Mestieri (Parigi)

La calcolatrice di PascalLa calcolatrice di Pascal

• La pascalina faceva le sottrazioni come somma di numeri negativi utilizzando il metodo del complemento a dieci del sottraendo.

NewtonNewton

30/03/2010

8

Newton Newton

•• Isaac Newton Isaac Newton

(1642-1727) fu matematico, fisico, astronomo, filosofo, membro del parlamento inglese, presidente della Royal Society

Newton Newton

• Il padre morì tre mesi prima che luinascesse, la madre si risposò, ma Newton fumolto in contrasto col patrigno e fu allevatoda una nonna. Alla morte del patrignoNewton ereditò una fortuna piuttostoconsistente che gli permise di studiare evivere agiatamente. Studiò al TrinityCollege di Cambridge, che però fu chiusoper la peste, e Newton continuò da solo.

Newton Newton

• Durante gli studi scoprì lo sviluppo dellepotenze del binomio (coefficienti binomiali)e il cosiddetto “metodo delle tangenti”, cheè uno dei metodi per il calcolo approssimatodi uno zero di una funzione. Esso si applicadopo avere determinato un intervallo checontiene una sola radice.

Newton Newton -- Metodo delle tangentiMetodo delle tangenti

• Il metodo iterativo che ne deriva converge se la funzione ha derivate prima e seconda diverse da 0 (in figura è:

f’ < 0, f’’ > 0)

NewtonNewton

• Newton scoprì la legge di gravitazioneuniversale (l’aneddoto della mela cadutagliin testa, certamente falso, è riferito ad unevento del 1666), confermando così ilmodello del sistema solare di Keplero, mascoprì che le orbite potevano anche essereparaboliche o iperboliche

Newton e Newton e HalleyHalley

• Newton abbandonò per un certo tempo glistudi astronomici perché aveva sbagliato icalcoli sull’orbita della Luna (non avevatenuto conto delle perturbazioni dovute aglialtri pianeti). Vi ritornò quando gli fuproposto un problema da Halley

30/03/2010

9

Newton e Newton e HalleyHalley

•• Sir Edmond Sir Edmond HalleyHalley

(1656-1742), astronomo reale, studiò una cometa nel 1682 e ne predisse il ritorno dopo 76 anni.

• Convinse Newton a pubblicare i suoi studi

La cometa di La cometa di HalleyHalley

• La cometa come disegnata da Halley nel 1682

La cometa di La cometa di HalleyHalley

La cometa di Halley(passaggio 1986)

Sonda Giotto

NewtonNewton

• Newton studiò anche la rifrazione della luce e scoprì la scomposizione della luce bianca

NewtonNewton

• Nel 1687 Newton finalmente pubblica la sua grande opera:

• Philosophiae

naturalis principia

mathematica

• (Basi matematiche della fisica)

NewtonNewton• In quest’opera usa per

la prima volta il termine gravitas;

• enuncia la legge di gravitazione universale e introduce il calcolo infinitesimale;

• tramite la legge di Boyle-Mariotte sui gas (scoperta nel 1662) determina la velocità del suono nell’aria

30/03/2010

10

NewtonNewton

• Newton parla delle flussioni che sono lederivate delle fluenti (funzioni) e tratta diqueste piuttosto che dei differenziali; trovavelocità e accelerazione.

• Leibniz invece tratta i differenziali comefossero quantità a sé stanti e indivisibili,delle monadi, ed è interessato al problemadelle tangenti

NewtonNewton

• Newton applica la derivazione anche adalcune funzioni trascendenti, calcolavelocità; gli viene proposto il problemadella brachistocrona e lo risolve in unanotte. Calcola la somma di alcune serieconvergenti (peraltro già note) e tramitequeste calcola π con una buonaapprossimazione

NewtonNewton

• Nell’ultimo decennio del ‘600 Newton fupreso da una crisi che potremmo definire difollia (tra l’altro si diceva convinto di essereil nuovo Messia), e abbandonò i suoi studi dimatematica. I suoi amici gli fecero avere ilposto di guardiano della Zecca reale, di cuipoi divenne direttore, e quindi ministro dellefinanze (Cancelliere dello Scacchiere).

NewtonNewton

• La sua attività alla Zecca fu moltoimpegnata, dedicata ad una riformadell’economia monetaria e ad una lotta aifalsari; fece chiudere le filiali della Bancad’Inghilterra, centralizzando la coniazionedella moneta; anticipò il gold standard, cioèun cambio fisso tra la sterlina e l’oro, chel’Inghilterra adotterà per prima nel 1717

NewtonNewton

• Sulla base del gold standard, a cui hannopoi aderito anche altri stati, l’economiamondiale si è retta ancora nel 1900.

NewtonNewton• Newton in vita ebbe

grandissimi onori, funominato “cavaliere”;non si sposò, ebbesoltanto una passionegiovanile. Morì nel1727 ad 84 anni e fusepolto a Westminster.Voltaire che erapresente ai funeralidisse che era statosepolto come un re

Tomba di Newton

30/03/2010

11

LeibnizLeibniz e Newtone Newton


• Leibniz durante il suo viaggio in Italia legge il testo di Newton e vi scrive dei commenti a margine


Glosse di Leibniz sulla gravitazione Impronte digitali di Leibniz


• Leibniz aveva avuto una corrispondenzacon Newton nel 1677, nella quale si eranoscambiati, in maniera più o meno chiara, iprincipi da ciascuno elaborati sul calcoloinfinitesimale. Successivamente Leibnizandò in Inghilterra, dove alcuni matematiciinglesi lo accusarono di aver copiato lateoria da Newton e di averla diffusa inEuropa come propria


• Ne nacque una lunga diatriba perl’attribuzione della priorità della scoperta, enel 1704 Leibniz si appellò alla RoyalSociety per ottenere un giudizio. Laquestione durò diversi anni; furonoesaminate le lettere (che poi verrannopubblicate), e la Royal Society attribuì lapaternità a Newton (probabilmente Newtonstesso stese la relazione finale)


• Newton non volle mai riconoscere ilcontributo di Leibniz e anzi nelle edizionisuccessive della sua opera Philosophiae

naturalis tolse qualsiasi accenno all’operadi Leibniz. Adesso la priorità di Newton ècerta, ma anche la minore applicabilità delsuo metodo rispetto a quello di Leibniz; èanche certo che Leibniz elaborò la suateoria indipendentemente

30/03/2010

12


Bibliografia italianaBibliografia italiana

Michael-Thomas Liske, Leibniz, Il Mulino, Bologna,2007

V. Mathieu, Introduzione a Leibniz, Laterza, Bari,2002

Massimo Mugnai, Introduzione alla filosofia di

Leibniz, Einaudi, Torino, 2001

G. Cantelli, La disputa Leibniz-Newton sull'analisi,Bollati Boringhieri, Torino, 2006

Alfred Rupert Hall, Filosofi in guerra. La polemica

tra Newton e Leibniz, Il Mulino, Bologna, 1988

La lingua universale La lingua universale

logicalogica

La lingua universale logicaLa lingua universale logica

• L’idea di lingua universale ha affascinatomoltissimi filosofi, studiosi e anche personecomuni dai tempi dell’antica Grecia. Nelperiodo di cui ci stiamo occupando questaidea affascinò, tra i molti altri, Cartesio,Newton e Leibniz


• Tutti e tre andarono alla ricerca di unalingua logica “a priori”, in cui le parolefossero costruite secondo un principiologico, senza che le radici avesseronecessariamente un legame con le radicidelle lingue esistenti


• Secondo Cartesio l’insieme apparentementeinfinito di concetti poteva essere ridotto adun numero limitato di concetti base, dalquale tutti gli altri si potevano derivare,come qualsiasi numero può essere espressocon solo dieci cifre. Poche grandi specieavrebbero a loro volta poche sottospecie, lequali avrebbero sottospecie e così via


• Questo sarebbe potuto succedere solo dopouna grande riorganizzazione delle cose,inscindibile da una grande riorganizzazionedella società. La lingua era comunque vistacome un fenomeno sociale, per quantosganciata dalle lingue esistenti. Tuttavia lalingua era vista come una riorganizzazionedel pensiero prima che come un mezzo dicomunicazione

30/03/2010

13


• Questo concetto logico-filosofico dellalingua giunse in Inghilterra a metà del secXVII ed interessò la Royal Society, inparticolare il suo segretario Wilkins cheeffettivamente costruì una lingua su questoprincipio e il chimico Boyle, che pare laparlasse.


• Newton scrisse nel 1661 o 1662 un’operache non fu pubblicata e fu scoperta solo nel1936: Sulla lingua universale. I nomi deglioggetti e le idee del mondo costituivano leparole e le relazioni tra esse erano lagrammatica. Newton divideva questerelazioni fino a differenze molto piccole,che difficilmente si troverebbero nellacomunicazione tra persone.


• Leibniz scrive nel 1704 Nuove esperienze

sull’intelletto umano (pubblicata nel 1765).La logica dovrebbe scomporre le nozioni inconcetti semplici e, come i segni matematicimettono in relazioni i numeri, così nellalingua universale le nozioni elementaripotrebbero costituire l’alfabeto della lingualogica.


• Secondo Leibniz è logico avere solo duecategorie morfologiche: sostantivi e verbi.Un sistema di affissi permetterebbe dipassare da una categoria all’altra. Altriaffissi permettevano di creare parolederivate. Se la sintassi era sintetica, lagrammatica era analitica, con preposizioni,pronomi, congiunzioni


• Leibniz vedeva anche una scritturauniversale mettendo in corrispondenza leprime 9 consonanti dell’alfabeto latino conle cifre da 1 a 9 e alle cinque vocalicorrispondevano le prime cinque potenze di10.

• Le lingue universali che verranno propostenei secoli successivi saranno più vicineall’idea di Leibniz che non a quelle diCartesio e Newton.

Storia della Matematica La...

Documents

Transcript of Storia della Matematica La...